teorija eksperimenta

1

1.0 UVODNA RAZMATRANJA

1.1 EKSPERIMENT KAO OBJEKAT NAU ČNOG ISTRAŽIVANJA Matematička teorija eksperimenta predstavlja jednu od novijih naučnih disciplina čiji je objekat naučnog istraživanja–eksperiment. Reč eksperiment potiče od latinske reči eksperimentum koja znači opit ili ogled. U proučavanjima zakonitosti pojava i procesa u prirodi i tehničkim sistemima eksperiment se već više vekova koristi kao jedan od osnovnih, poznatih metoda. Još je Galilej smatrao da i teorijsko postavljanje zakonitosti u fizici počiva na eksperimentu koji nije “materijalno” izveden, već se sprovodi u mislima sa ciljem da se pruži odgovor na pitanje i razotkrije priroda. Prvi moderni filozof nauke Fransis Bekon (1561-1626) je u svome delu “Unapreñenje nauke” ukazao da činjenice mogu da se prikupljaju prema nekom unapred utvrñenom planu i da onda prolaze kroz jedan logičan proces, iz kojeg bi trebalo da proizañe ispravan zaključak. Mnogi naučnici su u prošlosti izvodili sami svoje eksperimente (Njutn, Devi, Maksvel, Tesla i drugi.). U raznim naučnim oblastima eksperimenti mogu imati razne uloge i značaj. U fundamentalnim naukama, recimo u fizici, eksperiment može predstavljati kontrolu teorijski postavljene hipoteze potvrñujući je ili odbacujući. Kelvin je recimo teoriju poredio sa mlinom, a eksperiment sa zrncima žita. Za dobru pogaču je potrebno obadvoje, ali će osobine pogače zavisiti od zrna. Još veći značaj eksperiment ima u primenjenim naukama, jer ako neka postavka nauke treba da bude primenjena na stvarnost, neophodan je eksperimentalni dokaz, a često i neka dodatna informacija koja se može dobiti jedino eksperimentom. U primenjenim naukama eksperiment je ponekad jedini izvor saznanja, pošto se njime često dolazi do nedovoljno poznatih ili suviše složenih pojava. To je jedan od razloga što se eksperimentu pridaje značajno mesto u nauci. Neke procene ukazuju da se čak 80÷90 % istraživača u oblasti tehnoloških sistema bavi eksperimentalnim istraživanjima.

Do dvadesetih godina ovog veka metodologija procesa eksperimentalnog istraživanja oslanjala se pretežno na intuiciju, iskustvo i vlastito znanje istraživača. Pojava složenih objekata istraživanja, brzi razvoj eksperimentalne tehnike, ekonomski i tehnički zahtevi za smanjenje broja i trajanja nekada veoma skupih eksperimenata i potreba za pouzdanijim rezultatima ispitivanja, uslovili su nastanak matematičke teorije eksperimenta. Novije etape razvoja matematičke teorije eksperimenta počinju 1951. godine i odnose se na područje planiranja eksperimenata, jedne od najznačajnijih celina ove teorije. Te godine je Box prvi primenio statistički višefaktorni metod planiranja eksperimenta pri proučavanju optimizacije procesa hemijske tehnologije, a značajan doprinos su dali i Wilson i Nalimov. U oblasti proizvodnog mašinstva metoda planiranja eksperimenta prvi put se primenila 1964. godine prilikom ispitivanja postojanosti alata.

2

1.2. KLASIČNI I SAVREMENI PLANOVI EKSPERIMENTA

ZASNOVANI NA STATISTI ČKOJ MATEMATICI

Neka pojava, proces ili stanje tehničkog sistema mogu se proučiti primenom analitičkog ili eksperimentalnog metoda, tj. korišćenjem odreñenih procedura razvijenih u okviru ovih dveju metoda saznanja. Najčešće se, meñutim, u spoznaji objekata istraživanja koriste procedure i jedne i druge metode i to tako što se primena ovih procedura odvija uzastopno, jedna za drugom sve dotle dok se ne postigne cilj istraživanja. Polaznu osnovu eksperimentalne metode-metode eksperimentalnih istraživanja, predstavlja metod planiranja eksperimenta, odnosno izbor tipa i njegove strukture. Istorijski gledano u okviru metode eksperimentalnih istraživanja postoje dva bitna, meñusobno različita koncepta planiranja eksperimenta. To su klasična i savremena teorija planiranja i izvoñenja eksperimenata i analize eksperimentalnih rezultata. Klasična teorija eksperimentalnih ispitivanja se temelji na eksperimentalnim planovima jednofaktorne analize. Koncept ove teorije pri ispitivanju neke pojave svodi se na merenje samo jednog faktora, dok se vrednosti ostalih faktora zadržavaju na odreñenim konstantnom nivou. Ova eksperimentalna procedura se ponavlja na svim obuhvaćenim faktorima. Bitna mana ovakvog načina izvoñenja eksperimenata je veliki broj skupih i dugotrajnih eksperimenata i nemoć da se utvrdi stepen interakcije datih faktora. Ako se eksperimenti ne ponavljaju, za -k obuhvaćenih faktora i -n nivoa variranja svakog faktora, ukupan broj eksperimenata će biti:

( ) 11nkN +−⋅= (1.1) U osnovi savremene teorije eksperimentalnih ispitivanja sadržani su planovi statističke višefaktorske analize. Pomoću ovih višefaktornih planova može se izvršiti:

• matematičko modeliranje pojava, procesa i sistema u prostoru i vremenu, • proučavanje prirode unutrašnjih mehanizama pojava i procesa i • optimiranje i optimalno upravljanje procesima u tehničkim sistemima.

Višefaktorne eksperimentalne planove, u odnosu na planove jednofaktorne analize,

karakterišu dva osnovna obeležja:

• minimalni broj eksperimantalnih tačaka rasporeñenih u eksperimentalnom hiperprostoru, što ima za posledicu višestruko niže troškove i kraće vreme trajanja eksperimentalnih ispitivanja procesa i sistema i

• maksimum informacija o efektima matematičkog modela procesa. Savremeni metod eksperimentalnih ispitivanja oslanja se na kibernetički princip “crne

kutije”. Sistem ”crne kutije” predstavlja jednostavan model realnog složenog difuznog sistema, čiji su unutrašnja struktura, mehanizam interakcije i zakonitost tog procesa nepoznati ili delimično poznati. (slika1.1).

3

Jedino su poznati ulazi:

• xr

- vektor kontrolisanih ili upravljačkih faktora i • z

r- vektor nekontrolisanih faktora koji obuhvata i poremećajne faktore.

i izlazi:

• yr

- vektor karakteristika procesa.

Slika 1.1: Kibernetički princip modeliranja objekta istraživanja

Upravo optimalni višefaktorni optimalni planovi omogućavaju da se istraži “crna kutija”, odnosno, da se identifikuju pojave i mehanizmi procesa, postavi matematički model procesa iznalaženjem matematičke zavisnosti izmeñu ulaza (x

r,zr

) i izlaza (yr

) procesa i optimizira tok procesa na osnovu odgovarajućih funkcija cilja. Pri tome su razvijeni pouzdani kriterijumi i matematičko-statistički algoritmi za ocenu adekvatnosti modelskog opisivanja preko konkretne

funkcije ili funkcije stanja )b,z,xf(ymi

rrr= realnog objekta ispitivanja predstavljenog “crnom kutijom”.

Slika 1.2: Koncepcija savremenog metoda eksperimentalnih ispitivanja.

Opšta metodološka koncepcija savramene metode eksperimentalnih ispitivanja prikazana je na slici 1.2. Metodologija se sastoji od lanca sukcesivnih ciklusa grupisanih oko cilja

OBJEKAT ISTRAŽIVANJA

yr

xr

zr

OBJEKAT ISTRAŽIVANJA

MODEL

( )b,y,xfy iMi

rrr= My

r

yr

xr

zr

zr

OPERATIVNI PROGRAM

EKSPERIMENTA

PLAN EKSPERIMENTA

(ORTOGONALNI PLAN )

ANALIZA REZULTATA, KOREKCIJA MODELA I PLANA EKSPERIMENTA

MODELI

CILJ ISTRAŽIVANJA

4

istraživanja. Svaki ciklus se sastoji od četiri uzastopne etape čiji su osnovni sadržaji model, plan eksperimenta, program eksperimenta i matematička analiza eksperimenta. U odnosu na cilj ispitivanja i postavljeni polazni model, u početku ciklusa se planira i izvodi odreñeni broj eksperimenata. Na osnovu analize rezultata ispitivanja, utvrñuje se novi plan i program eksperimenta narednog ciklusa. Proces se nastavlja sve do postizanja željenog cilja, dok se ne prouči konkretna pojava, proces ili sistem.

Osnovna obeležja svakog ciklusa su:

• počinju sa odreñenim modelom, • svi kontrolisani faktori se variraju istovremeno, • u prethodnom ciklusu se dobijaju dovoljno precizne informacije za planiranje i realizaciju

sledećeg ciklusa, • eksperimentalni rezultati i ostala informativna graña prethodnog ciklusa koriste se u

narednom ciklusu.

1.3 PODELA EKSPERIMENTALNIH PLANOVA

Opšta podela planova polazi od kriterijuma njihovog istorijskog nastanka, pa se prema ovom kriterijumu eksperimentalni planovi mogu podeliti u dve grupe. Prvu grupu čine klasični eksperimentalni planovi ili planovi jednofaktorne analize. Druga grupa obuhvata moderne, višefaktorne planove, koji se mogu podeliti na osnovu nekoliko kriterijuma, kao što su broj faktora u planu, red plana, cilj plana itd. Tako se moderni eksperimentalni planovi dele:

1. prema broju faktora na : • jednofaktorne planove, • dvofaktorne planove, • trofaktorne planove i • višefaktorne planove.

2. prema redu plana (stepenu modela) na :

• planove prvog reda, • planove drugog reda i • planove višeg reda.

3. prema cilju koji se postiže eksperimentalnim ispitivanjem na:

• planove za selekciju i rangiranje skupa ulaznih faktora (planovi za analizu signifikantnosti ili sekcioni planovi),

• planove za otkrivanje i proučavanje zakonitosti datih pojava i procesa, • planovi za optimizaciju i optimalno (adaptivno) upravljanje datim pojavama,

procesima ili sistemima (optimizacioni planovi).

Sem ovih, koriste se i drugi kriterijumi podele:

4. prema vrsti statističke metode ispitivanja: • disperzioni planovi i • regresioni planovi.

5

5. prema karakteru ponavljanja eksperimenata: • planovi bez ponavljanja, • planovi sa ponavljanjem u jednoj ili više tačaka u planu, • na planu ili izvan plana sa istim ili različitim brojem ponavljanja u pojedinim

eksperimentalnim tačkama. 6. prema potpunosti i parcijalnosti plana. 7. prema tipu i kriterijumu optimalnosti plana:

• D - optimalni planovi, • A - optimalni planovi, • G - optimalni planovi.

8. prema centričnosti plana:

• centralni planovi, • centralni kompozicioni planovi.

1.4 OSNOVNE METODE U TEORIJI EKSPERIMENTA

Kao što je već rečeno moderna teorija eksperimentalnih ispitivanja obuhvata planiranje eksperimenta sa projektovanjem i analizom eksperimentalnih planova, operativnu realizaciju projektovanih eksperimenata i matematičku obradu rezultata eksperimenata. Pri ovome se koriste dve osnovne statističke metodologije, poznate pod imenom disperziona i regresiona analiza.

Osnovni zadatak disperzione analize je odreñivanje signifikantnosti (značajnosti) i stepena interaktivnosti datog skupa faktora ( )k21 x,...,x,x na karakteristike stanja objekta ispitivanja

( )k21 y,...,y,y . Disperzionom analizom se dati skup faktora prvo deli na dve grupe, jednu koja bitno utiče na izlazne karakteristike i drugu čiji uticaj nije bitan na njih. Zatim se prva grupa faktora rangira po vrednosti stepena uticaja na izlazne karakteristike. Ovaj postupak selekcije i rangiranja je od izuzetnog značaja u teoriji eksperimenata. Poznato je, naime, da se pri proučavanju objekta ispitivanja u proces ispitivanja moraju uključiti svi faktori čija je signifikantnost uticaja na izlazne karakteristike procesa nesumnjiva ili se smatra da bi to mogla biti. Izostavljanjem samo jednog značajnog faktora znatno se povećava veličina greške eksperimenta što može da ima za posledicu greške u interpretaciji stanja i ponašanja objekta ispitivanja. Sa druge strane, istraživač je često suočen pri proučavanju složenih pojava pored velikog broja faktora i sa problemom nepoznavanja stepena uticaja obuhvaćenih faktora na objekat ispitivanja. Naravno da svi obuhvaćeni faktori nisu značajni, ali pošto ne postoje prethodne informacije o njihovoj nesignifikantnosti ne sme se ni jedan faktor isključiti iz procesa ispitivanja. Meñutim, uvoñenje svih faktora (meñu njima i nesignifikantnih) u proces eksperimentalnog ispitivanja ima za posledicu vrlo dugotrajna i skupa istraživanja. Stoga rangiranje skupa ulaznih faktora prema njihovom uticaju na izlazne karakteristike objekta ispitivanja, što je krajnji cilj disperzione analize, ima izuzetan značaj u teoriji eksperimentalnih istraživanja.

6

Regresiona analiza se bavi postavljanjem stohastičkog modela objekta istraživanja kojim se na dovoljno pouzdan način objašnjava stanje i ponašanje datog objekta unutar obuhvaćenog eksperimentalnog prostora. Osnovni ciljevi regresione analize u teoriji eksperimenata su:

• identifikacija adekvatnog matematičkog modela kojim se opisuje dati objekat ispitivanja, • proučavanje mehanizma nastanka pojava i dejstva u objektu ispitivanja, • analiza karaktera i stepena uticaja pojedinih faktora iz ulaznog skupa na matematički model

objekta, • definisanje optimalnih vrednosti faktora ulaznog skupa u cilju dobijanja najpovoljnijih

vrednosti izlaznih karakteristika.

7

2.0. PLANIRANJE EKSPERIMENTA

2.1. IZBOR FAKTORA, NIVOA I PARAMETARA OPTIMIZ ACIJE

Izbor faktora koji ulaze u eksperiment vrši se na osnovu prethodnog znanja kojim raspolaže istraživač o ispitivanoj oblasti, na osnovu literaturnih informacija i iskustva kojim raspolaže osoblje koje će vršiti eksperiment. Tako se najpre nabroje svi uticajni faktori za koje se pretpostavlja da imaju najveći uticaj na posmatranu pojavu ili sistem, koje se nazivaju nezavisno promenljive ( )k21 x,...,x,x . Zatim se sagledavaju sve zavisnosti, odnosno funkcije koje se iz

takvih ispitivanja mogu dobiti-( )k21 y,...,y,y , pri čemu se moraju definisati i spoljšnji uslovi koje je neophodno držati na konstantnom nivou i koje smatramo ograničenjima u posmatranom procesu. Na slici 2.1. ilustrovani su slučajevi ispitivanja obrade bušenjem i livenjem.

POMAK

BRZINA REZANJA

PREČNIK BURGIJE

MATERIJAL OBRATKA

MAŠINA

SREDSTVO ZA HLAðENJE

SILA REZANJA (Fz)

MOMENT (M)

HABANJE BURGIJE

DIFUZNISISTEMOBRADE

BUŠENJEM

X1

X2

X3

X4

X5

XK

Y1

Y2

Y3

OSOBINE LIVA (HEMIJSKI SASTAV,TEMPERATURA LIVENJA,BRZINA ULIVANJA)

OSOBINE KALUPA (MATERIJAL KALUPA,FIZI ČKE OSOBINE KALUPA,VRSTA I DEBLJINA PREMAZA)

STRUKTURAODLIVKA

MEHANI ČKE OSOBINEODLIVAKA

EKSPLOATACIONEOSOBINE ODLIVAKA

DIFUZNISISTEMOBRADE

LIVENJEM

Y1

Y2

Y3

X1

X2

Slika 2.1: Primer izbora uticajnih faktora pri ispitivanjima i funkcija koje iz takvih ispitivanja mogu proizaći

8

Recimo pri ispitivanju veličine momenta kod obrade bušenjem za jednu odreñenu vrstu materijala, odabraćemo faktore za koje smatramo (iz literature i na osnovu ličnog iskustva) da imaju najveći uticaj. To su faktori:

• 1x - pomak (s), i

• 2x – prečnik burgije (D).

Izlazna funkcija je:

• Y – moment bušenja (M)

Ostale uticaje, kao što je materijal, mašina, sredstvo za hlañenje, radionički uslovi smatramo spoljašnjim faktorima. Matematički model, na osnovu ranijih saznanja dat je izrazom:

y1x1M DsCM ⋅⋅= (2.1)

gde su 11M y,x,C koeficijenti zavisni od vrste materijala koji se dobijaju eksperimentalnim putem.

Spoljni faktori se mogu : • eliminisati, • držati na konstantnom nivou, • menjati po zakonu slučajnosti.

Spoljni faktori se u nekim slučajevima mogu eliminisati, a u nekim ne mogu, ili se čak

zahteva njihovo prisustvo.

Prost fizički zakon brzine slobodnog pada koji glasi: tgv ⋅= , pokazuje da brzina padanja zavisi samo od trajanja pada pošto je g konstantno ubrzanje zemljine teže. Galilej je, meñutim imao muke dok nije dokazao ovu zakonitost, obzirom da su se njegovi oponenti oslanjali na laičko iskustvo koje je pokazivalo da neka tela padaju brže, a neka sporije. Stoga su Galilejevi protivnici tvrdili da brzina slobodnog pada zavisi i od mase tela. Da bi dokazao da je on u pravu, Galilej je pristipio eksperimentalnom dokazu. Sa poznatog tornja u Pizi pustio je da padnu dve lopte jednake veličine ali napravljene od materijala različite težine. Lopte su pale istovremeno na zemlju. U ovom prostom eksperimentu nezavisno promenljiva je bila vreme. Nezavisna promenljiva se u teoriji eksperimenta naziva faktor , a zavisno promenljiva rezultat eksperimenta. U Galilejevom eksperimentu zavisno promenljiva je bila brzina. Galilej je znao da brzina slobodnog pada zavisi i od otpora vazduha ili bilo koje druge spoljne sredine u kojoj se slobodni pad obavlja. Takvi faktori koji utiču na rezultate, a ne uzimaju se u razmatranje, obično su posledica spoljne sredine, i u teoriji eksperimenta se nazivaju spoljnim faktorima . Kada se proveravaju opšti zakoni fizike dejstvo ovih faktora se mora eliminisati ili držati na konstantnom nivou. Galilej je izgradivši lopte od materijala različite težine, ali sa istim otporom vazduha, zadržao spoljne faktore na konstantnom nivou. Danas se taj dokaz izvodi puštanjem tela različitih masa i oblika da slobodno padaju u vakumskoj cevi. Ovakve pojave bez uticaja spoljnjeg faktora nazivaju se determinisane pojave. Drugo obeležje determinisanih pojava je njihov prost mehanizam koji se uvek može opisati zakonom. Reč zakon ukazuje na opšte važenje matematičkog zakona za sve odgovarajuće pojave. U eksperimentima koji istražuju determinisane pojave faktori i rezultati su tačne veličine bez ikakvog rasipanja. Ako postoji rasipanje rezultata ono se može pripisati netačnosti merenja faktora ili rezultata.

9

U izvesnim slučajevima, rešavanje problema zahteva sprovoñenje eksperimenata uz efekte spoljnjih faktora, jer nas interesuju rezultati u realnim uslovima, a ne u idealizovanim. To je najčešće slučaj u inžinjerskim, primenjenim istraživanjima. Necelishodnost eleminisanja dejstva spoljnih faktora u inžinjerskim eksperimentima može se prikazati na primeru habanja. Poznata je činjenica da je habanje znatno manje ako se dodir tela ostvaruje u vakumu. Eliminisanje vazduha u laboratoriskim uslovima je lako ostvarljivo. Za primenu rezultata takvog ispitivanja nema uslova u stvarnim konstrukcijama jer se takvo stanje u njima ne može ostvariti. Ispitivanje habanja u vakumu može biti predmet fundamentalne nauke koja ne očekuje neposrednu primenljivost rezultata. Naprotiv, izričit je zahtev da se ispitivanje izvede u realnim uslovima kakvi se očekuju u stvarnom pogonu, pa se oni ponekad i simuliraju u laboratoriji. Pojave koje se istražuju eksperimentalno uz uticaj spoljnih faktora nazivaju se randomiziranim pojavama. Uticaj spoljnih faktora je takav da izaziva rasipanje rezultata, odnosno povećava grešku eksperimenta. Ovo ne odgovara eksperimentatorima, pa je tražen način da se razdvoje uticaji spoljnih i osnovnih faktora. Ovo se postiže, uz proizvoljno izabranu verovatnoću, predhodnim planiranjem eksperimenta. Dejstvo spoljnih faktora se može potpuno sagledati ako se učini da njihov uticaj bude slučajan i sa normalnom raspodelom, o čemu će kasnije biti reči.

Treba napomenuti da pri iznošenju rezultata eksperimenata treba uvek navesti spoljne

uslove pri kojima je isti izvršen, odnosno, koji nisu obuhvaćeni matematičkim modelom, kako bi se eksperimentalni rezultati vršeni u raznim vremenskim periodima ili regijama mogli uporeñivati.

Različiti istraživači ne moraju uvek uzeti u obzir iste faktore koje će razmatrati i koji će

figurirati u matematičkom modelu. Koji će faktori biti uzeti u razmatranje najviše zavisi od iskustva istraživača i od nivoa znanja u toj oblasti do momenta kada se eksperiment izvodi. Broj faktora pak zavisi od toga koliko sveobuhvatno želimo da matematički opišemo proces.

Višefaktorni planovi eksperimenta, kojima ćemo se dalje najviše baviti, omogućuju

uzimanje u obzir velikog broja faktora pri istraživanju, za koje nema predhodnog iskustva. Posle izvoñenja delimičnih eksperimenata moguće je eliminisati iz daljeg razmatranja one faktore koji uz sebe nemaju značajne (signifikantne) koeficijente.

2.2 IZBOR MATEMATI ČKOG MODELA

Prilikom planiranja eksperimenta postoje dva slučaja: • matematički model ispitivanja pojave ili sistema je poznat na osnovu ranijih saznanja o

ograničenom eksperimentalnom području kojim se bavimo (tzv. odzivna površina ili površina reagovanja).

• matematički model je nepoznat.

Stvarni analitički oblik odzivne funkcije je u stvari nepoznat, a matematički oblik je samo više ili manje tačna njena aproksimacija. U opštem slučaju funkcija odziva (funkcija reagovanja) može se predstaviti u obliku:

( )k21k21 ,...ββ,β,,...xx,xy ϕ= (2.2) gde su:

k21 ,...xx,x - faktori ( )k0,1,...,i = ,

k21 ,...ββ,β - teorijski koeficijenti regresije.

10

Površina reagovanja ili odzivna površina je geometriski reprezent funkcije cilja i može se predstaviti konturnim dijagramom (slučaj dvofaktornog procesa) koji čini skup konturnih ili nivojskih linija y=const.

1maxx1minx

max2x

min2x

1y

2y

3y

4y0M 1M

1x

2x

O

3x

2x

1x

1y2y

3y4y

1M

0M

Slika 2.2: Konturni dijagram površine reagovanja sa optimalnim područjem

Ako je mehanizam procesa nepoznat, odzivna funkcija se obično predstavlja u obliku polinoma:

...xβxxβxβyk

1i

2iiij

k

jiiij

k

0iii +⋅+⋅⋅+⋅= ∑∑∑

=<= (2.3)

gde su:

k10 ,...ββ,β - teorijski koeficijenti regresije čistog dejstva,

ijβ - teorijski koeficijenti regresije uzajamnog dejstva koji se mogu samo proceniti na

osnovu izračunatih koeficijenata b0, bi, bij koji se dobijaju na osnovu rezultata eksperimenta.

Tada se linearni efekti bi mogu proceniti:

ii βb →

ijij βb → (2.4)

∑ ∑ +++→ ...βββb iiiii00

Na taj način stvarna jednačina regresije, dobijena na osnovu eksperimentalnih podataka,

postaje:

∑∑∑=<=

⋅+⋅⋅+⋅=k

1i

2iiij

k

jiiij

k

0iii xbxxbxby (2.5)

gde su: bi - koeficijenti regresije čistog dejstva, bij - koeficijenti regresije uzajamnog dejstva, dvofaktorno meñudejstvo (interakcija), bii – kvadratni efekat, y - ocena matematičkog očekivanja y.

11

Odreñivanjem koeficijenata regresije jednačine (2.5) dobiće se predstava o uticaju razmatranih faktora na proces, o njihovom uzajamnom dejstvu i o pravcu kretanja ka optimalnoj oblasti. Pri ovom razmatranju predpostavlja se da je funkcija reagovanja neprekidna, da ima jedan maksimum i da nema više od jednog ekstrema. Pri ovim uslovima je moguće tražiti optimum koristeći se metodom “korak po korak” (step by step).

Prvi korak bi bio postavljanje kratkotrajnog eksperimenta, pa ako se pomoću modela

polinoma prvog reda nañemo blizu oblasti optimuma, možemo smatrati da smo došli do rešenja. Ukoliko to nije slučaj, u sledećim koracima je potrebno preći na polinome višeg reda, kako bi se dosegnuo optimum.

Na osnovu matematičkog modela, za slučaj da je broj faktora 3k ≤ proučavana funkcija

reagovanja se može predstaviti grafički (slika 2.3): • za k=2 kvadratom ili jednakostraničnim trouglom, • za k=3 latinskim kubom.

U slučaju da je k>3 tačke opita se nalaze u tačkama k – hiperkuba.

k=2

k=3

1x1x

1x

2x 2x

2x

3x

O O

O

Slika 2.3: Geometrijska interpretacija funkcije reagovanja

Za k=2 najprostiji model je oblika:

221100 xbxbxby ⋅+⋅+⋅= (2.6)

Funkcija koja uzima u obzir meñudejstvo faktora ima oblik:

2112221100 xxbxbxbxby ⋅⋅+⋅+⋅+⋅= (2.7)

Izlazna funkcija predstavljena polinomom drugog reda glasi:

2222

21112112221100 xbxbxxbxbxbxby ⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅= (2.8)

a polinom trećeg reda ima oblik:

32222

31111

2211222

21112

2222

21112112221100

xbxbxxbxxb

xbxbxxbxbxbxby

⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅++⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅=

(2.9)

Treba napomenuti da se polinomi trećeg, a pogotovo četvrtog, petog i viših redova

izuzetno retko koriste.

12

3.0 JEDNOFAKTORNI PLANOVI ZA ANALIZU SIGNIFIKANTNOSTI FAKTORA

Kada na objekat istraživanja, odnosno na njegovu izlaznu karakteristiku y, deluje samo jedan faktor, koristi se jednofaktorni eksperiment.

Jednofaktorni planovi se formiraju na sledeći način. Posmatrani faktor A uzima k različitih

diskretnih vrednosti (nivoa) u nekom intervalu. Uzima, dakle, vrednosti k21 a,...,a,a . Pri tome se na i-tom nivou (ai) faktora A eksperiment ponavlja ukupno ni puta, što omogućuje da se odredi greška merenja. S obzirom na ovo, rezultati merenja ijy mogu se izraziti skupom.

ki21 knin2n1n

kjij2j1j

k2i22212

k1i12111

yyyy

yyyy

yyyy

yyyy

K

MMMM

K

MMMM

KK

KK

(3.1)

Posle realizacije jednofaktornog eksperimenta dobija se dakle, niz od k srednjih vrednosti

rezultata merenja koje su nastale pod dejstvom vrednosti k21 a,...,a,a faktora A. Da bi se

uporedilo k efekata ( k21 α,...,α,α ), koji odgovaraju nivoima k21 a,...,a,a faktora A, odnosno, da bi se utvrdilo da li ili ne dati faktor značajno (signifikantno) utiče na karakteristiku y (rezultat merenja), polazi se od modela eksperimenta:

ijiij εαµy ++= (3.2)

Ovim modelom se inače iskazuju rezultati merenja ijy u zavisnosti od vrednosti (nivoa)

posmatranog faktora A pri čemu je: µ - ukupni efekat svih eksperimenata,

iα - efekat faktora A na i-tom nivou,

ijε - slučajna greška na i-tom nivou i u j-tom ponovljenom eksperimentu.

Pri praktičnoj realizaciji jednofaktornog plana (3.1) treba imati dve pretpostavke u vidu:

• pojedini eksperimenti kojih ima ukupno:

N=n1+n2+…+nk (3.3)

izvode se slučajnim poretkom, tj. svaki eksperiment iz skupa N ima jednaku verovatnoću da bude prvi (ili bilo koji sledeći) po redu, pa se po tom slučajnom poretku, nezavisno od nivoa i grupisanja unutar nivoa, operativno i izvode, i

13

• rezultati merenja na bilo kom fiksnom nivou ai faktora A rasporeñuju se oko centra grupisanja:

ii αµµ += (3.4)

po zakonu normalnog rasporeda čija je disperzija 2σ .

3.1 DISPERZIONA ANALIZA JEDNOFAKTORNIH PLANOVA

Praktična procedura matematičke obrade rezultata merenja za isti broj ponovljenih eksperimenata na svakom nivou faktora A izvodi se u obliku odreñenog broja sukcesivnih koraka. Dakle, prvo se izvodi eksperiment i njegovi rezultati upišu u tablicu (tabela 3.1).

Nivo faktora Ponavljanje

a1 a2 ai ak

n

j

2

1

M

M

n1

j1

12

11

y

y

y

y

M

M

n2

j2

22

21

y

y

y

y

M

M

K

K

K

K

K

K

in

ij

2i

1i

y

y

y

y

M

M

K

K

K

K

K

K

kn

kj

2k

1k

y

y

y

y

M

M

Sume A1 A2 K A i K Ak

Srednja vrednost 1y 2y K iy K ky

Tabela 3.1

Zatim se izvodi disperziona analiza u sledećim koracima:

1. Suma rezultata merenja u pojedinim kolonama

∑=

=n

1jiji yA ( )k1,2,...,i = (3.5)

2. Suma kvadrata svih rezultata merenja u planu eksperimenta

∑∑= =

=k

1i

n

1j

2ij1 ys (3.6)

3. Suma kvadrata veličina Ai (zbirova kolona) podeljena brojem eksperimenata (u koloni)

∑=

=k

1i

2i2 A

n1

s (3.7)

4. Kvadrat suma veličina Ai podeljen brojem svih eksperimenata

2k

1ii3 A

N1

s

= ∑=

(3.8)

14

5. Suma kvadrata faktora (vezana za rasturanje izmeñu nivoa faktora A)

32A sss −= (3.9)

6. Suma kvadrata greške (Koristi se za ocenu greške eksperimenta)

21E sss −= (3.10)

7. Opšta suma kvadrata

31EAO sssss −=+= (3.11)

8. Disperzija

1k

ss A2

A −= (3.12)

9. Disperzija greške eksperimenta

( )1nk

ss E2

E −= (3.13)

10. Disperzioni odnosi

2E

2A

r s

sF = (3.14)

Ako je ( )21tr f,fFF > za odreñeni nivo značajnosti α , tada je uticaj faktora A signifikantan

(značajan) na funkciju y (izlaz) ispitivanog objekta, pa se odbija nulta hipoteza o nesignifikantnosti ovog faktora. Ovde su:

1kf1 −=

( ) kN1nkf 2 −=−= (3.15)

Prikazana procedura važi za:

• jednofaktorni plan sa fiksnim nivoima faktora A, • isti broj ponavljanja eksperimenata na svim nivoima faktora.

Ako se, meñutim, brojevi ponavljanja eksperimenata razlikuju od nivoa do nivoa,

navedena procedura ostaje ista uz izmene u prva tri koraka:

∑=

=k

1i

nN (3.16)

∑=

=in

1jiji yA ( )k1,2,...,i = (3.17)

∑∑= =

=k

1i

n

1j

2ij1

i

ys (3.18)

∑=

=k

1i i

2i

2 n

As (3.19)

15

Ovom algoritmu disperzione analize treba dodati i jedinične procedure parametara u matematičkom modelu (3.2):

∑∑= =

==k

1i

n

1jij

i

yN1

yµ (3.20)

∑=

−=−=in

1jij

i

ii yyn

1yyα ( )k1,2,...,i = (3.21)

Primer

Jedan katalizator za hemijske reakcije dobija se na četiri različita načina. Ovi načini odgovaraju k=4 nivoima katalizatora (faktora A). Na svakom nivou su ponovljeni eksperimenti po n=5 puta. U eksperimentima je kao izlaz (funkcija y) merena aktivnost katalizatora. Redosled izvoñenja eksperimenta je potpuno slučajan (randomiziran). Potrebno je proveriti nezavisnost kvaliteta katalizatora (njegovu aktivnost y) od načina njegovog dobijanja. Drugim rečima potrebno je proveriti jednakost vrednosti aritmetičkih sredina aktivnosti katalizatora. Rezultati merenja aktivnosti katalizatora za svaki od četiri načina njegovog dobijanja dati su u tabeli 3.2.

Nivo faktora Ponavljanje

1 2 3 4 1 56 64 45 42 2 55 61 46 39 3 62 50 45 45 4 59 55 39 43 5 60 56 43 41

Sume 292 286 218 210 Srednja vrednost y 58,4 57,2 43,6 42

Tabela 3.2

Disperziona analiza:

1. Suma rezultata merenja u pojedinim kolonama

1006210218286292yAn

1jiji =+++==∑

=

2. Suma kvadrata svih rezultata merenja u planu eksperimenta

519404143...625556ys 22222k

1i

n

1j

2ij1 =+++++==∑∑

= =

3. Suma kvadrata veličina Ai (zbirova kolona) podeljena brojem eksperimenata (u koloni)

( ) 8,517362102828629251

An1

s 2222k

1i

2i2 =+++⋅== ∑

=

16

4. Kvadrat suma veličina Ai podeljen brojem svih eksperimenata

( ) 8,506011006201

AN1

s 22k

1ii3 ==

= ∑=

5. Suma kvadrata faktora (vezana za rasuranje izmeñu nivoa faktora A)

11358,506018,51736sss 32A =−=−=

6. Suma kvadrata greške (Koristi se za ocenu greške eksperimenta)

2,2038,5173651940sss 21E =−=−=

7. Opšta suma kvadrata 2,16058,5060151940sssss 31EAO =−=−=+=

8. Disperzija

33,37814

1135

1k

ss A2

A =−

=−

=

9. Disperzija greške eksperimenta

( ) ( ) 7,121-54

203,2

1nk

ss E2

E =⋅

=−

=

10. Disperzioni odnosi

789,297,12

33,378

s

sF

2E

2A

r ===

31-41kf1 ==−=

( ) ( ) 161541nkf 2 =−⋅=−=

Iz tablica za Fisher-ovu raspodelu za nivo značajnosti 0,01α = očitavamo 5,29Ft = . Nulta

hipoteza Ho: 0αααα 4321 ==== proverava se na osnovu uporeñenja računske i tablične vrednosti disperzionih odnosa:

tr FF > 5,298,29 >

Znači da način dobijanja katalizatora bitno utiče na njegov kvalitet (aktivnost katalizatora),

te se odbacuje postavljena nulta hipoteza o jednakosti vrednosti aritmetičkih sredina. Vrednosti procene parametara u modelu (3.2) iznose:

( ) 3,504143...62555620

1y

N

1yµ

k

1i

n

1jij

i

=+++++=== ∑∑= =

∑=

−=−=in

1jij

i

ii yyn

1yyα

8,150,358,4α1 =−=

6,950,357,2α2 =−=

17

-6,750,343,6α3 =−=

8,350,342,0α4 −=−=

1α 2α

3α 4α

ijy

50,3ˆ =µ

a1 2 3 4

18

4.0 FAKTORNI ORTOGONALNI PLANOVI EKSPERIMENATA PRVOG REDA

4.1 REGRESIONA ANALIZA K – FAKTORNOG PLANA EKSPERIMENTA

Regresiona jednačina k – faktornog plana eksperimenta ima oblik:

k21 β

kβ

2β

1 f...ffCR ⋅⋅⋅⋅= (4.1) gde su:

k21 f,...,f,f - faktori,

k21 β,...,β,β - nepoznati koeficijenti.

Logoritmovanjem gornje jednačine dobijamo:

kk2211 lnfβ...lnfβlnfβlnClnR ++++= (4.2)

Uvoñenjem smena:

ylnR = 11 xlnf = 22 xlnf = kk xlnf = oβlnC = 1xo = (4.3) dobijamo jednačinu (4.2) u sledećem obliku:

kk221100 xβ...xβxβxβy ++++= (4.4)

Nakon sprovedenog eksperimenta i obrade njegovih rezultata moguće je odrediti koeficijente regresije k210 b,...,b,b,b koji predstavljaju procenu teorijskih vrednosti koeficijenata

k210 β,...,β,β,β , pa se dobija jednačina modela u kodiranom obiku:

kk221100 xb...xbxbxby ++++= (4.5) odnosno za u-ti opit, gde je Nµ1 << :

kuk2u21u10u0u xb...xbxbxby ++++= (4.6) Da bi se metodom najmanjih kvadrata odredili parametri k210 b,...,b,b,b , potrebno je

odrediti sumu kvadrata odstupanja stvarnih vrednosti uy od teorijskih uy i pronaći minimum zbira kvadrata ostataka. Princip metode najmanjih kvadrata sastoji se u traženju takvih vrednosti parametara za koje je zbir kvadrata grešaka najmanji, odnosno:

( ) ( )[ ]( ) minb,...,b,b,bf

xb...xbxbxbyyyε

k210

2N

1ukuk2u21u10u0u

2N

1uuu

N

1u

2u

==

=++++−=−= ∑∑∑=== (4.7)

19

Ova vrednost je minimalna kada je:

( )[ ] ( ) 0xxb...xbxbxby2b

f0u

N

1ukuk2u21u10u0u

0

=−⋅++++−=∂∂

∑=


f1u

N

1ukuk2u21u10u0u

1

=−⋅++++−=∂∂

∑=

(4.8)

M


fku

N

1ukuk2u21u10u0u

k

=−⋅++++−=∂∂

∑=

Posle sreñivanja dobija se sistem jednačina:

∑∑∑∑====

⋅=⋅++⋅+N

1uu0u

N

1uku0uk

N

1u1u0u1

N

1u

20u0 yxxxb...xxbxb

∑∑∑∑====

⋅=⋅+++⋅N

1uu1u

N

1uku1uk

N

1u

21u1

N

1u1u0u0 yxxxb...xbxxb (4.9)

M

∑∑∑∑====

⋅=++⋅+⋅N

1uuku

N

1u

2kuk

N

1uku1u1

N

1uku0u0 yxxb...xxbxxb

uvodeći smenu za članove pod znakom sume:

( )∑=

=N

1u

2iu iix ( )ijyx

N

1ujuiu =⋅∑

= ( )iyyx

N

1uuiu =⋅∑

= k0,1,2,...,ji, = (4.10)

dobijamo sistem linearnih jednačina:

( ) ( ) ( ) ( )0y0kb...01b00b k10 =+++

( ) ( ) ( ) ( )1y1kb...11b10b k10 =+++ (4.11) M

( ) ( ) ( ) ( )kykkb...k1bk0b k10 =+++

Ovaj sistem linearnih jednačina može se napisati u matematičkom obliku: BXY ⋅= (4.12)

gde su: Y - matrica kriterijuma optimizacije B – matrica regresionih koeficijenata X – matrica vrednosti faktora

Rezidualni vektor (vektor ostataka) je:

BXYYYR0 ⋅−=−= (4.13)

Minimiziranjem gornjeg izraza dobija se:

( ) ( ) 0BXYBXY =⋅−⋅′⋅− (4.14)

što daje sistem normalnih jednačina: 0YXBXX =⋅′−⋅⋅′ (4.15)

20

odakle sledi:

( ) YXXXB 1 ⋅′⋅⋅′= − (4.16)

Ulazne (X) i izlazne (Y) informacije iz posmatranog difuzionog sistema u matričnom obliku glase:

=

kN1N0N

k21202

k11101

xxx

xxx

xxx

X

K

MMM

K

K

=

N

2

1

y

y

y

YM

(4.17)

transponovana matrica matrice X glasi:

=′

kNk2k1

1N1211

0N0201

xxx

xxx

xxx

X

K

MMM

K

K

(4.18)

Informaciona matrica se dobija kao proizvod matrice X i njene transponovane matrice X ′ :

⋅

=′

kN1N0N

k21202

k11101

kNk2k1

1N1211

0N0201

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

XX

K

MMM

K

K

K

MMM

K

K

(4.19)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

++++++

++++++++++++

=′

kNkNk2k2k1k11NkN12k211k10NkN02k201k1

kN1Nk212k1111N1N121211110N1N02120111

0101010101011N0N120211010N0N02020101

xxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxx

XX

K

MMM

K

K

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

=′

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

===

===

===

N

1u

2ku

N

1u1uku

N

1u0uku

N

1uku1u

N

1u

21u

N

1u0u1u

N

1uku0u

N

1u1u0u

N

1u

20u

xxxxx

xxxxx

xxxxx

XX

K

MMM

K

K

(4.20)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=′

kkk1k0

1k1110

0k0100

XX

K

MMM

K

K

(4.21)

21

Uvodeći oznake:

( ) ∑=

== N

1u

2iu

ii

x

1ii1

C ( ) ∑=

⋅== N

1ujuiu

ij

xx

1ij1

C

dobijamo inverznu matricu informacione matrice XX ′ u obliku:

( )

=′

kkk1k0

1k1110

0k0100

CCC

CCC

CCC

XX

K

MM

K

K

(4.22)

Matrica YX ′ je:

+++

++++++

=

⋅

=′

NkN2k21k1

N1N212111

N0N202101

N

2

1

kNk2k1

1N1211

0N0201

yx...yxyx

yx...yxyx

yx...yxyx

y

y

y

xxx

xxx

xxx

YXMM

K

MMM

K

K

( )( )

( )

=

⋅

⋅

⋅

=′

∑

∑

∑

=

=

=

ky

1y

0y

yx

yx

yx

YX

N

1uuku

N

1uu1u

N

1uu0u

MM

(4.23)

Matrica koeficijenata B je:

=

k

1

0

b

b

b

BM

(4.24)

Jednačina (4.16) postaje:

( )( )

( )

⋅

=

ky

1y

0y

CCC

CCC

CCC

b

b

b

kkk1k0

1k1110

0k0100

k

1

0

M

K

MM

K

K

M (4.25)

( ) ( ) ( )kyc...1yc0ycb 0k01000 +++=

( ) ( ) ( )kyc...1yc0ycb 1k11101 +++= (4.26)

M ( ) ( ) ( )kyc...1yc0ycb kkk1k0k +++=

22

odnosno:

( )∑∑= =

=k

0i

k

0jiji iycb

∑∑∑= = =

⋅⋅=N

1n

k

0i

k

0jniniji yxcb (4.27)

Odreñivanjem koeficijenata regresije ib , dobijamo predstavu o uticaju pojedinih faktora

na izlaznu funkciju. Tako se faktori uz koje stoje nesignifikantni koeficijenti ne uzimaju u obzir u daljim razmatranjima. Znak koeficijenata daje uvid o tipu uticaja faktora na proces. Tako, znak + označava direktno proporcionalan, a znak – obrnuto proporcionalan uticaj. Koeficijenti ijb , ako

su uključeni u matematički model, daju uvid o meñusobnom uticaju faktora na odzivnu funkciju (funkciju reagovanja), a svi dobijeni parametri omogućuju da se dobije predstava o pravcu kretanja po optimalnoj oblasti. Posle odreñivanja numeričkih vrednosti koeficijenta u matematičkom modelu, vrši se disperziona analiza.

4.2. IZBOR INTERVALA VARIRANJA FAKTORA

Posebnim izborom parametara knk11N110N01 x,...,x;x,...,x;x,...,x pojednostavljuje se rešavanje sistema jednačina (4.16) jer se matrica koeficijenata svodi na jediničnu matricu.

Kodiranje izabranih parametara eksperimenta vrši se pomoću jednačina transformacije, pri čemu se uzima da je veličina intervala jednaka jedinici nove razmene faktora. Radi uprošćenja pri upisivanju i obradi eksperimentalnih podataka, razmere za ose se biraju tako da gornji (maksimalni) nivo bude jednak +1, donji (minimalni) –1, a osnovni (nulti) nivo jednak nuli.

Početak koordinatnog sistema se iz tačke O1 premestio u tačku O koja označava nulti nivo faktora (slika 4.1), dok se vrednosti faktora sada mere u novoj razmeri. Za novu osu x1 je:

( )

1

011

1 W

XXx

−= (4.28)

odnosno:

( )

i

0ii

i W

XXx

−= (4.29)

pri tome je:

ii lnfX = ( )

iimax0

i WlnfX −= (4.30)

Ovde je Wi – interval varijacije faktora jednak jednoj polovini razmaka donjeg i gornjeg nivoa:

( )iminimaxi lnflnf2

1W −= (4.31)

23

min2x

max2x

1minx1maxx

2x

1xO

1O1X

2X

( )02X

( )01X

2W

2W

1W 1W

Slika 4.1: Izbor intervala variranja faktora za k=2

Zamenom jednačina (4.30) i (4.31) u (4.29) dobija se izraz preko kojeg se vrši kodiranje nivoa i-tog faktora.

( )iminimax

imaxi

i

imaxi

i

iimaxii lnflnf

lnflnf21

W

lnflnf1

W

Wlnflnfx

−−+=−+=−−=

1lnflnf

lnflnf21x

iminimax

imaximaxi =

−−+= (4.32)

Zamenom fi=f imax dobijamo:

1lnflnf

lnflnf21x

iminimax

imaximaxi =

−−+=

Zamenom fi=fmin dobijamo:

1lnflnf

lnflnf21

lnflnf

lnflnf21x

iminimax

iminimax

iminimax

imaximini −=

−−−=

−−+=

Za isri ff = , gde je iminimax

2isr fff ⋅= dobijamo:

( )

iminimax

imaximinimax

i lnflnf

lnflnflnfln21

21x−

−⋅⋅⋅+=

iminimax

imaximinimax

i lnflnf

lnflnf21

lnf21

21x−

−⋅+⋅⋅+=

24

( )

iminimax

iminimax

i lnflnf

lnflnf-21

21x−

+⋅⋅+=

( )0

lnflnf

lnflnf-1x

iminimax

iminimaxi =

−+=

Dekodiranje se vrši po sledećim formulama:

imin

imax

ii

f

fln

2bβ = ( )2,1i =

∑∑==

−=2

1iimaxi

2

0ii0 lnfbbβ ( )2,1,0i = (4.33)

( )0βexpC = odnosno za k – faktora:

imin

imax

ii

f

fln

2bβ =

maxi

k

1ii

k

0ii0 flnbbβ ⋅−= ∑∑

== (4.34)

Do sada su razmatrani tzv. linijski efekti pojedinih faktora. Meñutim, kod potpunog

faktornog eksperimenta postoji isprepletano delovanje efekata pojedinih faktora i njihovo meñusobno delovanje (interakcije). Interakcije višeg reda se najčešće zanemaruju, ali dvofaktorne interakcije mogu biti značajne.

Kao primer posmatramo potpuni dvofaktorni eksperiment:

2112221100 xxβxβxβxβy +++= (4.35)

Uvoñenjem smena:

=

imin

imax

i

f

fln

2A i imaxii lnfA1a ⋅−=

Koeficijenti regresije nakon dekodiranja dobijaju oblik:

2112221100 aabababbβ +++= ( )212111 abbAβ ⋅+=

( )112222 abbAβ ⋅+= (4.36)

211212 AAbβ ⋅⋅=

( ) 0β

0 eβexpC == Nakon antilogaritmovanja, dobija se izraz:

( )2112β

2β

1 lnflnfβexpffCR 21 ⋅⋅⋅⋅⋅= (4.37)

25

Za trofaktorni potpuni eksperiment sa meñusobnim uticajem dobija se oblik funkcije odziva:

32112332233113211233221100 xxxβxxβxxβxxβxβxβxβxβy ⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= (4.38)

A koeficijenti regresije imaju vrednosti:

32112332233113211233221100 aaabaabaabaababababbβ ⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅+= ( )32123313212111 aabababbAβ ⋅⋅+⋅+⋅+⋅= ( )31123323112222 aabababbAβ ⋅⋅+⋅+⋅+⋅= ( )21123223113333 aabababbAβ ⋅⋅+⋅+⋅+⋅= (4.39)

( )3123122112 abbAAβ ⋅+⋅= ( )2123133113 abbAAβ ⋅+⋅= ( )1123233223 abbAAβ ⋅+⋅=

123321123 bAAAβ ⋅⋅⋅= ( )0βexpC =

Nakon antilogaritmovanja dobija se izraz:

( )321123322331132112β

3β

2β

1 lnflnflnfβlnflnfβlnflnfβlnflnfβexpfffCR 321 ⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅= (4.40)

U slučaju da ne postoje interakcije faktora, koeficijenti 123231312 βiβ,β,β , su jednaki nuli pa jednačina (4.39) prelazi u :

321 β

3β

2β

1 fffCR ⋅⋅⋅= (4.41)

Odnosno, u opštem obliku:

k21 β

kβ

2β

1 f...ffCR ⋅⋅⋅⋅= (4.42)

Broj nivoa je različit, ali se najčešće primenjuje planiranje na dva nezavisna nivoa. Ovaj način omogućuje opisivanje procesa polinomom prvog reda sa i bez meñusobnih uticaja faktora i obeležavaju se sa 2k, gde je k- broj ulaznih faktore. Ukoliko se polinomijalni linijski model pokaže neadekvatnim, prelazi se na polinom višeg reda, te se zbog toga mora povećati i broj nivoa ulaznih faktora. U opštem slučaju, minimalni broj nivoa faktora mora biti za jedan veći od reda polinoma kojim se opisuje posmatrani proces (nmin=rn+1).

4.3 STRUKTURA I OSOBINE ORTOGONALNIH PLANOVA PRVOG REDA

Ideja višefaktornih ortogonalnih planova (Box-Wilsonovi planovi) predstavljaju nov kvalitet u teoriji višefaktorne statističke analize, a polazi od posebno ureñenih rasporeda skupa eksperimentalnih tačaka u hiperprostoru. Ovakva kompozicija eksperimentalnih tačaka u hiperprostoru izražava se kroz odgovarajuću plan matricu specifične strukture, oblika i obima.

26

Ako se eksperimentalne tačke rasporede u hiperprostoru tako da u korespodentnoj plan matrici zadovoljavaju uslove:

1.simetričnosti

∑=

=N

1uiu 0x k1,2,...,i = (4.43)

2.ortogonalnosti

0xxN

1ujuiu =⋅∑

= k1,2,...,,0ji, = (4.44)

3.normativnosti

∑=

=N

1u

2iu Nx k1,2,...,,0i = (4.45)

tada se takvi planovi nazivaju faktornim ortogonalnim planovima .

U odnosu na druge planove, za ortogonalne planove je karakteristično: • raspored eksperimentalnih tačaka u eksperimentalnom prostoru je optimalan. • broj eksperimentalnih tačaka je minimalan, što ima za posledicu niže troškove i kraće vreme

ispitivanja difuznog sistema. • obim dobijenih informacija je maksimalan: svi faktori se menjaju istovremeno, pa se svaki

efekat faktora odreñuje na osnovu svih N eksperimentalnih rezultata, pa je otuda disperzija bilo kog regresionog koeficijenta bi manja za N puta od greške eksperimenta.

• svi efekti bi faktora izračunavaju se nezavisno jedan od drugog i nezavisno od vrednosti faktora u obuhvaćenom višefaktornom eksperimentalnom prostoru.

• matematička obrada eksperimentalnih rezultata je vrlo jednostavna i kratkotrajna.

1x 2x

3x

O

iN

iρr

Slika 4.2: Položaj eksperimentalne tačke Ni u trofaktornom prostoru na temenu kuba oko koga je

opisana sfera

Višefaktorni optimalni plan se stvara tako da skup graničnih tačaka intervala varijacije ulaznih faktora leži uvek na hipersferi obrazujući pri tome hiperkub (za slučaj k=3) oko koga je opisana hipersfera (slika 4.2).

27

4.4 ANALIZA EKSPERIMENTALNIH PODATAKA

Nakon postavljanja plana eksperimenta, njegovog izvoñenja i odreñivanja koeficijenata regresije, pristupa se analizi dobijenih vrednosti. Uočava se da se ne dobijaju identični rezultati prilikom ponavljanja nekog opita. Razlog tome su greške eksperimenta, koje se dele u dve glavne grupe:

• greške eksperimenta u pojedinim tačkama plana, i • greške celokupnog eksperimenta.

Za analizu rezultata eksperimenta neophodno je poznavanje vrste ponavljanja opita. Tako

se razlikuju tri sistema ponavljanja: • sistem ponavljanja – u tačkama nultog nivoa (centralna tačka plana) vrši se ponavljanje

n0 puta, • sistem ponavljanja – u svakoj tački plana (hiperkuba) vrši se ponavljanje,

o u svim tačkama plana isti broj ponavljanja (n) puta, o u svakoj tački plana različit broj ponavljanja ( )N21 n...nn ≠≠≠ , o opiti se ponavljaju samo u jednoj tački plana (n1) puta, o opiti se ponavljaju samo u jednoj tački izvan plana (p) puta.

• sistem ponavljanja – ponavljanje opita se ne vrši.

4.4.1 PRVI I DRUGI SISTEM PONAVLJANJA

Nakon izračunavanja koeficijenata regresije k210 b,...,b,b,b regresionom analizom, vrši se izračunavanje greške. Pri izračunavanju greške eksperimenta u pojedinim tačkama plana uzima se u obzir broj ponavljanja u tim tačkama i ocenjuje disperzija, dok se kod ocene celog eksperimenta računa sa brojem svih opita i procenjuje se odgovarajuća sveukupna disperzija. U tabeli 4.1 dat je prikaz izvoñenja eksperimenta sa ponavljanjem u centralnoj tački plana, a u tabeli 4.2 pri ponavljanju opita u tačkama plana eksperimenta, pri čemu se eksperiment sastoji iz N opita, a pojedini opiti se ponavljaju isti broj puta ( )N21 n...nn === ili različit broj puta

( )N21 n...nn ≠≠≠ .

FAKTORI OPIT

1x 2x K kx EKSPERIMENTALNI

REZULTATI

1 11x 21x K k1x 1y

2 12x 22x K k2x 2y

M M M M M N 1Nx 2Nx K kNx Ny

N+1 0 0 K 0 1Ny +

N+2 0 0 K 0 2Ny +

M M M M M

N+n0 0 0 K 0 0nNy +

Tabela 4.1

28

FAKTORI KRITERIJUMI OPTIMIZACIJE

OPIT 1x 2x K kx 1y 2y ky y

1. ponavljanje (n1)

11x 21x K k1x 11y 12y K 11ny ∑=

=1n

1j1j

1

1 yn

1y

2. ponavljanje (n2)

12x 22x K k2x 21y 22y K 22ny ∑=

=2n

1j2j

2

2 yn

1y

3. ponavljanje (n3)

1Nx 2Nx K kNx N1y N2y K NNny ∑=

=Nn

1jNj

N

N yn

1y

Tabela 4.2

Ukupan broj opita pri ponavljanju u centralnoj tački plana je:

0E nNN += (4.46) gde je N=2k broj opita kod linearnih matematičkih modela kod kojih se najčešće ulazni faktori variraju na dva nivoa (gornji i donji).

Ukupan broj opita pri istom broju ponavljanja u svim tačkama plana eksperimenta iznosi:

NnNE ⋅= (4.47)

Posle izvedenih eksperimenata pri unapred predviñenom ortogonalnom planiranju vrši se analiza rezultata metodom »korak po korak«. Na slici 4.3 prikazana je metodologija redosleda rada.

29

IZBORMATEMATI ČKOG

MODELA

PLANIRANJEEKSPERIMENTA

IZVRŠENJEEKSPERIMENTA

REGRESIONAANALIZA

DISPERZIONAANALIZA

ADEKVATNOSTMODELA

SIGNIFIKANTNOSTKOEFICIJENATA

IZBOR FAKTORA

IZBOR PARAMETARAOPTIMIZACIJE

PLAN 2K

B=(X X) X Y-1 PROGRAM I

PROGRAM IISISTEMPONAVLJANJA

F-TESTFa<Ft

F-TESTFbi>Ft

NE

NE

DA

DA

STOP

ODBACITINESIGNIFIKANTAN

KOEFICIJENT

X1

X2

XK

Y1

Y2

YK

, ,

Slika 4.3: Blok šema metodologije eksperimenta 1. Korak

Najprostiji slučaj kod ortogonalnih planova je slučaj ponavljanja opita u nultoj tački plana, pri čemu su koeficijenti regresije izračunavaju na osnovu izraza (4.27) ili

∑

∑

=

=⋅

= N

1u

2iu

N

1uuiu

i

x

yxb (4.48)

30

U slučaju ponavljanja opita u tačkama plana sa istim brojem ponavljanja nn...nn n21 ==== , koeficijenti regresije se izračunavaju iz izraza:

∑=

⋅=N

1uuiui yx

N

1b

∑=

⋅⋅=N

1uujuiuij yxx

N

1b (4.49)

∑=

⋅⋅⋅=N

1uunujuiuijn yxxx

N

1b

gde je:

∑=

=n

1juju y

n

1y - aritmetička sredina rezultata merenja u pojedinim tačkama plana,

n - broj ponavljanja opita, N - broj tačaka plana,

ujy - vrednost kriterijuma optimizacije za pojedina merenja.

Pri ponavljanju opita u tačkama plana različit broj puta nn...nn n21 ≠≠≠≠ ne može se

dati univerzalan izraz za izračunavanje koeficijenata regresije, već se za svaki slučaj posebno vrši proračun koristeći se metodom najmanjih kvadrata. 2. Korak

Posle izračunavanja koeficijenata regresijeib pristupa se analizi rezultata, odnosno:

• oceni signifikantnosti koeficijenata regresije, i • oceni adekvatnosti matematičkog modela.

Signifikantnost koeficijenata se odreñuje na osnovu vrednosti disperzije (2ys ) koja daje

grešku celokupnog eksperimenta, pa se označava sa 2Es .

Za sistem ponavljanja u centralnoj tački plana, disperzija je:

( )1n

yy

f

ss

0

n

1u

2

00u

E

E2E

0

−

−==∑

= (4.50)

gde su:

Es - suma kvadrata odstupanja za ceo eksperiment,

Ef - broj stepeni slobode eksperimenta,

0uy - rezultati merenja,

0y - aritmetička sredina rezultata merenja u centralnoj tački plana,

0n - broj ponavljanja u centralnoj tački.

Za slučaj ponavljanja u tačkama plana n puta, disperzija je:

( )( )1-nN

yy

f

ss

N

1u

n

1j

2

uuj

E

E2E ⋅

−==∑∑

= = (4.51)

31

Za nejednak broj ponavljanja opita, disperzija je:

∑

∑

=

=⋅

=+++

⋅++⋅+⋅= N

1uu

N

1uu

2u

N21

N2N2

221

212

E

f

fs

f...ff

fs...fsfss (4.52)

gde je: 2N

22

21 ,...ss,s - disperzija greške za pojedine opite,

1-nf1,...,-nf1,-nf NN2211 === - broj stepeni slobode za pojedine opite,

N21 n,...,n,n - broj ponavljanja u pojedinim opitima.

Za proveru signifikantnosti koriste se Fisher-ov i F-test ili Studentov t-test.

Računska vrednost F-testa dobija se iz odnosa disperzija pojedinih faktora od 1,…,k i greške celokupnog eksperimenta:

2E

2i

r s

sF

i= (4.53)

Računske vrednosti

irF za pojedine faktore uporeñuju se sa tabličnom vrednošću (Ft), F-

funkcije za pragove značajnosti α=10%, α=5% ili α=1%. Ako je ispunjen uslov:

tr FFi

> (4.54) može se zaključiti sa rizikom od 10%, 5% ili 1% da posmatrani faktori značajno utiču na odzivnu funkciju sistema. Ako je meñutim, računska vrednost

irF manja od tablične vrednosti Ft za

usvojeni prag značajnosti, posmatrani faktor ne utiče bitno na odziv sistema.

Adekvatnost matematičkog modela se proverava Fisher-ovim kriterijumom:

2E

2a

r s

sF

a= (4.55)

a

ER

a

a2a f

ss

f

ss

−==

( )∑=

−=N

1u

2

uuR yys

ERa fff −= 1-k-Nf R =

gde je 2as - disperzija adekvatnosti modela,

Rs - rezidualna suma,

af - broj stepeni slobode koji se odnosi na disperzionu adekvatnost,

Rf - broj stepeni slobode koji se odnosi na rezidualnu sumu.

Za slučaj ponavljanja u centralnoj tački plana, izraz se svodi na:

∑∑==

−=k

0i

2i

N

1u

2uR bNys

32

Računska vrednost ar

F u slučaju adekvatnog matematičkog modela treba da je manja od

tablične vrednosti Ft, odnosno:

tr FFa

< (4.56)

U slučaju neadekvatnog matematičkog modela potrebno je poboljšati model, što se postiže

uzimanjem u obzir meñusobnog uticaja faktora (interakcije), čime se povećava broj izračunavanja koeficijenata regresije ili u nekim slučajevima preći sa polinoma prvog reda na polinom višeg reda, čime se povećava broj opita. 3. Korak

Poslednja etapa pri obradi eksperimentalnih podataka je odreñivanje granice pouzdanosti za:

• koeficijente regresije, • matematički model.

Kod odreñivanja granica pouzdanosti za koeficijente regresije izračunava se verovatnoća,

za izabrani nivo značajnosti α, da će se koeficijenti βi nalaziti u intervalu poverenja: { } α1∆bbβ∆bbP iiii −=+≤≤− (4.57)

Odgovarajuća greška koeficijenata regresije bi jednaka je:

nN

st∆b y

i ⋅⋅

±= (4.58)

gde je: t - tablična vrednost t-kriterijuma za usvojen nivo značajnosti α i broj stepeni slobode f koji se koristi pri oceni 2Es ,

ys - procena vrednosti greške eksperimenta,

N - broj tačaka plana, n - broj ponavljanja u tačkama plana.

Kod linearnog matematičkog modela, vrednost

ibs se može dati izrazom:

nN

s

nN

ss

2E

2y2

bi ⋅=

⋅= (4.59)

pa je tada:

bji st∆b ⋅±= (4.60)

Izraz (4.57) prelazi tada u oblik:

{ } α1stbβstbP bjiibji −=⋅+≤≤⋅− (4.61)

Ocenjivanje tačnosti matematičkog modela vrši se preko izraza:

( ) ( )∑=

⋅±⋅=k

0i

2ii yσαf;txbη (4.62)

gde je ( )y2σ -disperzija rezultata eksperimenta

33

4.4.2 TREĆI SISTEM PONAVLJANJA

Kod planova eksperimenta bez ponavljanja potrebno je naći način za odreñivanje rezidualne varijanse, za šta se koriste dve metode:

1. iz prethodnih istraživanja na bazi saznanja o procesu koji se ispituje – eksperimentalna greška se procenjuje na bazi iskustva,

2. rezidualna varijansa se izjednačuje sa varijansama uzajamnih dejstava faktora višeg reda, prema Bartlett-ovom kriterijumu.

Bartlett-ov kriterijum se sastoji u sledećem:

Pretpostavlja se da postoji n-procena varijansi V1, V2,…,Vk sa f1,f2,…fk broja stepeni slobode, gde je:

∑=

=k

1iiff (4.63)

ukupan zbir broja stepeni slobode. Tada je prosečna vrednost varijanse:

f

VfV

n

1iii∑

=⋅

= (4.64)

M-kriterijum je dat izrazom:

∑=

⋅−⋅=n

1iii lnVflnVfM (4.65)

Ukoliko je izračunata vrednost manja od tablične vrednosti Mt važi pretpostavka da su

procene varijansi homogene. Ovo važi za broj stepeni slobode fi=1. Ako to nije ispunjeno, Fisher je predložio sledeći F-test:

( )Mbf

MfF

1

2r −⋅

⋅= (4.66)

Ako je ovako izračunata vrednost Fr manja od tablične vrednosti Ft prihvata se hipoteza o

homogenosti varijansi. Pri tome je:

1kf1 −=

2

2

f2

A1

fb

+−=

A

1kf 2

+= (4.67)

( )

−⋅

−⋅=

f

1

f

1

1k3

1A

i

Radi preglednosti u tabeli 4.3. je dat pregled redosleda izračunavanja pojedinih vrednosti

za različite sisteme ponavljanja opita.

34

Izbor varijac

ije

Način ponavljanja

eksperimenta broj stepeni slobode Suma kvadrata (s) Disperzija (s2)

Dispezioni odnosi (Fr)

Napomena

0b

1b

M

kb

1f 0 =

1f1 =

M

1f k =

2

0b bNs0

⋅=

211b bNs ⋅=

M

2kkb bNs ⋅=

0

0b2

0b f

ss =

1

1b2

1b f

ss =

M

k

kb2

kb f

ss =

2E

2

0b

0r s

sF =

2E

2

1b

1r s

sF =

M

2E

2

kb

kr s

sF =

Ko

efic

ijen

ti su

sig

nifi

kan

tni

za F

ri>F

t ;g

de

je F t(

f E,

f a, α

)

Rez

idu

aln

a su

ma

1kNf R −−=

( )∑=

−=N

1u

2

uuR yys

∑∑==

−=k

0i

2i

N

1u

2uR bNys

Uku

pna

sum

a

1f u = ∑=

=N

1u

2uu ys

Po

nav

ljan

je u

cen

tral

noj t

ačk

i pla

na

1nf 0E −=

( )∑=

−=0n

1u

2

00uE yys

20n

1u0u

0

0n

1u

20uE y

n

1ys

−= ∑∑==

E

E2E f

ss =

Ponavljanje u tačkama plana isti broj puta

( )1-nNf E ⋅= ( )∑∑= =

−=N

1u

n

1j

2

uujE yys E

E2E f

ss =

Ponavljanje u tačkama

plana različit broj puta

( )∑=

−=N

1uuE 1nf ( )∑∑

= =

−=N

1u

un

1j

2

uujE yys

∑

∑

=

=

⋅= N

1uu

N

1uuu

2E

f

fss

Ponavljanje u jednoj tački

n1 puta 1nf 1E −= ( )∑

=

−=1n

1j

2

11jE yys E

E2E f

ss =

Gre

ška

eksp

erim

enta

Ponavljanje u tačkama van plana p

puta

1pf E −= ( )∑=

−=p

1j

2

jE yys E

E2E f

ss =

Ponavljanje u centralnoj tački plana

0ERa nkNf-ff −−== ( ) ( )∑∑==

−−−=0n

0u

2

0u0

N

1u

2

uua yyyys

Ponavljanje u tačkama plana isti broj puta

( ) ( )1nN1kNf a −⋅−+−= ( )∑=

−=N

1u

2

uua yyns

Ponavljanje u tačkama

plana različit broj puta

( ) ( )∑=

−−+−=N

1uuE 1n1kNf

( )∑=

−⋅=N

1u

2

uuua yyns

Ponavljanje u jednoj tački

n1 puta ( ) ( )1n1kNf 1E −−+−= ( ) ( )∑

=

−⋅+−⋅=N

1u

2

uuu111a yynyyns

Ad

ekva

tno

st m

atem

atičk

og

mo

del

a

Ponavljanje u tačkama van plana p

puta

( ) ( )1p1kNf E −−+−= ( )∑=

−=N

1u

2

uua yys

a

a2a f

ss =

2E

2a

a s

sF =

Mat

emat

ički m

od

el je

ad

ekva

tan

za

Fa<

F t

gd

e je

F t(f

E,

f a, α

)

Tabela 4.3

35

4.5 YATES-ov POSTUPAK

Kada su svi faktori u eksperimentu na dva nezavisna nivoa, za izračunavanje koeficijenata

regresije bi i bij primenjuje se specifičan metod koji pojednostavljuje izračunavanje, što je vrlo pogodno kada imamo veći broj faktora. Ovaj postupak je poznat kao Yates-ov postupak.

Faktori se umesto x1,x2,…,xk označavaju slovnim oznakama A,B,C,…,Q. Pri tome je usvojeno sledeće: • nivo faktora A,B,C,…,Q obeležava se:

o A sa a o B sa b o C sa c itd. sa značenjem da se svaka vrsta plan matrice označena slovima nalazi na gornjem nivou, odnosno na vrednosti +1.

• opiti kod kojih su svi faktori na minimalnom nivou, označavaju se sa (1) • kombinacije ab, bc i ac označavaju da se na gornjem nivou istovremeno nalaze dva faktora • kombinacija abc označava da se na gornjem nivou nalaze tri faktora itd.

Izraz: ( ){ }abcbc,ac,c,ab,b,a,,1PM (4.68)

predstavlja plan matricu trofaktornog eksperimenta na dva nivoa, pri čemu se redosled eksperimenata odreñuje randomizacijom.

U tabeli 4.4 je prikazana plan matrica eksperimenta tipa 23.

Nivo faktora Eksperimentalne tačke A B C

Kod vrste

Vektor izlaza

1 + + + abc y1 2 - + + bc y2 3 + - + ac y3 4 - - + c y4 5 + + - ab y5 6 - + - b y6 7 + - - a y7 8 - - - (1) y8

Koeficijenti regresije

b1 b2 b3

Tabela 4.4

Efekat faktora A predstavljen razlikom prosečnih rezultata na gornjem i donjem nivou:

( ) ( )( )bccb14

1abcacaba

4

1A +++⋅−+++⋅=

36

( ) ( ) ( ) ( )[ ]bcabccacbab1a4

1A −+−+−+−⋅=

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1abc1ac1ab1a4

1A −+−+−+−⋅=

( ) ( )bccb11a4

1A +++⋅−⋅=

( ) ( )[ ]b1cb11a4

1A +⋅++⋅−⋅=

( ) ( ) ( )1c1b1a4

1A +⋅+⋅−⋅=

Na isti način se dobijaju:

( ) ( ) ( )1c1b1a4

1B +⋅−⋅+⋅=

( ) ( ) ( )1c1b1a4

1C −⋅+⋅+⋅=

Opšti izraz za k- faktora A,B,...,Q i nivoe a,b,...,q je:

( ) ( ) ( ) ( )1q...1c1b1a21

A1k

+⋅⋅+⋅+⋅−⋅

=−

(4.69)

Interakcija dva ili više faktora odreñuje se iz izraza koji je jednak polovini razlike efekta A kada je B na gornjem nivou (označava se sa A1) i efekta A kada je B na donjem nivou (označava se sa A0).

( )01 AA2

1AB −⋅=

gde je:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1c1cab2

1bbcababc

2

1bbc

2

1ababc

2

1A1 −−+⋅⋅⋅=−−+⋅=+⋅−+⋅=

( ) ( )1c1ab2

1A1 +⋅−⋅⋅=

( ) ( )( ) ( )( )1c-aac2

11c

2

1aac

2

1A 0 ++⋅=+⋅−+⋅=

( ) ( )1c1a2

1A 0 +⋅−⋅=

odnosno:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1c1a1c1ab4

1AB +⋅−−+⋅−⋅⋅=

( ) ( ) ( )1c1b1a4

1AB +⋅−⋅−⋅=

Opšti izraz za k- faktora je:

( ) ( ) ( ) ( )1q...1c1b1a21

AB1k

+⋅⋅+⋅−⋅−⋅

=−

(4.70)

37

Analogno ovome, ostale interakcije su:

( ) ( ) ( ) ( )1q...1c1b1a21

AC1k

+⋅⋅−⋅+⋅−⋅

=−

( ) ( ) ( ) ( )1q...1c1b1a21

BC1k

+⋅⋅−⋅−⋅+⋅

=−

(4.71)

M

( ) ( ) ( ) ( )1q...1c1b1a21

AQ1k

−⋅⋅+⋅+⋅−⋅

=−

Meñusobni uticaj tri faktora ABC dobija se kao polovina razlike interakcije AB kada je

faktor C na gornjem nivou (obeležava se sa AB1) i interakcije AB kada je faktor C na donjem nivou (obeležava se sa AB0):

( )01 ABAB2

1ABC −⋅=

( )cac-bcabc2

1AB1 +−⋅=

( ) ( )[ ]1a1abc2

1AB1 −−−⋅⋅⋅=

( ) ( )1b1ac2

1AB1 −⋅−⋅⋅=

( )1a-bab2

1AB0 +−⋅=

( ) ( )[ ]1a1ab2

1AB0 −−−⋅⋅=

( ) ( )1b1a2

1AB0 −⋅−⋅=

odnosno:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1b1a1b1ac4

1ABC −⋅−−−⋅−⋅⋅=

( ) ( ) ( )1c1b1a2

1ABC −⋅−⋅−⋅=

Meñusobni uticaj k – faktora je:

( ) ( ) ( ) ( )1q...1c1b1a2

1ABC...Q −⋅⋅−⋅−⋅−⋅= (4.72)

38

5.0 TRAŽENJE OPTIMUMA EKSPERIMENTALNIM PUTEM

Optimizacija složenih tehničkih i proizvodnih sistema može imati deterministički i stohastički prilaz.

Deterministički prilaz podrazumeva ispitivanje suštine procesa, odnosno mehanizma

pojava koje se mogu opisati matematičkim jezikom (npr. sistemi diferencijalnih jednačina) i koje se mogu poznatim matematičkim aparatom rešavati.

Meñutim, u složenim procesima koji se ne mogu opisati i rešavati na ovaj način, jedan od

najčešćih postupaka je optimizacija pomoću eksperimentalnih statističkih metoda. Ima više metoda koje omogućuju traženje ekstrema (maksimuma ili minimuma) koje se zasnivaju na metodi strmog penjanja uz različite metode uzastopnog približavanja optimumu.

Klasične eksperimentalne metode pri traženju optimuma su se pokazale neracionalnim.

Tako se, recimo, kod dvofaktornog eksperimenta kretanje ka optimumu vrši u dva pravca (slika 5.1).

1x

2x 1l

2l

0

1

2

34 5

6

1y

2y0M

.consty0 =

O

Slika 5.1: Kretanje prema optimumu kod dvofaktornog klasičnog eksperimenta

Polazi se iz tačke (0) i kreće po pravcu l1 držeći vektor x1 na konstantnom nivou. Da bi se odredio smer kretanja ka optimumu vrše se ogledi u tačkama (1) i (2). Pošto u smeru (2) izlazna funkcija opada, novi opiti se izvode u tačkama (3) i (4). Izlazna funkcija y4 ponovo opada ako je optimum – maksimum, ili raste ako je optimum – minimum pa se zaključuje da treba zadržati faktor x1 na nivou koji je odreñen tačkom 3 (x1

(3)). Sada se ista procedura traženja smera, a time i optimuma obavlja u pravcu l2. Pri ovome je veoma važno pravilno izabrati korak, jer suviše mali korak iziskuje veliki broj opita, a suviše veliki korak ima za posledicu prolaz kroz optimalnu oblast. Iz izloženog se vidi da je ovaj postupak neracionalan, pa se uglavnom koriste metode planiranja eksperimenta kombinovane sa raznim numeričkim tehnikama. Operativni postupak

39

ovih metoda zasniva se na kretanju po gradijentnoj liniji do optimuma procesa u odreñenom broju sukcesivnih ciklusa (slika 5.2)

1x

2x

0M

O

Slkika 5.2: Kretanje prema optimumu kod gradijentnih metoda traženja optimuma

Razvijen je veliki broj metoda za dostizanje optimuma eksperimentalnim putem, a koja će se od njih primeniti zavisi od prirode problema koji se ispituje. Na slici 5.3 su sistematizovane uobičajene metode traženja optimuma.

OPTIMUMFUNKCIJE VIŠEPROMENLJIVIH

SEKVENCIJALNIPLAN

PARCIJALNIPLANOVI

METODEDIREKTNOGTRAŽENJA

UBRZANODIREKTNOTRAŽENJE

METODAKONJUGOVANIH

PRAVACA

SIMPLEXMETODA

METODASTRMOGUSPONA

NUMERIČKEMETODE

TRAŽENJA

KANONI ČKAANALIZA

JEDNAČINE2. REDA

GRADIJENTNEMETODE

CENTRALNIKOMPOZICIONI

PLANOVI

ROTATABILNIPLANOVI

D-OPTIMIZACIONIPLANOVI

TRAŽENJE OPTIMUMA

Slika 5.3: Metode trženja optimuma

40

5.1 OPTIMUM FUNKCIJE VIŠE PROMENLJIVIH.

SEKVENCIJALNI PLAN

Kod sekvencijalne analize broj opita se ne zna unapred. Odluka koliko opita treba da bude zavisi od informacija dobijenih na svakoj etapi istraživanja. Sam naziv (sequel – niz) govori da se radi o metodi gde se opiti vrše u nizu – etapama. Metoda ima tri osnovna pravila, koja daju smernice za dalji rad i odlučivanje, a to su: • rezultati ispitivanja se prihvataju i ispitivanje se završava, • test se odbacuje, • test se produžava, a informacije iz predhodne etape se koriste u sledećoj.

Ovakva interaktivna metoda omogućuje dostizanje optimuma uz manji broj opita nego što je to slučaj kod uobičajenih planova eksperimenta. Traženje optimuma kod ove metode obuhvata sukcesivno izračunavanje nove vrednosti funkcije odziva (y) i poreñenje njene vrednosti sa do tada najboljom vrednošću. Kretanje se pri tome vrši iz početne tačke (x(0)) po odreñenom pravcu (l), sa odreñenim korakom (s). Koordinate novog vektora u tački (j) će biti:

( ) ( ) lsxx j1j ⋅+=+ (5.1)

Redosled rada “korak po korak” obuhvata: 1. izbor startne tačke – bira se gruba vrednost nezavisno promenljive, 2. vrši se opit (razvija se funkcija u startnoj tački), 3. izabranom metodom se utvrñuje nova tačka, 4. vrši se opit u novoj tački, 5. porede se rezultati (2) i (4), 6. ako je druga tačka bolja bira se nova tačka, a ako nije bira se nov pravac ili prekida

ispitivanje.

5.2 POTPUNI I DELIMI ČNI (PARCIJALNI) FAKTORNI EKSPERIMENT

Potpuni faktorni eksperiment (PFE) je onaj koji uključuje sve kombinacije izmeñu faktora koji se ponavljaju. Tako pored “čistih” efekata bi, koji pokazuju uticaj pojedinih faktora xi na funkciju reagovanja y, jednačina sadrži i koeficijente meñufaktorskog dejstva (interakcije) bij. Matematički model funkcije reagovanja biće predstavljen izrazom:

...xxxyk

1i

k

jijiijii0 +⋅⋅β+⋅β+β= ∑ ∑

= <

a sama funkcija:

...xxbxbbyk

1i

k

jijiijii0 +⋅⋅+⋅+= ∑ ∑

= <

Za slučaj dvofaktornog i trofaktornog eksperimenta funkcija odziva dobija oblik:

211222110 xxbxbxbby ⋅⋅+⋅+⋅+⋅=

odnosno: 32112332233113211222110 xxxbxxbxxbxxbxbxbby ⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅+=

41

Posmatrajući plan matricu potpunog trofaktornog eksperimenta (tabela 5.1) vidi se da kolona koja označava meñudejstvo x1x2 poklapa u nekim opitima sa kolonom koja označava faktor x3, a negde je suprotnog znaka. Tako imamo za opite 1, 4, 6, 7 da je x3=x1x2, a za opite 2, 3, 5, 8 da je x3=-x1x2.

N0 x0 x1 x2 x3 x1x2 x1x3 x2x3 x1x2x3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 3 1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 4 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 5 1 1 1 -1 1 1 -1 -1 6 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 7 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 8 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1

Tabela 5.1

Može se zaključiti da se iz delimičnog (parcijalnog) faktornog eksperimenta (DFE) mogu dobiti, premda ne kompletne, informacije o uticaju faktora i njihovih meñudejstava na izlaznu funkciju.

Iz jednog PFE mogu se dobiti različiti planovi DFE zavisno od sistema zamene meñudejstava novim faktorom. Za izbor DFE koristi se specijalni kriterijum ocene “sposobnost replike”, pod kojim se podrazumeva broj čistih, linearnih efekata koji nisu pomešani sa meñuefektima.

Zamenom meñufaktorskih efekata linearnim efektima otežava se analiza eksperimentalnih

podataka, jer se dobijaju zbirni koeficijenti, pomoću kojih se ocenjuju dejstva istovremeno i faktora i interakcija. Meñutim, ovakav postupak daje manji broj opita, pa je i jeftiniji, te se koristi naročito kada imamo veliki broj faktora.

Posmatrajući dvonivojske planove tipa 2k, videće se da je broj opita N=2k veći nego što je

broj ocenjenih liniskih efekata k. Razlika koja predstavlja “višak” opita jednaka je:

k2kN∆ k −=−= (5.2)

S obzirom da delimični eksperiment ima manji broj opita i ovaj “višak” će biti manji. Ako se u DFE “p” meñudejstava faktora iz PFE zamene novim faktorima, broj opita je tada:

p-k2N = (5.3)

Minimalan broj koji predstavlja “višak” opita neophodan da se pored k – koeficijenata tipa bi odredi i koeficijent b0 je:

1k2kN∆ p-k =−=−= (5.4)

Plan sa graničnim brojem faktora koji je dobijen zamenom svih meñufaktorskih efekata linijskim efektima novih faktora naziva se zasićenim. Zasićen plan sadrži minimalan broj opita,

42

što je povoljno sa ekonomskog stanovišta, ali krije u sebi opasnost da se iz analize eksperimentalnih rezultata izvedu pogrešni zaključci.

Ako posmatramo plan tipa 23 (tabela 5.1) i u njemu kolone koje označavaju interakciju zamenimo novim faktorima, imaćemo sledeće slučajeve:

a) ako se kolone x1x2x3 zameni faktorom x4, dobija se DFE kao deo PFE sa N=2k=24

3214 xxxx =

8222N 31-4p-k ==== 442kN∆ 3 =−=−=

21

21

p

=

b) ako se kolone x1x2x3 zameni faktorom x4, a kolone x1x2 faktorom x5

3214 xxxx =

215 xxx =

8222N 325-p-k ==== 352kN∆ 3 =−=−=

41

21

p

=

c) ako se kolone x1x2x3 zameni faktorom x4, kolone x1x2 faktorom x5 a kolone x1x3 faktorom x6

3214 xxxx =

215 xxx =

316 xxx =

8222N 33-6p-k ==== 262kN∆ 3 =−=−=

81

21

p

=

d) ako se kolone x1x2x3 zameni faktorom x4, kolone x1x2 faktorom x5 ,kolone x1x3 faktorom x6 a kolone x2x3 faktorom x7

3214 xxxx =

215 xxx =

316 xxx =

326 xxx =

8222N 34-7p-k ==== 172kN∆ 3 =−=−=

161

21

p

=

Odluka, koje će se interakcije zameniti novim faktorom, i kojim, zavisi od predhodnih

saznanja o ispitivanoj oblasti i od iskustva istraživača.

43

Iz izloženog se vidi da postoje razne kombinacije formiranja parcijalnih planova, zavisno od toga koliko kompletno želimo da dobijemo informacije o procesu, sa kakvim sredstvima raspolažemo, sa koliko raspoloživog vremena i slično. U tabeli 5.2 su prikazane razne mogućnosti formiranja replike PFE. Tako iz plana sa k=8 faktora možemo formirati DFE sa p=1 kao polurepliku sa N=128 opita, zatim četvrtrepliku sa N=64 opita, 1/8 replike sa N=32 opita, 1/16 replike sa N=16 opita i 1/32 repliku sa N=8 opita. To je ujedno i minimalna replika posle koje plan postaje zasićen, tako da iz tabele dobijamo odmah i maksimalni broj faktora koji se mogu u PFE uvesti umesto interakcija.

PFE DFE p replika k p=0

p=1

2

1

p=2

4

1

p=3

8

1

p=4

16

1

p=5

32

1

p=6

64

1

p=7

128

1

p=8

256

1

p=9

512

1

3 8 4 - - - - - - - - 4 16 8 - - - - - - - - 5 32 16 8 - - - - - - - 6 64 32 16 8 - - - - - - 7 128 64 32 16 8 - - - - - 8 256 128 64 32 16 8 - - - - 9 512 256 128 64 32 16 8 - - - 10 1024 512 256 128 64 32 16 8 - - 11 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 - 12 4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8

Tabela 5.2

5.2.1 DELIMIČNI FAKTORNI EKSPERIMENT KAO DEO POTPUNOG

FAKTORNOG EKSPERIMENTA-TIPA 2 3

Iz PFE tipa 23 mogu se dobiti dve polureplike (slika 5.4).

1x 1x

2x2x

3x3x

8

7 5

6

4

3

2

1

I polureplika II polureplika tačke: 1, 4, 6, 7 tačke: 2, 3, 5, 8

4222N 21-3p-k ==== 4222N 21-3p-k ====

Slika 5.4: Polureplike PFE tipa 23

44

Replike PFE se ocenjuju posredno, preko generatora (generirajuća meñuzavisnost) koji pokazuju zavisnost izmeñu interakcije i faktora, kojim je zamenjena. Tako za trofaktorni plan eksperimenta imamo dva generatora:

213 xxx = i 213 xxx −=

Kontrast J se dobija množenjem generatora odgovarajućim faktorom. Tako da je za trofaktorni eksperiment:

321 xxxJ = i 321 xxxJ −= (5.5)

Kontrast omogućuje odreñivanje načina menjanja efekata. Potrebno je pomnožiti obe strane odgovarajućim faktorima, pa pošto je 1x i ±= biće 1x 2

i = , odnosno za prvu repliku: 1xxxJ 321 ==

dobijamo:

3232211 xxxxxx ==

3132212 xxxxxx == (5.6)

2123213 xxxxxx ==

Za drugu polurepliku:

321 xxx −=

312 xxx −= (5.7)

213 xxx −=

Sistem rešenja je pogodno pisati pomoću koeficijenata regresije, pa je za prvu polurepliku:

2311 ββb +→′

1322 ββb +→′ (5.8)

1233 ββb +→′

Za drugu polurepliku se dobija:

2311 ββb −→′′

1322 ββb −→′′ (5.9)

1233 ββb −→′′

Sjedinjavanjem obe polureplike dobija se PFE. Koeficijenti regresije su tada:

2

bbb 00

0

″+′=

2

bbb 33

12

″−′=

2

bbb 11

1

″+′=

2

bbb 22

13

″−′= (5.10)

2

bbb 22

2

″+′=

2

bbb 11

23

″−′=

2

bbb 33

3

″+′=

45

Označavanje koeficijenata regresije polureplika sa ib′ odnosno ib ′′ vrši se onda ako se rade dve replike. Ako se radi samo jedna replika, koeficijenti se označavaju sa bi.

Plan matrica za prvu polurepliku, dobija se iz PFE čija je matrica plana prikazana u tabeli 5.3.

Opit 0x 321 xxx = 312 xxx = 213 xxx = uy

1 1 1 1 1 1y

4 1 -1 -1 1 4y

6 1 -1 1 -1 6y

7 1 1 -1 -1 7y

9 1 0 0 0 9y

10 1 0 0 0 10y

Tabela 5.3

a) Ponavljanje opita u nultoj tački n0=4 (tačke 9, 10, 11, 12 - za celokupni eksperiment) – interakcija 321 xxx se zanemaruje.

Matrica ulaznih vrednosti X je :

−−−−

−−

=

0001

0001

1111

1111

1111

1111

X (5.11)

Njena transponovana matrica je:

−−−−

−−=′

001111

001111

001111

111111

X (5.12)

Njihov proizvod je:

=

−−−−

−−

⋅

−−−−

−−=′

4000

0400

0040

0006

0001

0001

1111

1111

1111

1111

001111

001111

001111

111111

XX (5.13)

46

A inverzna matrica je:

( )

=′

41

000

04

100

0041

0

0006

1

XX 1- (5.14)

Tada je:

⋅

−−−−

−−⋅

=

10

9

7

6

4

1

4

3

2

1

y

y

y

y

y

y

001111

001111

001111

111111

41

000

04

100

0041

0

0006

1

b

b

b

b

(5.15)

U razvijenom obliku dobiće se tada da je:

( )10976410 yyyyyy6

1b +++++⋅=

( )76411 yyyy4

1b +−−⋅=

( )76412 yyyy4

1b −+−⋅= (5.16)

( )76413 yyyy4

1b −−+⋅=

b) Ponavljanje u tačkama plana n=3

Srednje aritmetičke sredine mernih vrednosti pojedinih opita su 7641 y,y,y,y , a vrednosti koeficijenata regresije su:

( )76410 yyyy4

1b +++⋅=

( )76411 yyy-y4

1b +−⋅=

( )76412 yyyy4

1b −+−⋅= (5.17)

( )76413 yyyy4

1b −−+⋅=

Pri čemu je opšti izraz za srednju aritmetičku sredinu pojedinih opita:

n

yy

n

1jj

i

∑==

47

5.2.2 DELIMIČNI FAKTORNI EKSPERIMENT TIPA 2 5-2 (ČETVRTREPLIKA)

Dobijanje četvrtreplike vrši se zamenom dvaju meñudejstava faktora novim faktorom. Ako meñudejstvo dva faktora zamenimo sa x4, a tri faktora sa x5 imaćemo 12 mogućih kombinacija za dobijanje četvrtreplike iz PFE tipa 25:

214 xxx = 3215 xxxx =

214 xxx = 3215 xxxx −=

214 xxx −= 3215 xxxx =

214 xxx −= 3215 xxxx −=

314 xxx = 3215 xxxx =

314 xxx = 3215 xxxx −= (5.18)

314 xxx −= 3215 xxxx =

314 xxx −= 3215 xxxx −=

324 xxx = 3215 xxxx =

324 xxx = 3215 xxxx −=

324 xxx −= 3215 xxxx =

324 xxx −= 3215 xxxx −=

Razmotrimo slučaj (1) – prva četvrtreplika:

214 xxx = 421 xxxJ =

3215 xxxx = 5321 xxxxJ = (5.19)

Množenjem dva kontrasta dobijamo treću zavisnost 543 xxxJ = , pa je:

5435321421 xxxxxxxxxxJ === (5.20)

Iz ovog zbirnog kontrasta dobijamo sledeće odnose združenih efekata, ako sve pomnožimo odgovarajućim faktorima:

5431532421 xxxxxxxxxx === 13452352411 ββββb +++→



5354321214 xxxxxxxxxx === 35123451244 ββββb +++→ (5.21)




Iz ovih jednačina se vidi da su mnogi liniski efekti pomešani sa dvojnim, trojnim i četvornim meñudejstvima faktora, što u mnogome otežava analizu uticaja pojedinih faktora, kao i njihovih meñudejstava na proces. Zato je potrebno, ako postoje neke apriori informacije da su meñudejstva faktora značajna, izvršiti još jedan niz opita, koji predstavljaju dopunsku

48

četvrtrepliku. Vrši se prema plan matrici koja odgovara prvoj četvrtreplici, ali sa promenjenim znakom:

214 xxx −=

3215 xxxx = (5.22) pa je zbirni kontrast ravan:

5435321421 xxxxxxxxxxJ −=== (5.23)

Treći kontrast se dobija množenjem predhodna dva. Iz kontrasta dobijamo:

5431532421 xxxxxxxxxx −==−= 13452352411 ββββb −+−→



5354321214 xxxxxxxxxx −==−= 35123451244 ββββb −+−→ (5.24)




Sabiranjem koeficijenata obe četvrtreplike dobijamo nove vrednosti:

23511 ββb +→ 12355 ββb +→

13522 ββb +→ 251313 ββb +→ (5.25)

12533 ββb +→ 231515 ββb +→

1234544 ββb +→

teorija eksperimenta

Documents