persamaan kuadrat dan sistem persamaan linear dua variabel
Post on 14-Feb-2016
198 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
MAKALAH
PERSAMAAN KUADRAT
DAN
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
Makalah ini Disusun untuk Memenuhi Tugas Matakuliah Kajian Matematika SMP 2
Dosen pengampu: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd
Disusun oleh :
Kelompok II
Kelas: IV A2
Laela Nurmawati (12141100043)
Alfiyan Adi putra (12144100064)
Isti Wulandari ( 12144100071)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
2013
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI................................................................................................................ ii
BAB I
A. Pengertian SPLDV.........................................................................................1B. Menyelesaikan SPLDV..................................................................................1
1. Metode Grafik……………………...................................................................12. Metode Subtitusi……………………..............................................................23. Metode Eliminasi………………………...........................................................3
BAB II
A. Pengertian Persamaan Kuadrat....................................................................41. Menyatakan persamaan kuadrat dalam bentuk standar……..................42. Nilai-Nilai A,B Dan C Dalam Bentuk Persamaan Kuadrat Standar……. 5
B. Menyatakan persamaan kuadrat dengan pemfaktoran...............................5C. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Tak – Lengkap.................................... 6
D. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Melengkapi Kuadarat............. 8E. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Rumus Kuadrat....................... 9F. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Grafik......................................10
BAB III
G. Permasalahan…………………………………………...................................................12H. Solusi ...........................................................................................................12
SOAL LATIHAN..........................................................................................................14
JAWABAN SOAL LATIHAN…………………………………......................................................15
DAFTAR PUSTAKA.....................................................................................................17
Persamaan Kuadrat dan SPLDV Page ii
Sistem persamaan linear dua variable, karena bervariabel x dan y
Dengan a, b, c, p, q dan r R serta .
Bukan sistem persamaan linear dua variabel. Karena x
berpangkat dua.
Bukan sistem persamaan linear dua variabel. Karena ada tiga variabel,yaitu x,y dan z
BAB I
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
A. Pengertian SPLDV
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah sistem persamaan yang
hanya memiliki dua variabel dan masing-masing variabelnya berpangkat satu. Sistem
persamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk berikut ini:
ax + by = c
px + qy = r
2x - 5y = 3
x + 6y =12
5x + 9y = 13
−x2 + 14y = 8
x - 5y = 3z
x + y =10z
Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel tersebut adalah pasangan bilangan
(x,y) yang memenuhi kedua persamaan tersebut.
B. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) ada 4 cara,
yaitu:
1. Metode Grafik
Pada metode grafik, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua
variabel adalah koordinat titik potong kedua garis tersebut. Jika garis-garisnya tidak
berpotongan di satu titik tertentu maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan
kosong.
Contoh :
Dengan menggunakan metode grafik, tentukan himpunan penyelesaian
sistemper s ama an l i nea r dua va r i abe l x + y =1 dan x - y = 3 untuk un tuk x ,
y R !
Persamaan Kuadrat dan SPLDV Page 1
Grafik persamaan x + y =1 dan x - y = 3 masing – masing merupakan garis lurus
seperti gambar berikut.
Dari gambar tampak bahwa kedua garis itu berpotongan dititik p. Dari titik p
di buat garis tegak lurus terhadap sumbu x sehingg memotongnya di x =2 dan dari
titik pyang sama dibuat garis tegak lurus sumbu y sehingga memotong di y= -1. Jadi,
koordinat titik p adalah(-2, 1). Dengan demikian himpunan penyelesaian SPLDV
tersebut adalah {(-2, 1)}.
2. Metode Subtitusi
Pada metode subtitusi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear
dua variabel adalah dengan cara menyatakan salah satu variabel dalam bentuk
variabel yang lain kemudian nilai variabel tersebut menggantikan variabel yang sama
dalam persamaan yang lain.
Contoh :
x + y = 2
3x + 2y = 8
Dari persamaan x + y = 2 y = 2- x. Dari persamaan y = 2- x disubtitusikan
(digantikan) ke persamaan 3x + 2y = 8, diperoleh:
3x + 2(2- x)= 8
3x + 4 - 2x = 8
x + 4 = 8
x = 2
Persamaan Kuadrat dan SPLDV Page 2
x + y =1 x - y = 3
P(2,1)
Nilai x = 4 di subtitusikan ke persamaan y = 2 – x, diperoleh :
y = 2 – 4
y = -2
Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV tersebut adalah{(4, -2)}.
3. Metode Eliminasi
Pada metode eliminasi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear
dua variabel adalah dengan cara menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel
dari sistem persamaan tersebut. Misalkan variabelnya adalah x dan y, untuk
menentukan variabel x harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, atau
sebaliknya. Dengan kata lain metode eliminasi adalah menghilangkan salah satu
variabel untuk dapat menentukan nilai variabel yang lain, oleh karena itu koefisien
salah satu variabel yang akan dihilangkan haruslah sama atau dibuat sama.
Contoh :
x + y = 2
3x + 2y = 8
Nilai x dicari dengan mengeliminasi perubahan y:
x + y = 2 x 2 2x + 2y = 4
3x + 2y = 8 x 1 3x +2y =8
-x = -4
x = 4
nilai y yang dicari dengan mengeliminasi peubah x
x + y = 2 x 3 3x + 3y =6
3x + 2y = 8 x 1 3x + 2y =8
y = - 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{(4, 2)}. Hasil ini sama dengan yang diperoleh
dengan menggunakan metode subtitusi.
Persamaan Kuadrat dan SPLDV Page 3
BAB II
PERSAMAAN KUADRAT
A. Pengertian Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya
adalah 2. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0 dengan a,b,c ∈ R di
mana R adalah himpunan bilangan real dan a ≠ 0.
Maka, 2 x2 + 3 x – 5 = 0 adalah sebuah persamaan kuadrat dalam x
1. Menyatakan Persamaan Kuadrat Dalam Bentuk Standar
Mengubah sebuah persamaan kuadrat menjadi bentuk standar a x2 + b x + c = 0
a. Hilangkan tanda kurung .
Contoh : x ( x + 1 ) – 5 = 0 menjadi x2 + x - 5 = 0
b. Ubahlah pecahan
Contoh : x – 4 + 3x = 0 menjadi x2 – 4 x + 3 = 0
c. Hilangkan tanda radikal
Contoh : √ x2−3 x=2 menjadi x2 – 3 x – 4 = 0
d. Gabungkan suku sejenis
Contoh : x2 + 7 x = 2 x + 6 menjadi x2 + 5 x - 6= 0
Persamaan Kuadrat dan SPLDV Page 4
2. Nilai-Nilai A,B Dan C Dalam Bentuk Persamaan Kuadrat Standar
Nyatakan setiap persamaan kuadrat dalam bentuk standar, sedemikian rupa
sehingga a bernilai positif. Kemudian nyatakan nilai-nilai a,b dan c.
Contoh:
a. x2 - 9 x = 10
Bentuk standar : x2 – 9 x – 10 = 0
Nilai a = 1
Nilai b = - 9
Nilai c = - 10
b. 5 x2 - 125
Bentuk standar: 5 x2 – 125 = 0
Nilai a = 5
Nilai b = 0
Nilai c = 125
B. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Pemfaktoran
Aturan Faktor 0
Sebelum kita mulai membahas tentang penyelesaian persamaan kuadrat dengan
metode memfaktorkan, ada baiknya kamu mengetahui dulu tentang aturan faktor
0. Aturan faktor nol menyatakan bahwa hasil kali sembarang bilangan dengan bilangan
nol adalah nol.
Contoh: 2 × 0 = 0, 0 × 9 = 0 atau 0 × 0 = 0.
Jadi jika hasil kali dua bilangan sama dengan nol maka salah satu atau kedua bilangan
tersebut adalah nol. Secara simbolik dinyatakan bahwa jika ab = 0 maka a = 0 atau b =
0. Kata atau pada ” a = 0 atau b = 0 ” berarti bahwa salah satu dari a atau b sama dengan
nol atau bisa jadi kedua-duanya sama dengan nol.
Dengan mengenal aturan faktor 0 ini, maka penyelesaian persamaan kuadrat dengan
metode memfaktorkan dapat dilakukan.
Aturan 1 . Setiap persamaan kuadrat mempunyai dua akar
Maka, x2 = 9 mempunyai dua akar yaitu 3 dan - 3
Aturan 2 . Jika hasil kali dua faktor adalah nol,maka salah satu atau keduanya
pasti sama dengan nol
Persamaan Kuadrat dan SPLDV Page 5
Maka,pada 5 ( x – 3 ) = 0 , faktor x – 3 = 0
Prosedur :
1. Nyatakan dalam bentuk a x2 + b x + c = 0
2. Faktorkan a x2 + b x + c
3. Buat tiap faktor sama dengan nol
4. Selesaikan tiap persamaan hasilnya
5. Periksa tiap akar dalam persamaan asal
Contoh : Selesaikan : x ( x – 4 ) = 5
x2 – 4 x = 5 maka x2 – 4 x – 5 = 0
( x – 5 ) ( x + 1 ) = 0
x – 5 = 0 x + 1 = 0
x = 5 x = - 1
Periksa x2 – 4 x = 5
Jika x = 5 , 5 ( 1 ) =? 5 jika x = - 1 , ( - 1 ) ( - 5 ) =? 5
5 = 5 5 = 5
Jawaban : x = 5 atau x = - 1
C. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Tak – Lengkap
Suatu persamaan kuadrat tak-lengkap dengan satu variabel tak diketahui tidak
memiliki:
1. Suku yang mengandung pangkat satu dari variabel tak diketahui seperti
x2 – 4 = 0
2. Suku konstanta seperti x2 - 4 x = 0
Aturan : Jika sebuah persamaan kuadrat tak lengkap tidak memiliki suku konstanta ,
maka salah satu akarnya adalah nol.
Maka , jika x2 – 4 x = 0 , x = 0 atau x = 4
1. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Tak Lengkap Yang Tidak Memiliki
Pangkat Satu Dari Variabel Tak Diketahui
Prosedur:
a. Nyatakan dalam bentuk a x2 = k,dimana k adalah konstanta
Persamaan Kuadrat dan SPLDV Page 6
b. Bagilah kedua ruas dengan a , menghasilkan x2 = ka
c. Tentukan akar kuadrta kedua ruas,menghasilkan x = ±√ ka
d. Periksa setiap akar dengan memasukkan kedalam persaman asal
Contoh : Selesaikan 4 x2 – 49 = 0
4 x2 = 49
(4 x2 ) : 4 = ( 49 ) : 4 maka x2 = 494
x = ± 72
x = + 72 atau x = -
72
2. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Tak-Lengkap Yang Tidak Memiliki Suku
Konstanta
Prosedur:
a. Nyatakan dalam bentuk a x2 + b x = 0
b. Faktorkan a x2 + b x
c. Tetapkan tiap faktor sama dengan nol
d. Selesaikan tiap persamaan hasilnya
e. Periksa tiap akar dengan memasukkan kedalam persamaan asal
Contoh : Selesaikan 3 x2 = 18 x
3 x2 – 18 x = 0
3 x ( x – 6 ) = 0
3 x = 0 x – 6 = 0
x = 0 x = 6
Periksa dalam 3 x2 = 18 x
Jika x = 0 jika x = 6
3 ( 0 2 ) =? 18 ( 0 ) 3 ( 6 2 ) =? 18 ( 6 )
0 = 0 108 = 108
D. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Melengkapi Kuadrat
Kuadrat dari sebuah binomial adalah sebuah kuadrat trinomial sempurna.
Persamaan Kuadrat dan SPLDV Page 7
1. Melengkapi Kuadrat Trinomial Sempurna
Aturan : Jika x2 adalah suku pertama dari sebuah kuadrat trinomial sempurna
dan suku x juga diketahui,maka suku terakhirnya juga dapat ditentukan dengan cara
mengkuadratkan setengah dari koefisien x
Contoh : Lengkapi tiap kuadrat trinomial sempurna dan nyatakan kuadrat
binomialnya x2 + 14 x + ?
Jawaban: Kuadratkan dari 12 ( 14 ) = 72 = 49
Tambahkan 49 untuk mendapatkan x2 + 14 x + 49 = ( x + 7 )2
2. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Melengkapi Kuadrat
Prosedur :
a. Nyatakan persamaan dalam bentuk x2 + p x = q
b. Kuadratkan setengah koefisien dari x dan tambahkan pada kedua ruas
c. Ganti kuadrat trinomial sempurna dengan kuadrat binomialnya
d. Tentukan akar kuadrat kedua ruas.Tetapkan binomialnya sama dengan plus atau
minus akar kuadrat dari bilangan di ruas lainnya
e. Periksa kadua akar di dalam persamaan asal
Contoh :
Selesaikan x2 + 6 x – 7 = 0 dengan melengkapi kuadrat
Ubahlah x2 + 6 x – 7 = 0
x2 + 6 x = 7
Kuadratkan 12 ( 6 ) = 32 = 9 tambahkan 9 untuk memperoleh
x2 + 6 x + 9 = 7 + 9
( x + 3 )2 = 16
Akar kuadrat ( x + 3 ) = ± 4
x + 3 = 4 x + 3 = - 4
x = 1 x = - 7
Jawaban : x = 1 atau x = - 7
E. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Rumus Kuadrat
Persamaan Kuadrat dan SPLDV Page 8
Persamaan kuadrat : Jika a x2 + b x + c = 0 , maka x = −b±√b2−4 ac2a
.
a x2 + b x + c = 0
a x2 + b x = - c
x2 + bxa = -
cd
kuadrat dari 12(
ba ) = (
b2 a)2 = b2
4 a2
x2 + b xa + b2
4 a2 = b2
4 a2 - cd
( x + b
2 a)2 = b2−4ac4a2
x + b
2 a = ± √b2−4 ac2 a
.
x = b
2 a ± √b2−4ac2a
.
x = −b±√b2−4 ac2a
Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat
Prosedur :
1. Nyatakan dalam bentuk a x2 + b x + c = 0
2. Tentukan nilai a,b dan c
3. Subtitusikan nilai a,b dan c kedalam rumus x = −b±√b2−4 ac2a
4. Selesaikan x
5. Periksa tiap akar kedalam persamaan asal
Contoh :
Selesaikan x2 – 4 x = - 3
x2 – 4 x = - 3
x2 – 4 x + 3 = 0
a = 1 b = - 4 c = 3
x = −b±√b2−4 ac2a
x = −(−4 ) ±√(−4)2−4 (1)(3)2(1)
Persamaan Kuadrat dan SPLDV Page 9
x = +4±√16−122
x = +4±√42
x = 4 ± 2
2
x =4+2
2 x = 4−2
2
x = 3 x = 1
jawaban : x = 3 atau x = 1
F. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Menggunakan Grafik
Cara 1
1. Nyatakan dalam bentuk a x2 + b x + c = 0
2. Gambar grafik dari kurva y = a x2 + b x + c (kurva parabola)
3. Tentukan dimana y = 0 memotong y = a x2 + b x + c
Nilai – nilai x dititik perpotongan adalah akar-akar dari a x2 + b x + c = 0
( lihat a x2 + b x + c = 0 sebagai hasil dari penggabungan y = a x2 + b x + c = 0
dengan y = 0 )
Contoh : selesaikan dengan menggunakan grafik : x2 – 5 x + 4 = 0
x2 - 5 x + 4 = 0
lihat gambar kurva berikut
Kurva y = x 2 – 5 x + 4
x = 1 dan x = 4
Cara 2
1. Nyatakan dalam bentuk a x2 + b x + c = 0
2. Gambar grafik parabola y = a x2 + b x + c
Persamaan Kuadrat dan SPLDV Page 10
a. Buatlah tabel nilai ,menggunakan urutan nilai x yang sesuai,cara ini dapat
dilakukan dengan menentukan nilai dari - b
2 a dan memilih x lebih besar atau lebih
kecil dari - b
2 a
b. Hubungkan titik-titik yang telah diplot
Perhatikan bahwa x = - b
2 a = 1 adalah garis lipat atau sumbu simetri dari parabola
3. Tentukan akar – akar dimana parabola memotong sumbu x
Contoh :
Selesaikan dengan menggunakan grafik : x2 - 2 x = 3
x2 - 2 x – 3 = 0
Gambar grafik y = x 2 – 2 x - 3
X x2 – 2 x – 3 = y
4
3
2
16 – 8 – 3 = 5
9 – 6 – 3 = 0
4 – 4 – 3 = - 3
b2 a=
22= 1 1 – 2 – 3 = - 4
0
- 1
- 2
0 – 3 = - 3
1 + 2 - 3 = 0
4 + 4 – 3 = 5
Gambar y = x 2 – 2 x - 3
x = - 1 atau x = 3
Persamaan Kuadrat dan SPLDV Page 11
BAB III
PERMASALAHAN DAN SOLUSINYA
A. Permasalahan
Kesulitan untuk menentukan akar-akar dari persaman kuadrat.
B. Solusi
1. Guru mendemonstrasikan cara menentukan faktor-faktor pada persamaan kuadrat
yang berbentuk ax² + bx + c, a=1 dengan menggunakan media yang berbentuk kartu.
2. Guru membagikan kartu yang dibuat oleh guru yang terdiri dari 4 macam, Yaitu:
kartu untuk x², kartu untuk x, kartu untuk –x. dan kartu untuk satuan.
3. Guru memberikan 5 soal untuk dikerjakan siswa secara berpasangan dengan
menggunakan kartu yang diberikan guru
4. Guru berkeliling melihat pekerjaan siswa dan memberikan bimbingan seperlunya
terhadap siswa yang mengalami kesulitan.
5. Untuk mengecek pemahaman siswa guru meminta beberapa siswa untuk
memperagakan hasil pekerjaannya dan menggambarkan susunan kartu tersebut
dipapan tulis dan menentukan hasilnya.
6. Dari kegiatan ini diharapkan siswa akan menemukan cara untuk menentukan factor-
faktor dari persamanaan kuadrat yang berbentuk ax² + bx + c , dimana a=1
7. Guru memberikan umpan balik terhadap jawaban siswa dan mengarahkan siswa
kearah jawaban yang benar.
8. Siswa diberi latihan untuk menerapkan konsep yang didapat siswa dari kegiatan di
atas. (tanpa menggunakan kartu)
Contoh kartu
Persamaan Kuadrat dan SPLDV Page 12
Contoh = x ² + 7x + 12 = ( x + 4 ) ( x + 3 )
Persamaan Kuadrat dan SPLDV Page 13
SOAL LATIHAN
1. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut
a) 2x +3y = 13
3x +4y = 19
b) x +2y = 9
-5x + 2y = 27
c) 2x – 5y = 15
3x + 4y = 11
2. Selesaikan persamaan kuadrat berikut
a) x2 – x = 6
b) x2 + 9x + 20 = 0
c) 2 + 5x =
12x2
Persamaan Kuadrat dan SPLDV Page 14
JAWABAN SOAL LATIHAN
a) untuk mencari nilai x,kita eliminasi peubah y
2x +3y = 13 x4 8x+ 12y = 52
3x +4y = 19 x3 9x+12y=57
-x=-5
x=5
untuk mencari nilai y,bisa kita subtitusikan nilai x kedalam persamaan 1 atau 2
2x +3y = 13
2(5)+3y=13
10+3y=13
10+3y-10=13-10
3y=3
y=1
jadi himpunan penyelesaiannya adalah (5,1)
b) untuk mencari nilai x,kita eliminasi peubah y
x +2y = 9
-5x + 2y = 27
6x=-18
x =-3
untuk mencari nilai y kita subtitusikan nilai x kedalam persamaan 1 atau 2
x +2y = 9
(-3)+2y=9
-3+2y+3=9+3
2y=12
y= 6
Persamaan Kuadrat dan SPLDV Page 15
jadi himpunan penyelesaiannya adalah (-3,6)
c) untuk mencari nilai x kita eliminasi peubah y
2x – 5y = 15 x4 8x-20y=60
3x + 4y = 11 x5 15x+20y=55
23x=115
x= 5
untuk mencari nilai y kita subtitusikan nilai x
2x – 5y = 15
2(5)-5y=15
10-5y=15
10-5y-10=15-10
-5y=5
y=-1
jadi himpunan penyelesaiannya adalah (5,-1)
d) x2 – x = 6
solusi
x2 – x – 6=0
(x-3) (x+2)=0
x-3=0 x+2=0
x=3 x=-2
jadi himpunan penyelesaiannya adalah x=3 atau x=-2
e) x2 + 9x + 20 = 0
solusi
x2 + 9x + 20 = 0
(x+4)(x+5)=0
x = - 4 x = - 5
jadi himpunan penyelesaiannya adalah x = - 4 atau x= - 5
Persamaan Kuadrat dan SPLDV Page 16
DAFTAR PUSTAKA
Sukino.2007.Matematika Untuk SMA Kelas XII.Jakarta: Erlangga
Sartono Wirodikromo.2001.Matematika Untuk SMA Kelas X.Jakarta:Erlangga
A.Wagiyo.2008.Pegangan Belajar Matematika.Jakarta:Departemen Pendidikan Nasional
Endah Budi Rahayu, dkk.2008.Contextual Teaching and Learning:Matematika
SMP/Madrasah Tsanawiyah Kelas VIII Edisi 4.Jakarta: Departemen Pendidikan
Nasional
Persamaan Kuadrat dan SPLDV Page 17
top related