dipolo curto prof. nilton cesar de oliveira borges
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Dipolo CurtoProf. Nilton Cesar de
Oliveira Borges
Uma vez que se pode considerar que qualquer antena linear consiste de um grande número de
condutores bem pequenos ligados em série, desse modo é importante analisar primeiramente
as propriedades de radiação de condutores curtos.
Dipolo Curto
L
-q
+q
I
Dipolo CurtoSeu equivalente elétrico
• Utilizando o potencial vetorial A,
dvrJA
4
dvrJA
4
dzdydx
rJA ..
4
dydxJrdzA .
4
I
rdzA
4
dzrIA
4
Considerando que a secção do fio é de área constante temos: Área da secção do
fio
Corrente I
• Como estamos interessados no campo distante. O sinal que chega no ponto P é de um sinal que foi gerado em um instante anterior, ou seja o sinal chega retardado em P.
• Esse retardo é igual a distancia do ponto P da origem dividido pela velocidade de propagação.
• Considerando a distancia do ponto P igual a r e velocidade da luz igual a “c” , temos que o tempo de retardo será de “r/c”.
Desse modo o sinal que medimos em P no tempo t, foi gerado na verdade em um tempo anterior t’, sendo:
t’= t - r/c
t igual ao tempo presente que recebemos o sinal
t’ é o tempo que ele foi gerado
r é a distancia da origem ao ponto P. c é a velocidade da luz
• Admitindo que a corrente obedeça a seguinte função:
Onde:
I é a corrente instantânea
I0 é a corrente máxima
ω= freqüência da onda
crtj
eII
0
Em seguida faremos duas considerações para o calculo do campo que
serão utilizados no cálculo do potêncial A
Considerando um dipolo onde (L<<), e que nos extremos existem duas placas que proporcionam um carregamento capacitivo, a corrente I, conseqüentemente é praticamente constante em todo o dipolo.
I
Primeira consideração
Z
Y
P
S1
S2
r
S
L
d
dz
Se a distancia do ponto P for bem maior que o tamanho do dipolo L, pode-se considerar que S=r constante para todo o dipolo, sendo a diferença de fase entre os extremos do fio podem desprezadas.
Segunda consideração
Retomando a equação do pontencial A.
dzsIA
4
dzsIA
L
Lz
2
24
2
24
.L
Lz dz
rIA
2º consideração: troca-se s por r que sai da integral por ser considerado aproximadamente constante em relação a z.
1º consideração: I é cte em relação a z e sai da integral
rLIAz
4
Substituindo I por:
crtj
eII
0
rπ4eμLIA
r/ct0
z
s
LIAz
4
Temos:
O potencial escalar V é dado por:
dvs
VL
L
2
24
1
dv = elemento volumétrica infinitesimal. = constante volumétrica do espaço livre É a densidade volumétrica
é também retardada por (t-r/c), sendo:
crtje
0
Devido ao efeito capacitivo as cargas do dipolo estarem confinadas aos extremos, temos o
potencial dado por:
2141
sq
sqV
Vamos agora encontrar o valor de q em função de I:
dtIqdtdqI
dtIq dteIq crtj
0
se
crtjeII
0
Então
Integrando, temos:
crtjejIq
0
Substituindo o valor de q na equação do potencial temos:
21
0
21
4 Se
Se
jIV
cStj
cStj
2141
sq
sqV
S1
S2
r
Z
Y
L
cos2L
cos2L
P Ponto distante
cos2
e cos2 21
LrSLrS
Observando a figura acima e sabendo que a distancia do ponto P é muito maior que L do dipolo temos:
d
Podemos então reescrever a função potencial como:
cos2
cos2
4
cos2
cos2
0
Lr
eLr
ej
IV
c
Lrtj
c
Lrtj
Tirando o mínimo temos:
22
cos2
cos2
0
cos2
cos2
cos2
4
Lr
LreLre
jIV
c
Lrtj
c
Lrtj
Como r>>L , podemos apenas considerar o termo r2 no denominador, reduzindo a expressão em:
2
cos2
cos2
0cos2
cos2
4
11
r
LreLre
jI
V
c
Lrtj
c
Lrtj
2
cos2
cos2
0
cos2
cos2
4
11
r
LreLre
jIV
c
Lrtj
c
Lrtj
c
Lrtj
e
1cos2
cos
2cL
crtj
e
Sabendo que:
cos
2cL
crtj
e
cos
2cLj
crtjee
O numerador da expressão entre parênteses do potencial ficará:
cos2
cos2
cos2
cos2 LreeLree c
Ljcrtj
cLj
crtj
2
cos2
cos2
0
cos2
cos2
4 r
LreLre
jeI
V
cL
jcL
j
cr
tj
A expressão do potencial ficará:
Utilizando a identidade de Euler: sen)cos( je j
A expressão do potencial pode ser escrita como:
cos22
cossen2coscoscos
22cossen
2coscos
4 20 Lr
cLj
cLLr
cLj
cL
rjeIV
crtj
cf e 2 f
c2
c2
2 f
c2
c2
coscos
2coscos Lc
L
Utilizando a relação acima temos:
cossen
2cossen Lc
Le
Como >>L então:
1coscos
L
coscosen LLs
1coscos
L
coscosen LLs
Utilizando as relações acima na formula de potencial teremos:
cos22
cossen2coscoscos
22cossen
2coscos
4 20 Lr
cLj
cLLr
cLj
cL
rjeIV
crtj
cos22
cos1cos22
cos14 2
0 Lrc
LjLrc
Ljrj
eIV
cr
tj
cos22
cos1cos22
cos14 2
0 Lrc
LjLrc
Ljrj
eIVcrtj
Para simplificarmos a expressão acima chamaremos de:
cos2
;;2cosb;1 Ldrcc
Lja
A expressão dentro dos colchetes se tornam:
dcbadcba
bdbcadacbdbcadac bcad 22
cLjrL
2cos2cos
22
A expressão dentro do colchetes pode ser escrita como:
cLjrL
rjeI
Vcr
tj
2cos2cos
22
4 20
cjrL
rjeI
Vcr
tj
1cos4 2
0
Colocando L.cosθ em evidência a expressão fica como:
Passando 1/jωr2 para dentro do parênteses e multiplicando por c/c resulta em:
rrjc
ceLIV
crtj
14cos
20
Temos agora então o potencial escalar V e o potencial vetorial A em função de I.
rrjc
ceLIV
crtj
14cos
20
rπ4eμLIA
r/ct0
z
Agora temos que calcular os campos E e H.
As relações entre os potenciais escalares e vetoriais com as equação de Maxell são:
AH
VAjE
1
VAjE
O Campo Elétrico em coordenadas polares é dado por : aEaEaEE rr
aV
raV
ra
rVV r
sen11
O divergente em coordenadas polares do potencial escalar é dado por:
Desse modo as componentes do campo elétrico utilizando a relação ficam:
aVr
AjE
Vr
AjErVAjE rr
sen1
1
O potencial vetor A em coordenadas polares é dado por:
aAaAaAA rr
aVr
AjE
Vr
AjErVAjE rr
sen1
1
Na expressão do potencial escalar, é visto que este não tem dependência de Φ, logo δV/δΦ=0, sendo AΦ, também igual a 0 logo EΦ=0.
È sabido que A só tem componente em Z logo AΦ=0 e as outras componente são dadas por:
aAaAaAA rr Tendo o vetor A em coordenadas polares sendo:
coszr AA
senzAA
AzAr
Az
A
1
V
rAjE
rVAjE rr
Substituindo: coszr AA senzAA e
nas expressões acima temos:
Vr
AjE
rVAjE
z
zr
1sen
cos
320 11
2cos
rjcreLIE
crtj
r
3220 11
4sen
rjcrrcjeLI
Ecr
tj
Expressões dos campos E no dipolo curto
rr
rAAr
r1aArA
sen1
r1aAsenA
senr1aA
Analisando o campo magnético temos:
Rotacional do potencial A em coordenadas esféricas
Multiplicando “ar” por “r” em cima e em baixo e colocando alguns termos em evidência nos outros vetores temos:
rr
2rAAr
r1aAsenrA
senr1aArsenAr
senr1aA
rr
2rAAr
r1aAsenrA
senr1aArsenAr
senr1aA
Sendo AΦ=0 o primeiro e quarto temos são 0.
0
rr
2rAAr
r1aA
senr1aAr
senr1aA
coszr AA senzAA É sabido que:
Conseqüentemente Ar e AΘ não dependem de Φ, logo o 1º e 3º termo também são zero, logo a equação se torna:
;
rAAr
r1aA
rAAr
r1aA
Tendo que:
aAArr
1A1H r
Fazendo as operações e as devidas simplificações temos que o módulo de H é:
2
crtj
0
r1
crj
4esenLIH
Para o campo distante, no caso do campo Elétrico as componentes 1/r2 e 1/r3 se tornam desprezíveis, e no caso campo Magnético a componente 1/r2
também se torna desprezível, restando então:
crj
4esenLIH
crtj
0
rcj
4esenLIE 2
crtj
0
Desse modo para o campo distante teremos:
rc4esenLIjE 2
crtj
0
rc4esenLIjH
crtj
0
A impedância do espaço livre é dado pela relação:
rc4esenLIj
rc4esenLIj
HE
crtj
0
2
crtj
0
c1
HE
120 ou 377HE
O vetor de Poyinting médio é dado por:
HERe21P
Na equação anterior do campo distante temos:
HE
HE Desse modo:
H.ERe21Pr
H.ERe
21Pr
H.HRe
21Pr
2
R H21P
2222
crtj2
2220
2
R rc4esenLI
21P
ce c
rtj
Chamando:
2222
crtj2
2220
2
R rc4esenLI
21P
Temos:
22
2220
2
R rsenLI
321P
3
8LI321W 2
220
2
Se a pontência W é:
d.d.senr21HdsPW 22
R
2
0 0
32
220
2
ddsenLI321W
12
LIW22
02
12
LIW22
02
É sabido que a potência é dada por: RIW 2
Sendo “I” igual a corrente eficaz
Se a potência W é a potencia média gerada através de uma esfera que envolve o dipolo, e se as ´perdas são nulas ,então, R é a Resistência de Radiação, logo:
R
2I
12LI 2
022
02
R
6L22
R
6L22
R
6
Lc
22
R
6
Lff2 2
2
R
6
L4 22
R
6L4 22
Se: 120
R6
L412022
RL802
2
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