persamaan diferensial parsial cnh3c3 - simulation...

Tim Ilmu Komputasi

Coordinator contact:Dr. Putu Harry Gunawanphgunawan@telkomuniversity.ac.id

Persamaan Diferensial

Parsial CNH3C3Week 4: Separasi Variabel

untuk Persamaan Panas OrdeSatu

1 Persamaan Panas 1D

2 Separasi Variabel

3 Contoh

4 Latihan

5 Perhatian!

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Sebuah batang besi tipis dengan panjang L dipanaskan dengan apidi bagian tengah besi sedangkan ujung kiri dan kanan besidipertahankan dalam suhu dingin yakni 00C (lihat Gambar di bawahini).

Sehingga nantinya dapat diamati bahwa besarnya temperatur didaerah tengah besi akan lebih besar dibandingkan dengan daerahlainnya. Selanjutnya, pada waktu tertentu atau waktu akhirpengamatan, api dipadamkan dan pengamatan dilanjutkan denganmengukur penyebaran panas dari tengah ke bagian lainnya selamaproses pendinginan.

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Sebuah batang besi tipis dengan panjang L dipanaskan dengan apidi bagian tengah besi sedangkan ujung kiri dan kanan besidipertahankan dalam suhu dingin yakni 00C (lihat Gambar di bawahini).

Sehingga nantinya dapat diamati bahwa besarnya temperatur didaerah tengah besi akan lebih besar dibandingkan dengan daerahlainnya.

Selanjutnya, pada waktu tertentu atau waktu akhirpengamatan, api dipadamkan dan pengamatan dilanjutkan denganmengukur penyebaran panas dari tengah ke bagian lainnya selamaproses pendinginan.

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Sebuah batang besi tipis dengan panjang L dipanaskan dengan apidi bagian tengah besi sedangkan ujung kiri dan kanan besidipertahankan dalam suhu dingin yakni 00C (lihat Gambar di bawahini).

Sehingga nantinya dapat diamati bahwa besarnya temperatur didaerah tengah besi akan lebih besar dibandingkan dengan daerahlainnya. Selanjutnya, pada waktu tertentu atau waktu akhirpengamatan, api dipadamkan dan pengamatan dilanjutkan denganmengukur penyebaran panas dari tengah ke bagian lainnya selamaproses pendinginan.

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, makaformulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domainΩ = [0 : 1] adalah sebagai berikut

∂u(x , t)

∂t= µ

∂2u(x , t)

∂x2+ Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)

u(0, x) = f (x , ) x ∈ [0, 1] (1.2)

u(x , t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ 0, 1 (1.3)

dengan u(x , t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam(internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas(boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang danwaktu berurutan.

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, makaformulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domainΩ = [0 : 1] adalah sebagai berikut

∂u(x , t)

∂t= µ

∂2u(x , t)

∂x2+ Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)

u(0, x) = f (x , ) x ∈ [0, 1] (1.2)

u(x , t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ 0, 1 (1.3)

dengan u(x , t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam(internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas(boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang danwaktu berurutan.

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, makaformulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domainΩ = [0 : 1] adalah sebagai berikut

∂u(x , t)

∂t= µ

∂2u(x , t)

∂x2+ Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)

u(0, x) = f (x , ) x ∈ [0, 1] (1.2)

u(x , t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ 0, 1 (1.3)

dengan u(x , t) merupakan temperatur,

Q(x) sumber dalam(internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas(boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang danwaktu berurutan.

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, makaformulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domainΩ = [0 : 1] adalah sebagai berikut

∂u(x , t)

∂t= µ

∂2u(x , t)

∂x2+ Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)

u(0, x) = f (x , ) x ∈ [0, 1] (1.2)

u(x , t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ 0, 1 (1.3)

dengan u(x , t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam(internal source),

f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas(boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang danwaktu berurutan.

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, makaformulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domainΩ = [0 : 1] adalah sebagai berikut

∂u(x , t)

∂t= µ

∂2u(x , t)

∂x2+ Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)

u(0, x) = f (x , ) x ∈ [0, 1] (1.2)

u(x , t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ 0, 1 (1.3)

dengan u(x , t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam(internal source), f (x) distribusi awal panas,

g(x) fungsi batas(boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang danwaktu berurutan.

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, makaformulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domainΩ = [0 : 1] adalah sebagai berikut

∂u(x , t)

∂t= µ

∂2u(x , t)

∂x2+ Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)

u(0, x) = f (x , ) x ∈ [0, 1] (1.2)

u(x , t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ 0, 1 (1.3)

dengan u(x , t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam(internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas(boundary),

µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang danwaktu berurutan.

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, makaformulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domainΩ = [0 : 1] adalah sebagai berikut

∂u(x , t)

∂t= µ

∂2u(x , t)

∂x2+ Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)

u(0, x) = f (x , ) x ∈ [0, 1] (1.2)

u(x , t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ 0, 1 (1.3)

dengan u(x , t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam(internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas(boundary), µ koesien difusi,

x and t menyatakan ruang danwaktu berurutan.

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, makaformulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domainΩ = [0 : 1] adalah sebagai berikut

∂u(x , t)

∂t= µ

∂2u(x , t)

∂x2+ Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)

u(0, x) = f (x , ) x ∈ [0, 1] (1.2)

u(x , t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ 0, 1 (1.3)

dengan u(x , t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam(internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas(boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang danwaktu berurutan.

Persamaan Panas 1D

Persamaan Panas

Untuk menyederhanakan persamaan diatas (Q(x) = 0), maka kitadapat menulis ulang persamaan (1.1-1.3) menjadi:

∂u

∂t= µ

∂2u

∂x2, x ∈ (0, 1), t > 0 (1.4)

u(x , 0) = f (x), x ∈ [0, 1] (1.5)

u(0, t) = 0, u(1, t) = 0. t ≥ 0 (1.6)

Persamaan Panas 1D

Persamaan Panas

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi separasi adalah solusi dari persamaan (1.4-1.6) dalam bentuk

u(x , t) = X (x)T (t). (2.1)

Penting bahwa variabel bebas dinotasikan dengan huruf kecilsedangkan fungsi dengan huruf kapital. Tujuan pertama kita adalahmencari kemungkinan solusi separasi sebanyak mungkin.

Separasi Variabel

Separasi variabel

Substitusikan persamaan

u(x , t) = X (x)T (t). (2.2)

ke dalam

∂u

∂t= µ

∂2u

∂x2(2.3)

didapat

X (x)T ′(t) = µX ′′(x)T (t),

Separasi Variabel

Separasi variabel

Substitusikan persamaan

u(x , t) = X (x)T (t). (2.2)

ke dalam

∂u

∂t= µ

∂2u

∂x2(2.3)

didapatX (x)T ′(t) = µX ′′(x)T (t),

Separasi Variabel

Separasi variabel

Selanjutnya kita bagi dengan µX (x)T (t), didapat

T ′(t)

µT (t)=

X ′′(x)

X (x). (2.4)

Dapat kita lihat bahwa persamaan di sebelah kiri semuanyabergantung pada t dan sebaliknya di sebelah kanan semuabergantung pada x . Bagaimana mungkin fungsi yang bergantungpada waktu, sama dengan fungsi yang bergantung pada spasial?Jika variabel x dan t merupakan sembarang variabel bebas, maka x

tidak dapat menjadi fungsi dari t dan sebaliknya.

Separasi Variabel

Separasi variabel

Selanjutnya kita bagi dengan µX (x)T (t), didapat

T ′(t)

µT (t)=

X ′′(x)

X (x). (2.4)

Dapat kita lihat bahwa persamaan di sebelah kiri semuanyabergantung pada t dan sebaliknya di sebelah kanan semuabergantung pada x .

Bagaimana mungkin fungsi yang bergantungpada waktu, sama dengan fungsi yang bergantung pada spasial?Jika variabel x dan t merupakan sembarang variabel bebas, maka x

tidak dapat menjadi fungsi dari t dan sebaliknya.

Separasi Variabel

Separasi variabel

Selanjutnya kita bagi dengan µX (x)T (t), didapat

T ′(t)

µT (t)=

X ′′(x)

X (x). (2.4)

Dapat kita lihat bahwa persamaan di sebelah kiri semuanyabergantung pada t dan sebaliknya di sebelah kanan semuabergantung pada x . Bagaimana mungkin fungsi yang bergantungpada waktu, sama dengan fungsi yang bergantung pada spasial?

Jika variabel x dan t merupakan sembarang variabel bebas, maka x

tidak dapat menjadi fungsi dari t dan sebaliknya.

Separasi Variabel

Separasi variabel

Selanjutnya kita bagi dengan µX (x)T (t), didapat

T ′(t)

µT (t)=

X ′′(x)

X (x). (2.4)

Dapat kita lihat bahwa persamaan di sebelah kiri semuanyabergantung pada t dan sebaliknya di sebelah kanan semuabergantung pada x . Bagaimana mungkin fungsi yang bergantungpada waktu, sama dengan fungsi yang bergantung pada spasial?Jika variabel x dan t merupakan sembarang variabel bebas, maka x

tidak dapat menjadi fungsi dari t dan sebaliknya.

Separasi Variabel

Separasi variabel

Maka dari itu, kita perlu mengklaim bahwa kedua sisi (2.4)haruslah sama dengan suatu konstanta yang sama, yakni

T ′(t)

µT (t)= −λ =

X ′′(x)

X (x), (2.5)

dengan λ adalah sembarang bilangan konstan yang disebut dengankonstanta separasi (the separation constant).

Tanda negatifdiberikan untuk mempermudah dalam pencarian solusi, kita akanbahas selanjutnya mengapa tanda minus ini berguna.

Separasi Variabel

Separasi variabel

Maka dari itu, kita perlu mengklaim bahwa kedua sisi (2.4)haruslah sama dengan suatu konstanta yang sama, yakni

T ′(t)

µT (t)= −λ =

X ′′(x)

X (x), (2.5)

dengan λ adalah sembarang bilangan konstan yang disebut dengankonstanta separasi (the separation constant). Tanda negatifdiberikan untuk mempermudah dalam pencarian solusi, kita akanbahas selanjutnya mengapa tanda minus ini berguna.

Separasi Variabel

Separasi variabel

Dari (2.5), kita mendapatkan dua buah persamaan diferensial biasa(PDB):

X ′′(x) + λX (x) = 0, (2.6)

T ′(t) + λµT (t) = 0. (2.7)

Tugas sekarang adalah mencari solusi dari PDB di atas!

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.6) cara I

Misalkan λ = β2, dengan β > 0 sehingga

X ′′(x) + λX (x) = 0, (2.8)

memiliki solusi,

X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.9)

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.6) cara I

Misalkan λ = β2, dengan β > 0 sehingga

X ′′(x) + λX (x) = 0, (2.8)

memiliki solusi,

X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.9)

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.6) cara I

X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.10)

Akan tetapi dengan melakukan substitusi kondisi batas (nilai = 0)ke rumus (2.10) didapat:

0 = X (0) = A dan 0 = X (L) = B sin(βL).

Tentu saja kita tidak mengharapkan nilai A = B = 0 karena tidakakan menarik, sehingga yang diharapkan adalah sin(βL) = 0. Jadidapat dilakukan dengan mengubah akar fungsi sinusoidal βL = kπ,untuk k = 1, 2, · · · . Sehingga didapat

λk = β2 =

(kπ

L

)2

, dan Xk(x) = sin

(kπx

L

). (2.11)

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.6) cara I

X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.10)

Akan tetapi dengan melakukan substitusi kondisi batas (nilai = 0)ke rumus (2.10) didapat:

0 = X (0) = A dan 0 = X (L) = B sin(βL).

Tentu saja kita tidak mengharapkan nilai A = B = 0 karena tidakakan menarik, sehingga yang diharapkan adalah sin(βL) = 0. Jadidapat dilakukan dengan mengubah akar fungsi sinusoidal βL = kπ,untuk k = 1, 2, · · · . Sehingga didapat

λk = β2 =

(kπ

L

)2

, dan Xk(x) = sin

(kπx

L

). (2.11)

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.6) cara I

X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.10)

Akan tetapi dengan melakukan substitusi kondisi batas (nilai = 0)ke rumus (2.10) didapat:

0 = X (0) = A dan 0 = X (L) = B sin(βL).

Tentu saja kita tidak mengharapkan nilai A = B = 0 karena tidakakan menarik, sehingga yang diharapkan adalah sin(βL) = 0.

Jadidapat dilakukan dengan mengubah akar fungsi sinusoidal βL = kπ,untuk k = 1, 2, · · · . Sehingga didapat

λk = β2 =

(kπ

L

)2

, dan Xk(x) = sin

(kπx

L

). (2.11)

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.6) cara I

X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.10)

Akan tetapi dengan melakukan substitusi kondisi batas (nilai = 0)ke rumus (2.10) didapat:

0 = X (0) = A dan 0 = X (L) = B sin(βL).

Tentu saja kita tidak mengharapkan nilai A = B = 0 karena tidakakan menarik, sehingga yang diharapkan adalah sin(βL) = 0. Jadidapat dilakukan dengan mengubah akar fungsi sinusoidal βL = kπ,untuk k = 1, 2, · · · . Sehingga didapat

λk = β2 =

(kπ

L

)2

, dan Xk(x) = sin

(kπx

L

). (2.11)

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.6) cara II

Seperti dijelaskan sebelumnya, kita menggunakan tanda minus padaλ pada persamaan (2.5) untuk mempermudah solusi danmenetapkan bahwa konstanta yang dipilih adalah konstanta positifλ > 0, jadi persamaan (2.6) dapat dibentuk menjadi

−X ′′(x) = λX (x),

LX = λX .

Sehingga fungsi X (x) merupakan fungsi eigen, yang memiliki solusi

λk =

(kπ

L

)2

, dan Xk(x) = sin

(kπx

L

). (2.12)

(Masalah nilai eigen dapat di review kembali pada matakuliahPDB/PDA)

Separasi Variabel

Masalah Nilai Eigen (Review)Lema 1.1

Lema

Nilai dan fungsi eigen dari masalah

−u′′(x) = f (x), x ∈ (0, L), u(0) = u(L) = 0 (2.13)

diberikan sebagai berikut

λk =

(kπ

L

)2

dan uk(x) = sin

(kπx

L

)∀k = 1, 2, · · · ,

(2.14)

Proof.

Bukti dari lema ini dapat ditemukan di buku Tveito, et al. untuklebih lengkapnya.

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.7)

Solusi PDB,T ′(t) + λµT (t) = 0,

berupa

T (t) = Ae−λµt ,

dan dapat dibentuk menjadi

Tk(t) = Ake−λkµt = Ake

−( kπL

)2

µt for k = 1, 2, · · · , (2.15)

dengan Ak adalah sembarang konstan.

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.7)

Solusi PDB,T ′(t) + λµT (t) = 0,

berupaT (t) = Ae−λµt ,

dan dapat dibentuk menjadi

Tk(t) = Ake−λkµt = Ake

−( kπL

)2

µt for k = 1, 2, · · · , (2.15)

dengan Ak adalah sembarang konstan.

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi umum PDP panas

Pada akhirnya, terdapat tak hingga banyaknya solusi separasiuntuk persamaan panas (1.4-1.5),

uk(x , t) = Ake−( kπ

L)2

µt sin

(kπx

L

)for k = 1, 2, · · · . (2.16)

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi umum PDP panas

Pada akhirnya, terdapat tak hingga banyaknya solusi separasiuntuk persamaan panas (1.4-1.5),

uk(x , t) = Ake−( kπ

L)2

µt sin

(kπx

L

)for k = 1, 2, · · · . (2.16)

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi umum PDP panas

Selain itu akumulasi dari banyaknya berhingga solusi N jugamerupakan sebuah solusi yakni,

u(x , t) =N∑

k=1

Ake−( kπ

L)2

µt sin

(kπx

L

), (2.17)

dengan asumsi bahwa fungsi awal f merupakan kombinasi linearberhingga dari fungsi eigen sin

(kπxL

),

f (x) =N∑

k=1

Ak sin

(kπx

L

). (2.18)

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi umum PDP panas

Selain itu akumulasi dari banyaknya berhingga solusi N jugamerupakan sebuah solusi yakni,

u(x , t) =N∑

k=1

Ake−( kπ

L)2

µt sin

(kπx

L

), (2.17)

dengan asumsi bahwa fungsi awal f merupakan kombinasi linearberhingga dari fungsi eigen sin

(kπxL

),

f (x) =N∑

k=1

Ak sin

(kπx

L

). (2.18)

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi umum PDP panas

Selain itu akumulasi dari banyaknya berhingga solusi N jugamerupakan sebuah solusi yakni,

u(x , t) =N∑

k=1

Ake−( kπ

L)2

µt sin

(kπx

L

), (2.17)

dengan asumsi bahwa fungsi awal f merupakan kombinasi linearberhingga dari fungsi eigen sin

(kπxL

),

f (x) =N∑

k=1

Ak sin

(kπx

L

). (2.18)

Contoh

Contoh separasi variabel

Contoh

Andaikan kita memiliki masalah difusi sebagai berikut,

∂u

∂t= µ

∂2u

∂x2, x ∈ (0, 1), t > 0 (3.1)

u(0, t) = 0, u(1, t) = 0. t ≥ 0 (3.2)

u(x , 0) = 3 sin(πx) + 5 sin(4πx), x ∈ [0, 1] (3.3)

maka solusinya adalah

u(x , t) = 3e−π2t sin(πx) + 5e−16π

2t sin(4πx). (3.4)

Contoh

Contoh separasi variabel

Contoh

Andaikan kita memiliki masalah difusi sebagai berikut,

∂u

∂t= µ

∂2u

∂x2, x ∈ (0, 1), t > 0 (3.1)

u(0, t) = 0, u(1, t) = 0. t ≥ 0 (3.2)

u(x , 0) = 3 sin(πx) + 5 sin(4πx), x ∈ [0, 1] (3.3)

maka solusinya adalah

u(x , t) = 3e−π2t sin(πx) + 5e−16π

2t sin(4πx). (3.4)

Contoh

Contoh separasi variabel

Solusi diatas dapat digambarkan sebagai fungsi x pada gambar dibawah ini, pada saat t = 0, 0.01 dan 0.1.

Figure : Solusi dari persamaan panas denganf (x) = 3 sin(πx) + 5 sin(4πx) untuk t = 0, 0.01 dan 0.1.

Latihan

Latihan separasi variabel

Latihan

Selesaikan masalah difusi sebagai berikut,

∂u

∂t= µ

∂2u

∂x2, x ∈ (0, L), t > 0 (4.1)

u(0, t) = 0, u(L, t) = 0. t ≥ 0 (4.2)

u(x , 0) = f (x), x ∈ [0, L] (4.3)

1. f (x) = 6 sin(πxL

)2. f (x) = 12 sin

(9πxL

)− 7 sin

(4πxL

)

Perhatian!

Perhatian!Solusi umum PDP panas

Solusi umum persamaan panas,

u(x , t) =N∑

k=1

Ake−( kπ

L)2

µt sin

(kπx

L

), (5.1)

hanya untuk fungsi awal f , merupakan kombinasi linear berhinggadari fungsi eigen sin

(kπxL

),

f (x) =N∑

k=1

Ak sin

(kπx

L

). (5.2)

Perhatian!

Perhatian!Solusi umum PDP panas

Bagaimana jika fungsi awal f , merupakan bukan kombinasi linearberhingga dari fungsi eigen sin

(kπxL

)?

Misalkan diberikan fungsi awal berupa konstanta

f (x) = 1. (5.3)

Perhatian!

Perhatian!Solusi umum PDP panas

Bagaimana jika fungsi awal f , merupakan bukan kombinasi linearberhingga dari fungsi eigen sin

(kπxL

)?

Misalkan diberikan fungsi awal berupa konstanta

f (x) = 1. (5.3)

Perhatian!

Perhatian!Solusi umum PDP panas

Untuk mengatasi hal ini, diperlukan jumlah tak hingga kombinasilinier dari kondisi awal, yakni

f (x) =∞∑k=1

Ak sin

(kπx

L

)= 1 (5.4)

dengan membuat N menuju tak hingga, dan kita dapatkan solusiumumnya

u(x , t) =∞∑k=1

Ake−( kπx

L)2t sin

(kπx

L

). (5.5)

Pada pertemuan berikutnya, akan dijelaskan bagaimana mencari Ak

(yaitu koesien Fourier) yang dapat dihitung dari fungsi f (x), yaknifungsi yang bukan merupakan kombinasi linier fungsi sinusoidal.

End of presentation!