安徽建筑工业学院省级精品课程 线性代数网络课件
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安徽建筑工业学院省级精品课程线性代数网络课件
Department of mathematics and physics
第六章 线性空间与线形变换
第一节 线性空间的定义与性质
线性空间是线性代数最基本的概念之一,也是一个抽象的概念,它是向量空间概念的推广.
线性空间是为了解决实际问题而引入的,它是某一类事物从量的方面的一个抽象,即把实际问题看作向量空间,进而通过研究向量空间来解决实际问题.
一、线性空间的定义
若对于任一数 与任一元素 ,总有唯一的一个元素 与之对应,称为 与 的积,记作
R VV
定义1 设 是一个非空集合, 为实数域.如果对于任意两个元素 ,总有唯一的一个元素 与之对应,称为 与 的和,记作
V ,V
V R
RV ,;,,设
;0
,,0)3(
都有对任何中存在零元素在 VV
;)1(
;)2(
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律,那么 就称为数域 上的向量空间(或线性空间).V R
;1)5(
;)6(
.)8(
;)7(
;0
,,)4(
使的负元素都有对任何 VV
2 .向量空间中的向量不一定是有序数组.
3 .判别线性空间的方法:一个集合,对于定义的加法和数乘运算不封闭,或者运算不满足八条性质的任一条,则此集合就不能构成线性空间.
说明
1 . 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算,称为线性运算.
(1)一个集合,如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算,则只需检验对运算的封闭性.
例1 实数域上的全体 矩阵,对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间,记作 .
nmnmR
,nmnmnm CBA ,nmnm DA
.是一个线性空间nmR
线性空间的判定方法
.
,
},,,,{][
,][,
0101
量空间向数乘多项式的乘法构成对于通常的多项式加法
即记作的多项式的全体次数不超过
RaaaaxaxapxP
xPn
nn
nn
n
2例
通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律.
)()( 0101 bxbxbaxaxa nn
nn
)()()( 0011 baxbaxba nnn ][xP n
)( 01 axaxa nn
)()()( 01 axaxa nn ][xP n
.][ 对运算封闭xP n
.
}0,
,,,{][
0
101
间空和乘数运算不构成向量对于通常的多项式加法
且
次多项式的全体
aRa
aaaxaxapxQ
n
n
nn
nn
3例
p0 000 xxn ][xQ n
.][ 对运算不封闭xQ n
例4 正弦函数的集合 .,sin RBABxAsxS
对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间.
221121 sinsin BxABxAss
xbxaxbxa sincossincos 2211
xbbxaa sincos 2121
BxA sin ].[xS
11111 sinsin BxABxAs ][xS
是一个线性空间 . xS
例5 在区间 上全体实连续函数,对函数的加法与数和函数的数量乘法,构成实数域上的线性空间.
],[ ba
一般地
例6 正实数的全体,记作 ,在其中定义加法及乘数运算为
R
.,,,, RbaRaaabba
验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间.R
(2)一个集合,如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算,则必需检验是否满足八条线性运算规律.
证明 ;,, RabbaRba
.,, RaaRaR 所以对定义的加法与乘数运算封闭.
下面一一验证八条线性运算规律:
;)1( abbaabba
);()()())(2( cbacabcabcba
有对任何中存在零元素 ,,1)3( RaR
;11 aaa
使有负元素 ,,)4( 1 RaRa
;111 aaaa
;1)5( 1 aaa
;)6( aaaaa
;
)7(
aa
aaaaaa
baababba )()()8(
所以 对所定义的运算构成线性空间.R
.baba
0,,0),,( 1 nTxx
不构成线性空间.
对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法
例7 个有序实数组成的数组的全体n
RxxxxxxxS nnTn ,,,),,,( 2121
.对运算封闭S n
,1 ox 但 .不满足第五条运算规律
.
,
线性空间不是所以线性运算由于所定义的运算不是 S n
1 .零元素是唯一的.
证明 假设 是线性空间 V 中的两个零元素,
21 0,0
.0,0 21
由于 ,0,0 21 V
所以 .000,000 121212
则对任何 ,V 有
.000000 212211
二、线性空间的性质
2 .负元素是唯一的.证明 假设 有两个负元素 与 , 那么
.0,0 则有 0
0 .
向量 的负元素记为 .
.00;1;00.3
证明 ,101010
.00 ,0011111
.1
10
0
.0
4 .如果 ,则 或 . 0 0 0
证明 假设 ,0 那么 011
.0
.11
又
.0
同理可证:若 则有0 .0
三、线性空间的子空间定义 2 设 是一个线性空间, 是 的一个非空子集,如果 对于 中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间,则称 为 的子空间.
V
L
V
VVL
L
定理 线性空间 的非空子集 构成子空间的充分必要条件是: 对于 中的线性运算封闭.VL
V L
解 (1) 不构成子空间 .因为对
1000
001WBA
??32 为什么空间的下列子集是否构成子R
;,,0
01)1( 1
Rdcb
dc
bW
.,,,000
0)2( 2
Rcbacba
c
baW
例 8
有 ,000
0021WBA
即 对矩阵加法不封闭,不构成子空间 .1W
,000
000)2( 2W
因 .2非空即W
对任意
22
22
1
11
00
0,
00
0W
c
baB
c
baA
有 ,0111 cba ,0222 cba
于是
21
2121
00
0
cc
bbaaBA
满足 ,0212121 ccbbaa
, 2WBA 即 有对任意 Rk
1
11
00
0
kc
kbkakA
且 ,0111 kckbka
,2WkA即 .322 的子空间是故 RW
线性空间的元素统称为“向量”,但它可以是通常的向量,也可以是矩阵、多项式、函数等 .
线性空
间
是一个集合
对所定义的加法及数乘运算封闭所定义的加法及数乘符合线性运算
四、小结 线性空间是二维、三维几何空间及 维向量空间的推广,它在理论上具有高度的概括性 .
n
思考题
??
,,
为什么上的一个线性空间是否构成数量乘法对于通常的向量加法和的所有解向量
元非齐次线性方程组上的实数域
R
BAXnR
思考题解答. 上的一个线性空间不能构成R答
BXABXA
BAX
nXX
21
21
,
,
,,
则的解向量元非齐次线性方程组都是设事实上
BBBBXAXAXXA 2 )( 2121但
.
,21
不封闭向量的集合对加法运算也就是说所有解的解向量不是即 BAXXX
. 空间因此不能构成一个线性
第二节 维数、基与坐标
一、线性空间的基与维数
已知:在 中,线性无关的向量组最多由 个向量组成,而任意 个向量都是线性相关的.
Rn n1n
问题:线性空间的一个重要特征——在线性空间 中,最多能有多少线性无关的向量?V
;,,, )1( 21 线性无关n
.,
,,, , 21
维数的称为线性空间基的一个就称为线性空间那末
Vn
Vn ,
,,, 2)( 21
表示线性总可由中任一元素 nV
定义1 在线性空间 中,如果存在 个元素n
n ,,, 21 满足:
V
., nVnn 记作维线性空间的线性空间称为维数为
可表示为则的一个基为若 nnn VV ,,,, 21
RxxxxxxV nnnn ,,, 212211
当一个线性空间 中存在任意多个线性无关的向量时,就称 是无限维的.
VV
,2211 nnxxx
.,,,,
,,,,,,
21
2121
nT
nn
xxx
xxx
并记作基下的坐标
这个在称为元素有序数组
使数总有且仅有一组有序于任一元素
对的一个基是线性空间设
,,,,
,
,,,,
21
21
n
n
nn
xxx
V
V
定义2
二、元素在给定基下的坐标
.,
,,,1,][ 4
53
42
3214
就是它的一个基
中在线性空间
xpx
pxpxppxP
1例
axaxaxaxap 012
23
34
4
4
次的多项式任一不超过
papapapapap 5443322110 可表示为
) , , , ,(
43210 aaaaa
pT
在这个基下的坐标为因此
注意
则
若取另一基
,
,,2,1,1 4
5
34
2321
xq
xqxqxqq
qaqaqaqaqaap 544332211102
1)(
) , ,2
1 , ,(
432110 aaaaaa
pT
在这个基下的坐标为因此
线性空间 的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同,一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的.
V
10
00,
01
00
,00
10,
00
01
2221
1211
EE
EE
, 43
21224213122111
kk
kkEkEkEkEk
有
例2 所有二阶实矩阵组成的集合 ,对于矩阵的加法和数量乘法,构成实数域 上的一个线性空间.对于 中的矩阵
V
VR
,00
00 224213122111
OEkEkEkEk
因此
, 2221
1211 Vaa
aaA
对于任意二阶实矩阵
,0 3321 kkkk
.,,, 22211211 线性无关即 EEEE
.,,, 22211211 的一组基为因此 VEEEE
EaEaEaEaA 2222212112121111 有
.) , , ,( 22211211 aaaa
AT
在这组基下的坐标是而矩阵
.))!1(
)( , ,
!2
)('' ),(' ),((
,,,,)(
)1( T
321
n
afafafaf
xf
n
n
下的坐标是在基因此
则由泰勒公式知
)(,,)(),(,1
,][ 1
n2
321 axaxax
xRn
n
取一组基中在线性空间3例
)()!1(
)(
)(!2
)(''))((')()(
1)1(
2
axn
af
axaf
axafafxf
nn
.
,
.,
,,,, 21
的一个映射到的坐标之间的对应就是
因此向量与它中的元素而向量的坐标可以看作
确定的坐标中的每个向量都有唯一这组基下在的一组基维线性空间是设
RV
R
V
Vn
nn
n
n
nn
.
.11
.
,,
算的关系上在它与运这个对应的重要性表现对应的映射的一个与我们称这样的映射是中的不同元素
因而对应同中不同的向量的坐标不同时应
中的向量与之对中的每个元素都有由于
RV
RV
VR
nn
nn
nn
三、线性空间的同构
的坐标分别为与于是 k
n
n
bbb
aaa
n
n
21
21
21
21
设
则和
下的坐标分别为在基即向量
,),,,(),,,(
,,,,
2121
21
bbbaaa
V
nT
nT
n
nnn bababa )()()( 222111
nnakakakk 2211
),,,(),,,(
),,,(
2121
2211
bbbaaa
bababa
nT
nT
nnT
),,,(),,,( 2121 aaakakakak nT
nT
.
.
,
,:
点下面更确切地说明这一的讨论归结为
的讨论就因而线性空间就归结为坐标的运算它们的运算在向量用坐标表示后上式表明
R
Vn
n
定义 设 是两个线性空间,如果它们的元素之间有一一对应关系 ,且这个对应关系保持线性组合的对应,那末就称线性空间 与 同构 .U V
VU、
例如 维线性空间n
RxxxxxxV nnnn ,,, 212211
与 维数组向量空间 同构 . n nR
因为),,,( )1( 21 nTn
n xxxRV 中的元素与中的元素形成一一对应关系;
V n nnxxx 2211
) , , ,( 21 nTxxxx Rn
设)2(
则有 ),,,(),,,( 2121 nT
nT yyyxxx
),,,( 21 nTxxx
),,,( 21 nTyyy
),,,( 21 nTxxx
3.同维数的线性空间必同构.
2.同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性.
结论1.数域 上任意两个 维线性空间都同构.nP
同构的意义
在线性空间的抽象讨论中,无论构成线性空间的元素是什么,其中的运算是如何定义的,我们所关心的只是这些运算的代数性质.从这个意义上可以说,同构的线性空间是可以不加区别的,而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数.
1.线性空间的基与维数;
2.线性空间的元素在给定基下的坐标;
坐标:(1)把抽象的向量与具体的数组向量联系起来;
3.线性空间的同构.
四、小结
(2)把抽象的线性运算与数组向量的线性运算联系起来.
中元素求由 3xP
,142)( 231 xxxxf
,1932)( 232 xxxxf
,56)( 33 xxxf
5752)( 234 xxxxf
生成的子空间的基与维数 .
思考题
思考题解答
0)()()()(
44332211 xfkxfkxfkxfk
令解
.0)55()7694(
)532()22(
43214321
2421
34321
kkkkxkkkk
xkkkxkkkk
则得
.
0
0
0
0
5511
7694
5032
2121
4
3
2
1
k
k
k
k
因此
则系数矩阵为设该齐次线性方程组的 ,A
0000
0000
1210
4301
~初等行变换
A
有
且该子空间的维数为所生成的子空间的基
是线性无关因此
,2,)(
),(),(),(,)(),(,
4
32121
xf
xfxfxfxfxf
).()(4)(
),(2)(3)(
214
213
xfxfxf
xfxfxf
第三节 基变换与坐标变换
一、基变换公式与过渡矩阵
那么,同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢?换句话说,随着基的改变,向量的坐标如何改变呢?
问题:在 维线性空间 中,任意 个线性无关的向量都可以作为 的一组基.对于不同的基,同一个向量的坐标是不同的.
nV
V n
且有两个基的是线性空间及设
,
,,,,,, 2121 nnn V
,
2211
22221122
12211111
nnnnnn
nn
nn
ppp
ppp
ppp
称此公式为基变换公式.
nnnnnn
nn
nn
ppp
ppp
ppp
2211
22221122
12211111
由于
nnnnn
n
n
n ppp
ppp
ppp
2
1
21
22212
12111
2
1
.2
1
n
TP
Pnn ,,,,,, 2121
基变换公式基变换公式
矩阵 称为由基 到基 的过渡矩阵.
,
,,,,,,
2121
中
在基变换公式Pnn
n ,,, 21 n ,,, 21 P
过渡矩阵 是可逆的.P
若两个基满足关系式
Pnn ,,,,,, 2121
二、坐标变换公式
,)',,','(
,,,
,),,,(
,,,, 1
21
21
21
21
nT
n
nT
nn
xxx
xxx
V
下的坐标为在基为
下的坐标在基中的元素设定理
则有坐标变换公式
,
'
'
'
2
1
2
1
nn x
x
x
P
x
x
x
.
'
'
'
2
1
12
1
nn x
x
x
P
x
x
x
或
证明
n
n
x
x
x
2
1
21 ,,,
'
'
'
,,, 2
1
21
n
n
x
x
x
Pnn ,,,,,, 2121
.
'
'
'
,,,,,, 2
1
212
1
21
n
n
n
n
x
x
x
P
x
x
x
.
'
'
'
2
1
2
1
nn x
x
x
P
x
x
x
即
.
'
'
'
,
2
1
12
1
nn x
x
x
P
x
x
x
P
所以可逆由于矩阵
.
,23 ,22
,22 ,12
,1 ,12
,1 ,2
][
234
233
22
231
234
233
232
231
3
求坐标变换公式
及
中取两个基在
xxxxxx
xxxx
xxxxx
xxxxxx
xP
1例
.,,,,,, 43214321 表示用将解
,)1,,,(),,,( 234321 Axxx因为
,)1,,,(),,,( 234321 Bxxx
,
2221
1120
3111
1202
,
1110
0111
1212
1111
BA其中
.),,,(),,,( 143214321 BA 得
.
'
'
'
'
4
3
2
1
1
4
3
2
1
x
x
x
x
AB
x
x
x
x
故坐标变换公式为
.1AB 用初等变换计算
AB
11102221
01111120
12123111
11111202
~初等行变换
11111000
10000100
00110010
11100001
11111000
10000100
00110010
11100001
ABE 1
1111
1000
0011
1110
.
1111
1000
0011
1110
'
'
'
'
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
所以
.
21
1 ,
1
1
1
0 ,
0
1
.
2
21
21
的两个基为线性空间
及
设
RV
坐标变换的几何意义 2例
,2
121 又设 下的坐标为在基则 21 ,
1
21
2
1
x
x
下的坐标为在基由坐标变换公式可知 21 ,,
1
21
1
21
211
111
2
1
y
y
.2
1 21 即
x
y
o 1
2
2
12
1
1
2
12
1
1.基变换公式
nnnnnn
nn
nn
ppp
ppp
ppp
2211
22221122
12211111
Pnn ,,,,,, 2121
三、小结
2.坐标变换公式
,
'
'
'
2
1
2
1
nn x
x
x
P
x
x
x
或 .
'
'
'
2
1
12
1
nn x
x
x
P
x
x
x
.32
,1,1,, 2
3233
在这个基下的坐标并求多项式
的一个基是证明
xx
xPxxxxx
思考题
思考题解答
0
)()()(
)1()1()(
43422
33
21
42
33
23
1
kkxkkxkxkk
xkxkxxkxk
令证明
0
,0
,0
,0
43
42
3
21
kk
kk
k
kk
04321 kkkk
.][,1,1,, 3233 的一个基是线性无关故 xPxxxxx
,32
)1()1()( 2
42
33
23
1
xx
xaxaxxaxa
又令
3
,2
,1
,0
43
42
3
21
aa
aa
a
aa
则
.2
,1
,0
,0
4
3
2
1
a
a
a
a
解之可得
.)2,1,0,0(322 Txx 在这个基下的坐标为故
第四节 线性变换
线性空间中向量之间的联系,是通过线性空间到线性空间的映射来实现的.
1.映射一、线性变换的概念
).(,)(
),(
,,
,,
,, 1
ATT
B
A
B
ABA
或记作或映射的变换
到集合合这个对应规则称为从集那么和它对应中一个确定的元素总有按照一定规则元素
中任一如果对于设有两个非空集合定义
,)()( ATAT
变换的概念是函数概念的推广.
即记作象集称为象的全体所构成的集合的源集称为变换下的源在变换称为下的象在变换称为
变为把元素就说变换设
),(,
,
. ,
,,)(,
AT
TA
TT
TTA
.)( BAT 显然
;
,,)1(
2121
21
TTT
Vn
有任给
.,,)2( kTkTRkVn 都有任给
., 的线性变换到为从就称那么 mn UVT
满足如果变换的变换到是一个从性空间维线维和分别是实数域上的设定义TUVT
mnUV
mn
mn
,,
, 2
2 .从线性空间 到 的线性变换V n U m
.,
,,, 2)(
下的象在变换代表元素或变换代表线性一般用黑体大写字母
TTT
BAT
说明
.)1( 组合的对应的变换线性变换就是保持线性
.,
,
中的线性变换称为线性空间自身的线性变换到其是一个从线性空间那么如果
V
VTVU
n
nnm
3.从线性空间 到其自身的线性变换V n
下面主要讨论线性空间 中的线性变换.V n
,][ 3中在线性空间 xP1例. )1( 是一个线性变换微分运算D
,][ 3012
23
3 xPaxaxaxap ,23 12
23 axaxaDp
,][ 3012
23
3 xPbxbxbxbq ,23 12
23 bxbxbDq
)]()()()[( 00112
223
33 baxbaxbaxbaD )( qpD 从而
)()(2)(3 11222
33 baxbaxba )23()23( 12
2312
23 bxbxbaxaxa
;DqDp
)()( 012
23
3 akxakxakxakDkpD
)23( 122
3 axaxak
.kDp
.,)( )2( 0 也是一个线性变换那么如果 TapT
);()()( 00 qTpTbaqpT
).()( 0 pkTakkpT
.
,,1)()3( 11
性变换但不是线是个变换那么如果 TpT
,1)(1 qpT
,211)()( 11 qTpT但
).()()( 111 qTpTqpT 所以
.,
cossin
sincos
的几何意义说明平面上的一个变换确定
由关系式
TTxOy
y
x
y
xT
2例
解
,sin
,cos
ry
rx记 于是
y
xT
cossin
sincos
yx
yx
cossinsincos
sinsincoscos
rr
rr,
)sin(
)cos(
r
r
.
:
角转向旋把任一向量按逆时针方变换上式表明
T
x
y
o
p
p1
证明 设 ., VxgVxf
则有 dttgtfxgxfTx
a
dttgdttfx
a
x
a
xgTxfT
例3 定义在闭区间上的全体连续函数组成实数域上的一个线性空间 ,在这个空间中变换
是一个线性变换 .
dttfxfTx
aV
xkfT
故命题得证 .
证明
则有 E EE
V ,设
dttkfxa tdtfk x
a .xfkT
. kEkkE
例4 线性空间 中的恒等变换(或称单位变换) :
是线性变换. ., VE
VE
所以恒等变换 是线性变换.E
证明
000000
设 ,, V 则有
.0000 kkk
所以零变换是线性变换.
例5 线性空间 中的零变换 : 是线性变换.
00 V O
证明 ,,,,,, 3321321 Rbbbaaa
332211 ,, bababaTT
0,, 32322
11 bbaaba
0,,0,, 322132
21 bbbaaa
. TT 证毕 .
例6 在 中定义变换
则 不是 的一个线性变换.
0,,,, 3221321 xxxxxxT
3R
3RT
;,00.1 TTT
.
,,,,,,,.3 2121
亦线性相关则线性相关若
m
m
T
TT
;
,.2
2211
2211
mm
mm
TkTkTkT
kkk
则若
二、线性变换的性质
.
,,,,,,, 2121
不一定线性无关则线性无关若 mm TTT 注意
证明 ,, 21 nVT设 ,, 21 nV则有,, 2211 TT使 从而
2121 TT ,21 nVTT ;21 nV因
11 kTk ,1 nVTkT ,1 nVk 因
由于 ,nn VVT 由上述证明知它对 中的线nV
线性运算封闭,故它是 的子空间.nV
.),
()( .4
的象空间称为线性变换的子空间是一个线性空间的象集线性变换
T
VVTT nn
证明 ,, 21 TS若 ,0,0 21 TT
则 2121 TTT 0 ;21 TS
,,1 RkST 若 则 0011 kkTkT .1 TSk
,对线性运算封闭因此 TS ,nT VS 又
.的子空间是故 nT VS
.,
0,0.5
的核称为线性变换的子空间是
的全体的使
TSV
TVST
Tn
nT
阶矩阵设有n 7例
),,,,( 21
21
22221
11211
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
为中的变换定义其中 )(,2
1
xTyR
a
a
a
n
ni
i
i
i
),(,)( RxAxxT n .为线性变换则T
,, Rba n设 则
)( baT )( baA AbAa );()( bTaT
)(kaT )(kaA kAa ).(akT
量空间所生成的向的象空间就是由又 nT ,,,, 21
},,,
{)(
21
2211
Rxxx
xxxyRT
n
nnn
.
0
间的解空就是齐次线性方程组的核 AxST T
三、小结 要证一个变换 是线性变换,必须证 保持加法和数量乘法,即
, TTT . kTkT
TT
若证一个变换 不是线性变换,只须证 不保持加法或数量乘法,并且只须举出一个反例即可.
T T
.,
)(
,,
3
3
2
1
3
2
1
3
3
2
1
3
并分析其几何意义的一个线性变换是试证明
定义
对任意的一个变换是设
R
a
a
a
a
a
a
R
a
a
aR
思考题
思考题解答( )略 证明
:几何意义
.
)(,
面镜子反射所成的象对于这就是平面作为一面镜子将 xOy
.反射变换镜面变换或者这个变换也称为
第五节 线性变换的矩阵表示式
一、线性变换的矩阵表示式阶矩阵设n
),,,,( 21
21
22221
11211
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
为中的变换定义其中 )(,2
1
xTyR
a
a
a
n
ni
i
i
i
),(,)( RxAxxT n .为线性变换则T
那么为单位坐标向量设 ,,,, 21 eee n
,
0
0
1
1
21
22221
11211
1
aaa
aaa
aaa
eA
nnnn
n
n
,
1
0
0
21
22221
11211
n
nnnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
eA
,
),,2,1( )( nieTeA iii 即
.)(
,)(,
为列向量应以那么矩阵有关系式如果一个线性变换因此
eTA
AxxTT
i
那么使如果一个线性变换反之
),,
,2,1()(,
n
ieTT ii
)(xT ]),,,[( 21 xeeeT n
)( 2211 exexexT nn )()()( 2211 eTxeTxeTx nn
xeTeTeT n))(,),(),(( 21 xn),,,( 21 .Ax
其中表示
都可用关系式中任何线性变换
,
)()(
,
RxAxxT
TRn
n
))(,),(),(( 21 eTeTeTA n
,
21
22221
11211
aaa
aaa
aaa
nnnn
n
n
.,,, 21 为单位坐标向量eee n
可知综上所述,
,
,
,
2211
22221122
12211111
nnnnnn
nn
nn
aaaT
aaaT
aaaT
二、线性变换在给定基下的矩阵定义1 设 是线性空间 中的线性变换,在 中取定一个基 ,如果这个基在变换下的象为
nV nVn ,,, 21
TT
其中 ,
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
AT nn ,,,,,, 2121
上式 ,,,,,,, 2121 nn TTTT 记
可表示为
那末, 就称为线性变换 在基 下的矩阵.
n,,, 21A T
.)(,),(, 1 唯一确定由基的象矩阵显然 nTTA
?,
),,,(),,,(
,,,,
,,,,
2121
21
21
需要满足什么条件呢变换那么
下的象为在变换也就是说基的矩阵下在基是线性变换假设现在
T
AT
T
TA
nn
n
n
有设 ,,1
i
n
iin xV
)(T )(1
i
n
iixT
n
iiiTx
1)(
x
x
x
TTT
n
n 2
1
21 ))(,),(),((
,),,,( 2
1
21
x
x
x
A
n
n
.),,,(),,,( 2
1
212
1
21
x
x
x
A
x
x
x
T
n
n
n
n
即
.
,
为矩阵的线性变换是以变换并且所确定的变换上式唯一地确定了一个
AT
T
.由上式唯一确定为矩阵的线性变换以 TA
.
,
,
T
AA
TV n
个线性变换也可唯一地确定一由一个矩阵确定一个矩阵
可唯一地由线性变换中取定一个基后在
.
,
一对应的
线性变换与矩阵是一在给定一个基的条件下
结论
:
),,,(),,,( 2
1
212
1
21
可知
从关系式
x
x
x
A
x
x
x
T
n
n
n
n
,,,, 21 下在基 n
; 2
1
x
x
x
n
的坐标为
.)( )( 2
1
x
x
x
ATT
n
的坐标为
有因此按坐标表示 ,
.)( AT
.
,1,,,
,][
432
23
1
3
的矩阵求微分运算
取基中在
D
pxpxpxp
xP
1例
解
,00000
,10001
,02002
,00303
43214
43213
43212
43212
1
pppppD
pppppD
ppppxpD
ppppxpD
在这组基下的矩阵为所以D
.
0100
0020
0003
0000
A
.,
,][)
(][
],[,
上的一个线性空间构成数与多项式的乘法
它对于多项式的加法和组成的集合记作式包括零多项的所有一元多项式中次数小于记作合上所有一元多项式的集实数域
R
xR
nxR
xRR
n
2例
.,
][:
][)(),())((
,][
微分变换这个变换也称为变换
上的一个线性是则由导数性质可以证明
定义变换中在线性空间
xR
xRxfxfdx
dxf
xR
n
n
n
则有的基为现取 ,,,,,1][ 12 xxxxR nn
,0)1( ,1)( x ,2)( 2 xx
,
下的矩阵为在基因此 xxx n 12 ,,,,1,
0000
1000
0200
0010
n
A
xnx nn 21 )1()(
即变换平面的线性表示将向量投影到中在
,
, 3 xOyTR3例
,)( jyixkzjyixT
.,,,)2(
;,,,)1(
的矩阵求取基为
的矩阵求取基为
Tkjiji
Tkji
解
,0
,
,
)1(
kT
jjT
iiT
.
000
010
001
),,(),,(
kjikjiT
即
,
,
,
)2(
jiT
jT
iT
.
000
110
101
),,(),,(
T即
此例表明:同一个线性变换在不同的基下一般有不同的矩阵.
同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵,那么这些矩阵之间有什么关系呢?
三、线性变换在不同基下的矩阵上面的例子表明
,,,,;,,, 2121 nn
定理1 设线性空间 中取定两个基nV
由基 到基 的过渡矩阵为 , 中的线性变换 在这两个基下的矩阵依次为 和 ,那末
n ,,, 21 n ,,, 21 nV
.1APPB P TA B
于是 nn TB ,,,,,, 2121
],,,[ 21 PT n
PT n ,,, 21
证明 Pnn ,,,,,, 2121
,,,,,,, 2121 AT nn
BT nn ,,,,,, 2121
APn ,,, 21
APPn1
21 ,,,
因为 线性无关,n,,, 21
所以 .APPB 1 证毕 .
定理表明: 与 相似,且两个基之间的过渡矩阵 就是相似变换矩阵.
B AP
例4
.,
,
,
12
2221
1211
212
下的矩阵在基求
下的矩阵为在基中的线性变换设
T
aa
aaA
TV
,01
10),(),( 2112
解
,01
10
P即 ,
01
10 1
P求得
下的矩阵为在基于是 ),( 12 T
01
10
01
10
2221
1211
aa
aaB
.1112
2122
aa
aa
01
10
1211
2221
aa
aa
).(, ARTTA 的秩就是则的矩阵是若
., rnSTrT T 的维数为的核则的秩为若
.
,)(
的秩性变换称为线的维数的象空间线性变换2定义
T
VTT n
.,,
987
654
321
,,3
132
3
21
下的矩阵在基求
下的矩阵为在基的线性变换维线性空间已知
A
V5例
解 由条件知
987
654
321
),,(),,( 321321
3213
3212
3211
963)(
852)(
74 )(
即
下的矩阵为在基因此 132 ,,
74)(
396)(285)(
1321
1323
1322
从而有
.
174
396
285
B
给定了线性空间 的一组基以后, 中的线性变换与 中的矩阵形成一一对应.因此,在线性代数中,可以用矩阵来研究变换,也可以用变换来研究矩阵.
nR nRnnR
同一变换在不同基下的矩阵是相似的.
四、小结
的两个线性变换已知 22R
22,, RXMXXSXNXT
11
11,
02
01NM
.,,, 22211211 下的矩阵在基试求 EEEEST
思考题
思考题解答))(( 11EST 解 )()( 1111 ESET EMNE 1111
00
01
02
01
11
11
00
01
02
12,22 211211 EEE
同理可得
,220
01
))((
2211
121212
EE
EMNEEST
,11
00
))((
2221
212121
EE
EMNEEST
,11
00
))((
2221
222222
EE
EMNEEST
组基下的矩阵为在这所以 ST
.
1120
1102
0001
0012
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