mechanik mathematische grundlagen und begriffe: formel? funktion gleichung definition kausalität

Mechanik

Mathematische Grundlagen und Begriffe:

Formel?

Funktion

Gleichung Definition

Kausalität

Bogenmaß eines Winkels

1r

360

2

123600

GradBogen

rr

Sinus und Cosinus

1r

x

y

asin

cos

Das Argument der periodischen Funktion wird als Phase bezeichnet.

Phasenverschiebung (π/2)

Die Ableitung, das Integral

y

t

t

y

)()()(

tytydt

tdy

t

y

t

n

n

dtytytytyty

yyyty

0

10

10

)(

)(

Das kartesische Koordinatensystem

x

y

z

))(),(),(( tztytxP

)(tx

)(ty

)(tz)(tr

Weitere orthogonale Koordinatensysteme

Zylinderkoordinaten KugelkoordinatenKartesisches Koordinatensystem

Physikalische Größe:

Multiplikative Kombination aus Zahl(en) und Maßeinheit

• Größen mit verschiedenen Einheiten können nicht addiert bzw. subtrahiert werden,

• sie können jedoch multipliziert und dividiert werden. Dabei entstehen neue physikalische Größen.

• Maßeinheitenbehaftete Größen können nicht Argument von Winkelfunktionen, Exponentialfunktionen, ... sein.

Skalar

Ist die betreffende physikalische Größe durch die Angabe einer einzigen Zahl und der Maßeinheit festgelegt, dann wird sie als Skalar bezeichnet. Viele physikalische Größen sind Funktionen der Koordinaten (und der Zeit). In diesem Fall sprechen wir von einem skalaren Feld.

Beispiele: Temperatur, Druck, Dichte, Konzentration

Der Vektor

a

+ Richtung, durch drei Zahlen festgelegt

z. b. Abstand, Längengrad und Breitengrad

Eine große Zahl physikalischer Größen sind gerichtete Größen. Diese werden als Vektoren bezeichnet.

Sind die Vektoren Funktionen der Koordinaten sprechen wir von einem Vektorfeld.

Beispiele: Strömung, elektrische Feldstärke

Der Winkel als Vektor

Vektor, hier Strecke r, beschrieben durch drei Zahlenangaben (Koordinaten: x, y, z oder rx, ry, rz)

Addition und Subtraktion

Multiplikation (r1, r2), Skalares Produkt

Vektorprodukt

Geschwindigkeit

x

t

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dx

dt

sdv

txdt

dx

t

xv

t

xv

tx

x

))´((lim0

Bewegung

Beschleunigung - Änderung der Geschwindigkeit

2

2

dt

sd

dt

vda

00

0

2

2

²2

stvta

s

vtadt

sd

adt

sdUmkehrung durch Integration

Weg-Zeit Gesetz für beschleunigte Bewegung

1.3. Newtonsche Axiome

• Begriff der Kraft

• Inertialsystem

1. Trägheitsprinzip Versuch

2. Beschleunigungsprinzip

3. Reaktionsprinzip Versuch

actio = reactio

.0 constvF

amF „träge“ Masse, Einheit der Kraft

²11

s

mkgN

Schwerefeld der Erde

Erdanziehungskraft:²

81,9*

s

mggmF

*m „schwere“ Masse (Schwerkraft)

*mm h

h0

g00

*

²2

)( htvtg

th

ga

gmam

Anfangsgeschwindigkeit v0

Aufgabe:

Unter welchem Winkel muss ein Grashüpfer abspringen, damit er maximal weit springt?

gmr

MmF

mr

kgM

r

mmF

2

6

24

221

1036,6

1095,5

Erde:

²1067,6

² 311

skg

m

M

rg

Gravitationsgesetz

Gravitationskonstante

dt

pd

dt

vmd

dt

vdmamF

)(

Kraft bewirkt Impulsänderung!

Kraft = Gegenkraft!

Δp 0

0

Δp

tFp

1.4. Erhaltungssätze des Impulses und der Energie

.constvmpP

vmp

i

iii

i

In einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtimpuls erhalten.Beispiel: Rückstoßprinzip

1

2

12

22110

vm

mv

vmvmPPotentielle und kinetische Energie

.constTU 2

21 mvT

EnergieePotentiellU hängt nur von Koordinaten ab

Arbeit und potentielle Energie:

2

1

s

s

sdFW

sFW

sFW

Kraft mal Weg

Kraft nicht konstant, bzw. Weg ändert Richtung bezüglich Kraft

Integration

Ugradrd

rdUF

UW

)(

Wende ich Arbeit auf (W<0), erhöht sich die potentielle Energie U. Potentielle Energie (Lageenergie) entspricht der Fähigkeit des Systems Arbeit zu verrichten. Vorzeichen ergibt

sich aus außensystem FF

A

B

C

2sd

2F1sd

1F

Js

mkgmNW

²

²

F ist die Kraft, die das System ausübt.

Sonderfall Schwerefeld der Erde:

Es wird ein Körper im Schwerefeld der Erde, d. h. gegen die Schwerkraft bewegt. Dabei wird seine Lage verändert und gleichzeitig Arbeit verrichtet. Damit ändert sich die potentielle Energie des Körpers. Wir berechnen die Änderung der potentiellen Energie bei einer Bewegung entlang eines beliebigen Weges:

hmghhmgW

sdgmsdFWs

s

s

s

)( 12

2

1

2

1

Die Arbeit hängt nicht vom gewählten Weg ab, sondern nur von der Höhendifferenz.

Arbeit hängt nur von Anfangs- und Endpunkt ab Potentialfeld

Man berechne, wie viel Arbeit verrichtet wird, wenn man bei einer Gebirgswanderung eine Höhendifferenz von 1000 m überwindet?

Wie viel muss man von einem Nahrungsmittel zu sich nehmen, um die aufgewendete Energie dem Körper wieder zuzuführen?

Ein Auto prallt mit 30 km/h gegen ein Hindernis.

Von welcher Höhe müsste man fallen, um einen gleich großen Aufprall zu erleiden?

Beispiel Auftriebskraft

h

gVF

hFhgVW

hgmhgmW

w

w

w

)(

)(

schweben, schwimmen, sinken

1.5. Rotationsbewegung

x

y

α

v

t

t

tf

~

)(

t

Winkelgeschwindigkeit

Freiheitsgrad

nf2

x

y

α

v

)(tx

)(ty

r

)sin())(sin()(

)cos())(cos()(

trtrty

trtrtx

)²()²(

²)²(sin)²(cos²)²()²(

tytxr

rttrtytx

x

y

α

v

)(tx

)(ty

)cos(

)sin(

trdt

dyv

trdt

dxv

y

x

rttrvvv yx )²(cos)²(sin22

.²

)sin(²)(

)cos(²)(

constra

trdt

tdvya

trdt

tdva

y

xx

y

α

v

)(tx

)(ty

Radialbeschleunigung ist stets nach innen gerichtet.

Die Rotation ist ihrem Wesen nach eine beschleunigte Bewegung!

Beschleunigung Kraft

rmamF ²Zentripetalkraft

Zentrifugalkraft

Kinetische Energie:

i

r

v

ii dVrrdmrrmJ

mrJ

JrmmvT

max

0

2 )(²²

²

²2

1²²

2

1²

2

1

Trägheitsmoment

Trägheitsmoment einer Kugel:

Zylinder:

²5

2mRJ

²2

1mRJ

Um den Hämatokritwert zu bestimmen wird eine Zentrifuge benutzt. Wie hoch ist die Drehzahl zu wählen, damit bei einem Rotorradius von 5 cm die vorgegebene Beschleunigung von 10 000 ● g erreicht wird? welche kinetische Energie besitzt die Zentrifuge nach Erreichen der Drehzahl? Der Rotor ist als zylindrischer Körper anzunehmen?

An einem Autorad ist ein Ausgleichsgewicht von 20 g verloren gegangen. Wie wirkt sich das bei einer Geschwindigkeit von 100 km/h aus? Man berechne die resultierende Zentrifugalkraft.

1.6. Drehmoment und Drehimpuls

x

y

α

v

)(tx

)(ty

F

r

FrM

Kraft Drehmoment sin FrM

Newton´sches Axiom:

dt

pdF

dt

pd

dt

vmd

dt

vdmamF

)(

Eine Kraft, die auf einen Körper einwirkt, ändert seinen Impuls.

dt

LdM

dt

Ldpr

dt

d

dt

pdrFrM

prL Drehimpuls

Ein Drehmoment, das auf einen Körper einwirkt, ändert seinen Drehimpuls.

²

)sin()sin(

rmL

rmrvmrprL

Drehimpulserhaltungssatz:

In einem abgeschlossenen System bleibt die Summe aller Drehimpulse aller Körper konstant.

.constLi

i Vektor, d.h. drei Komponenten bleiben für sich konstant.

Für Kreisbahn

dt

LdM

Wir untersuchen folgenden Fall genauer:

Auf ein sich drehenden Körper wirkt ein zusätzliches Drehmoment

Der Drehimpuls muss sich ändern!

L

r

mg

M

L

Der Kreisel ändert die Rotationsachse

Präzession!

präzessiert

L

gm

rM L

Fahrrad beschreibt eine Linkskurve.

Ein Fahrradfahrer fährt mit 20 km/h. Unter welchem Winkel muss er sich seitlich neigen, um eine Kurve mit dem Radius von 10 m zu beschreiben?

Hebel

1r 2r

Drehachse

1F 2F

2211 FrFr

Erläutern Sie am Beispiel einer Zange die wirkenden Kräfte und Hebelarme!