prof. dr. h. graßl, angewandte physik 1 angewandte physik schwingungen und wellen

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Angewandte Physik

Schwingungen und Wellen

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Schwingungen:örtlich stationär

Wellen:breiten sich räumlich aus

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Schwingungen und Wellen

Energie-transport

kinetische Energieder Masse

potentielle Energie in Feder

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Bedeutung von Schwingungen und Wellen in Technik und Wissenschaft

Schwingungen:Energiespeicher (Bewegung auf begrenztem Raum,

verwandt mit Rotation) (auch mikroskopisch; z.B. Energie in Gasteilchen)

Zeitmaßstab: Keine Uhr ohne Oszillator

Störeffekte: Materialermüdung durch DauerbelastungGrundform der Existenz: Nullpunktsschwingungen

Wellen (gekoppelte Schwingungen):Energietransport: Meereswellen, 50Hz-Netz, Mikrowellenherd,

Laser

Informationstransport: Schallwellen, Radio, Fernsehen, Funkkommunikation

Materialtransport: Materiewellen, jede Materie

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Angewandte Physik

Schwingungen

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Verschiedene Arten von oszillierenden Systemen

Kippschwinger

Harmonischer Oszillator

Zeit

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1. "Harmonische" Schwingung ohne Reibung

Beispiel Federpendel: 1) träge Masse (~ Verharrung)2) rücktreibende Kraft: Feder (~ Elastizität)Auslenkung hängt sinusförmig von Zeit ab.

Es gibt eine Eigenfrequenz f0

Zeit t

Auslenkung x(t)

Schwingungs-periode T0

Eigenfrequenz f0=1/T0

Geschwindigkeit v(t)

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2. gedämpfte harmonische Schwingung

Federpendel: 1) Masse, 2) rücktreibende Federkraft 3) Reibung führt zu Dämpfung der

Schwingung

Zeit t

Auslenkung x nimmt mit Zeit ab

Schwingungs-periode und Frequenz ändern sich: fd < f0

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3. erzwungene harmonische Schwingung

Federpendel: 1) Masse, 2) rücktreibende Federkraft 4) sinusförmig variierende Anregung 5) Auslenkung je nach

Anregungsfrequenz 6) Resonanz

Zeit t

Auslenkung x

Schwingungsfrequenz = AnregungsfrequenzAntrieb

Eigenfrequenz Resonanzfrequenz

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Übersicht über harmonische Schwinungen

freie Schwingung erzwungene Schwingung

ung

edäm

pft

gedäm

pft

1)

2) 3)

4)

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wichtige Begriffe eines schwingenden SystemsResonator:Freiheitsgrad(e) (Auslenkung, Amplitude)Resonanz: Eigenfrequenz (freie, ungedämpfte Schwingung)Abwechselnd kinetische Energie / Potenzielle Energie (Energieerhaltung)Reibung: Umwandlung von potenzieller/kinetischer Energie in Wärme

(auch Energie!)zeitliches Abklingen (Dämpfung) der Schwingung durch Reibungverschiedene mögliche Abhängigkeiten der Reibung von 'Geschwindigkeit'

Erreger:periodische Auslenkung, unabhängige Erregerfrequenzsinusförmig (anderer Zeitverlauf möglich: siehe Basketball-Dribbeln)nach Einschwingvorgang: Resonator schwingt mit ErregerfrequenzEinschwingvorgang allgemein: Überlagerung aus Bewegungen mit

Eigenfrequenz (abklingend) und mit Erregerfrequenz ( stationärer Zustand)

Erreger + Resonator "Oszillator"

12

Beispiele für schwingende Systeme / Oszillatoren

Foucault-Pendel0,2 Hz

Unruh inUhrwerk

2 Hz

Schwingquarz4 MHz

Molekülschwingungx GHz –THzYIG Oszillator

4 GHz

Stimmgabel440 Hz

Stimmgabelquarz32768 Hz

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Lösungsansatz komplex: 00)( tjeaty

yejay tj 20

20

00)(

020

mk

Beschleunigungskraft = Federkraft

Differenzialgleichung

0 kyym

0 ymk

y

mk

0

Resonanzfrequenz

Steifigkeit

Trägheit

y

Freie, ungedämpfte Schwingung; mathematischreibungsfreie Gleitbewegung

gesucht : ( )y t

a kF F ky

ma ky

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Verschiedene Resonatoren / OszillatorenSteifigkeit

Trägheit

0

1CL

Resonanzfrequenz

SteifigkeitsparameterTrägheitsparameter

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Energieerhaltung bei Schwinungsvorgängen

oberer Umkehrpunktunterer Umkehrpunkt

vmax abwärts vmax aufwärts

2 10 02cos ( ) [cos(2 ) 1] t t

kinetische Energie in auf/ab-Geschwindigkeit der Masse

potenzielle Energie in Dehnung/Kompession der Feder

t

t

]1)2[cos(ˆ41

)( 02

pot tyktE

)cos(ˆ)( 0tyty

)(cosˆ21

)(21

)(

022

2pot

tyk

tkytE

Energie pulsiert mit doppelter Frequenz

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Analogie: Oszillatormechanisch / elektrisch

potentielle / elektrostatischeEnergie

kinetische / magnetischeEnergie

http://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis

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gedämpfte harmonische Schwingungen

Dämpfung (Reibung) proportional zur Geschwindigkeit (Änderung der oszillierenden Größe)

0 kyydym

RF d v d y

ZugF

ReibungF

FTrägheit

0FederzugReibungTrägheit FFF

)(0

0)( tjt deeyty

0 ymk

ymd

y

gewöhnliche lineare Differentialgleichungallgemeiner Lösungsansatz: gedämpfte harmonische Schwingung

22 0dy y y

schon wieder

eine Differenzial-gleichung!

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gedämpfte harmonische Schwingungen

Dämpfung (Reibung) proportional zur Änderung (Geschwindigkeit) der oszillierenden Größe

)(0

0)( tjt deeyty

ZugF

ReibungF

FTrägheit

mk

0Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung

Abklingkoeffizient [1/s]md

2

Zeit t

Abklingzeitkonstante [s]

:1

innerhalb von fällt Amplitude auf1/e vom Anfangswert

Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung

220 d

vdFR

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Beispiele: Stimmgabel, Quarzschwinger, elektr. Hohlraumresonator, akustischer Hallraum, ...

reale Resonatoren haben immer Dämpfung (Verluste)

Maß für Dämpfung im Verhältnis zu Schwinungsfrequenz:Dämpfungsgrad

Güte Q

0 0

11 Schwingungsdauer Amplitudenabklingzeit 2

Dämpfungsgrad und Güte Q

Anzahl der Schwingungen innerhalb Abklingzeit

12

QT

(dimensionslos)

(dimensionslos)

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verschiedene Bereiche des Dämpfungsgrades Schwingfall

Kriechfall

aperiodischer Grenzfall

Auslenkung klingt schnellstmöglich ab

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Erzwungene Schwingung:Differenzialgleichung von Resonator mit Anregung

maFFF ErregerDämpfungFeder

Antrieb FErreger

Dämpfung

)cos(EErreger tFF

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kF

y

E /ˆ)(

Amplituden- und Phasengang der Resonanz

)(

0

1. Resonator schwingt mit Erregerfrequenz

2. Amplitude hängt von Erregerfrequenz ab

3. zunehmende Phasenverschiebung

zwischen Erreger und Auslenkung des Resonators

)]([. )()( tj

eingeschw eyty

)(y

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wichtige Eigenschaften der Resonanz:

• Resonanzfrequenz res < 0• res 0 für • Phasenverschiebung

• Bandbreite

bei -3dB = (1/√2) von Maximum der Resonanzkurve

Amplituden- und Phasengang der Resonanz

kF

y

E /ˆ)(

)(

0

res 0

2 22 22 2 20 0

ˆ2 1 2

E EF Fy

m k

02 2 2

0

2 2arctan arctan

1

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Resonanzfrequenz: Frequenz größter Schwingungsamplitude

2Res 1 2

2Res 0 1 2

01 Res

Resonanzfrequenz wird durch Dämpfung etwas kleiner

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Resonanzüberhöhung

Resonanzamplitude

Amplitude bei f 0

Res

20

ˆ 1ˆ 2 1f

yy

für kleine Dämpfung :

Resonanzüberhöhung = Güte

Res

0

0

ˆ 1ˆ 2f

yQ

y

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Resonanzbreite

für kleine Dämpfung :

1Resonanzbreite =

Güte

0

1Q

max

1 ˆ2

y

Resonanzbreite x Resonanzüberhöhung = 1

Einschwingvorgang bei abruptem Beginn der Anregung

a) freie abklingende Schwingung mit d

b) Anregung mit Frequenz

c) Einschwingvorgang:Überlagerung von a) und b)d) stationäre Schwingung mit Frequenz

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a)

b)

c) d)

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Übergang von Schwingung zu Welle:

gekoppelte Oszillatoren

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k12

2 gekoppelte Schwinger

ohne Kopplung: Kopplungsgrad k12= 0

2 identische Schwinger: gleiche Eigenfrequenzmit Kopplung: Kopplungsgrad k12> 0 2 Eigenmoden:

gleichphasig: gegenphasig:

Allgemeine Bewegung: Linearkombination der beiden Eigenmoden

gleichphasig gegenphasig Linearkombination

mk

0

mkk 12

2

2

01

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2 gekoppelte Schwinger

Allgemeine Bewegung: Linearkombination der Eigenmoden

mk

0 mkk 12

2

2

)2

sin()2

sin(ˆ

)]cos()[cos(2

ˆ

2121

21

tty

tty

y

Schwebung

0 1

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mehrere gekoppelte Schwinger

n Freiheitsgraden Eigenmoden ("Fundamentalschwingungen")n Eigenfrequenzen

Beispiel: 3-atomiges Molekül9 Freiheitsgrade,

davon 6 für Translation und Rotation des Moleküls, 3 interne Freiheitsgrade 3 Schwingungsmoden in der Ebene des Moleküls

3 Schwingungsmoden (hier nur schematisch angedeutet)

Es können auch mehrere Schwingungsmoden aus Symmetriegründen gleiche Frequenz haben:"entartete" Moden

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Ausblick: Anzahl der Freiheitsgrade sehr groß

Energiebändermodelle:kontinuierlicher Bereich von möglichen

EigenfrequenzenEnergie ~ Eigenfrequenzen

Einzelatom Festkörper mit 1023 Atomen

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Angewandte Physik

Wellen

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gekoppelte Schwingungen Welle

einzelnerSchwinger

Transversalwelle

Longitudinalwelle

kein Materietransportaber Energietransport

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Transversalwelle und Longitudinalwelle

Transversalwelle

Longitudinalwelle

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Auslenkung ist Funktion von Ort und Zeit:Frequenz f = /2Wellenlänge 2/kWellenzahl k 2/Phasengeschwindigkeit c = f

harmonische Wellen

c

fc

2

]))((cos[ˆ),( 0 xttytxy

T 2

cx

t

0)](2cos[ˆ),(

x

Tt

ytxy

)cos(ˆ),( 0 kxtytxy

Wellenzahl 2

kk

c

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allgemein lineare Superposition: Wellenfunktionen können addiert werden

ebene stehende Welle in x-Richtung

Überlagerung von Wellen gleicher Frequenz

gesamt 1 2( , ) ( , ) ( , ) ...y x t y x t y x t

ˆ ˆ( , ) cos( ) cos( )y x t y t kx y t kx

- +

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stehende Wellen

http://www.mta.ca/faculty/science/physics/suren/Twave/Twave02.html

eindimensional sich ausbreitende Wellen

gegenläufige Wellen:gleiche Amplitude

stehende Wellen:Wellenknoten und Wellenbäuche

Eine stehende Welle ist die Überlagerung von zwei gegenläufigen Wellen mit gleicher Amplitude und gleicher Wellenlänge

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Welle wird an einer Stelle vollständig reflektiertAmplitude und Wellenlänge (und Frequenz) beider Wellen sind gleich(Welle kommt aus dem Unendlichenund geht auch wieder ins Unendliche)

Welle wird an zwei Stellen vollständig reflektiert:Das geht nur gut, wenn nach zweimaliger Reflexion die Welle wieder mit sich selbst in Phase ist.Resultat, wenn der Spiegelabstand passt: eine stehende Welle mit einer ganzen Anzahl von Wellenlängen auf zweifachem Spiegelabstand (oder einer ganzen Anzahl von halben Wellenlängen zwischen Spiegeln)

Wann gibt es eine stehende Welle?

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Reflexion mit Phasenumkehr um 180° Wellenknoten an Spiegeln

Reflexion ohne Phasenumkehr um 180° Wellenbäuche an Spiegeln

Verschiedene Ausformungen der Stehwelle je nach Reflexionsphase an den Spiegeln

Stehende Wellen und Eigenschwingungsmoden

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• Welle mit Reflexion an den Enden

• Moden: Stehende Wellen verschiedener Wellenlängen

• allgemein: Überlagerung der verschiedenen Moden

Schwingungsmoden einer Brücke

• Reflexion an den Enden• Moden: Stehende Wellen verschiedener

Wellenlängen• allgemein: Überlagerung der verschiedenen Moden

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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

43

Überlagerung von Wellen gleicher Frequenz

allgemein lineare Superposition: Wellenfunktionen können addiert werden

Wenn Wellen nicht exakt in gleicher Richtung dann keine stehende Welleaber „Interferenz“ (kompliziertere Wellenmuster):

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Auslenkung des Seiles aus gerader Linie z(x,t)Seilwelle

eindimensionale Welle:

ˆ( , ) cos( )z x t z t k x Wellenzahl 2

k

ˆ( , ) j t kx j t jkxz x t ze e e

x

z

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ˆ ˆ( , ) yx zj t kr jk yjk x jk zj tp r t p e p e e e e

Wellen in Ebene (2D), z.B. auf Wasseroberfläche

Wellen im Raum (3D), z.B. Schallwelle

Wellen im Raum, Wellenvektor

; ˆ( , ) cos( ) cos( )x y x yz r t z t k x t k y r xe ye aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

ˆ( , ) cos( ) cos( ) cos( )x y zp r t p t k x t k y t k z

Wellenvektor ,x yk k k

Wellenvektor , ,x y zk k k k

Auslenkung der Oberfläche z(x,y,t)

ˆ ˆ( , , ) yxj t kr jk yjk xj tz x y t z e z e e e

Oberflächenwellen auf Wasser

Form der Oberfläche nicht sinusförmigTeilchenbewegung nicht nur auf und ab sondern auch

vor und zurückkomplizierter Zusammenhang zwischen Wellenform

Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wassertiefe

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