8а прості числа мовчан

Презентація до уроку

Вчитель спеціалізованої

школи №52 М. Києва

Мовчан А.В.

Прості і

складені числа

Яка конгруенція зайва в кожній групі?

)11(mod555

)11(mod223

)15(mod045)9(mod312

)5(mod081

)12(mod0144

)4(mod43Відновіть конгруенцію

)25(mod100

)8(mod60

)10(mod99

3

0

4

1

Перевірити чи діляться числа на 9, на 6, на 11,

на 8

10538; 36760; 5553; 2673;

3780; 4500; 7675432.

ПеревіркаНА 6

3780

4500

НА 836760767543

2

НА 9

5553267337804500НА 11

10538

ОзначенняПростим називають

натуральне число, якщо воно має тільки два різні натуральні дільники: 1 і

саме це числоПриклади:

2, 3, 29, 43, 41, 127, 211…

ОзначенняСкладеним називають

натуральне число, яке має більше, ніж два

натуральних дільники

Приклади: 4, 8, 25, 46, 51, 128,

288…

Увага!

Число 1 має тільки один натуральний дільник, тому його

не вважають ні простим, ні складеним

Решето Ератосфена

Властивості простих чисел1

Множина простих чисел нескінченна.

Властивості простих чисел

Якщо просте число ділиться націло на просте число , то 21 pp 2p

1p

2

Властивості простих чисел

3

Для будь-якого натурального числа n і даного простого числа

р справедливе одне з двох тверджень:

1) pn 2) НСД (n;р)=1

Властивості простих чисел4

Якщо , де а і b – натуральні

числа, р – просте число, то або

papb

pab

Ще в школі проявився його талант до математики. Одного разу його вчитель запропонував учням записати суму усіх чисел від 1 до 100 і обчислити За досить малий час Гаусс вигукнув: „Я вже обчислив!" Вчитель не повірив. А юний математик дійсно отримав результат, виконавши обчислення зручним способом. (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 +100) + (2 + + 99) + ... = 5050.)

30 квітня 1777 р. - 23 лютого 1855 р.

Карл Фрідріх

Ґаус

Властивості простих чиселосновна теорема

арифметикиБудь-яке натуральне число,

відмінне від 1, або є простим, або може бути подано у вигляді добутку простих чисел. Два

розклади натурального числа на прості множники можуть

відрізнятися один від одного лише порядком слідування

множників.

5

Приклади: 2- просте число

33218

23318

32318

Приклад:

Якщо в розкладі натурального числа деякі прості множники повторюються, то їх добуток записують у вигляді степеня

532533222360 23

kkpppn ...21

21

Канонічний розклад натурального числа

532533222360 23

П’єр Ферма (1601 – 1665 )

Для будь-якого натурального n>2 рівняння

не має натуральних коренів a,b і с

nnn cba

Відома теорема Ферма остаточно доведена в 1995 р. Ендрю Уайлсом

Мала теорема Ферма

Властивості простих чисел6

Для будь-якого натурального числа а і простого числа р виконується така рівність

)(mod11 pa p )(mod paa p

Труднощі з простими числами

Досі існує багато  відкритих запитань

 відносно простих чисел,

найвідоміші з яких були

перераховані Едмундом

Ландау

Труднощі з простими числами

 (1 проблема Ландау): довести або спростувати, що кожне парне число, більше 2,

може бути представлено у вигляді суми двох простих

чисел, а кожне непарне число, більше 5, може бути

представлено у вигляді суми трьох простих чисел

Труднощі з простими числами

(2 проблема Ландау ): чи нескінченна

множина ” простих близнюків ” — простих чисел, різниця між якими дорівнює 2

(3 проблема Ландау): чи вірно, що між n2 і (n +

1)2 завжди знайдеться просте

число

Труднощі з простими числами

(4 проблема Ландау): чи нескінченна

множина простих чисел виду n2 + 1

Труднощі з простими числами

Прості числа виду

називають простими числами Мерсена

Труднощі з простими числами

12 n

Труднощі з простими числамиПроблема Марена

Мерсена

Числа, кожне з яких дорівнює сумі своїх дільників, відмінних

від самого себе називають досконалими

Приклад: 6=1+2+328=1+2+4+7+14

Труднощі з простими числами

Півтора тисячоліття люди знали лише чотири досконалі числа:6, 28, 496, 8128

До 2008 року відомо вже 44 досконалих числа

Досі не знайдено жодного досконалого непарного числа, але за

допомогою сучасних комп’ютерів встановлено, що якщо воно існує, то

воно більше за 30010

Досконалі числа тільки парні

Труднощі з простими числами