teoria do consumidor: escolha envolvendo...
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Teoria do Consumidor:Escolha Envolvendo Risco
Roberto Guena de Oliveira
USP
13 de agosto de 2010
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 1 / 60
Estrutura da aula
1 Loterias
2 Utilidade Esperada
3 Posturas diante do riscoDefiniçõesRepresentações gráficasPrêmio do riscoMedida de aversão ao risco
4 Maximização de utilidade esperadaExemplosComportamento de indivíduos avessos ao risco
5 Problemas com a utilidade esperada
6 Utilidade média variânciaO modelo CAPM
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 2 / 60
Loterias
Exemplos
1 Um bilhete de loteria representa alguns milhões a mais oualguns reais a menos.
2 Quando você sai de casa com um guarda-chuva você levaconsigo apenas um peso a mais para carregar (caso nãochova) ou proteção contra a chuva (caso chova).
3 Quando você aluga uma casa na praia, você compra umfim-de-semana sob o sol ou um fim-de-semana jogandobaralho.
4 Quando você faz seguro de seu caso você comprareembolso de despesas com acidentes (caso elesocorram) ou dinheiro jogado fora (caso nada aconteça).
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 3 / 60
Loterias
Loterias
Definição
Uma loteria é um conjunto de prêmios alternativos emutuamente excludentes, c1, c2, . . . , cn sendo que o prêmio i
(para i = 1,2, . . . , n) é associado a uma probabilidade deocorrência πi de tal sorte que
∑n
i=1πi = 1. Os prêmios podem
ser cestas de bens, prêmios monetários ou outras loterias.
notação
(c1, c2, . . . , cn;π1, π2, . . . , πn)
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 4 / 60
Loterias
Valor esperada de uma loteria
Caso uma loteria
(c1, c2, . . . , cn;π1, π2, . . . , πn)
ofereça apenas prêmios monetários, é possível definir o valoresperado dessa loteria por
VE = π1c1 + π2c2 + . . .+ πncn =n∑
i=1
πici
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 5 / 60
Loterias
Exemplo
Uma pessoa investiu toda sua riqueza w em ações de umaempresa que podem, em um ano, valorizar-se 20% comprobabilidade 3/4 ou desvalorizar-se 10% com probabilidade1/4. A riqueza dessa pessoa daqui a um ano pode serrepresentada pela loteria
(1.2w,0.9w;0.75,0.25).
O valor esperado dessa loteira, ou seja o valor esperado desua riqueza para daqui a um ano, é
0.75× 1.2w+ 0.25× 0.9w = 1.125w.
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 6 / 60
Utilidade Esperada
Utilidade Esperada
John Von Neumann e Oskar Morgenstern 1 mostraram que,dadas algumas hipóteses razoáveis sobre as preferências doconsumidor entre loterias, tais preferências podem serrepresentadas por uma função de utilidade U(·) com aseguinte propriedade:
U(c1, c2;π1, π2) = π1u(c1) + π2u(c2).
na qual u(c1) e u(c2) são as utilidade de se ganhar os prêmiosc1 e c2, respectivamente, com 100% de certeza. Qualquerfunção de utilidade com essa propriedade é chamada defunção de utilidade de Von Neumann e Morgenstern ou defunção de utilidade com propriedade utilidade esperada.
1Theory of Games and Economic Behavior. Princeton Un. Press,
1943.Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 7 / 60
Utilidade Esperada
Transformações afim
Definição
Caso tenhamos V(·) = a+ bU(·) com a,b ∈ R e b> 0. Dizemosque V(·) é uma transformação monotônica afim de U(·).
Propriedade da utilidade esperada
U(·) e V(·) são funções de utilidade que representam asmesmas preferências e têm propriedade utilidade esperada,se, e somente se, forem transformações monotônicas afimuma da outra.
ConcavidadeNote que a concavidade ou convexidade de uma função épreservada por transformações monotônicas afim.
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 8 / 60
Utilidade Esperada
Exemplo:
Um indivíduo tem uma riqueza não nula e sua função deutilidade von Neumann-Morgenstern tem a forma funcionalu(x) = K − a/x, em que a e K são constantes positivas e x > a/K.Este indivíduo é convidado a participar de uma loteria quetriplica sua riqueza com probabilidade p e a reduz à terçaparte com probabilidade 1− p. Qual deve ser o valor mínimode p para que o indivíduo aceite participar da loteria?Multiplique a probabilidade encontrada por 100. R:75
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 9 / 60
Posturas diante do risco
Estrutura da aula
1 Loterias
2 Utilidade Esperada
3 Posturas diante do riscoDefiniçõesRepresentações gráficasPrêmio do riscoMedida de aversão ao risco
4 Maximização de utilidade esperadaExemplosComportamento de indivíduos avessos ao risco
5 Problemas com a utilidade esperada
6 Utilidade média variânciaO modelo CAPM
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 10 / 60
Posturas diante do risco Definições
Estrutura da aula
1 Loterias
2 Utilidade Esperada
3 Posturas diante do riscoDefiniçõesRepresentações gráficasPrêmio do riscoMedida de aversão ao risco
4 Maximização de utilidade esperadaExemplosComportamento de indivíduos avessos ao risco
5 Problemas com a utilidade esperada
6 Utilidade média variânciaO modelo CAPM
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 11 / 60
Posturas diante do risco Definições
Definições
Aversão ao riscoDiz-se que um consumidor é aveso ao risco caso ele prefira ovalor esperado dos prêmios de uma loteria com prêmiosmonetário a essa loteria.
Propenção ao risco
Diz-se que um consumidor é propenso ao risco caso eleprefira uma loteria com prêmios monetário ao valor esperadodos prêmios dessa loteria.
Neutralidade frente ao riscoDiz-se que um consumidor é risco neutro caso ele sejaindiferente entre uma loteria com prêmios monetário e o valoresperado dos prêmios dessa loteria.
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 12 / 60
Posturas diante do risco R. gráficas
Estrutura da aula
1 Loterias
2 Utilidade Esperada
3 Posturas diante do riscoDefiniçõesRepresentações gráficasPrêmio do riscoMedida de aversão ao risco
4 Maximização de utilidade esperadaExemplosComportamento de indivíduos avessos ao risco
5 Problemas com a utilidade esperada
6 Utilidade média variânciaO modelo CAPM
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 13 / 60
Posturas diante do risco R. gráficas
Aversão ao risco: representação gráfica
Riqueza
Utilidade
c1 c2
u(c1)
u(c2)
u(π1c1 + π2c2)
π1c1 + π2c2
U(c1,c2;π1, π2)
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 14 / 60
Posturas diante do risco R. gráficas
Propensão ao risco: representação gráfica
Riqueza
Utilidade
c1
u(c1)
c2
u(c2)
u(π1c1 + π2c2)U(c1,c2;π1, π2)
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 15 / 60
Posturas diante do risco R. gráficas
Neutralidde frente ao risco: representaçãográfica
Riqueza
Utilidade
c1
u(c1)
c2
u(c2)
π1c1 + π2c2
U(c1,c2;π1, π2) =U(π1c1 + π2c2)
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 16 / 60
Posturas diante do risco Prêmio do risco
Estrutura da aula
1 Loterias
2 Utilidade Esperada
3 Posturas diante do riscoDefiniçõesRepresentações gráficasPrêmio do riscoMedida de aversão ao risco
4 Maximização de utilidade esperadaExemplosComportamento de indivíduos avessos ao risco
5 Problemas com a utilidade esperada
6 Utilidade média variânciaO modelo CAPM
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 17 / 60
Posturas diante do risco Prêmio do risco
Definições
Equivalente Seguro
O equivalente seguro de uma loteria monetária é o valor100% seguro que o consumidor considera indiferente àloteria.
Prêmio do riscoO prêmio do risco de uma loteria monetária é a diferençaentre o valor esperado dessa loteria e seu equivalente seguro.
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 18 / 60
Posturas diante do risco Prêmio do risco
Representação gráfica
Riqueza
Utilidade
c1 c2
u(c1)
u(c2)
u(π1c1 + π2c2)
Valor espe-rado:π1c1 + π2c2
U(c1,c2;π1, π2)
Equivalente Seguro
Prêmio do risco
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 19 / 60
Posturas diante do risco Prêmio do risco
Exemplo numérico
Função de utilidade V. Neumann - Morgenstern: u(w) =pw
Valores que w pode assumir: 9 com 50% de chance ou 25com 50% de chance.
Valor esperado: VE =9+ 25
2= 17
Utilidade esperada: UE =3+ 5
2= 4
Equivalente seguro:p
ES = 4⇒ ES = 16
Prêmio do risco: PR = VE− ES = 17− 16 = 1
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 20 / 60
Posturas diante do risco Prêmio do risco
Exemplo
Um consumidor tem uma função utilidade de vonNeumann-Morgenstern representada por u(z) = log2 z. Elepossui uma riqueza inicial de R$ 128 e participarágratuitamente de uma loteria que pagará R$ 384,00 comprobabilidade 1
2 e R$ 0 com probabilidade 12 . O menor valor
que o consumidor estaria disposto a receber em troca dobilhete de loteria é de 2β. Qual o valor de β?
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 21 / 60
Posturas diante do risco Med. avers.
Estrutura da aula
1 Loterias
2 Utilidade Esperada
3 Posturas diante do riscoDefiniçõesRepresentações gráficasPrêmio do riscoMedida de aversão ao risco
4 Maximização de utilidade esperadaExemplosComportamento de indivíduos avessos ao risco
5 Problemas com a utilidade esperada
6 Utilidade média variânciaO modelo CAPM
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 22 / 60
Posturas diante do risco Med. avers.
Medidas de aversão ao risco
Aversão absoluta
−u′′(w)
u′(w)
Aversão relativa
−wu′′(w)
u′(w)
Funções de utilidade com aversão ao risco constante
Absoluta
u(w) = −e−αwRelativa
u(w) =w1−α − 11− α
para α 6= 1
u(w) = lnw para α = 1
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 23 / 60
Posturas diante do risco Med. avers.
Exemplo
Um indivíduo possui riqueza W = $100 e se depara com umaloteria que pode acrescentar $44 a sua riqueza, comprobabilidade 1/4, ou subtrair $36, com probabilidade 3/4.Sua utilidade, do tipo Von Neumann-Morgenstern (VNM), édada por u(x) =
px .
Qual é sua aversão absoluta ao risco?
Qual é sua aversão relativa ao risco?
Qual o valor máximo que ele estaria disposto a pagarpara se livrar desse risco?
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 24 / 60
Maximização Exemplos
Estrutura da aula
1 Loterias
2 Utilidade Esperada
3 Posturas diante do riscoDefiniçõesRepresentações gráficasPrêmio do riscoMedida de aversão ao risco
4 Maximização de utilidade esperadaExemplosComportamento de indivíduos avessos ao risco
5 Problemas com a utilidade esperada
6 Utilidade média variânciaO modelo CAPM
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 25 / 60
Maximização Exemplos
Exemplo:
Um fazendeiro tem a opção de cultivar trigo e batatas. Sefizer sol, cada hectare gerará um lucro de 200 se plantadocom trigo e de 100 se plantado com batata. Se chover cadahectare de trigo gerará um lucro de 120 e cada hectare debatata gerará um lucro de 200. A utilidade do fazendeiro édada por U(Y) = lnY, sendo Y o lucro obtido. As probabilidadesde fazer sol e de chover são iguais. Que proporção de suaterra o fazendeiro deverá destinar ao plantio de cada produto?
Resposta: 75% de trigo e 25% de batata.
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 26 / 60
Maximização Comport.
Estrutura da aula
1 Loterias
2 Utilidade Esperada
3 Posturas diante do riscoDefiniçõesRepresentações gráficasPrêmio do riscoMedida de aversão ao risco
4 Maximização de utilidade esperadaExemplosComportamento de indivíduos avessos ao risco
5 Problemas com a utilidade esperada
6 Utilidade média variânciaO modelo CAPM
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 27 / 60
Maximização Comport.
Justiça atuarial
Loterias atuarialmente justas
Loterias atuarialmente justas são loterias que geram umganho esperado líquido igual a zero.
Exemplos1 Não pagar nada para entrar no seguinte jogo: se o
resultado do lançamento de uma moeda não viciada forcara, você receberá R$10,00, se for coroa, você pagaráR$10,00.
2 Um seguro com preço de R$1.000,00 contra o roubo deum automóvel que vale R$10.000,00 cuja probabilidade éde 10%.
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 28 / 60
Maximização Comport.
Quanto segurar
Suponha que um consumidor avesso ao risco tenha umariqueza w que poderá ser reduzida de um valor L, porexemplo, em virtude do roubo de seu automóvel, comprobabilidade π. Se uma seguradora oferecer segurarqualquer parcela dessa perda a uma taxa atuarialmente justa,ou seja, cobrando γ = π reais por real segurado, quanto esseconsumidor deverá segurar?
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 29 / 60
Maximização Comport.
Solução (a)
Seja K o montante segurado. A riqueza esperada doconsumidor será
we = π(w− L+ K − γK) + (1− π)(w− γK)
Simplificando,we = w− π(L− K)− γK
Como, por hipótese, γ = π,
we = w− πL
Portanto, a riqueza esperada não é afetada pelo valorsegurado K, caso o seguro seja atuarialmente justo.
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 30 / 60
Maximização Comport.
Solução (b)
Caso o consumidor segure todo o valor L, todo o riscoserá eliminado.
Qualquer outro valor para L envolverá algum risco, poissua riqueza em caso de ocorrência da perda serádiferente de sua riqueza caso essa perda não ocorra.
Como o consumidor é avesso ao risco e como o valoresperado da riqueza não é afetado, quando γ = π, pelaescolha de K. Ele deve preferir K = L a qualquer outraalternativa.
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 31 / 60
Maximização Comport.
Quando investir em um ativo de risco?
Um consumidor com aversão a risco pode dividir sua riquezaw em dois ativos: um livre de risco e com retorno rf e outroativo que dará um retorno r0 com probabilidade π e umretorno r1 com probabilidade 1− π. Sob que condições eledeverá investir parte de sua riqueza no ativo com risco?
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 32 / 60
Maximização Comport.
Solução (a)
Sejam x a parcela de sua riqueza que o consumidor investeno ativo de risco, ρf = 1+ rf , ρ0 = 1+ r0 e ρ1 = 1+ r1. Então:
UE =πU�
ρf (1− x)w+ ρ0xw�
+ (1− π)U�
ρf (1− x)w+ ρ1xw�
Se UE for crescente em relação a x em x = 0, o consumidordeve investir parte de sua riqueza no ativo de risco.
∂UE
∂x= w�
π(ρ0 − ρf )U′�
ρf (1− x)w+ ρ0xw�
+ (1− π)(ρ1 − ρf )U′�
ρf (1− x)w+ ρ1xw��
Calculando em x = 0
∂UE(x = 0)
∂x= w{[πρ0 + (1− π)ρ1]− ρf}U′(ρfw)
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 33 / 60
Maximização Comport.
Solução (b)
Portanto, vale a pena investir mais do que zero no ativo derisco caso
πρ0 + (1− π)ρ1 > ρf
isto é, casoπr0 + (1− π)r1 > rf .
Ou seja , sempre que o retorno esperado do ativo com riscofor maior do que o retorno do ativo livre de risco.
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 34 / 60
Problemas com a utilidade esperada
Estrutura da aula
1 Loterias
2 Utilidade Esperada
3 Posturas diante do risco
4 Maximização de utilidade esperada
5 Problemas com a utilidade esperada
6 Utilidade média variância
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 35 / 60
Problemas com a utilidade esperada
O Paradoxo de Allais
Primeira escolha:
Prêmio Probabilidades
(R$ milhões) Alternativa 1 Alternativa 2
0 0,00 0,011 1,00 0,895 0,00 0,10
Segunda escolha:
Prêmio Probabilidades
(R$ milhões) Alternativa 1’ Alternativa 2’
0 0,89 0,901 0,11 0,005 0,00 0,10
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 36 / 60
Problemas com a utilidade esperada
O Paradoxo de Allais
A maioria das pessoas declara preferir a alternativa 1 àalternativa 2 e preferir a alternativa 2’ à alternativa 1’.
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 37 / 60
Problemas com a utilidade esperada
O Paradoxo de Allais
Suponha que alguém declare preferir a alternativa 1 àalternativa 2. Então,
u(1) > 0,01u(0) + 0,89u(1) + 0,1u(5)
Se somarmos 0,89u(0) e subtrairmos 0,89u(1) dos dois ladosda desigualdade, ficamos com
0,11u(1) + 0,89u(0)> 0,9u(0) + 0,1u(5)
Portanto, quem prefere a alternativa 1 à alternativa 2, deveriapreferir a alternativa 1’ à alternativa 2’.
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 38 / 60
Utilidade média variância
Estrutura da aula
1 Loterias
2 Utilidade Esperada
3 Posturas diante do risco
4 Maximização de utilidade esperada
5 Problemas com a utilidade esperada
6 Utilidade média variânciaO modelo CAPM
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 39 / 60
Utilidade média variância
Distribuições paramétricas
Algumas distribuições de probabilidade são perfeitamentedescritas por um ou mais parâmetros. Por exemplo, adistribuição normal é totalmente descrita por sua média epor seu desvio padrão.
Nesse caso, pode-se pensar uma função de utilidade quetenha como argumento esses parâmetros.
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 40 / 60
Utilidade média variância
Utilidade média variância
Função de utilidade decorrente de uma alocação deriqueza: U(μ, σ) na qual μ é o retorno esperado da riquezae σ é o desvio padrão (uma medida de risco).
Deve-se esperar, para um consumidor com aversão aorisco, que μ seja um bem e σ seja um mal.
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 41 / 60
Utilidade média variância
Exemplo: Carteira de investimento com umativo com risco
Suponha um consumidor que deve alocar sua riqueza emdois ativos: um livre de risco com rentabilidade rf e umcom risco, rentabilidade esperada rm e desvio padrão σm.Caso o consumidor opte por aplicar uma parcela x de suarenda no ativo com risco, ele terá uma carteira deinvestimentos com:
Rentabilidade esperada: rx = xrm + (1− x)rfDesvio padrão: σx = xσm
A relação entre rx e x será
rx = rf +rm − rfσm
σx
(rm − rf )/σm é chamado preço do risco; [(rm − rf )/σm]σx é oprêmio do risco.
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 42 / 60
Utilidade média variância
Equilíbrio
σx
rx
rx = rf +rm−rfσm
σx
Curva de indiferença
b
Prêmiodo risco
Preço do risco
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 43 / 60
Utilidade média variância
Alavancagem financeira
Caso seja possível tomar recursos emprestados à taxa dejuros rf , então, o investidor poderá escolher x > 1 tomandoemprestado um valor igual a x− 1 vezes sua riqueza einvestindo toda sua riqueza mais o valor emprestado no ativocom risco. Sua rentabilidade esperada será
rx = xrm − (x− 1)rf = xrm + (1− x)rf .
O desvio padrão de sua rentabilidade será
σx = xσm
Consequentemente, a linha de mercado continua além doponto descrevendo a rentabilidade e o risco do ativo de risco.
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 44 / 60
Utilidade média variância
Alavancagem financeira – representação gráfica
σx
rx
rx = rf +rm−rfσm
σxposições nãoalavancadas
posiçõesalavancadas
brm
σm
rf
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 45 / 60
Utilidade média variância O modelo CAPM
Escolha entre dois ativos
Hipóteses
Dois ativos com risco com rentabilidades esperadas r1 er2 e variâncias σ2
1e σ2
2e um ativo livre de risco com
rentabilidade rf .
Só é possível criar portifólios contendo apenas um ativode risco combinado com o ativo livre de risco.
É possível obter recursos extras à taxa rf
Principal conclusão
Deverá ser escolhido o ativo de risco que paga o maior preçodo risco. Por exemplo, para que o ativo a seja escolhido, épreciso que
r1 − rfσ1≥r2 − rfσ2
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 46 / 60
Utilidade média variância O modelo CAPM
Ilustração: Ativo 1 domina o ativo 2
rf
br2
σ2
br1
σ1
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 47 / 60
Utilidade média variância O modelo CAPM
Combinando dois ativos com risco
Ativos iniciais
Ativo rent. esperada variância1 E(r̃1) = r1 σ1
2
2 E(r̃2) = r2 σ22
Portfólio composto
z = (α,1− α)sendo que α (0 ≤ α ≤ 1) representa a participação em valordo ativo 1 no portfólio. Consequentemente esse ativo terá
Retorno esperado E(r̃z) = rz = αr1 + (1− α)r2Variância σz
2 = α2σ12 + (1− α)2σ22 + 2α(1− α)σ1,2
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 48 / 60
Utilidade média variância O modelo CAPM
Redução de risco via diversificação
Lembrando queσ1,2 ≤ σ1σ2
Chegamos a
σz2 = α2σ1
2 + (1− α)2σ22 + 2α(1− α)σ1,2≤ α2σ1
2 + (1− α)2σ22 + 2α(1− α)σ1σ2= [ασ1 + (1− α)σ2]2
Consequentemente,σz ≤ σ1 + (1− α)σ2.Em particular, caso tenhamos r1 = r2 = r̄ e σ1 = σ2 = σ̄ com r̃1e r̃2 não apresentando correlação linear perfeita e positiva(σ1,2 < σ1σ2), teremos
σz < σ̄
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 49 / 60
Utilidade média variância O modelo CAPM
Diversificação: representação gráfica
desv. pad.
rendimento
ρ=−1,0ρ=−0,5ρ= 0,0ρ= 0,5ρ= 1,0
br1
σ1
br2
σ2
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 50 / 60
Utilidade média variância O modelo CAPM
Melhor combinação de dois ativos com risco
desv. pad.
rendimento
br2
σ2
br1
σ1
rf
b
bMelhorcombinaçãodos doisativos
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 51 / 60
Utilidade média variância O modelo CAPM
A fronteira eficiente
Definição
A fronteira eficiente ou conjunto eficiente de Markowitz é oconjunto de todos os portfólios de ativos com risco queoferecem a maior rentabiliade possível dado o seu risco.
Propriedade importante
Devido ao fato de que o risco é reduzido quando dois ativossão combinados, a fronteira eficiente deve formarconcavidade à direita.
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 52 / 60
Utilidade média variância O modelo CAPM
A melhor combinação de ativos
desv. pad.
rendimento
rf
b
σo
ro Melhorcombinaçãode ativoscom risco
Fronteiraeficiente
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 53 / 60
Utilidade média variância O modelo CAPM
Fronteira eficiente e um ativo individual – I
Sejam
m = (s1, s2, s3, . . . , sn) o portfólio de ativos com risco ótimono qual∑n
i=1si = 1
rm o retorno esperado de m e σm o desvio padrão desseretorno.
a = (1,0, . . . ,0) um portfólio composto apenas pelo ativo1, de tal sorte que seu retorno esperado é r1 com desviopadrão σ1
x(α) = αa+ (a− α)m
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 54 / 60
Utilidade média variância O modelo CAPM
Fronteira eficiente e um ativo individual – II
Nessas condições teremos
x(0) =m e x(− s11−s1 ) = (0, 1
1−s1s2,1
1−s1 s3, . . .1
1−s1sn) =m\1O retorno esperado de x(α) será rα = αr1 + (1− α)rmO desvio padrão seráσα =Æ
α2r21+ (1− α)2r2
m+ 2α(1− α)σ1,m
A curva que descreve a trajetória de (σα, rα) com respeitoa variações em α nunca ficará à direita da fronteiraeficiente (x(α) é no máximo eficiente) e tocará essafronteira quando α = 0 (x(0) =m é eficiente).
Assim, essa curva deverá ser tangente à fronteiraeficiente no ponto (σm, rm)
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 55 / 60
Utilidade média variância O modelo CAPM
Fronteira eficiente e um ativo individual – III
σ
rendimento
brm\1
σm\1
bra
σ1
rf
b
σm
rmαa+ (1− α)m
Fronteiraeficiente
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 56 / 60
Utilidade média variância O modelo CAPM
Relação entre a fronteira eficiente e um ativoindividual – IVAs inclinações das duas curvas
A inclinação da fronteira eficiente no portfólio ótimo é
rm − rfσm
(1)
A inclinação da curva azul é drα /dα
dσα /dα
=
d
dα(αr1 + (1− αrm))
d
dα
Æ
α2σ21+ (1− α)2σ2
m+ 2α(1− α)σ1,m
=r1 − rm
ασ21−(1−α)σ2
m+σm,1−2ασm,1
Æ
α2σ21+(1−α)2σ2
m+2α(1−α)σ1,m
(2)
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 57 / 60
Utilidade média variância O modelo CAPM
Relação entre a fronteira eficiente e um ativoindividual – V
Quando α = 0, (1) é igual a (2), assim,
r1 − rmσm,1
σm− σm
=rm − rfσm
Resolvendo para r1, obtemos
r1 = rf +σm,1
σ2m
(rm − rf )
Convencionando β =σm,1
σ2m
, ficamos com
r1 = rf + β(rm − rf )
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 58 / 60
Utilidade média variância O modelo CAPM
Modelo CAPM
Hipóteses
Os mercado são perfeitamente competitivos, a informação écomum, todos os investidores são aversos a risco e estimamas mesmas distribuições de probabilidade para todos osativos e é possível emprestar e tomar emprestado à taxa rf .
Principal conclusão
Nessas condições, para todos os investidores, o portfólioótimo dos ativos com risco é o portfólio de mercado, ou sejacada ativo deve participar, em valor, do portfólio ótimo namesma proporção que ele participa, em valor, do mercado.
Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 59 / 60
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