Análisis de Decisiones en la Producción Agrícola: Comparación entre metodologías Grupo Interdisciplinario Decisiones Sistemas Agrícolas (GIDESA)

HORACIO ROJO1 - CÁRMEN VICIEN2 - SILVIA ADRIANA RAMOS1 - XAVIER GONZÁLEZ1 -

FEDERICO BERT2 - RITA MARRA2 - ALEJANDRO WAINSTOCK1

1 Facultad de Ingeniería, Universidad de Buenos Aires, Av. Las Heras 2214, Ciudad Autónoma de Buenos Aires 2 Facultad de Agronomía, Universidad de Buenos Aires, Av. San Martín 4453, Ciudad Autónoma de Buenos Aires

1 INTRODUCCIÓN

El análisis y el estudio de las decisiones se han convertido en una de las ramas de más desarrollo en los

últimos años dentro de la Economía, de la Administración y de la Psicología. Su interés surge de una

necesidad descriptiva –conocer cuáles son los mecanismos que las gobiernan para predecir el

comportamiento humano– y de una necesidad normativa –proveer de una metodología para la correcta

elección entre diferentes alternativas o estrategias con el objeto de acercarse a un resultado deseado–.

Para la toma de buenas decisiones, el decisor debe enfrentar una dificultad cada vez mayor en la

interpretación de la realidad y en el modelado de sistemas complejos. Las decisiones se toman

sobrellevando la presencia de incertidumbre, opiniones técnicas divergentes, datos imprecisos, errores

de medición, múltiples criterios a tener en cuenta, entre otros.

En particular, las decisiones bajo riesgo han sido una de las áreas de más interés en el desarrollo de esta

rama del conocimiento. Los modelos de decisiones bajo riesgo estudiados a lo largo del tiempo centran

su interés en aquellas decisiones cuyo resultado final depende fuertemente de factores de los que no se

tiene certeza o que se desconocen.

En la producción agrícola, es de gran interés la aplicación de estos modelos a las decisiones de

asignación de tierra entre los distintos cultivos, porque al momento de decidir existe gran incertidumbre

sobre las condiciones climáticas y de precios que determinan su resultado económico. El conocimiento

de un modelo de decisión adecuado para este tipo de decisiones contribuirá a informar a los

productores sobre sus selecciones de producción y esto redundaría en la obtención de mejores

resultados y menos riesgo para sus producciones.

En la siguiente sección, revisaremos las hipótesis que se adoptan en el caso de estudio de las decisiones

de producción agrícola. Luego, haremos una breve recorrida por distintas teorías de decisión en la

selección de asignación de tierras a distintos cultivos: Valor esperado, Teoría de la utilidad Esperada,

Prospect Theory o teoría de los prospectos y optimización de Portafolio de Markowitz. Posteriormente,

exploraremos la metodología de las Decisiones Robustas, como un enfoque alternativo a los anteriores,

e introduciremos los conceptos de Optimización Robusta. Finalmente trataremos de revisar los

resultados obtenidos.

2 CASO DE ESTUDIO

Se modela un campo de una extensión estándar de 600 ha ubicado en la zona de Pergamino, provincia

de Buenos Aires. El modelo de decisión de producción estará dado por la selección de alternativas de

producción que abarcan distintos cultivos (maíz, soja, y doble cultivo trigo-soja de segunda) y su

manejos agronómicos para esos cultivos (fecha de siembra, distancia entre hileras y dosis de

fertilización). Originalmente el grupo plantearon 20 alternativas de Cultivos-Manejos (CM), pero

resultados preliminares obtenidos, junto con información de los miembros del grupo de la Facultad de

Agronomía, llevaron a reducir las alternativas a las 6 planteadas en González (2012) y que se detallan en

la Tabla 1.

2.1 ESTRATEGIAS El campo se considera divisible en 6 unidades (i.e., tiene 6 lotes de producción y para cada lote debe

seleccionarse 1 CM). Los escenarios resultantes de las combinaciones de asignación de los 6 CMc entre

las 6 partes del campo abarcan 462 estrategias, las que se encuentran parcialmente desarrolladas en la

Tabla 2 mediante fracciones xk de 1, siendo xk la proporción de terreno a asignar a cada CMc en el

ID de Alternativa Cultivo Genotipo Fecha de Siembra Espacio entre fialas Nitrogen fertilizer (kg ha-1)

Ma4

Maiz

DK682 15-Sep 8.0 plants m-2 100

Ma5 DK682 15-Oct 6.5 plants m-2 60

So1

Soja

DM3700 15-Oct 52 cm between

rows 0

So4 DM3800 25-Nov 52 cm between

rows 0

SW3 Trigo-Soja

2da

Don Enrique + DM4800

1-Jul* NO APLICA 40

SW6 Guapo + DM4800

1-Jun* NO APLICA 80

(*) Short-cycle soybean is planted 20 days after wheat maturity.

Tabla 1 Características de los Cultivo-Manejos considerados

escenario futuro. Llamaremos Estrategia a cada una de las diferentes combinaciones posibles de

selección para asignar la tierra entre esos 6 CMc. En Rojo et al (2013) se encuentran detalladas las 462

estrategias consideradas.

2.2 ESCENARIOS Una vez que el productor decide la combinación de CMc para el campo, obtendrá un rinde y

posteriormente un ingreso económico. El resultado económico se calcula en base al rinde simulado –

función de las condiciones climáticas- y a los precios de los commodities y costos. Estos dos factores

(Condiciones Climáticas y Nivel de Precios) son los que aportan incertidumbre al modelo y configuran los

escenarios a considerar.

Las condiciones climáticas se incorporan simulando los rendimientos mediante modelos agronómicos

específicos de simulación de crecimiento de cultivo (Jones et al 1998 - Podestá et al 2008). Dichos usan

como entrada información climática histórica diaria junto con las características de los CMc y simulan,

entre otras cosas, el rinde (kg/ha) de los CMc cultivo.

Para las simulaciones se consideró una serie histórica de precios de los cultivos para el período 1983-

2009 y también una tabla de rendimientos de los CMc para el período 1931-2007 en función de

información climática histórica. En Rojo et al (2013) se puede apreciar la serie histórica de precios y los

resultados de la simulación para los períodos completos. Los escenarios totales a considerar son una

combinación de un año histórico de precios con un año histórico de rendimientos. Considerando 27

años de precios (1983-2009) y 77 años de rendimientos (1931-2007), su producto resulta en un total de

27 * 77 = 2079 escenarios a considerar. Las series históricas de datos climáticos y las series históricas de

precios se combinan entre sí para generar los escenarios a ensayar.

2.3 INGRESO BRUTO DE CADA CMC Dado un CMc con c = 1 a 6, para un nivel de precios de un año m y un rendimiento según condiciones

climáticas de un año n, el Ingreso Bruto en USD/Ha que percibe el productor para cada CMc es:

Ingreso Bruto CMc (m,n) = Precio CMc (m) * Rendimiento CMc (n)

Estrategia Ma4 Ma5 So1 So4 SW3 SW6

1 1 0 0 0 0 0

2 5/6 1/6 0 0 0 0

3 2/3 1/3 0 0 0 0

4 1/2 1/2 0 0 0 0

. . . . . . .

7 0 1 0 0 0 0

. . . . . . .

461 0 0 0 0 1/6 5/6

462 0 0 0 0 0 1 Tabla 2 Detalle parcial de estrategias.

con: c = 1 a 6; m = 1 (1983) a 27 (2009); n = 1 (1931) a 77 (2007)

Para los interesados en reproducir el procedimiento de cálculo, en Rojo et al se indican 8 valores de

Ingresos de los CMc (m,n), en USD/Ha, ordenados sobre una matriz de 2079 filas (cantidad de

escenarios) y 8 columnas (4 CMc simples y 4 columnas correspondientes a cada una de las 2 partes que

integran cada uno de los 2 CMc combinados).

2.4 MARGEN DE CADA CMC El productor debe afrontar costos fijos directos, costos variables directos y costos indirectos, todos en

USD/Ha. Los costos fijos CFCMc dependen del CMc y corresponden al costo de las semillas,

agroquímicos y labores. Los costos variables CVCMc dependen directamente del rendimiento de la

producción del CMc e incluyen el costo de cosecha, el costo de transporte y el costo de

comercialización, mediante un costo unitario adimensional CVuCMc. Los costos indirectos incluyen,

entre otras cosas, los costos estructurales como por ejemplo el alquiler del terreno. Los costos CFCMc,

CVuCMc y CECMc se muestran en Rojo et al.

El Margen Neto, en USD/Ha, que obtiene el productor de cada CMc se calcula descontando los costos al

Ingreso Bruto. Para los 4 CMc simples (Ma4, Ma5, So3 y So6) el margen neto, en USD/Ha, queda

expresado por:

Margen Neto CMc (m,n) = Ingreso CMc (m,n) * (1 – CVuCMc) – CFCMc – CECMc

con c = 1 a 4; m = 1 (1983) a 27 (2009); n = 1 (1931) a 77 (2007)

y para los 2 CMc combinados SW3 y SW6 el margen es el siguiente (se presenta solo el de SW3):

Margen Neto CM5 (m,n) = Ingreso W3 (m,n) * (1 – CVuW3) – CF W3 – CE W3 + Ingreso So3 (m,n) * (1

– CVuSo3) – CF So3 – CE So3

En la Tabla 6 se indican 4 valores de Márgenes, en USD/Ha, de los CMc (m,n) que son parte de una

matriz de 2079 filas (cantidad de escenarios) y 6 columnas (cantidad de CMc).

2.5 MARGEN DE CADA ESTRATEGIA Si se multiplica la matriz de Márgenes de los CMc, de 2079 filas (escenarios) y 6 columnas (CMc) por la

traspuesta de 6 filas (CMc) y 472 columnas (estrategias) de la matriz de estrategias se obtiene una

matriz de 2079 filas (escenarios) y 462 columnas (estrategias) que contienen los márgenes de cada

combinación, en USD/Ha.

Se denomina a este cálculo Mji: Margen de la estrategia j en el escenario i.

3 MODELOS DE DECISIÓN TRADICIONALES

3.1 VALOR ESPERADO Comenzando con Blas Pascal en 1670, el cálculo del valor esperado constituyó la primera métrica

empleada para sugerir una buena decisión cuyo estado futuro se desconoce. La idea de valor esperado

consiste en que con cada decisión se obtienen resultados asociados a una probabilidad. Calculando el

valor esperado del resultado de cada decisión posible, la selección deberá ser aquella que proporcione

el mayor valor esperado del retorno económico.

Si suponemos los escenarios como equiprobables, en el modelo de decisión agrícola, la estrategia a

elegir será la que arroje el mayor valor esperado del Margen neto. El resultado de las 5 estrategias con

mayor promedio del margen se muestra en la figura 2. El cálculo se explica en la siguiente fórmula:

Siendo i el subíndice que indica el escenario, cada escenario como combinación de precios y clima

𝑉𝐸𝑗 =1

2079∑ 𝑀𝑖𝑗

2079

𝑖=1

El resultado del cálculo para las 5 mejores estrategias se muestra en la Tabla .

Estrategia Valor esperado del Margen [US$/ha]

210 58.18

209 55.11

208 52.68

207 50.33

206 49.86 Tabla 3 Valor esperado del Margen para cada estrategia

Figure 1 Asignación de terreno correspondiente a las estrategias 206, 207, 208, 209, 210

3.2 TEORÍA DE LA UTILIDAD ESPERADA En el siglo XVII Daniel Bernoulli demostró que el valor esperado no es adecuado para seleccionar la

mejor alternativa. Introdujo el concepto de Riesgo, como posibilidad de que un evento probable

produzca un resultado no deseado.

206

207

208

209

210

Land allocation

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

SW3Soy1Soy4Ma5Ma4SW6

Esta teoría propone que los individuos no buscan maximizar la riqueza, sino que buscan maximizar la

satisfacción o utilidad que les proporciona la riqueza. Esta función de utilidad tiene la propiedad de ser

creciente con derivada segunda negativa.

Esta condición de la función de utilidad puede ser entendida de la siguiente forma: cuando un inversor

crece en su nivel de riqueza, la utilidad que le produce una unidad más monetaria es cada vez menor. Lo

que quiere decir que si mil pesos producen una utilidad x, dos mil pesos producen una utilidad

necesariamente menor a 2x.

Una de las fórmulas de utilidad que propuso Bernoulli es la logarítmica que cumple con la condición

descripta anteriormente.

𝑈(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥)

Entonces los inversores buscarán maximizar el valor esperado de la utilidad, y no el valor esperado del

margen. Entonces,

𝑈𝐸𝑗 =1

2079∑ 𝑙𝑛(𝑊0 +𝑀𝑖𝑗)

2079

𝑖=1

En donde W0 es la riqueza inicial del productor. Este agregado se incluye porque es significativo en nivel

de riqueza en el que se encuentra el productor para medir su satisfacción con el resultado. Además,

evita que en caso de pérdidas el logaritmo natural de un número negativo quede indefinido.

Los resultados de la Utilidad Esperada para las cinco mejores estrategias se muestran en la tabla 4 y las

distribuciones correspondientes a esas estrategias se muestran en la Figura 2.

Estrategia Valor esperado de la utilidad [Adimensional]

195 6.5850

175 6.5844

205 6.5839

140 6.5822

209 6.5804 Tabla 4 Estrategias con mayor valor de utilidad esperada

Figura 2 Asignación de cultivos correspondiente a las estrategias con mayor valor de utilidad esperada

3.3 TEORÍA DE LAS PERSPECTIVAS (PROSPECT THEORY) La teoría fue desarrollada por Daniel Kahneman (premio Nobel de Economía en 2002) y Amos Tversky en

1979. Básicamente, y entre otros conceptos, lo que plantea la teoría es lo siguiente:

1. La satisfacción de un resultado –antes llamada utilidad, ahora llamada función de valor–

depende de la variación de ese resultado con un nivel de referencia subjetivo que tiene el

decisor. Esto da lugar a un parámetro Wr o riqueza de referencia.

2. El efecto de satisfacción que producen las ganancias (resultado mejor que la referencia) no es

simétrico a la insatisfacción que producen las pérdidas (resultado menor a la referencia). Ver

Figura 3. Esto se denomina aversión a las pérdidas.

3. Cuando las probabilidades son muy bajas o muy altas, estas son abstraídas diferente en la

cabeza del decisor. Es decir que existe una función que modela cómo se incorporan las

probabilidades en la cabeza del decisor.

209

140

205

175

195

Land allocation

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

SW3Soy1Soy4Ma5Ma4SW6

Figura 3 Función de Valor

Podemos utilizar la siguiente función de valor:

𝑉(𝑥) = 𝑥𝛼 𝑠𝑖𝑥 ≥ 0

−𝜆. (−𝑥)𝛼 𝑠𝑖𝑥 < 0

Entonces, de una manera simplificada, podemos decir que el productor buscará maximizar la

función de valor. Con α= 0.88 y λ= 2.25

𝑉𝑗 =1

2079∑ 𝑉(𝑀𝑖𝑗 −𝑊𝑟)

2079

𝑖=1

Los resultados de las 5 mejores estrategias se muestran a continuación en la tabla 3 y sus

respectivas distribuciones de cultivos se muestran en la figura 4.

Estrategia Valor [Adimensional]

175 -45.52

195 -45.81

140 -46.11

205 -47.84

84 -47.87 Tabla 5 Estrategias con mayor Valor

Figura 4. Asignación de cultivo para las estrategias con mayor valor.

3.4 OPTIMIZACIÓN DE PORTAFOLIO DE MARKOWITZ La teoría de optimización de portafolio es una teoría moderna de inversión que busca que el decisor

pueda minimizar el riesgo mediante la selección óptima de los componentes de su inversión. Presentada

por Harrty Markowitz en 1952, la teoría propone que el inversor debe abordar la cartera como un todo,

estudiando las características del riesgo y retorno global, en lugar de escoger valores individuales.

Las decisiones de producción agrícola pueden perfectamente entenderse como una inversión financiera.

En lugar de disponer de un capital inicial a distribuir entre activos financieros, el productor dispone de su

terreno a asignar con opciones de Cultivo-Manejo.

Una forma fácil de seleccionar la estrategia recomendada según este modelo es graficar en un par de

ejes cartesianos la media y el desvío estándar del margen de cada una de las estrategias (ver Figura 5).

84

205

140

195

175

Land allocation

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

SW3Soy1Soy4Ma5Ma4SW6

Figura 5. Media del margen vs desvió estándar del margen para cada estrategia

Es lógico que el decisor seleccione aquella opción que le devuelva alto rendimiento con un bajo desvío

estándar (arriba a la izquierda del grafico en la Figura 5). Así, se define una frontera integrada por las

estrategias que se presentan en la Figura 6.

170 180 190 200 210 220 230

30

40

50

60

seleccion de portafolio

desvio.st

ren

dim

ien

to

10111213 1415161718 19202122 2324252627

28

3031323334 3536373839 40414243 4445464748

49

5051525354 55565758 5960616263

64

65666768 6970717273

74757677

7879808182

8384

888990 92939495 96979899 100101102103104

105

106107108109110 111112113114 115116117118119

120

121122123124 125126127128129

130131132133

134135136137138

139140

143144145 146147148149 150151152153154

155

156157158159 160161162163164

165166167168

169170171172173

174175

177178179 180181182183184

185186187188

189190191192193

194195

197198199200

201202203204

205 208209

222223224225 226227228229230

231

233234235236 237238239240 241242243244245

246

247248249250 251252253254255

256257258259

260261262263264

265266

269270271 272273274275 276277278279280

281

282283284285 286287288289290

291292293294

295296297298299

300301

303304305 306307308309310

311312313314

315316317318319

320321

323324325326

327328329330

331 333334

335

349350351

356357358359360

361362363364

365366367368369

370371

373374375 376377378379380

381382383384

385386387388389

390391

393394395396

397398399400

401403

404405

422423424425

426

428429430431

432433434435

436 439440

451 454455

Figura 6. Asignación de cultivos correspondientes a las estrategias de la frontera de Markowitz

4 MODELO ALTERNATIVO: METODOLOGÍA DE LAS DECISIONES ROBUSTAS

El marco teórico del proyecto lo constituye la metodología de las DR (MDR) propuesta en

Lempert (2006), de la cual en esta sección se presenta una síntesis.

En el proceso de toma de decisiones dentro de un marco de incertidumbre, el decisor debe

seleccionar una estrategia (Si) entre un conjunto de estrategias posibles (S) las cuales producen resultados

que son función de factores del contexto sobre los que no se tiene certeza y por ello aportan

incertidumbre sobre el resultado final. Estos factores definen un conjunto de escenarios considerados (F)

donde cada escenario (Fj) está determinado por una combinación de estados que aportan incertidumbre.

Definidos los escenarios F y las estrategias S, en la MDR se deben evaluar todas las combinaciones

de elementos entre esos dos conjuntos E = S x F y seguir el procedimiento propuesto por Lempert (2007),

en el cual se expresa que “la MDR es un procedimiento de decisión analítico e iterativo que ayuda a

identificar estrategias robustas candidatas, caracterizar sus vulnerabilidades y evaluar otras alternativas

que sean más sólidas cuando las candidatas sean vulnerables”.

Los pasos metodológicos a seguir en la MDR son los siguientes:

Seleccionar un subconjunto de estrategias posibles (S).

Determinar todos los escenarios factibles de considerar (F).

Especificar los diferentes modelos descriptivos de performance y los valores de los parámetros a tomarse y luego adoptar un modelo.

Evaluar todas las combinaciones de estrategias y escenarios conforme el modelo adoptado obteniendo un resultado para cada combinación (E).

84

140

175

195

205

Land allocation

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

SW3Soy1Soy4Ma5Ma4SW6

De acuerdo a esa evaluación proponer estrategias robustas candidatas iniciales considerando todos los escenarios.

Delimitar un subconjunto de escenarios en los cuales el resultado de adoptar las estrategias candidatas presentan vulnerabilidades pues no tienen buen desempeño y originan pérdida de performance o Regret respecto a la performance de la mejor estrategia en esos escenarios.

Identificar un subconjunto de estrategias que pertenecen a la frontera con mejor performance entre los escenarios identificados en el paso anterior y los demás escenarios.

Caracterizar la conveniencia de adoptar una estrategia de cobertura de acuerdo a un análisis de sus respectivas vulnerabilidades.

Identificar un nuevo subconjunto de estrategias robustas candidatas que mejore el cubrimiento en los escenarios vulnerables e iterar desde el paso V hasta haber analizado todas las estrategias que resulten del análisis.

5 OTROS MODELOS ALTERNATIVOS: ENFOQUES DE OPTIMIZACIÓN ROBUSTA

El propósito de la Optimización Robusta es encontrar, dentro del marco de la Programación Matemática, soluciones cuyos efectos sobre el objetivo planteado sean “poco sensibles” ante variaciones en los datos, producto de la incertidumbre en sus valores reales. Sobre este esquema general se han desarrollado varios enfoques alternativos con sus ventajas y desventajas los cuales están siendo objeto de análisis en un nuevo proyecto de investigación para ser desarrollados y aplicados en la solución del problema de la Producción Agrícola. A continuación se describen brevemente los enfoques que se están analizando.

5.1 OPTIMIZACIÓN NO LINEAL ROBUSTA El enfoque de Optimización Robusta presenta una estructura no lineal y uno de los más conocidos es el propuesto por Mulvey et al (1995) cuya idea central es introducir variables que reflejen el incumplimiento de la factibilidad incorporándolas en la función objetivo dentro de un término de “penalización” con un peso que denomina “Ω” y en las restricciones dentro de un conjunto de ecuaciones que denomina de “control” para medir la infactibilidad del modelo. Como el término de penalización en la función objetivo no es lineal, el modelo robusto pierde la linealidad lo cual constituye una desventaja de este enfoque

5.2 OPTIMIZACIÓN LINEAL ROBUSTA El primer enfoque de Optimización Lineal Robusta fue desarrollado por Soyster (1973) quien propuso un modelo de programación lineal cuyas restricciones contengan a todos los valores posibles de los datos inciertos. Los resultados obtenidos con este enfoque lograban su robustez a costa de un gran apartamiento de la solución óptima. Un nuevo enfoque que mejoró el apartamiento de la optimalidad fue el propuesto por Bertsimas et al (2004) el cual garantiza que por debajo de una tolerancia prefijada en el cambio del valor de los coeficientes inciertos la solución obtenida sigue siendo factible y por encima de esa tolerancia la garantiza según una función de alta probabilidad. Para ello incorpora un parámetro que denomina “Γ” cuyo papel es ajustar la robustez del método para flexibilizar y disminuir el apartamiento de la solución óptima. Enfoques de publicaciones recientes como ser Ben-Tal et al (2010) han avanzado en esta línea y también serán analizados y evaluados en el nuevo proyecto de investigación.

6 CONCLUSIONES

Para la resolución del caso de estudio presentado, se han evaluado varias metodologías, que se han

explicado brevemente en los capítulos anteriores. Algunas de ellas, como la optimización robusta, serán

objeto de nuevas líneas de investigación en los proyectos en los cuales está trabajando el grupo.

Cada una de las metodologías tiene un grado diferente de profundidad y de abordaje de la situación

problemática. Por ello es que las soluciones que se obtuvieron tienen sensibles diferencias. Los

resultados que, a nuestro juicio, permiten tomar mejores decisiones en los ámbitos de incertidumbre

como el planteado en el caso de estudio, son las que implican decisiones robustas, porque facilitan la

evaluación de distintos escenarios y toman en consideración la mayor variedad de resultados posibles

(aunque no se enfoquen a obtener la solución óptima). Hay un factor que es necesario tener en cuenta y

es el de las preferencias y actitudes ante el riesgo que tiene el decisor. Por ello, para seleccionar el mejor

modelo, o la mejor metodología, es imprescindible estudiar en primera instancia cómo toma decisiones

aquél que tiene el problema.

7 BIBLIOGRAFÍA

BEN-TAL A., BERTSIMAS D., y BROWN D.B. (2010). “A Soft Robust Model for Optimization under Ambiguity”. Operations Resarch, Vol 58. Pp 1220-1234

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GONZÁLEZ X. I. (2012): “Aplicación de Decisiones Robustas a la asignación del uso de la tierra entre

diferentes actividades agrícolas”. Anales XXV ENDIO - XXIII EPIO, pgs 520 a 535, Ciudad Autónoma de

Buenos Aires

KAHNEMAN & Tversky. An Analisys of Decision Under Risk - Econométrica Vol. 47 N° 2 (Mar 1979)

LEMPERT R. J. et al (2006): “A General, Analytic Method for Generating Robust Strategies and Narrative

Scenarios”. Management Science, vol. 52, n° 4, pp 514 a 525

MARKOWITZ, Portfolio Selection. Journal of Finance (1952)

MULVEY J. M., VANDEBEI M. J. y ZENIOS S. A. (1995). “Robust optimizations of large-scale systems”.

Operations Research, Vol 43, pp 264-281

ROJO H., RAMOS S. A., GONZÁLEZ X. I., RASPA L., WAINSTOCK A., KALMUS D. (2013): “Procedimiento

para identificar estrategias iniciales en una metodología de decisiones robustas aplicada a sistemas

agropecuarios”. Anales XXVI ENDIO - XXIV EPIO, Ciudad de Córdoba

SOYSTER A. L. (1973). “Convex programming with set-inclusive constraints and applications to inexact

linear programming”. Operations Research, Vol 21, pp 1154-1157