安徽建筑工业学院省级精品课程线性代数网络课件

Department of mathematics and physics

第六章 线性空间与线形变换

第一节 线性空间的定义与性质

　　线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．

　　线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题．

一、线性空间的定义

　　若对于任一数 与任一元素 ，总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的积，记作

R VV

定义１ 设 是一个非空集合， 为实数域．如果对于任意两个元素 　，总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的和，记作

V ,V

V R

RV ,;,,设

;0

,,0)3(

都有对任何中存在零元素在 VV

;)1(

;)2(

如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么 就称为数域 上的向量空间（或线性空间）．V R

;1)5(

;)6(

.)8(

;)7(

;0

,,)4(

使的负元素都有对任何 VV

　　 2 ．向量空间中的向量不一定是有序数组．

　　 3 ．判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．

说明

　　 1 ． 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算．

　　（１）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．

例１ 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 ．

nmnmR

,nmnmnm CBA ,nmnm DA

.是一个线性空间nmR

线性空间的判定方法

.

,

},,,,{][

,][,

0101

量空间向数乘多项式的乘法构成对于通常的多项式加法

即记作的多项式的全体次数不超过

RaaaaxaxapxP

xPn

nn

nn

n

2例

　　通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律．

)()( 0101 bxbxbaxaxa nn

nn

)()()( 0011 baxbaxba nnn ][xP n

)( 01 axaxa nn

)()()( 01 axaxa nn ][xP n

.][ 对运算封闭xP n

.

}0,

,,,{][

0

101

间空和乘数运算不构成向量对于通常的多项式加法

且

次多项式的全体

aRa

aaaxaxapxQ

n

n

nn

nn

3例

p0 000 xxn ][xQ n

.][ 对运算不封闭xQ n

例４ 正弦函数的集合 .,sin RBABxAsxS

对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间．

221121 sinsin BxABxAss

xbxaxbxa sincossincos 2211

xbbxaa sincos 2121

BxA sin ].[xS

11111 sinsin BxABxAs ][xS

是一个线性空间 . xS

例５ 在区间 上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间．

],[ ba

一般地

例６ 正实数的全体，记作 ，在其中定义加法及乘数运算为

R

.,,,, RbaRaaabba

验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间．R

　　（２）一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律．

证明 ;,, RabbaRba

.,, RaaRaR 所以对定义的加法与乘数运算封闭．

下面一一验证八条线性运算规律：

;)1( abbaabba

);()()())(2( cbacabcabcba

有对任何中存在零元素 ,,1)3( RaR

;11 aaa

使有负元素 ,,)4( 1 RaRa

;111 aaaa

;1)5( 1 aaa

;)6( aaaaa

;

)7(

aa

aaaaaa

baababba )()()8(

所以 对所定义的运算构成线性空间．R

.baba

0,,0),,( 1 nTxx

不构成线性空间．

对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法

例７ 个有序实数组成的数组的全体n

RxxxxxxxS nnTn ,,,),,,( 2121

.对运算封闭S n

,1 ox 但 .不满足第五条运算规律

.

,

线性空间不是所以线性运算由于所定义的运算不是 S n

1 ．零元素是唯一的．

证明　　　　　假设 是线性空间 V 中的两个零元素，

21 0,0

.0,0 21

由于 ,0,0 21 V

所以 .000,000 121212

则对任何 ，V 有

.000000 212211

二、线性空间的性质

2 ．负元素是唯一的．证明 假设 有两个负元素 与 ， 那么

.0,0 则有 0

0 .

向量 的负元素记为 .

.00;1;00.3

证明 ,101010

.00 ,0011111

.1

10

0

.0

4 ．如果 ，则 或 . 0 0 0

证明 假设 ,0 那么 011

.0

.11

又

.0

同理可证：若 则有0 .0

三、线性空间的子空间定义 2 　设 是一个线性空间， 是 的一个非空子集，如果 对于 中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称 为 的子空间．

V

L

V

VVL

L

定理　线性空间 的非空子集 构成子空间的充分必要条件是： 对于 中的线性运算封闭．VL

V L

解 (1) 不构成子空间 .因为对

1000

001WBA

??32 为什么空间的下列子集是否构成子R

;,,0

01)1( 1

Rdcb

dc

bW

.,,,000

0)2( 2

Rcbacba

c

baW

例 8

有 ,000

0021WBA

即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间 .1W

,000

000)2( 2W

因 .2非空即W

对任意

22

22

1

11

00

0,

00

0W

c

baB

c

baA

有 ,0111 cba ,0222 cba

于是

21

2121

00

0

cc

bbaaBA

满足 ,0212121 ccbbaa

, 2WBA 即 有对任意 Rk

1

11

00

0

kc

kbkakA

且 ,0111 kckbka

,2WkA即 .322 的子空间是故 RW

　　线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等 .

线性空

间

是一个集合

对所定义的加法及数乘运算封闭所定义的加法及数乘符合线性运算

四、小结　　线性空间是二维、三维几何空间及 维向量空间的推广，它在理论上具有高度的概括性 .

n

思考题

??

,,

为什么上的一个线性空间是否构成数量乘法对于通常的向量加法和的所有解向量

元非齐次线性方程组上的实数域

R

BAXnR

思考题解答. 上的一个线性空间不能构成R答

BXABXA

BAX

nXX

21

21

,

,

,,

则的解向量元非齐次线性方程组都是设事实上

BBBBXAXAXXA 2 )( 2121但

.

,21

不封闭向量的集合对加法运算也就是说所有解的解向量不是即 BAXXX

. 空间因此不能构成一个线性

第二节 维数、基与坐标

一、线性空间的基与维数

　　已知：在　中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的．

Rn n1n

　　问题：线性空间的一个重要特征——在线性空间 中，最多能有多少线性无关的向量？V

;,,, )1( 21 线性无关n

.,

,,, , 21

维数的称为线性空间基的一个就称为线性空间那末

Vn

Vn ,

,,, 2)( 21

表示线性总可由中任一元素 nV

定义１ 在线性空间 中，如果存在 个元素n

n ,,, 21 满足：

V

., nVnn 记作维线性空间的线性空间称为维数为

可表示为则的一个基为若 nnn VV ,,,, 21

RxxxxxxV nnnn ,,, 212211

　　当一个线性空间 中存在任意多个线性无关的向量时，就称 是无限维的．

VV

,2211 nnxxx

.,,,,

,,,,,,

21

2121

nT

nn

xxx

xxx

并记作基下的坐标

这个在称为元素有序数组

使数总有且仅有一组有序于任一元素

对的一个基是线性空间设

,,,,

,

,,,,

21

21

n

n

nn

xxx

V

V

定义２

二、元素在给定基下的坐标

.,

,,,1,][ 4

53

42

3214

就是它的一个基

中在线性空间

xpx

pxpxppxP

1例

axaxaxaxap 012

23

34

4

4

次的多项式任一不超过

papapapapap 5443322110 可表示为

) , , , ,(

43210 aaaaa

pT

在这个基下的坐标为因此

注意

则

若取另一基

,

,,2,1,1 4

5

34

2321

xq

xqxqxqq

qaqaqaqaqaap 544332211102

1)(

) , ,2

1 , ,(

432110 aaaaaa

pT

在这个基下的坐标为因此

　　　线性空间 的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的．

V

10

00,

01

00

,00

10,

00

01

2221

1211

EE

EE

, 43

21224213122111

kk

kkEkEkEkEk

有

例２　所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性空间．对于 中的矩阵

V

VR

,00

00 224213122111

OEkEkEkEk

因此

, 2221

1211 Vaa

aaA

对于任意二阶实矩阵

,0 3321 kkkk

.,,, 22211211 线性无关即 EEEE

.,,, 22211211 的一组基为因此 VEEEE

EaEaEaEaA 2222212112121111 有

.) , , ,( 22211211 aaaa

AT

在这组基下的坐标是而矩阵

.))!1(

)( , ,

!2

)('' ),(' ),((

,,,,)(

)1( T

321

n

afafafaf

xf

n

n

下的坐标是在基因此

则由泰勒公式知

)(,,)(),(,1

,][ 1

n2

321 axaxax

xRn

n

取一组基中在线性空间3例

)()!1(

)(

)(!2

)(''))((')()(

1)1(

2

axn

af

axaf

axafafxf

nn

.

,

.,

,,,, 21

的一个映射到的坐标之间的对应就是

因此向量与它中的元素而向量的坐标可以看作

确定的坐标中的每个向量都有唯一这组基下在的一组基维线性空间是设

RV

R

V

Vn

nn

n

n

nn

.

.11

.

,,

算的关系上在它与运这个对应的重要性表现对应的映射的一个与我们称这样的映射是中的不同元素

因而对应同中不同的向量的坐标不同时应

中的向量与之对中的每个元素都有由于

RV

RV

VR

nn

nn

nn

三、线性空间的同构

的坐标分别为与于是 k

n

n

bbb

aaa

n

n

21

21

21

21

设

则和

下的坐标分别为在基即向量

,),,,(),,,(

,,,,

2121

21

bbbaaa

V

nT

nT

n

nnn bababa )()()( 222111

nnakakakk 2211

),,,(),,,(

),,,(

2121

2211

bbbaaa

bababa

nT

nT

nnT

),,,(),,,( 2121 aaakakakak nT

nT

.

.

,

,:

点下面更确切地说明这一的讨论归结为

的讨论就因而线性空间就归结为坐标的运算它们的运算在向量用坐标表示后上式表明

R

Vn

n

定义　设 是两个线性空间，如果它们的元素之间有一一对应关系 ，且这个对应关系保持线性组合的对应，那末就称线性空间 与 同构 .U V

VU、

例如 维线性空间n

RxxxxxxV nnnn ,,, 212211

与 维数组向量空间 同构 . n nR

因为),,,( )1( 21 nTn

n xxxRV 中的元素与中的元素形成一一对应关系；

V n nnxxx 2211

) , , ,( 21 nTxxxx Rn

设)2(

则有 ),,,(),,,( 2121 nT

nT yyyxxx

),,,( 21 nTxxx

),,,( 21 nTyyy

),,,( 21 nTxxx

３．同维数的线性空间必同构．

　　２．同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性．

结论１．数域 上任意两个 维线性空间都同构．nP

同构的意义

　　在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．

１．线性空间的基与维数；

２．线性空间的元素在给定基下的坐标；

　　坐标：（１）把抽象的向量与具体的数组向量联系起来；

３．线性空间的同构．

四、小结

　　　　　（２）把抽象的线性运算与数组向量的线性运算联系起来．

中元素求由 3xP

,142)( 231 xxxxf

,1932)( 232 xxxxf

,56)( 33 xxxf

5752)( 234 xxxxf

生成的子空间的基与维数 .

思考题

思考题解答

0)()()()(

44332211 xfkxfkxfkxfk

令解

.0)55()7694(

)532()22(

43214321

2421

34321

kkkkxkkkk

xkkkxkkkk

则得

.

0

0

0

0

5511

7694

5032

2121

4

3

2

1

k

k

k

k

因此

则系数矩阵为设该齐次线性方程组的 ,A

0000

0000

1210

4301

~初等行变换

A

有

且该子空间的维数为所生成的子空间的基

是线性无关因此

,2,)(

),(),(),(,)(),(,

4

32121

xf

xfxfxfxfxf

).()(4)(

),(2)(3)(

214

213

xfxfxf

xfxfxf

第三节 基变换与坐标变换

一、基变换公式与过渡矩阵

　　那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？

　　问题：在 维线性空间 中，任意 个线性无关的向量都可以作为 的一组基．对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的．

nV

V n

且有两个基的是线性空间及设

,

,,,,,, 2121 nnn V

,

2211

22221122

12211111

nnnnnn

nn

nn

ppp

ppp

ppp

称此公式为基变换公式．

nnnnnn

nn

nn

ppp

ppp

ppp

2211

22221122

12211111

由于

nnnnn

n

n

n ppp

ppp

ppp

2

1

21

22212

12111

2

1

.2

1

n

TP

Pnn ,,,,,, 2121

基变换公式基变换公式

　 矩阵 称为由基 到基 的过渡矩阵．

,

,,,,,,

2121

中

在基变换公式Pnn

n ,,, 21 n ,,, 21 P

过渡矩阵 是可逆的．P

若两个基满足关系式

Pnn ,,,,,, 2121

二、坐标变换公式

,)',,','(

,,,

,),,,(

,,,, 1

21

21

21

21

nT

n

nT

nn

xxx

xxx

V

下的坐标为在基为

下的坐标在基中的元素设定理

则有坐标变换公式

,

'

'

'

2

1

2

1

nn x

x

x

P

x

x

x

.

'

'

'

2

1

12

1

nn x

x

x

P

x

x

x

或

证明

n

n

x

x

x

2

1

21 ,,,

'

'

'

,,, 2

1

21

n

n

x

x

x

Pnn ,,,,,, 2121

.

'

'

'

,,,,,, 2

1

212

1

21

n

n

n

n

x

x

x

P

x

x

x

.

'

'

'

2

1

2

1

nn x

x

x

P

x

x

x

即

.

'

'

'

,

2

1

12

1

nn x

x

x

P

x

x

x

P

所以可逆由于矩阵

.

,23 ,22

,22 ,12

,1 ,12

,1 ,2

][

234

233

22

231

234

233

232

231

3

求坐标变换公式

及

中取两个基在

xxxxxx

xxxx

xxxxx

xxxxxx

xP

1例

.,,,,,, 43214321 表示用将解

,)1,,,(),,,( 234321 Axxx因为

,)1,,,(),,,( 234321 Bxxx

,

2221

1120

3111

1202

,

1110

0111

1212

1111

BA其中

.),,,(),,,( 143214321 BA 得

.

'

'

'

'

4

3

2

1

1

4

3

2

1

x

x

x

x

AB

x

x

x

x

故坐标变换公式为

.1AB 用初等变换计算

AB

11102221

01111120

12123111

11111202

~初等行变换

11111000

10000100

00110010

11100001

11111000

10000100

00110010

11100001

ABE 1

1111

1000

0011

1110

.

1111

1000

0011

1110

'

'

'

'

4

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

所以

.

21

1 ,

1

1

1

0 ,

0

1

.

2

21

21

的两个基为线性空间

及

设

RV

坐标变换的几何意义 2例

,2

121 又设 下的坐标为在基则 21 ,

1

21

2

1

x

x

下的坐标为在基由坐标变换公式可知 21 ,,

1

21

1

21

211

111

2

1

y

y

.2

1 21 即

x

y

o 1

2

2

12

1

1

2

12

1

１．基变换公式

nnnnnn

nn

nn

ppp

ppp

ppp

2211

22221122

12211111

Pnn ,,,,,, 2121

三、小结

２．坐标变换公式

,

'

'

'

2

1

2

1

nn x

x

x

P

x

x

x

或 .

'

'

'

2

1

12

1

nn x

x

x

P

x

x

x

.32

,1,1,, 2

3233

在这个基下的坐标并求多项式

的一个基是证明

xx

xPxxxxx

思考题

思考题解答

0

)()()(

)1()1()(

43422

33

21

42

33

23

1

kkxkkxkxkk

xkxkxxkxk

令证明

0

,0

,0

,0

43

42

3

21

kk

kk

k

kk

04321 kkkk

.][,1,1,, 3233 的一个基是线性无关故 xPxxxxx

,32

)1()1()( 2

42

33

23

1

xx

xaxaxxaxa

又令

3

,2

,1

,0

43

42

3

21

aa

aa

a

aa

则

.2

,1

,0

,0

4

3

2

1

a

a

a

a

解之可得

.)2,1,0,0(322 Txx 在这个基下的坐标为故

第四节 线性变换

　　线性空间中向量之间的联系，是通过线性空间到线性空间的映射来实现的．

１．映射一、线性变换的概念

).(,)(

),(

,,

,,

,, 1

ATT

B

A

B

ABA

或记作或映射的变换

到集合合这个对应规则称为从集那么和它对应中一个确定的元素总有按照一定规则元素

中任一如果对于设有两个非空集合定义

,)()( ATAT

变换的概念是函数概念的推广．

即记作象集称为象的全体所构成的集合的源集称为变换下的源在变换称为下的象在变换称为

变为把元素就说变换设

),(,

,

. ,

,,)(,

AT

TA

TT

TTA

.)( BAT 显然

;

,,)1(

2121

21

TTT

Vn

有任给

.,,)2( kTkTRkVn 都有任给

., 的线性变换到为从就称那么 mn UVT

满足如果变换的变换到是一个从性空间维线维和分别是实数域上的设定义TUVT

mnUV

mn

mn

,,

, 2

2 ．从线性空间 到 的线性变换V n U m

.,

,,, 2)(

下的象在变换代表元素或变换代表线性一般用黑体大写字母

TTT

BAT

说明

.)1( 组合的对应的变换线性变换就是保持线性

.,

,

中的线性变换称为线性空间自身的线性变换到其是一个从线性空间那么如果

V

VTVU

n

nnm

３．从线性空间 到其自身的线性变换V n

下面主要讨论线性空间 中的线性变换．V n

,][ 3中在线性空间 xP1例. )1( 是一个线性变换微分运算D

,][ 3012

23

3 xPaxaxaxap ,23 12

23 axaxaDp

,][ 3012

23

3 xPbxbxbxbq ,23 12

23 bxbxbDq

)]()()()[( 00112

223

33 baxbaxbaxbaD )( qpD 从而

)()(2)(3 11222

33 baxbaxba )23()23( 12

2312

23 bxbxbaxaxa

;DqDp

)()( 012

23

3 akxakxakxakDkpD

)23( 122

3 axaxak

.kDp

.,)( )2( 0 也是一个线性变换那么如果 TapT

);()()( 00 qTpTbaqpT

).()( 0 pkTakkpT

.

,,1)()3( 11

性变换但不是线是个变换那么如果 TpT

,1)(1 qpT

,211)()( 11 qTpT但

).()()( 111 qTpTqpT 所以

.,

cossin

sincos

的几何意义说明平面上的一个变换确定

由关系式

TTxOy

y

x

y

xT

2例

解

,sin

,cos

ry

rx记 于是

y

xT

cossin

sincos

yx

yx

cossinsincos

sinsincoscos

rr

rr,

)sin(

)cos(

r

r

.

:

角转向旋把任一向量按逆时针方变换上式表明

T

x

y

o

p

p1

证明 设 ., VxgVxf

则有 dttgtfxgxfTx

a

dttgdttfx

a

x

a

xgTxfT

例３　定义在闭区间上的全体连续函数组成实数域上的一个线性空间 ，在这个空间中变换

是一个线性变换 .

dttfxfTx

aV

xkfT

故命题得证 .

证明

则有 E EE

V ,设

dttkfxa tdtfk x

a .xfkT

. kEkkE

例４　线性空间 中的恒等变换（或称单位变换） ：

是线性变换． ., VE

VE

所以恒等变换 是线性变换．E

证明

000000

设 ,, V 则有

.0000 kkk

所以零变换是线性变换．

例５　线性空间 中的零变换 ：　　　是线性变换．

00 V O

证明 ,,,,,, 3321321 Rbbbaaa

332211 ,, bababaTT

0,, 32322

11 bbaaba

0,,0,, 322132

21 bbbaaa

. TT 证毕 .

例６　在 中定义变换

则 不是 的一个线性变换．

0,,,, 3221321 xxxxxxT

3R

3RT

;,00.1 TTT

.

,,,,,,,.3 2121

亦线性相关则线性相关若

m

m

T

TT

;

,.2

2211

2211

mm

mm

TkTkTkT

kkk

则若

二、线性变换的性质

.

,,,,,,, 2121

不一定线性无关则线性无关若 mm TTT 注意

证明 ,, 21 nVT设 ,, 21 nV则有,, 2211 TT使 从而

2121 TT ,21 nVTT ;21 nV因

11 kTk ,1 nVTkT ,1 nVk 因

由于 ,nn VVT 由上述证明知它对 中的线nV

线性运算封闭，故它是 的子空间．nV

.),

()( .4

的象空间称为线性变换的子空间是一个线性空间的象集线性变换

T

VVTT nn

证明 ,, 21 TS若 ,0,0 21 TT

则 2121 TTT 0 ;21 TS

,,1 RkST 若 则 0011 kkTkT .1 TSk

,对线性运算封闭因此 TS ,nT VS 又

.的子空间是故 nT VS

.,

0,0.5

的核称为线性变换的子空间是

的全体的使

TSV

TVST

Tn

nT

阶矩阵设有n 7例

),,,,( 21

21

22221

11211

n

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

为中的变换定义其中 )(,2

1

xTyR

a

a

a

n

ni

i

i

i

),(,)( RxAxxT n .为线性变换则T

,, Rba n设 则

)( baT )( baA AbAa );()( bTaT

)(kaT )(kaA kAa ).(akT

量空间所生成的向的象空间就是由又 nT ,,,, 21

},,,

{)(

21

2211

Rxxx

xxxyRT

n

nnn

.

0

间的解空就是齐次线性方程组的核 AxST T

三、小结　　要证一个变换 是线性变换，必须证 保持加法和数量乘法，即

, TTT . kTkT

TT

　　若证一个变换 不是线性变换，只须证 不保持加法或数量乘法，并且只须举出一个反例即可．

T T

.,

)(

,,

3

3

2

1

3

2

1

3

3

2

1

3

并分析其几何意义的一个线性变换是试证明

定义

对任意的一个变换是设

R

a

a

a

a

a

a

R

a

a

aR

思考题

思考题解答( )略 证明

:几何意义

.

)(,

面镜子反射所成的象对于这就是平面作为一面镜子将 xOy

.反射变换镜面变换或者这个变换也称为

第五节 线性变换的矩阵表示式

一、线性变换的矩阵表示式阶矩阵设n

),,,,( 21

21

22221

11211

n

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

为中的变换定义其中 )(,2

1

xTyR

a

a

a

n

ni

i

i

i

),(,)( RxAxxT n .为线性变换则T

那么为单位坐标向量设 ,,,, 21 eee n

,

0

0

1

1

21

22221

11211

1

aaa

aaa

aaa

eA

nnnn

n

n

,

1

0

0

21

22221

11211

n

nnnn

n

n

n

aaa

aaa

aaa

eA

,

),,2,1( )( nieTeA iii 即

.)(

,)(,

为列向量应以那么矩阵有关系式如果一个线性变换因此

eTA

AxxTT

i

那么使如果一个线性变换反之

),,

,2,1()(,

n

ieTT ii

)(xT ]),,,[( 21 xeeeT n

)( 2211 exexexT nn )()()( 2211 eTxeTxeTx nn

xeTeTeT n))(,),(),(( 21 xn),,,( 21 .Ax

其中表示

都可用关系式中任何线性变换

,

)()(

,

RxAxxT

TRn

n

))(,),(),(( 21 eTeTeTA n

,

21

22221

11211

aaa

aaa

aaa

nnnn

n

n

.,,, 21 为单位坐标向量eee n

可知综上所述,

,

,

,

2211

22221122

12211111

nnnnnn

nn

nn

aaaT

aaaT

aaaT

二、线性变换在给定基下的矩阵定义１　设 是线性空间 中的线性变换，在 中取定一个基 ，如果这个基在变换下的象为

nV nVn ,,, 21

TT

其中 ,

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

AT nn ,,,,,, 2121

上式 ,,,,,,, 2121 nn TTTT 记

可表示为

那末， 就称为线性变换 在基 下的矩阵．

n,,, 21A T

.)(,),(, 1 唯一确定由基的象矩阵显然 nTTA

?,

),,,(),,,(

,,,,

,,,,

2121

21

21

需要满足什么条件呢变换那么

下的象为在变换也就是说基的矩阵下在基是线性变换假设现在

T

AT

T

TA

nn

n

n

有设 ,,1

i

n

iin xV

)(T )(1

i

n

iixT

n

iiiTx

1)(

x

x

x

TTT

n

n 2

1

21 ))(,),(),((

,),,,( 2

1

21

x

x

x

A

n

n

.),,,(),,,( 2

1

212

1

21

x

x

x

A

x

x

x

T

n

n

n

n

即

.

,

为矩阵的线性变换是以变换并且所确定的变换上式唯一地确定了一个

AT

T

.由上式唯一确定为矩阵的线性变换以 TA

.

,

,

T

AA

TV n

个线性变换也可唯一地确定一由一个矩阵确定一个矩阵

可唯一地由线性变换中取定一个基后在

.

,

一对应的

线性变换与矩阵是一在给定一个基的条件下

结论

:

),,,(),,,( 2

1

212

1

21

可知

从关系式

x

x

x

A

x

x

x

T

n

n

n

n

,,,, 21 下在基 n

; 2

1

x

x

x

n

的坐标为

.)( )( 2

1

x

x

x

ATT

n

的坐标为

有因此按坐标表示 ,

.)( AT

.

,1,,,

,][

432

23

1

3

的矩阵求微分运算

取基中在

D

pxpxpxp

xP

1例

解

,00000

,10001

,02002

,00303

43214

43213

43212

43212

1

pppppD

pppppD

ppppxpD

ppppxpD

在这组基下的矩阵为所以D

.

0100

0020

0003

0000

A

.,

,][)

(][

],[,

上的一个线性空间构成数与多项式的乘法

它对于多项式的加法和组成的集合记作式包括零多项的所有一元多项式中次数小于记作合上所有一元多项式的集实数域

R

xR

nxR

xRR

n

2例

.,

][:

][)(),())((

,][

微分变换这个变换也称为变换

上的一个线性是则由导数性质可以证明

定义变换中在线性空间

xR

xRxfxfdx

dxf

xR

n

n

n

则有的基为现取 ,,,,,1][ 12 xxxxR nn

,0)1( ,1)( x ,2)( 2 xx

,

下的矩阵为在基因此 xxx n 12 ,,,,1,

0000

1000

0200

0010

n

A

xnx nn 21 )1()(

即变换平面的线性表示将向量投影到中在

,

, 3 xOyTR3例

,)( jyixkzjyixT

.,,,)2(

;,,,)1(

的矩阵求取基为

的矩阵求取基为

Tkjiji

Tkji

解

,0

,

,

)1(

kT

jjT

iiT

.

000

010

001

),,(),,(

kjikjiT

即

,

,

,

)2(

jiT

jT

iT

.

000

110

101

),,(),,(

T即

　　此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般有不同的矩阵．

　　同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？

三、线性变换在不同基下的矩阵上面的例子表明

,,,,;,,, 2121 nn

定理１　设线性空间 中取定两个基nV

由基 到基 的过渡矩阵为 ， 中的线性变换 在这两个基下的矩阵依次为 和 ，那末

n ,,, 21 n ,,, 21 nV

.1APPB P TA B

于是 nn TB ,,,,,, 2121

],,,[ 21 PT n

PT n ,,, 21

证明 Pnn ,,,,,, 2121

,,,,,,, 2121 AT nn

BT nn ,,,,,, 2121

APn ,,, 21

APPn1

21 ,,,

因为 线性无关，n,,, 21

所以 .APPB 1 证毕 .

　　定理表明： 与 相似，且两个基之间的过渡矩阵 就是相似变换矩阵．

B AP

例４

.,

,

,

12

2221

1211

212

下的矩阵在基求

下的矩阵为在基中的线性变换设

T

aa

aaA

TV

,01

10),(),( 2112

解

,01

10

P即 ,

01

10 1

P求得

下的矩阵为在基于是 ),( 12 T

01

10

01

10

2221

1211

aa

aaB

.1112

2122

aa

aa

01

10

1211

2221

aa

aa

).(, ARTTA 的秩就是则的矩阵是若

., rnSTrT T 的维数为的核则的秩为若

.

,)(

的秩性变换称为线的维数的象空间线性变换2定义

T

VTT n

.,,

987

654

321

,,3

132

3

21

下的矩阵在基求

下的矩阵为在基的线性变换维线性空间已知

A

V5例

解　由条件知

987

654

321

),,(),,( 321321

3213

3212

3211

963)(

852)(

74 )(

即

下的矩阵为在基因此 132 ,,

74)(

396)(285)(

1321

1323

1322

从而有

.

174

396

285

B

　　给定了线性空间 的一组基以后， 中的线性变换与 中的矩阵形成一一对应．因此，在线性代数中，可以用矩阵来研究变换，也可以用变换来研究矩阵．

nR nRnnR

同一变换在不同基下的矩阵是相似的．

四、小结

的两个线性变换已知 22R

22,, RXMXXSXNXT

11

11,

02

01NM

.,,, 22211211 下的矩阵在基试求 EEEEST

思考题

思考题解答))(( 11EST 解 )()( 1111 ESET EMNE 1111

00

01

02

01

11

11

00

01

02

12,22 211211 EEE

同理可得

,220

01

))((

2211

121212

EE

EMNEEST

,11

00

))((

2221

212121

EE

EMNEEST

,11

00

))((

2221

222222

EE

EMNEEST

组基下的矩阵为在这所以 ST

.

1120

1102

0001

0012