mechanik mathematische grundlagen und begriffe: formel? funktion gleichung definition kausalität
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Mechanik
Mathematische Grundlagen und Begriffe:
Formel?
Funktion
Gleichung Definition
Kausalität
Bogenmaß eines Winkels
1r
360
2
123600
GradBogen
rr
Sinus und Cosinus
1r
x
y
asin
cos
Das Argument der periodischen Funktion wird als Phase bezeichnet.
Phasenverschiebung (π/2)
Die Ableitung, das Integral
y
t
t
y
)()()(
tytydt
tdy
t
y
t
n
n
dtytytytyty
yyyty
0
10
10
)(
)(
Das kartesische Koordinatensystem
x
y
z
))(),(),(( tztytxP
)(tx
)(ty
)(tz)(tr
Weitere orthogonale Koordinatensysteme
Zylinderkoordinaten KugelkoordinatenKartesisches Koordinatensystem
Physikalische Größe:
Multiplikative Kombination aus Zahl(en) und Maßeinheit
• Größen mit verschiedenen Einheiten können nicht addiert bzw. subtrahiert werden,
• sie können jedoch multipliziert und dividiert werden. Dabei entstehen neue physikalische Größen.
• Maßeinheitenbehaftete Größen können nicht Argument von Winkelfunktionen, Exponentialfunktionen, ... sein.
Skalar
Ist die betreffende physikalische Größe durch die Angabe einer einzigen Zahl und der Maßeinheit festgelegt, dann wird sie als Skalar bezeichnet. Viele physikalische Größen sind Funktionen der Koordinaten (und der Zeit). In diesem Fall sprechen wir von einem skalaren Feld.
Beispiele: Temperatur, Druck, Dichte, Konzentration
Der Vektor
a
+ Richtung, durch drei Zahlen festgelegt
z. b. Abstand, Längengrad und Breitengrad
Eine große Zahl physikalischer Größen sind gerichtete Größen. Diese werden als Vektoren bezeichnet.
Sind die Vektoren Funktionen der Koordinaten sprechen wir von einem Vektorfeld.
Beispiele: Strömung, elektrische Feldstärke
Der Winkel als Vektor
Vektor, hier Strecke r, beschrieben durch drei Zahlenangaben (Koordinaten: x, y, z oder rx, ry, rz)
Addition und Subtraktion
Multiplikation (r1, r2), Skalares Produkt
Vektorprodukt
Geschwindigkeit
x
t
kdt
dzj
dt
dyi
dt
dx
dt
sdv
txdt
dx
t
xv
t
xv
tx
x
))´((lim0
Bewegung
Beschleunigung - Änderung der Geschwindigkeit
2
2
dt
sd
dt
vda
00
0
2
2
²2
stvta
s
vtadt
sd
adt
sdUmkehrung durch Integration
Weg-Zeit Gesetz für beschleunigte Bewegung
1.3. Newtonsche Axiome
• Begriff der Kraft
• Inertialsystem
1. Trägheitsprinzip Versuch
2. Beschleunigungsprinzip
3. Reaktionsprinzip Versuch
actio = reactio
.0 constvF
amF „träge“ Masse, Einheit der Kraft
²11
s
mkgN
Schwerefeld der Erde
Erdanziehungskraft:²
81,9*
s
mggmF
*m „schwere“ Masse (Schwerkraft)
*mm h
h0
g00
*
²2
)( htvtg
th
ga
gmam
Anfangsgeschwindigkeit v0
Aufgabe:
Unter welchem Winkel muss ein Grashüpfer abspringen, damit er maximal weit springt?
gmr
MmF
mr
kgM
r
mmF
2
6
24
221
1036,6
1095,5
Erde:
²1067,6
² 311
skg
m
M
rg
Gravitationsgesetz
Gravitationskonstante
dt
pd
dt
vmd
dt
vdmamF
)(
Kraft bewirkt Impulsänderung!
Kraft = Gegenkraft!
Δp 0
0
Δp
tFp
1.4. Erhaltungssätze des Impulses und der Energie
.constvmpP
vmp
i
iii
i
In einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtimpuls erhalten.Beispiel: Rückstoßprinzip
1
2
12
22110
vm
mv
vmvmPPotentielle und kinetische Energie
.constTU 2
21 mvT
EnergieePotentiellU hängt nur von Koordinaten ab
Arbeit und potentielle Energie:
2
1
s
s
sdFW
sFW
sFW
Kraft mal Weg
Kraft nicht konstant, bzw. Weg ändert Richtung bezüglich Kraft
Integration
Ugradrd
rdUF
UW
)(
Wende ich Arbeit auf (W<0), erhöht sich die potentielle Energie U. Potentielle Energie (Lageenergie) entspricht der Fähigkeit des Systems Arbeit zu verrichten. Vorzeichen ergibt
sich aus außensystem FF
A
B
C
2sd
2F1sd
1F
Js
mkgmNW
²
²
F ist die Kraft, die das System ausübt.
Sonderfall Schwerefeld der Erde:
Es wird ein Körper im Schwerefeld der Erde, d. h. gegen die Schwerkraft bewegt. Dabei wird seine Lage verändert und gleichzeitig Arbeit verrichtet. Damit ändert sich die potentielle Energie des Körpers. Wir berechnen die Änderung der potentiellen Energie bei einer Bewegung entlang eines beliebigen Weges:
hmghhmgW
sdgmsdFWs
s
s
s
)( 12
2
1
2
1
Die Arbeit hängt nicht vom gewählten Weg ab, sondern nur von der Höhendifferenz.
Arbeit hängt nur von Anfangs- und Endpunkt ab Potentialfeld
Man berechne, wie viel Arbeit verrichtet wird, wenn man bei einer Gebirgswanderung eine Höhendifferenz von 1000 m überwindet?
Wie viel muss man von einem Nahrungsmittel zu sich nehmen, um die aufgewendete Energie dem Körper wieder zuzuführen?
Ein Auto prallt mit 30 km/h gegen ein Hindernis.
Von welcher Höhe müsste man fallen, um einen gleich großen Aufprall zu erleiden?
Beispiel Auftriebskraft
h
gVF
hFhgVW
hgmhgmW
w
w
w
)(
)(
schweben, schwimmen, sinken
1.5. Rotationsbewegung
x
y
α
v
t
t
tf
~
)(
t
Winkelgeschwindigkeit
Freiheitsgrad
nf2
x
y
α
v
)(tx
)(ty
r
)sin())(sin()(
)cos())(cos()(
trtrty
trtrtx
)²()²(
²)²(sin)²(cos²)²()²(
tytxr
rttrtytx
x
y
α
v
)(tx
)(ty
)cos(
)sin(
trdt
dyv
trdt
dxv
y
x
rttrvvv yx )²(cos)²(sin22
.²
)sin(²)(
)cos(²)(
constra
trdt
tdvya
trdt
tdva
y
xx
y
α
v
)(tx
)(ty
Radialbeschleunigung ist stets nach innen gerichtet.
Die Rotation ist ihrem Wesen nach eine beschleunigte Bewegung!
Beschleunigung Kraft
rmamF ²Zentripetalkraft
Zentrifugalkraft
Kinetische Energie:
i
r
v
ii dVrrdmrrmJ
mrJ
JrmmvT
max
0
2 )(²²
²
²2
1²²
2
1²
2
1
Trägheitsmoment
Trägheitsmoment einer Kugel:
Zylinder:
²5
2mRJ
²2
1mRJ
Um den Hämatokritwert zu bestimmen wird eine Zentrifuge benutzt. Wie hoch ist die Drehzahl zu wählen, damit bei einem Rotorradius von 5 cm die vorgegebene Beschleunigung von 10 000 ● g erreicht wird? welche kinetische Energie besitzt die Zentrifuge nach Erreichen der Drehzahl? Der Rotor ist als zylindrischer Körper anzunehmen?
An einem Autorad ist ein Ausgleichsgewicht von 20 g verloren gegangen. Wie wirkt sich das bei einer Geschwindigkeit von 100 km/h aus? Man berechne die resultierende Zentrifugalkraft.
1.6. Drehmoment und Drehimpuls
x
y
α
v
)(tx
)(ty
F
r
FrM
Kraft Drehmoment sin FrM
Newton´sches Axiom:
dt
dt
pd
dt
vmd
dt
vdmamF
)(
Eine Kraft, die auf einen Körper einwirkt, ändert seinen Impuls.
dt
LdM
dt
Ldpr
dt
d
dt
pdrFrM
prL Drehimpuls
Ein Drehmoment, das auf einen Körper einwirkt, ändert seinen Drehimpuls.
²
)sin()sin(
rmL
rmrvmrprL
Drehimpulserhaltungssatz:
In einem abgeschlossenen System bleibt die Summe aller Drehimpulse aller Körper konstant.
.constLi
i Vektor, d.h. drei Komponenten bleiben für sich konstant.
Für Kreisbahn
dt
LdM
Wir untersuchen folgenden Fall genauer:
Auf ein sich drehenden Körper wirkt ein zusätzliches Drehmoment
Der Drehimpuls muss sich ändern!
L
r
mg
M
L
Der Kreisel ändert die Rotationsachse
Präzession!
präzessiert
L
gm
rM L
Fahrrad beschreibt eine Linkskurve.
Ein Fahrradfahrer fährt mit 20 km/h. Unter welchem Winkel muss er sich seitlich neigen, um eine Kurve mit dem Radius von 10 m zu beschreiben?
Hebel
1r 2r
Drehachse
1F 2F
2211 FrFr
Erläutern Sie am Beispiel einer Zange die wirkenden Kräfte und Hebelarme!