teori pendugaan parameter

STATISTIKA II3 SKS

Cindy Cahyaning Astuti, S.Si, M.Si

حيم حمن الر بسم هللا الر

وارزقني فهما رب زدني علما،

(Ya Allah Tambahkanlah aku ilmu, Dan berilah aku

karunia untuk dapat memahaminya)

TEORI PENDUGAAN PARAMETER STATISTIK

Cindy Cahyaning Astuti, S.Si, M.Si

Salah satu metode terbaik untuk memperoleh

pendugaan titik adalah menggunakan metode MLE

(Maksimum Likelihood Methods /Metode

Kemungkinan Maksimum). Metode ini

dikembangkan oleh Fisher.

Pendugaan Titik

Metode Kemungkinan Maksimum memperoleh

penduga (estimator) dengan cara memaksimumkan

fungsi likelihood.

Pada pendugaan titik, kita mengenal dua parameter

yaitu μ dan σ2 . Penduga tak bias bagi parameter μadalah dan σ2 adalah

Pendugaan Titik

X2s

i

1

1X X

n

in

2 2

i

1

1(X X)

1

n

i

sn

2

2

1 12

/

1

n n

i i

i i

X X n

sn

6

Penduga Tidak Bias

E( ) = E( )

Gambar A Penduga Bersifat Tidak Bias Gambar B Penduga Bersifat Bias

Penduga titik dikatakan tidak bias (unbiased

estimator) jika di dalam sampel random yang berasal

dari populasi, rata-rata atau nilai harapan (expexted

value, ) dari statistik sampel sama dengan parameter

populasi () atau dapat dilambangkan dengan E( ) =

.

X X

SIFAT-SIFAT PENDUGA

X

X

7

Penduga Efisien

sx12 < sx2

2

sx12

sx22

Penduga yang efisien (efficient estimator) adalah penduga yang tidak bias dan

mempunyai varians terkecil (sx2) dari penduga-penduga lainnya.

SIFAT-SIFAT PENDUGA

Penduga Konsisten

Penduga yang konsisten (consistent estimator) adalah nilai dugaan ( ) yang semakin

mendekati nilai yang sebenarnya dengan semakin bertambahnya jumlah sampel (n).

n kecil

n sangat besar

n besar

n tak terhingga

X

SIFAT-SIFAT PENDUGA

PENDUGAAN INTERVAL

Pendugaan interval menyatakan jarak

dimana suatu parameter populasi

mungkin berada.

Pendugaan Interval

PENDUGAAN INTERVAL UNTUK RATA-RATA

Pendugaan Interval untuk Rata-rata

/2 /2

2

/2

( / / ) 1

dimana:

Rata-rata sampel dengan ukuran

arians (ragam) sampel

Standart Deviasi sampel

Ukuran sampel (Banyaknya sampel)

= Nilai distribusi normal baku, dengan di

P X Z n X Z n

X n

V

n

Z

tentukan

Tingkat Kesalahan

Nilai Distribusi Normal Baku(Titik Kritis Z)

Tingkat Kepercayaan Nilai Titik Kritis Z

0,99 2,575

0,98 2,33

0,95 1,96

0,9 1,645

0,85 1,44

0,8 1,28

Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata

Seorang teknisi dalam pengendalian mutu suatu

perusahaan yang memproduksi minuman ringan,

mengamati kekuatan botol minuman ringan untuk

menahan tekanan dari dalam. Diketahui bahwa

tekanan tersebut tersebar dengan ragam 900 psi

contoh acak sebesar 25 botol, diperoleh rata-rata

kekuatan tekanan adalah 278 psi. Tentukan

selang kepercayaan :

a. 90%

b. 95%

/2 /2( / / ) 1P X Z n X Z n

a. Selang kepercayaan 90%

Diketahui :

0,05

278

30

25

= 1,645

X psi

psi

n

Z

Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata

1 /2

2 /2

/

=278 (1,645)(30 / 25)

=268,18

/ )

=278 (1,645)(30 / 25)

=287,84

B X Z n

B X Z n

/2 /2( / / ) 1P X Z n X Z n

Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata

(268,18 287,84) 0,90P

Jadi selang kepercayaan 90 % untuk rata-rata

kekuatan tekanan botol adalah

Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata

b. Selang kepercayaan 95%

0,025

278

30

25

= 1,96

X psi

psi

n

Z

Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata

1 /2

2 /2

/

=278 (1,96)(30 / 25)

=266,24

/ )

=278 (1,96)(30 / 25)

=289,76

B X Z n

B X Z n

/2 /2( / / ) 1P X Z n X Z n

Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata

(266,24 289,76) 0,95P

Jadi selang kepercayaan 95 % untuk rata-rata

kekuatan tekanan botol adalah

Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata

PENDUGAAN INTERVAL UNTUK RATA-RATA

(RAGAM POPULASI TIDAK DIKETAHUI)

Pendugaan Interval untuk Rata-rata(Ragam Populasi Tidak Diketahui)

( /2, 1) ( /2, 1)

2

( /2, 1)

( / / ) 1

dimana:

Rata-rata sampel dengan ukuran

arians (ragam) sampel

Standart Deviasi sampel

Ukuran sampel (Banyaknya sampel)

= Nilai distribusi t, den

n n

n

P X t s n X t s n

X n

s V

s

n

t

gan ditentukan

Tingkat Kesalahan

Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata(Ragam Populasi Tidak Diketahui)

Suatu percobaan dilakukan untuk mempelajari

pengaruh pemberian obat terhadap laju jantung 13

ekor kucing. Setiap kucing diberikan 10 mg obat.

Setelah beberapa menit tekanan jantungnya diukur,

laju jantung 13 ekor kucing tersebut adalah sebagai

berikut :

170 126 105 135 186 198 140 160

138 120 150 168 123

Tentukanlah selang kepercayaan 95% untuk rata-rata

laju jantung!

Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata(Ragam Populasi Tidak Diketahui)

i

1

13

1

1X X

1X (170 126 ... 168 123) 147,6

13

n

i

i

n

2

2

1 12

2

2

/

1

292323 (1919 /13)754,09

12

n n

i i

i i

X X n

sn

s

Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata(Ragam Populasi Tidak Diketahui)

Diketahui

(0,025;12)

147,6

27,46

13

= 2,179

X

s

n

t

Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata(Ragam Populasi Tidak Diketahui)

1 ( /2, 1)

2 ( /2, 1)

/

=147,6 (2,179)(27,46 / 13)

=131

/

=147,6+(2,179)(27,46 / 13)

=164,2

n

n

B X t s n

B X t s n

( /2, 1) ( /2, 1)( / / ) 1n nP X t s n X t s n

(131,0 164,2) 0,95P

Jadi selang kepercayaan 95% untuk rata-rata

laju jantung adalah

Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata(Ragam Populasi Tidak Diketahui)

PENDUGAAN INTERVAL UNTUK PROPORSI

(RAGAM POPULASI TIDAK DIKETAHUI)

Pendugaan Interval untuk Proporsi

/2 /2

/2

ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 )ˆ ˆ( ) 1

dimana:

ˆ Nilai proporsi sampel

Ukuran sampel (Banyaknya sampel)

= Nilai distribusi norml baku, dengan ditentukan

Tingkat Kesalahan

p p p pP p Z p p Z

n n

p

n

Z

Contoh Pendugaan Interval untuk Proporsi

Misalkan dari contoh acak berukuran 450

orang yang diamati, diketahui bahwa 120

orang diantaranya adalah perokok.

Tentukanlah selang kepercayaan 95%

untuk p!

Pendugaan Interval untuk Proporsi

Diketahui

(0,025)

ˆ 12

= 1,96

Xp

n

Z

Pendugaan Interval untuk Proporsi

1 /2

2 /2

ˆ ˆ(1 )ˆ

0,267(1 0,267) =0,267 (1,96)

450

=0,23

ˆ ˆ(1 )ˆ

0,267(1 0,267) =0,267+(1,96)

450

=0,31

p pB p Z

n

p pB p Z

n

/2 /2

ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 )ˆ ˆ( ) 1

p p p pP p Z p p Z

n n

(0,23 0,31) 0,95P

Jadi selang kepercayaan 95% untuk p adalah

Contoh Pendugaan Interval untuk Proporsi

PENDUGAAN INTERVAL UNTUK SELISIH RATA-RATA

Pendugaan Interval untuk Rata-rata

2 2 2 2

1 2 1 21 2 1 2/2 /2

1 2 1 2

1 2

2

1

2

1

/2

(( ) ( ) ) 1

dimana:

Selisih rata-rata sampel

arians (ragam) sampel 1

arians (ragam) sampel 2

Ukuran sampel (Banyaknya sampel)

= Nilai dist

P X X Z X X Zn n n n

X X

V

V

n

Z

ribusi normal baku, dengan ditentukan

Tingkat Kesalahan

Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata

Ujian metematika diberikan kepada 75 siswa laki-

laki dan 50 siswa perempuan. Nilai rata-rata

siswa laki-laki adalah 82 dengan simpangan baku

8 dan nilai rata-rata siswa perempuan adalah 76

dengan simpangan baku 6. Tentukanlah selang

kepercayaan 96% untuk selisih rata-rata !

Diketahui :

1 2

2

1

2

2

1

2

0,02

82 76 6

64

36

75

50

= 2,05

X X

n

n

Z

Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata

2 2 2 2

1 2 1 21 2 1 2/2 /2

1 2 1 2

(( ) ( ) ) 1P X X Z X X Zn n n n

2 2

1 21 21 /2

1 2

2 2

1 21 22 /2

1 2

( )

64 36 =6 (2,05)( )

75 50

=3,42

)

64 36 =6+(2,05)( )

75 50

=8,58

B X X Zn n

B X X Zn n

Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata

2 2 2 2

1 2 1 21 2 1 2/2 /2

1 2 1 2

(( ) ( ) ) 1P X X Z X X Zn n n n

(3,42 8,58) 0,96P

Jadi selang kepercayaan 96% untuk selisih rata-

rata

Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata

TERIMAKASIH