capacita’ elettrica di un singolo conduttore...

1

1) all’equilibrio elettrostatico la carica elettrica si distribuisce

percio’ sara’ determinata

da una distribuzione superficiale di carica

solo sulla superficie del conduttore,

Capacita’ elettrica di un singolo conduttore isolato all’equilibrio elettostatico

percio’ V(∞) = 0 e

E(∞) = 0

finita dello spazio

( , , )x y zσ

dunque in una zona

e la soluzione dell’ equazione di Poisson

( , , )( ', ', ') x y zV x y z drτ

ρ τ∝ ∫sara’ del tipo

x’,y’,z’ sono le coordinate di un qualsiasi

dove

2) la carica si colloca sulla superficie del conduttore

punto dello spazio

2

( , , )( ', ', ') x y zV x y z dSr

σΣ

∝ ∫

in un punto P’(x’,y’,z’) qualsiasi dello spazio

da notare come V dipenda da σ

il potenziale sara’:

dove Σ e’ la superficie del conduttore

e’ distribuita solo e soltanto

quindi

ma in questo caso la carica

sulla superficie del conduttore

all’equilibrio il potenziale sara’ costante in tutto il conduttore

dunque anche in un qualsiasi punto del conduttore

3

l’unicita’ della soluzione dell’ equazione di Poisson

garantisce che vi sia

distribuzione superficiale di carica all’equilibrio elettrostatico

(problema di Dirichlet) una ed una sola

la carica totale Q

( , , )Q x y z dSσΣ

= ∫dove Σ e’ la superficie del conduttore

σ(x,y,z)

da notare che

e la distribuzione superficiale di carica

sono legate dalla relazione:

distribuita sul conduttore

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si definisce capacita’ elettrica C di un singolo

QCV

=∆

conduttore isolato elettricamente

il rapporto tra la carica ed il potenziale e’ costante

se si aumenta la carica Q sul conduttore di un fattore

la densita’ di carica σ variera’ dello stesso

ma anche il potenziale variera’

dello stesso fattore per cui

fattore,

moltiplicativo

QV

=( )

QV V

=− ∞

5

Sistemi di conduttori all’equilibrio elettrostatico un singolo conduttore isolato caricato positivamente di

11

1

qVC

=

se portiamo un secondo conduttore scarico nelle

la carica indotta sul secondo conduttore

+q _ + q q

sara’ negativa all’estremita’ vicina al primo conduttore

e positiva all’ estremita’ lontana

vicinanze del primo

carica +q1 si portera’ al potenziale V1

si verifichera’ l’induzione elettrostatica

6

e’ piu’ vicina al primo conduttore rispetto alla carica

dato che la carica totale sui conduttori rimane costante

negativa sara’ maggiore di quella positiva

del primo conduttore nel complesso diminuira’

se ne deduce che la capacita’ del primo conduttore

e’ aumentata dalla presenza del secondo conduttore

la carica negativa indotta sul secondo conduttore

positiva indotta quindi l’influenza della carica

e il potenziale

7

1

12 2 2 2 1

2

( , , )( ', ', ') x y zV x y z dSr

σΣ

∝ ∫

il potenziale del secondo conduttore, dovuto alla presenza

1

11 1 1 1 1

1

( , , )( ', ', ') x y zV x y z dSr

σΣ

∝ ∫ma si aveva

dove r2 e’ la distanza del punto di coordinate x2’ y2’ z2’

dove r1 e’ la distanza del punto di coordinate x1 ’ y1 ‘ z1 ‘

dai vari punti di coordinate x, y, z in cui e’ distribuita

dai vari punti di coordinate x, y, z in cui e’ distribuita la

della carica q1 sul primo conduttore, e’ calcolabile come

carica elettrica

la carica elettrica

8

V1 e V2 dipendono dalla carica q1 del primo conduttore

'1 11 1V a q= '

2 12 1V a q=

se si modifica q1 verranno modificati in modo

che diverranno V’1 e V’2

proporzionale a q1 , i potenziali dei due conduttori,

quindi si potra’ affermare

che e che

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la presenza della carica q1 sul primo conduttore induce

la carica indotta a sua volta modifica la distribuzione

i coefficienti a11 e a12 riassumono la condizione di equilibrio

assegnamo ora carica q2 al secondo conduttore e

ragionando in modo analogo a prima si avra’

''1 21 2V a q= ''

2 22 2V a q=

una distribuzione di carica sul secondo

di carica inducente, collocata sul primo conduttore

carica nulla al primo

10

se fossero contemporaneamente presenti la carica q1

1 11 1 12 2V a q a q= +

2 21 1 22 2V a q a q= +sistema che puo’ essere invertito

1 11 1 12 2q c V c V= +

2 21 1 22 2q c V c V= +

conduttore applicando il principio di sovrapposizione

potenziali

se i = j i coefficienti sono detti di capacita’

se i ≠ j i coefficienti sono detti di induzione

nomenclatura :

sul primo conduttore e la carica q2 sul secondo

ai potenziali si otterrebbe:

per esprimere la carica in funzione dei matrice non nulla)

(determinante della

11

1 11 12V a q a q= − 2 12 22V a q a q= −

in questo caso si ha a12 = a21

1 2 11 22 12( 2 )V V a a a q− = + −

1 211 22 12

1 ( )2

q V Va a a

= −+ −

e dato che q1 = q e q2 = − q

conduttore terminano tutte su di un altro conduttore

induzione completa si parla di conduttori in

se le linee di campo che si originano dalla superficie di un

12

1 2( )q C V V C V= − = ∆

11 22 12

12

Ca a a

=+ −

qC V=∆

se si pone:

C e’ la “capacita’ elettrica” del condensatore

un sistema di due conduttori in induzione completa e’

si ha

nel S.I. la capacita’ si misura in Farad

detto condensatore

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Capacita’ elettrica del condensatore a facce piane e parallele

0 0

1 QES

σε ε

= =

dxdVEx −= xE dx dV= −

xV E d∆ =

quindi

integrando tra le due armature poste a distanza d

0

E σε

=

0E =

0E =

Q+ Q−

x

14

0Sd

C ε=

QCV

=∆

dunque

0Sd

ε=

0

QQ d

Sε

=x

QE d

=

15

Capacita’ di un conduttore sferico una sfera conduttrice e’ caricata con carica elettrica q.

una sfera conduttrice carica si comporta come un guscio sferico carico

il potenziale di un guscio sferico carico di raggio R e’

0

1( )4

qV rRπε

= dove R e’ il raggio della sfera

la carica si disporra’ sulla superficie della sfera e, per motivi di simmetria, la densita di carica superficiale sara’ uniforme

qCV

=∆ ( )

qV r V∞

= =− ( )

qV r 04 Rπε=

Un condensatore sferico e’ costituito da un conduttore

depositiamo una carica positiva,

interna del conduttore esterno

+ + + + +

+ + + + + +

all’equilibrio elettrostatico le cariche saranno disposte solo

+ + +

+ +

+ +

+

+ +

+

- - -

- -

- -

- - -

-

sulle superfici costituendo tre gusci carichi concentrici

superficiale di carica positiva +q

esterna del conduttore esterno

superficiale di carica negativa -q

per induzione sulla superficie

sulla superficie la carica si distribuira’ tutta

+q , sul conduttore interno

del condensatore sferico. Determinare la capacita’ esterno R3

conduttore sferico cavo di raggio interno R2 e raggio sferico pieno di raggio R1 posto al centro di un

si formera’ una distribuzione

mentre sulla superficie

si formera’ una distribuzione

10 r R≤ ≤

10 1 0 2 0 3

1 1 1( )4 4 4

q q qV r VR R Rπε πε πε

= − + =

1 2R r R< ≤

0 0 2 0 3

1 1 1( )4 4 4

q q qV rr R Rπε πε πε

= − +

r O

V(r)

R1

110

14

( ) qV r RRπε

≤ =

andamento del potenziale di un guscio sferico di raggio R1

da notare come nel punto r = R1 il potenziale sia continuo

R1

R1 R2

distanza radiale r caricato uniformemente con carica q in funzione della

10

14

( ) qV r Rrπε

> =

2 3R r R< ≤ R2

R3

20 3

14

q VRπε

= =

0 0 0 3

1 1 1( )4 4 4

q q qV rr r Rπε πε πε

= − + =

3r R≥

0 0 0

1 1 1( )4 4 4

q q qV rr r rπε πε πε

= − + =

0

14

qrπε

=

R3

la d.d.p tra i due conduttori e’

0 1 0 2 0 3 0 3

1 1 1 1( )4 4 4 4

q q q qVR R R Rπε πε πε πε

∆ = − + −

1 2V V V∆ = −

0 1 0 2

1 14 4

q qVR Rπε πε

∆ = −0 1 2

1 1( )4

qR Rπε

= −

0 1 2

2 1

4 R RCR Rπε

=−

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