2 solow model

ВведениеНеоклассическая модель Солоу-Свона

Современные модели экономического ростаЛекция 2. Модель Солоу

В. Хачатуров

Экономический факультетСанкт-Петербургский Государственный Университет

24 апреля 2009 года

В. Хачатуров Модели роста

Outline

1 ВведениеОсновная структура

2 Неоклассическая модель Солоу-СвонаПроизводственные функцииФундаментальное уравнение в модели СолоуСтационарное состояние

ВведениеНеоклассическая модель Солоу-Свона Основная структура

Может ли экономика расти с положительным темпом,просто сберегая и инвестируя в физический капитал?Средние темпы роста с 1960 по 2000 год для 112 странсоставляли 1.8%, при этом средняя инвестированная частьВВП составляла 16%Для 38 стран Африки средние темпы роста составляли0.6%, сбережения – 10%Для 9 стран, составляющих “азиатское экономическоечудо”, средний темп роста 4.9%, сбережения 25%Судя по всему, есть положительная связь между ростом иинвестициями

Однако для стран OECD: рост 2.7%, инвестиции 24%Следовательно, это не всё. Однако неплохая отправнаяточка.Начнём с модели, где единственным источником ростабудет накопление физического капитала

Общее в постановке моделей

1 Домашние хозяйства являются собственниками факторовпроизводства и активов в экономике, включая правасобственности в фирмах

2 Домохозяйства выбирают, какую часть дохода направлятьна потребление, а какую cберегать

3 Домохозяйства выбирают, работать ли и сколько именно,сколько иметь детей

4 Фирмы нанимают факторы производства (капитал, труд) ииспользуют их дл производства товаров, которыеприобретаются домохозяйствами и другими фирмами

5 Фирмы имеют доступ к технологии производства, котораяпозволяет им преобразовывать факторы в товары

6 Товары и факторы продаются и покупаются на рынках, гдевстречаются домохозяйства и фирмы. Цены определяютсябалансом спроса и предложения.

Экономика “Робинзона Крузо”

Для начала, упростим ещё сильнее: исключим рынки ифирмыРассмотрим некоторого агента, совмещающего в себестороны производства и потребления: Робинзона наострове“Social planner”, “benevolent dictator”Позднее мы покажим, что децентрализованноераспределение приводит к точно таким же результатам

Факторы производства

В реальном мире фирмы используют множество факторовМы сведём их все к трёмK (t) – физический капиталL(t) – трудT (t) – знания

Физический капитал K (t)

Сырьё длительного использования: станки, машины,здания, шагающие экскаваторы, карандаши и так далееНе может быть использован несколькимипроизводителями одновременно: является конкурентнымблагом (rival good)

Физический капитал K (t)

Сырьё длительного использования: станки, машины,здания, шагающие экскаваторы, карандаши и так далееНе может быть использован несколькимипроизводителями одновременно: является конкурентнымблагом (rival good)

Труд L(t)

Люди: количество работников, сколько они работают, ихфизическую силу, здоровье и так далее.Также является конкурентным благом, так как в каждыймомент времени человек занимается одним делом.

Труд L(t)

Люди: количество работников, сколько они работают, ихфизическую силу, здоровье и так далее.Также является конкурентным благом, так как в каждыймомент времени человек занимается одним делом.

Технология T (t)

Машины и люди не могут ничего произвести, пока незнают, как. Их знания – фактор производства.Технология может развиваться со временем: тот же объёмфизического капитала и труда приносит больший выпуск в2000 году, чем в 1960, из-за развития технологии.Технологии различаются между странами: в Замбии тотже объём K и L принесёт меньший выпуск, чем в Японии.Технологии являются неконкурентными: разные людимогут одновременно использовать одни и те же технологиибез уменьшения их количества друг у другаОднако знания о технологиях можно сделатьисключающими, то есть технически или законодательноисключить других людей из пользования неконкурентнымблагом (патенты)

Предполагаем нашу экономику односекторнойПроизводится один вид товара, который либо можетпотребляться в количестве C (t), либо инвестироваться вколичестве I (t).Например, ферма, где производятся животные, которыхможно либо есть, либо использовать для создания новыхживотных

Экономика закрыта: домохозяйства не могутимпортировать или экспортировать товарОтсутствуют государственные закупкиВ такой экономике весь выпуск делится на потребление иинвестиции:

Y (t) = C (t) + I (t)

Вычитая C (t) из обеих частей и учитывая, что весьвыпуск в экономике равен доходу:

S(t) ≡ Y (t)− C (t) = I (t)

Y (t) = C (t) + I (t)

S(t) ≡ Y (t)− C (t) = I (t)

Y (t) = C (t) + I (t)

S(t) ≡ Y (t)− C (t) = I (t)

Y (t) = C (t) + I (t)

S(t) ≡ Y (t)− C (t) = I (t)

Сбережения

Пусть s(·) – часть выпуска, которая сберегается (нормасбережений)Тогда 1− s(·) – часть, которая потребляется.Рациональные домохозяйства выбирают нормусбережений, исходя из своих функций полезности,коэффициентов дисконтирования будущего потребления итак далее.Пока мы будем предполагать, что s(·) экзогенно задана иравна константе:

0 ≤ s(·) = s ≤ 1

Заметим, что поскольку в нашей экономике S(t) = I (t), тонорма сбережений определяет норму инвестицийИными словами, норма сбережений определяет, какаячасть национального дохода будет инвестирована

Выбытие капитала

Предполагаем, что капитал является однороднымВ каждый момент времени фиксированная доля δ > 0имеющегося запаса капитала выбывает (амортизируется,изнашивается) и не может быть использована впроизводствеОднако до этого момента каждая единица капиталаобладает одинаковой производительностью, внезависимости от способа её производства

Таким образом, получаем следующее выражение для динамикикапитала в нашей модели:

Динамика капитала

K̇ (t) = I (t)− δK (t) = sY (t)− δK (t)

Здесь точка означает дифференцирование по времени,K̇ (t) ≡= ∂K(t)

∂t , 0 ≤ s ≤ 1.

Динамика труда

Число занятых меняется в зависимости от ростанаселения, степени безработицы, продолжительностирабочего дня и так далееВ нашей модели мы предполагаем, что все работаютодинаковое количество времени, обладают одинаковыминавыками (которые мы принимаем за единицу)Таким образом, доступная рабочая сила совпадает собщим населением

В реальной экономике рост населения отражаетимеющуюся рождаемость, смертность и миграциюВ нашем случае рост экзогенно задан постояннойвеличиной:

= n ≥ 0

Решение этого дифференциального уравнения (с L(0) = 1):

L(t) = ent

= n ≥ 0

L(t) = ent

= n ≥ 0

L(t) = ent

Технология

Будем пока предполагать, что T (t) постоянна, итехнологический прогресс отсутствует.

Наша задача состоит в определении динамики K (t) и Y (t).Как только мы поймём динамику, мы поймём, с какимитемпами растут эти величины в модели. Это поведениесущественным образом зависит от вида производственнойфункции.

Производственные функцииФундаментальное уравнение в модели СолоуСтационарное состояние

Производственная функцияПроизводственной функцией называется функция,отражающая взаимосвязь производственных затрат и выпускапродукции, в номинальной или реальной форме.

ВАЖНО: ПФ отражает максимально возможный выпуск дляданного уровня затрат.

Y (t) = F (K (t), L(t),T (t))

ПФ называется неоклассической, если она удовлетворяетследующим условиям:

Постоянная отдача от масштаба. Если умножить каждыйаргумент на одну и ту же положительную константу λ, товся функция умножится на ту же константу:

F (λK , λL,T ) = λF (K , L,T ), ∀λ > 0 (1)

Выражаясь правильным языком, однородность степени 1по K и L. ВАЖНО: Не по T. Вспомним, что T –неконкурентное благо.

F (λK , λL,T ) = λF (K , L,T ), ∀λ > 0 (1)

Положительная и убывающая предельнаяпроизводительность факторов

∂F∂K

> 0, ∂2F∂K2 < 0 (2)

∂F∂L

> 0, ∂2F∂L2 < 0 (3)

Положительная и убывающая предельнаяпроизводительность факторов

∂F∂K

> 0, ∂2F∂K2 < 0 (2)

∂F∂L

> 0, ∂2F∂L2 < 0 (3)

Условия Инады (Inada, 1963) Предельнаяпроизводительность капитала (труда) стремится кбесконечности при стремлении капитала (труда) к нулю, инаоборот:

limK→0

(∂F∂K

)= lim

(∂F∂L

)=∞ (4)

limK→∞

(∂F∂K

)= lim

L→∞

(∂F∂L

)= 0 (5)

Условия Инады (Inada, 1963) Предельнаяпроизводительность капитала (труда) стремится кбесконечности при стремлении капитала (труда) к нулю, инаоборот:

limK→0

(∂F∂K

)= lim

(∂F∂L

)=∞ (4)

limK→∞

(∂F∂K

)= lim

L→∞

(∂F∂L

)= 0 (5)

Существенность факторов

F (0, L) = F (K , 0) = 0F (∞, L) = F (K ,∞) =∞

Вообще говоря, следует из первых трёх свойств.

F (0, L) = F (K , 0) = 0F (∞, L) = F (K ,∞) =∞

Простые свойства темпов роста

Пусть x(t), y(t) – непрерывные функции, с темпами ростаgx , gy соответственно. Тогда:

1 z(t) = x(t) + y(t)⇒ gz = gx + gy

2 z(t) = x(t)y(t) ⇒ gz = gx − gy

3 z(t) = xα(t)⇒ gz = αgx

4 Домашнее задание: докажите.

1 z(t) = x(t) + y(t)⇒ gz = gx + gy

2 z(t) = x(t)y(t) ⇒ gz = gx − gy

1 z(t) = x(t) + y(t)⇒ gz = gx + gy

2 z(t) = x(t)y(t) ⇒ gz = gx − gy

1 z(t) = x(t) + y(t)⇒ gz = gx + gy

2 z(t) = x(t)y(t) ⇒ gz = gx − gy

Переход к выражениям на душу населения

Нас интересуют не столько абсолютные, сколькоотносительные показатели, так как именно они являются базойдля сравнения. Следовательно, имеет смысл изучать динамикуподушевых значений. В силу однородности ПФ, при λ = 1/L: