Lineare GleichungssystemeALGEBRA Kapitel 5

SprachProfil - Mittelstufe KSOe

Ronald BalestraCH - 8046 Zurich

www.ronaldbalestra.ch

14. Marz 2011

Uberblick uber die bisherigen ALGEBRA - Themen:

1 Mengenlehre

1.1 Die Menge im mathematischen Sinne

1.2 Darstellungsformen

1.3 Teilmengen

1.4 Rechnen mit Mengen

1.5 Mengen im Koordinatensystem

1.6 Rechnen in Mengen

2 Termumformungen

2.1 Grundbegriffe

2.2 Einfache Termumformungen

2.3 Das Rechnen mit Polynomen

2.4 Das Rechnen mit Bruchen

3 Gleichungslehre

3.1 Aussagen, Aussageformen & Gleichungen

3.2 Das Losen von Gleichungen

3.3 Lineare Gleichungen & deren Diskussion

3.4 Bruchgleichungen

3.5 Quadratische Gleichungen

3.6 Textaufgaben

3.7 Noch einige Aufgaben

4 Potenzen, Wurzeln & Logarithmen

4.1 Einfuhrung

4.2 Das Rechnen mit Potenzen

4.3 Potenzgleichungen

4.4 Der Logarithmus

4.5 Anwendungen

I

Inhaltsverzeichnis

5 Lineare Gleichungssysteme 15.1 Uberblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Lineare 2× 2 Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3 Das Gauβ’sche Eliminationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . 55.4 Lineare n× n Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.5 Lineare m× n Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.6 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern . . . . . . . . . . . . 13

5.6.1 Weitere Aufgaben zur Diskussion... . . . . . . . . . . . . . 155.7 Textaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.7.1 Mischaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.7.2 Leistungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

II

5 Lineare Gleichungssysteme

5.1 Uberblick

Wir beginnen mit der Repetition der Losungsmethoden von linearen 2× 2 Glei-chungssystemen und werden mit Hilfe der geometrischen Interpretation derenLosbarkeitsbedingungen diskutieren. Neu werden wir das Gauβ’sche Eliminati-onsverfahren kennenlernen, welches vor allem bei lineare n×m Gleichungssyte-men, mit n,m ≥ 3 zur Anwendung kommt.Die Einfuhrung von Parametern in die Gleichungssyteme ermoglicht uns einmalmehr eine Diskussion der Losbarkeitsbedingungen.Wir schliessen dieses Kapitel mit einigen Beispielen zu Textaufgaben.

Begleitend wird die Aufgabensammlung von

Deller/Gebauer/Zinn: Algebra 1, Verlag OrellFussli

verwendet.

5.2 Lineare 2× 2 Gleichungssysteme

Was ist ein lineares 2× 2 Gleichungssystem ?

1

Wir wollen an den folgenden Beispielen unsere Losungsmethoden repetieren:

Beispiel 5.2.1 1.2− y = 3x

3y + 9x = −6

2.−2x+ y = 32x+ 2y = −5

3.2x− 3y = 4−9y + 6x = 12

Aufg.: 17 - 52 ; . . .

2

Mit Hilfe der geometrischen Interpretation eines linearen 2 × 2 Gleichungs-systems wollen wir uns mit der Losbarkeit beschaftigen.

Beispiel 5.2.2 Stelle die folgenden Gleichungssysteme graphisch dar:

1.−2x+ y = 32x+ 2y = −5

-

6

2.2− y = 3x

3y + 9x = −6

-

6

3

3.2x− 3y = 4−9y + 6x = 12

-

6

Wir stellen fest . . .

und fassen zusammen, dass fur die Losbarkeit eines beliebigen linearen 2×2Gleichungssystems

(I) ax+ by = e

(II) cx+ dy = f

der folgende Ausdruck entscheidend ist:

Aufg.: 5 - 16 ; 5, 11s, 12b, 14, 15b, 16a

4

5.3 Das Gauβ’sche Eliminationsverfahren

Wir kommen nun zu einem neuen Losungsverfahren, welches uns das Losenvon Gleichungssystemen hoherer Ordnung sehr vereinfachen wird und beginnenwieder mit einem Beispiel:

Beispiel 5.3.1 Lose das folgende lineare 3× 3 Gleichungssystem

x + 2y + z = 32x − y − z = 2x + y − 2z = 1

1. mit dem Gleichsetzungsverfahren:

2. mit dem Einsetzungsverfahren:

5

.

3. mit dem Gauβverfahren:

Das Losungsverfahren nach Gauβ baut auf den uns schon bekannten Aqui-valenzumformungen auf, welche sind

••

In der Anwendung sieht das dann wie folgt aus:

x + 2y + z = 32x − y − z = 2x + y − 2z = 1

Die Idee des Gauβ-Algorithmus/ Eliminationsverfahrens:

6

5.4 Lineare n× n Gleichungssysteme

Wir sprechen von einem linearen (quadratischen) n×n Gleichungssystem, wenn. . .

Beispiel 5.4.1 Wir werden die folgenden Gleichungssyteme gemeinsamlosen und mogliche Vereinfachungen in den Darstellungenbesprechen:

1.2x + y − 2z = 103x + 2y + 2z = 15x + 4y + 3z = 4

7

2.4x + 7y = 103x + 8z = 133y + 5z = 16

8

Aufgaben : Bestimme die Losungen der folgenden Gleichungs-systeme:

1.x + 2y + 3z = −22x − y + z = 1x − 3y + 2z = 3

2.3x + 2y = 12y − z = 0−8y + 2z = 0

3.3x + 2y = 12y − z = 0−8y + 4z = 0

Aufg.: 133-147, 159 ; . . .

9

Aufgaben : Lose das folgende Gleichungssystem mit Hilfe desGauβ’ Algorithmus:

a + 2b − c + d = −22a + b + 2c − d = 7a − b − c + 2d = −3a + 2b − 2c + d = −4

Aufg.: 149 - 152 ; . . .

10

5.5 Lineare m× n Gleichungssysteme

Wir sprechen von einem linearen m× n Gleichungssystem, wenn . . .

Aufgaben : Gib ein Beispiel eines linearen 4 × 3 Gleichungssy-stems an und lose es mit Hilfe des Gauβ - Verfahren:

11

Aufgaben : Gib ein Beispiel eines linearen 3 × 5 Gleichungssy-stems an und lose es mit Hilfe des Gauβ - Verfahren:

Aufg.: 153 - 155 ; . . .

12

5.6 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern

Neben den Variablen lassen sich in einem Gleichungssytem auch Parametereinfuhren. Die Losungsmethoden bleiben die gleichen, nur die Fragestellungenlassen sich interessanter gestalten:

Beispiel 5.6.1 Bestimme k so, dass das folgende Gleichungssystem

1. genau eine Losung,

2. keine Losung,

3. unendlich viele Losungen

hat:x + 2y + kz = 45x + 6y − 7z = 89x − 10y − 11z = 12

13

Aufgaben : Diskutiere vollstandig das folgende Gleichungssy-stem:

x1 + 2x2 − x3 = 1−2x1 + x2 + x3 = −23x1 + αx2 − x3 = β

Aufg.: 70, 71, 73, 160 ; . . .

14

5.6.1 Weitere Aufgaben zur Diskussion...

1. Bestimme p, so dass genau eine Losung existiert.

(a)px + y = 22x − 3y = 1

(b)2x − 3py = 7x + 2y = 4

(c)x − y = 1px − p2y = 2

(d)5x − 3y = 0px + 4y = 1

(e)5x − 3y = −1px + 4y = 0

(f)5x − 3y = p2

px + 4y = 0

2. Die folgenden Gleichungssysteme sind vollstandig zu diskutieren:(d.h.: Bestimme die Bedingungen, unter welchen das Gleichungssystem keine,

genau ein oder unendliche viele Losungen hat und gib jeweils die Losungen ex-

plizit an.)

(a)3x + 2y = 12y − z = 0−8y + pz = 0

(b)3x + (r + 1)y − p

2z = 26x + 2ry = 4−3x + (1− r)y + (q + p

2 )z = 0

3. Was fur Bedingungen mussen die Parameter a,b und c erfullen, damitdas folgende Gleichungssystem eine Losung hat ?

x + 2y − 3z = a2x + 6y − 11z = bx − 2y + 7z = c

15

Losungen :

1. (a) p 6= − 23

(b) p 6= − 43

(c) p 6= −1 ∧ p 6= 0

(d) = (e ) = (f) p 6= − 203

2. (a) • fur p 6= 4 ∃! Losung: S = (x/y/z) = (13/0/z)

• fur p = 4 ∃∞ Losungen: S = (x/y/z) = (1−z3 / z

3/z), z ∈ R• der Fall, dass keine Losung existiert, tritt nie ein.

(b) • fur p+ q 6= 0 ∃!Losung: S = (x/y/z) = (2− rpp+q/

pp+q/

−2p+q )

• fur p+ q = 0 6 ∃ Losung.

• der Fall, dass ∞ viele Losungen existieren, tritt nie ein.

3. −5a+ 2b+ c = 0

16

5.7 Textaufgaben

Fur das Losen von Textaufgaben mit mehreren Unbekannten gehen wir zurErstellung der Losunsgleichung analog zum Verfahren vor, welches wir schon imKapitel 3 Gleichungslehre kennen gelernt haben . . .

•

•

•

•

und konnen fur das Losen gegebenenfalls das Gauβ’ sche Eliminationsver-fahren anwenden.

Beispiel 5.7.1 Willi und Fritz sind zwei Bruder. Vor 4 Jahren war Willi4mal so alt wie Fritz und in 2 Jahren wird er noch doppeltso alt sein.Wie alt sind die Bruder heute?

17

Beispiel 5.7.2 Eine dreistellige Zahl, deren Wert bei der Vertauschung derbeiden ersten Ziffern nicht andert, hat die Quersumme 15.Werden die letzten beiden Ziffern vertauscht, so nimmt derWert der Zahl um 27 zu.Wie lautet die Zahl?

Aufg.: 163 - 165 ; . . .

18

Beispiel 5.7.3 Bestimme die Parameter a, b und c so, dass die Gleichung

z = ax+ by + c

die folgenden Losungen hat:

(9/8/5), (−4/− 4/− 1), (6/5/2)

Aufg.: 167, 168 ; . . .

19

5.7.1 Mischaufgaben

Nicht vergessen: Die Moglichkeit der Anwendung des Prinzips der Drei- bzw.Zweisatzen:

Beispiel 5.7.4 Wir betrachten 5kg einer 4%igen Sole, d.h.:

1. Mit wieviel kg Wasser muss die Sole erganzt werden,damit der Salzgehalt auf 3% sinkt?

2. Wieviel kg Salz muss der verdunnten Losung beigege-ben werden, damit der Salzgehalt wieder bei 4% liegt?

3. Wieviel kg einer 1%igen Sole mussen nun zugefuhrtwerden, um eine 2%ige Salzlosung zu erhalten?

20

Aufgaben : Wir gehen von 10kg einer 3%igen Sole aus.

1. Wieviel kg Wasser sind in der Sole enthalten ?

2. Wie gross ist der Salzanteil (in %) wenn derursprunglichen Sole

(a) . . . 2.5 kg Wasser zugefuhrt werden.

(b) . . . 15g Salz zugefuhrt werden.

(c) . . . 1 kg Wasser entzogen werden.

(d) . . . 12g Salz entzogen werden.

(e) . . . 2kg einer 4%igen Sole zugefuhrt wer-den.

21

5.7.2 Leistungsaufgaben

Wir wollen uns mit den folgenden Fragen an das Losungsverfahren von Lei-stungsaufgaben heranarbeiten und gehen von folgender Situation aus:

• Ein Behalter hat zwei Zuleitungen Aund B.Die Leitung A fullt den Behalter in 3Stunden, die Leitung B in 10 Stunden.

– Wie weit fullt sich der Behalter, wenn beide Leitungen 1 Stundegeoffnet sind ?

– Wie weit fullt sich der Behalter, wenn beide Leitungen 2 Stundengeoffnet sind ?

– Wie lange mussen beide Leitungen gleichzeitig geoffnet bleiben, umden Behalter ganz zu fullen?

– Die Leitung A wird nach 2 Stunden geschlossen und dafur B geoffnet.Wie lange muss B geoffnet bleiben um den Behalter zu fullen ?

– Nachdem B schon eine 1/2 Stunde lauft, wird die Leitung A nochzugeschaltet.Wie lange dauert es noch, bis der Behalter zur Halfte gefullt ist ?

22

• Ein Behalter hat dieses mal drei Zu-leitungen, wobei die Leitung A denBehalter in 3 Stunden zur Halfte, dieLeitung B den Behalter in 4 Stundenganz und die Leitung C den Behalter in2 Stunden zu einem Viertel fullt.

– Wie weit fullt sich der Behalter, wenn alle drei Leitungen wahrendeiner Stunde geoffnet sind ?

– Wie lange mussen alle drei Leitungen gleichzeitig geoffnet bleiben,um den Behalter ganz zu fullen ?

– Die Leitung A wird nach einer 1/2 Stunde geschlossen, anschliessendwird die Leitung B fur 1 Stunde geoffnet.Wie lange muss die Leitung C jetzt noch geoffnet werden, um denBehalter ganz zu fullen ?

– Nachdem die Leitung A schon wahrend einer 1/2 Stunde lauft, wirddie Leitung B zugeschaltet. Nach einer weiteren Stunde wird nochdie Leitung C geoffnet.Wie lange sind die drei Leitungen gleichzeitig geoffnet, um den Behalterganz zu fullen ?

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Beispiel 5.7.5 Ein Wasserbehalter kann durch die drei Zuleitungen A,Bund C gefullt werden, und zwar durch A und B in c Minu-ten, durch A und C in b Minuten und durch B und C in aMinuten.

In wieviel Minuten kann der Behalter durch jede Lei-tung einzeln gefullt werden?

In wieviel Minuten kann der Behalter durch alle dreiLeitungen gemeinsam gefullt werden?

Aufg.: 170

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