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SOLIDI DI ROTAZIONE E

TEOREMA DI GULDINO

SILVIA GIULIANI

MARCO MANZARDO

A. A. 2014/2015

TFA A059

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I solidi di rotazione in natura e nell’arte….

SOLIDI DI ROTAZIONE

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I solidi di rotazione sono una classe di solidi che si ottengono tramite una

rotazione di 360° di:

!  una figura piana intorno ad un suo lato o ad una retta;

!  una linea g (retta o curva) intorno ad un’altra retta.

Rotazione di un poligono Rotazione di una curva

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Asse di rotazione

Generatrice

Asse di rotazione

Generatrice

Sezione normale

I PRINCIPALI SOLIDI DI ROTAZIONE

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I principali solidi di rotazione che si affrontano nelle scuole sono:

CILINDRO CONO SFERA

CILINDRO

Il cilindro è il solido ottenuto dalla rotazione di un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati.

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CONO

Il cono è il solido ottenuto dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno ad uno dei cateti.

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SFERA

La sfera è il solido ottenuto dalla rotazione di un semicerchio intorno al diametro.

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I TEOREMI DI GULDINO

I teoremi di Guldino consentono di calcolare il volume e la

superficie laterale di un solido di rotazione mediante la

conoscenza del baricentro della figura piana e della curva che vanno a generare il solido. 9

BARICENTRO DI UNA FIGURA PIANA

Densità uniforme

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PRIMO TEOREMA DI GULDINO

Il volume generato da una superficie piana che ruota attorno ad un asse è dato dal prodotto dell’area della figura per la lunghezza della

circonferenza descritta dal baricentro.

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APPLICAZIONI DEL PRIMO TEOREMA DI

GULDINO

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CILINDRO

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CONO

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SFERA

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SECONDO TEOREMA DI GULDINO

La superficie generata da una curva che ruota attorno ad un asse è dato dal

prodotto della lunghezza della curva per la lunghezza della circonferenza descritta

dal baricentro.

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BARICENTRO DI UN SEGMENTO

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Consideriamo una curva C di lunghezza l e dividiamola in n archetti “sufficientemente” piccoli e tutti della stessa lunghezza h.

L’area della superficie di rotazione generata da uno di questi archetti (AsAs+1) è circa uguale a quella del cilindro avente lato A’sA’s+1, ottenuto ruotando l’archetto AsAs+1 attorno al suo baricentro G.

Superficie di rotazione

Ma la lunghezza della curva è l = n· h

APPLICAZIONI DEL SECONDO

TEOREMA DI GULDINO

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CILINDRO

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CONO

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SFERA

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SCHEMA RIASSUNTIVO

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CONO CILINDRO SFERA

SUPERFICIE LATERALE

π b a

2 π b h

4 π r2

SUPERFICIE

TOTALE

π b (b + a)

2 π b (b + h)

VOLUME

1/3 π b2 h

π b2 h

4/3 π r3