robertkosova.files.wordpress.comakp 1 17 qershor 2016 agjencia kombËtare e provimeve provimi i...

AKP 1 17 qershor 2016

AGJENCIA KOMBËTARE E PROVIMEVE

PROVIMI I MATURËS SHTETËRORE 2016

I DETYRUAR

VARIANTI B

E premte, 17 qershor 2016 Ora 10.00

Lënda: MATEMATIKË (GJIMNAZI) Udhëzime për nxënësin Testi në total ka 25 pyetje, 13 pyetje me zgjedhje (alternativa) dhe 12 pyetje me zhvillim. Në pyetjet me zgjedhje rrethoni vetëm shkronjën përbri përgjigjes së saktë, ndërsa për pyetjet me zhvillim është dhënë hapësira e nevojshme për të shkruar përgjigjen. Koha për zhvillimin e pyetjeve të testit është 2 orë e 30 minuta. Pikët për secilën kërkesë janë dhënë përbri saj. Për përdorim nga komisioni i vlerësimit

Kërkesa

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Pikët

Kërkesa

12 13 14 15 16a 16b 17a 17b 18a 18b 19

Pikët

Kërkesa

20 21a 21b 22a 22b 23 24 25a 25b

Pikët

Totali i pikëve KOMISIONI I VLERËSIMIT 1………………………...Anëtar 2. ……………………….Anëtar

KUJDES! MOS DËMTO BARKODIN

BARKODI

Matematikë (Gjimnazi) Varianti B


Pyetjet 14-25 janë me zhvillim dhe me arsyetim.

14. Të zgjidhet ekuacioni lnx – ln(2-x) = ln7 3 pikë

15. Gjej pikën në grafikun e funksionit 2 33 2y x x , ku tangentja ka koeficientin këndor më të madh. 3 pikë



16. Jepen pikat M(1;2) dhe N(3;4) a) Gjeni ekuacionin e drejtëzës MN 1 pikë

b) Gjeni pikën K në boshtin OY e tillë që vektorët MK

dhe NK

të kenë gjatësi të barabartë. 2 pikë



17. Jepet funksioni 23 për x 0

-x për x < 0

xy

a) Tregoni që funksioni është i vazhdueshëm në x=0. 2 pikë

b) Gjej sipërfaqen e figurës së kufizuar nga grafiku i këtij funksioni dhe drejtëza me ekuacion y=3. 3 pikë



18. Jepet funksioni y= x3+6x2 – 1 a) Studioni monotoninë e funksionit. 2 pikë

b) Trego ekzistencën e rrënjës së ekuacionit f(x)= 0 në segmentin [–2;0]. 2 pikë

19. Bashkësia e përcaktimit të funksionit 2

3

16

xy

x

është: 3 pikë



20. Një sektor qarku me rreze 9cm dhe kënd qëndror 1200 ‘’mbështillet’’ dhe formohet një kon rrethor i drejtë. Gjej vëllimin e konit të përftuar. 3 pikë

21. Jepet vargu me kufizë të përgjithshme yn= 3n + 6 , për n N a) Tregoni që ky varg formon progresion aritmetik. 2 pikë

b) A është numri 33 kufizë e këtij vargu? Argumento përgjigjen. 1 pikë



22. Jepet trapezi këndrejtë ABCD me kënde të drejta në A dhe D dhe baza AB=12cm, DC=8cm. Përgjysmoret e këndeve jo të drejta priten në mesin e brinjës anësore AD.

a) Gjeni gjatësinë e vijës së mesme të trapezit. 1 pikë

b) Gjeni gjatësinë e brinjës anësore BC. 2 pikë

23. Në një kuti ndodhen 5 etiketa të shënuara me numrat 1;2;3:4;5. Nxirren rastësisht dy etiketa njëra pas tjetrës. Sa është probabiliteti që çifti i nxjerrë të plotësojë kushtin: “numri i etiketës së parë të jetë më i vogël se numri i etiketës së dytë”? 2 pikë



24. Mesatarja arithmetike e 7 numrave të çfarëdoshëm është 7. Nëse hiqet njëri prej tyre, mesatarja aritmetike e numrave të mbetur është përsëri 7. Gjeni numrin e hequr. 2 pikë

25. Jepet elipsi me ekuacion 2 28 9 72x y

a) Gjeni largesën vatrore. 1 pikë

b) Gjeni ekuacionin e tangentes ndaj tij, e cila formon me boshtin OX këndin 600. 2 pikë

Matematikë (Gjimnazi) Varianti A

QENDRA E SHËRBIMEVE ARSIMORE


SESIONI I

VARIANTI A

E premte, 23 qershor 2017 Ora 10.00

Lënda: MATEMATIKË E THELLUAR

ZGJIDHJE

1. Përgjigjet për pyetjet 1-10.

Pyetja 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Alternativa e sakte

D

A

A

C

B

C

B

C

A

D

2. Një mënyrë zgjidhje për pyetjet 11-20

11. 2 pikë

Meqë 75% +35% =110 % del se 4 nxënës që mësojnë dy lëndë përbëjnë 10% të të gjithë nxënësve.

Rrjedhimisht klasa ka 40 nxënës. Prej tyre mësojnë fizikë 100

40 14 nxënës.

Përgjigje: Meqë 4 prej tyre mësojnë fizikë dhe ekonomi del që 10 nxënës mësojnë vetëm fizikë.

QSHA 1 23 qershor 2017

1

Matematikë (Gjimnazi)

12.

a)

Parabola është e trajtës y2 2px (simetrike me boshtin OX). Atëhere 2p =8p=4

Varianti A

1 pikë

Vatra e saj është F(P

;0) pra F(2;0) .

b) 2 pikë

Pika e parabolës me ordinatë 4 e ka abshisën x=2 sepse 42 8xx 2 .

Tangjentja është hequr në pikën A(2;4) të parabolës prandaj ekuacioni i saj është:

y y1 p(x x )

y 4 4(x 2)

y x 2

13. 3 pikë

a) Monotoninë e funksionit e studiojmë në bashkësinë e tij të përcaktimit , pra në 0; .

Për të studiuar monotoninë e funksionit, studiojmë shenjën e derivatit të parë.

y , x 1 (1ln x

1 x) 1 (ln x1) 1 ln x1 ln x

Studiojmë shenjën e y , duke patur parasysh grafikun e

funksionit y ln x .

y , (x) 0 ln x 0

ln x 0

x 1

Në intervalin 0;1 funksioni është rritës.

Në intervalin 1; funksioni është zbritës.

b) 2 pikë

Meqë funksioni i përcaktuar në 0; është i vazhdueshëm dhe ka në të vetëm një ekstremum (max)

aty ai merr vlerën më të madhe. Vlera më e madhe e tij është: ymax f (1) 11 ln1110 1


=

B B

1


14.

a)

z 1 i

Ky numër është dhënë në trajtën algjebrike: z ab i ku a 1 dhe b 1 Trajta trigonometrike e numrit kompleks z është:

Varianti A

2 pikë

z r(cos i sin ) ku r z a2 b2 12 12 2 , arg(z)

tg b

1 1

tg 1( që ku = 4

ose = 4

)

Meqë pika M(1;1) ndodhet në kuadrantin e parë kemi arg z (

)

Pra, z 2(cos

4 isin

4)

b) 1 pikë

Nga formula e Muavrit dimë që:

zn rn (cos n i sin n )

z10 ( 2)

10(cos 10

i sin 10

)

z10 32(cos

2 i sin

2 )

15. 2 pikë

Heqim përgjysmoret AP dhe BF të këndeve të njëpasnjëshme të paralelogramit ABCD .

Ato priten në pikën E.

Meqë AP përgjysmore ^ ̂

A A

Meqë BF përgjysmore ^

1 = ^

2

Por, m(A)+m(B)=1800 ( si kënde të njëpasnjëshme të paralelogramit).

Prandaj m(A1)+m(B ) = 900 m(E) 1800 900 900

Pra, këto përgjysmore janë pingule.


3 2

1

1

1

2


16.

Varianti A

3 pikë

Skicojmë grafikët e funksioneve mbi të njëjtin sistem koordinativ: f(x)=x2 parabolë me kulm O(0;0) f(x)= x drejtëz përgjysmore e kuadrantit të parë dhe të tretë x=2 drejtëz paralele me OY dhe kalon nga pika (2;0)

Do të gjejmë syprinën e figurës së ngjyrosur.

S 2

(x2 x)dx (x3

x2

)

2

(23

22

) (1

1 )

7

3

5 njësi katrore.

1 1

17. 3 pikë

y a ; q 1

Meqë progresioni është i pafundëm zbritës zbatojmë formulën: S 1 q

4 a

4(11

) a

1a

44 a Shumëzojmë të dy anët e barazimit me a ( a 0).

4a 4 a2

a2 4a 4 0 (a 2)2 0a 2q 1

18. 3 pikë

cos x 2 2(1cos2 x)

cos x 2 2 2cos2 x

2cos2 x cos x 0

cos x(2cos x 1) 0

cos x 0x 900 ; x2 2700

2cos x 10

cos x 1 x3 1200 ; x4 2400

Përgjigje: Në 0; 3600

ky ekuacion ka bashkësi zgjidhjeje A900,120

0, 270

0, 240

0


x 2t 1


19.

a) 2 pikë

Meqë drejtëza pingule me planin n

4

është vektorë pingul me planin .

5 2

Prandaj ekuacioni i planit ka trajtën : n

4

a(x x0 ) b( y y0 ) c(z z0 ) 0 5

2(x 4) 4(y 3) 5(z 10) 0

2x 8 4y 12 5z 50 0

2x 4y 5z 70 0

Ekuacioni i planit është: 2x 4y 5z 70 0

b) 2 pikë

E kthejmë ekuacionin e drejtëzës (d) në trajtën parametrike:

x1

y 2

z 3 t

y 4t 2

z 5t 3

Zëvëndësojmë vlerat tek ekuacioni i planit .

2(2t 1) 4(4t 2) 5(5t 3) 70 0

4t 216t 8 25t 1570 0

45t 45

t 1x 2 11 3

y 4 1 2 6

z 5 1 3 8 Pra, pika e prerjes së drejtëzës (d) me planin është pika E(3; 6; 8).

20. 2 pikë

Bashkësia e përcaktimit përbëhet nga ato vlera të ndryshores x për të cilat shprehja ka kuptim.

Atëhere:

1 2x 0

22 2x ose 2x 22

Meqë baza a > 1 funksioni y=ax është rritës, prandaj kemi:

x 2 Pra, bashkësia e përcaktimit është E=; -2 .



QSHA GJI150617D2 1 15 qershor 2017



SESIONI I

VARIANTI A

E enjte, 15 qershor 2017 Ora 10.00

Lënda: MATEMATIKË (GJIMNAZI)

ZGJIDHJE



14. 3 pikë

2

2

5 2 2

5 4 2 2

1

2

3 (3 )

3 3 5 4 4 5 0

36

5

1

1;5

x x

x x x x x x

D

x

x

A

Pyetja 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Alternativa e sakte

A D D C A C D A B C B A B



15.

a) 3 pikë

Për të studiuar monotoninë e funksionit, studiojmë shenjën e derivatit të parë për cdo .

, 26 3f x x

, 2 2 2

1 20 6 3 0 3 6 2 2 ; 2f x x x x x x

Në intervalin ; 2

funksioni është zbritës

Në intervalin 2; 2

funksioni është rritës

Në intervalin 2;


b) 2 pikë

Studiojmë shenjën e derivatit të dytë:

''( ) 6f x x ''( ) 0 6 0 0f x x x

(0) 0f

Pika e infleksionit P(0;0)

16. 3 pikë

( ) ( ) 1gj tgj dt d k k Por 1 1 1d tgjk k

Pra , 1tgjk . Ekuacioni i tangjentes ka trajtën: y x t

Nga kushti i tangjencës së drejtëzës me elipsin kemi: 2 2 2 2a 5k b t t Ekuacionet e tangjenteve janë: 5y x dhe 5y x

17. 3 pikë

Piramida e rregullt 4-këndore ABCD katror

pl(ABCD) ku O-qendra e katrorit.

(ku SE apotema)

pl(ABCD)

i në pl(ABCD)

dhe nga teorema e 3

Nga ndërtimi m(

SO

SE BC

SO SO OE

OE proj SE

SO OE SE BC OE BC

^0

0

2 2 2

b

3

b

1SEO) 30 . Në trekëndëshin SOE, = , 4

2

3Në kënddrejtë SOE kemi: = cos30 =8 4 3 .

2

Në ACB, mesi i BC 2 8 3 cm.

S (8 3) 192 cm

1 1V= S 192 4 256 cm

3 3

OS SE OS cm

OE SE cm

OE BC OE AB E AB OE

AB

h



18. 3 pikë

Skicojmë grafikët e funksioneve mbi të njëjtin sistem koordinativ: y = 5-x2 parabolë me kulm K(0;5) y=1 drejtëz paralele me (OX)

Kufijtë e integrimit: y=5-x2 dhe y=1 25 1 2x x

22 2 32 2

2 2 2

8 8 32(5 1) (4 ) (4 ) (8 ) ( 8 )

3 3 3 3

xS x dx x dx x

njësi katrore.

19.

a) 1 pikë

5 1

1

5

4

20

3 8

y y d

y

d y

b) 2 pikë

1 ( 1) 20 ( 1) ( 3)

23 3

230 23 3 0 7.66 8

3

n n

n

n

y y n d y n

y n

y n n n

20. 2 pikë

1 2 3 44 1 2 3 412 48

4

x x x xm x x x x

1 2 3 4 5 55 5

5

4816 16 48 80

5 5

32

x x x x x xm x

x vjec

21. 3 pikë

2/16 0 dhe x>0E x R x

2

1

2

1

:16 0

16 0 4

4;4

K x

x x

E

2 2: 0 0; K x E

1 2. :

0,4

B p E E E

E



22. 3 pikë

Që funksioni të jetë i vazhdueshëm në x=2, duhet të plotësohen njëherazi 3 kushte: 1) Të (2): (2) 2 1f f A

2) 2

2 2 2 2 2 lim ( ) dmth lim ( ) lim ( ) lim 4 0; lim 1 2 1

x x x x xTë f x f x f x x Ax A

1

0 2 12

A A

3) Duhet që 2

1lim ( ) (2) 0 2 1

2xf x f A A

Përgjigje: Për A=1

2funksioni është i vazhdueshëm në x=2

23.

a) 2 pikë

( ) : B B

c B c B

x x y yBC

x x y y

2 1( ) : 2( 2) 6( 1)

4 2 1 1

x yBC x y

( ) : 2 4 6 6 2 6 2 0 ose 3 1 0BC x y x y x y

b) 3 pikë

2 2

2

( ) ( )

2 10 njësi

ABC

c B c B

BC AHS

BC x x y y

BC

AH është largesa e pikës A(0;3) nga drejtëza (BC): 3 1 0x y

AH =d=2 2

1 0 3 3 1 1010

101 3

AH= 10 njësi

2 10 1010

2ABCS

njësi katrore



24. 2 pikë

( ) 6 6 36

( ) 15

( ) 15 5( )

( ) 36 12

n H

n A

n AP A

n H

25. 2 pikë

Në ABC zbatojmë Teoremën e sinusit.

sin 60 sino

AC BC

x

0

3 2 2 sin 60sin

sin 60 sin 3

2sin 45

2

o

ox

x

x x

Matematikë (Gjimnazi gjuhësor) Varianti A

QSHA GJU150617D2 1 15 qershor 2017



SESIONI I

VARIANTI A


Lënda: MATEMATIKË (GJIMNAZI GJUHËSOR)

ZGJIDHJE



14. 2 pikë

6 8 ( 2) 10 (2 1) 28

6

27 3 48

3 21

7

x xm

x

x

x

Pyetja 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Alternativa e sakte

A C B C D A A B C B A B D



15. 2 pikë

( ) 20

4,8,12,16,20,5,10,15

( ) 8

( ) 8 2( )

( ) 20 5

n H

A

n A

n AP A

n H

16. a) 1 pikë

Piramidë e rregullt 3-këndore ABC barabrinjës.

2

12

pl(ABC) O qendra e

2

3 12 472

2

a

a

b cm

SO ABC

P apotemëS

S cm

b) 3 pikë

2 22

1

3

3 12 3 144 336 3

4 4 4

b

b

V S h

bS cm

pl(ABC), SE e pjerrët OE=proj i SE

Meqë SE (apotemë) nga T e 3 : OE BC

1 b 3 12 3OE= ku AE= 6 3 2 3

3 2 2

SO

BC

AE OE

Në kënddrejtë 2 2 2 2 2: SO 4 (2 3) 16 12 4SOE SE OE

Pra, 2 SO cm

3136 3 2 24 3

3V cm

17. a) 2 pikë Ekuacioni i thjeshtuar i hiperbolës:

2 2

2

2

2 2 2

15 4

5 5

4 2

5 4 9 3

x y

a a

b b

c a b c



b) 2 pikë

2 2 2 2

2 2 2

gj

2

( ) : 2

Nga kushti i tangjencës: a k -b =t

5(-2) -4 = t t =16 t= 4

(t ) : y = -2x 4

tgj d

gj

k k

t y x t

18. 3 pikë

Për të studiuar përkulshmërinë e grafikut të funksionit studiojmë shenjën e derivatit të dytë: 3 2 2

2

' ( 3 7) ' 3 6 1

'' (3 6 1) ' 6 6

'' 0 6 6 0 1

y x x x x x

y x x x

y x x

Në intervalin ;1 grafiku i funksionit është i mysët

Në intervalin 1; grafiku i funksionit është i lugët

3 2(1) 1 3 1 1 7 6

Pika (1;6) është pikë infleksioni.

f

P

19. 3 pikë

x>0 x>0

Bashkësia e vlerave të lejuara të x-it është: E= 0;66-x>0 x<6

Për cdo x E: log x = log (6 - x) x=6-x 2x=6 x=3, por 3 E

Bashkësia e zgjidhjeve A= 3

20. 3 pikë

x 0 x 0

Bashkësia e përcaktimit : E= 0;33-x>0 x<3



21.

2 pikë

2

0

0 0

P = 8 cm b = 2cm

S = b h

S = 2 3 2 3 cm

DHNë kënddrejtë AHD sin =

AD

3sin 60

2

pra m( DAB) = 60 dhe m( ABC) = 120

22. 3 pikë Për x>1, ( ) 5f x Mx është i vazhdueshëm si funksion i zakonshëm.

Për x<1, 2( ) 1f x x është i vazhdueshëm si funksion i zakonshëm.

Që funksioni të jetë i vazhdueshëm në x=1, duhet të plotësojë njëherazi 3 kushte:

1) Të 2 (1): (1) 1 1 2f f

2)

2

1 1 1

1

lim ( ) pra lim 1 2 ; lim(5 ) 5

duhet 2=5+M M = -3 Atëhere lim ( ) 2

x x x

x

Të f x x Mx M

f x

3) 1 1(1) lim ( ). Për M = -3 kemi : f(1)=2= lim ( )

x xf f x f x

Përgjigje: Për M = -3 funksioni është i vazhdueshëm në R. 23. a) 3 pikë


2' (1 2 ) ' 2 2

' 0 2 2 0 1

y x x x x

y x x

Në intervalin ;1 funksioni është rritës

Në intervalin 1; funksioni është zbritës



b) 2 pikë

2

gj

Ekuacioni i tangjentes ka trajtën: y- (2) = '(2) ( 2)

(2) 1 2 2 2 1

'(2) 2 2 2 2

( ) : y -1 = -2(x-2)

y -1 = -2x+4

(t ): y = -2x+5

gj

f f x

f

f

t

24. 3 pikë

Skicojmë grafikët e funksioneve mbi të njëjtin sistem koordinativ:

2y = x 2 parabolë me kulm K(0;2)

y = 6 drejtëz paralele me (OX)

Kufijtë e integrimit: 2y = x +2 dhe y=6 2 2 2 6 4 2x x x 22 2 3

2 2

2 2 2

8 8 326 ( 2) (4 ) (4 ) (8 ) ( 8 )

3 3 3 3

xS x dx x dx x

njësi katrore.

25. 3 2 3 ( 1) 3 ( 1) 3

:2 2 1 2 2 2 2 ( 1) 2 4

x x x x x x

x x x x x x

. 3 pikë

Matematikë (Profesionale) Varianti A

QSHA PR150617D2 1 15 qershor 2017



SESIONI I

VARIANTI A


Lënda: MATEMATIKË (PROFESIONALE)

ZGJIDHJE



14. 3 pikë

2

2

1

6 0

6 0

0 ose 6

0;6

x x

x x

x x

A

2

-x+1<0

x>1

A 1;

Bashkësia e zgjidhjeve të sistemit është bashkësia:

1 2 1;6A A .

Pyetja 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Alternativa e sakte

A D C C B C D A A B D B C



15. a) 3 pikë


3 2

2

2

2

'( ) ( 3 ) ' 3 3

'( ) 0 3 3 0

3( 1) 0

1 0 1

f x x x x

f x x

x

x x

Në intervalin ; 1 funksioni është rritës.

Në intervalin 1;1 funksioni është zbritës.

Në intervalin 1; funksioni është rritës.

b) 2 pikë


2''( ) (3 3) ' 6

''( ) 0 6 0

0

f x x x

f x x

x

Në intervalin ;0 grafiku i funksionit është i mysët.

Në intervalin 0; grafiku i funksionit është i lugët.

16. a) 3 pikë

Ekuacioni i rrethit ka trajtën: 2 2 2( ) ( )x a y b r ku qëndra ( ; )Q a b dhe rreze r.

Meqenëse AB diametër Q mesi i AB.

2 2

2 2

1 32

2 2

3 54

2 2

: (2;4)

( ) ( )

(2 1) (4 3) 2

A BQ

A BQ

Q A Q A

x xa x

y yb y

Rrjedhimisht Q

r AQ x x y y

r r

Ekuacioni i rrethit është: 2 2 2 2 2( 2) ( 4) ( 2) ( 2) ( 4) 2x y x y

b) 1 pikë

2 2 ( 2) 2

2 njësi katrore

S r S

S



17. 3 pikë

2( )

2(1 3 ) 2 4 8

P a b

P x x x x

0 2

64 cm 8x = 64 x=8 cm

AB = 3 8 = 24 cm

AD = 1 8 = 8 cm

S = a b sin

24 8 sin 30 96

Por P

S cm

18. 3 pikë

Nga përkufizimi i progresionit aritmetik: (5 4) (2 3)

(3 4) (5 4)

(5 4) (2 3) (3 4) (5 4)

5 4 2 3 3 4 5 4

5 15

3 (5 3 4) (2 3 3) 11 9 2

2

d a a

d a a

a a a a

a a a a

a

a d

d

19. . 3 pikë

Së pari: Gjejmë ekuacionin e (AB).

( ) : A A

B A B A

x x y yAB

x x y y

2 1( ) : 4( 2) 1( 1) 4 8 1

1 2 3 1

(AB): 4 7 0

x yAB x y x y

x y

Që pikat A, B, C të ndodhen në një drejtëz duhet që:

( )

(4; m) 4 4+m-7=0 16+m-7=0 9+m=0

m = -9

C AB

C

20. 3 pikë

(1) 0

'(1) 0

f

f

21 1 0

'( ) 2

a b

f x x a

21 1 0

'(1) 2 1 0

a b

f a

1

2

b

a



21. 3 pikë

1 2 3 1010 1 2 3 10

...17 ... 170

10

x x x xm x x x x

1 2 77 1 2 7

8 9 10

1 2 710 10

...20 ... 140.

7

Shënojmë ; ; .

( ... ) 140 317

10 10

140 3 170

3 170 140

10

x x xm x x x

x x x me x

x x x x x x xm m

x

x

x

Përgjigje: 8 9 1010 ; 10 ; 10 x x x

22. 3 pikë ABCD –katror ku AB=2R

2 2

c

2 3 3

400 cm 20 cm

Pra, 2R = 20 cm R = 10 cm

V

2 2 10 2000

ABCD

b

S AB AB

S h

V R R cm

23. 18 72 32 9 2 36 2 16 2 2 pikë

3 2 6 2 -4 2

9 2 4 2

5 2

24. 2 2

1

1 1 1 1 1 0lim

3 3 3 3 1 3 3 0x

x

x

formë e pacaktuar 3 pikë

1 1

(1 )(1 ) 1 1 1 2lim lim

3(1 ) 3 3 3x x

x x x

x

25. 2 pikë

Hapësira e rezultateve të mundshme :

( ; ), ( ; )( ; )( ; )

( ) 4

H L L L S S L S S

n H

Ngjarja e favorshme :

( ; )

Pra, n(A)=1

A L S

( ) 1

( )( ) 4

n AP A

n H





SESIONI I

VARIANTI A


Lënda: MATEMATIKË (GJIMNAZI)

ZGJIDHJE



14. 3 pikë

2

2

5 2 2

5 4 2 2

1

2

3 (3 )

3 3 5 4 4 5 0

36

5

1

1;5

x x

x x x x x x

D

x

x

A

Pyetja 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Alternativa e sakte

A D D C A C D A B C B A B



15.

a) 3 pikë


, 26 3f x x

, 2 2 2

1 20 6 3 0 3 6 2 2 ; 2f x x x x x x

Në intervalin ; 2


Në intervalin 2; 2

funksioni është rritës

Në intervalin 2;


b) 2 pikë


''( ) 6f x x ''( ) 0 6 0 0f x x x

(0) 0f

Pika e infleksionit P(0;0)

16. 3 pikë

( ) ( ) 1gj tgj dt d k k Por 1 1 1d tgjk k

Pra , 1tgjk . Ekuacioni i tangjentes ka trajtën: y x t

Nga kushti i tangjencës së drejtëzës me elipsin kemi: 2 2 2 2a 5k b t t Ekuacionet e tangjenteve janë: 5y x dhe 5y x

17. 3 pikë

Piramida e rregullt 4-këndore ABCD katror

pl(ABCD) ku O-qendra e katrorit.

(ku SE apotema)

pl(ABCD)

i në pl(ABCD)

dhe nga teorema e 3

Nga ndërtimi m(

SO

SE BC

SO SO OE

OE proj SE

SO OE SE BC OE BC

^0

0

2 2 2

b

3

b

1SEO) 30 . Në trekëndëshin SOE, = , 4

2

3Në kënddrejtë SOE kemi: = cos30 =8 4 3 .

2

Në ACB, mesi i BC 2 8 3 cm.

S (8 3) 192 cm

1 1V= S 192 4 256 cm

3 3

OS SE OS cm

OE SE cm

OE BC OE AB E AB OE

AB

h



18. 3 pikë

Skicojmë grafikët e funksioneve mbi të njëjtin sistem koordinativ: y = 5-x2 parabolë me kulm K(0;5) y=1 drejtëz paralele me (OX)

Kufijtë e integrimit: y=5-x2 dhe y=1 25 1 2x x

22 2 32 2

2 2 2

8 8 32(5 1) (4 ) (4 ) (8 ) ( 8 )

3 3 3 3

xS x dx x dx x

njësi katrore.

19.

a) 1 pikë

5 1

1

5

4

20

3 8

y y d

y

d y

b) 2 pikë

1 ( 1) 20 ( 1) ( 3)

23 3

230 23 3 0 7.66 8

3

n n

n

n

y y n d y n

y n

y n n n

20. 2 pikë

1 2 3 44 1 2 3 412 48

4

x x x xm x x x x

1 2 3 4 5 55 5

5

4816 16 48 80

5 5

32

x x x x x xm x

x vjec

21. 3 pikë

2/16 0 dhe x>0E x R x

2

1

2

1

:16 0

16 0 4

4;4

K x

x x

E

2 2: 0 0; K x E

1 2. :

0,4

B p E E E

E



22. 3 pikë

Që funksioni të jetë i vazhdueshëm në x=2, duhet të plotësohen njëherazi 3 kushte: 1) Të (2): (2) 2 1f f A

2) 2

2 2 2 2 2 lim ( ) dmth lim ( ) lim ( ) lim 4 0; lim 1 2 1

x x x x xTë f x f x f x x Ax A

1

0 2 12

A A

3) Duhet që 2

1lim ( ) (2) 0 2 1

2xf x f A A

Përgjigje: Për A=1

2funksioni është i vazhdueshëm në x=2

23.

a) 2 pikë

( ) : B B

c B c B

x x y yBC

x x y y

2 1( ) : 2( 2) 6( 1)

4 2 1 1

x yBC x y

( ) : 2 4 6 6 2 6 2 0 ose 3 1 0BC x y x y x y

b) 3 pikë

2 2

2

( ) ( )

2 10 njësi

ABC

c B c B

BC AHS

BC x x y y

BC

AH është largesa e pikës A(0;3) nga drejtëza (BC): 3 1 0x y

AH =d=2 2

1 0 3 3 1 1010

101 3

AH= 10 njësi

2 10 1010

2ABCS

njësi katrore



24. 2 pikë

( ) 6 6 36

( ) 15

( ) 15 5( )

( ) 36 12

n H

n A

n AP A

n H

25. 2 pikë

Në ABC zbatojmë Teoremën e sinusit.

sin 60 sino

AC BC

x

0

3 2 2 sin 60sin

sin 60 sin 3

2sin 45

2

o

ox

x

x x





SESIONI I

VARIANTI A


Lënda: MATEMATIKË (GJIMNAZI GJUHËSOR)

ZGJIDHJE



14. 2 pikë

6 8 ( 2) 10 (2 1) 28

6

27 3 48

3 21

7

x xm

x

x

x

Pyetja 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Alternativa e sakte

A C B C D A A B C B A B D



15. 2 pikë

( ) 20

4,8,12,16,20,5,10,15

( ) 8

( ) 8 2( )

( ) 20 5

n H

A

n A

n AP A

n H

16. a) 1 pikë

Piramidë e rregullt 3-këndore ABC barabrinjës.

2

12

pl(ABC) O qendra e

2

3 12 472

2

a

a

b cm

SO ABC

P apotemëS

S cm

b) 3 pikë

2 22

1

3

3 12 3 144 336 3

4 4 4

b

b

V S h

bS cm

pl(ABC), SE e pjerrët OE=proj i SE

Meqë SE (apotemë) nga T e 3 : OE BC

1 b 3 12 3OE= ku AE= 6 3 2 3

3 2 2

SO

BC

AE OE

Në kënddrejtë 2 2 2 2 2: SO 4 (2 3) 16 12 4SOE SE OE

Pra, 2 SO cm

3136 3 2 24 3

3V cm

17. a) 2 pikë Ekuacioni i thjeshtuar i hiperbolës:

2 2

2

2

2 2 2

15 4

5 5

4 2

5 4 9 3

x y

a a

b b

c a b c



b) 2 pikë

2 2 2 2

2 2 2

gj

2

( ) : 2

Nga kushti i tangjencës: a k -b =t

5(-2) -4 = t t =16 t= 4

(t ) : y = -2x 4

tgj d

gj

k k

t y x t

18. 3 pikë

Për të studiuar përkulshmërinë e grafikut të funksionit studiojmë shenjën e derivatit të dytë: 3 2 2

2

' ( 3 7) ' 3 6 1

'' (3 6 1) ' 6 6

'' 0 6 6 0 1

y x x x x x

y x x x

y x x

Në intervalin ;1 grafiku i funksionit është i mysët

Në intervalin 1; grafiku i funksionit është i lugët

3 2(1) 1 3 1 1 7 6

Pika (1;6) është pikë infleksioni.

f

P

19. 3 pikë

x>0 x>0

Bashkësia e vlerave të lejuara të x-it është: E= 0;66-x>0 x<6

Për cdo x E: log x = log (6 - x) x=6-x 2x=6 x=3, por 3 E

Bashkësia e zgjidhjeve A= 3

20. 3 pikë

x 0 x 0

Bashkësia e përcaktimit : E= 0;33-x>0 x<3



21.

2 pikë

2

0

0 0

P = 8 cm b = 2cm

S = b h

S = 2 3 2 3 cm

DHNë kënddrejtë AHD sin =

AD

3sin 60

2

pra m( DAB) = 60 dhe m( ABC) = 120

22. 3 pikë Për x>1, ( ) 5f x Mx është i vazhdueshëm si funksion i zakonshëm.

Për x<1, 2( ) 1f x x është i vazhdueshëm si funksion i zakonshëm.

Që funksioni të jetë i vazhdueshëm në x=1, duhet të plotësojë njëherazi 3 kushte:

1) Të 2 (1): (1) 1 1 2f f

2)

2

1 1 1

1

lim ( ) pra lim 1 2 ; lim(5 ) 5

duhet 2=5+M M = -3 Atëhere lim ( ) 2

x x x

x

Të f x x Mx M

f x

3) 1 1(1) lim ( ). Për M = -3 kemi : f(1)=2= lim ( )

x xf f x f x

Përgjigje: Për M = -3 funksioni është i vazhdueshëm në R. 23. a) 3 pikë


2' (1 2 ) ' 2 2

' 0 2 2 0 1

y x x x x

y x x

Në intervalin ;1 funksioni është rritës

Në intervalin 1; funksioni është zbritës



b) 2 pikë

2

gj

Ekuacioni i tangjentes ka trajtën: y- (2) = '(2) ( 2)

(2) 1 2 2 2 1

'(2) 2 2 2 2

( ) : y -1 = -2(x-2)

y -1 = -2x+4

(t ): y = -2x+5

gj

f f x

f

f

t

24. 3 pikë

Skicojmë grafikët e funksioneve mbi të njëjtin sistem koordinativ:

2y = x 2 parabolë me kulm K(0;2)

y = 6 drejtëz paralele me (OX)

Kufijtë e integrimit: 2y = x +2 dhe y=6 2 2 2 6 4 2x x x 22 2 3

2 2

2 2 2

8 8 326 ( 2) (4 ) (4 ) (8 ) ( 8 )

3 3 3 3

xS x dx x dx x

njësi katrore.

25. 3 2 3 ( 1) 3 ( 1) 3

:2 2 1 2 2 2 2 ( 1) 2 4

x x x x x x

x x x x x x

. 3 pikë





SESIONI I

VARIANTI A


Lënda: MATEMATIKË (PROFESIONALE)

ZGJIDHJE



14. 3 pikë

2

2

1

6 0

6 0

0 ose 6

0;6

x x

x x

x x

A

2

-x+1<0

x>1

A 1;

Bashkësia e zgjidhjeve të sistemit është bashkësia:

1 2 1;6A A .

Pyetja 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Alternativa e sakte

A D C C B C D A A B D B C



15. a) 3 pikë


3 2

2

2

2

'( ) ( 3 ) ' 3 3

'( ) 0 3 3 0

3( 1) 0

1 0 1

f x x x x

f x x

x

x x

Në intervalin ; 1 funksioni është rritës.

Në intervalin 1;1 funksioni është zbritës.

Në intervalin 1; funksioni është rritës.

b) 2 pikë


2''( ) (3 3) ' 6

''( ) 0 6 0

0

f x x x

f x x

x

Në intervalin ;0 grafiku i funksionit është i mysët.

Në intervalin 0; grafiku i funksionit është i lugët.

16. a) 3 pikë

Ekuacioni i rrethit ka trajtën: 2 2 2( ) ( )x a y b r ku qëndra ( ; )Q a b dhe rreze r.

Meqenëse AB diametër Q mesi i AB.

2 2

2 2

1 32

2 2

3 54

2 2

: (2;4)

( ) ( )

(2 1) (4 3) 2

A BQ

A BQ

Q A Q A

x xa x

y yb y

Rrjedhimisht Q

r AQ x x y y

r r

Ekuacioni i rrethit është: 2 2 2 2 2( 2) ( 4) ( 2) ( 2) ( 4) 2x y x y

b) 1 pikë

2 2 ( 2) 2

2 njësi katrore

S r S

S



17. 3 pikë

2( )

2(1 3 ) 2 4 8

P a b

P x x x x

0 2

64 cm 8x = 64 x=8 cm

AB = 3 8 = 24 cm

AD = 1 8 = 8 cm

S = a b sin

24 8 sin 30 96

Por P

S cm

18. 3 pikë

Nga përkufizimi i progresionit aritmetik: (5 4) (2 3)

(3 4) (5 4)

(5 4) (2 3) (3 4) (5 4)

5 4 2 3 3 4 5 4

5 15

3 (5 3 4) (2 3 3) 11 9 2

2

d a a

d a a

a a a a

a a a a

a

a d

d

19. . 3 pikë

Së pari: Gjejmë ekuacionin e (AB).

( ) : A A

B A B A

x x y yAB

x x y y

2 1( ) : 4( 2) 1( 1) 4 8 1

1 2 3 1

(AB): 4 7 0

x yAB x y x y

x y

Që pikat A, B, C të ndodhen në një drejtëz duhet që:

( )

(4; m) 4 4+m-7=0 16+m-7=0 9+m=0

m = -9

C AB

C

20. 3 pikë

(1) 0

'(1) 0

f

f

21 1 0

'( ) 2

a b

f x x a

21 1 0

'(1) 2 1 0

a b

f a

1

2

b

a



21. 3 pikë

1 2 3 1010 1 2 3 10

...17 ... 170

10

x x x xm x x x x

1 2 77 1 2 7

8 9 10

1 2 710 10

...20 ... 140.

7

Shënojmë ; ; .

( ... ) 140 317

10 10

140 3 170

3 170 140

10

x x xm x x x

x x x me x

x x x x x x xm m

x

x

x

Përgjigje: 8 9 1010 ; 10 ; 10 x x x

22. 3 pikë ABCD –katror ku AB=2R

2 2

c

2 3 3

400 cm 20 cm

Pra, 2R = 20 cm R = 10 cm

V

2 2 10 2000

ABCD

b

S AB AB

S h

V R R cm

23. 18 72 32 9 2 36 2 16 2 2 pikë

3 2 6 2 -4 2

9 2 4 2

5 2

24. 2 2

1

1 1 1 1 1 0lim

3 3 3 3 1 3 3 0x

x

x

formë e pacaktuar 3 pikë

1 1

(1 )(1 ) 1 1 1 2lim lim

3(1 ) 3 3 3x x

x x x

x

25. 2 pikë

Hapësira e rezultateve të mundshme :

( ; ), ( ; )( ; )( ; )

( ) 4

H L L L S S L S S

n H

Ngjarja e favorshme :

( ; )

Pra, n(A)=1

A L S

( ) 1

( )( ) 4

n AP A

n H

robertkosova.files.wordpress.comakp 1 17 qershor 2016 agjencia kombËtare e provimeve provimi i...

Documents