Universidad Nacional: Pedro Ruiz GalloLOGICA BOOLEANA1. IntroduccinLas lgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole, constituyen un rea de las matemticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital. Son usadas ampliamente en el diseo de circuitos de distribucin y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras reas. En el nivel de lgica digital de una computadora, lo que comnmente se llama hardware, y que est formado por los componentes electrnicos de la mquina, se trabaja con diferencias de tensin, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel. stas funciones, en la etapa de disea del hardware, son interpretadas como funciones de boole.En el presente trabajo se intenta dar una definicin de lo que es un lgebra de boole; se tratan las funciones booleanas,haciendo una correlacin con las frmulas proposicionales. Asimismo, se plantean dos formas cannicas de las funciones booleanas, que son tiles para varios propsitos, tales como el de determinar si dos expresiones representan o no la misma funcin. Pero para otros propsitos son a menudo engorrosas, por tener ms operaciones que las necesarias. Particularmente, cuando estamos construyendo los circuitos electrnicos con que implementar funciones booleanas, el problema de determinar una expresin mnima para una funcin es a menudo crucial. No resultan de la misma eficiencia en dinero y tiempo, principalmente, dos funciones las cuales calculan lo mismo pero donde una tiene menos variables y lo hace en menor tiempo. Como solucin a este problema, se plantea un mtodo de simplificacin, que hace uso de unos diagramas especiales llamados mapas o diagramas de Karnaugh, y el cual tiene la limitacin de poder trabajar adecuadamente slo con pocas variables. Se realizan estas presentaciones con el fin de demostrar la afinidad existente entre el lgebra de boole y la lgica proposicional, y con el objeto de cimentar el procedimiento de simplificacin presentado en la lgica de proposiciones.2. Resea HistricaA mediados del siglo XIX, George Boole (1815-1864), en sus libros: "The Mathematical Analysis of Logic" (1847) y "An Investigation of te Laws of Thought" (1854), desarroll la idea de que las proposiciones lgicas podan ser tratadas mediante herramientas matemticas. Las proposiciones lgicas (asertos, frases o predicados de la lgica clsica) son aquellas que nicamente pueden tomar valores Verdadero/Falso, o preguntas cuyas nicas respuestas posibles sean S/No. Segn Boole, estas proposiciones pueden ser representadas mediante smbolos y la teora que permite trabajar con estos smbolos, sus entradas (variables) y sus salidas (respuestas) es la Lgica Simblica desarrollada por l. Dicha lgica simblica cuenta con operaciones lgicas que siguen el comportamiento de reglas algebraicas. Por ello, al conjunto de reglas de la Lgica Simblica se le denomina LGEBRA DE BOOLE.A mediados del siglo XX el lgebra Booleana result de una gran importancia prctica, importancia que se ha ido incrementando hasta nuestros das, en el manejo de informacin digital (por eso hablamos de Lgica Digital). Gracias a ella, Shannon (1930) pudo formular su teora de la codificacin y John Von Neumann pudo enunciar el modelo de arquitectura que define la estructura interna de los ordenadores desde la primera generacin.Todas las variables y constantes del lgebra booleana, admiten slo uno de dos valores en sus entradas y salidas: S/No, 0/1 o Verdadero/Falso. Estos valores bivalentes y opuestos pueden ser representados por nmeros binarios de un dgito (bits), por lo cual el lgebra booleana se puede entender cmo el lgebra del Sistema Binario. Al igual que en lgebra tradicional, tambin se trabaja con letras del alfabeto para denominar variables y formar ecuaciones para obtener el resultado de ciertas operaciones mediante una ecuacin o expresin booleana. Evidentemente los resultados de las correspondientes operaciones tambin sern binarios.Todas las operaciones (representadas por smbolos determinados) pueden ser materializadas mediante elementos fsicos de diferentes tipos (mecnicos, elctricos, neumticos o electrnicos) que admiten entradas binarias o lgicas y que devuelven una respuesta (salida) tambin binaria o lgica. Ejemplos de dichos estados son: Abierto/Cerrado (interruptor), Encendida/Apagada (bombilla), Cargado/Descargado (condensador), Nivel Lgico 0/Nivel lgico 1 (salida lgica de un circuito semiconductor), etctera.Los dispositivos con los cuales se implementan las funciones lgicas son llamados puertas (o compuertas) y, habitualmente, son dispositivos electrnicos basados en transistores. Estos dispositivos, y otros que veremos a lo largo de esta unidad, son los que permiten el diseo, y la ulterior implementacin, de los circuitos de cualquier ordenador moderno, as como de muchos de los elementos fsicos que permiten la existencia de las telecomunicaciones modernas, el control de mquinas, etctera. De hecho, pensando en los ordenadores como una jerarqua de niveles, la base o nivel inferior sera ocupada por la lgica digital (en el nivel ms alto del ordenador encontraramos los actuales lenguajes de programacin de alto nivel).En esta unidad se representan las puertas lgicas elementales, algunas puertas complejas y algunos ejemplos de circuitos digitales simples, as como algunas cuestiones de notacin. Por otra parte se plantean actividades de trabajo, muchas de las cuales implican una respuesta escrita en vuestro cuaderno de trabajo. El deseo del autor es que os resulte sencillo y ameno adentraros en el mundo de la lgica digital y despertaros la curiosidad, tanto por ella, como por la matemtica que subyace en ella.

ALGEBRA DE BOOLE Definicin 1: Sea un conjunto no vaco B y dos funciones denotadas con + y . , la terna (B, +, .) es un lgebra de Boole si y slo s 1) + y . Son leyes de composicin interna en B a, b B; a + b B a, b B; a . b B 2) + y . son asociativas a, b, c B; a + (b + c) = (a + b) + c a, b, c B; a. (b . c) = (a . b) . c 3) + y . son conmutativas a, b B; a + b = b + a a, b B; a . b = b . a 4) + y . son distributivas, cada una respecto de la otra a, b, c B; a + (b . c) = (a + b) . (a + c) a, b, c B; a . (b + c) = (a . b) + (a . c)5) Existen elementos neutros en B, respecto de + y de . que se denotan con 0 y 1 respectivamente 0 B: a B; a + 0 = 0 + a = a 1 B: a B; a . 1 = 1 . a = a 6) 1 0 7) Todo elemento a B admite un complementario a' B, tal que a B; a' B: a + a' = a' + a = 1 a B; a' B: a . a' = a' . a = 0 Notas: 1.- Es frecuente que, en vez de +, . y ' se empleen los smbolos , y o bien , y respectivamente. 2.- Se supondr, al igual que el lgebra ordinaria, la precedencia de las operaciones, esto es, la operacin producto es prioritaria sobre la operacin adicin. Esta prioridad podr ser alterada con el uso de parntesis. Por ejemplo: a +b .c = a + (b .c), pero a +b .c (a +b) .c Modelos de la Estructura Algebraica de lgebra de Boole 1.- Sea U un conjunto no vaco. El conjunto partes de U, denotado por P (U), con las operaciones de unin, interseccin y complementacin de conjuntos, es un modelo de la estructura algebraica de lgebra de Boole. Donde el conjunto es el elemento neutro para la unin, U es elemento neutro para la interseccin y Ac =U - A es el complemento de cualquier subconjunto A de U. 2.- El conjunto de los valores de verdad de las proposiciones lgicas V = {V, F}, con las conectivas lgicas disyuncin (), conjuncin () y negacin (~ ), definidas en las tablas:VF

VVF

FFF

VF

VVF

FFF

VF

VVV

FVF

constituye un modelo del lgebra de Boole, donde F es el elemento neutro para la disyuncin, V es el elemento neutro para la conjuncin y el valor de verdad de ~p (la negacin de la proposicin p) es el complementario del valor de verdad de la proposicin p.

3.- El conjunto B = { 0, 1} con las leyes definidas mediante las tablas

.

01

10

+01

001

111

.01

000

101

constituye un modelo de la estructura algebraica de lgebra de Boole, llamada lgebra de Boole Binaria, donde 0 es el elemento neutro para la suma, 1 es el elemento neutro para la multiplicacin, el complementario de 0 es 1 (0' = 1) y el complementario de 1 es 0 (1' = 0).Definicin 2: Dada una proposicin P, se llama proposicin dual de P a la proposicin que se obtiene de P al intercambiar entre s las operaciones de suma (+) y multiplicacin (.) y sus elementos neutros 0 y 1. Nota Es fcil advertir que los axiomas de la estructura de lgebra de Boole relativo a la operacin multiplicacin (.) son los duales de los axiomas correspondientes a la operacin suma (+). PROPIEDADES DEL LGEBRA DE BOOLE P1.- Principio de dualidad Si una proposicin P es derivable de los axiomas de lgebra de Boole, entonces la proposicin dual de P es tambin derivable de los axiomas de lgebra de Boole. Demostracin: En efecto, al demostrar una proposicin P empleando una sucesin de axiomas de lgebra de Boole, la proposicin dual de P se demuestra empleando la sucesin de los axiomas duales. P2.- Unicidad de los elementos neutros 0 y 1 i) Existe un nico elemento neutro para la suma. ii) Existe un nico elemento neutro para la multiplicacin.

P3.- Idempotencia Todos los elementos de un lgebra de Boole son idempotentes respecto a la suma y a la multiplicacin. Esto esi) a B a + a = a ii) a B a . a = a Demostracin: i) a = a + 0 = a + (a + a) = (a + a) + (a + a) = 1. (a + a) = a + a ii) La propiedad dual se demuestra empleando el principio de DualidadP4.- Identidad de los elementos 0 y 1 i) a B a + 1 = 1 ii) a B a . 0 = 0 Demostracin i) a + 1 = a + (a + a) = (a + a) + a = a + a = 1 ii) La propiedad dual se demuestra empleando el principio de DualidadP5.- Absorcini) a,b B a + (a . b) = a ii) a.b B a . (a + b) = a Demostracini) a + (a . b) = (a . 1) + ( a . b) = a . (1 + b) = a ii) La propiedad dual se demuestra empleando el principio de DualidadP6.- Unicidad del complementario Cada elemento a de B admite un nico complementario a' de BDemostracinSean a1 y a2 complementarios de a, se mostrara que son igualesa2 = a2 + 0 = a2 + (a . a1) = (a2 + a) . (a2 + a1) = 1 . (a2 + a1) = (a + a1) . (a2 + a1) = (a . a2) + a1 = 0 + a1 = a1P7.- Involucin El complementario del complementario de un elemento a B es a. Esto es, a B (a ' ) ' = a P8.- Leyes de Morgani) a,b B (a + b) = a . b ii) a.b B (a . b) = a + bDemostracini) (a + b) . (a . b) = a. (a . b) + b . (a . b) = (a . a) . b + (b . b) . a = 0ii) La propiedad dual se demuestra empleando el principio de DualidadP9.- Complementario de 0 y 1i) 0 = 1ii) 1 = 0P10.- Cancelativa en la Multiplicacin Si a,b y c son elementos de B, entonces se verifica que: [a . b = c . b a . b' = c . b' ] a = cDemostracin a = a.1 = a . ( b + b) = a.b + a.b = c.b + c.b = c . (b + b) = c . 1 = cP11.- Sin nombre especial i) a,b B a + a.b = a + b ii) a.b B a . (a + b) = a . bDemostracini) a + b = a + 0 + b = a + a . a + b = a + ( a . a + b) = a + a . b + a . b = (a + a . b) + a . b = a + a . bii) La propiedad dual se demuestra empleando el principio de Dualidad

Ejemplos del Algebra de BooleEn un principio algunos de los postulados anteriores pueden parecer extraos, especialmente aquellos que son diferentes al lgebra con nmero reales (como el 5a, el 6a y el 6b), y puede ser difcil encontrar situaciones de inters que cumplan al pie de la letra con cada uno de ellos, sin embargo, existen variosejemplos, de los cuales se presentan los siguientes tres clsicos, en los cuales se verifica que se trata de lgebras de Boole, es decir, que se cumple postulado por postulado.LGEBRA DE CONJUNTO1.- Para este ejemplo el conjunto B es el conjunto de todos los conjuntos a tratar. La suma es la unin de conjuntos (U) y la multiplicacin es la interseccin () de conjuntos.2.- Existencia de neutros. El neutro de la unin es el conjunto vaco F , mientras que el neutro de la interseccin es el conjunto universo U, ya que para cualquier conjunto arbitrario A, A U F = A y A U = A.3.- Conmutatividad. La unin y la interseccin son conmutativas, ya que para cualquier par de conjuntos A, B: A U B = B U A y A B = B A4.- Asociatividad. La unin y la interseccin de conjuntos son asociativas, ya que para cualesquiera tres conjuntos A, B, C: A U (B U C) = (A U B) U C y A (B C) = (A B) C5.- Distributividad. La unin de conjuntos es distributiva sobre la interseccin, y viceversa, la interseccin es distributiva sobre la unin, ya que para cualesquiera tres conjuntos A, B, C: A U (B C) = (A U B) (A U C) y A (B U C) = (A B) U (A C)6.- Existencia de complementos. El conjunto complemento Ac cumple con las propiedades deseadas: A U = U y A = F

Algunos de los enunciados anteriores pueden ser difciles de obtener, o recordar, especialmente la distributividad, por ello, es conveniente tener en cuenta una herramienta grfica en la cual estos enunciados se vuelven evidentes casi a simple vista:Diagramas de Venn:En la siguiente figura se muestran diagramas para los conjuntos A, B, AB y AB

Conjunto AConjunto B Conjunto Conjunto

A continuacin se muestra el Conjunto A y su complemento:

FUNCIONES BOOLEANAS Sea (B, +,.) Un lgebra de Boole. Definicin 1: Se denomina constante a un elemento particular de B, como por ejemplo el elemento neutro 0. Definicin 2: Una variable es un smbolo que representa a cualquier elemento del conjunto B. Las variables se designan con las ltimas letras del alfabeto castellano. Definicin 3: Una funcin booleana es toda expresin de un lgebra de Boole, que consiste en combinaciones de sumas y/o productos de un nmero finito de variables. Por ejemplof (x) = x + x'g (x, y, z) = x + y . z'En un lgebra de Boole las funciones booleanas se pueden expresar en general como suma de productos distintos o como producto de sumas distintas, aplicando axiomas y propiedades. Por ejemplo,a) f(x, y, z) = [(x +y') . (x . y' . z) ' ] ' = (x + y') ' + [ (x .y' . z)' ] ' = (x' . y) + (x . y' . z)b) f (x, y, z) = { [(x' . y')' + z] . (x + z) }' por leyes de De Morgan = [(x' . y')' + z]' + (x + z)' por leyes de De Morgan y Prop. involutiva = (x' . y'. z') + (x' . z') por Prop. de Absorcin = x' . z'

FORMA CANNICA Definicin 4 La forma cannica de una funcin booleana es la formada por una suma de trminos, y cada uno de ellos est compuesto por un producto de todas las variables, complementadas o no, de la funcin. Por ejemplo la funcin f siguiente se transforma a la forma cannica aplicando axiomas y propiedades de lgebra de Boole.f (x, y, z) = (x' . y) + (x . y' . z) = (x' . y . 1) + (x . y' . z) = (x' . y . (z + z')) + (x . y' . z) = (x' . y . z) + (x' . y . z') + (x . y' . z) Notas: 1. La forma cannica de una funcin booleana en n variables contiene a lo sumo 2n trminos distintos. 2. La forma cannica de una funcin booleana que contiene los 2n trminos distintos se llama forma cannica completa. 3. La forma cannica completa de una funcin booleana en n variables es igual a 1.

Definicin 5: El complemento f ' de una funcin booleana f expresada en forma cannica es la suma de todos los trminos de la forma cannica completa de f que no aparecen en la forma cannica de f. Por ejemplo, el complemento de la funcin booleana de la funcin del ejemplo precedente es f ' (x, y, z) = (x . y . z) + (x' . y'. z') + (x'. y'. z) + (x . y' . z') + (x . y . z')Proposicin 1 Si en la forma cannica completa de una funcin booleana en n variables, cada variable toma el valor 0 o el valor 1, entonces slo un trmino tiene el valor 1 y todos los dems tienen el valor 0.

Proposicin 2 Dos funciones booleanas son iguales si y slo si sus formas cannicas respectivas son idnticas, es decir, sus formas cannicas tienen los mismos trminos.FORMA CANNICA DUAL Definicin 6: La forma cannica dual de una funcin booleana es la formada por un producto de factores, y cada uno de ellos est compuesto por una suma de todas las variables, complementadas o no, de la funcin. Por ejemplo la funcin booleana f siguiente se lleva a la forma cannica dual empleando axiomas y propiedades de lgebra de Boole. f (x, y, z) = (x + y) . ( y + z) . (x' + z) . (x' + y') = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (x + y + z) . (x + y + z'). (x' + y + z) . (x' + y' + z) . (x' + y' + z')Notas: 1. La forma cannica dual de una funcin booleana en n variables contiene a lo sumo 2n trminos distintos. 2. La forma cannica dual de una funcin booleana en n variables que contiene los 2n trminos se llama forma cannica dual completa. 3. La forma cannica dual completa de una funcin booleana en n variables es idnticamente 0. 4. La forma cannica dual de una funcin booleana en n variables, no es la dual de la forma cannica.Definicin 7: El complemento f ' de una funcin booleana f expresada en forma cannica dual es el producto de todos los factores de la forma cannica dual completa que no aparecen en la forma cannica dual de f . Por ejemplo, el complemento de la funcin booleana de la funcin del ejemplo precedente es f ' (x, y, z) = (x + y' + z) . (x' + y+ z') . (x+ y'+ z')

Proposicin 1' Si en la forma cannica dual completa en n variables cada variable toma el valor 0 o el valor 1, slo un factor tiene el valor 0 y todos los dems tienen el valor 1. Proposicin 2' Dos funciones booleanas son iguales si y slo s sus formas cannicas duales respectivas son idnticas, es decir tienen los mismos trminos. TABLA DE VALORES DE UNA FUNCIN BOOLEANA DEL LGEBRA DE BOOLE BINARIA Si f es una funcin booleana en n variables del lgebra de Boole Binaria, es posible construir una tabla de valores de la funcin f para todas las posibles maneras de asignar los valores 0 y 1 a las variables. Teniendo en cuenta la Proposicin 1, los trminos que aparecen en la forma cannica de la funcin son los de la forma cannica completa en n variables que tienen valor 1 cuando f es igual a 1. Por ejemplo si la tabla de una funcin booleana en tres variables viene dada por: XYZF (x,y,z)

1111

1100

1011

1001

0110

0100

0011

0001

f (x, y, z) = (x . y . z) + (x . y' . z) + (x . y' . z') + (x' . y' . z) + (x' . y' . z') Anlogamente, los trminos de la forma cannica dual de f son los de la forma cannica dual completa que tienen el valor 0 cuando f es 0. En el ejemplo es : f (x, y, z) = (x '+ y' + z) . (x + y '+ z') . (x + y' + z)

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