investiČnÍ matematika

INVESTIČNÍ INVESTIČNÍ MATEMATIKAMATEMATIKA

VYSOKÁ ŠKOLA FINANČNÍ VYSOKÁ ŠKOLA FINANČNÍ A SPRÁVNÍ, o.p.s. A SPRÁVNÍ, o.p.s.

DLUHOPISOVÉ PORTFOLIODLUHOPISOVÉ PORTFOLIO

DURACEDURACE

Je aritmetický průměr dob do Je aritmetický průměr dob do splatnosti jednotlivých plateb (kromě splatnosti jednotlivých plateb (kromě pořizovací ceny), které souvisejí pořizovací ceny), které souvisejí s dluhopisem a jsou váženy velikostmi s dluhopisem a jsou váženy velikostmi plateb diskontovaných ke dni emise.plateb diskontovaných ke dni emise.

průměrná doba do splatnostiprůměrná doba do splatnosti

průměrná doba pro získání příjmů průměrná doba pro získání příjmů spojených s dluhopisem spojených s dluhopisem (Macaulayova)(Macaulayova)

P

y

FCn

y

C

y

C

Dn

mac

112

11

2

P

PnPPD nmac

21 21

Př: Vypočítej durace pro dluhopis s tržní úrokovou mírou 10%Př: Vypočítej durace pro dluhopis s tržní úrokovou mírou 10%

Doba doDoba do

splatnostsplatnost

ii

Kuponová sazba c: Kuponová sazba c: 5% 5% 10%10% 15%15%

11 1,0001,000 1,0001,000 1,0001,000

33 2,8492,849 2,73552,7355 2,6472,64722

55 4,16994,1699

1010 6,7596,759

2020 9,36499,3649

5050 10,90610,90633

100100 10,99910,99922

-- dále je durace mírou citlivosti dluhopisu na změny dále je durace mírou citlivosti dluhopisu na změny tržních sazeb (modifikovaná), o kolik se změní cena tržních sazeb (modifikovaná), o kolik se změní cena dluhopisu opačným směrem při změně výnosůdluhopisu opačným směrem při změně výnosů

y

P

PD

1

mod

Durace je tím nižší čím:Durace je tím nižší čím:

vyšší jsou platby plynoucí z dluhopisu vyšší jsou platby plynoucí z dluhopisu do splatnosti do splatnosti

dříve platba z daného instrumentu dříve platba z daného instrumentu nastávánastává

kratší je celková doba do splatnostikratší je celková doba do splatnosti

čím menší hodnota durace, tím menší jsou čím menší hodnota durace, tím menší jsou změny v jeho tržní ceně vzhledem ke změny v jeho tržní ceně vzhledem ke změnám tržních úrokových sazebzměnám tržních úrokových sazeb

vztah mezi cenou dluhopisu a výnosem:vztah mezi cenou dluhopisu a výnosem:

1. PV ↑ y↓2. PV ↓ y↑

Př:Př: Uvažujme tříletý bezkupónový dluhopis, který Uvažujme tříletý bezkupónový dluhopis, který

má nominální hodnotu FV = 1.000 Kč a poskytuje má nominální hodnotu FV = 1.000 Kč a poskytuje

výnos 5%. Do tohoto kuponu investujeme výnos 5%. Do tohoto kuponu investujeme

a) na 2 roky b) na 5 let. Vypočtěte výnos, ztrátu, a) na 2 roky b) na 5 let. Vypočtěte výnos, ztrátu,

jestliže den po nákupu se výnosy sníží, respektive jestliže den po nákupu se výnosy sníží, respektive

zvýší o 1%.zvýší o 1%.

Při změně ve výnosech hrozí: Při změně ve výnosech hrozí:

a) riziko kapitálové ztráty ( zvýší-li se a) riziko kapitálové ztráty ( zvýší-li se výnosy)výnosy)

b) riziko ztráty z reinvestice (sníží-li b) riziko ztráty z reinvestice (sníží-li se výnosy) se výnosy)

Investiční horizont: Investiční horizont:

krátký krátký utrpíme ztrátu při vzestupu výnosů utrpíme ztrátu při vzestupu výnosů (kapitálová ztráta (kapitálová ztráta výnos z reinvestice) výnos z reinvestice)

dlouhý dlouhý utrpíme ztrátu při poklesu výnosů utrpíme ztrátu při poklesu výnosů (ztráta z reinvestice (ztráta z reinvestice kapitálový výnos) kapitálový výnos)

Snaha o eliminaci obou uvedených rizik Snaha o eliminaci obou uvedených rizik

(imunizace):(imunizace):

Je-li investiční horizont roven Je-li investiční horizont roven (Macaulayově) duraci, potom se výnosy a (Macaulayově) duraci, potom se výnosy a ztráty navzájem pokrývají, a to při ztráty navzájem pokrývají, a to při vzestupu i poklesu výnosů. vzestupu i poklesu výnosů.

Durace kupónového dluhopisu je vážený průměr durací (dob do splatnosti) jednotlivých peněžních toků reprezentovaných kupóny a nominální hodnotou, kde váhy odpovídají podílu jednotlivých diskontovaných peněžních toků na celkové ceně dluhopisu.

Durace kupónového dluhopisu je střední (průměrná) doba života tohoto dluhopisu.

n

nn

PPP

PDPDPDD

....

......

21

2211

Durace portfolia složeného z dluhopisů je vážený

průměr durací jednotlivých dluhopisů, přičemž váhy odpovídají podílu cen jednotlivých dluhopisů na celkové ceně portfolia.

D = w1D1 + w2D2 + …. + wnDn

Př: Př: Chceme investovat částku 1.000.000 Kč na Chceme investovat částku 1.000.000 Kč na dobu 3 let, přičemž k dispozici máme dobu 3 let, přičemž k dispozici máme bezkupónové dluhopisy s dobou splatnosti 1, 2, 3, bezkupónové dluhopisy s dobou splatnosti 1, 2, 3, 4, 5 let s jednotným výnosem 5% (uvažujeme 4, 5 let s jednotným výnosem 5% (uvažujeme plochou výnosovou křivku). Vytvoříme portfolia A, plochou výnosovou křivku). Vytvoříme portfolia A, B, C takto:B, C takto:

A…A… n = 3, FV = 1.157.625 Kč n = 3, FV = 1.157.625 Kč

B…B… n = 2, FV = 551.250 Kč n = 2, FV = 551.250 Kč

n = 4, FV = 607.753 Kčn = 4, FV = 607.753 Kč

C…C… n = 1, FV = 525.000 Kčn = 1, FV = 525.000 Kč

n = 5, FV = 638.141 Kčn = 5, FV = 638.141 Kč

A

B

C

5%

1.000.000

P

Y (%)

Konvexita portfolia složeného z dluhopisů je vážený průměr konvexit jednotlivých dluhopisů, přičemž váhy odpovídají podílu cen jednotlivých dluhopisů na celkové ceně portfolia.

CX =

n

nn

PPP

PCXPCXPCX

...

...

21

2211

Klesnou-li výnosy o 1%, zhodnotí se portfolio o větší výnos (korunový i procentní) než o kolik klesne jeho hodnota, zvýší-li se výnosy o 1%

Př: Chceme investovat částku 1.000.000 Kč, přičemž máme k dispozici dluhopisy A, B s následujícími parametry:

A: n = 5, c = 12%, y = 12% B: n = 2, c = 0%, y = 10%

Jak budeme investovat na 3 roky?

AKCIOVÉ PORTFOLIOAKCIOVÉ PORTFOLIO

Investiční strategie, kdy je optimalizován Investiční strategie, kdy je optimalizován výnos vzhledem k riziku investice.výnos vzhledem k riziku investice.

Akcie – A1, A2, A3, …Akcie – A1, A2, A3, …

Váhy – a1, a2, a3, …Váhy – a1, a2, a3, …

Výnosové procento – rVýnosové procento – rpp (průměrná míra (průměrná míra zisku)zisku)

Riziko – σRiziko – σpp směrodatná odchylka směrodatná odchylka

Korelace – stupeň závislosti mezi dvěma Korelace – stupeň závislosti mezi dvěma nebo více proměnnýminebo více proměnnými

Kovariance – statistický pojem odvozený od Kovariance – statistický pojem odvozený od běžného rozptylu, který popisuje rozsah, běžného rozptylu, který popisuje rozsah, v jakém se dvě proměnné pohybují stejnou v jakém se dvě proměnné pohybují stejnou měrouměrou

n

kkkp rar

1

N

kkp krpr

1

)(

n

kpkp rkrp

1

22 ))((

N

kkjjkiikij prrrr

1

ji

ijij

Kovarianční koeficient – σKovarianční koeficient – σijij

Korelační koeficient – ρKorelační koeficient – ρijij

Rozptyl:Rozptyl: součet druhých mocnin součet druhých mocnin odchylek jednotlivých hodnot od odchylek jednotlivých hodnot od aritmetického průměru dělený aritmetického průměru dělený počtem hodnot (σpočtem hodnot (σ22).).

Směrodatná odchylka:Směrodatná odchylka: druhá druhá odmocnina rozptylu (σ).odmocnina rozptylu (σ).

Př: Př: Je dáno portfolio P s vahami aJe dáno portfolio P s vahami a11 = 0,7 a a = 0,7 a a22 = 0,3 = 0,3 a jeho tři výnosové varianty s těmito parametry:a jeho tři výnosové varianty s těmito parametry:

Varianta Pravděpodobnost Výnos A1 Výnos A2

1 0,1 1% 3%

2 0,2 12% 28%

3 0,3 6% 14%

4 0,4 -2% -5%

a) nalezněte výnos a riziko portfolia Pa) nalezněte výnos a riziko portfolia Pb) nalezněte kovarianční maticib) nalezněte kovarianční matici

Korelační koeficient:Korelační koeficient:

ρij = 1

ρij = - 1

ρij = 0

dokonalá pozitivní korelace

dokonalá negativní korelace

výnosová procenta nekorelují

Př: Zjisti korelaci mezi výnosovými procenty Př: Zjisti korelaci mezi výnosovými procenty

akcií:akcií:

A1 2 4 -2 6 -1 2 8 -1 2 0

A2 0 -2 9 -3 7 -1 -2 9 -1 4

A1 2 4 -2 6 -1 2 8 -1 2 0

A2 3 3 -1 5 0 1 7 -2 3 1

A1 1 3 1 3 1 3 3 1 1 3

A2 3 1 3 1 3 1 1 3 3 1

Riziko portfolia : Riziko portfolia : Směrodatná Směrodatná odchylkaodchylka

22

221221

21

21

2 2 aaaap

Kovarianční matice:Kovarianční matice:

2221

1211

Př:Př: Jsou dány kovariance σ Jsou dány kovariance σ1212 = -3, σ = -3, σ2121 = 6 = 6

a rizika σa rizika σ11 = 5, σ = 5, σ2 2 = 10. Určete kovarianční = 10. Určete kovarianční

matici a riziko portfolia, jestliže amatici a riziko portfolia, jestliže a11 = 0,7 a = 0,7 a

aa22 = 0,3. = 0,3. Jak se změní riziko portfolia, jestliže se váhy Jak se změní riziko portfolia, jestliže se váhy

prohodí?prohodí?

DERIVÁTYDERIVÁTY

Forvardové kontrakty – forvardy Forvardové kontrakty – forvardy

Opční kontrakty – opceOpční kontrakty – opce

termínované kontrakty – plnění termínované kontrakty – plnění v budoucnosti v budoucnosti

ForvardForvard – „ – „závazekzávazek“ koupit či “ koupit či prodatprodat

- - určitý počet akcií určitý počet akcií

- za určenou cenu- za určenou cenu

- k dohodnutému datu - k dohodnutému datu

OpceOpce – – „„právoprávo“ koupit či prodat“ koupit či prodat

- určitý počet akcií - určitý počet akcií

- za určenou cenu - za určenou cenu

- k dohodnutému datu- k dohodnutému datu

Forvard:Forvard:

- mám závazek koupit – dlouhá pozice - mám závazek koupit – dlouhá pozice

( ( long positionlong position ) )

- mám závazek prodat – krátká pozice - mám závazek prodat – krátká pozice

( ( short positionshort position ) )

F – cena forvarduF – cena forvardu S – obchodní cenaS – obchodní cena T – okamžik uzavření kontraktu T – okamžik uzavření kontraktu t - okamžik uzavření obchodut - okamžik uzavření obchodu r – spojitá roční úroková mírar – spojitá roční úroková míra

FFtt = S = St t eerr (T-t)(T-t)

Př: Př: Cena akcie je 20.000 Kč, přičemž Cena akcie je 20.000 Kč, přičemž roční forwardová cena je rovnaroční forwardová cena je rovna Ft Ft = = 22.000 Kč při roční úrokové míře 8%. 22.000 Kč při roční úrokové míře 8%. Jakým způsobem tuto situaci Jakým způsobem tuto situaci využijeme?využijeme?

Futures kontrakty:Futures kontrakty:

standardizovanéstandardizované – všichni nakupují – všichni nakupují (prodávají) (prodávají)

stejný kontrakt na předem stanovený počet stejný kontrakt na předem stanovený počet

akcií, vypořádaný ke stejnému datu a akcií, vypořádaný ke stejnému datu a většinou většinou

garantovaný burzou či jinakgarantovaný burzou či jinak

Riziko ztráty:Riziko ztráty:

dlouhá pozicedlouhá pozice (koupit) – musím (koupit) – musím koupit,koupit,

i když cena akcií poklesne - ( Si když cena akcií poklesne - ( STT – F – Ftt ) )

krátká pozicekrátká pozice (prodat) – musím (prodat) – musím prodat, prodat,

i když cena akcií stoupne - ( Fi když cena akcií stoupne - ( Ftt – S – ST T ))

Ft

ST

DlouháKrátká

Zisk

OpceOpce – „ – „právoprávo“ koupit či prodat “ koupit či prodat

Call opceCall opce (nákupní) – právo koupit (nákupní) – právo koupit

- určitý počet akcií - určitý počet akcií

- za určenou cenu X- za určenou cenu X

- k dohodnutému datu - k dohodnutému datu

Put opcePut opce (prodejní) – právo prodat (prodejní) – právo prodat

- určitý počet akcií - určitý počet akcií

- za určenou cenu X - za určenou cenu X

- k dohodnutému datu - k dohodnutému datu

dlouhá pozicedlouhá pozice – kupuje – kupuje

krátká pozicekrátká pozice – prodává – prodává

EvropskáEvropská – opce může být – opce může být uplatněna pouze v čase Tuplatněna pouze v čase T

AmerickáAmerická – opce může být – opce může být uplatněna i před časem Tuplatněna i před časem T

Call opceCall opce uplatněna právě tehdy když uplatněna právě tehdy když

STST > > XX – zisk = max – zisk = max { { ST ST - X- X ; 0} ; 0}

zisk

cenaX

call

Put opcePut opce uplatněna právě tehdy když uplatněna právě tehdy když

STST < < XX – zisk = max – zisk = max { X { X - ST; 0} - ST; 0}

zisk

cenaX

put

Platba za vstup do dlouhé pozice – „Platba za vstup do dlouhé pozice – „c“c“

zisk

cenaX

Call long

-c

zisk

cena

X

Call short

c

zisk

cena

X

Put long

-c

ziskcena

XPut short

c