an eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/talks/talks_pdf/paula_pale… · an eis de grupos...
TRANSCRIPT
![Page 1: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/1.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis de grupo ∗-limpos
Paula Murgel Veloso
Universidade Federal Fluminense, Departamento de Analise, Niteroi – RJ
2 de outubro de 2015
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 2: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/2.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes
A anel (associativo com 1).
grupo de unidades de A:U(A) = {a ∈ A ; ∃ b ∈ A, ab = 1 = ba}; u e uma unidade emA se u ∈ U(A).
elemento idempotente: e ∈ A tal que e2 = e.e, f ∈ A sao idempotentes ortogonais se sao ambosidempotentes e ef = 0.
elemento nilpotente: x ∈ A tal que xn = 0 para algum n ≥ 1.
radical de Jacobson de A:J (A) =
⋂M ideal maximal a esquerda de AM.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 3: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/3.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes
A anel (associativo com 1).
grupo de unidades de A:U(A) = {a ∈ A ; ∃ b ∈ A, ab = 1 = ba}; u e uma unidade emA se u ∈ U(A).
elemento idempotente: e ∈ A tal que e2 = e.e, f ∈ A sao idempotentes ortogonais se sao ambosidempotentes e ef = 0.
elemento nilpotente: x ∈ A tal que xn = 0 para algum n ≥ 1.
radical de Jacobson de A:J (A) =
⋂M ideal maximal a esquerda de AM.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 4: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/4.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes
A anel (associativo com 1).
grupo de unidades de A:
U(A) = {a ∈ A ; ∃ b ∈ A, ab = 1 = ba}; u e uma unidade emA se u ∈ U(A).
elemento idempotente: e ∈ A tal que e2 = e.e, f ∈ A sao idempotentes ortogonais se sao ambosidempotentes e ef = 0.
elemento nilpotente: x ∈ A tal que xn = 0 para algum n ≥ 1.
radical de Jacobson de A:J (A) =
⋂M ideal maximal a esquerda de AM.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 5: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/5.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes
A anel (associativo com 1).
grupo de unidades de A:U(A) = {a ∈ A ; ∃ b ∈ A, ab = 1 = ba};
u e uma unidade emA se u ∈ U(A).
elemento idempotente: e ∈ A tal que e2 = e.e, f ∈ A sao idempotentes ortogonais se sao ambosidempotentes e ef = 0.
elemento nilpotente: x ∈ A tal que xn = 0 para algum n ≥ 1.
radical de Jacobson de A:J (A) =
⋂M ideal maximal a esquerda de AM.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 6: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/6.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes
A anel (associativo com 1).
grupo de unidades de A:U(A) = {a ∈ A ; ∃ b ∈ A, ab = 1 = ba}; u e uma unidade emA se u ∈ U(A).
elemento idempotente: e ∈ A tal que e2 = e.e, f ∈ A sao idempotentes ortogonais se sao ambosidempotentes e ef = 0.
elemento nilpotente: x ∈ A tal que xn = 0 para algum n ≥ 1.
radical de Jacobson de A:J (A) =
⋂M ideal maximal a esquerda de AM.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 7: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/7.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes
A anel (associativo com 1).
grupo de unidades de A:U(A) = {a ∈ A ; ∃ b ∈ A, ab = 1 = ba}; u e uma unidade emA se u ∈ U(A).
elemento idempotente:
e ∈ A tal que e2 = e.e, f ∈ A sao idempotentes ortogonais se sao ambosidempotentes e ef = 0.
elemento nilpotente: x ∈ A tal que xn = 0 para algum n ≥ 1.
radical de Jacobson de A:J (A) =
⋂M ideal maximal a esquerda de AM.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 8: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/8.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes
A anel (associativo com 1).
grupo de unidades de A:U(A) = {a ∈ A ; ∃ b ∈ A, ab = 1 = ba}; u e uma unidade emA se u ∈ U(A).
elemento idempotente: e ∈ A tal que e2 = e.
e, f ∈ A sao idempotentes ortogonais se sao ambosidempotentes e ef = 0.
elemento nilpotente: x ∈ A tal que xn = 0 para algum n ≥ 1.
radical de Jacobson de A:J (A) =
⋂M ideal maximal a esquerda de AM.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 9: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/9.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes
A anel (associativo com 1).
grupo de unidades de A:U(A) = {a ∈ A ; ∃ b ∈ A, ab = 1 = ba}; u e uma unidade emA se u ∈ U(A).
elemento idempotente: e ∈ A tal que e2 = e.e, f ∈ A sao idempotentes ortogonais se sao ambosidempotentes e ef = 0.
elemento nilpotente: x ∈ A tal que xn = 0 para algum n ≥ 1.
radical de Jacobson de A:J (A) =
⋂M ideal maximal a esquerda de AM.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 10: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/10.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes
A anel (associativo com 1).
grupo de unidades de A:U(A) = {a ∈ A ; ∃ b ∈ A, ab = 1 = ba}; u e uma unidade emA se u ∈ U(A).
elemento idempotente: e ∈ A tal que e2 = e.e, f ∈ A sao idempotentes ortogonais se sao ambosidempotentes e ef = 0.
elemento nilpotente:
x ∈ A tal que xn = 0 para algum n ≥ 1.
radical de Jacobson de A:J (A) =
⋂M ideal maximal a esquerda de AM.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 11: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/11.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes
A anel (associativo com 1).
grupo de unidades de A:U(A) = {a ∈ A ; ∃ b ∈ A, ab = 1 = ba}; u e uma unidade emA se u ∈ U(A).
elemento idempotente: e ∈ A tal que e2 = e.e, f ∈ A sao idempotentes ortogonais se sao ambosidempotentes e ef = 0.
elemento nilpotente: x ∈ A tal que xn = 0 para algum n ≥ 1.
radical de Jacobson de A:J (A) =
⋂M ideal maximal a esquerda de AM.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 12: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/12.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes (cont.)
involucao de anel: anti-automorfismo (de anel) de ordem 2(∗ : A −→ A; ∀a, b ∈ A, (a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).
∗-anel: anel com involucao.
projecao: p ∈ A, com A um ∗-anel, tal que p e idempotente e∗-simetrico (i.e., p∗ = p).
involucao de grupo: anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2(∗ : G −→ G ; ∀x , y ∈ G , (xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 13: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/13.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes (cont.)
involucao de anel:
anti-automorfismo (de anel) de ordem 2(∗ : A −→ A; ∀a, b ∈ A, (a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).
∗-anel: anel com involucao.
projecao: p ∈ A, com A um ∗-anel, tal que p e idempotente e∗-simetrico (i.e., p∗ = p).
involucao de grupo: anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2(∗ : G −→ G ; ∀x , y ∈ G , (xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 14: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/14.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes (cont.)
involucao de anel: anti-automorfismo (de anel) de ordem 2
(∗ : A −→ A; ∀a, b ∈ A, (a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).
∗-anel: anel com involucao.
projecao: p ∈ A, com A um ∗-anel, tal que p e idempotente e∗-simetrico (i.e., p∗ = p).
involucao de grupo: anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2(∗ : G −→ G ; ∀x , y ∈ G , (xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 15: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/15.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes (cont.)
involucao de anel: anti-automorfismo (de anel) de ordem 2(∗ : A −→ A;
∀a, b ∈ A, (a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).
∗-anel: anel com involucao.
projecao: p ∈ A, com A um ∗-anel, tal que p e idempotente e∗-simetrico (i.e., p∗ = p).
involucao de grupo: anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2(∗ : G −→ G ; ∀x , y ∈ G , (xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 16: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/16.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes (cont.)
involucao de anel: anti-automorfismo (de anel) de ordem 2(∗ : A −→ A; ∀a, b ∈ A,
(a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).
∗-anel: anel com involucao.
projecao: p ∈ A, com A um ∗-anel, tal que p e idempotente e∗-simetrico (i.e., p∗ = p).
involucao de grupo: anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2(∗ : G −→ G ; ∀x , y ∈ G , (xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 17: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/17.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes (cont.)
involucao de anel: anti-automorfismo (de anel) de ordem 2(∗ : A −→ A; ∀a, b ∈ A, (a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).
∗-anel: anel com involucao.
projecao: p ∈ A, com A um ∗-anel, tal que p e idempotente e∗-simetrico (i.e., p∗ = p).
involucao de grupo: anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2(∗ : G −→ G ; ∀x , y ∈ G , (xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 18: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/18.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes (cont.)
involucao de anel: anti-automorfismo (de anel) de ordem 2(∗ : A −→ A; ∀a, b ∈ A, (a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).
∗-anel:
anel com involucao.
projecao: p ∈ A, com A um ∗-anel, tal que p e idempotente e∗-simetrico (i.e., p∗ = p).
involucao de grupo: anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2(∗ : G −→ G ; ∀x , y ∈ G , (xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 19: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/19.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes (cont.)
involucao de anel: anti-automorfismo (de anel) de ordem 2(∗ : A −→ A; ∀a, b ∈ A, (a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).
∗-anel: anel com involucao.
projecao: p ∈ A, com A um ∗-anel, tal que p e idempotente e∗-simetrico (i.e., p∗ = p).
involucao de grupo: anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2(∗ : G −→ G ; ∀x , y ∈ G , (xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 20: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/20.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes (cont.)
involucao de anel: anti-automorfismo (de anel) de ordem 2(∗ : A −→ A; ∀a, b ∈ A, (a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).
∗-anel: anel com involucao.
projecao:
p ∈ A, com A um ∗-anel, tal que p e idempotente e∗-simetrico (i.e., p∗ = p).
involucao de grupo: anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2(∗ : G −→ G ; ∀x , y ∈ G , (xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 21: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/21.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes (cont.)
involucao de anel: anti-automorfismo (de anel) de ordem 2(∗ : A −→ A; ∀a, b ∈ A, (a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).
∗-anel: anel com involucao.
projecao: p ∈ A, com A um ∗-anel, tal que p e idempotente
e∗-simetrico (i.e., p∗ = p).
involucao de grupo: anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2(∗ : G −→ G ; ∀x , y ∈ G , (xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 22: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/22.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes (cont.)
involucao de anel: anti-automorfismo (de anel) de ordem 2(∗ : A −→ A; ∀a, b ∈ A, (a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).
∗-anel: anel com involucao.
projecao: p ∈ A, com A um ∗-anel, tal que p e idempotente e∗-simetrico (i.e., p∗ = p).
involucao de grupo: anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2(∗ : G −→ G ; ∀x , y ∈ G , (xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 23: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/23.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes (cont.)
involucao de anel: anti-automorfismo (de anel) de ordem 2(∗ : A −→ A; ∀a, b ∈ A, (a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).
∗-anel: anel com involucao.
projecao: p ∈ A, com A um ∗-anel, tal que p e idempotente e∗-simetrico (i.e., p∗ = p).
involucao de grupo:
anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2(∗ : G −→ G ; ∀x , y ∈ G , (xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 24: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/24.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes (cont.)
involucao de anel: anti-automorfismo (de anel) de ordem 2(∗ : A −→ A; ∀a, b ∈ A, (a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).
∗-anel: anel com involucao.
projecao: p ∈ A, com A um ∗-anel, tal que p e idempotente e∗-simetrico (i.e., p∗ = p).
involucao de grupo: anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2
(∗ : G −→ G ; ∀x , y ∈ G , (xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 25: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/25.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes (cont.)
involucao de anel: anti-automorfismo (de anel) de ordem 2(∗ : A −→ A; ∀a, b ∈ A, (a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).
∗-anel: anel com involucao.
projecao: p ∈ A, com A um ∗-anel, tal que p e idempotente e∗-simetrico (i.e., p∗ = p).
involucao de grupo: anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2(∗ : G −→ G ;
∀x , y ∈ G , (xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 26: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/26.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes (cont.)
involucao de anel: anti-automorfismo (de anel) de ordem 2(∗ : A −→ A; ∀a, b ∈ A, (a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).
∗-anel: anel com involucao.
projecao: p ∈ A, com A um ∗-anel, tal que p e idempotente e∗-simetrico (i.e., p∗ = p).
involucao de grupo: anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2(∗ : G −→ G ; ∀x , y ∈ G ,
(xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 27: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/27.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Algumas definicoes (cont.)
involucao de anel: anti-automorfismo (de anel) de ordem 2(∗ : A −→ A; ∀a, b ∈ A, (a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).
∗-anel: anel com involucao.
projecao: p ∈ A, com A um ∗-anel, tal que p e idempotente e∗-simetrico (i.e., p∗ = p).
involucao de grupo: anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2(∗ : G −→ G ; ∀x , y ∈ G , (xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 28: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/28.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Elementos regulares e unit-regulares
(Lam [4, Chapter 2, Section 4])
a ∈ A e um elemento (von Neumann-)regular se existe b ∈ A talque a = aba.
a ∈ A e um elemento unit-regular se existe u ∈ U(A) tal quea = aua.
Exemplos
Zero: 0 = 0a0, para todo a ∈ A;
Elementos idempotentes: e = e1e;
Unidades: u = uu−1u.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 29: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/29.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Elementos regulares e unit-regulares
(Lam [4, Chapter 2, Section 4])
a ∈ A e um elemento (von Neumann-)regular se existe b ∈ A talque a = aba.
a ∈ A e um elemento unit-regular se existe u ∈ U(A) tal quea = aua.
Exemplos
Zero: 0 = 0a0, para todo a ∈ A;
Elementos idempotentes: e = e1e;
Unidades: u = uu−1u.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 30: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/30.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Elementos regulares e unit-regulares
(Lam [4, Chapter 2, Section 4])
a ∈ A e um elemento (von Neumann-)regular se existe b ∈ A talque a = aba.
a ∈ A e um elemento unit-regular se existe u ∈ U(A) tal quea = aua.
Exemplos
Zero: 0 = 0a0, para todo a ∈ A;
Elementos idempotentes: e = e1e;
Unidades: u = uu−1u.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 31: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/31.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Elementos regulares e unit-regulares
(Lam [4, Chapter 2, Section 4])
a ∈ A e um elemento (von Neumann-)regular se existe b ∈ A talque a = aba.
a ∈ A e um elemento unit-regular se existe u ∈ U(A) tal quea = aua.
Exemplos
Zero: 0 = 0a0, para todo a ∈ A;
Elementos idempotentes: e = e1e;
Unidades: u = uu−1u.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 32: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/32.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Elementos regulares e unit-regulares
(Lam [4, Chapter 2, Section 4])
a ∈ A e um elemento (von Neumann-)regular se existe b ∈ A talque a = aba.
a ∈ A e um elemento unit-regular se existe u ∈ U(A) tal quea = aua.
Exemplos
Zero: 0 = 0a0, para todo a ∈ A;
Elementos idempotentes: e = e1e;
Unidades: u = uu−1u.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 33: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/33.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Elementos regulares e unit-regulares
(Lam [4, Chapter 2, Section 4])
a ∈ A e um elemento (von Neumann-)regular se existe b ∈ A talque a = aba.
a ∈ A e um elemento unit-regular se existe u ∈ U(A) tal quea = aua.
Exemplos
Zero: 0 = 0a0, para todo a ∈ A;
Elementos idempotentes: e = e1e;
Unidades: u = uu−1u.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 34: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/34.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis (von Neumann-)regulares e unit-regulares
A e um anel (von Neumann-)regular se todo elemento a ∈ A eregular.
A e um anel (unit-)regular se todo elemento a ∈ A e unit-regular.
Teorema
Sao equivalentes:
A e anel regular;
todo ideal principal/finitamente gerado a esquerda e geradopor um idempotente;
todo ideal principal/finitamente gerado a esquerda e umsomando direto do A-modulo A.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 35: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/35.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis (von Neumann-)regulares e unit-regulares
A e um anel (von Neumann-)regular se todo elemento a ∈ A eregular.
A e um anel (unit-)regular se todo elemento a ∈ A e unit-regular.
Teorema
Sao equivalentes:
A e anel regular;
todo ideal principal/finitamente gerado a esquerda e geradopor um idempotente;
todo ideal principal/finitamente gerado a esquerda e umsomando direto do A-modulo A.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 36: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/36.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis (von Neumann-)regulares e unit-regulares
A e um anel (von Neumann-)regular se todo elemento a ∈ A eregular.
A e um anel (unit-)regular se todo elemento a ∈ A e unit-regular.
Teorema
Sao equivalentes:
A e anel regular;
todo ideal principal/finitamente gerado a esquerda e geradopor um idempotente;
todo ideal principal/finitamente gerado a esquerda e umsomando direto do A-modulo A.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 37: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/37.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis (von Neumann-)regulares e unit-regulares
A e um anel (von Neumann-)regular se todo elemento a ∈ A eregular.
A e um anel (unit-)regular se todo elemento a ∈ A e unit-regular.
Teorema
Sao equivalentes:
A e anel regular;
todo ideal principal/finitamente gerado a esquerda e geradopor um idempotente;
todo ideal principal/finitamente gerado a esquerda e umsomando direto do A-modulo A.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 38: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/38.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis (von Neumann-)regulares e unit-regulares
A e um anel (von Neumann-)regular se todo elemento a ∈ A eregular.
A e um anel (unit-)regular se todo elemento a ∈ A e unit-regular.
Teorema
Sao equivalentes:
A e anel regular;
todo ideal principal/finitamente gerado a esquerda e geradopor um idempotente;
todo ideal principal/finitamente gerado a esquerda e umsomando direto do A-modulo A.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 39: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/39.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis (von Neumann-)regulares e unit-regulares
A e um anel (von Neumann-)regular se todo elemento a ∈ A eregular.
A e um anel (unit-)regular se todo elemento a ∈ A e unit-regular.
Teorema
Sao equivalentes:
A e anel regular;
todo ideal principal/finitamente gerado a esquerda e geradopor um idempotente;
todo ideal principal/finitamente gerado a esquerda e umsomando direto do A-modulo A.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 40: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/40.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis (von Neumann-)regulares e unit-regulares
A e um anel (von Neumann-)regular se todo elemento a ∈ A eregular.
A e um anel (unit-)regular se todo elemento a ∈ A e unit-regular.
Teorema
Sao equivalentes:
A e anel regular;
todo ideal principal/finitamente gerado a esquerda e geradopor um idempotente;
todo ideal principal/finitamente gerado a esquerda e umsomando direto do A-modulo A.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 41: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/41.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis regulares e unit-regulares (cont.)
Exemplos e propriedades
Todo corpo e unit-regular.
Todo anel Booleano e unit-regular.[Um anel Booleano e aquele em que todo elemento eidempotente.]
D anel de divisao =⇒ Mn(D) e regular.
Proposicao
a ∈ A e unit-regular ⇐⇒ a = ue, para algum idempotente e ∈ A ealgum u ∈ U(A).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 42: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/42.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis regulares e unit-regulares (cont.)
Exemplos e propriedades
Todo corpo e unit-regular.
Todo anel Booleano e unit-regular.[Um anel Booleano e aquele em que todo elemento eidempotente.]
D anel de divisao =⇒ Mn(D) e regular.
Proposicao
a ∈ A e unit-regular ⇐⇒ a = ue, para algum idempotente e ∈ A ealgum u ∈ U(A).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 43: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/43.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis regulares e unit-regulares (cont.)
Exemplos e propriedades
Todo corpo e unit-regular.
Todo anel Booleano e unit-regular.
[Um anel Booleano e aquele em que todo elemento eidempotente.]
D anel de divisao =⇒ Mn(D) e regular.
Proposicao
a ∈ A e unit-regular ⇐⇒ a = ue, para algum idempotente e ∈ A ealgum u ∈ U(A).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 44: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/44.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis regulares e unit-regulares (cont.)
Exemplos e propriedades
Todo corpo e unit-regular.
Todo anel Booleano e unit-regular.[Um anel Booleano e aquele em que todo elemento eidempotente.]
D anel de divisao =⇒ Mn(D) e regular.
Proposicao
a ∈ A e unit-regular ⇐⇒ a = ue, para algum idempotente e ∈ A ealgum u ∈ U(A).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 45: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/45.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis regulares e unit-regulares (cont.)
Exemplos e propriedades
Todo corpo e unit-regular.
Todo anel Booleano e unit-regular.[Um anel Booleano e aquele em que todo elemento eidempotente.]
D anel de divisao =⇒ Mn(D) e regular.
Proposicao
a ∈ A e unit-regular ⇐⇒ a = ue, para algum idempotente e ∈ A ealgum u ∈ U(A).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 46: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/46.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis regulares e unit-regulares (cont.)
Exemplos e propriedades
Todo corpo e unit-regular.
Todo anel Booleano e unit-regular.[Um anel Booleano e aquele em que todo elemento eidempotente.]
D anel de divisao =⇒ Mn(D) e regular.
Proposicao
a ∈ A e unit-regular ⇐⇒ a = ue, para algum idempotente e ∈ A ealgum u ∈ U(A).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 47: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/47.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Elementos limpos e ∗-limpos
a ∈ A e um elemento limpo se pode ser escrito na formaa = u + e, com u ∈ U(A) e e ∈ A idempotente.
a ∈ A, com A um ∗-anel, e um elemento ∗-limpo se pode serescrito na forma a = u + p, com u ∈ U(A) e p ∈ A projecao.
Exemplos
Unidades: u = u + 0;
Elementos idempotentes: e = (2e − 1) + (1− e);
Elementos nilpotentes: x = (x − 1) + 1.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 48: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/48.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Elementos limpos e ∗-limpos
a ∈ A e um elemento limpo se pode ser escrito na formaa = u + e,
com u ∈ U(A) e e ∈ A idempotente.
a ∈ A, com A um ∗-anel, e um elemento ∗-limpo se pode serescrito na forma a = u + p, com u ∈ U(A) e p ∈ A projecao.
Exemplos
Unidades: u = u + 0;
Elementos idempotentes: e = (2e − 1) + (1− e);
Elementos nilpotentes: x = (x − 1) + 1.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 49: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/49.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Elementos limpos e ∗-limpos
a ∈ A e um elemento limpo se pode ser escrito na formaa = u + e, com u ∈ U(A) e e ∈ A idempotente.
a ∈ A, com A um ∗-anel, e um elemento ∗-limpo se pode serescrito na forma a = u + p, com u ∈ U(A) e p ∈ A projecao.
Exemplos
Unidades: u = u + 0;
Elementos idempotentes: e = (2e − 1) + (1− e);
Elementos nilpotentes: x = (x − 1) + 1.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 50: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/50.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Elementos limpos e ∗-limpos
a ∈ A e um elemento limpo se pode ser escrito na formaa = u + e, com u ∈ U(A) e e ∈ A idempotente.
a ∈ A, com A um ∗-anel, e um elemento ∗-limpo se pode serescrito na forma a = u + p,
com u ∈ U(A) e p ∈ A projecao.
Exemplos
Unidades: u = u + 0;
Elementos idempotentes: e = (2e − 1) + (1− e);
Elementos nilpotentes: x = (x − 1) + 1.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 51: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/51.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Elementos limpos e ∗-limpos
a ∈ A e um elemento limpo se pode ser escrito na formaa = u + e, com u ∈ U(A) e e ∈ A idempotente.
a ∈ A, com A um ∗-anel, e um elemento ∗-limpo se pode serescrito na forma a = u + p, com u ∈ U(A) e p ∈ A projecao.
Exemplos
Unidades: u = u + 0;
Elementos idempotentes: e = (2e − 1) + (1− e);
Elementos nilpotentes: x = (x − 1) + 1.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 52: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/52.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Elementos limpos e ∗-limpos
a ∈ A e um elemento limpo se pode ser escrito na formaa = u + e, com u ∈ U(A) e e ∈ A idempotente.
a ∈ A, com A um ∗-anel, e um elemento ∗-limpo se pode serescrito na forma a = u + p, com u ∈ U(A) e p ∈ A projecao.
Exemplos
Unidades: u = u + 0;
Elementos idempotentes: e = (2e − 1) + (1− e);
Elementos nilpotentes: x = (x − 1) + 1.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 53: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/53.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Elementos limpos e ∗-limpos
a ∈ A e um elemento limpo se pode ser escrito na formaa = u + e, com u ∈ U(A) e e ∈ A idempotente.
a ∈ A, com A um ∗-anel, e um elemento ∗-limpo se pode serescrito na forma a = u + p, com u ∈ U(A) e p ∈ A projecao.
Exemplos
Unidades: u = u + 0;
Elementos idempotentes: e = (2e − 1) + (1− e);
Elementos nilpotentes: x = (x − 1) + 1.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 54: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/54.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Elementos limpos e ∗-limpos
a ∈ A e um elemento limpo se pode ser escrito na formaa = u + e, com u ∈ U(A) e e ∈ A idempotente.
a ∈ A, com A um ∗-anel, e um elemento ∗-limpo se pode serescrito na forma a = u + p, com u ∈ U(A) e p ∈ A projecao.
Exemplos
Unidades: u = u + 0;
Elementos idempotentes: e = (2e − 1) + (1− e);
Elementos nilpotentes: x = (x − 1) + 1.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 55: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/55.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis limpos e ∗-limpos
A e um anel limpo se todo elemento a ∈ A e limpo.
Um ∗-anel A e um anel ∗-limpo se todo elemento a ∈ A e ∗-limpo.
Exemplos e propriedades
Todo corpo e limpo.
Todo anel Booleano e limpo.
Z nao e limpo.
Aneis de polinomios nao sao limpos. (Nicholson & Zhou,2004 [9, Proposition 13])
A limpo =⇒ Mn(A) limpo. (Han & Nicholson, 2001 [3,Corollary 1])
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 56: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/56.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis limpos e ∗-limpos
A e um anel limpo se todo elemento a ∈ A e limpo.
Um ∗-anel A e um anel ∗-limpo se todo elemento a ∈ A e ∗-limpo.
Exemplos e propriedades
Todo corpo e limpo.
Todo anel Booleano e limpo.
Z nao e limpo.
Aneis de polinomios nao sao limpos. (Nicholson & Zhou,2004 [9, Proposition 13])
A limpo =⇒ Mn(A) limpo. (Han & Nicholson, 2001 [3,Corollary 1])
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 57: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/57.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis limpos e ∗-limpos
A e um anel limpo se todo elemento a ∈ A e limpo.
Um ∗-anel A e um anel ∗-limpo se todo elemento a ∈ A e ∗-limpo.
Exemplos e propriedades
Todo corpo e limpo.
Todo anel Booleano e limpo.
Z nao e limpo.
Aneis de polinomios nao sao limpos. (Nicholson & Zhou,2004 [9, Proposition 13])
A limpo =⇒ Mn(A) limpo. (Han & Nicholson, 2001 [3,Corollary 1])
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 58: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/58.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis limpos e ∗-limpos
A e um anel limpo se todo elemento a ∈ A e limpo.
Um ∗-anel A e um anel ∗-limpo se todo elemento a ∈ A e ∗-limpo.
Exemplos e propriedades
Todo corpo e limpo.
Todo anel Booleano e limpo.
Z nao e limpo.
Aneis de polinomios nao sao limpos. (Nicholson & Zhou,2004 [9, Proposition 13])
A limpo =⇒ Mn(A) limpo. (Han & Nicholson, 2001 [3,Corollary 1])
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 59: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/59.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis limpos e ∗-limpos
A e um anel limpo se todo elemento a ∈ A e limpo.
Um ∗-anel A e um anel ∗-limpo se todo elemento a ∈ A e ∗-limpo.
Exemplos e propriedades
Todo corpo e limpo.
Todo anel Booleano e limpo.
Z nao e limpo.
Aneis de polinomios nao sao limpos. (Nicholson & Zhou,2004 [9, Proposition 13])
A limpo =⇒ Mn(A) limpo. (Han & Nicholson, 2001 [3,Corollary 1])
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 60: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/60.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis limpos e ∗-limpos
A e um anel limpo se todo elemento a ∈ A e limpo.
Um ∗-anel A e um anel ∗-limpo se todo elemento a ∈ A e ∗-limpo.
Exemplos e propriedades
Todo corpo e limpo.
Todo anel Booleano e limpo.
Z nao e limpo.
Aneis de polinomios nao sao limpos. (Nicholson & Zhou,2004 [9, Proposition 13])
A limpo =⇒ Mn(A) limpo. (Han & Nicholson, 2001 [3,Corollary 1])
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 61: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/61.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis limpos e ∗-limpos
A e um anel limpo se todo elemento a ∈ A e limpo.
Um ∗-anel A e um anel ∗-limpo se todo elemento a ∈ A e ∗-limpo.
Exemplos e propriedades
Todo corpo e limpo.
Todo anel Booleano e limpo.
Z nao e limpo.
Aneis de polinomios nao sao limpos.
(Nicholson & Zhou,2004 [9, Proposition 13])
A limpo =⇒ Mn(A) limpo. (Han & Nicholson, 2001 [3,Corollary 1])
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 62: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/62.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis limpos e ∗-limpos
A e um anel limpo se todo elemento a ∈ A e limpo.
Um ∗-anel A e um anel ∗-limpo se todo elemento a ∈ A e ∗-limpo.
Exemplos e propriedades
Todo corpo e limpo.
Todo anel Booleano e limpo.
Z nao e limpo.
Aneis de polinomios nao sao limpos. (Nicholson & Zhou,2004 [9, Proposition 13])
A limpo =⇒ Mn(A) limpo. (Han & Nicholson, 2001 [3,Corollary 1])
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 63: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/63.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis limpos e ∗-limpos
A e um anel limpo se todo elemento a ∈ A e limpo.
Um ∗-anel A e um anel ∗-limpo se todo elemento a ∈ A e ∗-limpo.
Exemplos e propriedades
Todo corpo e limpo.
Todo anel Booleano e limpo.
Z nao e limpo.
Aneis de polinomios nao sao limpos. (Nicholson & Zhou,2004 [9, Proposition 13])
A limpo =⇒ Mn(A) limpo.
(Han & Nicholson, 2001 [3,Corollary 1])
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 64: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/64.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis limpos e ∗-limpos
A e um anel limpo se todo elemento a ∈ A e limpo.
Um ∗-anel A e um anel ∗-limpo se todo elemento a ∈ A e ∗-limpo.
Exemplos e propriedades
Todo corpo e limpo.
Todo anel Booleano e limpo.
Z nao e limpo.
Aneis de polinomios nao sao limpos. (Nicholson & Zhou,2004 [9, Proposition 13])
A limpo =⇒ Mn(A) limpo. (Han & Nicholson, 2001 [3,Corollary 1])
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 65: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/65.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis limpos (cont.)
Exemplos e propriedades (cont.)
ΠiAi limpo ⇐⇒ cada Ai limpo.
(Nicholson & Zhou, 2004 [9,Example 3])
Toda imagem homomorfica de um anel limpo e um anellimpo. (Nicholson & Zhou, 2004 [9, Theorem 22])
Subaneis de aneis limpos podem nao ser limpos (e.g., Z e umsubanel de Q).
Todo anel ∗-limpo e um ∗-anel limpo.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 66: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/66.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis limpos (cont.)
Exemplos e propriedades (cont.)
ΠiAi limpo ⇐⇒ cada Ai limpo. (Nicholson & Zhou, 2004 [9,Example 3])
Toda imagem homomorfica de um anel limpo e um anellimpo. (Nicholson & Zhou, 2004 [9, Theorem 22])
Subaneis de aneis limpos podem nao ser limpos (e.g., Z e umsubanel de Q).
Todo anel ∗-limpo e um ∗-anel limpo.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 67: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/67.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis limpos (cont.)
Exemplos e propriedades (cont.)
ΠiAi limpo ⇐⇒ cada Ai limpo. (Nicholson & Zhou, 2004 [9,Example 3])
Toda imagem homomorfica de um anel limpo e um anellimpo.
(Nicholson & Zhou, 2004 [9, Theorem 22])
Subaneis de aneis limpos podem nao ser limpos (e.g., Z e umsubanel de Q).
Todo anel ∗-limpo e um ∗-anel limpo.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 68: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/68.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis limpos (cont.)
Exemplos e propriedades (cont.)
ΠiAi limpo ⇐⇒ cada Ai limpo. (Nicholson & Zhou, 2004 [9,Example 3])
Toda imagem homomorfica de um anel limpo e um anellimpo. (Nicholson & Zhou, 2004 [9, Theorem 22])
Subaneis de aneis limpos podem nao ser limpos (e.g., Z e umsubanel de Q).
Todo anel ∗-limpo e um ∗-anel limpo.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 69: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/69.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis limpos (cont.)
Exemplos e propriedades (cont.)
ΠiAi limpo ⇐⇒ cada Ai limpo. (Nicholson & Zhou, 2004 [9,Example 3])
Toda imagem homomorfica de um anel limpo e um anellimpo. (Nicholson & Zhou, 2004 [9, Theorem 22])
Subaneis de aneis limpos podem nao ser limpos
(e.g., Z e umsubanel de Q).
Todo anel ∗-limpo e um ∗-anel limpo.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 70: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/70.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Aneis limpos (cont.)
Exemplos e propriedades (cont.)
ΠiAi limpo ⇐⇒ cada Ai limpo. (Nicholson & Zhou, 2004 [9,Example 3])
Toda imagem homomorfica de um anel limpo e um anellimpo. (Nicholson & Zhou, 2004 [9, Theorem 22])
Subaneis de aneis limpos podem nao ser limpos (e.g., Z e umsubanel de Q).
Todo anel ∗-limpo e um ∗-anel limpo.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 71: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/71.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Breve historico
von Neumann propos a nocao de aneis regulares em 1936 [7]quando do seu estudo com Murray sobre algebras de operadoresem espacos de Hilbert e geometria contınua.
Nicholson definiu aneis limpos em 1977 [8] enquanto estudavaaneis ‘exchange’: se todos idempotentes sao centrais, entao todoelemento de um anel ‘exchange’ e a soma de uma unidade e umidempotente.
Han e Nicholson foram os primeiros a abordar a propriedade delimpeza em aneis de grupos em 2001. [3]
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 72: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/72.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Breve historico
von Neumann propos a nocao de aneis regulares em 1936 [7]quando do seu estudo com Murray sobre algebras de operadoresem espacos de Hilbert e geometria contınua.
Nicholson definiu aneis limpos em 1977 [8] enquanto estudavaaneis ‘exchange’: se todos idempotentes sao centrais, entao todoelemento de um anel ‘exchange’ e a soma de uma unidade e umidempotente.
Han e Nicholson foram os primeiros a abordar a propriedade delimpeza em aneis de grupos em 2001. [3]
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 73: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/73.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Breve historico
von Neumann propos a nocao de aneis regulares em 1936 [7]quando do seu estudo com Murray sobre algebras de operadoresem espacos de Hilbert e geometria contınua.
Nicholson definiu aneis limpos em 1977 [8] enquanto estudavaaneis ‘exchange’:
se todos idempotentes sao centrais, entao todoelemento de um anel ‘exchange’ e a soma de uma unidade e umidempotente.
Han e Nicholson foram os primeiros a abordar a propriedade delimpeza em aneis de grupos em 2001. [3]
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 74: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/74.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Breve historico
von Neumann propos a nocao de aneis regulares em 1936 [7]quando do seu estudo com Murray sobre algebras de operadoresem espacos de Hilbert e geometria contınua.
Nicholson definiu aneis limpos em 1977 [8] enquanto estudavaaneis ‘exchange’: se todos idempotentes sao centrais, entao todoelemento de um anel ‘exchange’ e a soma de uma unidade e umidempotente.
Han e Nicholson foram os primeiros a abordar a propriedade delimpeza em aneis de grupos em 2001. [3]
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 75: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/75.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Breve historico
von Neumann propos a nocao de aneis regulares em 1936 [7]quando do seu estudo com Murray sobre algebras de operadoresem espacos de Hilbert e geometria contınua.
Nicholson definiu aneis limpos em 1977 [8] enquanto estudavaaneis ‘exchange’: se todos idempotentes sao centrais, entao todoelemento de um anel ‘exchange’ e a soma de uma unidade e umidempotente.
Han e Nicholson foram os primeiros a abordar a propriedade delimpeza em aneis de grupos em 2001. [3]
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 76: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/76.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Breve historico (cont.)
Notar: aneis limpos sao o “analogo aditivo” de aneis unit-regulares.
Pergunta:
Qual e exatamente a relacao entre aneis unit-regulares e aneislimpos?
Teorema (Camillo & Khurana, 2001 [1, Theorem 1])
Um anel A e unit-regular ⇐⇒ para todo a ∈ A, existem u ∈ U(R)e um idempotente e ∈ R tais que a = e + u (i.e., A e um anellimpo) e aR ∩ eR = {0}.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 77: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/77.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Breve historico (cont.)
Notar: aneis limpos sao o “analogo aditivo” de aneis unit-regulares.
Pergunta:
Qual e exatamente a relacao entre aneis unit-regulares e aneislimpos?
Teorema (Camillo & Khurana, 2001 [1, Theorem 1])
Um anel A e unit-regular ⇐⇒ para todo a ∈ A, existem u ∈ U(R)e um idempotente e ∈ R tais que a = e + u (i.e., A e um anellimpo) e aR ∩ eR = {0}.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 78: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/78.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Breve historico (cont.)
Notar: aneis limpos sao o “analogo aditivo” de aneis unit-regulares.
Pergunta:
Qual e exatamente a relacao entre aneis unit-regulares e aneislimpos?
Teorema (Camillo & Khurana, 2001 [1, Theorem 1])
Um anel A e unit-regular ⇐⇒ para todo a ∈ A, existem u ∈ U(R)e um idempotente e ∈ R tais que a = e + u (i.e., A e um anellimpo) e aR ∩ eR = {0}.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 79: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/79.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Breve historico (cont.)
Pergunta de T. Y. Lam:
(na Conference on Algebra and Its Applications, 2005, OhioUniversity)
Quais algebras de von Neumann sao limpas como aneis?
Algebras de von Neumann sao ∗-aneis; e mais simples comprojecoes do que com idempotentes.
Em 2010, Vas propos a definicao de anel ∗-limpo em [12].
Pergunta de Vas:
Existem ∗-aneis limpos, mas nao ∗-limpos?
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 80: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/80.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Breve historico (cont.)
Pergunta de T. Y. Lam:
(na Conference on Algebra and Its Applications, 2005, OhioUniversity)Quais algebras de von Neumann sao limpas como aneis?
Algebras de von Neumann sao ∗-aneis; e mais simples comprojecoes do que com idempotentes.
Em 2010, Vas propos a definicao de anel ∗-limpo em [12].
Pergunta de Vas:
Existem ∗-aneis limpos, mas nao ∗-limpos?
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 81: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/81.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Breve historico (cont.)
Pergunta de T. Y. Lam:
(na Conference on Algebra and Its Applications, 2005, OhioUniversity)Quais algebras de von Neumann sao limpas como aneis?
Algebras de von Neumann sao ∗-aneis;
e mais simples comprojecoes do que com idempotentes.
Em 2010, Vas propos a definicao de anel ∗-limpo em [12].
Pergunta de Vas:
Existem ∗-aneis limpos, mas nao ∗-limpos?
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 82: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/82.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Breve historico (cont.)
Pergunta de T. Y. Lam:
(na Conference on Algebra and Its Applications, 2005, OhioUniversity)Quais algebras de von Neumann sao limpas como aneis?
Algebras de von Neumann sao ∗-aneis; e mais simples comprojecoes do que com idempotentes.
Em 2010, Vas propos a definicao de anel ∗-limpo em [12].
Pergunta de Vas:
Existem ∗-aneis limpos, mas nao ∗-limpos?
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 83: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/83.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Breve historico (cont.)
Pergunta de T. Y. Lam:
(na Conference on Algebra and Its Applications, 2005, OhioUniversity)Quais algebras de von Neumann sao limpas como aneis?
Algebras de von Neumann sao ∗-aneis; e mais simples comprojecoes do que com idempotentes.
Em 2010, Vas propos a definicao de anel ∗-limpo em [12].
Pergunta de Vas:
Existem ∗-aneis limpos, mas nao ∗-limpos?
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 84: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/84.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Breve historico (cont.)
Pergunta de T. Y. Lam:
(na Conference on Algebra and Its Applications, 2005, OhioUniversity)Quais algebras de von Neumann sao limpas como aneis?
Algebras de von Neumann sao ∗-aneis; e mais simples comprojecoes do que com idempotentes.
Em 2010, Vas propos a definicao de anel ∗-limpo em [12].
Pergunta de Vas:
Existem ∗-aneis limpos, mas nao ∗-limpos?
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 85: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/85.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Breve historico (cont.)
Li & Zhou [6, Example 2.6]
A = T2(Z2) (anel das matrizes triangulares superiores de ordem2× 2 sobre Z2)
A e um ∗-anel limpo: A e limpo e ∗ :
(a b0 c
)7→(
c b0 a
)e uma involucao;
A nao e ∗-limpo para nenhuma ∗: Suponha, por absurdo, queA seja ∗-limpo para alguma ∗. Assim, id∗ = id , e u∗ ∈ U(A)para todo u ∈ U(A). Como U(A) tem apenas 2 elementos,u∗ = u, para todo u ∈ U(A). Sendo ∗-limpo, a∗ = a, paratodo a ∈ A, i.e., ∗ = id . Logo, A e comutativo – contradicao.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 86: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/86.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Breve historico (cont.)
Li & Zhou [6, Example 2.6]
A = T2(Z2) (anel das matrizes triangulares superiores de ordem2× 2 sobre Z2)
A e um ∗-anel limpo: A e limpo e ∗ :
(a b0 c
)7→(
c b0 a
)e uma involucao;
A nao e ∗-limpo para nenhuma ∗: Suponha, por absurdo, queA seja ∗-limpo para alguma ∗. Assim, id∗ = id , e u∗ ∈ U(A)para todo u ∈ U(A). Como U(A) tem apenas 2 elementos,u∗ = u, para todo u ∈ U(A). Sendo ∗-limpo, a∗ = a, paratodo a ∈ A, i.e., ∗ = id . Logo, A e comutativo – contradicao.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 87: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/87.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Breve historico (cont.)
Li & Zhou [6, Example 2.6]
A = T2(Z2) (anel das matrizes triangulares superiores de ordem2× 2 sobre Z2)
A e um ∗-anel limpo:
A e limpo e ∗ :
(a b0 c
)7→(
c b0 a
)e uma involucao;
A nao e ∗-limpo para nenhuma ∗: Suponha, por absurdo, queA seja ∗-limpo para alguma ∗. Assim, id∗ = id , e u∗ ∈ U(A)para todo u ∈ U(A). Como U(A) tem apenas 2 elementos,u∗ = u, para todo u ∈ U(A). Sendo ∗-limpo, a∗ = a, paratodo a ∈ A, i.e., ∗ = id . Logo, A e comutativo – contradicao.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 88: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/88.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Breve historico (cont.)
Li & Zhou [6, Example 2.6]
A = T2(Z2) (anel das matrizes triangulares superiores de ordem2× 2 sobre Z2)
A e um ∗-anel limpo: A e limpo e
∗ :
(a b0 c
)7→(
c b0 a
)e uma involucao;
A nao e ∗-limpo para nenhuma ∗: Suponha, por absurdo, queA seja ∗-limpo para alguma ∗. Assim, id∗ = id , e u∗ ∈ U(A)para todo u ∈ U(A). Como U(A) tem apenas 2 elementos,u∗ = u, para todo u ∈ U(A). Sendo ∗-limpo, a∗ = a, paratodo a ∈ A, i.e., ∗ = id . Logo, A e comutativo – contradicao.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 89: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/89.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Breve historico (cont.)
Li & Zhou [6, Example 2.6]
A = T2(Z2) (anel das matrizes triangulares superiores de ordem2× 2 sobre Z2)
A e um ∗-anel limpo: A e limpo e ∗ :
(a b0 c
)7→(
c b0 a
)e uma involucao;
A nao e ∗-limpo para nenhuma ∗:
Suponha, por absurdo, queA seja ∗-limpo para alguma ∗. Assim, id∗ = id , e u∗ ∈ U(A)para todo u ∈ U(A). Como U(A) tem apenas 2 elementos,u∗ = u, para todo u ∈ U(A). Sendo ∗-limpo, a∗ = a, paratodo a ∈ A, i.e., ∗ = id . Logo, A e comutativo – contradicao.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 90: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/90.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Breve historico (cont.)
Li & Zhou [6, Example 2.6]
A = T2(Z2) (anel das matrizes triangulares superiores de ordem2× 2 sobre Z2)
A e um ∗-anel limpo: A e limpo e ∗ :
(a b0 c
)7→(
c b0 a
)e uma involucao;
A nao e ∗-limpo para nenhuma ∗: Suponha, por absurdo, queA seja ∗-limpo para alguma ∗.
Assim, id∗ = id , e u∗ ∈ U(A)para todo u ∈ U(A). Como U(A) tem apenas 2 elementos,u∗ = u, para todo u ∈ U(A). Sendo ∗-limpo, a∗ = a, paratodo a ∈ A, i.e., ∗ = id . Logo, A e comutativo – contradicao.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 91: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/91.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Breve historico (cont.)
Li & Zhou [6, Example 2.6]
A = T2(Z2) (anel das matrizes triangulares superiores de ordem2× 2 sobre Z2)
A e um ∗-anel limpo: A e limpo e ∗ :
(a b0 c
)7→(
c b0 a
)e uma involucao;
A nao e ∗-limpo para nenhuma ∗: Suponha, por absurdo, queA seja ∗-limpo para alguma ∗. Assim, id∗ = id , e u∗ ∈ U(A)para todo u ∈ U(A).
Como U(A) tem apenas 2 elementos,u∗ = u, para todo u ∈ U(A). Sendo ∗-limpo, a∗ = a, paratodo a ∈ A, i.e., ∗ = id . Logo, A e comutativo – contradicao.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 92: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/92.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Breve historico (cont.)
Li & Zhou [6, Example 2.6]
A = T2(Z2) (anel das matrizes triangulares superiores de ordem2× 2 sobre Z2)
A e um ∗-anel limpo: A e limpo e ∗ :
(a b0 c
)7→(
c b0 a
)e uma involucao;
A nao e ∗-limpo para nenhuma ∗: Suponha, por absurdo, queA seja ∗-limpo para alguma ∗. Assim, id∗ = id , e u∗ ∈ U(A)para todo u ∈ U(A). Como U(A) tem apenas 2 elementos,u∗ = u, para todo u ∈ U(A).
Sendo ∗-limpo, a∗ = a, paratodo a ∈ A, i.e., ∗ = id . Logo, A e comutativo – contradicao.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 93: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/93.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Breve historico (cont.)
Li & Zhou [6, Example 2.6]
A = T2(Z2) (anel das matrizes triangulares superiores de ordem2× 2 sobre Z2)
A e um ∗-anel limpo: A e limpo e ∗ :
(a b0 c
)7→(
c b0 a
)e uma involucao;
A nao e ∗-limpo para nenhuma ∗: Suponha, por absurdo, queA seja ∗-limpo para alguma ∗. Assim, id∗ = id , e u∗ ∈ U(A)para todo u ∈ U(A). Como U(A) tem apenas 2 elementos,u∗ = u, para todo u ∈ U(A). Sendo ∗-limpo, a∗ = a, paratodo a ∈ A, i.e., ∗ = id .
Logo, A e comutativo – contradicao.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 94: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/94.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Breve historico (cont.)
Li & Zhou [6, Example 2.6]
A = T2(Z2) (anel das matrizes triangulares superiores de ordem2× 2 sobre Z2)
A e um ∗-anel limpo: A e limpo e ∗ :
(a b0 c
)7→(
c b0 a
)e uma involucao;
A nao e ∗-limpo para nenhuma ∗: Suponha, por absurdo, queA seja ∗-limpo para alguma ∗. Assim, id∗ = id , e u∗ ∈ U(A)para todo u ∈ U(A). Como U(A) tem apenas 2 elementos,u∗ = u, para todo u ∈ U(A). Sendo ∗-limpo, a∗ = a, paratodo a ∈ A, i.e., ∗ = id . Logo, A e comutativo – contradicao.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 95: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/95.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Definicao
Li e Zhou [6] foram os primeiros a abordarem a ∗-limpeza em aneisde grupo. No entanto, muito pouco e sabido sobre o assunto.
R um anel; G um grupo;RG , o anel de grupo de G sobre R: o R-modulo livre com base Gmunido de multiplicacao definida estendendo-se R-linearmente amultiplicacao de G .
RG = ⊕g∈GRgα ∈ RG ; α =
∑g∈G αgg , αg ∈ R
operacoes:α =
∑g∈G αgg , β =
∑g∈G βgg ∈ RG , r ∈ R
α + β =∑
g∈G (αg + βg )g ∈ RGα · β = (
∑g∈G αgg)(
∑h∈G βhh) =
∑g ,h∈G (αgβh)gh ∈ RG
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 96: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/96.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Definicao
Li e Zhou [6] foram os primeiros a abordarem a ∗-limpeza em aneisde grupo.
No entanto, muito pouco e sabido sobre o assunto.
R um anel; G um grupo;RG , o anel de grupo de G sobre R: o R-modulo livre com base Gmunido de multiplicacao definida estendendo-se R-linearmente amultiplicacao de G .
RG = ⊕g∈GRgα ∈ RG ; α =
∑g∈G αgg , αg ∈ R
operacoes:α =
∑g∈G αgg , β =
∑g∈G βgg ∈ RG , r ∈ R
α + β =∑
g∈G (αg + βg )g ∈ RGα · β = (
∑g∈G αgg)(
∑h∈G βhh) =
∑g ,h∈G (αgβh)gh ∈ RG
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 97: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/97.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Definicao
Li e Zhou [6] foram os primeiros a abordarem a ∗-limpeza em aneisde grupo. No entanto, muito pouco e sabido sobre o assunto.
R um anel; G um grupo;RG , o anel de grupo de G sobre R: o R-modulo livre com base Gmunido de multiplicacao definida estendendo-se R-linearmente amultiplicacao de G .
RG = ⊕g∈GRgα ∈ RG ; α =
∑g∈G αgg , αg ∈ R
operacoes:α =
∑g∈G αgg , β =
∑g∈G βgg ∈ RG , r ∈ R
α + β =∑
g∈G (αg + βg )g ∈ RGα · β = (
∑g∈G αgg)(
∑h∈G βhh) =
∑g ,h∈G (αgβh)gh ∈ RG
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 98: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/98.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Definicao
Li e Zhou [6] foram os primeiros a abordarem a ∗-limpeza em aneisde grupo. No entanto, muito pouco e sabido sobre o assunto.
R um anel;
G um grupo;RG , o anel de grupo de G sobre R: o R-modulo livre com base Gmunido de multiplicacao definida estendendo-se R-linearmente amultiplicacao de G .
RG = ⊕g∈GRgα ∈ RG ; α =
∑g∈G αgg , αg ∈ R
operacoes:α =
∑g∈G αgg , β =
∑g∈G βgg ∈ RG , r ∈ R
α + β =∑
g∈G (αg + βg )g ∈ RGα · β = (
∑g∈G αgg)(
∑h∈G βhh) =
∑g ,h∈G (αgβh)gh ∈ RG
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 99: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/99.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Definicao
Li e Zhou [6] foram os primeiros a abordarem a ∗-limpeza em aneisde grupo. No entanto, muito pouco e sabido sobre o assunto.
R um anel; G um grupo;
RG , o anel de grupo de G sobre R: o R-modulo livre com base Gmunido de multiplicacao definida estendendo-se R-linearmente amultiplicacao de G .
RG = ⊕g∈GRgα ∈ RG ; α =
∑g∈G αgg , αg ∈ R
operacoes:α =
∑g∈G αgg , β =
∑g∈G βgg ∈ RG , r ∈ R
α + β =∑
g∈G (αg + βg )g ∈ RGα · β = (
∑g∈G αgg)(
∑h∈G βhh) =
∑g ,h∈G (αgβh)gh ∈ RG
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 100: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/100.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Definicao
Li e Zhou [6] foram os primeiros a abordarem a ∗-limpeza em aneisde grupo. No entanto, muito pouco e sabido sobre o assunto.
R um anel; G um grupo;RG , o anel de grupo de G sobre R:
o R-modulo livre com base Gmunido de multiplicacao definida estendendo-se R-linearmente amultiplicacao de G .
RG = ⊕g∈GRgα ∈ RG ; α =
∑g∈G αgg , αg ∈ R
operacoes:α =
∑g∈G αgg , β =
∑g∈G βgg ∈ RG , r ∈ R
α + β =∑
g∈G (αg + βg )g ∈ RGα · β = (
∑g∈G αgg)(
∑h∈G βhh) =
∑g ,h∈G (αgβh)gh ∈ RG
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 101: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/101.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Definicao
Li e Zhou [6] foram os primeiros a abordarem a ∗-limpeza em aneisde grupo. No entanto, muito pouco e sabido sobre o assunto.
R um anel; G um grupo;RG , o anel de grupo de G sobre R: o R-modulo livre com base Gmunido de multiplicacao definida estendendo-se R-linearmente amultiplicacao de G .
RG = ⊕g∈GRgα ∈ RG ; α =
∑g∈G αgg , αg ∈ R
operacoes:α =
∑g∈G αgg , β =
∑g∈G βgg ∈ RG , r ∈ R
α + β =∑
g∈G (αg + βg )g ∈ RGα · β = (
∑g∈G αgg)(
∑h∈G βhh) =
∑g ,h∈G (αgβh)gh ∈ RG
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 102: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/102.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Definicao
Li e Zhou [6] foram os primeiros a abordarem a ∗-limpeza em aneisde grupo. No entanto, muito pouco e sabido sobre o assunto.
R um anel; G um grupo;RG , o anel de grupo de G sobre R: o R-modulo livre com base Gmunido de multiplicacao definida estendendo-se R-linearmente amultiplicacao de G .
RG = ⊕g∈GRg
α ∈ RG ; α =∑
g∈G αgg , αg ∈ R
operacoes:α =
∑g∈G αgg , β =
∑g∈G βgg ∈ RG , r ∈ R
α + β =∑
g∈G (αg + βg )g ∈ RGα · β = (
∑g∈G αgg)(
∑h∈G βhh) =
∑g ,h∈G (αgβh)gh ∈ RG
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 103: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/103.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Definicao
Li e Zhou [6] foram os primeiros a abordarem a ∗-limpeza em aneisde grupo. No entanto, muito pouco e sabido sobre o assunto.
R um anel; G um grupo;RG , o anel de grupo de G sobre R: o R-modulo livre com base Gmunido de multiplicacao definida estendendo-se R-linearmente amultiplicacao de G .
RG = ⊕g∈GRgα ∈ RG ; α =
∑g∈G αgg , αg ∈ R
operacoes:α =
∑g∈G αgg , β =
∑g∈G βgg ∈ RG , r ∈ R
α + β =∑
g∈G (αg + βg )g ∈ RGα · β = (
∑g∈G αgg)(
∑h∈G βhh) =
∑g ,h∈G (αgβh)gh ∈ RG
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 104: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/104.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Definicao
Li e Zhou [6] foram os primeiros a abordarem a ∗-limpeza em aneisde grupo. No entanto, muito pouco e sabido sobre o assunto.
R um anel; G um grupo;RG , o anel de grupo de G sobre R: o R-modulo livre com base Gmunido de multiplicacao definida estendendo-se R-linearmente amultiplicacao de G .
RG = ⊕g∈GRgα ∈ RG ; α =
∑g∈G αgg , αg ∈ R
operacoes:
α =∑
g∈G αgg , β =∑
g∈G βgg ∈ RG , r ∈ Rα + β =
∑g∈G (αg + βg )g ∈ RG
α · β = (∑
g∈G αgg)(∑
h∈G βhh) =∑
g ,h∈G (αgβh)gh ∈ RG
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 105: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/105.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Definicao
Li e Zhou [6] foram os primeiros a abordarem a ∗-limpeza em aneisde grupo. No entanto, muito pouco e sabido sobre o assunto.
R um anel; G um grupo;RG , o anel de grupo de G sobre R: o R-modulo livre com base Gmunido de multiplicacao definida estendendo-se R-linearmente amultiplicacao de G .
RG = ⊕g∈GRgα ∈ RG ; α =
∑g∈G αgg , αg ∈ R
operacoes:α =
∑g∈G αgg , β =
∑g∈G βgg ∈ RG , r ∈ R
α + β =∑
g∈G (αg + βg )g ∈ RGα · β = (
∑g∈G αgg)(
∑h∈G βhh) =
∑g ,h∈G (αgβh)gh ∈ RG
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 106: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/106.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Definicao
Li e Zhou [6] foram os primeiros a abordarem a ∗-limpeza em aneisde grupo. No entanto, muito pouco e sabido sobre o assunto.
R um anel; G um grupo;RG , o anel de grupo de G sobre R: o R-modulo livre com base Gmunido de multiplicacao definida estendendo-se R-linearmente amultiplicacao de G .
RG = ⊕g∈GRgα ∈ RG ; α =
∑g∈G αgg , αg ∈ R
operacoes:α =
∑g∈G αgg , β =
∑g∈G βgg ∈ RG , r ∈ R
α + β =∑
g∈G (αg + βg )g ∈ RG
α · β = (∑
g∈G αgg)(∑
h∈G βhh) =∑
g ,h∈G (αgβh)gh ∈ RG
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 107: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/107.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Definicao
Li e Zhou [6] foram os primeiros a abordarem a ∗-limpeza em aneisde grupo. No entanto, muito pouco e sabido sobre o assunto.
R um anel; G um grupo;RG , o anel de grupo de G sobre R: o R-modulo livre com base Gmunido de multiplicacao definida estendendo-se R-linearmente amultiplicacao de G .
RG = ⊕g∈GRgα ∈ RG ; α =
∑g∈G αgg , αg ∈ R
operacoes:α =
∑g∈G αgg , β =
∑g∈G βgg ∈ RG , r ∈ R
α + β =∑
g∈G (αg + βg )g ∈ RGα · β = (
∑g∈G αgg)(
∑h∈G βhh) =
∑g ,h∈G (αgβh)gh ∈ RG
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 108: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/108.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Involucoes em aneis de grupos
G grupo tal que existe g 6= 1 com |〈g〉| 6= 2;
involucao classica em G : g 7→ g−1.
Se R e um anel comutativo, a extensao R-linear da involucaoclassica de G nos da uma involucao (de anel) em RG :∗ : RG −→ RG , α∗ =
∑g∈G αgg
∗ (involucao classica em RG ).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 109: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/109.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Involucoes em aneis de grupos
G grupo tal que existe g 6= 1 com |〈g〉| 6= 2;
involucao classica em G : g 7→ g−1.
Se R e um anel comutativo, a extensao R-linear da involucaoclassica de G nos da uma involucao (de anel) em RG :∗ : RG −→ RG , α∗ =
∑g∈G αgg
∗ (involucao classica em RG ).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 110: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/110.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Involucoes em aneis de grupos
G grupo tal que existe g 6= 1 com |〈g〉| 6= 2;
involucao classica em G : g 7→ g−1.
Se R e um anel comutativo, a extensao R-linear da involucaoclassica de G nos da uma involucao (de anel) em RG :∗ : RG −→ RG , α∗ =
∑g∈G αgg
∗ (involucao classica em RG ).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 111: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/111.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Involucoes em aneis de grupos
G grupo tal que existe g 6= 1 com |〈g〉| 6= 2;
involucao classica em G : g 7→ g−1.
Se R e um anel comutativo, a extensao R-linear da involucaoclassica de G nos da uma involucao (de anel) em RG :
∗ : RG −→ RG , α∗ =∑
g∈G αgg∗ (involucao classica em RG ).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 112: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/112.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Involucoes em aneis de grupos
G grupo tal que existe g 6= 1 com |〈g〉| 6= 2;
involucao classica em G : g 7→ g−1.
Se R e um anel comutativo, a extensao R-linear da involucaoclassica de G nos da uma involucao (de anel) em RG :∗ : RG −→ RG , α∗ =
∑g∈G αgg
∗
(involucao classica em RG ).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 113: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/113.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Involucoes em aneis de grupos
G grupo tal que existe g 6= 1 com |〈g〉| 6= 2;
involucao classica em G : g 7→ g−1.
Se R e um anel comutativo, a extensao R-linear da involucaoclassica de G nos da uma involucao (de anel) em RG :∗ : RG −→ RG , α∗ =
∑g∈G αgg
∗ (involucao classica em RG ).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 114: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/114.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Anel local comutativo e grupos cıclicos
Teorema
Sejam R um anel local comutativo e C3 o grupo cıclico de ordem 3.
Se 3 ∈ J (R), entao RC3 e ∗-limpo.
Se 3 6∈ J (R), entao RC3 e ∗-limpo ⇐⇒ RC3 e limpo e aequacao X 2 + X + 1 = 0 nao tem solucoes em R.
Teorema
Sejam R um anel local comutativo e C4 o grupo cıclico de ordem 4.
Se 2 ∈ J (R), entao RC4 e ∗-limpo.
Se 2 ∈ U(R), entao RC4 e ∗-limpo ⇐⇒ RC4 e limpo e aequacao X 2 + 1 = 0 nao tem solucoes em R.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 115: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/115.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Anel local comutativo e grupos cıclicos
Teorema
Sejam R um anel local comutativo e C3 o grupo cıclico de ordem 3.
Se 3 ∈ J (R), entao RC3 e ∗-limpo.
Se 3 6∈ J (R), entao RC3 e ∗-limpo ⇐⇒ RC3 e limpo e aequacao X 2 + X + 1 = 0 nao tem solucoes em R.
Teorema
Sejam R um anel local comutativo e C4 o grupo cıclico de ordem 4.
Se 2 ∈ J (R), entao RC4 e ∗-limpo.
Se 2 ∈ U(R), entao RC4 e ∗-limpo ⇐⇒ RC4 e limpo e aequacao X 2 + 1 = 0 nao tem solucoes em R.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 116: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/116.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Anel local comutativo e grupos cıclicos
Teorema
Sejam R um anel local comutativo e C3 o grupo cıclico de ordem 3.
Se 3 ∈ J (R), entao RC3 e ∗-limpo.
Se 3 6∈ J (R), entao RC3 e ∗-limpo ⇐⇒ RC3 e limpo e aequacao X 2 + X + 1 = 0 nao tem solucoes em R.
Teorema
Sejam R um anel local comutativo e C4 o grupo cıclico de ordem 4.
Se 2 ∈ J (R), entao RC4 e ∗-limpo.
Se 2 ∈ U(R), entao RC4 e ∗-limpo ⇐⇒ RC4 e limpo e aequacao X 2 + 1 = 0 nao tem solucoes em R.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 117: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/117.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Anel local comutativo e grupos cıclicos
Teorema
Sejam R um anel local comutativo e C3 o grupo cıclico de ordem 3.
Se 3 ∈ J (R), entao RC3 e ∗-limpo.
Se 3 6∈ J (R), entao RC3 e ∗-limpo ⇐⇒ RC3 e limpo e aequacao X 2 + X + 1 = 0 nao tem solucoes em R.
Teorema
Sejam R um anel local comutativo e C4 o grupo cıclico de ordem 4.
Se 2 ∈ J (R), entao RC4 e ∗-limpo.
Se 2 ∈ U(R), entao RC4 e ∗-limpo ⇐⇒ RC4 e limpo e aequacao X 2 + 1 = 0 nao tem solucoes em R.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 118: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/118.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Anel local comutativo e grupos cıclicos
Teorema
Sejam R um anel local comutativo e C3 o grupo cıclico de ordem 3.
Se 3 ∈ J (R), entao RC3 e ∗-limpo.
Se 3 6∈ J (R), entao RC3 e ∗-limpo ⇐⇒ RC3 e limpo e aequacao X 2 + X + 1 = 0 nao tem solucoes em R.
Teorema
Sejam R um anel local comutativo e C4 o grupo cıclico de ordem 4.
Se 2 ∈ J (R), entao RC4 e ∗-limpo.
Se 2 ∈ U(R), entao RC4 e ∗-limpo ⇐⇒ RC4 e limpo e aequacao X 2 + 1 = 0 nao tem solucoes em R.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 119: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/119.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Anel local comutativo e grupos nao abelianos
Teorema
Seja R um anel local comutativo com 2 ∈ J (R). Entao RS3 elimpo, mas nao ∗-limpo.
Teorema
Seja R um anel local comutativo
Se 2 ∈ J (R), entao RQ8 e ∗-limpo.
Se 2 ∈ U(R), entao RQ8 e ∗-limpo ⇐⇒ RQ8 e limpo e aequacao X 2 + Y 2 + Z 2 + 1 = 0 nao tem solucoes em R.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 120: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/120.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Anel local comutativo e grupos nao abelianos
Teorema
Seja R um anel local comutativo com 2 ∈ J (R). Entao RS3 elimpo, mas nao ∗-limpo.
Teorema
Seja R um anel local comutativo
Se 2 ∈ J (R), entao RQ8 e ∗-limpo.
Se 2 ∈ U(R), entao RQ8 e ∗-limpo ⇐⇒ RQ8 e limpo e aequacao X 2 + Y 2 + Z 2 + 1 = 0 nao tem solucoes em R.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 121: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/121.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Anel local comutativo e grupos nao abelianos
Teorema
Seja R um anel local comutativo com 2 ∈ J (R). Entao RS3 elimpo, mas nao ∗-limpo.
Teorema
Seja R um anel local comutativo
Se 2 ∈ J (R), entao RQ8 e ∗-limpo.
Se 2 ∈ U(R), entao RQ8 e ∗-limpo ⇐⇒ RQ8 e limpo e aequacao X 2 + Y 2 + Z 2 + 1 = 0 nao tem solucoes em R.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 122: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/122.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Anel local comutativo e grupos nao abelianos
Teorema
Seja R um anel local comutativo com 2 ∈ J (R). Entao RS3 elimpo, mas nao ∗-limpo.
Teorema
Seja R um anel local comutativo
Se 2 ∈ J (R), entao RQ8 e ∗-limpo.
Se 2 ∈ U(R), entao RQ8 e ∗-limpo ⇐⇒ RQ8 e limpo e aequacao X 2 + Y 2 + Z 2 + 1 = 0 nao tem solucoes em R.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 123: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/123.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Anel local comutativo e grupos cıclicos
Teorema
Seja R um anel local comutativo.
Se n ∈ J (R), com 3 ≤ n ≤ 5, entao RCn e local e ∗-limpo.
Se n 6∈ J (R), com 3 ≤ n ≤ 5, entao RCn e ∗-limpo ⇐⇒ RCn
e limpo e Φn(X ) = 0 nao tem solucoes em R/J (R).
Se 3 ∈ J (R), entao RC6 e ∗-limpo ⇐⇒ RC6 e limpo.
Se 2 ∈ J (R) ou 6 6∈ J (R), entao RC6 e ∗-limpo ⇐⇒ RC6 elimpo e Φ3(X ) = 0 nao tem solucoes em R/J (R).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 124: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/124.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Anel local comutativo e grupos cıclicos
Teorema
Seja R um anel local comutativo.
Se n ∈ J (R), com 3 ≤ n ≤ 5, entao RCn e local e ∗-limpo.
Se n 6∈ J (R), com 3 ≤ n ≤ 5, entao RCn e ∗-limpo ⇐⇒ RCn
e limpo e Φn(X ) = 0 nao tem solucoes em R/J (R).
Se 3 ∈ J (R), entao RC6 e ∗-limpo ⇐⇒ RC6 e limpo.
Se 2 ∈ J (R) ou 6 6∈ J (R), entao RC6 e ∗-limpo ⇐⇒ RC6 elimpo e Φ3(X ) = 0 nao tem solucoes em R/J (R).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 125: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/125.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Anel local comutativo e grupos cıclicos
Teorema
Seja R um anel local comutativo.
Se n ∈ J (R), com 3 ≤ n ≤ 5, entao RCn e local e ∗-limpo.
Se n 6∈ J (R), com 3 ≤ n ≤ 5, entao RCn e ∗-limpo ⇐⇒ RCn
e limpo e Φn(X ) = 0 nao tem solucoes em R/J (R).
Se 3 ∈ J (R), entao RC6 e ∗-limpo ⇐⇒ RC6 e limpo.
Se 2 ∈ J (R) ou 6 6∈ J (R), entao RC6 e ∗-limpo ⇐⇒ RC6 elimpo e Φ3(X ) = 0 nao tem solucoes em R/J (R).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 126: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/126.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Anel local comutativo e grupos cıclicos
Teorema
Seja R um anel local comutativo.
Se n ∈ J (R), com 3 ≤ n ≤ 5, entao RCn e local e ∗-limpo.
Se n 6∈ J (R), com 3 ≤ n ≤ 5, entao RCn e ∗-limpo ⇐⇒ RCn
e limpo e Φn(X ) = 0 nao tem solucoes em R/J (R).
Se 3 ∈ J (R), entao RC6 e ∗-limpo ⇐⇒ RC6 e limpo.
Se 2 ∈ J (R) ou 6 6∈ J (R), entao RC6 e ∗-limpo ⇐⇒ RC6 elimpo e Φ3(X ) = 0 nao tem solucoes em R/J (R).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 127: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/127.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Anel local comutativo e grupos cıclicos
Teorema
Seja R um anel local comutativo.
Se n ∈ J (R), com 3 ≤ n ≤ 5, entao RCn e local e ∗-limpo.
Se n 6∈ J (R), com 3 ≤ n ≤ 5, entao RCn e ∗-limpo ⇐⇒ RCn
e limpo e Φn(X ) = 0 nao tem solucoes em R/J (R).
Se 3 ∈ J (R), entao RC6 e ∗-limpo ⇐⇒ RC6 e limpo.
Se 2 ∈ J (R) ou 6 6∈ J (R), entao RC6 e ∗-limpo ⇐⇒ RC6 elimpo e Φ3(X ) = 0 nao tem solucoes em R/J (R).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 128: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/128.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Grupos abelianos finitos
K corpo; G grupo abeliano de ordem n; char(K ) - n
Teorema de Maschke =⇒ KG e uma algebra de gruposemissimples
KG '⊕
d |n adK (ζd), onde adK (ζd) e a soma direta de ad copiasde K (ζd), ζd sao raızes primitivas de 1 de ordem d ead = nd/[K (ζd) : K ], com nd o numero de elementos de ordem dem G [10]
KG e limpo (soma direta de corpos)
KG e um ∗-anel (com ∗ a involucao classica)
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 129: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/129.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Grupos abelianos finitos
K corpo;
G grupo abeliano de ordem n; char(K ) - n
Teorema de Maschke =⇒ KG e uma algebra de gruposemissimples
KG '⊕
d |n adK (ζd), onde adK (ζd) e a soma direta de ad copiasde K (ζd), ζd sao raızes primitivas de 1 de ordem d ead = nd/[K (ζd) : K ], com nd o numero de elementos de ordem dem G [10]
KG e limpo (soma direta de corpos)
KG e um ∗-anel (com ∗ a involucao classica)
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 130: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/130.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Grupos abelianos finitos
K corpo; G grupo abeliano de ordem n;
char(K ) - n
Teorema de Maschke =⇒ KG e uma algebra de gruposemissimples
KG '⊕
d |n adK (ζd), onde adK (ζd) e a soma direta de ad copiasde K (ζd), ζd sao raızes primitivas de 1 de ordem d ead = nd/[K (ζd) : K ], com nd o numero de elementos de ordem dem G [10]
KG e limpo (soma direta de corpos)
KG e um ∗-anel (com ∗ a involucao classica)
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 131: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/131.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Grupos abelianos finitos
K corpo; G grupo abeliano de ordem n; char(K ) - n
Teorema de Maschke =⇒ KG e uma algebra de gruposemissimples
KG '⊕
d |n adK (ζd), onde adK (ζd) e a soma direta de ad copiasde K (ζd), ζd sao raızes primitivas de 1 de ordem d ead = nd/[K (ζd) : K ], com nd o numero de elementos de ordem dem G [10]
KG e limpo (soma direta de corpos)
KG e um ∗-anel (com ∗ a involucao classica)
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 132: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/132.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Grupos abelianos finitos
K corpo; G grupo abeliano de ordem n; char(K ) - n
Teorema de Maschke =⇒ KG e uma algebra de gruposemissimples
KG '⊕
d |n adK (ζd), onde adK (ζd) e a soma direta de ad copiasde K (ζd), ζd sao raızes primitivas de 1 de ordem d ead = nd/[K (ζd) : K ], com nd o numero de elementos de ordem dem G [10]
KG e limpo (soma direta de corpos)
KG e um ∗-anel (com ∗ a involucao classica)
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 133: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/133.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Grupos abelianos finitos
K corpo; G grupo abeliano de ordem n; char(K ) - n
Teorema de Maschke =⇒ KG e uma algebra de gruposemissimples
KG '⊕
d |n adK (ζd),
onde adK (ζd) e a soma direta de ad copiasde K (ζd), ζd sao raızes primitivas de 1 de ordem d ead = nd/[K (ζd) : K ], com nd o numero de elementos de ordem dem G [10]
KG e limpo (soma direta de corpos)
KG e um ∗-anel (com ∗ a involucao classica)
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 134: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/134.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Grupos abelianos finitos
K corpo; G grupo abeliano de ordem n; char(K ) - n
Teorema de Maschke =⇒ KG e uma algebra de gruposemissimples
KG '⊕
d |n adK (ζd), onde adK (ζd) e a soma direta de ad copiasde K (ζd), ζd sao raızes primitivas de 1 de ordem d ead = nd/[K (ζd) : K ], com nd o numero de elementos de ordem dem G [10]
KG e limpo (soma direta de corpos)
KG e um ∗-anel (com ∗ a involucao classica)
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 135: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/135.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Grupos abelianos finitos
K corpo; G grupo abeliano de ordem n; char(K ) - n
Teorema de Maschke =⇒ KG e uma algebra de gruposemissimples
KG '⊕
d |n adK (ζd), onde adK (ζd) e a soma direta de ad copiasde K (ζd), ζd sao raızes primitivas de 1 de ordem d ead = nd/[K (ζd) : K ], com nd o numero de elementos de ordem dem G [10]
KG e limpo
(soma direta de corpos)
KG e um ∗-anel (com ∗ a involucao classica)
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 136: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/136.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Grupos abelianos finitos
K corpo; G grupo abeliano de ordem n; char(K ) - n
Teorema de Maschke =⇒ KG e uma algebra de gruposemissimples
KG '⊕
d |n adK (ζd), onde adK (ζd) e a soma direta de ad copiasde K (ζd), ζd sao raızes primitivas de 1 de ordem d ead = nd/[K (ζd) : K ], com nd o numero de elementos de ordem dem G [10]
KG e limpo (soma direta de corpos)
KG e um ∗-anel (com ∗ a involucao classica)
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 137: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/137.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Grupos abelianos finitos
K corpo; G grupo abeliano de ordem n; char(K ) - n
Teorema de Maschke =⇒ KG e uma algebra de gruposemissimples
KG '⊕
d |n adK (ζd), onde adK (ζd) e a soma direta de ad copiasde K (ζd), ζd sao raızes primitivas de 1 de ordem d ead = nd/[K (ζd) : K ], com nd o numero de elementos de ordem dem G [10]
KG e limpo (soma direta de corpos)
KG e um ∗-anel (com ∗ a involucao classica)
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 138: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/138.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Abordagem naive
Queremos determinar sob que condicoes KG e um anel ∗-limpo.
Vamos calcular os idempotentes de KG e verificar sob quecondicoes os mesmos sao projecoes.
Consideramos: K corpo algebricamente fechado; G grupo abelianode ordem n; char(K ) - n.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 139: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/139.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Abordagem naive
Queremos determinar sob que condicoes KG e um anel ∗-limpo.
Vamos calcular os idempotentes de KG e verificar sob quecondicoes os mesmos sao projecoes.
Consideramos: K corpo algebricamente fechado; G grupo abelianode ordem n; char(K ) - n.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 140: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/140.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Abordagem naive
Queremos determinar sob que condicoes KG e um anel ∗-limpo.
Vamos calcular os idempotentes de KG e verificar sob quecondicoes os mesmos sao projecoes.
Consideramos: K corpo algebricamente fechado; G grupo abelianode ordem n; char(K ) - n.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 141: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/141.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Abordagem naive
Queremos determinar sob que condicoes KG e um anel ∗-limpo.
Vamos calcular os idempotentes de KG e verificar sob quecondicoes os mesmos sao projecoes.
Consideramos: K corpo algebricamente fechado;
G grupo abelianode ordem n; char(K ) - n.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 142: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/142.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Abordagem naive
Queremos determinar sob que condicoes KG e um anel ∗-limpo.
Vamos calcular os idempotentes de KG e verificar sob quecondicoes os mesmos sao projecoes.
Consideramos: K corpo algebricamente fechado; G grupo abelianode ordem n;
char(K ) - n.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 143: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/143.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Abordagem naive
Queremos determinar sob que condicoes KG e um anel ∗-limpo.
Vamos calcular os idempotentes de KG e verificar sob quecondicoes os mesmos sao projecoes.
Consideramos: K corpo algebricamente fechado; G grupo abelianode ordem n; char(K ) - n.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 144: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/144.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Calculando idempotentes centrais primitivos
(Quoos & Veloso [11])
KG ' K ⊕ . . .⊕ K (n copias de K ). Os idempotentes centraisprimitivos de KG sao as imagens inversas das n-uplas(0, . . . , 1, . . . , 0).
Escreva G ' C1 × . . .× Cs , com Ci = 〈gi ; gnii = 1〉.
As n componentes da soma direta K ⊕ . . .⊕K serao indexadas pors-uplas l = (l1, . . . , ls), com 0 ≤ li ≤ ni − 1,: as primeiras nscoordenadas tem li = 0, para i 6= s, e ls variando de 0 a ns − 1; asproximas ns coordenadas tem li = 0, para i 6= s, s − 1, ls−1 = 1 els variando de 0 a ns − 1; as proximas ns coordenadas tem li = 0,para i 6= s, s − 1, ls−1 = 2 e ls variando de 0 a ns − 1; e assim pordiante.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 145: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/145.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Calculando idempotentes centrais primitivos
(Quoos & Veloso [11])
KG ' K ⊕ . . .⊕ K (n copias de K ).
Os idempotentes centraisprimitivos de KG sao as imagens inversas das n-uplas(0, . . . , 1, . . . , 0).
Escreva G ' C1 × . . .× Cs , com Ci = 〈gi ; gnii = 1〉.
As n componentes da soma direta K ⊕ . . .⊕K serao indexadas pors-uplas l = (l1, . . . , ls), com 0 ≤ li ≤ ni − 1,: as primeiras nscoordenadas tem li = 0, para i 6= s, e ls variando de 0 a ns − 1; asproximas ns coordenadas tem li = 0, para i 6= s, s − 1, ls−1 = 1 els variando de 0 a ns − 1; as proximas ns coordenadas tem li = 0,para i 6= s, s − 1, ls−1 = 2 e ls variando de 0 a ns − 1; e assim pordiante.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 146: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/146.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Calculando idempotentes centrais primitivos
(Quoos & Veloso [11])
KG ' K ⊕ . . .⊕ K (n copias de K ). Os idempotentes centraisprimitivos de KG sao as imagens inversas das n-uplas(0, . . . , 1, . . . , 0).
Escreva G ' C1 × . . .× Cs , com Ci = 〈gi ; gnii = 1〉.
As n componentes da soma direta K ⊕ . . .⊕K serao indexadas pors-uplas l = (l1, . . . , ls), com 0 ≤ li ≤ ni − 1,: as primeiras nscoordenadas tem li = 0, para i 6= s, e ls variando de 0 a ns − 1; asproximas ns coordenadas tem li = 0, para i 6= s, s − 1, ls−1 = 1 els variando de 0 a ns − 1; as proximas ns coordenadas tem li = 0,para i 6= s, s − 1, ls−1 = 2 e ls variando de 0 a ns − 1; e assim pordiante.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 147: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/147.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Calculando idempotentes centrais primitivos
(Quoos & Veloso [11])
KG ' K ⊕ . . .⊕ K (n copias de K ). Os idempotentes centraisprimitivos de KG sao as imagens inversas das n-uplas(0, . . . , 1, . . . , 0).
Escreva G ' C1 × . . .× Cs , com Ci = 〈gi ; gnii = 1〉.
As n componentes da soma direta K ⊕ . . .⊕K serao indexadas pors-uplas l = (l1, . . . , ls), com 0 ≤ li ≤ ni − 1,: as primeiras nscoordenadas tem li = 0, para i 6= s, e ls variando de 0 a ns − 1; asproximas ns coordenadas tem li = 0, para i 6= s, s − 1, ls−1 = 1 els variando de 0 a ns − 1; as proximas ns coordenadas tem li = 0,para i 6= s, s − 1, ls−1 = 2 e ls variando de 0 a ns − 1; e assim pordiante.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 148: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/148.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Calculando idempotentes centrais primitivos
(Quoos & Veloso [11])
KG ' K ⊕ . . .⊕ K (n copias de K ). Os idempotentes centraisprimitivos de KG sao as imagens inversas das n-uplas(0, . . . , 1, . . . , 0).
Escreva G ' C1 × . . .× Cs , com Ci = 〈gi ; gnii = 1〉.
As n componentes da soma direta K ⊕ . . .⊕K serao indexadas pors-uplas l = (l1, . . . , ls), com 0 ≤ li ≤ ni − 1,:
as primeiras nscoordenadas tem li = 0, para i 6= s, e ls variando de 0 a ns − 1; asproximas ns coordenadas tem li = 0, para i 6= s, s − 1, ls−1 = 1 els variando de 0 a ns − 1; as proximas ns coordenadas tem li = 0,para i 6= s, s − 1, ls−1 = 2 e ls variando de 0 a ns − 1; e assim pordiante.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 149: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/149.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Calculando idempotentes centrais primitivos
(Quoos & Veloso [11])
KG ' K ⊕ . . .⊕ K (n copias de K ). Os idempotentes centraisprimitivos de KG sao as imagens inversas das n-uplas(0, . . . , 1, . . . , 0).
Escreva G ' C1 × . . .× Cs , com Ci = 〈gi ; gnii = 1〉.
As n componentes da soma direta K ⊕ . . .⊕K serao indexadas pors-uplas l = (l1, . . . , ls), com 0 ≤ li ≤ ni − 1,: as primeiras nscoordenadas tem li = 0, para i 6= s, e ls variando de 0 a ns − 1;
asproximas ns coordenadas tem li = 0, para i 6= s, s − 1, ls−1 = 1 els variando de 0 a ns − 1; as proximas ns coordenadas tem li = 0,para i 6= s, s − 1, ls−1 = 2 e ls variando de 0 a ns − 1; e assim pordiante.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 150: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/150.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Calculando idempotentes centrais primitivos
(Quoos & Veloso [11])
KG ' K ⊕ . . .⊕ K (n copias de K ). Os idempotentes centraisprimitivos de KG sao as imagens inversas das n-uplas(0, . . . , 1, . . . , 0).
Escreva G ' C1 × . . .× Cs , com Ci = 〈gi ; gnii = 1〉.
As n componentes da soma direta K ⊕ . . .⊕K serao indexadas pors-uplas l = (l1, . . . , ls), com 0 ≤ li ≤ ni − 1,: as primeiras nscoordenadas tem li = 0, para i 6= s, e ls variando de 0 a ns − 1; asproximas ns coordenadas tem li = 0, para i 6= s, s − 1, ls−1 = 1 els variando de 0 a ns − 1;
as proximas ns coordenadas tem li = 0,para i 6= s, s − 1, ls−1 = 2 e ls variando de 0 a ns − 1; e assim pordiante.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 151: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/151.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Calculando idempotentes centrais primitivos
(Quoos & Veloso [11])
KG ' K ⊕ . . .⊕ K (n copias de K ). Os idempotentes centraisprimitivos de KG sao as imagens inversas das n-uplas(0, . . . , 1, . . . , 0).
Escreva G ' C1 × . . .× Cs , com Ci = 〈gi ; gnii = 1〉.
As n componentes da soma direta K ⊕ . . .⊕K serao indexadas pors-uplas l = (l1, . . . , ls), com 0 ≤ li ≤ ni − 1,: as primeiras nscoordenadas tem li = 0, para i 6= s, e ls variando de 0 a ns − 1; asproximas ns coordenadas tem li = 0, para i 6= s, s − 1, ls−1 = 1 els variando de 0 a ns − 1; as proximas ns coordenadas tem li = 0,para i 6= s, s − 1, ls−1 = 2 e ls variando de 0 a ns − 1;
e assim pordiante.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 152: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/152.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Calculando idempotentes centrais primitivos
(Quoos & Veloso [11])
KG ' K ⊕ . . .⊕ K (n copias de K ). Os idempotentes centraisprimitivos de KG sao as imagens inversas das n-uplas(0, . . . , 1, . . . , 0).
Escreva G ' C1 × . . .× Cs , com Ci = 〈gi ; gnii = 1〉.
As n componentes da soma direta K ⊕ . . .⊕K serao indexadas pors-uplas l = (l1, . . . , ls), com 0 ≤ li ≤ ni − 1,: as primeiras nscoordenadas tem li = 0, para i 6= s, e ls variando de 0 a ns − 1; asproximas ns coordenadas tem li = 0, para i 6= s, s − 1, ls−1 = 1 els variando de 0 a ns − 1; as proximas ns coordenadas tem li = 0,para i 6= s, s − 1, ls−1 = 2 e ls variando de 0 a ns − 1; e assim pordiante.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 153: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/153.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Calculando idempotentes centrais primitivos (cont.)
Defina m := mmc(n1, . . . , ns).
Denote por ζm uma raiz primitivade 1 de ordem m em K , e, para i = 1, . . . , s, por ζni uma raizprimitiva de 1 de ordem ni em K .
Dada uma s-tupla l = (l1, . . . , ls), com 0 ≤ li ≤ ni − 1, defina opolinomio Pl ∈ K (ζm)[X1, . . . ,Xs ] = K [X1, . . . ,Xs ] como:
Pl =s∏
i=1
ni−1∏ki=0
ki 6=li
(Xi − ζkini ),
com ζm uma raiz primitiva de 1 de ordem m.
Notar: Pl(ζk1n1, . . . , ζksns ) 6= 0⇐⇒ k = l .
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 154: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/154.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Calculando idempotentes centrais primitivos (cont.)
Defina m := mmc(n1, . . . , ns). Denote por ζm uma raiz primitivade 1 de ordem m em K , e, para i = 1, . . . , s, por ζni uma raizprimitiva de 1 de ordem ni em K .
Dada uma s-tupla l = (l1, . . . , ls), com 0 ≤ li ≤ ni − 1, defina opolinomio Pl ∈ K (ζm)[X1, . . . ,Xs ] = K [X1, . . . ,Xs ] como:
Pl =s∏
i=1
ni−1∏ki=0
ki 6=li
(Xi − ζkini ),
com ζm uma raiz primitiva de 1 de ordem m.
Notar: Pl(ζk1n1, . . . , ζksns ) 6= 0⇐⇒ k = l .
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 155: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/155.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Calculando idempotentes centrais primitivos (cont.)
Defina m := mmc(n1, . . . , ns). Denote por ζm uma raiz primitivade 1 de ordem m em K , e, para i = 1, . . . , s, por ζni uma raizprimitiva de 1 de ordem ni em K .
Dada uma s-tupla l = (l1, . . . , ls), com 0 ≤ li ≤ ni − 1, defina opolinomio Pl ∈ K (ζm)[X1, . . . ,Xs ] = K [X1, . . . ,Xs ] como:
Pl =s∏
i=1
ni−1∏ki=0
ki 6=li
(Xi − ζkini ),
com ζm uma raiz primitiva de 1 de ordem m.
Notar: Pl(ζk1n1, . . . , ζksns ) 6= 0⇐⇒ k = l .
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 156: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/156.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Calculando idempotentes centrais primitivos (cont.)
Defina m := mmc(n1, . . . , ns). Denote por ζm uma raiz primitivade 1 de ordem m em K , e, para i = 1, . . . , s, por ζni uma raizprimitiva de 1 de ordem ni em K .
Dada uma s-tupla l = (l1, . . . , ls), com 0 ≤ li ≤ ni − 1, defina opolinomio Pl ∈ K (ζm)[X1, . . . ,Xs ] = K [X1, . . . ,Xs ] como:
Pl =s∏
i=1
ni−1∏ki=0
ki 6=li
(Xi − ζkini ),
com ζm uma raiz primitiva de 1 de ordem m.
Notar: Pl(ζk1n1, . . . , ζksns ) 6= 0⇐⇒ k = l .
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 157: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/157.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Calculando idempotentes centrais primitivos (cont.)
Os idempotentes centrais primitivos de KG sao os elementos:
el :=Pl(g1, . . . , gs)
Pl(ζl11 , . . . , ζ
lss ),
com 0 ≤ li ≤ ni − 1, para i = 1, . . . , s.
Para todo idempotente central primitivo el ∈ KG , temos e∗l
tambem e um idempotente central primitivo em KG (pois
e∗l
=Pl(g
−11 , . . . , g−1
s )
Pl(ζl11 , . . . , ζ
lss )
,
e cada g−1i tambem e um gerador de Ci ).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 158: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/158.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Calculando idempotentes centrais primitivos (cont.)
Os idempotentes centrais primitivos de KG sao os elementos:
el :=Pl(g1, . . . , gs)
Pl(ζl11 , . . . , ζ
lss ),
com 0 ≤ li ≤ ni − 1, para i = 1, . . . , s.
Para todo idempotente central primitivo el ∈ KG , temos e∗l
tambem e um idempotente central primitivo em KG
(pois
e∗l
=Pl(g
−11 , . . . , g−1
s )
Pl(ζl11 , . . . , ζ
lss )
,
e cada g−1i tambem e um gerador de Ci ).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 159: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/159.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Calculando idempotentes centrais primitivos (cont.)
Os idempotentes centrais primitivos de KG sao os elementos:
el :=Pl(g1, . . . , gs)
Pl(ζl11 , . . . , ζ
lss ),
com 0 ≤ li ≤ ni − 1, para i = 1, . . . , s.
Para todo idempotente central primitivo el ∈ KG , temos e∗l
tambem e um idempotente central primitivo em KG (pois
e∗l
=Pl(g
−11 , . . . , g−1
s )
Pl(ζl11 , . . . , ζ
lss )
,
e cada g−1i tambem e um gerador de Ci ).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 160: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/160.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Calculando idempotentes centrais primitivos (cont.)
Os idempotentes centrais primitivos de KG sao os elementos:
el :=Pl(g1, . . . , gs)
Pl(ζl11 , . . . , ζ
lss ),
com 0 ≤ li ≤ ni − 1, para i = 1, . . . , s.
Para todo idempotente central primitivo el ∈ KG , temos e∗l
tambem e um idempotente central primitivo em KG (pois
e∗l
=Pl(g
−11 , . . . , g−1
s )
Pl(ζl11 , . . . , ζ
lss )
,
e cada g−1i tambem e um gerador de Ci ).
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 161: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/161.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Projecoes em KG
Em geral: el 6= e∗l
.
Pergunta: Assim, KG nao e em geral um anel ∗-limpo?
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 162: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/162.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Projecoes em KG
Em geral: el 6= e∗l
.
Pergunta: Assim, KG nao e em geral um anel ∗-limpo?
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 163: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/163.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Projecoes em KG
Em geral: el 6= e∗l
.
Pergunta: Assim, KG nao e em geral um anel ∗-limpo?
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 164: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/164.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias
Obrigada pela atencao!
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 165: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/165.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
V. P. Camillo, D. Khurana, A characterization of unit-regularrings, Communications in Algebra 29 (2001), 2293 – 2295.
Y. Gao, J. Chen, Y. Li, Some star-clean Group Rings, AlgebraColloquium 22 (2015) 169–180 (to appear).
J. Han, W. K. Nicholson, Extensions of clean rings,Communications in Algebra 29 (2001), 2589–2595.
T. Y. Lam, A First Course in Noncommutative Rings,Springer-Verlag, New York, 2nd Edition, 2001.
Y. Li, M. M. Parmenter, P. Yuan, On star-clean group rings,Journal of Algebra and Its Applications 14 (2015) (to appear).
C. Li, Y. Zhou, On strongly ∗-clean rings, J. Algebra Appl. 10(6) (2011) 1363–1370.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 166: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/166.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
F. J. Murray, J. von Neumann, On Rings of Operators, Annalsof Mathematics, Second Series, 37 (1936), 116–229.
W. K. Nicholson, Lifting idempotents and exchange rings,Transactions of the AMS 229 (1977), 269 – 278.
W. K. Nicholson, Y. Zhou, Rings in which elements areuniquely the sum of an idempotent and a unit, GlasgowMathematical Journal 46 (2004), 227 – 236.
S. Perlis, G. Walker, Abelian Group Algebras of Finite Order,Trans. Amer. Math. Soc. 68, 420–426, 1950.
L. Quoos; P. M. Veloso, Primitive Central Idempotents ofNilpotent Group Algebras, Scientia Series A: MathematicalSeries 16, 87–93, 2008.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos
![Page 167: An eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/TALKS/TALKS_PDF/paula_pale… · An eis de grupos Resultados Refer^encias Algumas de ni˘c~oes A anel (associativo com 1). grupo de](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052613/5f1b452bdbfda06e3c273aab/html5/thumbnails/167.jpg)
ConvencoesRegularidade em aneis
Limpeza em aneisMotivacao
Aneis de gruposResultados
Referencias
L. Vas, ∗-Clean rings; some clean and almost clean Baer∗-rings and von Neumann algebras, J. Algebra 324 (2010),3388–3400.
Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos