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Druck: Kraft pro Fläche

Kapitel 5 Druck

𝑃 =𝐹

P: Druck F: Kraft A: Fläche

Einheit: [P] = 1 𝑁

𝑚2 = 1𝑃𝑎 = 10−5𝑏𝑎𝑟

1 bar ≈ Atmosphärendruck

- Der Druck im Kolben ist an allen Stellen mit derselben Höhe gleich

- Druck ist unabhängig von der Form des Kolbens

𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑠 = 𝑃 ∙ 𝐴 ∙ 𝑑𝑠 = 𝑃 ∙ 𝑑𝑉 (Volumenzunahme)

𝑊 = −𝑃 ∙ 𝑑𝑉 , d.h 𝑊 < 0 bei Volumenabnahme

Druckarbeit

Kolbendruck

Kompressibilität:κ

F A 𝑑𝑉 = −κ 𝑉 𝑑𝑃

Drucksteigerung um 𝑑𝑃 bewirkt Volumenabnahme um - 𝑑𝑉

κ = −1

𝑑𝑉

𝑑𝑃 Beachte: Kompressibilität

ist temperaturabhängig

Mit Drucksteigerung verbundene Arbeit (Gas: langsame Kompression)

𝑊 = − 𝑃 𝑑𝑉 = 𝑃 κ 𝑉 𝑑𝑃 =𝑃2

2 κ 𝑉 𝑃2

2 − 𝑃12

Beachte: Volumen bleibt trotzdem nahezu konstant

Kapitel 5 Druck

𝑃 =𝐹

Angenommen wurde, dass sich das Volumen nur minimal ändert. Nur dann darf man V vors Integral ziehen.

Der Kehrwert des Kompressibilität ist das Kompressionsmodul

Schweredruck (Druck einer Flüssigkeitssäule)

𝑃 =𝐹

𝑚 𝑔

ρ 𝐴 ℎ 𝑔

𝐴= 𝑔 ρ ℎ h

Schweredruck wird genutzt für besonders genaue Einstellung niedriger Drücke.

ρ: Dichte 𝑔: Erdbeschleunigung A: Querschnittsfläche

Auf dem Gefäßboden ausgeübter Druck

Schweredruck ist unabhängig vom Volumen der Flüssigkeit - alleinig bestimmt über die Höhe der Flüssigkeitssäule,

Kapitel 5 Druck

𝑃 = 𝑃 Höhe ist < ℎ0 Höhe ist > ℎ

Kommunizierende Röhren

Kapitel 5 Druck

kommunizierende Röhren

Druck ist überall gleich und

unabhängig von der Form.

𝑃1 = 𝑔ρ1ℎ1 = 𝑔ρ2ℎ2 = 𝑃2

da 𝑃1 = 𝑃2

ρ1ℎ1 ρ2ℎ2

Höhenunterschied, falls ρ1< ρ2

H2O: HG => ρ1:ρ2 = 1:13.6

𝑃 = 𝑔ρℎ

Anmerkung: h1, h2 einfach messbar falls ρ1bekannt ist, lässt sich ρ2 bestimmen. Voraussetzung : Flüssigkeiten sind nicht mischbar

Auftrieb: 𝐹𝑎

Kapitel 5 Druck

Grundfläche: 𝐹𝐵𝑜𝑑𝑒𝑛 = 𝑔ρ ℎ𝐵𝑜𝑑𝑒𝑛 A = 𝑔ρ ℎ2 A Deckfläche: 𝐹𝑜𝑏𝑒𝑛 = 𝑔ρ ℎ𝑜𝑏𝑒𝑛 A = 𝑔ρ ℎ1 A

𝒉𝟏 𝒉𝟐

Auftrieb: 𝐹𝑎= 𝐹𝐵𝑜𝑑𝑒𝑛 − 𝐹𝑜𝑏𝑒𝑛 = 𝑔ρ ℎ2 A - 𝑔ρ ℎ1 A

= 𝑔ρ ℎ2 − ℎ1 𝐴 = 𝑔ρ∆ℎ𝐴

= 𝑔ρ V

Auftrieb: Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeitsmenge

(Anmerkung: bei schiefen Körpern heben sich die Kräfte auf die Seitenflächen auf.)

Gegenstand ist in Flüssigkeit getaucht. Auf dem Boden lastet zusätzlich die Gewichtskraft des Gegenstands. Der Flüssigkeitsdruck an der Unterseite des Körpers ist größer als Druck an Oberseite. Nach oben weisende Auftriebskraft ist betragsmäßig gleich der nach unten gerichteten Gewichtskraft.)

Luftdruck

Kapitel 5 Beispiel: Druck (zu zeigen: ρ ändert sich mit der Höhe)

Auf der Höhe des Meerespiegels gilt:

mit: 𝑃0 = 𝑔𝜌0ℎ

𝐻 = 𝑃0

𝑔ρ0=

1.013∙105𝑃𝑎 10 𝑚 𝑠−2 1.29 𝑘𝑔 𝑚−3 ≈ 8 ∙ 103 𝑘𝑔 𝑚 𝑠−2

𝑠2 𝑚3

𝑚𝑘𝑔= 8𝑘𝑚

𝑃0= 1.013 ∙ 105𝑃𝑎

ρ0 = 1.29 kg/ 𝑚3

g = 10 𝑚/ 𝑠2

Der Mount Everest würde ins Luftleere ragen, da für Höhen oberhalb H

gelten würde: 𝑃 = 0.

Dies kann nicht sein!! Das bedeutet, eine Annahme muss falsch sein!

Die Dichte ändert sich mit dem Druck!

Eine Beziehung zwischen Dichte und Druck liefert Boyle Mariotte.

=> Berechnung der Höhe der Luftsäule, 𝑃 = 𝑃 Höhe ist < 𝐻0 Höhe ist > 𝐻

Hypothese.: P0= gρ0ℎ 𝑔𝑖𝑙𝑡 𝑎𝑙𝑙𝑔𝑒𝑚𝑒𝑖𝑛

Kapitel 5 Beispiel: Luftdruck

𝑑𝑃

𝑑ℎ= −𝑔ρ = −𝑔

𝑃0𝑃

𝑃 ℎ = 𝑃0𝑒−𝑔ρ0 ℎ/𝑃0

𝑃 ℎ = 𝑃0𝑒−ℎ/𝐻

d𝑃 = −𝑔ρ 𝑑ℎ

Mit Boyle Mariotte: 𝑃𝑉 = 𝑃0𝑉0 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡

=> P𝑚

ρ= 𝑃0

ρ0 => ρ =

𝑃0𝑃

Auf der Höhe des Meerespiegels gilt: mit: 𝑃0 = 𝑔𝜌0ℎ

𝐻 = 𝑃0

𝑔ρ0≈ 8𝑘𝑚

Gleichung P = 𝑔 ρ ℎ gilt nur für kleine Höhen- und Druckänderungen (dh, dP)

Druckabnahme mit zunehmender Höhe

=> Berechnung der Höhe der Luftsäule, mit 𝑃 = 𝑃 Höhe ist < 𝐻0 Höhe ist > 𝐻

Ziel: Herleitung der allgemeinen Formel

Bislang war die Flüssigkeit oder das Gas in Ruhe.

Was ändert sich wenn sich die Flüssigkeit oder das Gas bewegt?

Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung

Blutkreislauf besteht aus Arterien, Venen und Kapillaren

-Verzweigtes Netzwerk

- Durchmesser variiert erheblich

=> unterschiedliche Strömungsgeschwindigkeit

Frage:

=> Was bestimmt die Strömungsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit?

Wasser, Honig, Ketchup

Bernoullische Gleichung

• Ideale inkompressible Flüssigkeit

(=> Volumen bleibt konstant!

Druckerhöhung bewirkt Geschwindigkeitszunahme und keine Volumenabnahme)

• keine Reibung mit der Wand

(=> keine Änderung der Geschwindigkeit infolge von Reibung)

• laminare Strömung

=> Moleküle bewegen sich entlang der Stromlinien (Pfeile); vertikaler Abstand zwischen

benachbarten Pfeilen ist ein Maß der Geschwindigkeit, geringer Abstand => hohe Geschwindigkeit

Arbeit W (Energie) um Blut zu befördern

z.B.: 𝑊 = 𝑃𝐴𝑟𝑡𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑉 + 𝑃𝐴𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑉

A: Querschnittfläche

s: Strecke

V: Volumen

P: Druck

𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑠 =𝐹

𝐴𝐴 𝑠 = 𝑃𝑉

Anmerkung: Bernoulli Gleichung beschreibt Bewegung von Gasen oder Flüssigkeit in Röhren unter Vernachlässigung der Wandreibung (später)

A1 A2 𝑃𝐴

v2 A1 A2

𝑠1 = 𝑣1∆𝑡 𝑠2 = 𝑣2∆𝑡

∆𝑉1 = 𝑠1𝐴1 = 𝑣1∆𝑡 𝐴1 Flüssigkeitkeitsvolumen ∆𝑉1, das in ∆𝑡 durch Querschnittsfläche 𝐴1 fließt

∆𝑉2 = 𝑠2𝐴2 = 𝑣2 ∆𝑡𝐴2 Flüssigkeitkeitsvolumen ∆𝑉2, das in ∆𝑡 durch Querschnittsfläche 𝐴2 fließt

Gleiche Flüssigkeitsmengen:

=> ∆𝑉1 = ∆𝑉1 𝑣1 ∆𝑡 𝐴1 = 𝑣2 ∆𝑡 𝐴2 𝑣1 𝐴1 = 𝑣2 𝐴2

⇒ 𝐼𝑣 = 𝑣𝐴 =∆𝑉

∆𝑡

Volumenstrom (bzw. Massenstrom, falls Dichte = konst.)

𝐼𝑣 = 𝐴 𝑣 = 𝜋𝑟2𝑣 = 𝜋(0.01𝑚)2∙ 0.3𝑚/𝑠 = 9.4 × 10-5 m3 / s

Das Blut fließt in einer Schlagader mit einem Radius von 1.0 cm mit einer Geschwindigkeit Von v=0.3m/s. Wie groß ist der Volumenstrom? (Vernachlässigung der Wandreibung)

Lösung:

Dies entspricht 94 Milliliter pro Sekunde.

𝐼𝑣 = 𝐴1𝑣1 = 𝜋𝑟1

2𝑣1 = 𝜋(0.3 ∙ 10−2𝑐𝑚)2∙ 0.1𝑚/𝑠 = 2.8 × 10-6 m3 / s

Das Blut fließt von einer großen Arterie mit dem Radius 0.3 cm, in der die Strömungsgeschwindigketi v=10cm/s beträgt, in eine Ader, deren Radius aufgrund von Ablagerungen auf den Gefäßwänden (Arteriosklerose) auf 0.2 cm verengt ist. Wie schnell fließt das Blut im Bereich der Verengung?

Lösung: 𝐼𝑣 = 𝐴2𝑣2

𝑣2 =𝐼𝑣

𝑣2 = 2.8 × 10−6 m3 𝑠−1/𝜋𝑟22

= 𝜋(0.3 ∙ 10−2𝑐𝑚)2∙ 0.1𝑚/𝑠 = 0.23 m/s = 23 cm/s

Beachte: dies gilt nur falls die Reibung an den Gefäßwänden vernachlässigt werden kann.

Ideale Flüssigkeit, keine Reibung “Energieerhaltung” (Arbeit und kinetische Energie)

Geschwindigkeitszunahme bewirkt Druckabnahme

𝑃𝑉 + 1

2𝑚𝑣2 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.

𝑃𝑉 + 1

2𝜌𝑉𝑣2 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.

𝑃 + 1

2𝜌𝑣2 = 𝑃0

𝑃1𝑉 + 1

2𝑚𝑣1

2 = 𝑃2𝑉 + 1

2𝑚𝑣2

𝑃1𝑉 + 1

2𝜌𝑉𝑣1

2 = 𝑃2𝑉 + 1

2𝜌𝑉𝑣2

𝑃1 +1

2ρ𝑣1

2 = 𝑃2 +1

2ρ𝑣2

D. Vollmer

Druckabfall Konsequenz von Bernoulli

Druck sinkt, um die erforderliche Energie zu liefern, um die Zunahme der kinetischen Energie zu ermöglichen.

Druckabfall

P1 P1 P2

Wasserstrahlpumpe Sturm: v ist hoch => P klein (Unterdruck) => Hausdächer werden abgehoben

Kapitel 5 Viskosität: Bernoulli

Unter- druck (Sog)

Druck- differenz

𝑣1 𝑣2 𝑣2 𝑣1

𝑃 +1

2ρ𝑣2 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.

Kapitel 5 Zur Übung

8) Um die Druckdifferenz von derzeit Δp1 = 5 bar zu senken, soll eine Wasserleitung mit einem Innendurchmesser von d1 = 12 mm gegen eine Rohrleitung mit einem Innendurchmesser von d2 = 15 mm ausgetauscht werden. Wie hoch ist die zu erwartende Druckdifferenz Δp2 der neuen Leitung, wenn der Volumenstrom unverändert bleiben soll?

Lösung: p2 = 2,048 bar

Geschwindigkeitszunahme bewirkt Druckabnahme gilt unverändert!

𝑃2 +1

2ρ𝑣2

2 = 𝑃1 +1

2ρ𝑣1

In Anwesenheit von Schweredruck: 𝑃𝑉 −> 𝑃𝑉 + 𝜌𝑉𝑔ℎ

Strömung entlang der Horizontalen: v1

𝑃 + 𝜌 𝑔ℎ +1

2ρ𝑣2 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 oder

h Anmerkung: Bislang haben wir den Schweredruck vernachlässigt. Falls er vorhanden ist (senkrechte Säule), dann muss er dazu addiert werden.

Bernoulli’sche Gleichung (Energieerhaltung) (ausführliche Herleitung)

Geschwindigkeitszunahme => Druckabnahme

Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung (für Interessierte)

𝑊𝐷𝑟𝑢𝑐𝑘𝑙𝑖𝑛𝑘𝑠 + 𝑊𝑘𝑖𝑛

𝑙𝑖𝑛𝑘𝑠 + 𝑊𝐺𝑙𝑖𝑛𝑘𝑠 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. = 𝑊𝐷𝑟𝑢𝑐𝑘

𝑟𝑒𝑐ℎ𝑡𝑠 + 𝑊𝑘𝑖𝑛𝑟𝑒𝑐ℎ𝑡𝑠 + 𝑊𝐺

𝑟𝑒𝑐ℎ𝑡𝑠

𝐹𝑠1 +1

2𝑚1𝑣1

2 + 𝑚1𝑔ℎ1 = 𝐹𝑠2 +1

2𝑚𝑣2

2 + 𝑚𝑔ℎ2

𝐴1𝑠1 +1

2ρ𝑉1𝑣1

2 + ρ𝑉1𝑔ℎ1 =𝐹

𝐴2𝑠 +1

2ρ𝑉2𝑣2

2 + ρ𝑉2𝑔ℎ2

𝑃1𝑉 +1

2ρ𝑉𝑣1

2 + ρ𝑉𝑔ℎ1 = 𝑃2𝑉 +1

2ρ𝑉𝑣2

2 + ρ𝑉𝑔ℎ2

𝑃1 +1

2ρ𝑣1

2 + ρ𝑔ℎ1 = 𝑃2 +1

2ρ𝑣2

2 + ρ𝑔ℎ2 (dies ist die allgemeine Gleichung)

𝑃 +1

2ρ𝑣2 + ρ𝑔ℎ = konst.

𝑉1=𝑉2

Flüssigkeit in Ruhe, 𝑣1 = 𝑣2 = 0

𝑃1 + 𝜌 𝑔ℎ1 +1

2ρ𝑣1

2 = 𝑃2 + 𝜌 𝑔ℎ2 +1

2ρ𝑣2

𝑃1 + 𝜌 𝑔ℎ1 = 𝑃2 + 𝜌 𝑔ℎ2

⇒ 𝑃1 −𝑃2 = 𝜌 𝑔ℎ2 − 𝜌 𝑔ℎ1 = 𝜌 𝑔∆ℎ

⇒ ∆𝑃 = 𝜌 𝑔∆ℎ (Schweredruck)

=> Für Flüssigkeiten in Ruhe wird die Bernoulli-Gleichung zur Gleichung für den Schweredruck

Beispiel: Spritze beim Arzt

Arzt drückt mit F ≈ 20 N

Kolbenfläche A ≈ 1 cm2

(Weltrekord im Sprint: v= 10 m/s)

(Reibung der Flüssigkeit an der Wand der Spritze sei vernachlässigbar)

Einheiten:

1Pa = 1 N/m2

1N = 1 kg m s-2

ρ: Dichte Wasser 1g/cm3 v: Geschwindigkeit

𝑃1 +1

2ρ𝑣1

2 = 𝑃2 +1

2ρ𝑣2

2 mit 𝑃 = 𝑃1, 𝑣1 = 0 (bzw. klein)

und 𝑃2 = 0 (bzw. klein), 𝑣2 = 𝑣

𝑃 =1

2ρ𝑣2 => 𝑣 =

𝜌≈ 6 𝑚/𝑠

𝑃 =𝐹

𝐴≈ 20 𝑘𝑃𝑎

Im Folgenden diskutieren wir den Einfluss von Reibung (Viskosität)

1. Definition von Viskosität

2. Einfluss der Viskosität auf die Strömung einer

Flüssigkeit in einer Kapillare

Kapitel 5 Viskosität

Substrat (z.B. Kapillare, ebene Fläche)

Wasserfluss: bewegte Flüssigkeit

Wasserfluss verursacht durch: Gravitation & externer Druck

Kohäsion

Adhäsion

Kohäsionskraft: Bindungskräfte zwischen Atomen sowie zwischen Molekülen innerhalb eines Stoffes Adhäsionskraft: Bindungskräfte zwischen Atomen sowie zwischen Molekülen unterschiedlicher Stoffe

Moleküle müssen sich bewegen

=> Bindungen müssen gebrochen und neue gebildet werden

Wasserfluss

Substrat (z.B. Kapillare, ebene Fläche)

x0, v0 = 0

x1, v1 > v0

x2, v2 > v1

=> Geschwindigkeit der Flüssigkeit nimmt mit Abstand zur Wand zu

Substrat (fest)

x0, v0 = 0

x1, v1 > v0

x2, v2 > v1

Substrat (beweglich, z.B. Plättchen)

Wasser

Fläche A

F ~ A Kraft nimmt “linear” mit der Plattengröße zu

Substrat (fest)

x0, v0 = 0

x1, v1 > v0

x2, v2 > v1

Wasser

Fläche A

Kraft nimmt mit zunehmenden Plattenabstand ab

Substrat (fest) x0, v0 = 0

x1, v1 > v0

x2, v2 > v1

Wasser

Fläche A

Kraft nimmt mit Plattengeschwindigkeit zu

Kraft, Geschwindigkeit

Abb.:7.28

: Viskosität

x: Dicke der Flüssigkeitsschicht

v: Geschwindigkeit

A: Fläche

F: Kraft

Substrat (fest)

(Maß der inneren Reibung)

Flüssigkeit

Beachte: gilt nur für dünne Flüssigkeitsfilme

Substrat (beweglich) Fläche A

: Viskosität

Geschwindigkeit

Substrat (fest)

Länge der Pfeile: Maß für Geschwindigkeit

Vereinfachte Darstellung

1 Pa = 1N/m2

Pa: Pascal

Viskosität: Einheit

Viskosität Wasser: ca. 1*10-3Pa s = 1 mPa s

Viskosität Blut: ca. 5*10-3Pa s = 5 mPa s

τ: Schubspannung

Substrat (fest)

Flüssigkeit

In einigen Systemen (z.B. Ketchup, Blut) gilt F ~ v/x nicht, sondern nur Grund: Ketchup enthält lange Moleküle, die verschlaufen (Polymernetzwerk). Falls so ein verschluftes Netzwerk anfängt zu fließen, ordnen sich die Moleküle um, so dass sie besser aneinander vorbei fließen können.

Kraft: F

Fläche: A x

(lineare Änderung der Geschwindigkeit für kleine Ortsänderung)

τ: Schubspannung

Grund: 𝐹 = η𝐴 𝑣

𝑥 gilt i.a. nur für geringe Geschwindigkeitsänderungen

und kleine Änderungen der Dicke der Flüssigkeit.

𝐹 = η𝐴 𝑣

𝑥 ⇒ 𝐹 = η 𝐴

Δ𝑣

Δ𝑥

Viskosität sinkt mit zunehmender Temperatur

=> Arrhenius-Gesetz

η0: Materialkonstante

EA: Aktivierungsenergie

(Maß für benötigte Energie

um Bindungen zu brechen,

Platzwechsel)

kB: Boltzmann-Konstante

T: Temperatur in Kelvin

Fläche

Konstante

η = η0 ∙ 𝑒+

𝐸𝐴𝑘𝐵∙𝑇

η𝐻20 20°𝐶 = 1 ∙ 10−3 𝑃𝑎 𝑠

η𝐻20 60°𝐶 = 0.65 ∙ 10−𝑃𝑎 𝑠

5) Bei einem Experiment zur Messung der Viskosität einer Flüssigkeit wurde der Zahlenwert 𝜂1 =1,6×10S3 Pa·s bei der Temperatur T1 = 300 K gefunden. Wie groß ist die Viskosität bei der Temperatur T2 = 330 K? (Aktivierungsenergie EA = 5,0×10S20 J; kB = 1,381×10S23 J/K)

Lösung: 𝜂2 = 5,34×10-4 Pa s

SS2010

Lösung: 𝜂2 = 8,3 * 10-3 Pa s

SS2011

4) Eine Kühlflüssigkeit hat bei 0°C eine Viskosität von 𝜂 = 2,3 *10-3 Pa·s. Welchen Betrag hat die Viskosität bei -25°C? (Aktivierungsenergie EA = 4,8 *10-20 J; kB = 1,381*10-23 J/K)

Kapitel 5 Viskositätsbestimmung

Kugel-Fall Viskosimeter

- Wichtige Methode zur Viskositätsbestimmung

- Wird auch verwendet zur Bestimmung der

Größe von Molekülen, Proteinen,…

Sedimentation

Glycerin-Wasser

Stokes-Reibung

Idee: F = 𝐴𝑣

𝑢𝑛𝑑 𝐴 = 4𝜋𝑟2 Faktor 6: genaue Rechnung

ρK: Dichte: Gegenstand ρFl: Dichte Flüssigkeit

Auftriebs- kraft

Sedimentation

• Viskositätsbestimmung

• Bestimmung des Teilchenradius

• Erhöhung von g (Zentrifuge)

=> z.B. Auftrennung von Proteinen

nach Molekulargewicht

( => 106 )

Glycerin-Wasser

Sedimentation

Glycerin-Wasser

Anmerkung: Zunächst nimmt die Geschwindigkeit zu. Nach einer gewissen Zeit ist sie jedoch konstant. Dies gilt auch für fallende Regentropfen oder beim Fallschirmspringen (vergl. Kapitel 2 Mechanik). In Kap. 2 hatten wir Reibung vernachlässigt.

Kapitel 5 Strömung

http://www.mathlab.de/mathematik/seminare/stroemungsmechanik/zylinder.jpg

Geschwindigkeit ändert sich beim Umfließen eines Gegenstandes

Eine zeitlich konstante Geschwindigkeit nennt man stationäre Strömung

Konsequenzen von Reibung auf Strömung in Kapillare

rote Linien: Stromlinien (gebildet aus vielen Geschwindigkeitsvektoren)

Pfeile: Richtung der Strömung

Abstand der Stromlinien: Maß für die Geschwindigkeit großer Abstand => Flüssigkeit fließt langsam enger Abstand => Flüssigkeit fließt schnell

Strömungsprofil in Kapillare

Länge der Pfeile: Maß für Geschwindigkeit

kurzer Pfeil: langsamer Fluss

langer Pfeil: schneller Fluss

laminare Strömung v = max

http://www.youtube.com/watch?v=o11NDvrZMNs ab 1.2 min

laminare Strömung

𝐼𝑣: Volumenstromstärke V: transportiertes Volumen

Im allgemeinen: Blutkreislauf: 𝐼𝑣 ≈ 10-4 m3/s Blutstromstärke: 𝐼𝑣 ≈ 6l/min

𝐼𝑣 =∆𝑉

∆𝑡

𝐼𝑣 = 𝑉 =𝑑𝑉

𝑑𝑡

Strömungsprofil in Kapillare (geringer Durchmesser)

laminare Strömung

Hagen-Poiseuille

Wandreibung ist wichtig! (Flüssigkeitsmoleküle haften an der Wand

auf Grund von Adhäsionskräften)

Zähigkeit (Viskosität)

Reibung Wand- fläche

Geschwindigkeitszunahme Wandabstand

Länge Kapillare

𝐼𝑣 = 𝜋 𝑟4 (𝑃1 − 𝑃2)

8 η 𝑙 =

𝜋 𝑟4

8 η 𝑙 ∆𝑃

R Reibungskraft an der Mantelfläche (x=r)

Druckkraft auf die Deckfläche (Schweredruck)

Nach gewisser Zeit (stationärer Zustand) sind beide Kräfte gleich, d.h. Geschwindigkeitsprofil ändert sich nicht mehr.

Idee der Herleitung von Hagen Poiseuille (für Interessierte)

𝐹𝑝 = 𝜋𝑟2(𝑃1 − 𝑃2)

2𝜋 𝑟 𝑙 𝜂 𝑑𝑣

𝑑𝑟= 𝜋 𝑟2 (𝑃1 − 𝑃2)

𝑑𝑣

𝑑𝑟=

𝑃1 − 𝑃2

2 𝑙 𝜂 𝑟 𝑣 𝑟 =

𝑃1 − 𝑃2

4 𝑙 𝜂 𝑟2

Ziel: Die transportierte Menge Flüssigkeit pro Zeiteinheit berechnen, d.h.

Idee: Man betrachte viele “ineinander geschachtelte” Hohlzylinder mit Dicke

Durch den Hohlzylinder zwischen r und r + dr fließt der Volumenstrom

Fortsetzung

𝑣 𝑟 =𝑃1 − 𝑃2

4 𝑙 𝜂 𝑟2

𝐼𝑣 = 𝑉

𝑑𝑉 𝐼𝑣

= 2𝜋𝑟𝑣 𝑟 𝑑𝑟 𝑅

= 𝑃1 − 𝑃2

4 𝑙 𝜂 𝑟3𝑑𝑟

𝐼𝑣 =𝜋 𝑟4

8 𝜂 l ∆𝑃

laminare Strömung

Hagen-Poiseuille

R: Strömungswiderstand

=> Wärme

Beispiel: Ziel: konstante Körpertemperatur

=> Bei Kälte ziehen sich die Blutgefäße ein wenig zusammen

𝐼𝑣 =𝜋 𝑟4

8 𝜂 l ∆𝑃

𝐼𝑣 =∆𝑃

Druckabfall: Reibung entlang der Wände bewirkt Druckabfall

Hagen-Poiseuille

Zähigkeit (Viskosität)

Reibung Wand- fläche

Geschwindigkeitszunahme Wandabstand

Länge Kapillare

𝐼𝑣 = 𝜋 𝑟4

8 η 𝑙 ∆𝑃

laminare Strömung r

𝑣1 𝑣2 𝑣2 𝑣1

𝑃 +1

2ρ𝑣2 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.

Ideale Flüssigkeit, keine Reibung “Energieerhaltung”

Beachte: in der Realität kann Reibung nie vollständig vernachlässigt werden. Hier wird nur angenommen, dass der Beitrag klein ist im Vergleich zu dem auf Grund der Änderung des Duchmessers. In der „Realität“ ändert sich P1 und damit die Höhe des Flüssigkeitsstands in den Säulen nach Hagen Poiseuille.

15) In 300 s fließen durch ein 30 m langes Rohr (Durchmesser d = 3 cm) 60 000 l Petroleum bei einem Druckgefälle von 2 bar. Welche Viskosität besitzt das Petroleum?

Lösung: 𝜂 = 6,63 10-4 Pa s

Lösung: t = 5692 s

WS2010/2011

16) Ein Schwimmbecken wurde mit einem Schlauch mit einer Länge von 11 m und einem Durchmesser von 1,8 cm mit Wasser gefüllt. Die Druckdifferenz betrug 0,6·105 Pa. Wie viel Zeit wurde benötigt, um das Becken mit 80 m3 Wasser zu füllen? (Viskosität von Wasser: 𝜂 = 1·10-3 Pas)

Lösung: Erfüllt

WS2008/2009

9) Durch eine Leitung mit einem Innenradius r1 = 15 mm fließen in 1 Minute 810 Liter einer Flüssigkeit. Durch eine zweite, gleichlange Leitung mit einem Radius von r2 = 5 mm fließen bei der gleichen Druckdifferenz p in 1 Minute 10 Liter derselben Flüssigkeit. Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Flüssigkeit das Hagen-Poiseuille-Gesetz erfüllt.

Kapitel 5 Anmerkung: Turbulenz

Beispiel: - Blut - Luftzug vorm Heizkörper

Laminare Strömung wird

turbulent falls

𝑅𝑒 =2𝑟ρ𝑣

𝑅𝑒: Reynolds-Zahl

Übergang laminar -> turbulent ca. für 𝑅𝑒 ≈ 2000

Flüssigkeit bewgte sich in „Schichten“ mit unterschiedlicher Geschwindigkeit

http://www.youtube.com/watch?v=6rPL-QkUFf8&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=m8-5D1Sqflc&NR=1

http://www.youtube.com/watch?v=OO2LPnOYfDg&NR=1 Simulation des Flusses von Blutzellen

(Verengung einer Kapillare, vereinzelte Blutzellen)

16) Welche Aussagen sind korrekt? (Pro richtiger Antwort 0,25 Punkte, pro falscher Antwort 0,25 Punkte Abzug, minimal erreichbare Punktzahl 0. Aufmerksam lesen! Richtige Antworten ankreuzen) a) Wenn eine Flüssigkeit eine Festkörperoberfläche benetzt, gilt: [ ] die Kohäsionskräfte sind größer als die Adhäsionskräfte. [ X ] die Adhäsionskräfte sind größer als die Kohäsionskräfte. b) Die laminare Strömung einer Flüssigkeit zeichnet sich durch folgende Eigenschaft aus: [ X ] die Flüssigkeitsteilchen strömen in Schichten. [ ] die Flüssigkeitsteilchen bewegen sich ungeordnet und bilden Wirbel. c) Die Aktivierungsenergie im Arrhenius-Gesetz beschreibt [ X ] den Platzwechsel von Flüssigkeitsteilchen. [ ] die Adhäsion von Flüssigkeitsteilchen. d) Wird ein Rohr auf das doppelte verlängert, so fließt bei gleicher Druckdifferenz zwischen den Rohrenden [ ] ein sechzehntel des vorherigen Flüssigkeitsvolumens pro Zeit [ X ] halb so viel Flüssigkeitsvolumen pro Zeit

SS2011

Oberflächenspannung

Die Viskosität beschreibt Eigenschaften von Teilchen oder Molekülen im Volumen und in der Nähe von Oberflächen.

Die Oberflächenspannung beschreibt Wechselwirkungen

von Teilchen oder Molekülen in der Oberfläche.

Kapitel 5 Oberflächenspannung

Oberflächenspannung: Wo tritt sie auf?

• Wieso schwimmen Gegenstände auf Wasser? • Wieso sind Wassertropfen rund? • Wieso kann ich atmen?

Unterschiede Volumen Oberfläche (Grenzfläche)

Grenzfläche:

Im Volumen hebt sich

die Summe der

Kohäsionskräfte auf.

Kraft um Molekül vom Volumen zur Oberfläche zu bringen

Beachte: Energie = Kraft mal Weg (hier: Abstand)

Wasser

Unterschiede Volumen Oberfläche (Grenzfläche)

Grenzfläche:

Im Volumen sind die

Wechselwirkungsenergien

zwischen den Atomen

/Molekülen gleich.

positionsabhängige

Wechselwirkungsenergien

Beachte: Energie = Kraft mal Weg (hier: Abstand)

Wasser

W Luft

= spezifische Oberflächenenergie

WOberfl. = Energiezunahme

A = Oberflächenzunahme

Oberflächen-

zunahme

: Maß für benötigte Arbeit um neue Oberfläche zu schaffen => minimale Oberfläche (rund)

Volumen = konst.

Flüssigkeitslamelle

1 J = 1 Nm

In der Literatur werden die folgenden Begriffe verwendet (die Bedeutungn ist gleich): • spezifische Oberflächenenergie oder Oberflächenspannung oder Grenzflächenspannung

Einheit:

Bügel

ΔA = 2∙b∙Δs

da ΔWOb. = σ∙ΔA

ΔWOb. = 2∙b∙σ∙Δs

mit ΔWpot = F∙Δs

F∙Δs = 2∙b∙σ∙Δs

F = 2∙b∙σ

ΔWArbeit = ΔWOb.

zwei Lamellen (von Auge nicht sichtbar)

Kraft um Bügel in Position zu halten

Kraft um den Bügel in Position zu halten ist const.

Bügel

: Energiezunahme pro Oberflächenzunahme hängt von Flüssigkeit ab

spez. Oberflächenspannung: [10-3J/m2] oder [10-3N/m]

Öle 18 – 25

Ethanol 22.5

Aceton 23.3

Silikon ~ 25

Wachs ~ 30

Ethylenglykol 48.4

Glycerin 63.4

Wasser (80°C) 62.6

Wasser (20°C) 72.8

Quecksilber 476

Beachte:

ist Temperatur- abhängig

Flüssigkeit/Luft

Kapillare Steighöhe

h : Steighöhe

Δh : Steighöhenänderung

g: Erdbeschleunigung

V: Volumen

ρ: Dichte der Flüssigkeit

R: Radius Kapillare

Glaskapillare: Wasser-Glas Kontakt ist energetisch vorteilhaft im Vergleich zum Wasser-Luft Kontakt. Glas probiert Kontaktfläche zur Luft zu minimieren

Kapillare

(Arbeit gegen Erdanziehungskraft)

(Abnahme Glas-Luft Grenzfläche durch Benetzung mit Wasser)

𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ

Flüssigkeit: Wasser, Blut,...

Kapillare Steighöhe

Beispiel: ρ = 1 g/cm3

g = 10 m/s2

r = 1mm

Kapillaren

W(1L) = 1200 J W(1L) = mgh = 1 kg 10 ms-2 2m = 20 J

Arbeit um Wasser zu transportieren: W = m*g*h

Durchschnittlicher Baum 800 L/Tag*

* Campbell, Biologie

h=120m

1 μm < r(Tracheiden) < 400 μm*

• r = 100 μm

• r = 1 μm

h = 0.14 m

h = 14 m

*Strasburger, Lehrbuch der Botanik

=> Maximale Steighöhe: ca. 15 m

ℎ =2 ∙ 70 ∙ 10−3𝑁𝑚−1

1𝑔𝑐𝑚−310𝑚𝑠−2𝑟

Kapitel 5 Oberflächenspannung Kapillarkräfte

= 1.4 ∙ 10−5

𝑟𝑚2

Wurzeln

Zweige

Blätter

Kapillarkräfte sind hinreichend um einen ca. 15 m hohen Baum mit Wasser zu versorgen.

Versorgung der Spitze eines Baums mit Wasser erfolgt über andere Mechanismen

4) Welchen Innenradius r müsste eine Kapillare haben, damit Ethanol aufgrund der Kapillarwirkung 5 m hoch aufsteigt? (Ethanol = 0.02255 N/m; Ethanol = 0,79 g/cm3; Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s²)

Lösung: r= 1,16 μm

SS2010

Lösung: d = 0.4 mm

SS2010

2) In einer Kapillare wird eine Steighöhe von 5,7 cm beobachtet. Die aufsteigende Flüssigkeit besitzt eine Dichte von 1,25 g/cm3 und eine Oberflächenspannung von 0,07 N/m. Wie groß muss dementsprechend der Durchmesser der Kapillare sein? (g = 9,81 m/s2)

Lösung: = 0,021 N/m

WS2009/2010

13) Die Oberflächenspannung einer unbekannten Flüssigkeit soll über die Steighöhe (h = 3,6 cm) in einer Kapillare mit einem Durchmesser von 0,3 mm bestimmt werden. Das zuvor ermittelte Masse von 100 ml dieser Flüssigkeit ergab 80 g. Welchen Wert hat die Oberflächenspannung? (g = 9,81 m/s²)

Lösung: = 1,47 g/cm3

WS2008/2009

10) In einer Kapillare mit dem Innendurchmesser d = 0,6 mm steigt Chloroform 1,25 cm hoch (vollständige Benetzung). Welche Dichte von Chloroform kann man auf Basis dieser Beobachtung errechnen? (Chloro = 27,1×10-3 N/m; Erdbeschleunigung g =9,81 m/s2)

http://www.ks.uiuc.edu/Research/silica/MOVIE/hydrophobic02.mpg

Silizium Substrat

Wassertropfen

(1981 Wassermoleküle)

Moleküle auf einer Oberfläche sind sehr mobil

(MD: Molekulardynamik Simulation)

: Kontaktwinkel

Bislang Grenzfläche Flüssigkeit (Wasser) – Luft

Im allgemeinen gibt es 3 Grenzflächen

Beachte: Von Auge hat man den Eindruck, dass die Wasser-Luft Grenzfläche sehr ruhig (statisch) ist. In Wirklichkeit bewegen sich die Moleküle stark. Trotzdem sind die Kohäsionskräfte in Wasser hoch. =>In niedermolekularen Flüssigkeiten mit geringen Kohäsionskräften bewegen sich die Moleküle noch mehr.

Substrat

σS : Festkörper- Luft

σS L: Festkörper- Flüssigkeit

σL: Flüssigkeit – Luft

: Kontaktwinkel

3 Grenzflächen (Jede Grenzfläche hat eine bestimmte Oberflächenspannung)

Adhäsionskraft: Kräfte zwischen Flüssigkeit - Festkörper

Sie bestimmen z.B. wie gut Blut, Bakterien, …. auf Oberflächen haften

=> Biofilme, Verschluss der Kapillaren bei Herz-Lungenmaschinen)

Wassertropfen

(1981 Moleküle)

Youngsche Gleichung

Festkörper (solid)

Hydrophile Oberfläche

Hydrophobe Oberfläche

(z.B. Pflanzenschutzmittel Θ -> 0)

(z.B. Teflon Θ = 90 … 120°)

Wie hängt von σ ab?

Youngsche Gleichung

Festkörper (solid)

Hydrophile Oberfläche

Hydrophobe Oberfläche

(z.B. Pflanzenschutzmittel Θ -> 0)

Wie hängt von σ ab?

(z.B. Teflon Θ = 90 … 120°)

Kapitel 4 Lotuseffekt

Lotusblatt

Veränderung des Benetzungsverhaltens durch Strukturierung der Oberfläche => Mehr Kontaktfläche

Kapitel 5 Laplace Druck (für Interessierte)

Laplace Druck

2 Blasen

Druck in einer Blase

R2 < R1

=> ΔP2 > ΔP1

Eine Blase wächst, andere verschwindet

Laplace Druck

2 Blasen

Druck in einer Blase

=> ΔP1 < ΔP2

Eine Blase wächst, andere verschwindet

(Vorgang wird auch Ostwald Reifung genannt)

Kapitel 5 Reduzierung der Oberflächenspannung

hydrophober “Schwanz”

Phosphorlipid

hydrophile Kopfgruppe

Kapitel 5 Reduzierung der Oberflächenspannung

Tensidkonzentration

Mizellbildung

Luft Luft

Kapitel 5 Kritische Mizellbildungskonzentration

Konzentration (mM)

Kapitel 5 Kritische Mizellbildungskonzentration

cmc: 7.5 mM

cmc: critical micelle concentration

Konzentration (mM)

Kapitel 5 Emulsionen

Emulsionen Wasser in Öl Dispersion Öl in Wasser Dispersion

z.B. Milch, “weiche” Hautcreme

z.B. “Butter”, “fettige” Hautcreme

Welche Struktur gebildet wird, ist abhängig von der

“bevorzugten Krümmung” der Tensidmonolage

Kapitel 5 Emulsionen

Membranen

Lamellare Phase Modellmembran

für Zellen

Die physikalische Beschreibung von Membranen und Tensidstrukturen ist nahezu identisch.

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