ANÁLISIS NUMÉRICO Asignatura Clave:FIM002 Numero de Créditos: 7 Teóricos: 4 Prácticos: 3 INSTRUCCIONES PARA OPERACIÓN ACADÉMICA: El Sumario representa un reto, los Contenidos son los ejes temáticos, los Activos una orientación inicial para resolverlo y la síntesis concluyente, como Posibilidad de integración conceptual corresponderá a lo factible de un punto de vista temático amplio. La visión global de los asuntos resueltos como Titular Académico, te ofrecerá oportunidades de discusión que se enriquecerán en la medida que intensificas las lecturas, asistes a tu comunidad de estudio, te sirves de los asesores y analizas la ciberinformación disponible posicionándote de los escenarios informativos adecuados. Los periodos de evaluación son herramientas de aprendizaje. La acreditación es un consenso de relación con el nivel de competencia. Mantén informado a tu tutor de tus avances académicos y estado de ánimo. Selecciona tus horarios de asesorías. Se recomienda al titular (estudiante) que al iniciar su actividad de dilucidación, lea cuidadosamente todo el texto guión de la asignatura. Para una mejor facilitación, el documento lo presentamos en tres ámbitos: 1.- Relación de las unidades, 2.- Relación de activos, 3.- Principia Temática consistente en información inicial para que desarrolles los temas. COMPETENCIAS:

• A partir de una realidad, planteará en un lenguaje algorítmico, los

problemas a resolver.

• Realizará cálculos de manera óptima, en exactitud y tiempo.

• Desarrollará sus habilidades de pensamiento complejo

• Reforzará el pensamiento lógico y simbólico

• Estimulará el pensamiento creativo a partir de las posibilidades de

diversidad y cambio en la estructura matemática de los fenómenos

físicos. SUMARIO: Desarrollar el espíritu científico de asombro, observación, búsqueda y entendimiento del comportamiento físico de la naturaleza, haciendo una mezcla de matemáticas y ciencias de la computación para dar origen a herramientas que coadyuvarán a resolver problemas de ciencia e ingeniería. considerando temas desde la perspectiva del matemático, al crear o establecer un algoritmo; del científico de la computación, al implementarlo en software o modificarlo para su optimo funcionamiento en un dispositivo particular; o del quien resuelve un problema una vez que el modelo matemático ha sido creado. CONTENIDO:

Unidad I Sistemas de numeración Unidad II Errores Unidad III Sistemas de ecuaciones lineales Unidad IV Interpolación polinómica y diferenciación aproximada Unidad V Raices de ecuaciones Unidad VI Aproximación de funciones Unidad VII Métodos numéricos de integración

ACTIVOS UNIDAD I

SISTEMAS DE NUMERACION I.1.- Introducción. I.2.- El sistema binario. I.3.- Operaciones. I.4.- Ejercicios. Actividad.- Transformaciones del sistema decimal a los tres diferentes

sistemas de esta unidad y viceversa.

UNIDAD II ERRORES

II.5.- Error de redondeo y aritmética de computadora. II.6.- Error y exactitud II.7.- Error inherente y precisión fija. II.8.- Propagación del error (en los cálculos aritméticos) II.9.- Algunas Estrategias para minimizar el error de redondeo. II.10.- La fórmula del error y las interpolaciones óptimas.

Actividad.- Observar los conocimientos adquiridos en los dispositivos de

numeración de las computadoras.

UNIDAD III SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

III.11.- Sistemas de n ecuaciones con n incógnitas. III.12.- Forma matricial de los sistemas lineales. III.13.- Resolución de sistemas por el método de Gauss-Jordan.

Actividad.- Aplicar los conocimientos adquiridos para darle solución a los

sistemas de ecuaciones.

UNIDAD IV

INTERPOLACIÓN POLINÓMICA Y DIFERENCIACIÓN APROXIMADA

IV.14.- Introducción. IV.15.- Interpolación lineal y cuadrática. IV.16.- Formas de Lagrange IV.17.- Diferencias divididas y la forma de Newton IV.18.- La fórmula del error y las interpolaciones óptimas.

Actividad.- Aplicar los métodos de la solución general y la solución particular

para solucionar los ejercicios propuestos al final.

UNIDAD V

APROXIMACIÓN DE FUNCIONES V.19.- Aproximación discreta de mínimos cuadrados. V.20.- Aproximación de Pade. Actividad.- Aplicar sus conocimientos en el análisis del último censo de

población efectuado por el INEGI correspondiente al estado de Sinaloa.

UNIDAD VI

RAICES DE ECUACIONES

VI.21.- Obtención de raíces, introducción. VI.22.- Localización de raíces no repetidas. Actividad.- Análisis de la forma general de las ecuaciones cuadrática y cúbica.

UNIDAD VII MÉTODOS NUMÉRICOS DE INTEGRACIÓN

VII.23.- Introducción. VII.24.- Cuadratura numérica. Actividad.- El criterio del área bajo la curva para problemas específicos. ESCENARIOS INFORMATIVOS:

• Asesores Locales

• Asesores Externos

• Disposición en Internet

• Puntualidad en Intranet

• Fuentes Directas e Indirectas

• Bibliografía

Disposición en Internet: Páginas WEB: http://lal.cs.byu.edu/lal/hol-documentation.html http://www.eecs.umich.edu/gasm/ BIBLIOGRAFÍA: AUBENELL, A.; Benseny, A.

1993 Útiles Básicos de Cálculo Numérico Editorial Labor BURDEN, R.L.; Faires, J.D. 1985 Análisis Numérico.

Grupo Editorial Iberoamérica MELVIN J. Maron, Robert J. López

1999 Análisis Numérico, un Enfoque Práctico. Editorial CECSA.

ANÁLISIS NUMÉRICO PRINCIPIA TEMATICA: 1.1.- En un sistema numérico posicional se selecciona un número como base.

En el sistema decimal la base elegida es el diez, probablemente porque los dedos son una conveniente ayuda para contar, sin embargo es posible utilizar otros números como bases para los sistemas numéricos. Por ejemplo, si se decide emplear el cinco como base (esto es contar grupos de cinco), entonces pueden contarse las 17 letras A siguientes de este modo:

( A A A A A ) ( A A A A A ) ( A A A A A) A A tres cincos +` dos unos

y escribir 325 o sea, realmente en el sistema numérico decimal lo que ocurre es que ese grupo de letras se cuentan de la manera siguiente:

( A A A A A A A A A A ) A A A A A A A UN DIEZ + SIETE UNOS

y se escribe 1710 , es decir el numero diecisiete en base 10 es igual al número treinta y dos en base 5.

de la misma forma si se selecciona el 8 como base, las letras pudieran agruparse de esta manera:

( A A A A A A A A ) ( A A A A A A A A ) A dos ochos + un uno

y concluiríamos que: 17 = 325 = 218 observando que cuando la base es diez, no se escribe. Considérese ahora el problema de pasar los números que no son de base 10 a nuestro sistema decimal. por ejemplo: ¿a que número corresponde el 435 en nuestro sistema decimal? En primer lugar debemos recordar que, en el sistema decimal los números pueden escribirse en una forma desarrollada, por ejemplo: 342 = ( 3x102 ) + ( 4x10 ) + ( 2x100 ) como puede observarse, cuando se representa en notación desarrollada cada dígito del número 342, se multiplica por la potencia adecuada de diez ( que es la base empleada ). De modo semejante, al escribirse en notación desarrollada cada dígito del numeral 43cinco, debe multiplicarse por la potencia adecuada de cinco (la base utilizada). por lo que,

43cinco = ( 4x5 ) + ( 3x50 ) = 23

note que a0 = 1 para a ≠ 0. De esta manera, 100 = 1 y 2 x 100 = 2 y además que cuando el exponente es uno, no se escribe. Ejemplo: represente en notación decimal los siguientes números:

a).- 432cinco b).- 312ocho c).- 547siete d).- 342seis 1.2.- El sistema binario.- Este sistema utiliza solamente los dígitos 0 y 1, y la

agrupación se realiza de dos en dos. En años recientes, las computadoras electrónicas que utilizan este sistema, han revolucionado la tecnología y

las ciencias, debido a la rapidez con que realizan cálculos que le llevarían años completos al hombre. La ventaja del sistema binario es que en un numeral, cada posición contiene exactamente uno de dos valores posibles ( 0 ó 1 ). En este caso pueden usarse interruptores eléctricos con solamente dos posiciones, prendido o apagado, para designar los valores de cada posición. Ahora observemos como convertir números de la base dos a la base decimal.

Escriba en notación decimal el número 101dos.

Solución: 101dos= ( 1 x 22 ) + ( 0 x 2 ) + ( 1 x 20 ) = 4 + 0 + 1 = 5.

Ahora, consideremos el proceso inverso, es decir, cambie el número 15 al sistema binario: solución: podemos usar también el proceso de agrupamiento, sin embargo existe otro método para hacerlo, se llama de divisiones sucesivas y consiste en lo siguiente: hacer divisiones sucesivas entre la base (en este caso es dos) de esta suerte, al dividir 15 entre 2, se obtiene como cociente al 7 y el residuo es 1, cuando se divide el 7 entre 2 el cociente es 3 y el residuo es uno, y de la misma forma cuando se divide el 3 entre 2 el cociente es 1 y el residuo es 1, por lo que: 15 = 1111dos.

15 ÷ 2 = 7 --------------1 7 ÷ 2 = 3 ------------- 1 3 ÷ 2 = 1 ------------- 1

Ejemplo: cambie al sistema binario los números: 8, 33, 41, 56 y 67. 1.3.- Operaciones en el sistema binario.- Las operaciones de suma y resta en

este sistema, se efectúan siguiendo el mismo proceso que en el sistema decimal, teniendo presente que en cualquier base, el numeral 10 representa a la base, de tal manera que: en base dos,10 representa al número dos.y cuando la base no es diez, deberá leer 10 como “uno-cero”, nunca como “diez”. Ejemplos: sume 10102 y 11112 y reste 1112 de 11102

1.4.- Ejercicios.- Una cámara instalada en una sonda espacial tomó fotografías

del planeta Marte y las envió en forma de señales de radio hacia la tierra, en donde una computadora recibió las “fotografías” en forma de numerales binarios formados por seis bits. El sombreado de cada punto, en la fotografía final, fue determinado por esos seis bits. El numeral 0000002 indicaba un punto blanco y el numeral 1111112 denotaba un punto negro. Los 62 numerales intermedios representaban distintos sombreados que iban del gris al negro. para obtener una fotografía completa se necesitaban 40,000 puntos.

1.- si uno de los numerales recibidos fue el 1101112 ¿puede decir a

que numeral decimal corresponde? 2.- ¿El punto que corresponde al numeral recibido en el inciso

anterior representa una sombra de color gris cercana al blanco o al negro?

3.- ¿Cuál es el numeral binario que representaría el gris más claro que no llegue al blanco?

4.- ¿Cuál es el numeral binario que constituiría el gris más oscuro que no llegue al negro?

5.- ¿Puede decir que numeral binario representaría el sombreado correspondiente al número 31?

II.5.- Error de redondeo y aritmética de computadora.- Cuando se usa una

calculadora o computadora para hacer cálculos numéricos, debe considerarse un error inevitable que es el llamado error de redondeo. Este error se origina porque la aritmética realizada en una máquina involucra números con solo un número finito de dígitos, con el resultado de que muchos cálculos se realizan con representaciones aproximadas de los números verdaderos. En una computadora típica, solo un subconjunto relativamente pequeño del sistema de los números reales se usa para representar a todos los números reales. Este subconjunto contiene solo números racionales, positivos y negativos, y almacenan una parte fraccionaria, llamada la mantisa, junto con una parte exponencial , llamada la característica. Por ejemplo, un número de punto flotante en precisión simple usado en la IBM 370 Ó 3000 consiste en 1 dígito binario (bit) indicador del signo, un exponente de 7 bits en base 16, y una mantisa de 24 bits. Como 24 bits corresponde a entre 6 y 7 dígitos decimales, podemos suponer que este número tiene, por lo menos, seis cifras decimales de precisión para el sistema de numeración de punto flotante. El exponente de siete bits da un rango de 0 a 127, pero debido a los exponentes usados el rango es, realmente, entre –164 y +63, o sea que, se resta automáticamente 64 del exponente listado.

Considere por ejemplo el número de máquina:

0 1000010 101100110000010000000000

El bit más a la izquierda es cero, lo cual indica que el número es positivo. Los siguientes siete bits, 1000010, son equivalentes al número decimal:

1x26 + 0x25 + 0x24 + 0x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 66

y se usan para describir la característica. Los veinticuatro bits finales indican que la mantisa es:

1.(1/2)1 + 1.(1/2)3 + 1.(1/2)4 + 1.(1/2)7 + 1.(1/2)8 +1.(1/2)14

como consecuencia, este número de máquina representa precisamente al número decimal: + [(1/2)1 + (1/2)3 + (1/2)4 + (1/2)7 + (1/2)8 + (1/2)14] 1666-64 = 179.015625.

sin embargo, el siguiente número de máquina más pequeño es:

0 1000010 101100110000001111111111

= 179.0156097412109375 mientras que el número de máquina más grande siguiente es:

0 1000010 101100110000010000000001 = 179.0156402587890625 Esto significa que nuestro número de máquina original debe representar no solamente a 179.015625, sino a un número infinito de números reales que están entre este número y sus números de máquina más cercanos. para ser más precisos, el número de máquina original se usa para representar cualquier número real en el intervalo:

[ 179.01561737060546875 – 179.01563262939453125 ] II.6.- Error y exactitud.

Estudio de errores.- Definición

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar cantidades matemáticas. Estos incluyen errores de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo que se producen cuando los números tienen un límite de cidras significativas que se usan para representar números exactos. Para los dos tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado esta dada por :Valor verdadero = aproximación + error (1.1)Reordenando la ecuación 1.1 se encuentra que el error numérico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, esto es:

Et = valor verdadero - aproximación (1.2)

Donde Et se usa para denotar el valor exacto del error. Se incluye el subíndice t para denotar que se trata del error “verdadero”. Como ya se menciono brevemente, esto contrasta con los otros casos , donde se debe emplear una estimación “aproximada” del error. Un defecto de esta definición es que no toma en consideración el orden de magnitud del valor que se esta probando. Por ejemplo, un error de un centímetro es mucho mas significativo si se está midiendo un remache que un puente . Una manera de medir las magnitudes de las cantidades que se esta evaluando es normalizar el error respecto al valor verdadero,

Error relativo fraccional = error verdadero / valor verdadero. Donde, como ya se dijo, en la ecuación (1.2), El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como

Et = (error verdadero / valor verdadero)100 %. (1.3) Donde Et denota el error relativo porcentual verdadero.

II.7.- Error inherente y precisión fija. Exactitud y precisión. Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su exactitud y precisión. La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido con el verdadero. La precisión, se refiere a que tan cercano está un valor individual medido o calculado con respecto a los otros. Para la mayoría de los números reales x, un dispositivo digital no almacena x, sino el numero de la maquina f l(x) que aproxima a x. El error de f l(x) se llama error de redondeo o error inherente al almacenar x. Así,

Error inherente = x - f l(x) Si el dispositivo es una calculadora que almacena mantisas a k dígitos decimales, se obtiene el fl(x) mas exacto redondeado x a ks. Por ejemplo , si k = 4 y la calculadora redondea al almacenar, entonces

)1,..6667.,..(106667.)(............066666.015

1 1 −==+=== − EMxxflcomoaalmacenarisex

Así el error inherente de almacenar x = 1/15 en este dispositivo es

300000

1

100000

6667

15

1)(

−=−=− xflx

II.8.- Propagación del error (en los cálculos aritméticos) Fuentes de error en los dispositivos digitales

1) Error humano: error cometido por el programador, operador o

usuario.

2) Error de redondeo: nombre general dado a los errores producidos al

realizar aritmética en un dispositivo de precisión fija. Principia con el

error inherente y luego se propaga en virtud del error escondido, la

adición insignificante, la ampliación del error y/o la cancelación

sustractiva.

3) Error por truncamiento (o discretización): el error que ocurre cuando

se usa una fórmula que es solo aproximada.

Consideración práctica, ¿cuando redondear?: Dos importantes reglas prácticas. Primero, nunca redondee una respuesta intermedia. La mejor manera de asegurar esto es hacer que el dispositivo digital los almacene; si deben ser anotados a mano valores intermedios, asegúrese de usar varios dígitos de seguridad mas que la exactitud deseada. Segundo, redondee siempre una respuesta final teniendo en mente que la exactitud de la respuesta final está limitada por la exactitud del dispositivo computacional, Mostraremos un procedimiento perfectamente razonable, el cual llamamos

aritmética de precisión fija o mas específicamente aritmética ks, puede conducir a una variedad de errores.

Tabla I.4.1, almacenamiento de números en un dispositivo que redondea a a 4s

Valor exacto Valor almacenado

Error inherente Error relativo

u = 122.9572 fl(u) = 123.0 Єfl(u) = -0.0428 Ρfl(u) = -0.3E-3 v = 124.1498 fl(v) = 124.1 Єfl(v) = +0.0498 Ρfl(v) = +0.40E-3 w = 0.014973 fl(w) = 0-01497 Єfl(w) =

+0.000003 Ρfl(w) = +0.20E-3

z = 457.932 fl(z) = 457,900 Єfl(z) = +32 Ρfl(z) = +0.70E-4

La tabla I.4.1, examina el error inherente de una calculadora que almacena cuatro dígitos significativos redondeados, así que ЄM = 0.5 . 10-3 . Aunque los errores inherentes varían en tamaño para este dispositivo a 4s hipotético, ningún error inherente relativo excede ЄM en magnitud como lo predice:

Mxfl Exfl

xflx≤

−=

)(

)()(ρ

La tabla I.4.2, usa u, v, w, y z de la tabla I.4.1 para mostrar como la aritmética a 4s propaga el error de redondeo. La tabla I.4.3 resume los tipos de redondeo propagado ilustrado en la tabla I.4.2. Observemos primero que una adición insignificante hace que fl(u) ˆ fl(w) se redondee simplemente fl(u).

Tabla I.4.2, propagación del error al realizar aritmética a 4s en aproximaciones almacenadas.

x ° y exacto x ° y (4s) fl(x) ° fl(y) fl(x) + fl(y) V + z = 458055.1498

458100 fl(v)+fl(z) = 458023.1 fl(v)+fl(z) = 458000

u – w = 122.942227

122.9 fl(u) – fl(w) = 122.98503

fl(u) -fl(w) = 123.0

v * z = 0.56394234E8

0.5639E+8 fl(v) * fl(z) = 0-5636749E8

fl(v)*fl(z) =0.5637E+8

u / w = 8211.92813

8212 fl(u)/fl(w) = 8216.43287

fl(u) / fl(w) = 8216.

u – v = -0.1926 -0.1926 fl(u) – fl(v) = -0-1 fl(u) – fl(v) = -0.1000

En la tabla 1.4.2, fl(v)+fl(w), fl(u)-fl(w), fl(u) * fl(z) y fl(u) / fl(w) tienen errores en el cuarto dígito significativo aun cuando fl(u), fl(v), fl(w) y fl(z) se redondearon correctamente a 4s. Esta lenta acumulación del error en el dígito menos significativo es redondeo escondido. Tabla I.4.3, Tipos de error propagado cuando los operandos tienen error de redondeo

NOMBRE DEL ERROR DESCRIPCIÓN DEL ERROR Adición insignificante La adición o (sustracción) de dos números

cuyas magnitudes son tan diferentes que la suma (o diferencia) se redondea al numero mayor.

Redondeo escondido El error en el kesimo digito significativo de x ° y que puede ocurrir aun si x & y se redondean correctamente a ks.

Ampliación del error La multiplicación de un numero erróneo por un numero grande (en magnitud) o su división entre un numero cercano a cero

Cancelación sustractiva La resta de dos números casi iguales (o, de manera equivalente, la suma de un numero con casi su negativo) .

La ampliación del error sucedió en la tabla I4.2,cuando el producto fl(v) * fl(z) amplifico el error de fl(v) [y, en menor extensión, el error de fl(z)] , Aunque los errores representan errores relativos aceptablemente “pequeños” porque están en el digito menos significativo de fl(v) * fl(w) y fl(u) / fl(w), no son números “pequeños”.

07187.4821692813.8211)(/)(/

2136.2423563700002136.563942234)(*)(_*

)(/)(

)(ˆ)(

=−=−=

=−==∗

wfluflvu

zflvflzv

wflufl

zflvfl

ε

ε

La amplificación del error puede entonces producir errores absolutos que son inaceptablemente grandes en ciertas situaciones. El tipo mas devastador de error de redondeo propagado es la cancelación sustractiva. Para ver por que, compare las siguientes dos restas: u = 122.9572 fl(u) = 123.0 v = 123.1498 fl(v) = 123.1 u – v = -0.1926 fl(u) –fl(v) = - 0.1 [= fl(u) ˆ fl(v) ] Obsérvese que la sustracción de dos números redondeados casi iguales cancela la exactitud de los dígitos principales significativos. A la sustracción sustractiva también se le conoce como cancelación catastrófica porque a diferencia de los otros tipos de redondeo propagado, puede producir errores en el digito significativo principal después de una sola operación aritmética. II.9.- Algunas Estrategias para minimizar el error de redondeo. Puesto que el error de redondeo propagado inicia con el error inherente, los usuarios inteligentes de los métodos numéricos conocen la precisión del dispositivo de cálculo, así que pueden usar la: Estrategia de la mantisa completa. Para minimizar el error inherente , introduzca valores de entrada con tantos dígitos significativos como puedan almacenarse en el dispositivo (por supuesto que sea conocida la precisión del digito significativo del dispositivo). Por ejemplo. Así, en un dispositivo a 7s, π debería proporcionarse como

3.141593 (no como 3.14). Mejor aun , haga que el propio dispositivo lo calcule por si mismo. Digamos este sencillo truco nos da π con la precisión nominal del dispositivo cualquiera que sea E forma similar, ex debe programarse como ExP(x), no como 2.718**x, (lo cual restringe la exactitud probable asegurada a 4s independientemente de la precisión del dispositivo). Algunas veces, los valores de entrada de un calculo son conocidos con menos dígitos exactos que la precisión del dispositivo. En estas condiciones aconsejamos lo siguiente.. Estrategia de respuesta final, Redondee la respuesta final a una exactitud conocida. Por ejemplo, si un cálculo bien condicionado resulta 23.3876 y el dato de entrada menos exacto se conoce solo con exactitud a “3s” , entonces la respuesta debe anotarse como 23.4 es decir, redondeada a 3s. Es aconsejable una nota de que incluso 23.4 podría ser inexacto si se sabe que el cálculo estuvo mal condicionado. Otra estrategia útil para limitar la propagación del error de redondeo es la: Estrategia de operaciones mínimas , para ayudar a minimizar el error de redondeo escondido, evalué las expresiones matemáticas en una forma que requiera el menor número de operaciones aritméticas siempre que al hacerlo no permita la posibilidad de cancelación sustractiva. Como un ejemplo sencillo, u = y-8 se evalúa mejor en cuatro pasos

)........(1

;*;*; recíprocounycionesmultiplicatresu

uuuuuuuyyu ←←←∗←

La estrategia de operaciones mínimas solo toma la exactitud en consideración . Si también se desea una ejecución rápida, tome en cuenta que las adiciones (estas son mas rápidas que las multiplicaciones, las cuales son mas rápidas que las divisiones; y a su vez, estas operaciones aritméticas son mas rápidas que la mayoría de las evaluaciones de funciones internas). Como un ejemplo más, compararemos la forma exponencial usual de:

)(..........1324.5)834.56)98.56)192((()(

..........

)...(..........1324.5834.5698.56192)( 234

Bxxxxxp

anidadaformaeneequivalentsua

Axxxxxp

+−+−=

+−+−=

Ambas formas requieren cuatro adiciones / sustracciones y cuatro multiplicaciones por una potencia de x. Sin embargo, la evaluación (A) requiere el cálculo adicional de x4, x3 y x2, el cálculo adicional posiblemente genere con (a) mas error de redondeo que con (b) . Esta es la razón por lo que se recomienda la: Estrategia de multiplicación anidada , Evalué los polinomios en forma anidada. El algoritmo de la división sintética (también conocido como el método de Horner) para la evaluación de un polinomio en forma anidada. El lector que haya realizado la división sintética manualmente podrá reconocerlo en el siguiente ejemplo que se muestra.

Encontrará p(x) = {[(1c-9.5)c + 28.49]c + -28.417}c + 2.5662 para cuando c = -2 -2 1 -9.5 28.49 -28.417 2.5662 + -2.0 23.00 -102.98 262.794 1 -11.5 51.49 -131.397 265.3602 = p(-2)

)2(

3602.265397.13149.5125.113

)(

)(

−−+−+−=

−− xxxx

xx

xp

Estrategia del dígito de seguridad , Nunca redondee valores intermedios. Si usted debe anotarlos y reintroducirlos, hágalo con unos cuantos dígitos de seguridad mas que la exactitud deseada en la respuesta final.

Estrategia de precisión parcial , Cuando haga una suma acumulada en un ciclo, hágalo usando precisión extendida siempre que este disponible.

INTERPOLACIÓN.

III.10.- Introducción. Cada 10 años se levanta un censo de población. En la siguiente tabla se incluyen datos de la población, en miles de habitantes, de 1940 a 1990.

POB (en miles)

0

100

200

300

1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

AÑO

POBLACION

Al revisar los datos anteriores, podríamos preguntarnos si es posible utilizarlos para obtener una estimación razonable de la población que habría en: digamos, en 1965, incluso en el año 2000. Este tipo de predicciones puede obtenerse por medio de una función que corresponda a los datos disponibles. Este proceso recibe el nombre de Interpolación. La palabra interpolación, significa pasar una curva por un conjunto dado de puntos. Matemáticamente el problema de interpolación es. Hasta hace poco, las funciones trascendentes eran evaluadas en forma rutinaria usando interpolación sobre una tabla. Aunque las calculadoras de bolsillo y las computadoras han hecho innecesaria en gran medida tales

interpolaciones, la necesidad de interpolar persiste. Por ejemplo los especialistas en estadística, los científicos y los ingenieros necesitan a menudo estimaciones exactas basadas en un número limitado de puntos tabulados de un libro de consulta o de la impresión de una computadora, y herramientas de corte controladas por computadoras requieren de seguir curvas especificadas por un conjunto de puntos fijos. II.7.- Interpolación lineal y cuadrática. Considere el problema de determinar un polinomio de grado 1 que pase por los puntos distintos de (x0, y0) y (x1, y1). Este problema es el mismo que el de aproximar una función f, para la cual f(x0) = y0 y f(x ) = y1, por medio de un polinomio de primer grado, interpolando entre o coincidiendo con, los valores de f en los puntos dados .

Consideremos el polinomio

1

01

00

10

1

)(

)(

)(

)()( y

xx

xxy

xx

xxxp

−

−+

−

−=

Cuando x = x0, )(.0.1)( 00100 xfyyyxP ==+=

Y cuando x = x1, )(.1.0)( 11101 xfyyyxP ==+=

Así que P tiene las propiedades requeridas.

La técnica usada para construir a P es el método de “interpolación” usado con frecuencia en las tablas trigonométricas o logarítmicas . Lo que puede ser no es tan obvio es que P es el único polinomio de grado 1 o menor con la propiedad de interpolación. Este resultado, sin embargo, se sigue inmediatamente del corolario de la 2.16, pagina 80. Corolario 2.16.- Sean P y Q polinomios a lo mas de grado “n”. Si x1, x2, ....,xk, k > n son números distintos con P(xi) = q(xi) para i = 1, 2,.....,k, entonces P(x) = Q(x) para todo valor de x . Para generalizar el concepto de interpolación lineal , consideremos la construcción de un polinomio a lo mas n que pase por n + 1 puntos (xo, f(x0)), (x1, f(x1)), .....,(xn, f(xn)) (ver figura XII.A). El polinomio lineal que pasa por (x0, f(x0)) , y (x1, f(x1)) se construye usando los cocientes .

)(

)()(........,.........

)(

)()(

01

01

10

10

xx

xxxLy

xx

xxxL

−

−=

−

−=

cuando x = x0 , f(x0) = 1, mientras que L1(x0) = 0. Cuando x = x1 , Lo(x1) = 0, mientras L1(x1) = 1 Y F P

X X0 x1 x2 xn Para el caso general necesitamos construir, para cada k = 0, 1, ..,n, un cociente Ln k(x) con la propiedad de que Ln, k(xi) = 0 cuando i ≠ K y Ln, k(x k) = 1. Para satisfacer que Ln, k(xi) = 0 para cada i ≠ k se requiere que el numerador de Ln,,k contenga el termino:

))...()().....()(( 1110 nkk xxxxxxxxxx −−−−− +− ............................(II.B)

Para satisfacer Ln,k(x) = 1, el denominador de Lk debe ser igual a (II.B) cuando x = xk. Por lo tanto.

∏≠=+−

+−

−

−=

−−−−

−−−−=

n

kii ik

i

nkkkkkk

nkkkn

xx

xx

xxxxxxxx

xxxxxxxxxL

0110

110,

)(

)(

))...()()...((

))...()()...(()(

En la siguiente figura se muestra una grafica de la forma L n,k Y x0 x1 xk-1 xk xk+1 xn-1 xn X La interpolación polinomica de dos puntos se llama interpolación lineal. En forma similar, la interpolación de tres puntos se llama interpolación cuadrática. II.8.- Formas de Lagrange de Pk m (x). Ahora que se conoce la forma de Ln,,k es Fácil describir al polinomio interpolante. Este polinomio se llama “Polinomio interpolante de lagrange” y se define en el teorema siguiente. Teorema: Si xo, x1,…..,xn son números (n +1) diferentes y “f” es una función cuyos valores están dados en estos puntos, entonces existe un único polinomio P de grado a lo mas “n” con la propiedad de que: nkcadaparaxpxf kk ,.....,1,.0...........).........()( ==

Este polinomio esta dado por:

∑=

=++=n

k

knknnnn xLxfxLxfxLxfxP0

,,0,0 ),()()()(............)()()(

.,......,1,..0..............

)(

)(.............

))...)()...()((

))...()()...()(()(,

0

1110

1110

nkcadaparaxx

xx

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxkLn

n

kii ik

i

nkkkkkkk

nkk

=−

−=

−−−−−

−−−−−=

∏≠=

+−

+−

Escribiremos L n,k (x) simplemente como Lk(x) cuando no haya confusión de su grado.. Ejemplo: Usando los números o nodos, x0 = 2, x1 = 2.5, x2 = 4 para encontrar el polinomio interpolante de segundo grado para f(x) = 1/x necesitamos determinar primero los coeficientes polinómicos L0, L1, L2:

).55.42(3

1

)5.24)(24(

)5.2)(2()(

)322424(3

1

)45.2)(25.2(

)4)(2()(

105.6)42)(5.22(

)4)(5.2.()(

2

1

2

0

+−=−−

−−=

−+−=−−

−−=

+−=−−

−−=

xxxx

xL

xxxx

xL

xxxx

xL

Ya que f(x0) = f(2) = 0.5, f(x1) = f(2.5) = 0.4, f(x2) = f(4) = 0.25

325.0)3()3(...............3/1)3(......

15.1425.0205.0.....

)55.4(3

25.0)32244(

3

4.0)105.6(5.0......

)()()(

222

2

0

=≈=

+−=

+−+−+−++−=

= ∑=

Pfesfaonaproximaciuna

xx

xxxxxx

xLxfxPk

kk

II.9.- Diferencias divididas y la forma de Newton. Los métodos para determinar la representación explicita de un polinomio interpolante a partir de datos tabulados se conocen como métodos de diferencia dividida . Estos métodos se usaron mas con propósito de computo antes de que el equipo de computo digital llegara a ser fácilmente disponible. Sin embargo, los métodos pueden usarse también para derivar técnicas para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales. Supongamos que Pn es el polinomio de Lagrange de grado a lo mas n que coincide con la función f en los números distintos xo, x1,..., xn. Las diferencias divididas de f con respecto a x0, x1, ....,xn, se pueden derivar demostrando que Pn tiene la representación ))...()(((...))(()()( 110102010 −−−−++−−+−+= nnn xxxxxxaxxxxaxxaaxP ..(

A) con constantes apropiadas a0, a1, ....,an

Para determinar las primeras de estas constantes, a0, note que si Pn(x) puede escribirse en la forma de la ecuación (A), entonces evaluando Pn en x0 deja solamente el termino constante a0 ; esto es, a0 = Pn(x0) = f(x0). Similarmente, cuando Pn se evalúa en x1 los únicos términos que distintos de ceros en la evaluación de Pn(x1) son la constante y el término lineal.

)........()()(

1:..

);()()()(

01

01

1010

Bxx

xfxfaqueasi

xfxPxxaxf n

−

−=

==−+

Aquí introducimos lo que se conoce como notación de diferencia dividida. La diferencia dividida cero de la función f, con respecto a xi, se denota por f[xi] y es simplemente la evaluación de f en x i ,

[ ] ).( ii xfxf =

Las diferencias divididas restantes se definen inductivamente; la primera diferencia dividida de f con respecto a x i y xi+1, se denota por f[xi, xi+1] y esta definida como

[ ] [ ] [ ]ii

iiii

xx

xfxfxxf

−

−=

+

++

1

11,

EJEMPLO La función de Bessel de primera clase de orden cero fue considerada en el ejemplo 3 de la sección 3.2 (Análisis numérico, Richard L. Burden) En ese ejemplo, se usaron varios polinomios interpolantes para aproximar f(1.5), usando los datos que están en las primeras tres columnas de la siguiente tabla

I xi F[xi] F[xi-1, xi] F[xi-2, xi-1, xi] F[xi-3,........, xi] F[xi-

4,……, xi]

0 1.0 0.7651977 -

0.4837057

1 1.3 0.6200860 -0.1087339

-0.5489460

0.0658784

2 1.6 4554022 -0.0494433 0.0018251

-0.5786120

0.0680685

3 1.9 0.2818186 0.0118183 -

0.5715210

4 2.2 0.1103623 Las restantes cuatro columnas de la tabla contienen diferencias divididas calculadas usando un algoritmo (Algoritmo de la formula de diferencia interpolante de Newton). Los coeficientes de la forma de diferencia dividida progresiva de Newton del polinomio interpolante están a lo largo de la diagonal en la tabla. El polinomio es

)9.1)(6.1)(3.1)(0.1(0018251.0...........

)6.1)(3.1)(0.1(0658784.0...........

)3.1)(0.1(1087339.0)0.1(4837057.07651977.0)(4

−−−−+

−−+

−−−−−=

xxxx

xxx

xxxxP

se verifica fácilmente que P4(1.5) =0.5118200.

Cuando las (k-1)diferencias divididas II.10.- La formula del error y las interpolaciones optimas. Designemos por pk,m(x) al polinomio interpolante para Pk, Pk+1,...,Pm = Pk + n . Si c es una x no tabulada, entonces el numero pk,m(x) obteniendo evaluando pk,

m(x) en x = c, puede usarse para aproximar f(x). Si c pertenece al intervalo de interpolación [xk, xm] entonces se dice que pk,m (x) interpola a f(x) de otra manera, (por ejemplo, ya sea que c < xk o bien c > xm), se dice que pk,m(c(c ) “extrapola” a f(c). En cualquier caso debe enfrentarse la siguiente pregunta: Dado que “c”, ¿qué valores de “m” y “k” hacen a pk, m(c) aproximar a f(c) con mayor exactitud? Para ayudar a contestar la siguiente pregunta usaremos el siguiente teorema de “Lagrange” TEOREMA Si la (n + 1)esima derivada de f(n + 1) existe en el intervalo cerrado mas pequeño que contiene a “c” y a “n + 1” nodos interpolados xk, ...,xk+n, entonces hay una ξ en este intervalo tal que

))....()(()!1(

)()()( 11

)1(

, +−

+

+ +−−+

=− kki

n

nkk xcxcxcn

fcPcf

ξ

El teorema implica que para una “c” dada y “n”, el error absoluto

nkkinkk xcxcxcproductoalalproporcionescPcf +++ −−−− ..............)()( 1, (C)

Donde |c - xi| es la distancia de “c” a “xi” en la recta numérica . Así el error de la aproximación f(c) ≈ Pk,k+n(c) es probable que sea mas pequeño en los casos en que xk

*≤ c ≤ xk+n (interpolación), que cuando los xk,....,xk+n estén en el mismo lado que “c” (extrapolación); y cuando se interpola, se supone que el error será mayor para c entre dos xi ampliamente espaciadas (oscilaciones polinomicas) y menor para una c cerca de un xi . Si c esta en el intervalo [xk, xk+n] (interpolación) y el espacio entre dos nodos es razonablemente uniforme, entonces el producto de los |c - xi | .en (C) es mas

grande cuando c esta cerca de un punto extremo de [xk, xk+n] y mas pequeño cuando c esta cerca del centro de [xk, xk+n] . Así, para una c dada, la aproximación mas exacta de f(c) con un polinomio de interpolación de n + 1 puntos, es probable que sea )(ˆ)( , cpcf nkk += , donde:

)..()(ˆ ,, cpcp nkknkk ++ = usando los n + 1 nodos sucesivos xk,...xk+n que mejor

centren a c. Nos referimos al numero )(ˆ , cp nkk + como la interpolación optima de nesimo

grado para f(c) . El circunflejo ( ˆ ) es para indicar que es la “probablemente optima”. Así, cuando se interpola , las interpolaciones optimas, las interpolaciones optimas se obtienen como sigue: TABLA II.10.1, Interpolaciones optimas de nesimo grado para c = c1, c2, c3 de la figura II.10.A

N Pk, k+n(c1) Pk, k+n(c2) Pk, k+n(c3) 0 Pk, k (c1) =P0,0(c1) Pk, k(c2) =P2,2(c2) Pk, k(c3) =P2,2(c3) 1 Pk,k+1(c1) =p0,1(c1) Pk,k+1(c2) =p1,2(c2) Pk,k+1(c3) =p2,3(c3) 2 Pk,k+2(c1) =p0,2(c1) Pk,k+2(c2) =p1,3(c2) Pk,k+2(c3) =p1,3(c3) 3 Pk,k+3(c1) =p0,3(c1) Pk,k+3(c2) =p0,3(c1) Pk,k+3(c3) =p1,4(c3) 4 Pk,k+4(c1) =p0,4(c1) Pk,k+4(c2) =p0,4(c1) Pk,k+4(c3) =p0,4(c3)

C1 C2 C3 X0 X1 X2 X3 X4 Figura II.10.A, Extrapolación de f(c1) e interpolación de f(c2) y f(c3) EJEMPLO

Hallar “k” y la “m” para las cuales Pk,m(c) es la aproximación optima a c usando los cinco puntos

PO(0, 0), P1(1, 1), P2(4, 2), P3(9, 3) P4(16, 4) de la curva xy =

a) si c es 8; b) se c es 21. )5826.421....8284.28:( ≅≅ yNota

xk fk Pk,k+1(8) Pk,k+2(8) Pk,k+3(8) Pk,k+4(8) XO = 0 0 8 = 8.00 X1 = 1 1 -4/3 = -1.333 10/3 =

3.333 12/5 =

2.400

X2 = 4 2 43/15 = 2.867 118/45 = 2.62

14/5 = 2.800

128/45= 2.844

X3 = 9 3 592/210=2.819 20/7 =

2.857

X4 = 16 4 C = 8

El elemento subrayado de cada columna , para el cual el intervalo de interpolación centra mejor a c = 8, observe que las interpolaciones optimas subrayadas están igualmente distribuidas a uno y otro lado de la línea punteada en c = 8 El valor más exacto de la tabla, es el punto con valor de 2.819, que usa solo tres puntos, mientras que el pinto con valor de 2.622, que usa los cinco puntos es el menos exacto de las interpolaciones “optimas”. X0 X1 X2 C X3 X4 0 1 4 8 9 = nodo mas cercano 16 c = 8 y los cinco nodos tabulados xi del ejemplo.

III.11.- Un sistema de ecuaciones lineales, es una formación de ecuaciones de primer grado, ya que estas reciben el nombre de lineales debido precisamente a que si trazamos la gráfica de cualquiera de ellas, el resultado será siempre una línea recta. Generalmente se habla de sistemas de “n” ecuaciones con “n” incógnitas. por ejemplo: 5x – 3y = 12 10x – 6y = 24 5x + y = 9 6x + 3y = -9 2x – 3y = 3 10x – 15y = 15 3x – y = 7 3x + 4y = -2 Son sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. x + 3y + z = 5 x – y + z = 4 3x +6y – 2z = 3 2x – y – z = 9 2x – 3y + 3z = 6 x – 3y + 2z = 12 Son sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.

III.12.- Cualquier sistema de ecuaciones, se puede representar por dos arreglos matemáticos que reciben el nombre de matriz, por ejemplo los primeros casos de los sistemas anteriores quedarán debidamente representados de la manera siguiente:

−

−

32

35

3

12

+−

−+

++

332

263

131

6

3

5

En donde la primera matriz de cada caso recibe el nombre de matriz de los coeficientes numéricos, mientras que las siguientes se llaman matrices de las constantes por el lado derecho de las ecuaciones.

III.13.- Para resolver los sistemas lineales de ecuaciones existen tres operaciones

permitidas sobre ellas sin provocar que las ecuaciones se alteren y son las siguientes: 1.- La ecuación Ei puede multiplicarse por cualquier constante λ ( lambda ) diferente de cero y utilizar la ecuación resultante en lugar de Ei, esta operación se simboliza mediante λ Ei Ei 2.- .- La ecuación Ei puede multiplicarse por cualquier constante λ ( lambda ) diferente de cero, sumar a la ecuación Ej, y utilizar la ecuación resultante en lugar de Ej, esta operación se simboliza mediante λ Ei + Ej Ej 3.- Las ecuaciones Ei y Ej se pueden intercambiar, esta operación se simboliza mediante: Ei Ej. El método de Newton, consiste en, usando estas operaciones permitidas, hacer que el sistema de ecuaciones tome una forma triangular reducida en donde todos los elementos de la diagonal principal de la matriz de coeficientes del sistema se hagan 1, mientras que todos los demás elementos de ella sean 0. de donde serán despejados los valores de las variables del sistema y así se obtendrá la solución al sistema que se este tratando.

INTERPOLACIÓN. IV.14.- Introducción. Cada 10 años se levanta un censo de población. En la siguiente tabla se incluyen datos de la población, en miles de habitantes, de 1940 a 1990.

POB (en miles)

0

100

200

300

1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

AÑO

POBLACION

Al revisar los datos anteriores, podríamos preguntarnos si es posible utilizarlos para obtener una estimación razonable de la población que habría en: digamos, en 1965, incluso en el año 2000. Este tipo de predicciones puede obtenerse por medio de una función que corresponda a los datos disponibles. Este proceso recibe el nombre de Interpolación. La palabra interpolación, significa pasar una curva por un conjunto dado de

puntos. Matemáticamente el problema de interpolación es. Hasta hace poco, las funciones trascendentes eran evaluadas en forma rutinaria usando interpolación sobre una tabla. Aunque las calculadoras de bolsillo y las computadoras han hecho innecesaria en gran medida tales interpolaciones, la necesidad de interpolar persiste. Por ejemplo los especialistas en estadística, los científicos y los ingenieros necesitan a menudo estimaciones exactas basadas en un numero limitado de puntos tabulados de un libro de consulta o de la impresión de una computadora, y herramientas de corte controladas por computadoras requieren de seguir curvas especificadas por un conjunto de puntos fijos. IV.15.- Interpolación lineal y cuadrática. Considere el problema de determinar un polinomio de grado 1 que pase por los puntos distintos de (x0, y0) y (x1, y1). Este problema es el mismo que el de aproximar una función f, para la cual f(x0) = y0 y f(x ) = y1, por medio de un polinomio de primer grado, interpolando entre o coincidiendo con, los valores de f en los puntos dados .

Consideremos el polinomio

1

01

00

10

1

)(

)(

)(

)()( y

xx

xxy

xx

xxxp

−

−+

−

−=

Cuando x = x0, )(.0.1)( 00100 xfyyyxP ==+=

Y cuando x = x1, )(.1.0)( 11101 xfyyyxP ==+=

Así que P tiene las propiedades requeridas. La técnica usada para construir a P es el método de “interpolación” usado con frecuencia en las tablas trigonométricas o logarítmicas . Lo que puede ser no es tan obvio es que P es el único polinomio de grado 1 o menor con la propiedad de interpolación. Este resultado, sin embargo, se sigue inmediatamente del corolario de la 2.16, pagina 80. Corolario 2.16.- Sean P y Q polinomios a lo mas de grado “n”. Si x1, x2, ....,xk, k > n son números distintos con P(xi) = q(xi) para i = 1, 2,.....,k, entonces P(x) = Q(x) para todo valor de x . Para generalizar el concepto de interpolación lineal , consideremos la construcción de un polinomio a lo mas n que pase por n + 1 puntos (xo, f(x0)), (x1, f(x1)), .....,(xn, f(xn)) (ver figura XII.A). El polinomio lineal que pasa por (x0, f(x0)) , y (x1, f(x1)) se construye usando los cocientes .

)(

)()(........,.........

)(

)()(

01

01

10

10

xx

xxxLy

xx

xxxL

−

−=

−

−=

cuando x = x0 , f(x0) = 1, mientras que L1(x0) = 0. Cuando x = x1 , Lo(x1) = 0, mientras L1(x1) = 1 Y F

P X X0 x1 x2 xn Para el caso general necesitamos construir, para cada k = 0, 1, ..,n, un cociente Ln k(x) con la propiedad de que Ln, k(xi) = 0 cuando i ≠ K y Ln, k(x k) = 1. Para satisfacer que Ln, k(xi) = 0 para cada i ≠ k se requiere que el numerador de Ln,,k contenga el termino:

))...()().....()(( 1110 nkk xxxxxxxxxx −−−−− +− ............................(II.B)

Para satisfacer Ln,k(x) = 1, el denominador de Lk debe ser igual a (II.B) cuando x = xk. Por lo tanto.

∏≠=+−

+−

−

−=

−−−−

−−−−=

n

kii ik

i

nkkkkkk

nkkkn

xx

xx

xxxxxxxx

xxxxxxxxxL

0110

110,

)(

)(

))...()()...((

))...()()...(()(

En la siguiente figura se muestra una grafica de la forma L n,k Y x0 x1 xk-1 xk xk+1 xn-1 xn X La interpolación polinómica de dos puntos se llama interpolación lineal. En forma similar, la interpolación de tres puntos se llama interpolación cuadrática. IV.16.- Formas de Lagrange de Pk m (x). Ahora que se conoce la forma de Ln,,k es Fácil describir al polinomio interpolante. Este polinomio se llama “Polinomio interpolante de lagrange” y se define en el teorema siguiente. Teorema: Si xo, x1,…..,xn son números (n +1) diferentes y “f” es una función cuyos valores están dados en estos puntos, entonces existe un único polinomio P de grado a lo mas “n” con la propiedad de que: nkcadaparaxpxf kk ,.....,1,.0...........).........()( ==

Este polinomio esta dado por:

∑=

=++=n

k

knknnnn xLxfxLxfxLxfxP0

,,0,0 ),()()()(............)()()(

.,......,1,..0..............

)(

)(.............

))...)()...()((

))...()()...()(()(,

0

1110

1110

nkcadaparaxx

xx

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxkLn

n

kii ik

i

nkkkkkkk

nkk

=−

−=

−−−−−

−−−−−=

∏≠=

+−

+−

Escribiremos L n,k (x) simplemente como Lk(x) cuando no haya confusión de su grado.. Ejemplo: Usando los números o nodos, x0 = 2, x1 = 2.5, x2 = 4 para encontrar el polinomio interpolante de segundo grado para f(x) = 1/x necesitamos determinar primero los coeficientes polinómicos L0, L1, L2:

).55.42(3

1

)5.24)(24(

)5.2)(2()(

)322424(3

1

)45.2)(25.2(

)4)(2()(

105.6)42)(5.22(

)4)(5.2.()(

2

1

2

0

+−=−−

−−=

−+−=−−

−−=

+−=−−

−−=

xxxx

xL

xxxx

xL

xxxx

xL

Ya que f(x0) = f(2) = 0.5, f(x1) = f(2.5) = 0.4, f(x2) = f(4) = 0.25

325.0)3()3(...............3/1)3(......

15.1425.0205.0.....

)55.4(3

25.0)32244(

3

4.0)105.6(5.0......

)()()(

222

2

0

=≈=

+−=

+−+−+−++−=

= ∑=

Pfesfaonaproximaciuna

xx

xxxxxx

xLxfxPk

kk

IV.17.- Diferencias divididas y la forma de Newton. Los métodos para determinar la representación explicita de un polinomio interpolante a partir de datos tabulados se conocen como métodos de diferencia dividida . Estos métodos se usaron mas con propósito de computo antes de que el equipo de computo digital llegara a ser fácilmente disponible. Sin embargo, los métodos pueden usarse también para derivar técnicas para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales. Supongamos que Pn es el polinomio de Lagrange de grado a lo mas n que coincide con la función f en los números distintos xo, x1,..., xn. Las diferencias divididas de f con respecto a x0, x1, ....,xn, se pueden derivar demostrando que Pn tiene la representación

))...()(((...))(()()( 110102010 −−−−++−−+−+= nnn xxxxxxaxxxxaxxaaxP ..(

A) con constantes apropiadas a0, a1, ....,an Para determinar las primeras de estas constantes, a0, note que si Pn(x) puede escribirse en la forma de la ecuación (A), entonces evaluando Pn en x0 deja solamente el término constante a0 ; esto es, a0 = Pn(x0) = f(x0). Similarmente, cuando Pn se evalúa en x1 los únicos términos distintos de ceros en la evaluación de Pn(x1) son la constante y el termino lineal .

)........()()(

1:..

);()()()(

01

01

1010

Bxx

xfxfaqueasi

xfxPxxaxf n

−

−=

==−+

Aquí introducimos lo que se conoce como notación de diferencia dividida. La diferencia dividida cero de la función f, con respecto a xi, se denota por f[xi] y es simplemente la evaluación de f en x i ,

[ ] ).( ii xfxf =

Las diferencias divididas restantes se definen inductivamente; la primera diferencia dividida de f con respecto a x i y xi+1, se denota por f[xi, xi+1] y esta definida como

[ ] [ ] [ ]

ii

iiii

xx

xfxfxxf

−

−=

+

++

1

11,

EJEMPLO La función de Bessel de primera clase de orden cero fue considerada en el ejemplo 3 de la sección 3.2 (Análisis numérico, Richard L. Burden) En ese ejemplo, se usaron varios polinomios interpolantes para aproximar f(1.5), usando los datos que están en las primeras tres columnas de la siguiente tabla

I xi F[xi] F[xi-1, xi] F[xi-2, xi-1, xi] F[xi-3,........, xi]

F[xi-4,……, xi]

0 1.0 0.7651977 -

0.4837057

1 1.3 0.6200860 -0.1087339

-0.5489460

0.0658784

2 1.6 4554022 -0.0494433 0.0018251 -

0.5786120 0.0680685

3 1.9 0.2818186 0.0118183 -

0.5715210

4 2.2 0.1103623 Las restantes cuatro columnas de la tabla contienen diferencias divididas calculadas usando un algoritmo (Algoritmo de la formula de diferencia interpolante de Newton). Los coeficientes de la forma de diferencia dividida progresiva de Newton del polinomio interpolante están a lo largo de la diagonal en la tabla. El polinomio es

)9.1)(6.1)(3.1)(0.1(0018251.0...........

)6.1)(3.1)(0.1(0658784.0...........

)3.1)(0.1(1087339.0)0.1(4837057.07651977.0)(4

−−−−+

−−+

−−−−−=

xxxx

xxx

xxxxP

se verifica fácilmente que P4(1.5) =0.5118200.

Cuando las (k-1)diferencias divididas IV.18.- La formula del error y las interpolaciones óptimas. Designemos por pk,m(x) al polinomio interpolante para Pk, Pk+1,...,Pm = Pk + n . Si c es una x no tabulada, entonces el numero pk,m(x) obteniendo evaluando pk,

m(x) en x = c, puede usarse para aproximar f(x). Si c pertenece al intervalo de interpolación [xk, xm] entonces se dice que pk,m (x) interpola a f(x) de otra manera, (por ejemplo, ya sea que c < xk o bien c > xm), se dice que pk,m(c(c ) “extrapola” a f(c). En cualquier caso debe enfrentarse la siguiente pregunta:

Dado que “c”, ¿qué valores de “m” y “k” hacen a pk, m(c) aproximar a f(c) con mayor exactitud? Para ayudar a contestar la siguiente pregunta usaremos el siguiente teorema de “Lagrange” TEOREMA Si la (n + 1)esima derivada de f(n + 1) existe en el intervalo cerrado mas pequeño que contiene a “c” y a “n + 1” nodos interpolados xk, ...,xk+n, entonces hay una ξ en este intervalo tal que

))....()(()!1(

)()()( 11

)1(

, +−

+

+ +−−+

=− kki

n

nkk xcxcxcn

fcPcf

ξ

El teorema implica que para una “c” dada y “n”, el error absoluto

nkkinkk xcxcxcproductoalalproporcionescPcf +++ −−−− ..............)()( 1, (C)

Donde |c - xi| es la distancia de “c” a “xi” en la recta numérica . Así el error de la aproximación f(c) ≈ Pk,k+n(c) es probable que sea mas pequeño en los casos en que xk

*≤ c ≤ xk+n (interpolación), que cuando los xk,....,xk+n estén en el mismo lado que “c” (extrapolación); y cuando se interpola, se supone que el error será mayor para c entre dos xi ampliamente espaciadas (oscilaciones polinomicas) y menor para una c cerca de un xi . Si c esta en el intervalo [xk, xk+n] (interpolación) y el espacio entre dos nodos es razonablemente uniforme, entonces el producto de los |c - xi | .en (C) es mas grande cuando c esta cerca de un punto extremo de [xk, xk+n] y mas pequeño cuando c esta cerca del centro de [xk, xk+n] . Así, para una c dada, la aproximación mas exacta de f(c) con un polinomio de interpolación de n + 1 puntos, es probable que sea )(ˆ)( , cpcf nkk += , donde:

)..()(ˆ ,, cpcp nkknkk ++ = usando los n + 1 nodos sucesivos xk,...xk+n que mejor

centren a c. Nos referimos al numero )(ˆ , cp nkk + como la interpolación optima de nesimo

grado para f(c) . El circunflejo ( ˆ ) es para indicar que es la “probablemente optima”. Así, cuando se interpola , las interpolaciones optimas, las interpolaciones optimas se obtienen como sigue: TABLA II.10.1, Interpolaciones óptimas de nesimo grado para c = c1, c2, c3 de la figura II.10.A

N Pk, k+n(c1) Pk, k+n(c2) Pk, k+n(c3) 0 Pk, k (c1) =P0,0(c1) Pk, k(c2) =P2,2(c2) Pk, k(c3) =P2,2(c3) 1 Pk,k+1(c1) =p0,1(c1) Pk,k+1(c2) =p1,2(c2) Pk,k+1(c3) =p2,3(c3) 2 Pk,k+2(c1) =p0,2(c1) Pk,k+2(c2) =p1,3(c2) Pk,k+2(c3) =p1,3(c3) 3 Pk,k+3(c1) =p0,3(c1) Pk,k+3(c2) =p0,3(c1) Pk,k+3(c3) =p1,4(c3) 4 Pk,k+4(c1) =p0,4(c1) Pk,k+4(c2) =p0,4(c1) Pk,k+4(c3) =p0,4(c3)

C1 C2 C3

X0 X1 X2 X3 X4 Figura II.10.A, Extrapolación de f(c1) e interpolación de f(c2) y f(c3) EJEMPLO

Hallar “k” y la “m” para las cuales Pk,m(c) es la aproximación óptima a c usando los cinco puntos

PO(0, 0), P1(1, 1), P2(4, 2), P3(9, 3) P4(16, 4) de la curva xy =

b) si c es 8; b) se c es 21. )5826.421....8284.28:( ≅≅ yNota

xk fk Pk,k+1(8) Pk,k+2(8) Pk,k+3(8) Pk,k+4(8) XO = 0 0 8 = 8.00 X1 = 1 1 -4/3 = -1.333 10/3 =

3.333 12/5 =

2.400

X2 = 4 2 43/15 = 2.867 118/45 = 2.62

14/5 = 2.800

128/45= 2.844

X3 = 9 3 592/210=2.819 20/7 =

2.857

X4 = 16 4 C = 8

El elemento subrayado de cada columna , para el cual el intervalo de interpolación centra mejor a c = 8, observe que las interpolaciones optimas subrayadas están igualmente distribuidas a uno y otro lado de la línea punteada en c = 8 El valor mas exacto de la tabla, es el punto con valor de 2.819, que usa solo tres puntos, mientras que el pinto con valor de 2.622, que usa los cinco puntos es el menos exacto de las interpolaciones “óptimas”. X0 X1 X2 C X3 X4 0 1 4 8 9 = nodo mas cercano 16 c = 8 y los cinco nodos tabulados xi del ejemplo. V.19.- Aproximación discreta de mínimos cuadrados. Consideremos el problema de estimar los valores de una función en puntos no tabulados, dados los datos experimentales de la siguiente tabla.

i X i Y i 1 2 2 2 4 11 3 6 28 4 8 40

Sin embargo, la grafica de los valores dados en la tabla (III.1), nos indica que seria razonable (ver figura III.1) suponer que la relación real es lineal y que ninguna recta se ajusta a los datos exactamente debido al error en el procedimiento de recolección de datos. Si este es realmente el caso, no seria razonable pedir que la función aproximante con los datos dados; en realidad, tal función aproximante introduciría oscilaciones de que no ocurrían originalmente. Un mejor enfoque para un problema de este tipo seria encontrar la “mejor” (en algún sentido) recta que se pudiera usar como función aproximante, aun cuando pudiera no coincidir precisamente con los datos de cada punto. El enfoque de mínimos cuadrados a este problema requiere de la determinación de la mejor recta aproximante cuando el error involucrado es la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores de la recta aproximante y los valores de dados. Denotado

0

10

20

30

40

50

0 5 10

x1

y1

por axi + yi al i-esimo valor de la recta aproximante y por y1, al i-esimo valor dado, se necesita encontrar las constantes a y b que son tales que minimizan el error de mínimos cuadrados:

[ ]∑=

+−n

i

baxy1

2

11 )(

Para nuestro problema en particular esto se reduce a encontrar las constantes a, y b que minimicen.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2224

1

22)840)6(28)4(11)2(2)( bababababaxy

i

ii +−++−++−++−=+−∑=

Si consideramos a [ ]∑ =+−

4

1

2)(

ibaxiyi como una función de dos variables a y b

, un resultado elemental del calculo de varias variables implica que, para que un mínimo ocurra en (a, b) es necesario que.

[ ] [ ]24

1

4

1

2)(0...........,.........)(0 ∑∑

==

+−∂

∂=+−

∂

∂=

i

ii

i

ii baxyb

baxya

consecuentemente,

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

.81420

0)1)(840(2)1)(628(2)1)(411(2)1)(22(2

0)840)6(28)4(11)2(2

134530

0)8)(840(2)6)(628(2)4)(411(2)2)(22(2

0)840)6(28)4(11)2(2

2222

2222

=+

=−−−+−−−+−−−+−−−

=+−++−++−++−∂

∂

=+

=−−−+−−−+−−−+−−−

=+−++−++−++−∂

∂

ba

babababa

babababab

ba

babababa

babababaa

La

solución a este sistema de ecuaciones es; a = 6.55 y b = -12.5, así que la mejor ecuación lineal en el sentido de mínimos cuadrados es.

5.1255.6 −= xy La siguiente tabla, muestra los valores observados junto con los valores obtenidos usando esta aproximación.

i xi yi 6.55x –12.5 1 2 2 0.6 2 4 11 13.7 3 6 28 26.8 4 8 40 39.9

V.20.- Aproximación de Pade. La clase de los polinomios algebraicos tienen algunas ventajas distintivas en cuanto a su uso para aproximaciones. Para encontrar técnicas que disminuyan las cotas de error de aproximación, consideraremos los métodos que esparcen mas uniformemente el error de la aproximación el intervalo en el que se esta trabajando. Estas técnicas requieren la introducción de una nueva clase de funciones aproximantes. La clase de funciones racionales. Una función racional “r” de grado N es una función de la forma:

)(

)()(

xq

xpxr = III.1)

donde: p y q son polinomios cuyos grados suman N. Como todo polinomio es también una función racional (simplemente tomamos q(x) =1), la aproximación usando funciones racionales dará resultados con cotas de error no mayores que la aproximación con polinomios. Las funciones racionales tienen la ventaja de adicional de permitir las aproximación eficiente de funciones que tienen discontinuidades infinitas cerca, pero fuera del intervalo de aproximación. La aproximación polinómica es generalmente inaceptable en esta situación. Supongamos que “r” es una función racional de grado N = n + m de la forma:

m

m

n

n

xqxqq

xpxpp

xq

xpxr

+++

+++==

........

........

)(

)()(

10

10 III.2)

que se usara para aproximar a una función “ f ” en un intervalo cerrado I, que contiene al cero. Para que “r” esta definida en cero se requiere que q0 ≠ 0. De hecho, podemos suponer que q0 = 1 , Ya que si este no es el caso, podemos simplemente reemplazar a p(x) por p(x)/q0 y a q(x) por q(x)/qo . Consecuentemente, hay N + 1 parámetros q1, q2, ...,,qm, p0, p1,...,pn disponibles para la aproximación de “ f “ mediante “ r “. La técnica de aproximación de Pade , escoge a los N + 1 parámetros de tal manera que )0()0( )()( kk rf = III.3) Para cada k = 0, 1, ......., N La aproximación de Pade es la extensión de la aproximación polinomica de Taylor a funciones racionales. Cuando n = N Y m = 0, la aproximación de Pade es el polinomio de Taylor de grado N expandido alrededor del cero, es decir, El polinomio de Maclaurin de grado N. Considere la función:

)(

)(

)(

)()()(

)(

)()()()( 00

xq

xpxqxf

xq

xpxqxf

xq

xpxfxrxf

n

i

i

i

m

i

i

i ∑∑ ==−

=−

=−=− III.4) y

suponga que “ f “ tiene la expansión en series de Maclaurin de:

∑ ==

α

0.)(

i

i

ixaxf III.5) Entonces tenemos que:

)()()( 000

xq

xpxqxaxrxf

n

i

i

i

m

i

i

ii

i

i ∑∑∑ ===−

=−α

III.6)El objetivo es escoger las

constantes q1, q2, ......, qm, y p0, p1,...,pn, de tal manera que: .,...,1,..0....,......0)0()0( )()( Nkcadapararf kk ==−

Encontramos Que esto es equivalente a que f – r tenga una raíz de multiplicidad N + 1 en cero. Como consecuencia, queremos escoger q1, q2, ...., qm y p0, p1,...,pn tales que el numerador del lado derecho de (III.6) . ( )( ) ( ) )7............................1....... 10110 IIIxpxppxqxqxaa n

n

m

m ++−+++++

no tenga términos de grado menor o igual que N. Para simplificar la notación, definamos .0.......0........ 2121 ======== ++++ NmmNnn qqqyppp

Podemos entonces expresar el coeficiente de xk , en la expresión (III.7) como

∑=

− −k

i

kiki pqa0

;

así que la función racional para la aproximación de Pade resultará de la

solución de las N +1 ecuaciones lineales

∑=

− ==−k

i

xki Nkpqa0

1 ,,.........1,0.........,.........0.

con las N + 1 incógnitas q1, q2,......qm, p0, p1,.......pn

EJEMPLO: La expansión en series de Maclaurin de ex es

∑∞

=

−

0 !

)1(

i

ii

xi

Para encontrar la aproximación de Pade para e-x de grado 5 con n = 3 y m = 2, se requiere escoger p0, p1, p3 , q1 y q2 de tal manera que los coeficientes de xk para k = 0, 1,....,5 sean cero en la expresión

( ) )(162

1 3

3

2

210

2

21

32

xpxpxppxqxqxx

x +−+−++

++−

Expandiendo y recolectando términos se llega a

0

0

11

1

221

2

321

3

21

4

21

5

1.............................;.........

1...................;.........

2

1.............;.........

2

1

6

1.......;.........

02

1

6

1

24

1.....;.........

06

1

24

1

120

1;......

px

pqx

pqqx

pqqx

qqx

qqx

=

=+−

=−+

=−+−

=+−

=−+−

La solución de este sistema es:

20

1..,...

5

2,...

60

1,..

20

3,...5

3,..1 213210 ==−==−== qyqpppp

así que la aproximación de Pade es:

2

32

20

1

5

21

60

1

20

3

5

31

)(

xx

xxx

xr

++

−+−=

Raíces de ecuaciones. VI.21.- Raíces.- Introducción

Problemas básicos de la aproximación numérica. El problema de la búsqueda de raíces consiste en obtener una raíz “x” de una ecuación dela forma f(x) = 0 para una función dada , f (Al numero “x” se le llama también cero de f).

Este es uno de los problemas de aproximación mas antiguos y, sin embargo la investigación correspondiente todavía continua. El problema de encontrar una aproximación a la raíz de una ecuación se remonta por lo menos al año 1700 A.C. Una tabla cuneiforme que pertenece a la Yale Babylonian Collecttion y que data de este periodo, da la aproximación de

2 , Sea f(x) = 0 (la ecuación para hallar raíces) Las soluciones de “x” se llaman raíces de la ecuación f(x) = 0 , o simplemente raíces de f(x) = 0. Nuestro enfoque sistemático para resolver una ecuación de una sola variable, digamos, x , es trasponer todos los términos hacia un lado para transformarla en f(X) = 0 Y luego usar el método para encontrar raíces. Así, La ecuación de punto fijo g(x) = x , será resuelta encontrando raíces de g(x) – x = 0 La ecuación de la función inversa g(x) = c se resolverá encontrando raíces g(x) – c = 0 VI.22.- Localización de raíces no repetidas.

Método de la pendiente Existen métodos para encontrar una raíz real “x” de una función continua “f”. Y dos de ellos pueden ser: El método de Newton –Raphson y el método de la secante. Ambos métodos se basan en la siguiente idea geométrica sencilla : sea x la raíz deseada de la ecuación f(x) = 0, donde f es continua y supongamos que;

• xk es una aproximación actual de la raíz “x”.

• Pk es el punto (xk, yk) donde yk = f(xk), en la grafica de f

• mk es el numero que representa la pendiente de la curva y = f(x)

en, o cerca del punto pk.

• Lk designa la línea recta que pasa por Pk y tiene una pendiente mk

• Xk+1 es la intersección de la línea Lk con el eje x. Como se muestra en la figura , si Lk aproxima bien a la grafica dee f en el entorno xk, xk+1 Y “x”, entonces su intersección su intersección con el eje de las x, xk+1 debe aproximar mejor que xk y, si el procedimiento se repite comenzando con xk+1 , entonces , el kx+2 debe ser una aproximación todavía mejor. f(xk) = yk PK

Comentario:

línea por Pk con pendiente mk ∆YK Y = f(x)(grafica de f) Raíz deseada ∆XK XK XK+1 X Figura 5a.- una iteración del método de la pendiente

k

kk

k

k

kk

k

k

k

kk

m

xfxso

x

xf

xx

y

Ldependientex

ym

)(....

)(0....

....

1

−=∆=

∆−=

−

−=

=∆

∆=

+

Los cálculos de la figura Va, muestran que xk+1 puede obtenerse a partir de xk como

k

k

k

kkkkk

m

y

m

xfxdondexxx −=−=∆∆+=+

)(..,..1 .....................(5b)

Un algoritmo para hallar raíces basado en (5b) es conocido como el método de la pendiente Método de Newton Raphson: Si f(x) es diferenciable en xk , entonces el candidato natural para la pendiente mk es

),()(' tan kk xmxf = la pendiente de la tangente en Pk(xk, yk)

tomando mk en (bb) como f’(xk) se llega ala formula iterativa para el Método de

Newton-Raphson: )('

)(..,..1

k

kkkkk

xf

xfxdondexxx =∆∆+=+

EJEMPLO Considere el problema de hallar la nesima raíz de un numero positivo dado “c”

a) ¿Como puede usarse un método para hallar raíces para encontrar n c , ? muestre para el método de Newton- Raphson.

Solución.- podemos obtener n c hallando la única solución positiva de la ecuación

0,......,........,...... =−== cxequivalequelooxcquetenemosxc nnn

Así, n c es una raíz de f(x)= xn – c . Puesto que f’(x) = nxn-1 la iteración de Newton-Raphson es.

)5...(.............,.11 c

nx

cxdondexxx

n

k

n

kkkkk

x−+

−=∆∆+=

para el problema de hallar la raíz cuadrada de c (n = 2), (5c) se convierte en

k

kkkkk

x

xcxdondexxx

2.....

2

1

−=∆∆+=+

tomando c = 78.8 y el valor inicial x0 = 14 (deliberadamente malo) resulta

876936.8000113.0877049.8......;...000113.02

8.78

877049.8044650.0921699.8.....;..044650.02

8.78

921699.8892587.0814286.9......;..892587.02

8.78

814286.9185714.414.....;...185714.4)14(2

148.78

4

3

2

33

3

2

2

22

2

1

2

11

1

2

0

=−=−=−

=∆

=−=−=−

=∆

=−=−=−

=∆

=−=−=−

=∆

xqueasix

xx

xqueasix

xx

xqueasix

xx

xqueasix

&

&

&

El rápido crecimiento en el numero de ceros principales en ∆x1, ∆x2, ∆x3 sugiere convergencia superlineal . Teorema de convergencia de Newton-Raphson. Si x es una raíz no repetida de f y f’’’ es continua entorna de x, entonces, las iteraciones de Newton-Raphson convergen cuadraticamente a x , siempre que x0 este suficientemente cerca de x. La rápida convergencia de Newton-Raphson a una raíz no repetida se muestra en la siguiente grafica (5e), la cual muestra por que el método de Newton-Raphson es a veces llamado método de olas tangentes. P0 (X0, Y0) Linea tangente en P0 Pendiente = f’(x0) Y = f(x) X3 x2 x1 X0 (estimación inicial) x

Pendiente = f’(x) P2 P1 VII.23.- Introducción. Se tiene que construir una hoja de techo corrugado usando una máquina que comprime una hoja plana de aluminio convirtiéndola en una en una cuya sección transversal tiene la forma de una onda de la función seno. Supongamos que necesita una hoja corrugada de cuatro pies de longitud , que cada onda tiene una altura de una pulgada desde la línea central y cada onda tiene un periodo de aproximadamente 2π pulgadas. El problema de encontrar la longitud de la hoja plana inicial consiste en determinar la longitud de arco de la curva dada por f(x) = sen x , de x = 0 a x = 48 (pulgadas). Sabemos, del calculo, que esta longitud se puede expresar como:

,)(cos1)(

148

0

248

0

2

dxxdxdx

xdfL ∫∫ +=

+=

así que el problema se reduce a evaluar esta integral. Aun cuando la función seno es una de las matemáticas mas comunes, el cálculo de su longitud de arco da lugar a la llamada integral elíptica de segunda clase, que no se puede evaluar usando métodos ordinarios. Con frecuencia surge la necesidad de evaluar la integral definida de una función que no tiene una antiderivada explícita o cuya antiderivada tiene valores que no son fácilmente obtenibles.

VII.24.- El método básico involucrado para aproximar ∫b

adxxf )( , se conoce como

“cuadratura numérica” y usa una suma del tipo de

∑=

n

i

ii xfa0

)( , para aproximar ∫b

adxxf )( .

Los métodos de cuadratura que discutiremos en esta sección se basan en los polinomios

interpolantes de; Taylor, Lagrange, etc. Para comenzar, primero seleccionamos un conjunto de nodos distintos {x0, .....,xn} de un intervalo a [a, b]. Si Pn es el polinomio interpolante de Lagrange

∑=

=n

i

ii xLxfxPn0

),()()(

Integrando, Pn y su termino de error de truncamiento sobre [a, b] para obtener la formula de cuadratura.

.,....,1,0....,....)(

......]..,..[..)..(..

,))(()()!1(

1)(...............

)!1(

))(()()()()(

)1(

00

0 0

)1(

nicadaparadxxLa

yxcadaparabaenestaxdonde

dxxxxn

xfa

dxn

xxxdxxLxfdxxf

b

aii

xb

a

n

i

i

n

i

ii

b

a

b

a

n

i

b

a

n

i

n

iii

==

−+

+=

+−+=

∫

∫∫ ∏∑

∫ ∫ ∑ ∫ ∏∫

+

==

= =

+

ξ

ξ

ξ

INTEGRACIÓN CONCEPTUAL: (El Titular Académico, conocerá las respuestas). La relación ideal entre lo abstracto de los sistemas numéricos y los sistemas de cómputo y lo práctico de las aplicaciones de esos conceptos a problemas tangibles y relevantes de la vida cotidiana. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- REPORTES CRÍTICOS O SUGERENTES A: Ing. Manuel de Jesús Valdez Acosta, Secretario General. Universidad Autónoma Indígena de México (Correo electrónico ingvaldez@uaim.edu.mx ); MC Ernesto Guerra García, Coordinador General Educativo. (Correo electrónico: eguerra@uaim.edu.mx ) Benito Juárez No. 39, Mochicahui, El Fuerte, Sinaloa, México. C.P. 81890, Tel. 01 (698) 8 92 00 42. -------------------------------------------------------------------------------------------------------

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA INDÍGENA DE MÉXICO

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