curs 4 serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/am1-curs/c4-am1.pdf ·...
TRANSCRIPT
![Page 1: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/1.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Curs 4Serii de numere reale
Facultatea de HidrotehnicaUniversitatea Tehnica "Gh. Asachi"
Iasi 2014
![Page 2: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/2.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul radacinii sau Criteriul lui Cauchy
Teorema (Criteriul radacinii)
Fie∞∑
n=0xn o serie cu termeni pozitivi. Presupunem ca exista
limn→∞
n√
xn = l ∈ [0,+∞] .
(i) Daca l < 1, atunci seria∞∑
n=0xn este convergenta.
(ii) Daca l > 1, atunci seria∞∑
n=0xn este divergenta.
![Page 3: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/3.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul radacinii sau Criteriul lui Cauchy
Demonstratie
(i) Sa presupunem ca limn→∞
n√
xn = l < 1 si fie q ∈ (l ,1) . Atunciexista n0 ∈ N astfel încât, pentru orice n ∈ N, n ≥ n0, sa avem
n√
xn ≤ q.
Deoarecexn ≤ qn, pentru orice n ≥ n0,
iar seria∞∑
n=0qn, q ∈ (0,1), este convergenta, conform Criteriului
de comparatie rezulta ca∞∑
n=0xn este convergenta.
![Page 4: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/4.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul radacinii sau Criteriul lui Cauchy
(ii) Daca limn→∞
n√
xn = l > 1, atunci exista n0 ∈ N astfel încât,pentru orice n ∈ N, n ≥ n0, sa avem
n√
xn ≥ 1.
Cum xn ≥ 1, pentru orice n ≥ n0, sirul (xn)n≥0 nu converge la
zero. Rezulta ca seria∞∑
n=0xn este divergenta.
![Page 5: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/5.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul radacinii sau Criteriul lui Cauchy
Observatie
Daca l = 1, atunci natura seriei∞∑
n=0xn nu poate fi stabilita cu ajutorul
acestui criteriu. Într-adevar, considerând seriile∞∑
n=1
1n2 si
∞∑n=0
n,
observam ca, pentru prima serie,
l = limn→∞
n√
xn = limn→∞
n
√1n2 = 1,
iar pentru a doua serie,
l = limn→∞
n√
xn = limn→∞
n√
n = 1,
deci în ambele cazuri l = 1; însa, prima serie este convergenta, iar adoua serie este divergenta.
![Page 6: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/6.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul radacinii sau Criteriul lui Cauchy
ExercitiuSa se studieze natura seriei
∞∑n=1
1(1 +
1n
)n2 . (1)
Solutie. Termenul general al seriei este xn =1(
1 +1n
)n2 . Calculam
limn→∞
n√
xn = limn→∞
1(1 +
1n
)n =1e< 1.
Conform Criteriului radacinii, seria (1) este convergenta.
![Page 7: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/7.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul radacinii sau Criteriul lui Cauchy
ExercitiuSa se studieze natura seriei
∞∑n=1
(a · n2 + n + 1
n2
)n
, a > 0.
Solutie. Termenul general al seriei este xn =
(a · n2 + n + 1
n2
)n
.
Calculam
limn→∞
n√
xn = limn→∞
(a · n2 + n + 1
n2
)= a.
Conform Criteriului radacinii, daca a < 1, atunci seria data esteconvergenta, iar daca a > 1, seria este divergenta.
![Page 8: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/8.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul radacinii sau Criteriul lui Cauchy
Daca a = 1 nu putem aplica Criteriul radacinii, dar, în acest caz,observam ca
limn→∞
xn = limn→∞
(n2 + n + 1
n2
)n
= limn→∞
(1 +n + 1
n2
) n2n+1
n(n+1)
n2
= e.
Termenul general al seriei neavând limita 0, seria∞∑
n=1
(n2 + n + 1
n2
)n
este divergenta.
![Page 9: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/9.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul raportului
Teorema (Criteriul raportului)
Fie seria∞∑
n=0xn, cu xn > 0, pentru orice n ∈ N. Presupunem ca
existal = lim
n→∞
xn+1
xn∈ [0,+∞] .
(i) Daca l < 1, atunci seria∞∑
n=0xn este convergenta.
(ii) Daca l > 1, atunci seria∞∑
n=0xn este divergenta.
![Page 10: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/10.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul raportului
Observatie
Daca l = limn→∞
xn+1
xn= 1, atunci nu putem decide natura seriei cu
ajutorul Criteriului raportului.
Într-adevar, considerând seriile∞∑
n=1
1n
si∞∑
n=1
1n2 , observam ca în
ambele cazuri l = 1; însa, prima serie este divergenta, iar a doua serieeste convergenta.
![Page 11: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/11.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul raportului
ExercitiuSa se studieze natura seriei
∞∑n=0
2n + 53n . (2)
Solutie. Termenul general al seriei este xn =2n + 5
3n . Calculam
limn→∞
xn+1
xn= lim
n→∞
(2n+1 + 5
)3n
(2n + 5)3n+1 =13
limn→∞
2n+1(
1 +5
2n+1
)2n(
1 +52n
) =23< 1.
Conform Criteriului raportului, seria (2) este convergenta.
![Page 12: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/12.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul raportului
ExercitiuSa se studieze natura seriei
∞∑n=1
nn
n!. (3)
Solutie. Termenul general al seriei este xn =nn
n!. Calculam
limn→∞
xn+1
xn= lim
n→∞
(n + 1)n+1
(n + 1)!· n!
nn = limn→∞
(n + 1
n
)n
= e > 1.
Conform Criteriului raportului, seria (3) este divergenta.
![Page 13: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/13.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul Raabe-Duhamel
Teorema (Criteriul Raabe-Duhamel)
Fie seria∞∑
n=0xn, cu xn > 0, pentru orice n ∈ N. Presupunem ca
exista
limn→∞
n(
xn
xn+1− 1)
= l ∈ [0,+∞] .
(i) Daca l > 1, atunci seria∞∑
n=0xn este convergenta.
(ii) Daca l < 1, atunci seria∞∑
n=0xn este divergenta.
![Page 14: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/14.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul Raabe-Duhamel
Observatie
Daca l = limn→∞
n(
xn
xn+1− 1)
= 1, atunci natura seriei nu poate fi
precizata cu ajutorul Criteriului Raabe-Duhamel.
![Page 15: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/15.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul Raabe-Duhamel
ExercitiuSa se studieze natura seriei
∞∑n=1
1 · 3 · 5 · ... · (2n − 1)2 · 4 · 6 · ... · 2n
· 1n2 . (4)
Solutie. Termenul general al seriei este
xn =1 · 3 · 5 · ... · (2n − 1)
2 · 4 · 6 · ... · 2n· 1
n2 .
Vom încerca sa aplicam Criteriul raportului. Avem
xn+1 =1 · 3 · 5 · ... · (2n − 1) · (2n + 1)
2 · 4 · 6 · ... · 2n · (2n + 2)· 1
(n + 1)2
![Page 16: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/16.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul Raabe-Duhamel
limn→∞
xn+1
xn= lim
n→∞
2n + 12n + 2
· n2
(n + 1)2 = 1,
deci nu putem stabili natura seriei cu ajutorul Criteriul raportului.Vom aplica Criteriul Raabe-Duhamel. Pentru aceasta calculam
limn→∞
n(
xn
xn+1− 1)
= limn→∞
n
(2n + 22n + 1
· (n + 1)2
n2 − 1
)
= limn→∞
5n2 + 6n + 22n2 + n
=52> 1.
Prin urmare, seria (4) este convergenta.
![Page 17: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/17.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul condensarii (al lui Cauchy)
Teorema (Criteriul condensarii)
Fie (xn)n≥0 un sir descrescator de numere reale pozitive.
Atunci seriile∞∑
n=0xn si
∞∑n=0
2nx2n au aceeasi natura.
Corollary
Seria∞∑
n=1
1nα, α ∈ R, este convergenta pentru α > 1 si
divergenta pentru α ≤ 1.
Seria∞∑
n=1
1nα
, cu α ∈ R, se numeste seria armonica generalizata.
![Page 18: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/18.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul condensarii (al lui Cauchy)
Demonstratie
Termenul general al seriei este xn =1
nα.
Daca α < 0, atunci limn→∞
xn = +∞, deci seria∞∑
n=1
1nα
este
divergenta.
Daca α = 0, atunci limn→∞
xn = 1, deci seria∞∑
n=1
1nα
este
divergenta.Daca α > 0, atunci sirul (xn)n≥1 este descrescator, astfel caputem aplica Criteriul condensarii.
Conform acestui criteriu, seria∞∑
n=1
1nα
are aceeasi natura cu
seria∞∑
n=02n 1
(2n)α=∞∑
n=0
(1
2α−1
)n
, care este o serie
geometrica de ratie q =1
2α−1 .
![Page 19: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/19.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul condensarii (al lui Cauchy)
Daca1
2α−1 < 1, adica α > 1, seria∞∑
n=1
(1
2α−1
)n
este
convergenta, prin urmare si seria∞∑
n=1
1nα
este convergenta.
Daca1
2α−1 ≥ 1, adica α ≤ 1, seria∞∑
n=1
(1
2α−1
)n
este
divergenta, deci si seria∞∑
n=1
1nα
este divergenta.
![Page 20: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/20.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criterii de convergenta
Teorema (Criteriul lui Dirichlet)
Fie seria∞∑
n=0xnyn, unde (xn)n≥0 si (yn)n≥0 sunt siruri de numere
reale. Daca:(i) seria
∞∑n=0
xn are sirul sumelor partiale marginit si
(ii) sirul (yn)n≥0 este monoton descrescator si are limita 0,
atunci seria∞∑
n=0xnyn este convergenta.
![Page 21: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/21.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criterii de convergenta
ExercitiuSa se arate ca seria
∞∑n=1
sin nxn
(5)
este convergenta, pentru orice x ∈ R.Solutie. Sa observam mai întâi ca aceasta serie se poate scrie subforma
∞∑n=1
sin nx · 1n.
Vom folosi Criteriul lui Dirichlet cu xn = sin nx si yn =1n. Fie
(Sn)n≥1 sirul sumelor partiale asociat seriei∞∑
n=1xn.
![Page 22: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/22.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criterii de convergenta
Daca x 6= 2kπ, k ∈ Z, atunci
|Sn| = |sin x + sin 2x + ...+ sin nx | =
∣∣∣∣∣∣∣cos
x2− cos(n +
12)x
2 sinx2
∣∣∣∣∣∣∣≤ 2
2∣∣∣sin
x2
∣∣∣ = 1∣∣∣sinx2
∣∣∣ , pentru orice n ∈ N.
Daca x = 2kπ, k ∈ Z, atunci
|Sn| = |sin x + sin 2x + ...+ sin nx | = 0.
Prin urmare, sirul (Sn)n≥1 este marginit.
Sirul yn =1n
este descrescator si convergent la 0.Conform Criteriului lui Dirichlet seria (5) este convergenta.
![Page 23: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/23.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criterii de convergenta
Teorema (Criteriul lui Abel)
Fie seria∞∑
n=0xnyn, unde (xn)n≥0 si (yn)n≥0 sunt siruri de numere
reale. Daca:(i) seria
∞∑n=0
xn este convergenta si
(ii) sirul (yn)n≥0 este sir monoton si marginit,
atunci seria∞∑
n=0xnyn este convergenta.
![Page 24: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/24.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criterii de convergenta
ExercitiuSa se studieze natura seriei
∞∑n=1
cos n cos1n
n. (6)
Solutie. Scriem seria sub forma
∞∑n=1
cos nn· cos
1n
si folosim Criteriul lui Abel cu xn =cos n
nsi yn = cos
1n.
Seria∞∑
n=1
cos nn
este convergenta, iar sirul (yn)n≥1 este crescator si
marginit. Conform Teoremei lui Abel, seria (6) este convergenta.
![Page 25: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/25.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Serii alternante
Definitie
O serie∞∑
n=0xn se numeste alternanta daca termenii sai alterneaza ca
semn, adicaxnxn+1 < 0, pentru orice n ∈ N.
Orice serie alternanta poate fi scrisa în una din urmatoareledoua forme:∞∑
n=0
(−1)n an sau∞∑
n=0
(−1)n+1 an, cu an ≥ 0, pentru orice n ∈ N.
![Page 26: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/26.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Serii alternante
Teorema (Criteriul lui Leibniz)Fie (an)n≥0 un sir descrescator de numere reale pozitive,
convergent la 0. Atunci seria∞∑
n=0(−1)n an este convergenta.
Demonstratie
Utilizam Criteriul lui Dirichlet. Fie xn = (−1)n si yn = an, pentruorice n ∈ N. Fie (Sn)n≥0 sirul sumelor partiale asociat seriei∞∑
n=0(−1)n . Se observa usor ca Sn = 1 pentru n par si Sn = 0
pentru n impar, deci (Sn)n≥0 este marginit. Cum sirul (yn)n≥0este descrescator si convergent la 0, conform Criteriului lui
Dirichlet obtinem ca seria∞∑
n=0(−1)n an este convergenta.
![Page 27: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/27.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Serii alternante
ExempluSeria
∞∑n=1
(−1)n
n
este convergenta conform Criteriului lui Leibniz, deoarece sirul
an =1n
tinde descrescator la 0.
ExempluSeria
∞∑n=0
(−1)n
2n
este convergenta conform Criteriului lui Leibniz, deoarece sirul
an =12n tinde descrescator la 0.
![Page 28: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/28.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Serii absolut convergente
Definitie
Spunem ca seria∞∑
n=0xn este absolut convergenta daca seria
modulelor, adica seria∞∑
n=0|xn| , este convergenta.
ExempluSeria
∞∑n=1
(−1)n
n2
este absolut convergenta întrucât seria modulelor este
∞∑n=1
1n2
despre care am aratat ca este o serie convergenta.
![Page 29: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/29.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Serii absolut convergente
Teorema
Daca∞∑
n=0xn este absolut convergenta, atunci
∞∑n=0
xn este
convergenta.
![Page 30: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/30.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Serii absolut convergente
Demonstratie
Deoarece seria∞∑
n=0xn este absolut convergenta, rezulta ca
∞∑n=0|xn| este convergenta. Conform Criteriului lui Cauchy,
pentru orice ε > 0 exista nε ∈ N astfel încât, pentru orice n ∈ N,n ≥ nε, si orice p ∈ N∗, avem
||xn+1|+ ...+ |xn+p|| < ε,
adica|xn+1|+ ...+ |xn+p| < ε.
Fie n ∈ N∗, n ≥ nε si p ∈ N. Avem
|xn+1 + ...+ xn+p| ≤ |xn+1|+ ...+ |xn+p| < ε,
prin urmare, seria∞∑
n=0xn este convergenta.
![Page 31: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/31.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Serii absolut convergente
ObservatieReciproca acestei teoreme nu este adevarata. Exista serii convergentecare nu sunt absolut convergente.
Exemplu
Seria∞∑
n=1
(−1)n
neste convergenta, dar seria modulelor
∞∑n=1
∣∣∣∣(−1)n
n
∣∣∣∣ = ∞∑n=1
1n
este divergenta.
Definitie
Spunem ca seria∞∑
n=0xn este semiconvergenta daca seria
∞∑n=0
xn este
convergenta, dar seria modulelor,∞∑
n=0|xn| , este divergenta.
![Page 32: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/32.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Serii absolut convergente
ExercitiuStudiati absoluta convergenta a seriei
∞∑n=1
sin nxn2 , x ∈ R.
Solutie. Deoarece∣∣∣∣sin nx
n2
∣∣∣∣ ≤ 1n2 , pentru orice n ≥ 1 si orice x ∈ R,
iar seria∞∑
n=1
1n2 este convergenta, conform Criteriului de comparatie,
rezulta ca seria modulelor∞∑
n=1
∣∣∣∣sin nxn2
∣∣∣∣ este convergenta. Prin urmare,
seria∞∑
n=1
sin nxn2 este absolut convergenta.
![Page 33: Curs 4 Serii de numere reale - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c4-AM1.pdf · Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnica ... deci în ambele cazuri](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052217/5b3843f67f8b9a5a518d37f9/html5/thumbnails/33.jpg)
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Serii absolut convergente
ExercitiuStudiati absoluta convergenta a seriei
∞∑n=1
(−1)n√
n.
Solutie. Observam ca seria∞∑
n=1
(−1)n√
neste o serie alternanta si,
conform Criteriului lui Leibniz, este convergenta. Seria modulelor∞∑
n=1
∣∣∣∣(−1)n√
n
∣∣∣∣ = ∞∑n=1
1√n
este divergenta (seria armonica generalizata
cu α =12< 1). Prin urmare, seria
∞∑n=1
(−1)n√
neste semiconvergenta.