ความหมาย การจ าแนกข้อมล การเกู...

1. ความหมาย การจ าแนกขอมล การเกบรวบรวม และการน าเสนอขอมล

1.1 ความหมายของค าวา “สถต” ค าวา”สถต” (statistics) ถกน ามาใชใน 2 ความหมาย คอ 1. สถต หมายถง ตวเลขทแสดงถงขอเทจจรงตางๆ ของขอมล และเปนตวเลขทอยใน

ลกษณะสรปรวบยอด ซงประมวลมาไดจากขอมลเบองตนโดยการวเคราะห การเปรยบเทยบหรอการค านวณ เชน รอยละของประชากรทประกอบอาชพทางการเกษตร หรอคาเฉลยของรายไดของประชากรในชาต

2. สถต หมายถง ศาสตร หลกการ และระเบยนวธทางสถตซงประกอบไปดวย 4 ขนตอนทส าคญ ไดแก

(1) การเกบรวบรวมขอมล (Collection of data) (2) การน าเสนอขอมล (Presentation of data) (3) การวเคราะหขอมล (Analysis of data) (4) การตความหมายขอมล (Interpretation of data)

แหลงทมาของขอมลทางสถต แหลงทมาของขอมลแบงไดเปน 2 ชนด คอ

1. แหลงปฐมภม (Primary Source) เปนแหลงก าเนดของขอมล ซงไดเกบและรวบรวมไวโดยตรง เชน กรมอตนยมวทยา ซงเกบขอมลเกยวกบอณหภมของอากาศหรอปรมาณน าฝน เปนตน

2. แหลงทตยภม (Secondary Source) เปนแหลงส าหรบเผยแพรขอมลซงผอนไดเกบรวบรวมไว เชน สภาพฒนาการเศรษฐกจแหงชาตรวบรวมสถตของน าฝน จากกรมอตนยมวทยาเอาไวเปนตน

ขอมลประชากร (Population) ขอมลประชากร หมายถง ขอมลทงหมดทเราจะศกษา เชน ถาตองการศกษาเกยวกบคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน ม.6 ของโรงเรยนแหงหนง คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชน ม.6 ของโรงเรยนนนทงหมดถอวาเปนขอมลประชากร

ขอมลตวอยาง (Sample) ขอมลตวอยาง หมายถง ขอมลสวนหนงของขอมลประชากรทเราสมเลอกมาเพอศกษา เชน การศกษาเกยวกบคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนดเรยนชน ม .6 ของโรงเรยนแหงหนงซงมทงหมด 10 หองเรยนเราอาจจะสมเลอกมาศกษาเพยง 5 หองกได ซงคะแนนสอบวชาคณตศาสตรชน ม.6 ทสมเลอกมา 5 หองนถอวาเปนขอมลตวอยาง สวนผลการศกษาจะออกมาเพอใชเปนตวแทนของขอมลทงหมดไดหรอไมนนอยทมความรความเขาใจในการสมเลอกตวอยางซงจะไดท าการศกษาในระดบชนสงตอไป

ในชนน เราจะท าการศกษาขอมลทางสถตทเปนขอมลประชากร ส าหรบขอมลตวอยางจะไดศกษาในระดบชนสงตอไป

คาพารามเตอร (Parameter) คาพารามเตอร หมายถง คาสถตของประชากร หรอคาของขอมลทสรปรวบยอดมาจากขอมลตวอยาง เชน คารอยละ หรอ คาเฉลยทสรปมาจากขอมลประชากร คาสถต (Statistic) คาสถต หมายถง คาสถตของขอมลตวอยาง หรอคาของขอมลทสรปรวบยอดมาจากขอมลตวอยาง เชน คารอยละ หรอคาเฉลยทสรปมาจากขอมลตวอยาง 1.2 การจ าแนกขอมล โดยทวไปเราจ าแนกขอมลสถตออกเปน 4 ลกษณะ ดงตอไปน

1. จ าแนกตามคณภาพ (Qualitative classification) เปนขอมลทแสดงถงคณสมบตสภาพ ฐานะ หรอความคดเหน เชน สถตพลเมองแยกตามเพศชาย หญง สถตพลเมองแยกตามฐานะการสมรส เปนโสด แตงงาน หมาย หยา แยกกนอย สถตคนไขในโรงพยาบาลแยกตามชนดของโรค สถตครแยกตามวฒ สถตคนงานแยกตามเพศ เหลานเปนตน

2. จ าแนกตามปรมาณ (Quantitative classification) เปนขอมลทแสดงถงจ านวนมากหรอนอยของขอมล เชน สถตของครอบครวแยกตามจ านวนคนในครอบครว สถตครแยกตามเงนเดอน สถตของคนไขในโรงพยาบาลแยกตามอาย เปนตน

3. จ าแนกตามกาลเวลา (Chronological classification) เปนขอมลทแสดงถง

ขอเทจจรงทเปลยนแปลงไปตามกาลเวลา เชน สถตการขายเครองแตงกายตามฤดกาล สถตรายรบ-รายจายของบรษทแยกเปนเดอนตลอดเวลา 1 ป สถตปรมาณน าฝนในคาบระยะเวลาตางๆ ในแตละป สถตการเพมของพลเมองในคาบเวลา 1o ปเหลานเปนตน

4. จ าแนกตามภมศาสตร (Geographical classification) เปนขอมลทถอเอาลกษณะทางสภาพภมศาสตรเปนเกณฑ เชน สถตสนคาเขา-ออกแยกตามประเทศสถตการผลตขาวแยกตามภาค สถตครแยกตามจงหวดตางๆหรอสถตของพลเมองในทองถนตางๆ แยกตามเขตของการปกครอง เหลานเปนตน

1.3 การเกบรวบรวมขอมล การเกบรวบรวมขอมลสถตแบงออกเปน 4 วธดงตอไปน

1. วธการเกบรวบรวมขอมลจากทะเบยนประวต คอ การเกบขอมลจากแหลงทตยภมนนเอง เชน การเกบขอมลเกยวกบประวตของนกเรยน การเกบรวบรวมขอมลเกยวกบคนไขจากโรงพยาบาลตางๆ หรอเกบรวบรวมขอมลเกยวกบรถยนต การเกบรวบรวมขอมลเหลาน เราเกบรวบรวมไดจากทะเบยนประวต ซงแหลงขอมลเหลานนไดเกบรวบรวมไวแลว

2. วธเกบรวบรวมขอมลโดยการส ารวจ คอ การเกบรวมรวมขอมลจากแหลงปฐมภม เชน การสงแบบสอบถามไปถามผทอยในขายทจะใหขอมลโดยตรง หรอ การถอแบบส ารวจไปสมภาษณผทอยในขายทจะตองในขอมลโดยตรง การเกบรวบรวมขอมลโดยวธนจะท าใหไดขอมลทถกตองกวาวธอน เชน การท าส ามะโนประชากรกใชวธการเกบรวบรวมขอมลโดยวธนเชนกน

3. วธการเกบรวบรวมขอมลโดยการทดลอง การเกบรวบรวมขอมลโดยวธน ไดแก การเกบขอมลทางวทยาสตร การเกบขอมลทางเกษตร เปนตน การเกบขอมลจากการทดลอง เชน การทดลองทางการแพทย การทดสอบสมรรถภาพของนกเรยนดานพลศกษา การทดสอบทางการเกษตร การเกบรวบรวมขอมลโดยวธนนบวาเชอถอได และถอวาเปนขอมลปฐมภมดวย

4. วธรวบรวมขอมลโดยการสงเกต เปนการเกบรวบรวมขอมลโดยการสงเกตและ

บนทกขอมลนนไว เชน การเกบขอมลเกยวกบการจราจรบนทองถนน หรอ การจดบนทกเกยวกบจ านวนนกเรยนทใชหองสมดของโรงเรยน เปนตน

1.4 การน าเสนอขอมล 1. การน าเสนอขอมลในรปตาราง เปนการน าเสนอขอมลโดยจดขอมลใหอยในรปทอานไดทงแนวนอน และแนวตง ทงนเพอใหขอมลอยในรปกะทดรด และสะดวกตอการวเคราะห

ตารางแสดงเนอทปลกขาวในปเพาะปลก 2545 จ าแนกตามภมภาคตางๆ ของประเทศไทย ภาค เนอทเพาะปลก (ลานไร) เหนอ 9.67

ตะวนออกเฉยงเหนอ 19.15 กลาง 12.84 ใต 3.53 รวม 45.19

ระดบชน น าหนกเฉลย (กก.)

สวนสงเฉลย (ซม.)

อายเฉลย (ป)

ม.6/1 53 160 16 ม.6/2 52 161 16 ม.6/3 53 162 16

2. การน าเสนอขอมลโดยใชแผนภม และแผนภาพ 2.1 แผนภมแทง (Bar chart) เปนรปแทงสเหลยมผนผาทมความยาวของแต

ละแทงแปรตามขนาดขอมล และแตละแทงสเหลยมผนผามความกวางของแทงเทากนหมด แผนภมแสดงการเปรยบเทยบมลคาของสนคาสงออกทางเกษตรกรรมทส าคญของประเทศไทย ในป

พ.ศ.2546

แผนภมแสดงการเปรยบเทยบผลผลตขาวของ 5 ประเทศทผลตไดมากสดในป พ.ศ.2546 และ

2547

แผนภมแสดงการเปรยบเทยบมลคาของสนคาสงออกทางเกษตรกรรมทส าคญของประเทศไทย ในป

พ.ศ. 2545 และ 2546

2.2 แผนภมกง (pie chart) คอ แผนภมทแสดงเปนรปวงกลม โยใชพนท

วงกลมบอกจ านวนของขอมล การแบงพนทวงกลม ใชหลกแบงมมทจดศนยกลางของวงกลมออกเปนสวนๆ โดยท าขอมลทงหมดใหเปน 100 สวน แลวแบงมมทจดศนยกลางของวงกลมตามสวนของขอมล คอ เสนรอบวงยาว 100 สวน รองรบมมทจดศนยกลาง = 360 ดงนนถาจ านวนขอมล x สวนจะรองรบมมทจดศนยกลาง = 360 x

x

100

แผนภมแสดงการเปรยบเทยบปรมาณแรดบกทประเทศตางๆ ผลตไดในป 2545

2.3 แผนภมรปภาพ (pictogram) คอแผนภมทใชรปภาพแทนจ านวนขอมลท

น าเสนอ แผนภาพแสดงการเปรยบเทยบจ านวนนกเรยนทชอบผลไมชนดตางๆ

2.4 แผนทสถต (Statistical map) คอแผนภมทน าเสนอขอมลทจ าแนกตาม

สภาพภมศาสตร เพอเปรยบเทยบขอมลใหเหนขอแตกตางในแตละพนทไดชดเจนและเขาใจงายโดยใชพนทแรงแทนขนาดของขอมล

แผนทสถตแสดงการเปรยบเทยบเนอทเพาะปลกขาว (ลานไร) ในภาคตางๆของประเทศไทย ในปเพาะปลก2545

3. การน าเสนอขอมลโดยใชกราฟ

ขอมลทน าเสนอโดยวธกราฟมกเปนขอมลอนกรมเวลา (time series data) คอขอมลทแสดงการเปลยนแปลงตามล าดบกอนหลงของชวงเวลา และขอมลเหลานนมจ านวนมาก

กราฟแสดงการเปรยบเทยบจ านวนไมสกทประเทศไทยผลตได ตงแตป พ.ศ. 2541-2545

กราฟแสดงการเปรยบเทยบปรมาณสตวน าทะเลและสตวน าจดทจบไดตงแตป พ.ศ. 2541-2546

กราฟแสดงการเปรยบเทยบปรมาณไมชนดตางๆทส าคญ ซงประเทศไทยผลตไดตงแตป

พ.ศ.2535-2539

องคประกอบของตารางแจกแจงความถ จากตารางแตกแจงความถขางบนน เราจะพบรายละเอยดเกยวกบตาราง ดงตอไปน

1. อนตรภาคชน (Class interval) คอ ชวงคะแนนแตละชวง ไดแก 25-34, 34-44,…,85-94

2. จ านวนชนหรอจ านวนอนตรภาคชน (c) คอ จ านวนอนตรภาคชนทงหมดตงแต ชนบนสดถงชนลางสด จากตารางอนตรภาคชนท 1 คอ 25-34 อนตรภาคชนท 2 คอ 35-44,… อนตรภาคชนท 7 คอ 85-94

3. ความกวางของอนตรภาคชน (I) คอ จ านวนคาทเปนไปไดในแตอนตรภาคชน เชน ชวงคะแนน 25-34 ประกอบดวยคาทเปนไปได 10 คา คอ 25,26,…,34 ดงนนขนานอนตรภาคชน = 10

4. ขดจ ากดชน (Class limit) ในแตละอนตรภาคชนประกอบดวยขดจ ากดลาง (lower limit) และขดจ ากดบน (upper limit) จากตารางขางตนขดจ ากดลาง คอ 25, 35, 45,…,85 ขดจ ากดบนคอ 34,44,54,…,94

5. เสนขอบชน(class boundary) เนองจากอนตรภาคชนของแตละชนจะมชวงวางอย เชน ชวงคะแนน 25-34, 35-44, 45-54, 55-64, 65-74, 75-84, 85-94 ตวเลขทเปนคากงกลางระหวางขดจ ากดบนและขดจ ากดลางของชนตดกนเรยกวา “เสนเขตชน” หรอ “เสนขอบชน”

อนตรภาคชน เสนขอบชน ขอบลาง ขอบบน 25-34 24.5-34.5 24.5 34.5 35-44 34.5.44.5 34.5 44.5 45-54 44.5-54.5 44.5 54.5 55-64 54.5-64.5 54.5 64.4 65-74 64.5-74.5 64.5 74.5 75-84 74.5-84.5 74.5 84.5 85-94 84.5-94.5 84.5 94.5

6. ความถ(frequency) คอ จ านวนคะแนนในแตอนตรภาคชน

เชน อนตรภาคชน 25-34 มความถ 2 อนตรภาคชน 35-44 มความถ 6 เหลานเปนตน

7. จดกลางชน (Midpoint) คอ คากงกลางระหวางขดจ ากดลางและขดจ ากดบน

เชน จดกงกลางชน 25-34 คอ 25+34

2 = 29.5

จดกงกลางชน 35-44 คอ 35+44

2 = 39.5

อนตรภาคชน ขดจ ากดชนลาง

ขดจ ากดชนบน ขอบลาง ขอบบน คะแนนจดกลางชน

25-34 25 34 24.5 34.5 29.5 35-44 35 44 34.5 44.5 39.5 45-54 45 54 44.5 54.5 49.5 55-64 55 64 54.5 64.4 59.5 65-74 65 74 64.5 74.5 69.5 75-84 75 84 74.5 84.5 79.5 85-94 85 94 84.5 94.5 89.5

การแจกแจงความถสะสม (cumulative frequency) ความถสะสมของอนตรภาคชนใด คอ ผลรวมของความถของอนตรภาคชนนนกบความถของอนตรภาคชนทต ากวาทงหมด หรอสงกวาทงหมดอยางใดอยางหนง ตวอยางเชน

อนตรภาคชน ความถ ความถสะสม (แบบต ากวา)

ความถสะสม (แบบสงกวา)

30-39 4 4 46+4 = 50 40-49 6 4+6 = 10 40+6 = 46 50-59 8 10+8 = 18 32+8 = 40 60-69 12 18+12 =30 20+12 = 32 70-79 9 30+9 = 39 11+9 = 20 80-89 7 39+7 = 46 4+7 = 11 90-99 4 46+4 = 50 4

N = 50

การแจกแจงความถสมพทธ (relative frequency) ความถสมพทธของอนตรภาคชนใด คอ อนตราสวนระหวางความถในอนตรภาคชนนนกบความถทงหมด ตวอยางเชน

อนตรภาคชน ความถ ความถสมพทธ

5-9 3 360

=0.050

10-14 14 1460

=0.233

15-19 30 3060

=0.500

20-24 11 1160

=0.183

25-29 2 260

=0.033

N = 60 N = 1.000

การแจกแจงความถสะสมสมพทธ (relative cumulative frequency) ความถสะสมสมพทธของอนตรภาคชนใด คอ อนตราสวนระหวางความถสะสมของอนตรภาคชนนนกบผลรวมของความถทงหมด ตวอยางเชน

อนตรภาคชน ความถ(f) ความถสะสม(cf)

ความถสมพทธ

5-9 3 3 360

=0.050

10-14 14 17 1760

=0.283

15-19 30 47 4760

=0.783

20-24 11 58 5860

=0.967

25-29 2 60 6060

=1.000

N = 60

การแจกแจงความถโดยใชกราฟ

1. ฮสโรแกรม (Histogram) คอ รปแทงสเหลยมมมฉากวางเรยงตดตอกนบนแกนนอน ความกวางของรปสเหลยมมมฉากแทนความกวางของอนตรภาคชน และพนทของรปสเหลยมมมฉากแตละรปแทนความถของแตละอนตรภาคชน ดงนนถาความกวางของอนตรภาคชนไมเทากน ความสงของรปสเหลยมมมฉากแตละรปจะเทากบอนตราสวนของความถและความกวางของอนตรภาคชนนนๆ (

fiIi)

ในกรณทมความกวางของอนตรภาคชนเทากน ถาเราถอความกวางของอนตรภาคชนเปน 1 หนวย เราใชความถแทนความสงของแทงสเหลยมมมฉากได

2. รปหลายเหลยมของความถ คอ รปหลายเหลยมทเกดจากการลากโยงเสนตรงระหวางจดกงกลางของยอดแทงสเหลยมมมฉากของฮสโทแกรม

3. เสนโคงความถ คอ เสนโคงทไดจากการปรบดานของรปหลายเหลยมของความถใหเรยบขน โดยการปรบพนทใตเสนโคงใหมพนทใกลเคยงกบพนทของรปหลายเหลยมของความถ

4. โคงความถสะสม (cumulative curve) คอ กราฟความสมพนธระหวางคะแนนทเปนขอบชนบนกบความถสะสม

แบบฝกหดท 1

อนตรภาคชน ความถ 50.00-59.99 8 60.00-69.99 10 70.00-79.99 16 80.00-89.99 14 90.00-99.99 10 100.00-109.99 5 110.00-119.99 2

1. จากตารางแจกแจงความททก าหนดใหจงหา 1) ขดจ ากดลาง (lower limit) ของอนตรภาคชนท 6 2) ขดจ ากดบน (upper limit) ของอนตรภาคชนท 4 3) จดกลางชน (class midpoint) ของอตราภาคชนท 3 4) ขอบชน (class boundaries) ของอนตรภาคชนท 5 5) ขนาดของอนตรภาคชนของชนท 5

2. ตอไปนเปนสวนสงของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 ของโรงเรยนแหงหนง จ านวน 30 คน(หนวยเซนตเมตร) 175 171 175 160 163 169 172 170 167 169 169 176 171 166 178 158 158 174 169 170 164 168 164 172 165 173 170 161 167 179

จงแสดงตารางแจกแจงความถโดยใหอนตรภาคชนแรกเปน 158-162

1. การวดคากลางของขอมล

1.1. คาเฉลยเลขคณต*(Mean) คาเฉลยเลขคณตของขอมลทไมไดแจกแจงความถ

μ= x1+x2+x3+…xn

N=∑ Xi

ni=1

N

คาเฉลยเลขคณตของขอมลทมการแจกแจงความถ

(1) μ= f1x1+f2x2+f3x3+…fnxn

f1+f2+f3+…fn=∑ fiDi

ni=1

N

เมอ fi คอ ความถของอนตรภาคชนท i xi คอ คาของขอมล หรอจดกงกลางชนของอนตรภาคชนท i

N คอ จ านวนขอมล n คอ จ านวนอนตรภาคชน

(2) μ=a+I 1

n

i ii

N

f D

เมอ a คอ คาเฉลยสมมต หรอ 𝑥𝑖 ของอนตรภาคชนทมความถสงสด

Di คอ xi-a

I

I คอ ความกวางของอนตรภาคชน

*คาเฉลยเลขคณตส าหรบขอมลประชากร ใชสญลกษณ 𝜇 โดยท μ=

n

ii=1

x

N

ในขณะทคาเฉลยเลขคณตของขอมลตวอยางใชสญลกษณ x โดยท x =

n

ii=1

x

N

เชนกน

คาเฉลยเลขคณตรวม

μรวม =N1μ1+N2μ2+N3μ3+…Nkμk

N1+N2+N3+…Nk

เมอ Ni คอ จ านวนขอมลของขอมลชดท I μi คอ คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท i k คอ จ านวนชดขอมลทงหมด 3.2 มธยฐาน (Median) มธยฐานของขอมลทไมไดแจกแจงความถ

1. เรยงคาของขอมลจากนอยไปมาก 2. ต าแหนงทางมธยฐาน คอ ต าแหนงท

N+1

2

3. คาของมธยฐาน คอ คาของขอมลในต าแหนง N+1

2 เมอ N เปนจ านวนค

คาของมธยฐาน คอ คาเฉลยของขอมลในต าแหนงท N

2 และ

N

2+1 เมอ N

เปนจ านวนค มธยฐานของขอมลทมการแจกแจงความถ

1. ต าแหนงของมธยฐาน ตรงกบความถสะสม N

2

2. คาของมธยฐานเปนไปตามสตร

มธยฐาน=L+(

N2 -∑ fL

fM) I

เมอ L คอ ขอบชนลางของอนตรภาคชนทมมธยฐานอย ∑ fL คอ ผลรวมความถของทกอนตรภาคทเปนชวงคะแนนต ากวาชนท

มมธยฐานอย fM คอ ความถของชนทมมธยฐานอย I คอ ความกวางของอนตรภาคชน

3.3 ฐานนยม ฐานนยมของขอมลทไมไดแจกแจงความถ

ฐานนยม คอ คาของขอมลทมความถสงสด ฐานนยมของขอมลทมการแจกแจงความถ

ฐานนยม คอ จดกงกลางชนของอนตรภาคชนทมความถสงสด ขอทควรทราบเกยวกบเครองหมายแสดงผลบวก (∑)

1. n

ii=1

x = x1+x2+x3+…xn

2. i=1

N

c = c+c+c+…+c =cN เมอ c เปนคาคงท

3. i=1

(x )N

i iy = i=1 i=1

xi

N

i

N

y

4. i=1

cxN

i = i=1

xN

ic

แบบฝกหดท 2

1. ก าหนด i i

i=1 i=1

5 52X (X25, 5) 30 จงหา

i=1

52

iX

2. ในการแขงบาสเกตบอล 5 ครงทผานมา ผเลนคนหนงท าคะแนนไดดงน 28, 29, 28, 32, 28 และยงมการแขงขนเหลออยอกหนงครง ถาเขาตองการใหคาเฉลยเลขคณตของคะแนนทเขาท าไดทงหกครงเปน 30 เขาจะตองท าคะแนนในการแขงขนครงท 6 ใหไดเทาใด

3. ขอมลตอไปนเปนราคาสนคาชนดหนง (หนวยเปนบาท) ซงสบราคามาจากรานคา 6 ราน เปนดงน 156, 152, 157, 150, 156, 159 จงหามธยฐานของราคาสนคา

4. จากตารางแจกแจงความถตอไปน จงหามธยฐาน อนตรภาคชน 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34

ความถ 3 7 10 8 2 5. จงหามธยฐานจากตารางแจกแจงความถตอไปน

อนตรภาคชน ความถ 10-ต ากวา 15 3 15-ต ากวา 20 7 20-ต ากวา 25 16 25-ต ากวา 30 12 30-ต ากวา 35 9 35-ต ากวา 40 5 40-ต ากวา 45 2

6. จงหาฐานนยมจากขอมลตอไปน 1) 5, 6, 8, 8, 6, 8, 9, 11, 9 2) 3, 1, 7, 1, 9, 15 3) 1, 2, 2, 4, 4, 5, 6 4) 12, 14, 15, 10, 9 ,17, 21

4. การวดต าแหนงขอมล การหาควอไทล เดไซล และเปอรเซนไทลของขอมลทไมไดแจกแจงความถ

1. เรยงคาของขอมลจากนอยไปมาก 2. หาต าแหนงของ Qr, Dr, Pr โดยใชสตร

ต าแหนงควอไทลท r (Qr)ตรงกบต าแหนงท r4(N+1) ; r = 1, 2, 3

ต าแหนงเดไซลท r (Dr)ตรงกบต าแหนงท r10(N+1) ; r = 1, 2, 3, …,9

ต าแหนงเปอรเซนตไทลท r (Pr)ตรงกบต าแหนงทr100(N+1) ; r = 1, 2, 3, …,9

เมอ N คอ จ านวนขอมลทงหมด 3. Qr, Dr หรอ Pr คอ คาของขอมลทอยในต าแหนงทค านวณไดในขอ 2.

ขอสงเกต : Q1 = P25, Q2 = P50, Q3 = P75

D1 = P10, D2 = P20, D3 = P30, … , D9 = P90

การหาควอไทล เดไซล และเปอรเซนตไทลของขอมลทมการแจกแจงความถ 1. ส าหรบขอมลทแจกแจงความถตามคาของขอมล

1. เรยงคาของขอมลจากนอยไปมาก 2. หาต าแหนงของ Qr, Dr หรอ Pr ดวยวธเดยวกบขอมลทไมไดแจกแจงความถ 3. สรางตารางความถสะสม เพอบอกต าแหนงของขอมล 4. Qr, Dr หรอ Pr คอคาของขอมลทอยในต าแหนงทค านวณไดในขอ 2.

2. ส าหรบขอมลทแจกแจงความถเปนชวงคะแนน หรออนตรภาคชน 1. เรยงชวงคะแนนของขอมลจากนอยไปมาก 2. หาต าแหนงของ Qr, Dr หรอ Pr โดยใชสตร

ต าแหนงควอไทลท r (Qr)ตรงกบต าแหนงท r

4(N) ; r = 1, 2, 3

ต าแหนงเดไซลท r (Dr)ตรงกบต าแหนงท r

10(N) ; r = 1, 2, 3, …,9

ต าแหนงเปอรเซนตไทลท r (Pr)ตรงกบต าแหนงทr

100(N) ; r = 1, 2, 3, …,9

เมอ N คอจ านวนทงหมด 3. สรางตารางความถสะสมเพอบอกต าแหนงของขอมล 4. หาคา Qr, Dr หรอ Pr โดยใชสตร

Qr=L(

rN4 -∑ fL

fQr

) I

เมอ L คอ คะแนนขอบชนลางของอนตรภาคชนทม Qr อย

rN

4 คอ ต าแหนง Qr ของขอมลชดน ∑ fL คอ ผลรวมความถของทกอนตรภาคชนทมคะแนนต ากวาอนตรภาค

ชนทม Qr อย fQr

คอ ความถของอนตรภาคชนทม Qr อย I คอ ความกวางของอนตรภาคชนทม Qr อย

Dr=L(

rN10 -∑ fL

fDr

) I

เมอ L คอ คะแนนขอบชนลางของอนตรภาคชนทม Dr อย

rN

10 คอ ต าแหนง Dr ของขอมลชดน ∑ fL คอ ผลรวมความถของทกอนตรภาคชนทมคะแนนต ากวาอนตรภาค

ชนทม Dr อย fQr

คอ ความถของอนตรภาคชนทม Dr อย I คอ ความกวางของอนตรภาคชนทม Dr อย

Pr=L(

rN100 -∑ fL

fPr) I

เมอ L คอ คะแนนขอบชนลางของอนตรภาคชนทม Pr อย

rN

100 คอ ต าแหนง Pr ของขอมลชดน ∑ fL คอ ผลรวมความถของทกอนตรภาคชนทมคะแนนต ากวาอนตรภาค

ชนทม Pr อย fPr คอ ความถของอนตรภาคชนทม Pr อย I คอ ความกวางของอนตรภาคชนทม Pr อย

แบบฝกหดท 3

1. ขอมลตอไปนเปนความสงของคน 6 คน (หนวยเซนตเมตร) 156, 152, 157, 150, 159 จงหา P40, Q2 และ D7

5. การวดการกระจายของขอมล

5.1. การวดการกระจายสมบรณ

1. พสย (Range) พสย=Xmax-xmin

เมอ xmax คอ คาสงสดของขอมล xmin คอ คาต าสดของขอมล

2. สวนเบยงเบนควอไทล (Quartile Deviation)

Q.D. = Q3-Qi

2

3. สวนเบยงเบนเฉลย (Mean Deviation) สวนเบยงเบนเฉลยของขอมลทไมไดแจกแจงความถ

M.D. = 1

N

ii

x

N

สวนเบยงเบนเฉลยของขอมลทมการแจกแจงความถ

M.D. = 1

N

i ii

f x

N

เมอ N = 1

n

ii

f

4. สวนเบยงเบนมาตรฐาน* (Standard Deviation)

สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลทไมไดแจกแจงความถ

S.D. หรอ σ=2

1

( )N

ii

x

N

=

2

21

N

ii

x

N

สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลทมการแจกแจงความถ

(1) σ=√2

1

f ( )N

i ii

x

N

=√

2 2

21

N

i ii

f x

N

(2) σ=√2

1

fN

i ii

D

N

=√

2

2

1

N

i ii

f D

N

5.2. ความแปรปรวน ความแปรปรวน (Variance) คอสวนเบยงเบนมาตรฐานยกก าลงสอง เขยนแทนดวย

สญลกษณ σ2 ความแปรปรวนของขอมลทไมไดแจกแจงความถ

σ2 = 2

1

( )N

ii

x

N

=

2

21

N

ii

x

N

* สวนเบยงเบนมาตรฐานส าหรบขอมลประชากรใชสญลกษณ σ โดยท σ = √

2

1

f ( )N

i ii

x

N

ในขณะทสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลตวอยางใชสญลกษณ s โดยท s=√

2

1

( x)

1

N

ii

x

N

หรอ s=

√

2 2

1

Nx

1

N

ii

x

N

ความแปรปรวนของขอมลทมการแจกแจงความถ

(1) 𝜎2= 2

1

( )N

i ii

f x

N

=

2 2

21

N

i ii

f x

N

(2) 𝜎2=

2

2 2

2 1 1

N N

i i i ii i

f D f D

IN N

ความแปรปรวนรวม ส าหรบขอมล k ชด ทม 𝛍 เทากน

σ2รวม=

N1σ12+N2σ2

2+…+Nkσk2

N1+N2+…+Nk

เมอ Ni คอ จ านวนขอมลของขอมลชดท i 𝜇𝑖 คอ คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท i σ1

2 คอ ความแปรปรวนของขอมลชดท i k คอ จ านวนชดขอมลทงหมด ส าหรบขอมล k ทม 𝛍 ไมเทากน

σ2รวม=

∑ xรวม2

Nรวม-(μรวม)

2

เมอ Nรวม คอ จ านวนขอมลทงหมด μรวม คอ คาเฉลยเลขคณตรวม

5.3. การวดการกระจายสมพทธ

1. สมประสทธของพสย

สมประสทธของพสย= xmax-xminxmax+xmin

2. สมประสทธของสวนเบยงเบนควอไทล

สมประสทธของสวนเบยงเบนควอไทล= Q3-Q1

Q3+Q1

3. สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย

สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย = M.D.μ

4. สมประสทธของการแปรผน

สมประสทธของการแปรผน= σ

μ

แบบฝกหดท 4

1. จากตารางแจกแจงความถตอไปน อนตรภาคชน 2-4 5-7 8-10 11-13 14-16

ความถ 4 8 10 15 3 จงหา 1. สวนเบยงเบนควอไทล(Q.D.)

2. สวนเบยงเบนเฉลย (M.D.)

6. การแจกแจงปกต และคามาตรฐาน การแจกแจงปกต ส าหรบขอมลชดหนงๆ เมอน ามาแจกแจงความถและสรางเสนโคงความถ จะพบวาพนทภายใตเสนโคงของความถจะแทนจ านวนขอมลทงหมด ในชนนเราจะศกษาเสนโคงของความถเรยกวา “เสนโคงปกต” ซงกคอ เสนโคงของความถทเปนรประฆงและเรยกการแจกแจงความถทใหกราฟเปนเสนโคงปกตวา “การแจกแจงปกต”

คามาตรฐาน ขอมลทมคาเฉลยและสวนเบยงเบนมาตรฐานตางกนจะใหเสนโคงของความถมลกษณะและ/หรอ รปรางตางกน ดงน

μ1<μ2 σ1< σ2

μ1<μ2 σ1< σ2

μ1<μ2 σ1< σ2

จะเหนวาการเปรยบเทยบขอมลจากเสนโคงความถมรปรางตางกนจะท าไดยาก ในทางปฏบตจงนยมแปลงเสนโคงปกตทมคาเฉลย และสวนเบยงเบนมาตรฐานตางๆ ใหเปน “เสนโคงปกตมาตรฐาน ” ซงมคาเฉลยเปน “0” และสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน “1” โดยการแปลงคาจากการสงเกต xi ใหเปน “คามาตรฐาน zi”. โดยใชสตร

zi=xi-μσ

z1=

x1-μσ

z2=x2-μσ

เราสามารถหาพนทใตกราฟของเสนโคงปกตมาตรฐานไดโดยการอานคาจากตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกต ดงน

z คอ คามาตรฐาน A คอ พนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานระหวาง 0 ถง z

ตารางแสดงพนทเสนโคงปกต

Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1199 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549

นนคอ พนทใตเสนโคงระหวาง 0 และ z = 0.42 คอ 0.1628 พนทใตเสนโคงระหวาง 0 และ z = 0.25 คอ 0.0987 เนองจากเสนโคงปกตนนสมมาตรรอบแกน z=0 ดงนนการหาพนทใตกราฟเสนโคงปกตระหวาง –z ถง 0 จงสามารถอานคาไดจากตารางเชนกน

นนคอ พนทใตเสนโคงระหวาง z = -0.42 และ 0 คอ 0.1628 พนทใตเสนโคงระหวาง z = -0.25 และ 0 คอ 0.0987

แบบฝกหดท 5

1. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชน ม.6 กลมหนง มการแจกแจงปกตคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 60 และ 10 คะแนนตามล าดบ จงหาคะแนนทเปนเปอรเซนตไทลท 11.51 ของการสอบครงน

2. ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชน ม .6 จ านวน 200 คน ของโรงเรยนแหงหนง มการแจกแจงปกต มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 60 คะแนน มสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 10 คะแนน ถาในการสอบครงน นภาสอบได 70 คะแนน และสมบตสอบได 75 คะแนน อยากทราบวามนกเรยนประมาณกคนทสอบไดคะแนนมากกวานภา แตต ากว าคะแนนของสมบต

7. ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล ขอมลตงแตสองชดขนไป อาจมความสมพนธอยางใดอยางหนงระหวางกน หรออาจไมมความสมพนธกนเลยกได ตวอยางเชน xi เปนขอมลแสดงน าหนกของนกเรยนคนหนงในแตละป และ yi เปนขอมลแสดงสวนสงของนกเรยนคนนนในแตละป เมอน าขอมลทงสองชดมาพจารณา จะเหนวาขอมลทงสองนนาจะมความสมพนธ กลาวคอ ถาเราสามารถหากฎเกณฑทจะบอกสวนสง (yi) ของเดกคนนนจากน าหนก (xi) ของเขาได แสดงวา “xi และ yi มความสมพนธกนและ yi เปนฟงกชนของ xi” ในทางกลบกน ถาเราสามารถหากฎเกณฑทจะบอกน าหนก (xi) ของคนๆนนไดจากสวนสง (yi) ของเขาได “xi และ yi มความสมพธกนและ xi เปนฟงกชนของ yi” กรณทงสองทไดกลาวมาแลวน เรยกวา “xi และ yi มความสมพนธเชงฟงกชนระหวางกนและกน” แผนภาพการกระจาย วธหนงทใชการตรวจหาความสมพนธระหวางขอมล xi และ yi ไดแก การเขยนคอนดบ(x, y) ลงบนระบบพกดฉาก ซงเรยกวา “แผนภาพการกระจาย(scatter diagram)” ดงตวอยางตอไปน ตวอยางท 1 คะแนนวชาวทยาศาสตร 18 12 25 21 16 15 27 17 20 16 คะแนนวชาคณคศาสตร 19 12 24 20 15 16 28 14 20 20

จากแผนภาพการกระจายของคะแนน xi และ yi เราพบวาความสมพนธระหวาง xi และ yi มแนวโนมจะเปนเสนตรง

ตวอยางท 2

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 yi 14 10 6 4 3 4 5 6 10

จากแผนภาพการกระจายของคะแนน x และ y เราจะพบวาความสมพนธระหวาง x และ y มแนวโนมจะเปนเสนโคง ตวอยางท 3

xi 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 yi 2 3 4 6 8 12 16 22 30

จากแผนภาพการกระจายของคะแนน x และ y เราจะพบวาความสมพนธระหวาง x และ y มแนวโนมจะเปนเสนโคง

จดประสงคของการสรางความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมลคอ เพอใชในการท านาย (predict) คาของตวแปรหนง เมอทราบคาของตวแปรอกตวหนง เชน ถาเราราบคะแนนวชาคณตศาสตรของนกเรยนคนหนงกสามารถท านายคะแนนวชาวทยาศาสตรได หมายเหต: ในการสรางความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมลน ขอมลทน ามาสรางความสมพนธ

จะตองประกอบไปดวยคาจากการสงเกตเปนจ านวนมากพอสมควร คอ ตงแต 8 หรอ 10 คาขนไป เพราะถาคาจากการสงเกตมจ านวนนอยแลว ความสมพนธทสรางขนอาจจะผดพลาดได ซงจะเปนผลท าใหการท านายคาตวแปรทตองการผดไปจากความเปนจรงมาก

รปแบบของความสมพนธเชงฟงกชน จากการพจารณาแผนภาพการกระจายทไดกลาวมาแลวขางตน จะพบวาความสมพนธเชงฟงกชนของขอมล สามารถแบงออกไดเปน 2 ชนด

1. ความสมพนธเชงฟงกชนทเปนเสนตรง ซงมรปสมการทวไปของความสมพนธ คอ y=ax+b เมอ y เปนตวแปรตาม x เปนตวแปรอสระ a, b เปนคาคงท

2. ความสมพนธเชงฟงกชนทไมเปนเสนตรง ไดแก ความสมพนธเชงฟงกชนรปอนๆ ทไมไดอยในรปเสนตรง ซงในทนจะกลาวถงเฉพาะความสมพนธทมกพบเสมอๆ ส าหรบขอมลโดยทวไป ดงตอไปน - ความสมพนธทอยในรปพาราโบลา (Parabola)

y=ax2+bx+c เมอ y เปนตวแปรตาม x เปนตวแปรอสระ a, b, c เปนคาคงท

- ความสมพนธทอยในรปเอกซโพเนนเชยล (Exponential)

y=abx เมอ y เปนตวแปรตาม x เปนตวแปรอสระ a, b เปนคาคงท

การประมาณคาของคาคงทโดยใชวธก าสองทนอยทสด จากการสรางแผนภาพการกระจายของคะแนน xi และ yi เมอเราลากเสนขนเปนตวแทนของกลมของจด Z

กลมของจด (xi, yi) ซงอาจลากเสนไดมากกวา 1 เสน จงเกดปญหาวาเสนใดจะเปนเสนทนาเชอถอได และเปนตวแทนทดทสด ปญหานแกไดโดยใช “วธก าลงสองนอยทสด”

จากรป เปนจดการกระจายของขอมล (x1, y1), (x2, y2), (x3, y4), …, (xN, yN) และเมอเราลากเสน L เปนตวแทนของกลมของจด (xi, yi)

คาของ yi บนเสน L เรยกวา “คา yi ประมาณ” (yi) คาของ yi จรงๆ นนอาจจะอยบนเสน L หรออยนอกเสน L กได เรยกวา “คา yi จรง”(yi) จากรป ให d1, d2, d3, …, dN เปนคาของความแตกตางระหวางคา yi กบคา yi หรอ di=yi-yi เ ส น ท เ ป น ต ว แ ท น ก ล ม ข อ ง จ ด (xi, yi) ท ด ท ส ด ค อ เ ส น ท ท า ใ ห

d12+d2

2+d32+…+dN

2 มคานอยทสด หรอ 2

1

N

i ii

y y

มคานอยทสด วธดงกลาวนเราเรยกวา

“วธก าลงสองนอยทสด(least square method” เราสามารถหาความสมพนธเชงฟงกชนระหวาง xi และ yi ไดโดยอาศยวธก าลงสองนอยทสดในการหา “สมการปกต (normal equation)” ของชดขอมล ซงจะมจ านวนสมการเทากบคาคงททตองการหา จากนนจงแทนคาชดขอมลทก าหนดให เพอหาคาคงท a, b, c ตอไป

สมการปกตของความสมพนธเชงฟงกชนในแบบตางๆ

1. ความสมพนธเชงฟงกชนแบบเสนตรง y=ax+b

1

N

ii

y

= 1

N

ii

a x bN

-----(1)

1

N

i ii

x y

= 2

1 1

N N

i ii i

a x b x

-----(2)

2. ความสมพนธเชงฟงกชนแบบพาราโบลา y=ax2+bx+c

1

N

ii

y

= 2

1 1

N N

i ii i

a x b x cN

-----(1)

1

N

i ii

x y

= 3 2

1 1 1

N N N

i i ii i i

a x b x c x

-----(2)

2

1

N

i ii

x y

= 4 3 2

1 1 1

N N N

i i ii i i

a x b x c x

-----(3)

3. ความสมพนธเชงฟงกชนแบบเอกซโพเนนเชยล

y=abx

1

logN

ii

y

= 1

log (logb)N

ii

N a x

-----(1)

1

x logN

i ii

y

= 2

1 1

(loga) (logb)N N

i ii i

x x

-----(2)

จากสมการดงกลาวขางตน เมอทราบคาคงทซงไดจากการแกสมการปกต เราสามารถท านายคาตวแปรตามไดเมอทราบคาตวแปรอสระ ดงนนถาตองการประมาณหรอท านายคาตวแปรใดกตองใหตวแปรนนเปนตวแปรตาม และตวแปรอกตวหนงเปนตวแปรอสระ ตวอยางท 4 ตารางตอไปนแสดงราคาขาวเปลอกและราคาขาวสารตอถงของโรงสขาว 10 โรง ใน

ทองทแหงหนง เมอเดอนมนาคม พ.ศ.2536 ราคาขาวเปลอก(บาท) 22.00 25.50 23.50 24.00 26.50 21.00 22.50 25.00 24.50 21.50 ราคาขาวสาร(บาท) 45.00 48.00 42.00 44.00 47.00 40.00 45.00 47.00 45.00 42.00

1. จงเขยนภาพการกระจายของขอมล 2. จงเขยนกราฟทใชแสดงความสมพนธระหวางราคาขาวสารและราคาขาวเปลอกในขอ

1. 3. ถาราคาขาวเปลอกตอถงทขายในโรงสแหงหนงในทองทนนเทากบ 20 บาท ให

ท านายราคาขาวสารตอถงของโรงสนน 4. ถาราคาขาวสารตอถงทขายในโรงสอกโรงหนงในทองทนนเทากบ 46 บาท ให

ท านายราคาขาวเปลอกตอถงของโรงสแหงนน วธท า

1.

2. จากแผนภาพการกระจายเมอพจารณากราฟทควรใชแสดงความสมพนธระหวาง

ราคาขาวเปลอกและราคาขาวสารพอสรปไดวา ความสมพนธระหวางขาวเปลอกและขาวสารอยในรปเสนตรง ดงรป

3. ตองการท านายราคาขาวสารตอถง ใหราคาขาวเปลอกตอถง(x) เปนตวแปรอสระ และราคาขาวสารตอถง (y) เปนตวแปรตาม

- ดงนน ตวแปร x และ y สมพนธเชงฟงกชนในรปเสนตรง - สมการท านายหรอสมการทวไป คอ y=ax+b ; a และ b เปนคาคงตว หาคา

คงตวไดจากสมการปกต คอ

1

N

ii

y

= 1

N

ii

a x bN

1

N

i ii

x y

= 2

1 1

N N

i ii i

a x b x

จากขอมลน ามาสรางเปนตารางเพอหาคาคงตวได ดงน

xi yi xi2 xiyi 22.00 45.00 484.00 990.00 25.50 48.00 650.25 1,224.00 23.50 42.00 552.25 987.00 24.00 44.00 576.00 1,056.00 26.50 47.00 702.25 1,245.00 21.00 40.00 441.00 840.00 22.50 45.00 506.25 1,012.50 25.00 47.00 625.00 1,175.00 24.50 45.00 600.25 1,102.50 21.50 42.00 462.25 903.00

10

 1

236.00

ii

x 10

 1

445.00y

ii

10

2

 1

5,599.50x

ii

10

 1

10,535.50i

x y

ii

จากคาทไดจากตารางแทนคาในสมการปกตได 445 = 236a+10b ----- (1) 10,535.5 = 5,599.5a+236b ----- (2) (1) x 23.6 ได 10,502 = 5,569.6a+236b ----- (3) (2)-(3) 33.5 = 29.9a ดงนน a =

33.5

29.9 = 1.12

แทนคา a ใน (1) ได 445 = 264.32+10b 10b = 18.068 ดงนน b = 18.07

นนคอ สมการเสนตรงแสดงความสมพนธระหวางราคาขาวเปลอกและราคาขาวสาร คอ y = 1.12x+18.07

ถาราคาขาวเปลอกตอถงเทากบ 20 บาท แทน x = 20 ในสมการจะได y = (1.12x20) + 18.07 y = 40.47 บาท

นนคอราคาขาวสาวตอถงเทากบ 40.47 บาทเมอขาวเปลอกตอถงราคา 20 บาท 4. ตองการท านายราคาขาวเปลอก

ใหราคาขาวเปลอกตอถง (x) เปนตวแปรตาม และราคาขาวสารตอถง (y) เปนตวแปรอสระ

- x และ y สมพนธกนเชงฟงกชนเสนตรง - สมการท านายหรอสมการทวไป คอ x=ay+b ; a และ b เปนคาคงตว หาคา

คงตวไดจากสมการปกต คอ

1

N

ii

y

= 1

N

ii

a y bN

1

N

i ii

x y

= 2

1 1

N N

i ii i

a y b y

จากขอมลน ามาสรางเปนตารางเพอหาคาคงตวได ดงน

จากคาทไดจากตารางแทนคาในสมการปกตได 236 = 445a+10b ----- (1)

10,535.5 = 19,861a+445b ----- (2) (1) x 44.5 ได 10,502 = 19,802.5a+445b ----- (3) (2) - (3) 33.5 = 58.5a ดงนน a =

33.5

58.5 = 0.57

แทนคา a ใน (1) ได 236 = 253.65+10b 10b = -17.65 ดงนน b = -1.77

นนคอ สมการเสนตรงแสดงความสมพนธระหวางราคาขาวเปลอกและราคาขาวสาร คอ x = 0.57x-1.77

ถาราคาขาวเปลอกตอถงเทากบ 46 บาท แทน y = 46 ในสมการจะได x = (0.57x46)-1.77 x = 24.45 บาท

xi yi 𝐲𝐢𝟐 xiyi

22.00 45.00 2,025.00 990.00 25.50 48.00 2,304.00 1,224.00 23.50 42.00 1,764.00 987.00 24.00 44.00 1,936.00 1,056.00 26.50 47.00 2,209.00 1,245.00 21.00 40.00 1,600.00 840.00 22.50 45.00 2,025.00 1,012.50 25.00 47.00 2,209.00 1,175.00 24.50 45.00 2,025.00 1,102.50 21.50 42.00 1,764.00 903.00

10

 1

236.00

ii

x 10

 1

445.00y

ii

10

2

 1

19,861.00y

ii

10

 1

10,535.50i

x y

ii

นนคอราคาขาวสาวตอถงเทากบ 24.45 บาทเมอขาวเปลอกตอถงราคา 46 บาท

ความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา

ขอมลซงเปนอนกรมเวลา (time series) คอ ชดขอมลทเปนชวงเวลา ตวอยางเชน - ประชากรของประเทศไทยในชวง พ.ศ. 2541 ถง 2545 พ.ศ. 2541 2542 2543 2544 2545

จ านวนประชากร(ลานคน) 60.5 60.8 61.0 62.2 63.1 - จ านวนสนคาทโรงงานอตสาหกรรมแหงหนงผลตไดในชวงเดอนมกราคมถงเดอน

พฤษภาคม ในป พ.ศ.2543 เดอน มกราคม กมภาพนธ มนาคม เมษายน พฤษภาคม

จ านวน(วน) 128 132 136 151 156 เมอเราจะน าขอมลเหลานไปค านวณ เราตองเปลยนเดอน หรอ พ.ศ. ใหเปนคา

ตวเลขเพอใหงายแกการค านวณ โดยทวไปนยมเปลยนขอมลอนกรมเวลาเปนคาตวเลข ดงน - ถาคาบเวลาเปนจ านวนค ใหคาบเวลาตรงกลางเปน -1, 1 - ถาคาบเวลาเปนจ านวนค ใหคาบเวลาตรงกลางเปน 0 ดงน

ขอมลทเปน พ.ศ. 2540 2541 2542 2543 2544 2545 2546 เปลยนเปนตวเลข -3 -2 -1 0 1 2 3

ขอมลทเปน พ.ศ. มกราคม กมพาพนธ มนาคม เมษายน พฤษภาคม มถนายน เปลยนเปนตวเลข -5 -3 -1 1 3 5

ตวอยางท 5 ขอมลตอไปนแสดงปรมาณเนอหมเฉลย (กโลกรม) ทประชาชนแตละคนในทองทแหง

หนงบรโภคตอประหวางป พ.ศ. 2525-2535 พ.ศ. 2525 2526 2527 2528 2529 2530 2531 2532 2533 2534 2535

ปรมาณ (กโลกรม)

8.8 9.1 9.6 10.7 11.5 11.2 12.5 12.2 12.0 12.1 10.5

จงท านายปรมาณเนอหมโดยเฉลยทประชาชนแตละคนในทองทนนบรโภคใน พ.ศ.2540

วธท า จากขอมลทก าหนดให เขยนแผนภาพการกระจายระหวางปรมาณเนอหมโดยเฉลย

(กโลกรม) ทปะชาชนแตละคนในทองทแหงหนงบรโภคตอป ในชวงเวลาทบรโภคระหวางป พ.ศ. 2525-2535 ไดดงน

จากกราฟ พอสรปไดวาความสมพนธระหวางปรมาณเนอหมโดยเฉลย (กโลกรม) ท

ประชาชนแตละคนในทองทแหงหนงบรโภคตอป และชวงเวลาทบรโภคระหวางป พ.ศ. 2525-2535 เปนรปพาราโบลา

ในการท านายปรมาณเนอหม ใหเวลา (x) เปนตวแปรอสระ และปรมาณเนอหม

(y) เปนตวแปรตาม - x และ y สมพนธเชงฟงกชนรปพาราโบลา - สมการท านายหรอสมการทวไป คอ y = ax2+bx+c เมอ a, b และ c เปน

คาคงตว หาคา a, b และ c ไดจากสมการปกต

1

N

ii

y

= 2

1 1

N N

i ii i

a x b x cN

1

N

i ii

x y

= 3 2

1 1 1

N N N

i i ii i i

a x b x c x

2

1

N

i ii

x y

= 4 3 2

1 1 1

N N N

i i ii i i

a x b x c x

จากขอมลน ามาสรางตารางเพอหาคาคงตวดงน

จากตารางแทนคาในสมการปกตได 120.4 = 110a+0+11c 120.4 = 110a+11c ----- (1) 31.1 = 0+110b+0 ดงนน b =

31.1

110 =0.28

1,133.5 = 1,958a+0+110c 1,133.5 = 1,958+110c ----- (2)

(1) x 10 ได 1,204 = 1,100a+110c ----- (3) (2) - (3) ได -70.5 = 858a

ดงนน a = -70.5

858 = -0.08

แทน a ใน (2) ได 1,133.5 = 1,958x(-0.08)+110c 110c = 1,290.14 c = 11.73

พ.ศ. xi yi xi2 xi3 xi4 xiyi xi2yi 2525 -5 8.8 25 -125 625 -44.0 220.0 2526 -4 9.1 16 -64 256 -36.8 145.0 2527 -3 9.8 9 -27 81 -29.4 88.2 2528 -2 10.7 4 -8 16 -21.4 42.8 2529 -1 11.5 1 -1 1 -11.5 11.5 2530 0 11.2 0 0 0 0 0 2531 1 12.5 1 1 1 12.5 12.5 2532 2 12.2 4 8 16 24.4 48.8 2533 3 12.0 9 27 81 36.0 108.0 2534 4 12.1 16 64 256 48.4 193.6 2535 5 10.5 25 125 625 52.5 262.5 11

 1

0

ii

x 11

 1

120.4y

ii

112

 1

110x

ii

113

1

0x

i

114

1

1,958x

i

11

1

31.1i i

x y

i

112

1

1,133.5i i

x y

i

นนคอ สมการพาราโบลาแสดความสมพนธระหวางระนะเวลากบปรมาณเนอหม

โดยเฉลยทประชาชนแตละคนในทองทนนบรโภคตอป Y = -0.08x2+0.28x+11.73 x = 0 แทน พ.ศ. 2530 และ “1 หนวยของ x” เทากบระยะเวลา 1 ป ในป พ.ศ. 2540 แสดงวา x =10 y = -0.08(10)2+0.28(10)+11.73 = 6.53 กโลกรม

นนคอปรมาณหมโดยเฉลยทประชาชนในทองทนนบรโภคตอปใน พ.ศ.2540 คดเปน 6.53 กโลกรม

แบบฝกหดท 6

1. จากตารางทก าหนดให ถาขอมล xi และ yi สมพนธเชงฟงกชนเปนเสนตรงแลว จงหา y เมอ x=10

Xi 1 2 3 4 5 Yi 2 3 4 5 6

วธท า

2. ก าหนดใหความสมพนธเชงฟงกชนของจ านวนเครองจกรทขายไดในแตละปเปนเสนตรง ในป พ.ศ.2547 ขายเครองจกรไปเปนจ านวนเทาใด

พ.ศ. จ านวนเครองจกรทขายได(พนเครอง) 2540 1 2541 2 2542 4 2543 5 2544 7

xi yi xiyi xi2 yi2

∑ 𝒙

𝒊= ∑ 𝒚

𝒊= ∑ 𝒙

𝒊𝒚𝒊= ∑ 𝒙

𝒊

𝟐= ∑ 𝒚

𝒊

𝟐=