analiz a matematic a - curs 2 s˘iruri de numere reale. s...

Siruri de numere realeSiruri de puncte ın Rk

Analiza matematica - curs 2Siruri de numere reale. Siruri de puncte ın Rk

Facultatea de Mecanica

Universitatea Tehnica “Gh. Asachi”, Iasi

2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 2

Notiuni generaleLimita unui sir de numere realeProprietati ale sirurilor convergenteOperatii cu siruri convergenteRezultate fundamentaleSiruri cu limita +∞ si −∞

Notiuni generale

Definitia 1.1

Numim sir numeric sau sir de numere reale o functie f : N→ R.

notam f (n) cu xn, n ∈ Nspunem ca xn este termenul general al sirului f .

In continuare un sir ıl vom nota prin (xn)n∈N sau (xn) sau simplu, precizand termenulgeneral, xn.

Exemplul 1.2

1 xn = 1 + 1n, n ≥ 1

2 yn = n + sin 1n+1

, n ∈ N

Sirul fiind o functie, vor fi de interes proprietati specifice functiilor, cum ar fimonotonia si marginirea.

Notiuni generale

Definitia 1.1

Exemplul 1.2

1 xn = 1 + 1n, n ≥ 1

2 yn = n + sin 1n+1

, n ∈ N

Notiuni generale

Definitia 1.1

Exemplul 1.2

1 xn = 1 + 1n, n ≥ 1

2 yn = n + sin 1n+1

, n ∈ N

Notiuni generale

Definitia 1.1

Exemplul 1.2

1 xn = 1 + 1n, n ≥ 1

2 yn = n + sin 1n+1

, n ∈ N

Marginirea sirurilor

Definitia 1.3

Spunem ca un sir numeric este majorat (minorat) daca multimea termenilor sai estemajorata (minorata). Daca un sir este si majorat si minorat vom spune despre acestaca este marginit.

Marginirea unui sir revine la:

∃M > 0 astfel ıncat |xn| ≤ M, ∀n ∈ N.

Definitia 1.4

Spunem ca un sir (xn) este nemarginit daca nu este marginit.

Un sir (xn) este nemarginit daca

∀M > 0 ∃n ∈ N astfel ıncat |xn| > M.

Definitia 1.3

Definitia 1.4

Definitia 1.3

Definitia 1.4

Definitia 1.3

Definitia 1.4

Exemplul 1.5

1. Sirul xn = sin n este

marginit, deoarece |xn| ≤ 1, ∀n ∈ N.

2. Sirul xn =1

neste marginit, deoarece 0 ≤ xn ≤ 1, ∀n ∈ N∗.

3. Sirul xn = n2 este minorat de 0 dar nu este majorat (deci este nemarginit).4. Sirul xn = −n este majorat de 0 dar nu este minorat (deci este nemarginit).5. Sirul xn = (−1)n · n nu este nici majorat nici minorat.

Exemplul 1.5

1. Sirul xn = sin n este marginit, deoarece |xn| ≤ 1, ∀n ∈ N.

2. Sirul xn =1

marginit, deoarece 0 ≤ xn ≤ 1, ∀n ∈ N∗.

Exemplul 1.5

2. Sirul xn =1

3. Sirul xn = n2 este minorat de 0 dar nu este majorat (deci este nemarginit).

4. Sirul xn = −n este majorat de 0 dar nu este minorat (deci este nemarginit).5. Sirul xn = (−1)n · n nu este nici majorat nici minorat.

Exemplul 1.5

2. Sirul xn =1

3. Sirul xn = n2 este minorat de 0 dar nu este majorat (deci este nemarginit).4. Sirul xn = −n este majorat de 0 dar nu este minorat (deci este nemarginit).

5. Sirul xn = (−1)n · n nu este nici majorat nici minorat.

Exemplul 1.5

2. Sirul xn =1

Monotonie

Definitia 1.6

1. Spunem ca un sir (xn) este crescator (respectiv descrescator) daca xn ≤ xn+1

(respectiv xn ≥ xn+1) pentru orice n ∈ N.

2. Spunem ca un sir (xn) este strict crescator (respectiv strict descrescator) dacaxn < xn+1 (respectiv xn > xn+1) pentru orice n ∈ N.

Un sir crescator sau descrescator va fi numit sir monoton, ın timp ce un sir strictcrescator sau strict descrescator va fi numit sir strict monoton.

Exemplul 1.7

1. Sirul xn =1

neste un sir strict descrescator.

2. Sirul xn = 1−1

neste strict crescator.

3. Sirurile xn = sin n, yn = (−1)n, zn =(−1)n

nnu sunt siruri monotone.

Monotonie

Definitia 1.6

(respectiv xn ≥ xn+1) pentru orice n ∈ N.2. Spunem ca un sir (xn) este strict crescator (respectiv strict descrescator) dacaxn < xn+1 (respectiv xn > xn+1) pentru orice n ∈ N.

Exemplul 1.7

1. Sirul xn =1

2. Sirul xn = 1−1

Monotonie

Definitia 1.6

Exemplul 1.7

1. Sirul xn =1

neste un sir

strict descrescator.

2. Sirul xn = 1−1

Monotonie

Definitia 1.6

Exemplul 1.7

1. Sirul xn =1

2. Sirul xn = 1−1

strict crescator.

Monotonie

Definitia 1.6

Exemplul 1.7

1. Sirul xn =1

2. Sirul xn = 1−1

Subsiruri

Definitia 1.8

Fie (xn)n∈N un sir de numere reale. Sirul (yn)n∈N se numeste subsir al sirului (xn)n∈Ndaca exista o functie ϕ : N→ N, strict crescatoare, astfel ıncat pentru fiecare n ∈ N saavem

yn = xϕ(n).

Notand ϕ(k) = nk , atunci yk = xnk pentru orice k ∈ N.

Exemplul 1.9

1. Sirul x2n = 1 ∀n ∈ N este subsir al sirului xn = (−1)n.

2. Pentru sirul xn = sinnπ

2se evidentiaza urmatoarele subsiruri:

x4k = sin 2kπ = 0, ∀k ∈ N

x4k+1 = sin(

2kπ +π

)= 1, ∀k ∈ N

x4k+2 = sin(2kπ + π) = 0, ∀k ∈ N

x4k+3 = sin

(2kπ +

)= −1, ∀k ∈ N.

Subsiruri

Definitia 1.8

yn = xϕ(n).

Exemplul 1.9

x4k = sin 2kπ = 0, ∀k ∈ N

x4k+1 = sin(

2kπ +π

)= 1, ∀k ∈ N

x4k+2 = sin(2kπ + π) = 0, ∀k ∈ N

x4k+3 = sin

(2kπ +

)= −1, ∀k ∈ N.

Subsiruri

Definitia 1.8

yn = xϕ(n).

Exemplul 1.9

x4k = sin 2kπ = 0, ∀k ∈ N

x4k+1 = sin(

2kπ +π

)= 1, ∀k ∈ N

x4k+2 = sin(2kπ + π) = 0, ∀k ∈ N

x4k+3 = sin

(2kπ +

)= −1, ∀k ∈ N.

Subsiruri

Definitia 1.8

yn = xϕ(n).

Exemplul 1.9

x4k = sin 2kπ = 0, ∀k ∈ N

x4k+1 = sin(

2kπ +π

)= 1, ∀k ∈ N

x4k+2 = sin(2kπ + π) = 0, ∀k ∈ N

x4k+3 = sin

(2kπ +

)= −1, ∀k ∈ N.

Subsiruri

Definitia 1.8

yn = xϕ(n).

Exemplul 1.9

x4k = sin 2kπ = 0, ∀k ∈ N

x4k+1 = sin(

2kπ +π

)= 1, ∀k ∈ N

x4k+2 = sin(2kπ + π) = 0, ∀k ∈ N

x4k+3 = sin

(2kπ +

)= −1, ∀k ∈ N.

Subsiruri

Definitia 1.8

yn = xϕ(n).

Exemplul 1.9

x4k = sin 2kπ = 0, ∀k ∈ N

x4k+1 = sin(

2kπ +π

)= 1, ∀k ∈ N

x4k+2 = sin(2kπ + π) = 0, ∀k ∈ N

x4k+3 = sin

(2kπ +

)= −1, ∀k ∈ N.

Limita unui sir de numere reale

Definitia 1.10

Spunem ca un sir de numere reale (xn) are limita x ∈ R daca orice vecinatate a lui xcontine toti termenii sirului, cu exceptia, eventual, a unui numar finit dintre acestiasau, echivalent:

∀V ∈ V(x), ∃nV ∈ N, ∀n ≥ nV : xn ∈ V .

In acest caz vom scrie limn→∞

xn = x sau xn → x . Un sir care are limita ın R se numeste

sir convergent. Un sir care nu are limita ın R se numeste sir divergent.

Teorema 1.11

Sirul de numere reale (xn) este convergent la x ∈ R daca si numai daca:

∀ε > 0,∃nε ∈ N, ∀n ≥ nε : |xn − x | < ε.

Definitia 1.10

∀V ∈ V(x), ∃nV ∈ N, ∀n ≥ nV : xn ∈ V .

Teorema 1.11

∀ε > 0,∃nε ∈ N, ∀n ≥ nε : |xn − x | < ε.

Definitia 1.10

∀V ∈ V(x), ∃nV ∈ N, ∀n ≥ nV : xn ∈ V .

Teorema 1.11

∀ε > 0,∃nε ∈ N, ∀n ≥ nε : |xn − x | < ε.

Teorema 1.12

Un sir (xn) ⊂ R are limita x ∈ R daca si numai daca sirul (|xn − x |) are limita 0.

Exemplul 1.13

1. Sirul xn =1

nare limita 0.

2. Sirul xn = 2n nu este convergent. O vecinatate de forma (x − ε, x + ε) a unuinumar real x , nu poate contine decat un numar finit de termeni ai sirului.3. Sirul xn = (−1)n nu este convergent. Pentru acest sir avem x2n = 1 si x2n+1 = −1pentru orice n ∈ N. Astfel, pentru orice numar real x si pentru orice 0 < ε < 1, dinvecinatatile lui x de forma (x − ε, x + ε) lipsesc o infinitate dintre termenii sirului.

Teorema 1.12

Exemplul 1.13

1. Sirul xn =1

nare limita 0.

2. Sirul xn = 2n nu este convergent.

O vecinatate de forma (x − ε, x + ε) a unuinumar real x , nu poate contine decat un numar finit de termeni ai sirului.3. Sirul xn = (−1)n nu este convergent. Pentru acest sir avem x2n = 1 si x2n+1 = −1pentru orice n ∈ N. Astfel, pentru orice numar real x si pentru orice 0 < ε < 1, dinvecinatatile lui x de forma (x − ε, x + ε) lipsesc o infinitate dintre termenii sirului.

Teorema 1.12

Exemplul 1.13

1. Sirul xn =1

nare limita 0.

2. Sirul xn = 2n nu este convergent. O vecinatate de forma (x − ε, x + ε) a unuinumar real x , nu poate contine decat un numar finit de termeni ai sirului.

3. Sirul xn = (−1)n nu este convergent. Pentru acest sir avem x2n = 1 si x2n+1 = −1pentru orice n ∈ N. Astfel, pentru orice numar real x si pentru orice 0 < ε < 1, dinvecinatatile lui x de forma (x − ε, x + ε) lipsesc o infinitate dintre termenii sirului.

Teorema 1.12

Exemplul 1.13

1. Sirul xn =1

nare limita 0.

2. Sirul xn = 2n nu este convergent. O vecinatate de forma (x − ε, x + ε) a unuinumar real x , nu poate contine decat un numar finit de termeni ai sirului.3. Sirul xn = (−1)n nu este convergent. Pentru acest sir avem x2n = 1 si x2n+1 = −1pentru orice n ∈ N. Astfel, pentru orice numar real x si pentru orice 0 < ε < 1, dinvecinatatile lui x de forma (x − ε, x + ε) lipsesc o infinitate dintre termenii sirului.

Proprietati ale sirurilor convergente

Teorema 1.14

Daca un sir de numere reale are limita reala, atunci aceasta este unica.

Teorema 1.15

Daca unui sir ıi adaugam sau eliminam un numar finit de termeni, atunci natura siruluinu se schimba. In caz de convergenta nu se schimba nici limita.

Teorema 1.16

Daca schimbam ordinea termenilor unui sir, natura sirului nu se schimba, iar ın caz deconvergenta nu se schimba nici limita sirului.

Teorema 1.14

Teorema 1.15

Teorema 1.16

Teorema 1.14

Teorema 1.15

Teorema 1.16

Teorema 1.17

Orice subsir al unui sir convergent este convergent si are aceeasi limita.

Observatia 1.18

Conform acestei teoreme, daca un sir are doua subsiruri convergente la limite diferite,atunci sirul este divergent. De exemplu, sirul xn = (−1)n analizat anterior continesubsirurile x2n = 1, care are limita 1, si x2n+1 = −1, care are limita −1. Deci,xn = (−1)n este un sir divergent.

Teorema 1.17

Observatia 1.18

Conform acestei teoreme, daca un sir are doua subsiruri convergente la limite diferite,atunci sirul este divergent.

De exemplu, sirul xn = (−1)n analizat anterior continesubsirurile x2n = 1, care are limita 1, si x2n+1 = −1, care are limita −1. Deci,xn = (−1)n este un sir divergent.

Teorema 1.17

Observatia 1.18

Conform acestei teoreme, daca un sir are doua subsiruri convergente la limite diferite,atunci sirul este divergent. De exemplu, sirul xn = (−1)n analizat anterior continesubsirurile x2n = 1, care are limita 1, si x2n+1 = −1, care are limita −1. Deci,xn = (−1)n este un sir divergent.

Teorema 1.19

Orice sir convergent este marginit.

Corolarul 1.20

Daca un sir nu este marginit, atunci el este divergent.

Observatia 1.21

Marginirea este o conditie necesara, nu si suficienta pentru convergenta. De exemplusirul xn = (−1)n desi este marginit, nu este convergent.

Teorema 1.22 (Criteriul majorarii)

Daca pentru sirul (xn) exista x ∈ R si un sir de numere pozitive (αn) convergent la 0astfel ıncat

|xn − x | ≤ αn, ∀n ∈ N,

atunci (xn) este convergent si limn→∞

xn = x.

Teorema 1.19

Corolarul 1.20

Observatia 1.21

|xn − x | ≤ αn, ∀n ∈ N,

xn = x.

Teorema 1.19

Corolarul 1.20

Observatia 1.21

|xn − x | ≤ αn, ∀n ∈ N,

xn = x.

Teorema 1.19

Corolarul 1.20

Observatia 1.21

|xn − x | ≤ αn, ∀n ∈ N,

xn = x.

Operatii cu siruri convergente

Daca (an) si (bn) sunt doua siruri de numere reale, definim:

(an)± (bn) := (an ± bn);

(an) · (bn) := (an · bn);

(bn):=

), daca bn 6= 0,∀n ∈ N.

Teorema 1.23

Fie (an) si (bn) doua siruri convergente, cu limn→∞

an = a si limn→∞

bn = b. Atunci:

(i) limn→∞

(an ± bn) = limn→∞

an ± limn→∞

bn = a± b;

(ii) limn→∞

(λan) = λ · limn→∞

an = λa;

(iii) limn→∞

(an · bn) = limn→∞

an · limn→∞

bn = a · b;

(iv) limn→∞

limn→∞

b, daca b 6= 0.

Operatii cu siruri convergente

Daca (an) si (bn) sunt doua siruri de numere reale, definim:

(an)± (bn) := (an ± bn);

(an) · (bn) := (an · bn);

(bn):=

), daca bn 6= 0,∀n ∈ N.

Teorema 1.23

Fie (an) si (bn) doua siruri convergente, cu limn→∞

an = a si limn→∞

bn = b. Atunci:

(i) limn→∞

(an ± bn) = limn→∞

an ± limn→∞

bn = a± b;

(ii) limn→∞

(λan) = λ · limn→∞

an = λa;

(iii) limn→∞

(an · bn) = limn→∞

an · limn→∞

bn = a · b;

(iv) limn→∞

limn→∞

b, daca b 6= 0.

Trecerea la limita ın inegalitati

Teorema 1.24

Fie (an) si (bn) doua siruri convergente, an → a, bn → b. Daca an ≤ bn, pentru oricen ∈ N, atunci a ≤ b.

Observatia 1.25

Chiar daca inegalitatea dintre termenii celor doua siruri din teorema anterioara este

stricta, putem avea a = b. De exemplu, pentru an = 1−1

nsi bn = 1 +

an < bn ∀n ∈ N dar limn→∞

an = limn→∞

bn = 1.

Teorema 1.26 (Teorema clestelui)

Consideram trei siruri de numere reale (xn), (yn), (zn) astfel ıncat

xn ≤ yn ≤ zn pentru orice n ∈ N.

Daca limn→∞

xn = limn→∞

zn = ` ∈ R, atunci sirul (yn) este convergent si limn→∞

yn = `.

Teorema 1.24

Observatia 1.25

nsi bn = 1 +

an = limn→∞

bn = 1.

Daca limn→∞

xn = limn→∞

yn = `.

Teorema 1.24

Observatia 1.25

nsi bn = 1 +

an = limn→∞

bn = 1.

Daca limn→∞

xn = limn→∞

yn = `.

Convergenta sirurilor monotone

Teorema 1.27

1 Un sir de numere reale (xn) crescator si majorat este convergent, iarlim

n→∞xn = sup

n∈Nxn.

2 Un sir de numere reale (xn) descrescator si minorat este convergent, iarlim

n→∞xn = inf

n∈Nxn.

Convergenta sirurilor monotone

Teorema 1.27

1 Un sir de numere reale (xn) crescator si majorat este convergent, iarlim

n→∞xn = sup

n∈Nxn.

2 Un sir de numere reale (xn) descrescator si minorat este convergent, iarlim

n→∞xn = inf

n∈Nxn.

Siruri Cauchy

Definitia 1.28

Spunem despre un sir de numere reale ca este sir Cauchy sau sir fundamental daca

∀ε > 0, ∃nε ∈ N,∀n,m ≥ nε : |xn − xm| < ε.

Luand ın definitia anterioara n ≥ nε si m = n + p, unde p ∈ N, obtinem formulareaechivalenta:

∀ε > 0, ∃nε ∈ N, ∀n ≥ nε, ∀p ∈ N : |xn − xn+p | < ε.

Teorema 1.29 (Cauchy)

Un sir de numere reale este convergent daca si numai daca este sir fundamental.

Siruri Cauchy

Definitia 1.28

∀ε > 0, ∃nε ∈ N,∀n,m ≥ nε : |xn − xm| < ε.

Siruri Cauchy

Definitia 1.28

∀ε > 0, ∃nε ∈ N,∀n,m ≥ nε : |xn − xm| < ε.

Siruri Cauchy

Exemplul 1.30

Consideram sirul

xn = 1 +1

2+ ...+

Acest sir nu este sir fundamental, deci nu este convergent.Intr-adevar, observam ca

|xn+p − xn| =1

n + 1+ ...+

n + p≥

n + p+ ...+

n + p=

n + p∀n, p ∈ N∗.

Atunci, pentru p = n obtinem |x2n − xn| ≥n

2. Deci sirul dat nu ındeplineste

conditia de sir Cauchy.

Siruri Cauchy

Exemplul 1.30

Consideram sirul

xn = 1 +1

2+ ...+

Acest sir nu este sir fundamental, deci nu este convergent.

Intr-adevar, observam ca

|xn+p − xn| =1

n + 1+ ...+

n + p≥

n + p+ ...+

n + p=

n + p∀n, p ∈ N∗.

Siruri Cauchy

Exemplul 1.30

Consideram sirul

xn = 1 +1

2+ ...+

Acest sir nu este sir fundamental, deci nu este convergent.Intr-adevar, observam ca

|xn+p − xn| =1

n + 1+ ...+

n + p≥

n + p+ ...+

n + p=

n + p∀n, p ∈ N∗.

Siruri cu limita +∞ si −∞

Definitia 1.31

Spunem ca un sir (xn) din R are limita +∞ (sau −∞) sau ca este divergent la +∞(respectiv −∞) daca orice vecinatate a punctului +∞ contine toti termenii sirului, cuexceptia, eventual, a unui numar finit dintre acestia.

Teorema 1.32

1. Sirul (xn) din R are limita +∞ daca si numai daca

∀ε > 0, ∃nε ∈ N, ∀n ≥ nε : xn ≥ ε.

2. Sirul (xn) din R are limita −∞ daca si numai daca

∀ε > 0,∃nε ∈ N, ∀n ≥ nε : xn ≤ −ε.

Siruri cu limita +∞ si −∞

Definitia 1.31

Spunem ca un sir (xn) din R are limita +∞ (sau −∞) sau ca este divergent la +∞(respectiv −∞) daca orice vecinatate a punctului +∞ contine toti termenii sirului, cuexceptia, eventual, a unui numar finit dintre acestia.

Teorema 1.32

1. Sirul (xn) din R are limita +∞ daca si numai daca

∀ε > 0, ∃nε ∈ N, ∀n ≥ nε : xn ≥ ε.

2. Sirul (xn) din R are limita −∞ daca si numai daca

∀ε > 0,∃nε ∈ N, ∀n ≥ nε : xn ≤ −ε.

Reguli de calcul

Teorema 1.33

1. Daca xn →∞ si yn → y, unde y ∈ R \ {−∞}, atunci xn + yn → +∞.2. Daca xn → −∞ si yn → y, unde y ∈ R \ {+∞}, atunci xn + yn → −∞.3. Daca xn →∞ si yn → y, unde y ∈ (0,∞], atunci xn · yn → +∞.4. Daca xn →∞ si yn → y, unde y ∈ [−∞, 0), atunci xn · yn → −∞.

Observatia 1.34

Daca xn →∞ si yn → −∞ nu se poate spune nimic despre natura sirului (xn + yn).De exemplu

pentru xn = n si yn = −n avem xn + yn → 0;

pentru xn = n si yn = −2n avem xn + yn → −∞;

pentru xn = 2n si yn = −n avem xn + yn → +∞;

pentru xn = (−1)n + n si yn = −n avem xn + yn = (−1)n, care nu are limita.

Despre astfel de situatii vom spune ca sunt cazuri de nedeterminare, sau cazuriexceptate.

Reguli de calcul

Teorema 1.33

Observatia 1.34

Reguli de calcul

Teorema 1.33

Observatia 1.34

Reguli de calcul

Teorema 1.33

Observatia 1.34

Reguli de calcul

Teorema 1.33

Observatia 1.34

Notiuni generale

Consideram ın continuare spatiul Rk ınzestrat cu norma euclidiana

‖x‖2 =√

x21 + x2

2 + ...+ x2k , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk .

Definitia 2.1

Se numeste sir de puncte ın Rk o functie f : N→ Rk . Notam sirul cu (an)n∈N sau(an), unde

an = f (n) = (a1,n, a2,n, ..., ak,n).

Exemplul 2.2

1 xn = ( 1n, n2) este un sir de puncte din R2

2 xn = (sin 1n, arctg(n2 − 1), 3

n+1) este un sir de puncte din R3

3 xn = ( 1n, 2

n, ..., k

n) este un sir de puncte ın Rk .

Se remarca faptul ca un sir de puncte din Rk se compune din k siruri, cate unulpentru fiecare componenta.

Notiuni generale

‖x‖2 =√

x21 + x2

2 + ...+ x2k , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk .

Definitia 2.1

an = f (n) = (a1,n, a2,n, ..., ak,n).

Exemplul 2.2

2 xn = (sin 1n, arctg(n2 − 1), 3

3 xn = ( 1n, 2

n, ..., k

Notiuni generale

‖x‖2 =√

x21 + x2

2 + ...+ x2k , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk .

Definitia 2.1

an = f (n) = (a1,n, a2,n, ..., ak,n).

Exemplul 2.2

2 xn = (sin 1n, arctg(n2 − 1), 3

3 xn = ( 1n, 2

n, ..., k

Notiuni generale

‖x‖2 =√

x21 + x2

2 + ...+ x2k , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk .

Definitia 2.1

an = f (n) = (a1,n, a2,n, ..., ak,n).

Exemplul 2.2

2 xn = (sin 1n, arctg(n2 − 1), 3

3 xn = ( 1n, 2

n, ..., k

Notiuni generale

‖x‖2 =√

x21 + x2

2 + ...+ x2k , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk .

Definitia 2.1

an = f (n) = (a1,n, a2,n, ..., ak,n).

Exemplul 2.2

2 xn = (sin 1n, arctg(n2 − 1), 3

3 xn = ( 1n, 2

n, ..., k

Notiuni generale

‖x‖2 =√

x21 + x2

2 + ...+ x2k , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk .

Definitia 2.1

an = f (n) = (a1,n, a2,n, ..., ak,n).

Exemplul 2.2

2 xn = (sin 1n, arctg(n2 − 1), 3

3 xn = ( 1n, 2

n, ..., k

Marginirea sirurilor ın Rk

Definitia 2.3

Spunem ca un sir de puncte din Rk este marginit daca exista M > 0 a.ı.‖xn‖ ≤ M ∀n ∈ N.

Exemplul 2.4

1 Sirul xn = ( 1n, n2) nu este marginit deoarece ‖xn‖ ≥ n2 ∀n ≥ 1.

2 Sirul xk = ( 1n, 2

n, ..., k

n) este marginit deoarece

‖xn‖ =√

1n2 + 22

n2 + ...+ k2

√k(k+1)(2k+1)√

6ncare este o cantitate marginita, k

fiind fixat.

Teorema 2.5

Un sir de puncte din Rk este marginit daca si numai daca toate sirurile componentesunt siruri marginite (de numere reale).

Definitia 2.3

Exemplul 2.4

n, ..., k

‖xn‖ =√

1n2 + 22

n2 + ...+ k2

√k(k+1)(2k+1)√

fiind fixat.

Teorema 2.5

Definitia 2.3

Exemplul 2.4

n, ..., k

‖xn‖ =√

1n2 + 22

n2 + ...+ k2

√k(k+1)(2k+1)√

fiind fixat.

Teorema 2.5

Definitia 2.3

Exemplul 2.4

n, ..., k

‖xn‖ =√

1n2 + 22

n2 + ...+ k2

√k(k+1)(2k+1)√

fiind fixat.

Teorema 2.5

Limite de siruri ın Rk

Definitia 2.6

Fie (xn) un sir de puncte din Rk . Spunem ca sirul (xn) are limita ` ∈ Rk daca ın oricevecinatate a lui ` se gasesc toti termenii sirului cu exceptia, eventual, a unui numarfinit dintre acestia:

∀ V ∈ V(`) ∃ nV ∈ N, a.i . xn ∈ V ∀ n ≥ nV

Un sir care are limita se numeste sir convergent. Vom nota limn→∞

xn = `.

Teorema 2.7 (Proprietati ale sirurilor convergente)

1 Un sir convergent are limita unica.

2 Orice sir convergent este marginit.

3 Prin schimbarea ordinii termenilor unui sir convergent se obtine tot un sirconvergent, avand aceeasi limita.

4 Daca unui sir i se adauga sau i se suprima un numar finit de termeni, naturasirului nu se modifica iar ın caz de convergenta, nici limita.

Definitia 2.6

∀ V ∈ V(`) ∃ nV ∈ N, a.i . xn ∈ V ∀ n ≥ nV

xn = `.

Definitia 2.6

∀ V ∈ V(`) ∃ nV ∈ N, a.i . xn ∈ V ∀ n ≥ nV

xn = `.

Definitia 2.6

∀ V ∈ V(`) ∃ nV ∈ N, a.i . xn ∈ V ∀ n ≥ nV

xn = `.

Definitia 2.6

∀ V ∈ V(`) ∃ nV ∈ N, a.i . xn ∈ V ∀ n ≥ nV

xn = `.

Teorema 2.8

Fie (xn)n≥1 = ((x1,n, x2,n, ..., xk,n)) un sir de puncte din Rk . Acest sir este convergentdaca si numai daca sirurile componentelor: (x1,n)n≥1, ..., (xk,n)n≥1 sunt convergente.Mai mult, ın caz de convergenta limita lui (xn) are drept componente limitele sirurilorcomponente, altfel spus:

limn→∞

xn = ( limn→∞

x1,n, ..., limn→∞

xk,n).

Exemplul 2.9

1 Limita sirului xn = (sin 1n, arctg(n + 1)) este punctul (0, π

2) deoarece lim sin 1

iar lim arctg(n + 1) = π2

2 Sirul xn = ( 1n, 2

n, ..., k

n) este convergent iar lim

k→∞xk = 0 = (0, 0, ..., 0).

3 Sirul xn = ( 1n, (−1)n nu este convergent deoarece sirul de pe a doua componenta,

x2,n = (−1)n este un sir divergent.

Teorema 2.8

limn→∞

xn = ( limn→∞

x1,n, ..., limn→∞

xk,n).

Exemplul 2.9

n, ..., k

k→∞xk = 0 = (0, 0, ..., 0).

Teorema 2.8

limn→∞

xn = ( limn→∞

x1,n, ..., limn→∞

xk,n).

Exemplul 2.9

n, ..., k

k→∞xk = 0 = (0, 0, ..., 0).

analiz a matematic a - curs 2 s˘iruri de numere reale. s...

Documents