Álgebra y sus problemas Índice edades balanzas algunos consejos geometrÍa granjas carpinteros y...
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ÁLGEBRA Y SUS PROBLEMAS
ÍNDICE
EDADES
BALANZAS
Algunos consejos
GEOMETRÍA
GRANJAS
CARPINTEROS Y GRIFOS
PORCENTAJES
MEZCLAS
CRUCE
ALCANCE
ALGUNOS CONSEJOS
•¿A QUÉ LLAMAMOS x ?
SI TENEMOS VARIAS CANTIDADES RELACIONADAS, LLAMAREMOS x A LA MÁS PEQUEÑA
SI LA EDAD DE CARLOS ES EL TRIPLE QUE LA DE JULIA:
EDAD CARLOS3x
EDAD JULIAx
•AL TERMINAR UN PROBLEMA:
∎ PONER LAS UNIDADES A LAS SOLUCIONES
∎ RELEER EL ENUNCIADO PARA COMPROBAR QUE CONTESTAMOS A LO QUE NOS PREGUNTAN
PROBLEMAS DE EDADES
Carlos tiene el triple de la edad de su hermana Marta. Dentro de tres años la edad de Carlos será el doble de la edad de Marta. ¿Qué edad tiene cada uno?
Edad actual Edad dentro de tres años
Marta
Carlos
x + 3
3x
x
3x + 3
Colocaremos los datos en una tabla:
Nos fijamos en la columna: Edad dentro de tres años
Edad Edad dentro de dentro de tres añostres años
MartaMarta x+3x+3
CarlosCarlos 3x+33x+3
La ecuación la escribimos con esa columna
El enunciado dice: la edad de Carlos será el doble que la de Marta. Lo escribimos tal cual :
La edad de Carlos
3x+3
es
=
el doble
2·
de la edad de Marta
(x+3)
Luego ahora lo único que falta es resolver la ecuación:
3x + 3 = 2·(x + 3)
Nos fijamos en la columna: Edad hace cinco años
Edad hace cinco años
Hermano x – 5
Tío x + 10 - 5
La ecuación la escribimos con esa columna
Mi tío, actualmente, tiene diez años más que mi hermano y hace cinco años tenía el triple. ¿Cuántos años tiene cada uno?
Colocaremos los datos en una tabla:
Edad actualEdad hace cinco años
Hermano
Tío
x x - 5
x + 10 x + 10 - 5
¡Otro problema de edades!
El enunciado lo escribimos:
Mi tío tenía el triple de años que mi hermano
x + 10 - 5 = 3 • (x – 5)
¡Y resolveremos la ecuación!
x + 10 –5 = 3 • (x-5)
Hermano x – 5
Tío x + 10 - 5
“Problemas de balanzas”
Ana tiene cuatro cromos más que Pedro pero si le diese 8 a Pedro, éste tendría el doble de cromos que ella.
Colocamos los datos actuales en una tabla
ActualmenteDespués de dar Ana 8 cromos
Pedro
Ana
x
x + 4 x + 4 - 8
x + 8
Colocamos los datos después del cambio de cromos.
Escribimos la ecuación con la columna de después de dar y coger los cromos
Después de dar Ana 8 cromos
Pedro x + 8
Ana x + 4 - 8
El enunciado dice que Pedro tendrá el doble de cromos que Ana
Pedro tendráel doble de
cromosque Ana
x + 8 = 2 · (x + 4 - 8)
¡Y la ecuación queda!
x + 8 = 2 · (x + 4 – 8)
Pedro x + 8
Ana x + 4 - 8
Veamos si lo hemos entendido con otro ejemplo
Entre Juan y yo tenemos 42 euros. Si Juan me diese 2 €, yo tendría el cuadrado de dinero que él.
Actualmente
Yo
Juan
x + 2
42 – x - 2
Después de dar Juan 2 €
x
42 - x
Después de dar Juan 2 €
Yo x + 2
Juan 42 – x - 2
yo tendría el cuadrado
de dinero que él.
yo
x + 2
tendría
=
el cuadrado de dinero que él.
(42 – x – 2)2
¡Y a resolver la ecuación!
x + 2 = (42 – x – 2)2
Problemas Geométricos
El perímetro de un rectángulo es 28 cm. Averigua lo que mide cada lado si la base es 6 cm mayor que la altura.
Nota: Perímetro es la suma de todos los lados.
Haremos el dibujo y colocaremos los datos en él.
Llamamos x a la altura por ser el lado más pequeño.
x
x + 6
x
x + 6
Como la base es 6 cm mayor que la altura la llamaremos x + 6x + 6
Como el perímetro es 28 cm,
la ecuación queda:
x + x + 6 + x + x + 6 = 28
x
x + 6
Ya podemos resolverla
¡Otro problema!
Un rectángulo tiene por área 160 cm2. Calcula las dimensiones de sus lados si la base es 4 cm mayor que la altura.
Nota: El área de un rectángulo es base por la altura.
Datos:
• el área es 160 cm2
• la base mide 4 cm más que la altura.
1º Nos hacemos el dibujo.
2º Por ejemplo, llamamos x a la altura.
x
3º Como la base es 4 cm más que la altura, la llamaremos x + 4.
x + 4
El dato del área igual a 160 cm2 lo utilizamos para escribir la ecuación.
x + 4
x
Base • altura = Área
(x + 4) • x = 160
¡Y ya podemos resolver la ecuación,
que en este caso quedará de segundo grado!
¡Otro problema!
Calcula la altura de un triángulo equilátero de lado 20 cm.
En los problemas en los que se puede crear un triángulo rectángulo,
Nota:
H2 = C12 + C2
2 Teorema de PitágorasH Hipotenusa
C1Otro
cateto
C2 Un cateto
utilizaremos el
Lo primero realizamos el dibujo y escribimos los datos.
El lado mide 20 cm
¡Buscamos un triángulo
rectángulo representando la altura del triángulo !
Ahí está el triángulo
Tomamos el triángulo naranja:
Lado que mide 20cm Es la hipotenusa.
Lado que es la mitad del lado del triángulo inicial.
Mide 10cm.
Lado a calcula, x
20cmx
10cm
202 = 102 + x2
¡Ahora se resuelve la ecuación de segundo grado!
Hipotenusa2 = Cateto12 + Cateto2
2
Aplicamos el Teorema de Pitágoras:
PROBLEMAS DE
“ CABEZAS Y PATAS“
En una granja hay gallinas y conejos. Si en total hay 50 cabezas y 160 patas, ¿cuántas gallinas hay? ¿Y conejos?Nos creamos un cuadro para entenderlo bien:
Animales Patas
Gallinas
Conejos
Llamamos x a las gallinas
x
Y como el total de animales es 50, llamamos 50 – x a los conejos
50 - x
Como las gallinas tienen dos patas, en total
tendremos 2x
2xComo los conejos tienen
cuatro patas, en total tendremos 4(50 – x)
4(50 – x)
Viendo los datos del enunciado, el único dato que no hemos utilizado todavía es el 160, que es el número de patas, la ecuación la escribiremos con las patas.
Animales Patas
Gallinas x 2x
Conejos 50 - x 4(50 – x)
Luego las patas de las gallinas, más
las patas de los conejos son las patas
totales,
2x + 4(50 – x) = 160Y A
RESOLVER2x + 4(50 - x) = 160
160.
¡Otro problema de este tipo!
En un barco hay camarotes simples y dobles. Si en total hay 40 camarotes y se pueden alojar como máximo 48 personas,
¿cuántos camarotes hay dobles?
• Tengamos en cuenta que el número de personas que se pueden alojar es el mismo número que el de camas.
camarotes personas
simples
dobles
• Rellenamos la tabla como en el caso anterior
llamamos x a los camarotes simples,
x
40 - x 2(40 – x)
x
entonces como en total hay 40 camarotes, llamamos a los dobles 40 – x.
Como en cada simple solo hay una cama, cabrán x personas.
y en las dobles, 2(40-x)
camarotes personas
simples x x
dobles 40 - x 2(40-x)
El dato que nos queda por utilizar es el
número de personas, 48, luego utilizaremos
la columna de las personas.La suma de las personas de cada
tipo de camarote será el total.
x + 2(40 - x) = 48
Y A RESOLVER