aula 3

Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com

Centro de Educação Superior de Brasília Centro Universitário Instituto de Educação Superior de Brasília

Curso: Engenharia Civil Professor: Douglas Esteves

Disciplina: Mecânica

Resultante de um Sistema de Forças

Momento de uma Força – Formulação Escalar

Quando uma força não central é aplicada a um corpo, ela produzirá uma tendência de rotação do corpo

em torno de um ponto que não está na linha de ação da força. Essa tendência de rotação algumas vezes é

chamada de torque, mas normalmente é denominada momento de uma força, ou simplesmente momento.

Nas figuras acima podemos observar os seguintes aspectos:

- Na figura (a) o ângulo formado entre a aplicação da força e o braço é diferente de 90º , dessa forma

será mais difícil provocar o giro uma vez que o braço do momento será menor que a distância

- Na figura (b) o ângulo formado entre a aplicação da força e o braço é de 90º, dessa forma a chave

tende a girar em torno do ponto O ( ou eixo z), e a intensidade desse momento é proporcional a intensidade da

força F e a distância perpendicular do momento d. ou seja quanto maior for a força e quanto maior for o braço,

maior será o efeito do momento ou o efeito de rotação.

- Na figura (c) a força foi aplicada ao longo do braço ou seja o ângulo formado entre a força e o braço

é de 0º, dessa forma o momento dessa força será zero, ou seja não provoca nenhum momento.

Intensidade do Momento

A intensidade do momento ( MO) é dada pela relação: onde F representa a força que está

sendo aplicada e d representa o braço do momento ou distância perpendicular do eixo no ponto O até a linha

de ação da força.

Direção do Momento

A direção de MO é definida pelo seu eixo do momento, que é perpendicular ao plano que contém a

força F e seu braço do momento d. Utilizando a regra da mão direita podemos estabelecer o sentido da

direção de MO. de acordo com essa regra a curva natural dos dedos da mão direita, quando eles são dobrados

em direção a palma da mão representa a tendência da rotação causada pelo momento e o polegar nos dá a o

sentido direcional de MO.

Momento Resultante

No problemas bidimensionais, onde todas as forças estão no mesmo eixo x~y, o momento resultante

(MR)O em relação ao ponto O ( o eixo z) pode ser determinado pela adição algébrica dos momentos causado

no sistema por todas as forças. Por convenção definimos que o momento é positivo quando o giro é no sentido

anti-horário e o momento é negativo quando a tendência de giro é no sentido horário.

Exemplos de aplicação

1) Determine o momento da força em relação ao ponto O para cada caso.

Solução: ( ) ( )

2) Determine o momento resultante das quatro forças que atuam na barra mostrada na figura abaixo.

OBS: A força de 20N deve ser considerada fazendo a sua

decomposição nos eixos x e y.

Produto vetorial

O momento de uma força será formulado com o uso de vetores cartesianos assim veremos alguns

conceitos para futuras aplicações.

Produto vetorial de dois vetores A e B produz o vetor C, que é escrito: C = A x B.

Intensidade

A intensidade de C é definida como o produto das intensidades de A e B e o seno do ângulo entre

eles ( ). Logo, C = AB sen .

Direção O vetor C possui uma direção perpendicular ao plano que contém A e B, de modo que C é

determinado pela regra da mão direita; ou seja dobrando-se os dedos da mão direita a partir do vetor A até o

vetor B, o polegar aponta na direção de C, como mostra a figura.

Para conhecer a direção e a intensidade de C, podemos escrever:

C = A × B = (AB sen ) uC

Onde o escalar AB sen define a intensidade de C e o vetor

unitário uC define sua direção.

Propriedades do produto vetorial

A propriedade comutativa não é válida; ou seja, A x B B x A. Em vez disso temos:A x B = -B x A.

Se o produto vetorial for multiplicado por um escalar a, ele obedece à propriedade associativa;

a (A x B) = (aA) x B = A x (aB) = (A x B) a

O produto vetorial também obedece à propriedade distributiva da adição,

A × (B + D) = (A × B) + (A × D)

Formulação Vetorial Cartesiana

Maneira prática de obter esses resultados.

Construímos um círculo como o da figura abaixo, então ‘ o produto vetorial’ de dois vetores

unitários no sentido anti-horário do círculo produz o terceiro vetor unitário positivo; por exemplo: K x i = J.

fazendo o produto vetorial no sentido horário do círculo, um vetor unitário negativo é obtido; por exemplo: i x

K = - J.

Desenvolvimento do produto vetorial em forma de vetores cartesianos

Considere agora o produto vetorial de dois vetores quaisquer A e B, expressos na forma de vetores

cartesianos, temos.

Efetuando as operações de produto vetorial e combinando os termos resultantes,

Essa equação também pode ser escrita de uma forma mais compacta de um determinante como:

A solução através do determinante é feita usando o teorema de Laplace que diz: “O

determinante de uma matriz quadrada 2m aMm x mij pode ser obtido pela soma dos produtos dos

elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.”

Chamamos de cofator (ou complemento algébrico) relativo ao elemento ija de uma matriz

quadrada de ordem n o número ijA , tal que ij

ij MC)1(A .

Assim temos:

Momento de uma força – formulação vetorial

Momento de uma foça F em relação ao eixo de momento que passa por O ou mais exatamente em

relação ao eixo do momento que passa por O e é perpendicular ao plano de O e F pode ser expresso na forma

de produto vetorial:

MO = r x F

Nesse caso, r representa um vetor posição de dirigido de O até algum

ponto sobre a linha de ação de F.

Intensidade

A intensidade do produto vetorial é definida por onde o ângulo é medido a

partir do encontro de r e F.

Assim podemos escrever: ( )

A direção e o sentido são determinados pela regra da mão direita.

Principio da Transmissibilidade

Esse princípio define que F (vetor deslizante) pode agir em qualquer ponto sobre a sua linha de ação e

ainda produzir o mesmo momento em relação ao ponto O.

Formulação do Vetor cartesiano

Se estabelecemos os eixos coordenados x , y , z , então o vetor posição r e a força F podem ser

expressos como vetores cartesianos. Essa relação é utilizada quando for necessário fazer o cálculo do

momento de corpos tridimensionais na forma cartesiana.

- representam as componentes x, y, z do vetor posição definido no ponto O até qualquer ponto sobre

a linha de ação da força.

- representam as componentes x, y , z do vetor força.

- Se o determinante for expandido, então , teremos:

( ) ( ) ( )

Momento resultante de um Sistema de Forças

Se um corpo é submetido à ação de um sistema de forças o momento resultante das forças em relação

ao ponto O pode ser determinado pela adição vetorial do momento de cada força. Essa resultante pode ser

escrita na forma de:

∑( )

Exemplo de aplicação.

Determine o momento produzido pela força F na figura abaixo em relação ao ponto O. Expresse o resultado

como um vetor cartesiano.

Solução:

Como mostra a figura tanto rA como rB podem ser usados para determinar

o momento em relação ao ponto O. Esses vetores são:

{ } { }

Veja essas forças na figura ao lado

Dessa forma podemos expressar a

força F como um vetor cartesiano .

Agora que já conhecemos as componentes cartesianas da força F , podemos calcular o momento em relação

ao ponto O. Para isso usamos a relação do determinante.

Cálculo do momento em relação a

Cálculo do momento em relação a RB.

O princípio dos momentos Como F = F1 + F2, temos:

MO = r × F = r × (F1 + F2) = r × F1 + r × F2

_ O princípio dos momentos afirma que o momento de uma força em relação

a um ponto é igual à soma dos momentos das componentes da força em

relação ao mesmo ponto.

Para os problemas bidimensionais podemos usar o princípio dos

momentos decompondo a força em suas componentes retangulares e

depois determinar o momento usando uma análise escalar. Logo temos:

MO = Fxy – Fyx

Exemplo de aplicação

1) Determine o momento da força na figura abaixo em relação ao ponto O.

Solução:

Podemos calcular esse momento de duas maneiras, uma seria usando a

forma escalar e a outra usando o princípio dos momentos, vejamos.

Solução I ( forma escalar )

1º ) encontramos o valor do braço (d) através da trigonometria

Agora aplicamos a definição de momento na forma escalar.

Solução II ( Princípio dos momentos )

1) Fazemos a decomposição da força F.

2) considerando o sentido anti-horário como positivo e

aplicando o princípio dos momentos temos:

( ) ( )

3) A força F age na extremidade da cantoneira mostrada na figura abaixo. Determine o momento

da força em relação ao ponto O.

Solução I ( Análise Escalar):

Fazemos a decomposição da força nas componentes x e y. conforme figura abaixo e depois calculamos o

momento.

Solução II ( Análise Vetorial )

Empregando a abordagem do vetor cartesiano, os vetores de força e posição podem ser escritos da seguinte

forma:

Desta forma o momento pode ser calculado.

Exercícios:

1) Determine o momento da força em relação ao ponto O.

4) Determine o momento da força em relação ao ponto O . Despreze a espessura do membro.

5) Se o momento produzido pela força de 4 KN em relação ao ponto A é 10 KN.m no sentido horário,

determine o ângulo .

6) O cabo do martelo está sujeito à força de F = 100 N. Determine o momento dessa força em relação ao

ponto A.

7) Dois homens exercem forças de F = 400N e P = 250N sobre as cordas, determine o momento de cada

força em relação a A. Em que sentido o poste irá girar, horário ou anti-horário?

O poste irá girar no sentido horário

8) De acordo com a figura da questão 7 , se o homem B exerce uma força P = 150N sobre sua corda,

determine a intensidade da força F que o homem em C precisa exercer para impedir que o poste gire;

ou seja para que o momento resultante em relação a A devido as duas forças seja zero.

9) Se as pinças são usadas para prender as extremidades do tubo de perfuração P . Se um torque (

momento) Mp = 1200 N.m é necessário em P para girar o tubo, determine a força que precisa ser

aplicada no cabo da pinça F. considere º.

10) Determine o momento mínimo produzido pela força F em relação ao ponto A. Especifique o ângulo Ɵ

Resp: Mmin= 0 e Ɵ = 146,31º

11) Se FB = 150N e FC = 225N, determine o momento resultante em relação ao parafuso localizado em A.

Resp: M = 291,9 N.m

12) A barra do mecanismo de controle de potência de um jato comercial está sujeita a uma força de 80N.

determine o momento dessa força em relação ao mancal em A.

Resp: M = 7,71 N.m

Momento em Relação a um Eixo Específico

Determina-se o momento da força em relação a um ponto do sistema e depois se realiza a projeção

sobre eixo que se deseja a partir do produto escalar. O momento de uma força em relação a um eixo especificado pode ser determinado desde que a

distância perpendicular da a partir da linha de ação da força até o eixo possa ser determinada. .

Devemos usar uma análise vetorial, ( ) onde Ua define a direção do eixo e r é

definido a partir de qualquer ponto sobre o eixo até qualquer ponto sobre a linha de ação da força.

Se o valor de Ma calculado é calculado como um escalar negativo, então o sentido da direção de Ma é

oposto a Ua.

Exemplos de aplicação.

1) A força F atua no ponto A mostrado na figura. Determine os momentos dessa força em relação ao

eixo x.

Solução:

2) Determine o momento resultante das três forças na figura abaixo em relação ao eixo x, ao eixo y e

ao eixo z.

Solução:

Lembrando que uma força paralela a um eixo ou na mesma

linha de ação do eixo não produz qualquer momento temos:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Momento de um Binário

Um binário é definido como duas forças paralelas que têm a mesma intensidade, mas direções opostas,

e são separadas por uma distância perpendicular d ( conforme figura abaixo).

Como a força resultante é zero, o único efeito de um binário é produzir uma rotação ou tendência de rotação

em uma direção específica.

Formulação Escalar

O momento de um binário M conforme a figura abaixo é definido como tendo uma intensidade de:

Formulação Vetorial

O momento de um binário também pode ser expresso pelo produto vetorial usando a seguinte

equação. . A aplicação dessa equação deve ser usada quando calculamos o momento de duas

forças em relação a um ponto situado na linha de ação de uma das forças.

Se por exemplo os momentos são tomados em relação ao ponto A da figura abaixo, o momento da

força –F é zero e o momento da F deve ser calculado usando a equação .

Binários Equivalentes

Dois binários são ditos equivalentes se produzem o mesmo momento. O momento resultante de dois

binários é obtido pela soma dos binários.

1) Um binário atua nos dentes da engrenagem mostrada na figura. Substitua esse binário por um

equivalente, composto por um par de forças que atuam nos pontos A e B.

Solução:

Ou então:

O momento é positivo pois ambas as forças produzem giro

no sentido anti-horário.

2) Determine a intensidade e a direção do momento de binário agindo sobre a engrenagem.

Solução:

3) Determine o momento de binário agindo sobre o tubo mostrada na figura abaixo. O segmento AB está

direcionado 30º abaixo do palno x~y.

Solução:

O momento das duas forças pode ser calculado em relação a qualquer

ponto, então vamos calcular em relação ao ponto O.

A força aplicada no ponto A exerce momento só em relação ao eixo y.

A forção aplicada em B exerce momento nos três eixos.

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) fazemos o produto vetorial e

temos:

Força aplicada no ponto A

Força aplicada no ponto B

( ) ( ) Assim temos que o momento resultante é igual a:

Exercícios de Aplicação.

13) Determine o momento produzido pela força F em relação a diagonal AF do bloco retangular. Expresse

o resultado na forma de vetor cartesiano.

14) Determine o momento da força F em relação ao eixo que se estende entre A e C. expresse o resultado

como um vetor cartesiano.

Resp : (11,51 i + 8,64 j) KN.m

15) Determine o momento produzido pela força F com relação ao segmento AB do encanamento. Expresse

o resultado como um vetor cartesiano.

Resp : (-52,8 i – 70,4 j) N.m

16) Determine o momento de binário resultante que age sobre a viga.

Resp : - 740 N.m

17) Um homem de peso 600 N caminha numa viga de madeira simplesmente apoiada em A e articulada

em C. A distância entre A e C é de 4,0 m. O peso da viga é de 900 N e seu comprimento é de 6,0 m.

Determine a máxima distância x, indicada na figura, que o homem pode caminhar sobre a viga para

que ela permaneça em equilíbrio?

18) Determine o momento de binário que age sobre o encanamento e expresse o resultado como um vetor

cartesiano.

Resp :

19) Os efeitos do atrito do ar sobre as pás do ventilador criam um momento de binário MO = 6,0 N.m

sobre as mesmas. Determine a intensidade das forças de binário na base do ventilador de modo que o

momento de binário resultante no ventilador seja zero.

20) Determine a intensidade de F de modo que o momento de binário que age sobre a viga seja 1,5 KN.m

no sentido horário.

Resp : F = 2,33 KN.m

21) Determine a intensidade necessária dos momentos de M2 e M3 de modo que o momento de binário

resultante seja zero.

Resp: M2 = 424,26 N e M3 = 300 N

Simplificação de um sistema de forças e binários

Um sistema é equivalente se os efeitos externos que ele produz sobre um corpo são iguais aos

causados pelo sistema de forças e momentos binários originais.

Nesse contexto, os efeitos externos de um sistema se referem ao movimento de rotação e translação do

corpo se este estiver livre para se mover, ou se refere às forças reativas nos suportes se o corpo é mantido fixo.

Vamos considerar que uma pessoa está segurando o bastão da figura abaixo que está sujeito a uma

força F.

Se aplicarmos um par de forças F e –F iguais e opostas, no ponto B, onde se encontra a linha

de ação da força F.

Observamos que –F em B e F em A se cancelam, deixando apenas a força F em B, conforme figura abaixo.

Observe que a força F foi movida de A para B sem modificar os efeitos externos sobre o

bastão, ou seja a reação na empunhadura permanece a mesma. Isso mostra o princípio da transmissibilidade,

que afirma que uma força agindo sobre um corpo ( bastão) é um vetor deslizante, já que pode ser aplicado em

qualquer ponto ao longo da sua linha de ação.

Se F for aplicado perpendicularmente ao bastão, como na Figura (a), então podemos aplicar um par de

forças F e –F iguais e opostas no ponto B (b). A força F agora é aplicada em B, e as outras duas forças, F em

A e –F em B, formam um binário que produz o momento de binário M = Fd (c).

Podemos generalizar esse método de reduzir um sistema de forças e binários a uma força resultante FR

equivalente agindo no ponto O e um momento de binário resultante (MR)O (decorrente do deslocamento das

forças na figura b) usando as duas equações a seguir:

∑ ∑ ∑

Onde a primeira equação estabelece que a força resultante do sistema seja equivalente à soma

de todas forças;

A segunda equação estabelece que o momento de binário resultante do sistema seja

equivalente à soma de todos os momentos de binários ∑ , mais os momentos de todas as forças ∑ em

relação ao ponto O.

Exemplo de aplicação

Substitua o sistema de forças e binários na figura abaixo por um sistema de forças e momento

de binário resultante equivalente agindo no ponto O.

Solução:

Primeiro fazemos as decomposições das forças de 3KN e de 5KN.

Assim temos:

Eixo Y :

3KN . sen 30º = 1,5 KN ( para cima)

Mais a força de 4KN para baixo.

Eixo X

Usando o teorema de pitágoras encontramos a força resultante;

√( ) ( ) √

Sua direção Ɵ é dada pelo arc tangente.

Agora substituímos os momentos de binário por o momento resultante.

Os momentos de 3KN e 5KNem relação ao ponto O serão determinados usando as componentes x e y.

( ) ∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) (

) ( ) ( )

22) Substitua o sistema de forças que age sobre a treliça por um força e momento de binário resultante no

ponto C.

Resp : FR = 4250N , direção 61,9º , M = 9,6 KN.m

23) Substitua o sistema de forças que age sobre a viga por uma força e momento de binário equivalente no

ponto B.

Resp: FR = 5,93 KN , direção 77,8º , M = -11,6KN.m

24) Substitua as duas forças por uma força e momento de binário resultante equivalente no ponto C.

Considere F = 100N

Resp: FR = 149,6 N, direção 78,4º , M = 26,41N.m

25) Substitua o sistema de forças que age sobre o poste por uma força e momento de binário resultante no

ponto A.

Resp: FR = 542N , direção 10,6º , M = 441 N.m

Redução de um carregamento distribuído simples

Algumas vezes, um corpo pode está sujeito a um carregamento que está distribuído sobre sua

superfície. Por exemplo, a pressão do vento sobre a superfície de um cartaz de propaganda( outdoor), outro

exemplo seria a pressão da água dentro de um tanque.

O tipo mais comum de carga distribuída encontrada na prática em engenharia é geralmente

uniforme ao longo de um eixo. Como por exemplo uma viga que fica sujeita a um carregamento de pressão

que varia apenas ao longo do eixo x. Podemos descreve esse carregamento pode ser descrito pela função

A intensidade da força resultante é equivalente a soma de todas as forças atuantes no sistema e em

muitos casos deve ser calculada por integração, uma vez que existem infinitas forças atuando sobre o sistema.

A força resultante é igual a área total sob o diagrama de carga.

Exemplo:

Determine a intensidade e a localização da força resultante equivalente que atua no eixo mostrado na figura.

Solução

Localização da força resultante:

( Intensidade e localização da força resultante )

Intensidade da Força Resultante de Formas Geométricas mais Simples Algumas vezes, um corpo pode está sujeito a um carregamento que está distribuído sobre sua

superfície. Por exemplo, a pressão do vento sobre a superfície de um cartaz de propaganda( outdoor), outro

exemplo seria a pressão da água dentro de um tanque.

O tipo mais comum de carga distribuída encontrada na prática em engenharia é geralmente

uniforme ao longo de um eixo. Como por exemplo uma viga que fica sujeita a um carregamento de pressão

que varia apenas ao longo do eixo x. Podemos descreve esse carregamento pode ser descrito pela função

Intensidade da Força Resultante

A força resultante de um carregamento distribuído é equivalente à área sob o diagrama do

carregamento e tem uma linha de ação que passa pelo centroide ou centro geométrico dessa área.

Dessa forma temos:

Posição de uma Carga Uniformemente Distribuída

- Carga Retangularmente Distribuída: Para esse tipo de carregamento a

carga resultante se encontra no meio do retângulo.

- Carga triangularmente Distribuída: Para essa tipo de carregamento a

carga resultante se encontra a 1/3 da extremidade que possui maior carga.

Carga Trapezoidalmente Distribuída: Para esse tipo de carregamento a

carga resultante se encontra através da relação:

1) Calcule as reações RA e RB nos esquemas abaixo

Solução:

26) Determine a força resultante e especifique onde ela atua na viga , medindo a

partir do ponto A. Para cada caso.

Resp : FR = 40,5 KN ; Posição = 1,25m

Posição da carga pontual é sempre igual

a 1/3 da base do triângulo do lado da

maior concentração de carga.

Resp : FR = 9,9 KN ; Posição = 2,51m

Resp : FR = 27 KN ; Posição = 1m

Resp : FR 30 KN ; Posição = 3,4 m

27)Um carregamento distribuído com p = (800x) Pa atua no topo de uma superfície de uma viga como mostra

a figura. Determine a intensidade e a localização da força resultante equivalente.

Resp: FR = 6,48 KN , x = 6m

28) Substitua o carregamento distribuído por uma força resultante equivalente e especifique sua posição na

viga medindo a partir de A.

Resp: FR = 75 KN ; x =1,2m

29) Substitua o carregamento distribuído por uma força resultante equivalente e especifique sua posição na

viga medindo a partir de A.

30) O vento soprou a areia sobre uma plataforma de modo que a intensidade da carga pode ser

aproximada pela função w = (0,5x3) N/m. simplifique esse carregamento distribuído para uma força resultante

equivalente e especifique sua intensidade e posição medida a partir de A.

ESTEVES, Douglas. Resultante de um sistema de forças: Momento. 13-14 de mar de 2014. 34 p. Notas de Aula. Material retirado do livro: mecânica para engenheiros ( estática) 12ª ed do Hibbeler.. .

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