10 - tehnicka metoda def.ppt
Post on 30-Jul-2015
237 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Statička kondenzacija
Pretpostavimo da imamo slijedeću matričnu jednačinu:
11 nxnxnxnFuK
Zatim pretpostavimo da vektor F ima prvih m članova različite od nule, a preostalih k članova jednakih nuli.
1
11
1 0 kx
mx
nx
FF
Statička kondenzacija
Matričnu jednačinu možemo napisati u obliku:
01
12
11
221
121 Fu
u
KK
KK
kx
mx
kxkkxm
mxkmxm
Ili preko dvije matrične jednačine:
022112
121211
uKuK
FuKuKT
Statička kondenzacija
Iz druge jednačine imamo: 1121
22 uKKu T
Dakle, statička kondenzacija je postupak, kojim se smanjuje red matrice, eliminiranjem onih članova matrice (jednačina), koji su vezani sa slobodnim članovima jednakim nuli.
Odnosno:
11
11
11121
2121
11121
21211
mxmxmxmK
T
T
FuK
FuKKKK
FuKKKuK
Matrica krutosti štapa sa zglobom na jednom kraju
Takabejeva jednačina za ovakav štap je različita od jednačine za obostrano uklješteni štap. Razlika je u tome, što se iz uslova da je M1=0, može eliminirati ugao zaokreta 1.
2112
2122
1221
122
2121
21
2121
211
5.05.1
32
22
3
2
03
2
m-m
m
m
m
l
vvkM
l
vvkM
vvl
l
vvkM
1 2
1 2 M2
Matrica krutosti štapa sa zglobom na jednom kraju
Na ovaj način je eliminiran 1, koji odgovara sili M1, koja je jednaka nuli. To znači da je praktično izvršena statička kondenzacija matrice krutosti štapa sa dimenzija 6x6 na 5x5 - za tačnu metodu deformacija, odnosno sa 4x4 na 3x3 za tehničku metodu deformacija. Jednačine u matričnom obliku su:
2112
21122
21121
2
2
1
22
233
233
2
2
1
5.0
5.0
5.0
333
333
333
mm
mm
mm
lQ
lQ
v
v
l
EJ
l
EJ
l
EJl
EJ
l
EJ
l
EJl
EJ
l
EJ
l
EJ
M
V
V
Q1 i Q2 su transverzalne sile od opterećenja, a m1-2 i m2-1
su priključni momenti od opterećenja.
Napomena
Ovdje je prikazana statička kondenzacija na nivou štapa.
Program CAL nema opciju formiranja posebne matrice krutosti za ovakav štap. Kondenzovanu matricu krutosti štapa je komplikovano upotrijebiti pri formiranju globalne matrice krutosti.
Zbog toga se u CAL-u definiraju kao nepoznata pomjeranja i uglovi zaokreta kod zglobova. To znači da je globalna matrica krutosti veća, nego kada se radi klasično. Međutim, moguće je takvu matricu krutosti, ako je potrebno, svesti na klasičnu matricu krutosti, statičkom kondenzacijom, koja je opisana ranije.
Formiranje globalne matrice krutosti
Globalna matrica krutosti ima dimenzije nxn gdje je n broj nepoznatih pomjeranja kompletnog sistema. Globalna matrica krutosti se dobiva iz uslova ravnoteže, pri čemu se sile izražavaju preko pomjeranja u lokalnom koordinatnom sistemu. Dakle, problem se svodi na pisanje globalnog uslova ravnoteže pomoću matrica krutosti i vektora sila štapova koji su dati u lokalnim koordinatnim sistemima.
Uslov ravnoteže glasi:
11 nxnxnxnFuK
Problem: Izraziti uslov ravnoteže pomoću matrica krutosti štapova.
Sada imamo:
Vektorom u1e data su pomjeranja krajeva štapa u globalnom
koordinatnom sistemu. Slijedeći korak je uspostaviti vezu izmedju ovog vektora i vektora globalnih pomjeranja u. Ova veza se uspostavlja pomoću matrice dimenzija 6xn u kojoj se nalaze nule ili jedinice. Istom matricom se povezuju vektori fi
e i F.
e ei i i i i i i i K u f K T u T f
1Ti i
T Te e T e e
i i i i i i i i i i K T u T f T K T u f
ei i u L u e
i i f L F
Sada imamo:
T e e Ti i i i i i i i i i T K T u f T K T L u L F
1
l
ii
K K
6 6 4 4 4 4 6 6
6 6 4 4 4 4 6 6
T Ti i i i i
nx x x x xn
T Ti i i i i i i
nxn nx x x x xn
L T K T L u F
K u F K L T K T L
Gornja jednačina predstavlja jednačinu ravnoteže štapa napisanu preko globalnih vektora pomjeranja i sila. Globalnu matricu krutosti sada dobivamo jednostavnim sabiranjem:
Ako u sistemu nema kosih štapova, tada su dvije kolone u matrici T uvijek jednake nuli, pa se matrica T svodi na jediničnu matricu dimenzija 4x4. Shodno tome i vektor ui
e ima samo 4 člana, jer se pomjeranja duž štapa ne uzimaju u obzir u tehničkoj metodi deformacija.
U tom slučaju je matrica krutosti:
4 4 4 4
ˆ ˆTi i i i
nxn nx x xn
K K L K L
Nakon formiranja matrice krutosti, rješava se sistem jednačina i dobiva se vektor pomjeranja. Sada se vraćamo na jednačinu ravnoteže svakog štapa i računamo sile u štapu pomoću poznatih pomjeranja.
ei i i i i i i K u f K T u f
i i i i f K T L u
ei i u L u
Izračunavanje sila u štapovima
Ukoliko nema kosih štapova, tada je:
ˆi i i f K L u
Program CAL ima razradjene naredbe za formiranje globalne matrice krutosti i proračun vektora sila u štapovima za tehničku metodu deformacija ukoliko na sistemu nema kosih štapova.
ZADATAK
Za dati nosač naći dijagrame presječnih sila tehničkom metodom deformacija. Zadatak uraditi na klasičan način i pomoću programa CAL. E = const.
40/4040/6010 k
N/m
70 kN
2
2
20 kN/m 40/60
40/70
40/70
40/50
20 kN/m
53
70 kN
24
12
34
5
6
7
1 2
43
5
6
A) CAL
Da bi se pripremio radni fajl za program CAL potrebno je uraditi slijedeće predradnje:
1. Obilježiti sve čvorove i štapove brojevima (urađeno na prethodnom slajdu). Za svaki štap potrebno je izračunati moment inercije i odrediti lokalni koordinatni sistem.
Napomena: Moment inercije ne mora biti dat u m4. Bitno je da odnos momenata inercije između pojedinih štapova odgovara stvarnom stanju. Na ovaj način će se dobiti tačne presječne sile, ali ne i pomjeranja čvorova. Zašto?
J1=216, L1=4, E=1; J2=64, L2=4, E=1;
J3=125, L3=4, E=1; J4=216, L4=4, E=1;
J5=343, L5=5, E=1; J6=343, L6=5, E=1;
Nepoznata pomjeranja
2. Identificirati sva pomjeranja sistema i obilježiti ih brojevima, tj. formirati vektor nepoznatih pomjeranja. Uglove zaokreta na zglobovima postaviti kao zadnje članove, ukoliko se želi praviti kondenzacija globalne matrice krutosti.
Nepoznati uglovi zaokreta su: 4, 5, 6, 7, te 2 i ugao zaokreta čvora 5 (5g), na strani gdje je zglob, obzirom da je taj ugao zaokreta neovisan o 5.
Da bi se odredili nepoznati pomaci, potrebno je napraviti zglobnu šemu.
Zglobna šema
Data zglobna šema je mehanizam sa dva SSK. Da bi sistem postao nepomjerljiv potrebno je ubaciti dva oslonca, za svako pomjeranje po jedan.
I
II
Pomjeranje 1
Sklanjamo oslonac 1 i crtamo šemu pomjeranja tako da pomjeranje bude pozitivno u lokalnim koordinatnim sistemima.
II
1 1
Pomjeranje 2
Sklanjamo oslonac 2 i crtamo šemu pomjeranja.
I
2 2
I
Vektor nepoznatih pomjeranja
Dakle, sistem ima ukupno osam nepoznatih pomjeranja:
4 1
5 2
6 3
7 4
1 5
2 6
2 7
5 8g
u
u
u
u
u
u
u
u
u
4
11
0
0
e
u
Vektori pomjeranja štapova prikazani preko globalnih pomjeranja:
5
22
1
0
e
u
7
32
0
0
e
u
6
54
2
1
ge
u
4
55 0
0
e
u
6
76 0
0
e
u
4
5
64
7
11
2
2
5
1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
g
1 1
e u L u
Formiranje globalne matrice krutosti
2
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
L 4
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
L
11 14 13 12
441 44 43 42
31 34 33 32
21 24 23 22
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
k k k k
k k k k
k k k k
k k k k
K
4 4 4 4T K L K L
Formiranje matrice kompatibilnostiProgram CAL automatski formira globalnu matricu krutosti za tehničku metodu deformacija pomoću tzv. matrice kompatibilnosti. Matrica je dimenzija 4xk, gdje je k broj štapova. U svakoj koloni ove matrice data su pomjeranja jednog štapa i to tako što se u prvoj vrsti daje redno mjesto rotacije prvog čvora u globalnom vektoru pomjeranja, potom rotacija drugog čvora, pomjeranje prvog čvora i na kraju pomjeranje drugog čvora.
U matrici se nalaze prirodni brojevi od 1 do k, gdje je k broj pomjeranja sistema, kao i nule, kojim se označavaju pomjeranja jednaka nuli. Na osnovu ove matrice program automatski formira matrice L za svaki štap i matricu dimenzija nxn:
4 4 4 4
Ti i i i
nx x xn
K L K L
Matrica kompatibilnosti
Konkretno:
005000
006655
428070
313421
ID
U prvoj koloni su pomjeranja štapa 1. Broj 1 u prvoj vrsti predstavlja pomjeranje 4 (ugao zaokreta prvog čvora štapa), 0 u drugoj vrsti znači da je u drugom čvoru ugao zaokreta 0 (uklještenje - čvor 1). Broj 5 u trećoj vrsti predstavlja pomak čvora 4, tj. 1, a nula u četvrtoj vrsti označava da je pomak drugog čvora štapa jednak nuli. Samostalno analizirati ostale kolone.
Vektori sila po štapovima od opterećenja
3. Za svaki štap je potrebno sastaviti vektor sila, koji se sastoji od dva momenta i dvije transverzalne sile. Momenti se računaju kao momenti uklještenja (tablice), a transverzalne sile kao reakcije proste grede.
Štap 1.
m4-1=70x4/8=-35 kNm (br. 26);
m1-4=35 kNm
V4-1= V1-4 =-35
4 1
70
m1-4m4-1
V1-4V4-1
35
35
35
35
1F
Vektori sila po štapovima od opterećenja
Štapovi 2 i 3 nemaju opterećenje.
Štap 4.
6 5
10
m5-6m6-5
V5-6V6-5
15
25
0
20
4F
m6-5=-13.3 kNm, (br. 1); m5-6=13.3 kNm Obzirom da je u čvoru 5 zglob:
m6-5=-13.3-13.3/2=-20 kNm, m5-6=0
V6-5=-20-20/4=-25
V5-6=-20+20/4=-15
Vektori sila po štapovima od opterećenja
Štap 5.
4 5
20 m5-4m4-5
V5-4V4-5
13.5
87.34
45.7
8.21
5F
m4-5=21.8 kNm, (br. 5); m5-4=-7.45 kNm
V4-5=32+(21.8-7.45)/5=34.87
V5-4=8-2.87=5.13
Vektori sila po štapovima od opterećenja
Štap 6.
6 7
20 m7-6m6-7
V7-6V6-7
50
50
67.41
67.41
6F
m6-7=41.67 kNm, m7-6=-41.67 kNm
V6-7=V7-6= 50
Globalni vektor sila
4. Potrebno je sastaviti vektor sila, koje djeluju u čvorovima u pravcu traženih pomjeranja.
Momenti u čvorovima se računaju jednostavnim sabiranjem odgovarajućih momenata na krajevima štapova.
m4=-35+21.8 = -13.2 kNm
m5=-7.45 kNm
m6=41.67-20 = 21.67 kNm
m7=-41.67 kNm
Sile u čvorovima, koje odgovaraju jednom od pomaka se dobivaju isijecanjem svih čvorova, koji imaju traženi pomak.
Pomjeranje 1
Isijecamo čvorove koji imaju pomjeranje . U svaki presjek unosimo sve horizonti postavljamo uslov da je suma horizontalnih sila jednaka nuli.
II
11
1
70 N N
V4-1=-35
V5-6=-15
Pomjeranje 1
Pošto se sile N medjusobno poništavaju prethodna dva presjeka se mogu posmatrati kao jedan:
II
1 1I
I
Pomjeranje 2
Sklanjamo oslonac 2 i crtamo šemu pomjeranja.
I
2 2
I
IIII
Globalni vektor sila
P1=-70-35-15=-120
70
V4-1=-35
V5-6=-15Presjek 1-1
Presjek 2-2
V6-5=-25
P2=-25
Globalni vektor sila
0
0
25
120
67.41
67.21
45.7
2.13
F
Ovim su pripremljeni svi potrebni podaci za proračun modela pomoću programa CAL. Kao rezultat dobivaju se sile na krajevima svakog štapa (momenti i transverzalne sile). Normalne sile se dobivaju iz uslova ravnoteže svakog čvora pojedinačno.
Prikazani metod može se u potpunosti primijeniti samo za sisteme koji nemaju kose štapove.
B) KLASIČNI NAČIN
1. Računaju se krutosti svakog štapa: ki =2EJi /Li
k1 = 108, k2 = 32, k3 = 62.25, k4 = 108, k5 = k6 = 137.2
2. Identificirati sva pomjeranja sistema i označiti ih.
Nepoznati uglovi zaokreta su: 4, 5, 6, 7.
Određivanje nepoznatih pomaka radi se na isti način kao i kod CAL-a. To značI da će i ovdje biti nepoznati isti pomaci 1 i 2.
Dakle, sada imamo ukupno 6 nepoznatih i treba oformiti 6 jednačina.
Pisanje Takabejevih jednačina i formiranje jednačina čvorova
Za svaki čvor u kojem postoji nepoznati ugao zaokreta, potrebno je postaviti uslov da je suma momenata jednaka nuli.
ČVOR 4.
5454554
141
4114
2
32
m
m
kM
lkM
0232
0
54545141
41
5414
mm kl
k
MM
02.13812.1374.490 154
Jednačine čvorova
ČVOR 5.
lkM
kM
15225
4545545
5.1
2 m
025.1
0
454551
52
2545
mkl
k
MM
045.7124.3222.137 154
Jednačine čvorova
ČVOR 6.
7676676
5612
6456
2
5.1
m
m
kM
lkM
025.1
0
767665612
64
7656
mm kl
k
MM
065.215.405.402.1374.436 2176
Jednačine čvorova
ČVOR 7.
6767667
27337
2
32
mkMl
kM
022
0
676762
73
6737
mkl
k
MM
067.4188.464.3992.137 276
Jednačine pomjeranja
70
R4-1=-35
R5-6=-20
Za svaki presjek naznačen pri definiciji pomjeranja postavlja se uslov ravnoteže da je suma svih sila u pravcu pomjeranja jednaka nuli. Pri tome u račun ulaze: aktivne sile, reaktivne sile od opterećenja i reaktivne sile od momenata.
Presjek 1-1:
S4-1
S5-6
S5-2
;5.0
5.1
5.1;23
6556126
4
56
5665
15
2
25
2525
14
1
41
411414
lll
k
l
MS
ll
k
l
MS
ll
k
l
MMS
mm
0706514652514 RRSSS
01201.1062.535.401281 21654
Jednačine pomjeranja
Presjek 2-2:
R6-5=-20S6-5
S7-3
;5.0
5.1
23
6556126
4
56
5656
27
3
73
733737
lll
k
l
MS
ll
k
l
MMS
mm
0653756 RSS
02556.331.1088.465.40 2176
Sistem jednačina tehničke metode deformacija
25
120
67.41
67.21
45.7
2.13
56.331.1088.465.4000
1.1062.5305.401281
88.4604.3992.13700
5.405.402.1374.43600
012004.3222.137
081002.1374.490
2
1
7
6
5
4
Rješenja
874.1
604.3
172.0
165.0
148.0
610.0
2
1
7
6
5
4
Izračunavanje momenata u štapovima
Sračunate deformacije ubacujemo u Takabejeve jednačine i dobivamo momente na krajevima svakog štapa.
ŠTAP 1.
kNml
kM
kNml
kM
1.2613
2.12532
411
4141
141
4114
m
m
ŠTAP 2.
0
4.505.1
52
15225
M
kNml
kM
Izračunavanje momenata u štapovima
ŠTAP 3.
kNml
kM
kNml
kM
1.773
3.6632
17337
27373
ŠTAP 4.
0
3.635.1
65
125456
M
kNml
kM
Izračunavanje momenata u štapovima
ŠTAP 5.
kNmkM
kNmkM
4.502
2.1252
4545545
5454554
m
m
ŠTAP 6.
kNmkM
kNmkM
3.662
3.632
6767667
7676676
m
m
Transverzalne sileŠtap 1.
1.2257.612.125 AM
125.2
261.1
61.55
131.5570
A
Štap 2.50.4
12.6 12.6
Transverzalne sileŠtap 3.
kNmM 8.0102
85.354.63
2
max
66.3 77.1
35.85
35.85
Štap 4.63.4
35.85
4.1510
Transverzalne sileŠtap 5.
kNmM 4.2202
4.494.63
2
max
125.2
50.4
3.1 43.1
Štap 6.63.4
49.4 50.6
20
20
66.3
7921.3402.125 BM
B
Normalne sile - važi i za (A) i za (B)Štapovi 1 i 5.
N1=3.1 kN
1
3.1
61.55
N5=-8.45 kN
Štapovi 3 i 6.
N3=-50.6 kN
7
35.85
50.6N6=-35.8570
Štap 4. Štap 2.
N2=-92.5 kN
5
12.6
43.18.45
4.15
N4=-49.4 kN
6
49.4
35.85
35.85 kN
49.4 kN
Dijagram momenata
261.1
2.1
125.2
50.4
63.4
0.8
66.3
77.1
Dijagram transverzalnih sila
131.55
61.55
49.4
4.15 35.85
12.6
50.6
35.85
3.1
43.1
Dijagram normalnih sila
8.45 49.450.6
92.5
35.85
3.1
top related