1

ALGEBRA IR SKAII TEORIJA

VILNIAUS PEDAGOGINIS UNIVERSITETAS

Rimantas Skrabutnas

ALGEBRA IR SKAII TEORIJA

(Paskait konspektas I)

I . Logikos ir aibi teorijos elementai.

Algebrins struktros ir skaii sistemos

II . Tiesins algebros pagrindai

Vilnius, 2004

2

ALGEBRA IR SKAII TEORIJA

Vilniaus pedagoginis universitetas, 2004 Rimantas Skrabutnas, 2004

Leidinys apsvarstytas ir rekomenduotas spaudai VPU Matematikos ir informatikos

fakulteto algebros ir statistikos katedros posdyje 2003 gegus 23 d., protokolo Nr. 5.

Katedros nutarimas patvirtintas VPU Matematikos ir informatikos fakulteto tarybos

posdyje 2003 birelio 21., protokolo Nr. 29.

Recenzavo: doc. dr. Liucija Griniuvien,

doc. dr. Gintautas Bareikis

3

ALGEBRA IR SKAII TEORIJA

O D I S S K A I T Y T O J U I O D I S S K A I T Y T O J U I O D I S S K A I T Y T O J U I O D I S S K A I T Y T O J U I O D I S S K A I T Y T O J U I

Algebros ir skaii teorijos kursas bsimiesiems matematikos ir informatikos moky-

tojams skaitomas jau kelis deimtmeius. i diciplina yra vienas i bazini auktosios

matematikos dalyk, suteikiani Matematikos ir informatikos fakulteto studentams

profesinio isilavinimo pagrindus. Metams bgant, kurso programa keitsi: tai siaurjo,

tai vl pltsi, taiau j dst katedros dstytojai visada stengdavosi irykinti itin tam-

pr algebros bei skaii teorijos dalyko ry su mokykliniu matematikos kursu.

io leidinio autorius algebros ir skaii teorijos paskaitas studentams - matemati-

kams skaito bema tris deimtis met. Atsivelgdamas ms Universiteto tikslus ir ia

stojanij realias galimybes, stengiausi nesusiavti dabar madingu moderniuoju ds-

tymo stiliumi, kai auktas abstrakcijos laipsnis, savok ir termin gausa jaunam mo-

gui (danai, ms poiriu, turiniam nepakankam pasiruoim studijoms auktojoje

mokykloje) ugoia dalyko esm, jau nekalbant apie mintas ssajas su mokykline

matematika.

Pateikiamas paskait konspektas negali pakeisti vadovli ir udavinyn, skirt i-

samioms algebros ir skaii teorijos studijoms. is konspektas laikytinas pagalbine,

studij darb sisteminania priemone. Taiau tikiuosi, kad leidinys bus naudingas ne

tik studentams, bet ir matematikos - informatikos mokytojams. Konspektai, pagal at-

skiruose semestruose dstom tematik, slyginai padalyti keturias dalis, kuri kiek-

viena sudaryta i atskir, atitinkamai sunumeruot paskait. Jose, savo ruotu, iskirti

potemiai.

Pagal atnaujint studij program, algebr numatoma dstyti II ir IV semestruose,

skaii teorij III semestre, pirmajame semestre pateikiant angin diskreiosios

matematikos (matematins logikos elementai, aibi teorijos ir kombinatorikos pagrin-

dai) modul.

Be to, pirmuosiuose semestruose dar supaindiname su svarbiausiomis algebrin-

mis struktromis bei j bendrosiomis savybmis. Tuo pagrindu vliau aksiomatikai

aptariamos skaii sistemos, ypating dmes skiriant realij skaii lauko pltiniui,

kompleksiniams skaiiams.

Antrame semestre studijuojami tiesins algebros pagrindai (tiesini lygi sistemos,

matricos ir determinantai, vektorins erdvs ir tiesiniai operatoriai), supaindinama su

paprasiausiais optimizavimo udaviniais.

Treiame semestre studijuojame skaii teorij.

4

ALGEBRA IR SKAII TEORIJA

Ketvirtas semestras skiriamas polinom teorijai. rodoma pagrindin algebros te-

orema, vl grtant prie pirmame semestre pradtos algebrini lygi tematikos.

Vis, per keturis semestrus dstom mediag, apjungiame bendru pavadinimu al-

gebra ir skaii teorija.

Nuoirdiai dkoju recenzentams docentams Liucijai Griniuvienei ir Gintautui Ba-

reikiui, kuri geranorikos kritins pastabos man buvo labai naudingos.

Autorius

5

ALGEBRA IR SKAII TEORIJA

Paskaita 1 01

Pirmoji uduotis: pakartoti mokyklins matematikos kurs. Nemanykite, kadmokyklins matematikos inios toliau bus nereikalingos. Kaip tik atvirkiai: tie, kas darmokykloje gerai sisavino matematikos pagrindus, ymiai tviriau jausis ir studijuodamimatematik - informatik Universitete. Maa to, bsimasis mokytojas turi neblogai imanyti irdaugel kit dalyk, o ypa savo gimtj kalb.

Jei gerai ilaikte valstybin matematikos egzamin, tai labai tiktina, jog matematikosstudijoms pasiruota normaliai. Bet pakartoti mokyklines matematikos inias patariau visiems.

Santrumpos. Taupant laik ir viet, konspekte danai naudojamos santrumpos. Norstekste dauguma i j paaikinamos, bet svarbiausias ivardijame jau dabar:

Ap apibrimas;r rodymas;LF login formul (forma);KNF konjunkcin normalioji forma;DNF disjunkcin normalioji forma;PF predikatin formul (forma);BS binaris sryis;ES ekvivalentumo binaris sryis;FS funkcinis binaris sryis (funkcija);AO algebrin operacija;AS algebrin struktra;KAD komutatyvumas, asociatyvumas ir distributyvumas;MIP matematins indukcijos principai;AA Archimedo aksioma;MSP maiausiojo skaiiaus principas;DSP didiausiojo skaiiaus principas;DP Dedekindo pjvis;KS kompleksinis skaiius;TF kompleksinio skaiiaus trigonometrin forma;P primityvioji (vieneto) aknis;TLS tiesini lygi sistema;THLS tiesini homogenini lygi sistema;EP elementarieji pertvarkiai;TN tiesikai nepriklausomas (vektori rinkinys);TP tiesikai priklausomas (vektori rinkinys);VE vektorin erdv;EE Euklido erdv;TO tiesinis operatorius.

1 01

6

ALGEBRA IR SKAII TEORIJA

Matematins kalbos pagrindaiMatematins kalbos pagrindaiMatematins kalbos pagrindaiMatematins kalbos pagrindaiMatematins kalbos pagrindai

Matematins logikos elementai. Paprasti ir sudtiniai teiginiaiMatematikoje plaiai naudojama tam tikra ymen sistema bei formaliosios logikos

samprotavimo taisykls. Tai sutrumpina uraus, sistemina matematini fakt (teorem)

rodymus. Matematikoje samprotaujama teiginiais.

Ap. Teiginiu vadinamas teigiamojo pobdio sakinys, kuris ireikia ties arba

neties.

Teiginius ymsime raidmis p, q, r,. Kartais naudosime ir indeksus.

Jei teiginys p yra teisingas, sutrumpintai raysime ( ) 1=p , jei klaidingas, - ( ) 0=p .(Danai raoma dar trumpiau: 1=p ir, atitinkamai, 0=p ).

Yra paprasti ir sudtiniai teiginiai. Paprastais (elementariaisiais) vadinami teiginiai, kuri

negalima suskaidyti sudtines dalis, kurios vl bt teiginiai. Pavyzdiui, teiginys lauke dabar

sninga yra paprastas (vasar, klaidingas) teiginys. Tuo tarpu teiginys Lietuva yra

nepriklausoma valstyb ir Paryius yra jos sostin yra jau sudtinis, nes j sudaro paprasti

teiginiai Lietuva yra nepriklausoma valstyb ir Paryius yra jos sostin sujungti odeliu

ir. Toki sudtini teigini teisingum tiria matematin logika. Gi paprast teigini teisingumo

reikm nustatome remdamiesi mokslo iniomis, savo patirtimi ar stebjimo bdu. Pastarajame

pavyzdyje pirmasis i sudtin teigin sudarani teigini yra teisingas, antrasis, klaidingas, o

viso sudtinio teiginio teisingumo reikm kol kas neaiki.

Matematinje logikoje atsiribojama nuo teigini turinio ir domimasi tik j teisingumu. Tad

sudtinis teiginys gali skambti ir neprastai. Pavyzdiui, dukart du yra penki arba Paryius

nra Lietuvos sostin.

Logins jungtys ir operacijosSudtiniai teiginiai gaunami i paprastj, panaudojant logines jungtis. Yra penkios logins

jungtys ireikiamos odiais: arba, ir, jei, tai, tada ir tik tada, netiesa, kad . Jas

atitinka penkios pagrindins logins operacijos: disjunkcija, konjunkcija, implikacija,

ekvivalencija, neiginys. Tam, kad samprotavimuose galtume nustatyti sudtini teigini

teisingumo reikmes, rodyti vairius neakivaizdius faktus, naudojame logini operacij

apibrimus, logikos dsnius ir ivedimo taisykles.

Ap. Jei p , q - bet kokie teiginiai, tai j disjunkcija yra vadinamas naujas teiginys

p arba q, kuris laikomas klaidingu tik kai abu disjunkcijos nariai p, q yra klaidingi.ymima p q. Panaiai apibriamos ir kitos keturios logins operacijos. J apibrimus

suformuluokite patys. Naudojami logini operacij ymjimai ir (atitinkamu apibrimu

nustatomos) j teisingumo reikms, pateikiamos ioje lentelje:

1 01

7

ALGEBRA IR SKAII TEORIJA

Dabar jau aiku, kad ms sudarytas sudtinis teiginys Lietuva yra nepriklausoma

valstyb ir Paryius yra jos sostin, pagal teigini konjunkcijos apibrim, yra klaidingas,

o teiginys dukart du yra penki arba Paryius nra Lietuvos sostin, pagal teigini

disjunkcijos apibrim, yra teisingas, nors abiem atvejais tik vienas i sudtin teigin sudarani

paprast teigini yra teisingas.

Logins formuls. I lentelje ivardint pagrindini formuli, panaudojant, kaip irpaprastoje algebroje, skliaustus, galima sudaryti kitas, sudtines logines formules (sutrumpintai:

LF), kuri teisingumas nustatomas remiantis pateiktais lentelje apibrimais. LF sudarymas

grindiamas tam tikrais reikalavimais, kuri visuma gali bti laikoma formaliu LF apibrimu.

Ap. Baigtin simboli seka i aibs ) ({ },,,,,,,...,,, rqp sudaryta laikantisreikalavim:

a) p, q, r, laikomi LF (paprasiausiomis);

b) kai P ir Q yra LF, tai ( ) ( ) PQPQPQPQP ,,(),(), irgi yra LF;c) kitoki LF nra,

vadinama LF.

Be to, susitarsime nerayti iorini skliaust.

Pavyzdiui, iraika ))(( rwpq yra LF, o seka ))(( rwpq nra LF,nes, pagal apibrim, enklai ir negali stovti greta .

Teiginius yminios raids p, q, r, vadinamos propozicinmis raidmis. Kai formulje

yra k toki raidi, tai, sudarant jos teisingumo lentel, i viso reikia inagrinti k2 atvej.

Pavyzdiui, kadangi formulje ))(( rwpq yra keturios propozicins raids