iv. lineare algebra 10. lineare gleichungssysteme

IV. Lineare Algebra

10. Lineare Gleichungssysteme

Jeder der Punkte P =

z

y

x

, der die lineare Gleichung

N0 P = nxx + nyy + nzz = d

erfüllt, gehört zu der Ebene, die den Normalenvektor N0 mit den Komponenten nx, ny, nz und den Abstand d vom Koordinatenursprung besitzt.

Und jeder Punkt dieser Ebene erfüllt die Gleichung.

Die Lösungsmenge einer linearen Gleichung in drei Unbekannten x, y, z (wo die Koeffizienten nx, ny, nz nicht alle verschwinden) ist die Menge aller Punkte einer Ebene.

N0 =

0

0

1

x = d E = {

z

y

d

| y, z }

N0 =

0

1

0

y = d E = {

z

d

x

| x, z }

N0 =

1

0

0

z = d E = {

d

y

x

| x, y }

Falls d = 0 gilt, so enthält die Ebene den Ursprung.

N0 P = d

Eine Gerade im 3 ist die Schnittmenge zweier Ebenen G = E1 E2 n1xx + n1yy + n1zz = d1 n2xx + n2yy + n2zz = d2

Es kann vorkommen, dass die Ebenen parallel liegen und sich daher nicht schneiden. N0

2 = ±N01.

Eine Gerade im 3 ist die Schnittmenge zweier Ebenen G = E1 E2 n1xx + n1yy + n1zz = d1 n2xx + n2yy + n2zz = d2

Es kann vorkommen, dass die Ebenen parallel liegen und sich daher nicht schneiden. N0

2 = ±N01.

Es ist allerdings auch möglich, dass die Schnittmenge des Gleichungs-systems eine Ebene ist. E1 = E2.

Eine Gerade im 3 ist die Schnittmenge zweier Ebenen G = E1 E2 n1xx + n1yy + n1zz = d1 n2xx + n2yy + n2zz = d2

n1xx + n1yy + n1zz = d1 n2xx + n2yy + n2zz = d2 n3xx + n3yy + n3zz = d3

Ein Punkt im 3 ist die Schnittmenge dreier Ebenen.

Ein Punkt im 3 ist die Schnittmenge dreier Ebenen.

Die Schnittmenge kann leer sein.

n1xx + n1yy + n1zz = d1 n2xx + n2yy + n2zz = d2 n3xx + n3yy + n3zz = d3

Ein Punkt im 3 ist die Schnittmenge dreier Ebenen.

Die Schnittmenge kann eine Gerade oder eine Ebene sein.

n1xx + n1yy + n1zz = d1 n2xx + n2yy + n2zz = d2 n3xx + n3yy + n3zz = d3

Ein Punkt im 3 ist die Schnittmenge dreier Ebenen.

Das Gleichungssystem besitzt genau dann eine eindeutige Lösung, wenn die drei Normalenvektoren linear unabhängig voneinander sind.

Die Koeffizienten gehören im Allgemeinen nicht zu normierten Vektoren. Dann setzt sich die Konstante aus dem Abstand d der Ebene vom Ursprung und dem Betrag |N| des Normalenvektors zu-sammen: N P = nxx + nyy + nzz = b = |N|d

n1xx + n1yy + n1zz = d1 n2xx + n2yy + n2zz = d2 n3xx + n3yy + n3zz = d3

Ein n-dimensionaler Vektorraum V wird durch eine Basis aus n linear unabhängigen Vektoren

{ V1, V2, ..., Vn }

aufgespannt, d.h. jeder Vektor V V kann durch eine Linearkombination der Basisvektoren ausge-drückt werden:

V = a1V1 + a2V2 + ... + anVn mit ai

Besitzt eine Basis n Elemente, so besitzt auch jede andere Basis n Elemente. In einem n-dimensionalen Vektorraum gibt es also höchstens n linear unabhängige Vektoren, d.h. die Darstellung von V ist eindeutig.

Beweis. Sei

V = a1V1 + a2V2 + ... + anVn mit ai und

V = a'1V1 + a'2V2 + ... + a'nVn mit a'i

eine weitere Darstellung für V, so folgt:

0 = (a1 - a'1)V1 + (a2 - a'2)V2 + ... + (an - a'n)Vn

i: ai = a'i.

Eine Gleichung

a1V1 + a2V2 + ... + anVn = d mit ai, d

in der nicht alle Koeffizienten (Koordinaten) ai verschwinden, vermindert die Zahl der frei wählbaren Koeffizienten um einen von n auf n - 1.

Spätestens nachdem n - 1 Koeffizienten gewählt wurden, ist der n-te durch die Gleichung festgelegt.

Der so eingeschränkte Vektorraum H besitzt nur noch n - 1 Dimensionen. Man bezeichnet H als Hyperebene im Vektorraum V.

Definition. U ist Unterraum des Vektorraums V über , falls U abgeschlossen bezüglich Addition und Skalarmultiplikation ist.

V, V' U, , : V + V' U.

Insbesondere gehört also der Nullvektor 0 zum Unterraum. Enthält eine Hyperebene den Nullvektor, so ist sie ein Unterraum.

Als Beispiel für eine Hyperebene betrachten wir das vierdimensionale Raum-Zeit-Kontinuum mit den Koordinaten

(x | y | z | t)

wo t die Zeit-Koordinate bezeichnet. Die Gleichung t = 0 ergibt einen Schnappschuss des Raums zur Zeit 0.

10.1 Darstellung von linearen Gleichungssystemen

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (S)am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

Definition. Eine Lösung L des Gleichungssystems S ist ein Vektor

C = so dass die Gleichungen

a11c1 + a12c2 + ... + a1ncn = b1

a21c1 + a22c2 + ... + a2ncn = b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1c1 + am2c2 + ... + amncn = bm

durch das n-Tupel seiner Elemente ck erfüllt sind.

nc

...

c

c

2

1

Die Menge aller Lösungen der k-ten Gleichung Sk nennen wir L(Sk). Die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems S nennen wir L(S). Dann ist

L(S) = L(S1) L(S2) ... L(Sm)

10.2 Elementaroperationen

(E1) Vertauschen von zwei Zeilen, Si und Sj.

Beweis. Kommutativität der Durchschnittsbildung .

(E2) Multiplikation der i-ten Zeile Si mit einer Konstante k , k ≠ 0.

Beweis. Die i-te Zeile

ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn = bi (Si)

wird damit zu

kai1x1 + kai2x2 + ... + kainxn = kbi (kSi)

Sei nun C eine Lösung von (Si), so ist C auch Lösung von (kSi) und umgekehrt.

(E3) Addition der mit k multiplizierten j-ten Zeile kSj zur i-ten Zeile Si.

Beweis. Jede Lösung C L(S) erfüllt die Gleichungen

ai1c1 + ai2c2 + ... + aincn = bi (Si)

kaj1c1 + kaj2c2 + ... + kajncn = kbj , (kSj)

also erfüllt sie auch die Gleichung

(ai1 + kaj1)c1 + (ai2 + kaj2)c2 + ... + (ain + kajn)cn = bi + kbj

(Si+kSj)

10.3 Gaußsches Eliminationsverfahren

Die drei Elementaroperationen

(E1) Vertauschen von Si und Sj

(E2) Multiplizieren von Si mit k ≠ 0

(E3) Ersetzen von Si durch Si + kSj mit i ≠ j

können beliebig oft hintereinander ausgeführt werden, ohne die Lösungsmenge des Gleichungssystems zu ändern. Damit lässt sich jedes Gleichungssystem in eine einfache Form bringen und, wenn es lösbar ist, lösen.

3x1 - 9x2 + 6x3 = 3 (1)

5x1 + 4x2 - 5x3 = -2 (2)

6x1 + 2x2 - 3x3 = 1 (3)

3x1 - 9x2 + 6x3 = 3 (1)

5x1 + 4x2 - 5x3 = -2 (2)

6x1 + 2x2 - 3x3 = 1 (3)

(1)/3 1x1 - 3x2 + 2x3 = 1 (1’)

3x1 - 9x2 + 6x3 = 3 (1)

5x1 + 4x2 - 5x3 = -2 (2)

6x1 + 2x2 - 3x3 = 1 (3)

(1)/3 1x1 - 3x2 + 2x3 = 1 (1’)

5x1 + 4x2 - 5x3 = -2 (2’)

6x1 + 2x2 - 3x3 = 1 (3’)

3x1 - 9x2 + 6x3 = 3 (1)

5x1 + 4x2 - 5x3 = -2 (2)

6x1 + 2x2 - 3x3 = 1 (3)

(1)/3 1x1 - 3x2 + 2x3 = 1 (1’)

5x1 + 4x2 - 5x3 = -2 (2’)

6x1 + 2x2 - 3x3 = 1 (3’)

1x1 - 3x2 + 2x3 = 1 (1’’)

(2’) – 5(1’’) 19x2 -15x3 = -7 (2’’)

3x1 - 9x2 + 6x3 = 3 (1)

5x1 + 4x2 - 5x3 = -2 (2)

6x1 + 2x2 - 3x3 = 1 (3)

(1)/3 1x1 - 3x2 + 2x3 = 1 (1’)

5x1 + 4x2 - 5x3 = -2 (2’)

6x1 + 2x2 - 3x3 = 1 (3’)

1x1 - 3x2 + 2x3 = 1 (1’’)

(2’) – 5(1’’) 19x2 -15x3 = -7 (2’’)

(3’) – 6(1’’) 20x2 -15x3 = -5 (3’’)

3x1 - 9x2 + 6x3 = 3 (1)

5x1 + 4x2 - 5x3 = -2 (2)

6x1 + 2x2 - 3x3 = 1 (3)

(1)/3 1x1 - 3x2 + 2x3 = 1 (1’)

5x1 + 4x2 - 5x3 = -2 (2’)

6x1 + 2x2 - 3x3 = 1 (3’)

1x1 - 3x2 + 2x3 = 1 (1’’)

(2’) – 5(1’’) 19x2 -15x3 = -7 (2’’)

(3’) – 6(1’’) 20x2 -15x3 = -5 (3’’)1x1 - 3x2 + 2x3 = 1 (1’’’)

(3’’) 20x2 -15x3 = -5 (2’’’)

(2’’) 19x2 -15x3 = -7 (3’’’)

1x1 - 3x2 + 2x3 = 1 (1’’’)

(3’’) 20x2 -15x3 = -5 (2’’’)

(2’’) 19x2 -15x3 = -7 (3’’’)

1x1 - 3x2 + 2x3 = 1 (1’’’)

(3’’) 20x2 -15x3 = -5 (2’’’)

(2’’) 19x2 -15x3 = -7 (3’’’)

1x1 - 3x2 + 2x3 = 1 (1IV)

(2’’’) - (3’’’) 1x2 - 0x3 = 2 (2IV)

1x1 - 3x2 + 2x3 = 1 (1’’’)

(3’’) 20x2 -15x3 = -5 (2’’’)

(2’’) 19x2 -15x3 = -7 (3’’’)

1x1 - 3x2 + 2x3 = 1 (1IV)

(2’’’) - (3’’’) 1x2 = 2 (2IV)

(3’’’) - 19(2IV) -15x3 = -45 (3IV)

1x1 - 3x2 + 2x3 = 1 (1’’’)

(3’’) 20x2 -15x3 = -5 (2’’’)

(2’’) 19x2 -15x3 = -7 (3’’’)

1x1 - 3x2 + 2x3 = 1 (1IV)

(2’’’) - (3’’’) 1x2 = 2 (2IV)

(3’’’) - 19(2IV) -15x3 = -45 (3IV)

1x1 - 3x2 + 2x3 = 1 (1V)

1x2 = 2 (2V)

-(3V)/15 1x3 = 3 (3V)

1x1 - 3x2 + 2x3 = 1 (1’’’)

(3’’) 20x2 -15x3 = -5 (2’’’)

(2’’) 19x2 -15x3 = -7 (3’’’)

1x1 - 3x2 + 2x3 = 1 (1IV)

(2’’’) - (3’’’) 1x2 = 2 (2IV)

(3’’’) - 19(2IV) -15x3 = -45 (3IV)

1x1 - 3x2 + 2x3 = 1 (1V)

1x2 = 2 (2V)

-(3V)/15 1x3 = 3 (3V)

(1V)+3(2V)-2(3V) 1x1 = 1 (1VI)

1x2 = 2 (2VI)

1x3 = 3 (3VI)

Obere Dreiecksform:

1x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1

0x1 + 1x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2

0x1 + 0x2 + 1x3 + ... + a3nxn = b3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0x1 + 0x2 + 0x3 + ... + 1xn = bmNotwendige, aber nicht hinreichende Bedingung: m = n.

Reduzierte Normalform:

1x1 + 0x2 + 0x3 + ... + 0xn = c1

0x1 + 1x2 + 0x3 + ... + 0xn = c2

0x1 + 0x2 + 1x3 + ... + 0xn = c3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0x1 + 0x2 + 0x3 + ... + 1xn = cn

x1 = c1

x2 = c2

x3 = c3

. . . . . .xn = cn

x1 + 2x3 = 7

x2 + 5x3 = -1

x4 = 37 0 = 5 0 = 0 Hier erscheint x3 nirgends als erste Unbekannte.

Es ist nicht in jedem Falle möglich, diese einfache Form zu erreichen. Zum einen können mehr Unbekannte als Gleichungen vorhanden sein. Zum andern können bei Herstellung der reduzierten Normalform alle Koeffizienten aij in einer Gleichung verschwinden, einschließlich der absoluten Terme bi - oder auch nicht.

In reduzierter Normalform besitzt ein allgemeines Gleichungssystem S die folgende Form (Trapezform). Die Indizes der Unbekannten treten dabei nicht unbedingt in der ursprünglichen Reihenfolge auf (s. die Indexfolge 1, 2, 4 im obigen Beispiel). Deswegen bezeichnen wir die Indexfolge durch k1, k2, ..., kr anstelle von 1, 2, 3, ..., r. (Die diversen Striche an den Konstanten lassen wir fort.) xk1

+........................Terme in Unbekannten der Klasse 2... = b1

xk2 +................Terme in Unbekannten der Klasse 2... = b2

................................................................................ xkr

+...Terme in Unbekannten der Klasse 2... = br 0 = br+1 ............ 0 = bm

Die Zahl der Gleichungen ist m; die Zahl der Unbekannten ist n. Eine Unbekannte, die als erste in einer Gleichung erscheint, heißt Unbekannte der Klasse 1. Alle anderen sind Unbekannte der Klasse 2.

Die Zahl der Gleichungen ist m; die Zahl der Unbekannten ist n. Eine Unbekannte, die als erste in einer Gleichung erscheint, heißt Unbekannte der Klasse 1. Alle anderen sind Unbekannte der Klasse 2. Definition. Der Rang r des Gleichungssystems S ist die Anzahl der Unbekannten erster Klasse in einer reduzierten Normalform von S.

Die Zahl der Gleichungen ist m; die Zahl der Unbekannten ist n. Eine Unbekannte, die als erste in einer Gleichung erscheint, heißt Unbekannte der Klasse 1. Alle anderen sind Unbekannte der Klasse 2. Definition. Der Rang r des Gleichungssystems S ist die Anzahl der Unbekannten erster Klasse in einer reduzierten Normalform von S. Ist der Rang des Gleichungssystems gleich der Anzahl der Gleichungen, d. h. r = m, so gibt es zwei Möglichkeiten:

Die Zahl der Gleichungen ist m; die Zahl der Unbekannten ist n. Eine Unbekannte, die als erste in einer Gleichung erscheint, heißt Unbekannte der Klasse 1. Alle anderen sind Unbekannte der Klasse 2. Definition. Der Rang r des Gleichungssystems S ist die Anzahl der Unbekannten erster Klasse in einer reduzierten Normalform von S. Ist der Rang des Gleichungssystems gleich der Anzahl der Gleichungen, d. h. r = m, so gibt es zwei Möglichkeiten: Ist auch r = n, so gibt es keine Unbekannten 2. Klasse. Das Gleichungssystem besitzt in reduzierter Normalform die Gestalt (10.9) Es existiert dann genau eine Lösung.

Die Zahl der Gleichungen ist m; die Zahl der Unbekannten ist n. Eine Unbekannte, die als erste in einer Gleichung erscheint, heißt Unbekannte der Klasse 1. Alle anderen sind Unbekannte der Klasse 2. Definition. Der Rang r des Gleichungssystems S ist die Anzahl der Unbekannten erster Klasse in einer reduzierten Normalform von S. Ist der Rang des Gleichungssystems gleich der Anzahl der Gleichungen, d. h. r = m, so gibt es zwei Möglichkeiten: Ist auch r = n, so gibt es keine Unbekannten 2. Klasse. Das Gleichungssystem besitzt in reduzierter Normalform die Gestalt (10.9) Es existiert dann genau eine Lösung. Für r < n gibt es mehr Unbekannte als Gleichungen und damit unendlich viele Lösungen.

Die Zahl der Gleichungen ist m; die Zahl der Unbekannten ist n. Eine Unbekannte, die als erste in einer Gleichung erscheint, heißt Unbekannte der Klasse 1. Alle anderen sind Unbekannte der Klasse 2. Definition. Der Rang r des Gleichungssystems S ist die Anzahl der Unbekannten erster Klasse in einer reduzierten Normalform von S. Ist der Rang des Gleichungssystems gleich der Anzahl der Gleichungen, d. h. r = m, so gibt es zwei Möglichkeiten: Ist auch r = n, so gibt es keine Unbekannten 2. Klasse. Das Gleichungssystem besitzt in reduzierter Normalform die Gestalt (10.9) Es existiert dann genau eine Lösung. Für r < n gibt es mehr Unbekannte als Gleichungen und damit unendlich viele Lösungen. Für r < m gibt es im Allgemeinen keine Lösung, es sei denn alle br+1, br+2, ..., bm = 0. Dann liegt wieder der Fall r = m vor.

Sie können nun jedes lösbare lineare Gleichungssystem lösen:

Elementaroperationen anwenden, Normalform herbeiführen, xn aus der letzten Zeile ablesen, in vorletzte einsetzen, System rekursiv lösen. fertig!

oder:

Elementaroperationen anwenden, reduzierte Normalform herbeiführen, Werte der xi ablesen, fertig!

Aber weshalb bei allen Umformungen die Platzhalter xi mitschleppen? Ein lineares Gleichungssystem wird ebenso eindeutig durch die Systemmatrix der Koeffizienten und Konstanten beschrieben

mmnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

a...aa

...............2

1

21

22221

11211

...

...