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M1 EADM Lyon 1

Géométrie plane

1

Qu’est – ce - que la géométrie ?

2

géo – métrie mesure de la terre

C’est la partie des mathématiques qui a pour

objet l’étude de situations, d’organisations et

de relations de notre espace sensible.

3

géométrie

Des savoirs organisés en théories, dont certaines ont des origines très anciennes (Euclide vers -300)

Des objets : points, droites, segments, triangles, quadrilatères, cercles, polyèdres, angles, . . .

Des relations : l’appartenance, l’alignement, le parallélisme, la perpendicularité, les transformations (symétrie, agrandissement / réduction, . . .), . . .

4

Des problèmes

Exemples

5

Un problème de mesure

Dans une pièce « rectangulaire » on

souhaite tendre un fil entre deux sommets

opposés du plafond de cette pièce.

Comment déterminer la longueur du fil ?

6

Trois modes de résolution

Résolution "pratique", avec un fil et un escabeau…

Résolution "pratique", sur le papier, avec modélisation

des objets

(pièce = rectangle, ficelle = droite et règle pour

mesurer)

Résolution plus mathématique, avec mesurage et

utilisation de propriétés issues de la théorie

géométrique (théorème de Pythagore)

7

Un problème de construction

Tracer un triangle dont les côtés mesurent 5 cm, 9 cm et 4 cm.

8

9

10

11

Deux modes de résolution

Résolution pratique : dessin du triangle à l’aide du

compas et constat :

Les arcs de cercle sont tangents, le triangle est plat.

Les arcs de cercles sont sécants, je trace le triangle, il existe

bien.

Résolution mathématique :

7 cm + 4 cm = 11 cm, on est dans le cas d’égalité de

l’inégalité triangulaire, le triangle est donc plat.

12

Un problème d’identification

Exercice:

Quelle est la nature du

quadrilatère EFGH ?

A B

CD

F

E

H

G

- ABCD est un carré

- AE = BF = CG = DH

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Trois modes de résolution

Résolution perceptive : si je tourne la feuille, je

vois bien que c’est un carré

Résolution pratico-mathématique : mesurage

des côtés et des angles, utilisation des propriétés

géométriques du carré

Résolution mathématique : raisonnement

(démonstration)

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Différentes démarches pour résoudre

un problème

Résolution pratique : elle met en œuvre la perception et des actions et des compétences purement spatiales

Résolution pratique qui s’appuie sur des modélisations de l’espace qui nous entoure et qui utilise des propriétés du modèle théorique (pratico-mathématique)

Résolution par un raisonnement théorique mathématique (démonstration)

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Les problématiques

Berthelot et Salin

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« Où » est posé le problème ?

Et « où » se valide la solution ?

Dans l’espace sensible :

L’espace qui nous entoure

L’espace de la feuille de papier

L’écran de l’ordinateur

Ou bien c’est un problème interne

à la théorie

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Sur quels objets ?

Des objets de la vie courante

Des « objets graphiques »

représentations d’objets de la vie courante

dessins (géométriques)

représentations d’objets théoriques (« figures »)

Des « objets » théoriques = des concepts

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Dessin et figure

Dessin : un objet du monde sensible, objet

graphique sur la feuille de papier, dont les

propriété peuvent être vérifiées par l’utilisation

des instruments

Figure : une représentation graphique d’un objet

idéal, d’un concept géométrique, dont les

propriétés sont établies par déduction.

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Avec quelles connaissances ?

Connaissances spatiales :

elles permettent à chacun de contrôler ses

rapports à l’espace par la perception

Connaissances géométriques :

elles sont associées à des définitions et

propriétés géométriques utilisées

explicitement ou implicitement

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Les niveaux de géométrie

Houdement et Kuzniak

21

Intuition

Fournit au sujet: - Une théorie première basée sur un lot

d’évidences - Un socle pour le raisonnement Est une source de découvertes. Peut être vue comme un ensemble de strates qui se

superposent et font oublier les premières intuitions.

Non stable, évolue grâce aux expériences.

Exemple : « par 2 points distincts, il passe une seule droite »

22

Expérience

Est non immédiate, action physique ou mentale nécessaire.

Lieu: espace mesurable.

Outil: perception, instruments.

Exemple: «la somme des angles intérieurs d’un triangle est un angle plat» SommeAnglesTriangle.ggb

23

Déduction

Permet d’atteindre de nouvelles informations à partir de celles déjà acquises sans recours à l’expérience.

Fondée sur le raisonnement.

Permet de réorganiser les apports de l’expérience.

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Exemple: la somme des angles d’un

triangle

On trace la parallèle à [AC] passant par B, puis on utilise les

angles alternes – internes.

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Liens entre Intuition, Expérience,

Déduction

Expérience Intuition

nourrit

structure

« La déduction avance mais ne voit pas.

L’intuition voit mais n’avance pas. »

1)

2)

3) Évidence renseignement

issue de l’intuition # issu de l’expérience

Résultat d’une expérience # conclusion d’un raisonnement 26

Géométrie naturelle (ou géométrie I)

La déduction s’exerce sur des objets matériels.

Preuve dynamique et mécanique.

Importance de la construction et la perception (pliage, superposition).

Source de validation: monde réel, sensible.

Présence des 3 pôles: intuition, expérience, déduction.

(ou la confusion entre la géométrie et la réalité)

27

Géométrie axiomatique naturelle (ou

géométrie II)

Géométrie comme schéma de la réalité.

Importance de la déduction logique et de la démonstration

au sein d’un système axiomatique précis.

Présence des 3 pôles.

28

Géométrie axiomatique formelle (ou

géométrie III)

Indépendance entre la géométrie et la réalité

L’axiomatisation vise à être complète

Vision algébrique de la géométrie

Elle a émergé avec la naissance des géométries non –

euclidiennes

29

Comparaison des Géométries

Géométrie I Géométrie II Géométrie III

Intuition Sensible et

perceptive Liée aux figures

Interne aux

mathématiques

Expérience Liée à l’espace

mesurable

Schéma de la

réalité De type logique

Déduction

Proche du réel et

liée à l’expérience

par la vue

Démonstration

basée sur des

axiomes

Démonstration

basée sur des

axiomes

Type

d’espace

Espace intuitif et

physique

Espace physico-

géométrique

Espace abstrait

euclidien

30

La géométrie de l'école au collège

C1 et C2

Géométrie de la perception

Est vrai ce qui est "vu" comme tel

Boîte à outils : l’œil

Fin C2 et C3 et 6ème

Géométrie instrumentée

Sont vraies les propriétés contrôlées à l’aide d'instruments

Boîte à outils : instruments

Collège (à partir de fin 5ème)

Géométrie déductive

Est vrai ce qui est démontré

Boîte à outils : théorèmes

Passage d’une géométrie de

niveau I à une géométrie de

niveau II 31

Dans les programmes

6ème 5ème 4ème

- expérience, intuition

- construction, reconnaissance

- dessin/objet matériel

- raisonnement, déduction

- démonstration

- dessin/outil-représentant

Géométrie pratique Géométrie théorique Dualité

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Dans les programmes

Classe de 6ème Classe de 5ème Classe de 4ème

Consolider « une

première expérience

des figures et des

solides en passant

d’une reconnaissance

perceptive à une

connaissance prenant

appui sur quelques

propriétés vérifiées à

l’aide d’instruments »

Prendre appui sur des

figures dessinées,

parfois à main levée.

Expérimenter,

conjecturer, justifier.

Entretenir la pratique

des constructions

géométriques et des

raisonnements sous –

jacents qu’elles

mobilisent..

Elaboration, rédaction

d’une démonstration.

Initier les élèves à la

démonstration.

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La géométrie au collège:

difficile transition de la géométrie I à la

géométrie II

• Les élèves arrivant au collège naviguent dans leur

espace de travail attaché à la géométrie I

•L’espace de travail attendu par les enseignants de

collège est celui de la géométrie II

• Malentendus, puis rupture en 4ème.

•A qui est confiée la phase de transition ?

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