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INTRO

GEOMETRIA

Liceo Scientifico “G. Salvemini” Corso di preparazione per la gara provinciale delle

OLIMPIADI DELLA MATEMATICA

TRIANGOLI

Criteri di congruenza

Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti:

2 lati e 1 angolo compreso

1 lato e 2 angoli

3 lati

L’angolo esterno ..

SUPPLEMENTARE dell’ANGOLO ADIACENTE ..

è uguale alla SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI non ADIACENTI

POLIGONI SIMILI

Due poligoni sono simili se hanno i lati corrispondenti proporzionali

Il rapporto di similitudine R è il rapporto tra due lati corrispondenti. Il rapporto tra i perimetri di due poligoni simili è R. Il rapporto tra le aree di due poligoni simili è R2.

Criteri di similitudine dei triangoli

Due triangoli sono simili se hanno:

2 coppie di lati proporzionali e 1 angolo congruente

3 angoli congruenti

3 coppie di lati proporzionali

TEOREMA DELLA BISETTRICE

AC : CD = AB : BD

La bisettrice di un TRIANGOLO divide il LATO OPPOSTO in SEGMENTI PROPORZIONALI AGLI ALTRI DUE LATI.

A

B

C

D

TEOREMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

AB2 + AC2 = BC2

A

B C

H

AH = Altezza relativa all’ipotenusa

BC

ACABAH

TEOREMA DI PITAGORA

I triangoli ABC, ABH e CAH sono SIMILI

I° TEOREMA DI EUCLIDE AB2 = BH·BC AC2 = CH·BC

II° TEOREMA DI EUCLIDE AH2 = BH·HC

APPLICAZIONI DEL TEOREMA DI PITAGORA

2ld

ALTEZZA DEL TRIANGOLO EQUILATERO

DIAGONALE DI UN QUADRATO

d l

l

l/2

h

32

lh 3

3

2hl

AREA DEL TRIANGOLO EQUILATERO

334

33

9

43

43

222

222 hhlllh

lA

QUESITO

SUGGERIMENTO

Traccia il quadrato costruito sull'ipotenusa e quello che comprende triangolo e quadrato come in figura:

I triangoli ABC - CXD - DYE - BZE sono .. Le aree dei triangoli ACD e ABE sono = ..

SOLUZIONE

Tracciamo il quadrato costruito sull'ipotenusa e quello che comprende

triangolo e quadrato come in figura:

I triangoli ABC - CXD - DYE - BZE sono congruenti perchè hanno per ipotenusa

il lato del quadrato BCDE ed hanno angoli congruenti.

Segue che l'area di ACD =

Analogamente, l'area di ABE =

In conclusione l'area di ABC =

QUESITO

SUGGERIMENTO

AO = 2 OH

A B

C

.O

H

30°

D

Considera il triangolo che si forma unendo il centro con un vertice e con un

punto simmetrico:

Adesso costruisci i due triangoli ..

SOLUZIONE

AO = 2 OH

La parte comune è formata da 6

triangoli = 6/9 dell’area del

triangolo ABC

3

2

3

2 AAcomune

A B

C

.O

H

30°

D

A B

C

.O

D

F E

QUESITO

SUGGERIMENTO

Detto ABC il triangolo che forma la base, la zona di sicurezza è un triangolo A′B′C′ (con A′ appartenente alla bisettrice dell’angolo in A) interno al triangolo ABC. Dette H e K le proiezioni di A′ e B′ rispettivamente sul lato AB, si ha A′H = 1 metro.

SOLUZIONE

1 30° aaaa 2

CIRCONFERENZA E CERCHIO

La CIRCONFERENZA è il luogo dei punti equidistanti da un punto detto centro. Il CERCHIO è la figura piana compresa.

C r

L’asse di una corda passa per il centro

L’asse di un segmento è anche il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento

PROPRIETA’

Raggio e retta tangente in un punto sono perpendicolari

Misura della circonferenza = 2r

MISURA DEGLI ANGOLI

Gli angoli si possono misurare in .. GRADI

Un ANGOLO GRADO ° è la 360-esima parte di un angolo GIRO

Si divide in 60 ANGOLI PRIMI ‘. Ogni ANGOLO PRIMO si divide in 60 ANGOLI SECONDI ‘’

RADIANTI

A B

La misura in radianti di un angolo al centro che insiste su un arco AB di

una circonferenza di raggio r è: r

AB

Un angolo di 1 radiante insiste su un arco di lunghezza = raggio !

:180: rg

r

g

180

180

g

r

)90(2

)270(2

3

)0(0

)360(2 )180(

)120(3

2

)300(3

5

)60(3

)240(3

4

)150(6

5

)330(6

11

)30(6

)210(6

7

)135(4

3

)315(4

7

)45(4

)225(4

5

ANGOLI ELEMENTARI

AREA DI FIGURE PIANE

2

hbA

TRIANGOLO RETTANGOLO

hbA

PARALLELOGRAMMO

TRAPEZIO

2

)( hbBA

CERCHIO

2rA

2

21 ddA

ROMBO

SEGMENTO CIRCOLARE DI AMPIEZZA (RADIANTI)

2

2rA

QUESITO

SUGGERIMENTO

Con riferimento alla figura, siano A e B estremità di sbarre contigue, V il vertice dell’arco AB , M il punto medio di AB e O il centro della circonferenza cui appartiene l’arco AB. Deve valere OB = OV, posto dunque OM = x ..

9

x

SOLUZIONE

Deve valere OB = OV, posto dunque OM = x . Per il Teorema di Pitagora, deve valere: 9

x

3333

9

3

3

3

9

3

9

36

545436 xx

30° 60°

QUESITO NUMERICO

SUGGERIMENTO

Si cerchi la relazione tra il raggio di 1 e quello di 0 : sarà la stessa esistente tra il raggio di n e quello di n-1 .

A tale scopo essendo D0O0B0 = 60° (angolo a centro di D0C0B0) segue che il triangolo D0O0B0 è equilatero ..

SOLUZIONE

Quindi, poichè B0H0 è perpendicolare a C0D0 , H0 è punto medio di O0D0 e il raggio di 1 è R(0) 4

1

Con la stessa costruzione si mostra che in generale vale

POLIGONI REGOLARI

Un poligono regolare ha lati e angoli congruenti. Un poligono regolare è simmetrico rispetto a ogni retta passante per un vertice e il centro. Pertanto, vi sono esattamente n assi di simmetria; se poi il numero di lati n è pari, allora il centro è centro di simmetria per il poligono.

Ogni angolo interno di un poligono ha ampiezza pari a

, pertanto la somma degli angoli

interni è (n-2)180°. Gli angoli esterni invece misurano 360°/n

e dunque la loro somma consiste in un angolo di 360°.

POLIGONI REGOLARI

Ogni poligono regolare è inscrivibile e circoscrivibile in due circonferenze concentriche. Il raggio della circonferenza inscritta è detto apotema e, chiaramente, coincide con la distanza dal centro di un qualsiasi lato del poligono.

QUESITO

SUGGERIMENTO

I triangoli AEB e ACB sono isosceli. Calcoliamo la misura di un angolo del pentagono e dimostriamo che il triangolo BCP ..

SOLUZIONE

ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA

Gli angoli alla circonferenza che insistono sulla stessa corda (arco) sono: - CONGRUENTI se insistono dallo stesso arco - SUPPLEMENTARI se insistono dallo archi opposti - LA META' dell'angolo al centro corrispondente

Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo:

QUADRILATERO INSCRIVILE IN UNA CIRCONFERENZA

Un quadrilatero si può inscrivere in una circonferenza (e si dice CICLICO) solo se la somma delle ampiezze degli angoli opposti è = 180°. Per esempio, il trapezio isoscele, il rettangolo e il quadrato sono sempre inscrittibili, mentre il trapezio rettangolo, il parallelogramma e il rombo no.

Un altro criterio per stabilire se un

quadrilatero è ciclico è verificare se sullo

stesso lato insistono angoli congruenti:

QUADRILATERO CIRCOSCRIVIBILE AD UNA CIRCONFERENZA

Un quadrilatero si può circoscrivere a una circonferenza solo se le somme delle lunghezze dei lati opposti sono uguali: per esempio, il rombo e il quadrato sono sempre circoscrivibili, mentre il rettangolo e il parallelogramma no.

Corde, secanti e tangenti in una circonferenza

Teorema delle due corde: Il punto P comune a due corde di una circonferenza divide le corde in parti in modo che le due parti di una corda siano i medi e le due parti dell'altra gli estremi di una proporzione.

PA : PC = PD : PB

Teorema delle due secanti: Una circonferenza divide due secanti condotte da uno stesso punto P, esterno alla circonferenza, in modo che un'intera secante e la sua parte esterna siano i medi, l'altra secante e la sua parte esterna gli estremi di una proporzione.

PA : PC = PD : PB

Teorema della secante e della tangente: Condotte da un punto P esterno ad una circonferenza una tangente ed una secante, il segmento di tangente è medio proporzionale tra l'intera secante e la sua parte esterna.

PD : PT = PT : PC

QUESITO

SUGGERIMENTO

SOLUZIONE

VOLUMI E SUPERFICI DI SOLIDI

3lV

CUBO di lato l

abcV

PARALLELEPIPEDO di dim. a,b,c

CILINDRO di raggio di base r

e altezza h

hrV 2

rhSL 2

SFERA diraggio r

3

3

4rV

24 rS

CONO

hrV 2

3

1

raSL

PIRAMIDE

hAV base3

1

aPS baseL

QUESITO

SUGGERIMENTO

D

C

d = 4 km

P

I

Sviluppiamo sul piano la superficie laterale della montagna, tagliandola lungo il segmento DC. Si avrà un settore circolare di centro C, raggio 4 km, ossia la lunghezza di DC, e delimitato da un arco di circonferenza di 4π km, ossia ..

SOLUZIONE

D

C

d = 4 km

P

I

D

P

4 km C

4π km

D

I 1 km

3 km

Lo sviluppo è un semicerchio. Il triangolo ICD è rettangolo.

L’ipotenusa ID = 5 km.

QUESITO A RISPOSTA APERTA

SUGGERIMENTO (a)

SOLUZIONE (a)

SUGGERIMENTO (b)

Ridisegna il quadrilatero ABCM e la circonferenza circoscritta:

Il triangolo ABC è isoscele e gli angoli che insistono sulla corda AB ..

SOLUZIONE (b)

SCHEDA DI VALUTAZIONE

QUESITO DI LOGICA

SOLUZIONE

A B C D

PIOVE T (V)

V – S (F)

V - S (F) T (V)

NON PIOVE

S (F) V – T (V)

V – T (V) V (V) – S (F)