I ] Donner lquation logique des logigrammes suivant :

Section: OMI

Module: Math

1 INTRODUCTION A LA LOGIQUE BINAIRE.

Un systme informatis ne peut comprendre que la prsence ou labsence dune tension lectrique, dou la notion de binaire. Il existe donc des rgles mathmatiques en binaire qui sont rgies par lalgbre de BOOLE.

1.1. Variable binaire (logique)Une variable binaire est appel a, b, c et peut donc possder 2 tats distincts: 0 ou1.

Exemple 1: Une ampoule de lampe lectrique est une variable binaire. On donne lampoule la variable L:

Donc: - si lampoule est teinte L=0.

- si lampoule est allume L=1.

2 LES FONCTIONS LOGIQUES2.1 Fonction OUI.

a) Dfinition: La lampe est en srie avec le contact, elle sallume quand le contact a est actionn.

b) Schma lectrique:

c) Equation:

d) Table de vrit:e) Symbole logique.

2.2 Fonction NON (Inverseur).

a) Dfinition: : La lampe est en srie avec le contact, elle steint quand le contact a est actionn.

b) Schma lectrique:

c) Equation:

d) Table de vrit:e) Symbole logique.

2.3 Fonction ET (AND)

a) Dfinition: La lampe sallume si et seulement si on appuie sur a et b.

b) Schma lectrique:

c) Equation:

d) Table de vrit: e) Symbole logique:

f) Cas de trois variables:

Equation

Table de vrit

Symbole logique

2.4 Fonction OU (OR)

a) Dfinition: La lampe sallume si on appuie sur a ou sur b, plus forte raison sur les deux

b) Schma lectrique:

c) Equation:

d) Table de vrit: e) Symbole logique:

f) Cas de trois variables:

Equation

Table de vrit

Symbole logique

2.5 Fonction NON-ET (NAND)

a) Dfinition: Cest une fonction ET dont la sortie est inverse.

b) Equation:

c) Table de vrit:e) Symbole logique:

2.6 Fonction NON-OU (NOR)

a) Dfinition: Cest une fonction OU dont la sortie est inverse.

b) Equation:

c) Table de vrit:e) Symbole logique:

2.7 Fonction OU Eclusif.

a) Dfinition: Cest une fonction OU qui exclue le cas ou a et b sont 1.

b) Equation:

d) Table de vrit

e) Symbole logique

3 RELATION EN ALGEBRE DE BOOLE.

3.1 Commutativit

3.2 Associativit.

3.3 Distributivit

3.4 Relations particulires.

4 THEOREMES DE DE MORGAN

4.1 Premier thorme:

4.2 Deuxime thorme:

Exemple:

Exemple:

5 LES SYMBOLES EUROPEENS ET USA.

EURO (ANSI/IEEE)USA

NON (Inverseur)

NOT

ET

AND

OU

OR

OU Exclusif

Exclusive OR

NON-ET

NAND

NON-OU

NOR

6 La fonction logique.

6.1 Dfinition:

Une fonction logique est une application dans lensemble binaire.

Exemple:

6.2 Table de vrit dune fonction logique.

3 colonnes

3 Variables

23 Lignes

6.3 Expression algbrique dune fonctionlogique.

Exemple:

Une fonction logique est parfaitement dtermine par la liste ordonne de ses variables et par:

- Sa table de vrit.

OU

- Son expression logique.

Exercice 1: Donner la table de vrit des fonctions suivantes:

Remarque:

Exercice 2: Donner lexperession logique de f3.

Exercice 3: Donner la table de vrit de f4:

abca.b

f4

000011

001000

010011

011000

100000

101000

110101

111101

Exercice 4: Donner la table de vrit de f5:

abcf5

0000

0011

0100

0111

1000

1010

1101

1110

Exercice 5: Donner lexpression algbrique de f6.

abcdf6abccf6

0000110000

0001110010

0010010100

0011110111

0100011000

0101111011

0110111101

0111111110

6.4 Logigramme dune fonction logique.

Le logigramme est une reprsentation graphique dun fonction logique laide des symboles logiques des fonctions de base.

Exemple: Donner le logigramme de f:

Exercice 6: Le rsultat dune tude donne le logigramme suivant. Retrouver lexpression algbrique de f et simplifier la si possible.

7 Simplification algbrique dune fonction logique.

On ralise les simplifications en utilisant les proprits de la partie 3.

Il existe dautre type de simplification.

7.1 Simplification par absorption.

Exemple:

On distribue le a:

Directement:

Nous avons une simplification en distribuant un therme, on appele cette simplification une simplification par absorption.

On peut faire cette simplification si :- Les 2 thermes nont pas le mme nombre de variables.

- Et sil y a une variable dans une therme et sont inverse dans lautre.

7.2 Simplification par mise en facteur commun.

Exemple: on met en facteur.

On peut faire cette simplification si :- On a une variable dans un therme et son inverse dans lautre.

- Et si le reste des variables est identique.

7.3 Autre simplification

On peut faire cette simplification car la condition a.b est plus restrictive que la condition a.

Exercice 1: Simplifier les quations suivantes.

Exercice 2: Simplifier lquation suivante:Exercice 3: Simplifier lquation suivante:

Exercice 4: Simplifier lquation suivante:

Exercice 5: Simplifier lquation suivante:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Exercice 6: Simplifier lquation suivante:

8 Simplification par les tableaux de Karnaugh.

Le diagramme de karnaugh est un outil graphique qui permet de simplifier une quation logique ou le processus de passage dune table de vrit un circuit correspondant.

Exemple :

ou

4 Variables

2 Variables

Mthode:

- On runit les 1er adjacents par groupe de 2, 4, 8 ect

Lquation du circuit est donne par la somme des produit des variables qui ne change pas dtat dans chaque regroupement.

Donc

EMBED Equation.3

Remarque: Une sortie /S est obtenue par lez regroupement des zros.

Exercice 1:

Exercice 2: Comparateur binaire 2 bits.

S1 = 1 si a>b

S2 = 1 si a 4 Nand2 -1 OU (7432)Donc 2 botiersDonc 3 botiersLe schma avec des NAND permet de gagner 1 botier. gain conomique. gain de plave. gain de puissance.Exercice: Transformer les quations ci-dessous pour navoir que des NAND2. Donner ensuite le logigramme de ces fonctions. EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer abcf300000010010101101001101011001110 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 +1 EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer Code GRAY0 0 00 0 10 1 10 1 01 1 01 1 11 0 11 0 0Exemple de code GRAY.Une seule variable change chaque fois. EMBED Designer EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Equation.3 On Casse la barreOn change le signeabS001011101110 EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer EMBED Designer PAGE 6M HISETTE_998484350.unknown_999012996.unknown_999084213.unknown_999084435.unknown_999085851.unknown_999325290.unknown_999325756.unknown_999085662.unknown_999085748.unknown_999084983.unknown_999084563.unknown_999084316.unknown_999084362.unknown_999084264.unknown_999083841.unknown_999083889.unknown_999083923.unknown_999083867.unknown_999013641.unknown_999083780.unknown_999083812.unknown_999013722.unknown_999013807.unknown_999013702.unknown_999013124.unknown_999013033.unknown_998487111.unknown_998719979.unknown_998721456.unknown_998722509.unknown_998720409.unknown_998720588.unknown_998720207.unknown_998720241.unknown_998720205.unknown_998718664.unknown_998719031.unknown_998487157.unknown_998485660.unknown_998486654.unknown_998486992.unknown_998486222.unknown_998485406.unknown_998485569.unknown_998484749.unknown_998403734.unknown_998482696.unknown_998484017.unknown_998484140.unknown_998483861.unknown_998482106.unknown_998482355.unknown_998481999.unknown_998404299.unknown_998404293.unknown_998397991.unknown_998402732.unknown_998403564.unknown_998403662.unknown_998403435.unknown_998403486.unknown_998402508.unknown_998402652.unknown_998398528.unknown_998396114.unknown_998397935.unknown_998396639.unknown_998396615.unknown_998396100.unknown_998394593.unknown_998393678.unknown