Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Preddiplomski studij matematike

Andreja Sratel

Euklidski skalarni produkt

Zavrsni rad

Osijek, 2011.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Preddiplomski studij matematike

Andreja Sratel

Euklidski skalarni produkt

Zavrsni rad

Voditelj zavrsnog rada: doc.dr.sc. Darija Markovic

Osijek, 2011.

i

Sazetak. Euklidski skalarni umnozak vektora je definiran kao umnozak iznosa (mo-

dula, duljine, intenziteta) dva vektora i kosinusa kuta izmedu njih. Dobiveni je rezultat

skalar (broj).~a ·~b = ~b · ~a = |~a| · |~b| cos ϕ

Skalarni umnozak vektora sa samim sobom daje kvadrat njegovog iznosa, jer je u

tom slucaju kosinus 0◦ jednak 1. Skalarni umnozak vektora koji su pod pravim kutom

(90◦) jednak je 0 jer je kosinus pravog kuta 0. Skalarni umnozak je komutativan,

distributivan i linearan. Takoder, skalarni umnozak vektora ~a i ~b mozemo oznaciti s

(~a|~b) i definiramo formulom:

(~a|~b) := a1b1 + . . .+ anbn

gdje su a1, . . . , an komponente vektora ~a, a b1, . . . , bn komponente vektora ~b. Skalarni

se produkt moze zapisati kao

~a ·~b =[a1 . . . an

] b1...bn

= [~a]T [~b ] = ~aT ·~b

sto se primjenjuje u mnozenju matrica.

Kljucne rijeci: skalarni umnozak, mnozenje vektora, mnozenje matrica

Abstract. Euclidean scalar product of two vectors is defined as a multiple of the

amount (module, length, intensity) of the first and second vector and the cosine of the

angle between them. The product is a scalar (number). Scalar product of vector with

itself gives the square of its amount, because in this case, the cosine of 0◦ is 1. Scalar

product of vectors that are perpendicular (90◦) is 0, because the cosine of the right

angle is 0. Scalar product is commutative, distributive and linear. Also, the scalar

product of vectors ~a and ~b can be described with (~a|~b) and defined by the formula:

(~a|~b) := a1b1 + . . .+ anbn

where a1, . . . , an are the components of a vector ~a, and b1, . . . , bn are the components

of a vector ~b. Scalar product can be written as

~a ·~b =[a1 . . . an

] b1...bn

= [~a]T [~b ] = ~aT·~b

which is used in matrix multiplication.

Key words: scalar product, vector multiplication, matrix multiplication

ii

Sadrzaj

Sazetak i

Uvod 1

1. Euklidski skalarni produkt vektora 3

1.1. Operacije s vektorima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Zbrajanje vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2. Oduzimanje vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3. Mnozenje vektora sa skalarom (brojem) . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.4. Euklidski skalarni produkt vektora (Skalarni umnozak) . . . . . 8

2. Mnozenje matrica 15

2.1. Operacije s matricama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1. Zbroj matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2. Produkt matrice skalarom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.3. Mnozenje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Zadatci - primjeri 21

Literatura 23

1

Uvod

Kako je tema zavrsnog rada iz podrucja Linearne algebre ukratko cemo objasniti njezin

znacaj i doprinos razvoju same matematike i ostalih znanosti.

Linearna algebra se u svom danasnjem obliku prvi put spominje u prvoj polovici dva-

desetog stoljeca, dok su matrice i tenzori uvedeni u drugom dijelu 19. stoljeca. To

je jedna od tradicionalnih matematickih disciplina, a bit joj je pronalazenje rjesenja

linearnih jednadzbi. Problem rjesavanja sustava linearnih jednadzbi je jako bitan zbog

mnogo primjena u ostalim granama matematike, pa i u drugim znanostima, npr. u nu-

merickoj matematici i racunarstvu. Nekoliko znacajnijih matematicara koji su odigrali

kljucnu ulogu u oblikovanju linearne algebre u suvremenu matematicku granu su: G.

Cramer, H. Grassman, W. R. Hamilton, A. Cayley, J. J. Sylvester, L. Kronecker i C.

Hermite.

Cramer, G. – svicarski matematicar (1704. – 1752.) [9]

Roden u Zenevi i vec kao mlad ostao zapazen na podrucju matematike. Vec

sa 18 godina imao je doktorat, a sa 20 godina imao je katedru matematike u skoli u

Zenevi. 1728. godine predlozio je rjesenje St. Petersburg Paradoksa, sto je bilo vrlo

blizu Bernoullijevoj teoriji 10 godina kasnije. Cramer je objavio svoj najpoznatiji rad

“Introduction a l’analyse des lignes courbes algebriques” 1750. godine. Uredio je i dva

Bernoullijeva djela. Bio je profesor u Zenevi, a preminuo je nedugo nakon objavljivanja

svog djela.

Grassmann, H. – njemacki matematicar (1809. – 1877.) [10]

Bio je poznat kao jezikoslovac, a danas cijenjen i kao matematicar. Takoder je

bio i fizicar, neohumanist i izdavac. Njegov matematicki doprinos nije bio priznat za

njegova zivota.

Sylvester, J. J. – engleski matematicar (1814. – 1897.) [11]

On je dao temeljni doprinos teoriji matrica, invarijantnoj teoriji, teoriji brojeva,

teoriji particije i kombinatorici. Takoder je igrao vodecu ulogu u americkoj matematici

u kasnijem dijelu druge polovice 19. stoljeca kao profesor na Sveucilistu Johns Hopkins

i kao osnivac lista”American Journal of Mathematics“. U vrijeme smrti bio je profesor

na Oxfordu.

Hamilton, W. R. – irski fizicar, astronom i matematicar (1805. – 1865.) [12]

Hamilton je napravio velik doprinos za klasicnu mahaniku, optiku i algebru.

Njegova istrazivanja mehanickih i optickih sustava dovela su do otkrivanja novih ma-

tematickih koncepata i tehnika. Njegov je najveci doprinos mozda ozivljavanje Newto-

nove mehanike, sada nazvane Hamiltonova mehanika. Ovaj njegov rad je u sredistu

suvremenih studija klasicne teorije polja, kao sto su elektromagnetizam i razvoj kvantne

mehanike. Njegov veliki talent otkrio je astronom Dr. John Brinkley jos 1823. godine.

2

Caylay, A. – britanski matematicar (1821. - 1895.) [13]

Kao dijete, Caylay je uzivao u rjesavanju slozenih matematickih problema za

zabavu. Pohadao je Trinity College, Cambrige, gdje je zablistao u grckom, francuskom,

njemackom, talijanskom i naravno matematici. On je pokazao da je svaka kvadratna

matrica korijen svog karakteristicnog polinoma, takoder je bio prvi koji definira pojam

”grupa“ na moderan nacin.

Kronecker, L. – njemacki matematicar i logicar (1823. – 1891.) [14]

Tvrdio je da aritmetika i analiza moraju biti utemeljene na”cijelim brojevima“,

te je citirao H. Webera koji je rekao:”Bog je stvorio cijele brojeve, sve ostalo je

djelo covjeka.“. Po njemu ime su dobili Kroneckerov simbol, Kroneckerov produkt,

Kronecker – Weber teorem itd..

Hermite, C. – francuski matematicar (1822. – 1901.) [15]

Istrazivao je teoriju brojeva, kvadratni oblik, invarijantnu teoriju, ortogonalne po-

linome i algebru. Prvi je dokazao da je e, baza prirodnog logaritma, transcendentalan

broj. Njegove metode je kasnije koristio Lindermann kako bi dokazao da je π transcen-

dentalan broj. Po njemu ime su dobili Hermiteovi polinomi, Hermiteova interpolacija,

Hermitovi operatori itd..

3

1. Euklidski skalarni produkt vektora

Neka su A,B dvije tocke na pravcu, u ravnini ili prostoru. Duzinu s krajevima A,B

oznacavamo s AB. Duljinu duzine AB oznacavamo s |AB| ili d(AB).

Usmjerena duzina−→AB je duzina za koju se zna pocetna tocka A i zavrsna tocka B.

Za dvije usmjerene duzine−→AB,−−→CD kazemo da su ekvivalentne ako postoji translacija

koja prvu prevodi u drugu, tj. ako je ABCD paralelogram.

Slika 1: Reprezentanti (predstavnici) vektora ~a

Definicija 1 Skup svih medusobno ekvivalentnih usmjerenih duzina nazivamo vekto-

rom. Vidi [6].

Dakle, sve medusobno ekvivalentne duzine zovemo klasom medusobno ekvivalentnih

usmjerenih duzina. Pojedinu duzinu iz te klase zovemo reprezentantom (predstavni-

kom), obzirom da znajuci jednu znamo odrediti i svaku drugu duzinu iz te klase. Klasu

medusobno ekvivalentnih duzina nazivamo vektorom1 i oznacavamo [−→AB]. To je klasa

ciji je reprezentant usmjerena duzina−→AB.

Propozicija 1 Neka je ~a ∈ V 3 bilo koji vektor, a A ∈ E3 bilo koja tocka. Onda postoji

jedna i samo jedna tocka B ∈ E3 sa svojstvom da je [−→AB] = ~a. Vidi [4].

Geometrijski, vektor je zadan s:

• pravcem nosiocem na kojem se vektor nalazi

• duljinom ili modulom: |−→AB| = d(AB) (udaljenost tocaka A i B)

• orijentacijom na pravcu nosiocu

1engl. vector, njem. Vektor, fran. vecteur, rus. BEKTOP od lat. vector - nositelj

4

Dakle, usmjerene duzine koje leze na paralelnim (moguce istovjetnim pravcima), imaju

istu orijentaciju i jednaku duljinu definiraju isti vektor. (Slika 1 )

Ponekad se govori o smjeru vektora. Smjer objedinjuje pojmove nosaca i orjentacije,

te zato kazemo da je vektor odreden smjerom i iznosom.

Propozicija 2 Vektor iz V 3 jednoznacno je odreden svojim modulom, smjerom i ori-

jentacijom. Vidi [4].

1.1. Operacije s vektorima

Nul vektor je vektor duljine 0. Oznacavamo ga s ~0 i vrijedi da je ~0 =−→AA =

−−→BB . . .

za bilo koju tocku. Kod nul vektora nema smisla govoriti o nosacu, niti o smjeru.

Jedinicni vektor je vektor duljine 1. Za zadani vektor ~a, duljine |~a|, jedinicni vektor

je definiran sa ~a0 =~a

|~a|, gdje je ~a0 vektor koji ima isti smjer kao i ~a a duljina mu je 1.

Radijvektor - ako u prostoru2 istaknemo neku tocku i oznacimo ju slovom O, tada

je moguce za svaki vektor izabrati njegova predstavnika tako da mu pocetna tocka

bude bas ta tocka O. Vektor−→OT nazivamo radijvektor tocke T u prostoru i mozemo

ga zapisati ~rT .

Duljina vektora ~a oznacava se s |~a|. Taj broj zovemo i norma vektora ~a. Ako je−→AB

neki njegov reprezentant tad je |~a| = d(A,B).

Kolinearni vektori su vektori koji pripadaju istom ili paralelnim pravcima

Slika 2: Kolinearni vektori

Komplanarni vektori su vektori koji pripadaju istoj ili paralelnim ravninama

2Skup svih vektora oznacavat cemo slovom V, ( V 1 je jednodimenzionalni vektorski prostor - pravac;V 2 je dvodimenzionalni vektorski prostor - ravnina; V 3 je trodimenzionalni vektorski prostor)

5

Projekcija vektora

• ortogonalna projekcija u ravnini na pravac p je funkcija koja svakoj tocki A

ravnine pridruzuje tocku u kojoj okomica na p, koja prolazi tockom A, sijece

pravac p.

• ortogonalna projekcija u prostoru na pravac p je funkcija koja svakoj tocki A

prostora pridruzuje tocku u kojoj ravnina koja prolazi tockom A, a okomita je

na p, sijece pravac p.

Slika 3: Projekcija vektora na pravac

1.1.1. Zbrajanje vektora

Definicija 2 Neka su ~a,~b bilo kakvi vektori,−→AB bilo koji predstavnik vektora ~a te

−−→BC predstavnik vektora ~b s pocetkom u tocki B. Taj je zbroj vektora ~a + ~b odreden

predstavnikom−→AC. Vidi [3].

Slika 4: Pravilo trokuta Slika 5: Pravilo paralelograma

Vektore zbrajamo po pravilu trokuta i po pravilu paralelograma.

6

Svojstva:

(1) (~a+~b) + ~c = ~a+ (~b+ ~c) asocijativnost

(2) ~a+~0 = ~0 + ~a = ~a nul vektor je neutralni element za zbrajanje vektora

(3) ~a+ (−~a) = (−~a) + ~a = ~0 −~a je suprotan element za zbrajanje vektora ~a

(4) ~a+~b = ~b+ ~a komutativnost

Slika 6: Komutativnost (lijevo); Asocijativnost (desno)

1.1.2. Oduzimanje vektora

Oduzimanje vektora definira se kao operacija zbrajanja vektora sa suprotnim vektorom

~a−~b = ~a+ (−~b)

Slika 7: Oduzimanje vektora

7

1.1.3. Mnozenje vektora sa skalarom (brojem)

Neka je ~a vektor i λ realan broj. Mnozenje vektora sa skalarom je funkcija koja paru

(λ, ~a) pridruzuje vektor λ~a.

Za vektor λ~a vrijedi:

• ~a i λ~a su kolinearni (imaju isti ili paralelni nosac)

• |λ~a| = |λ| · |~a|

• λ > 0⇒ ~a i λ~a su isto orijentirani

λ < 0⇒ ~a i λ~a su suprotno orijentirani

Svojstva:

(5) λ(~a+~b) = λ~a+ λ~b,

(6) (λ+ µ)~a = λ~a+ µ~a,

(7) (λµ)~a = λ(µ~a),

(8) 1 · ~a = ~a, (−1) · ~a = −~a, 0 · ~a = ~0

U zapisu mnozenja vektora skalarom obicno izostavljamo znak ·, te pisemo kratko

λ~a, 2~a i slicno.

Svaki skup na kojemu su definirane dvije operacije: zbrajanje vektora i mnozenje

vektora sa skalarom tako da su zadovoljena svojstva (1)-(8) naziva se vektorski prostor.

Teorem 1 Skup V 3 je u odnosu na operacije zbrajanja vektora i mnozenja vektora

realnim brojevima vektorski prostor nad poljem R realnih brojeva. Vidi [4].

Svaku uredenu trojku B = (~a1, ~a2, ~a3) nekomplanarnih vektora iz V 3 nazivamo baza

prostora V 3. Govori se takoder o koordinatnoj bazi ili koordinatnom sustavu za V 3.

Vektore ~ai iz baze zovemo koordinatni vektori.

Medu svim mogucim bazama prostora V 3 izdvojit cemo jednu narocito pogodnu za

prikazivanje vektora.

Kartezijev pravokutni koordinatni sustav cine tri medusobno okomite osi:

• Ox - os apscisa

• Oy - os ordinata

• Oz - os aplikata

8

Zajednicka tocka O je ishodiste koordinatnog sustava. Izdvojimo tocku na jedinicnoj

udaljenosti od ishodista na svakoj od ove tri osi i pridruzimo joj odgovarajuci vektor.

• Tocki E1 = (1, 0, 0) odgovara vektor ~i =−−→OE1

• Tocki E2 = (0, 1, 0) odgovara vektor ~j =−−→OE2

• Tocki E3 = (0, 0, 1) odgovara vektor ~k =−−→OE3

Kartezijev sustav je sustav (O;~i,~j,~k). Trojku (~i,~j,~k) zovemo kanonska baza prostora

V 3.

Slika 8: Kartezijev koordinatni sustav

Neka je zadan vektor ~a. Njega mozemo napisati kao linernu kombinaciju vektora ka-

nonske baze: ~a = ax~i+ ay~j + az~k.

1.1.4. Euklidski skalarni produkt vektora (Skalarni umnozak)

Definicija 3 Neka je u : V 3 × V 3 → R preslikavanje, definirano ovako:

(1) ako je bar jedan od vektora ~a i ~b nulvektor, onda je

u(~a,~b) = 0;

(2) ako je ~a 6= ~0,~b 6= ~0, onda je

u(~a,~b) = |~a| · |~b| cos∠(~a,~b).

Vidi [4].

9

Preslikavanje u zovemo skalarnim mnozenjem u prostoru V 3 a vrijednost u(~a,~b) ∈R zovemo euklidskim skalarnim produktom vektora ~a i ~b, a u daljnjem tekstu zbog

jednostavnosti cemo koristiti naziv skalarni produkt. Obicno pisemo u(~a,~b) = ~a·~b = ~a~b

i takoder krace cos∠(~a,~b) = cos(~a,~b) = cosϕ.

Smatramo da je pojam kuta medu vektorima jasan: to je manji (po apsolutnom smislu)

od dvaju kutova koji zatvaraju zadana dva vektora (translatirana u zajednicki pocetak).

Oznacavat cemo ga s ϕ = ∠(~a,~b). Prema tome kut moze poprimiti vrijednost −π <ϕ < π.

Slika 9: Kut medu dvama vektorima

Definicija 3 ima za posljedicu i formulu |~a|2 = ~a·~a. Takoder za okomite vektore vrijedi:

Propozicija 3 Neka su ~a i ~b bilo koji vektori iz V 3. Ti su vektori okomiti ako i samo

ako je ~a ·~b = 0. Vidi [4].

Dokaz: Neka je ~a ⊥ ~b. Onda je ∠(~a,~b) = π/2 pa imamo

~a ·~b = |~a| · |~b| · cosπ

2= 0.

Obratno, neka je ~a ·~b = 0. Onda je

|~a| · |~b| · cos(~a,~b) = 0,

a kako je ~a 6= ~0 i ~b 6= ~0, to je cos(~a,~b) = 0. No, u intervalu [0, π] je kut ∠(~a,~b) = π2

jedini kut s tim svojstvom pa je ~a ⊥ ~b. �

Primjecujemo, ukoliko je jedan od vektora ~a ili ~b jednak nul vektoru, tada je i njihov

skalarni umnozak po Definiciji 3 jednak nuli. Slicno se vidi da je (−~a)~a = −|~a|2.

Propozicija 4 Za svaki je izbor ~a,~b ∈ V 3

(~a+~b)2 = ~a2 +~b2 + 2~a~b;

(~a−~b)2 = ~a2 +~b2 − 2~a~b;

Vidi [4].

10

Dokaz: Dokazimo prvu tvrdnju.

Pretpostavimo da vektori ~a i ~b nisu kolinearni.

Neka je ~a = [−→AB] i ~b = [

−−→BC]. Onda je ~c = ~a+~b = [

−→AC].

Promatrajmo trokut ABC i primjenimo kosinusov poucak. Imamo

(~a+~b)2 = ~c2 = |~c|2 = |~a|2 + |~b|2 − 2|~a||~b| cosϕ

= |~a|2 + |~b|2 + 2|~a||~b| cos(~a,~b)

= ~a2 +~b2 + 2~a~b

Tvrdnja se lako provjeri i kad su ~a i ~b kolinearni.

Svojstva skalarnog produkta dana su Teoremom 2.

Teorem 2 Skalarno mnozenje vektora ima ova svojstva:

(1) komutativnost, tj.~a~b = ~b~a,∀~a,~b ∈ V 3;

(2) kvaziasocijativnost, tj.

(λ~a)~b = λ(~a~b),∀λ ∈ R, ~a,~b ∈ V 3;

(3) distributivnost prema zbrajanju, tj.

~a(~b+ ~c) = ~a~b+ ~a~c,∀~a,~b,~c ∈ V 3;

(4) pozitivnu definitnost, tj.

~a2 ≥ 0;~a2 = 0 ⇐⇒ ~a = ~0

Vidi [4].

11

Dokaz:

(1) neposredno slijedi iz definicije mnozenja

(2) Ako je λ = 0 ili je ~a = ~0 odnosno ~b = ~0, tvrdnja je trivijalna

Uzmimo zato da je λ 6= 0 i ~a 6= ~0,~b 6= ~0. Ako je λ > 0, onda je |λ~a| = λ|~a|,∠(λ~a,~b) = ∠(~a,~b), pa imamo (λ~a)~b = |λ~a||~b| cos(λ~a,~b) = λ|~a||~b| cos(~a,~b) =

λ(~a,~b). Ako je λ < 0, onda je |λ~a| = −λ|~a| i nadalje ∠(λ~a,~b) = π − ∠(~a,~b),

pa je

(λ~a)~b = |λ~a||~b| cos(λ~a,~b) = −λ|~a||~b| cos(π − ∠(~a,~b))

= λ|~a||~b| cos(~a,~b) = λ(~a,~b)

i tvrdnja je dokazana.

(3) Imamo

4~a(~b+ ~c) =[2~a+ (~b+ ~c)

]2− 4~a2 − (~b+ ~c)2 =

=[2~a+ (~b+ ~c)

]2− 4~a2 − (~b− ~c)2 − 2~b2 − 2~c2 =

=[(~a+~b) + (~a+ ~c)

]2+[(~a+~b)− (~a+ ~c)

]2− 4~a2 − 2~b2 − 2~c2 =

= 2(~a+~b)2 + 2(~a+ ~c)2 − 4~a2 − 2~b2 − 2~c2 =

= 4~a2 + 4~a~b+ 4~a~c+ 2~b2 + 2~c2 − 4~a2 − 2~b2 − 2~c2 =

= 4~a~b+ 4~a~c

= 4(~a~b+ ~a~c)

pa dijeljenjem s 4 zaista dobivamo

~a(~b+ ~c) = ~a~b+ ~a~c.

(4) Trivijalno. �

12

Korolar 1 Za skalarno mnozenje takoder vrijedi

(5) ~a(λ~b) = λ(~a~b),∀λ ∈ R,∀~a,~b ∈ V 3,

(6) (~a+~b)~c = ~a~c+~b~c,∀~a,~b,~c ∈ V 3.

Vidi [4].

Dokaz: Iz tvrdnji (1) i (2) Teorema 2 imamo

~a(λ~b) = (λ~b)~a = λ(~b~a) = λ(~a)~b

pa je tvrdnja (5) verificirana. Slicno se vidi i tvrdnja (6). �

Teorem 3 Vektorski prostor V 3 je uz skalarno mnozenje vektora unitarni prostor.

Vidi [4].

Skalarni umnozak u komponentama

Neka je B = (~i,~j,~k) kanonska (koordinatna) baza u V 3 sa svojstvom da za koordinatne

vektore vrijedi

|~i| = |~j| = |~k| = 1

i~j ⊥ ~k,~k ⊥~i,~i ⊥ ~j

tj. nadam se da su ti vektori jedinicni i u parovima okomiti.

Tada kazemo da je B jedna ortonormirana baza za prostor V 3. Zgodno je prikazati ove

umnoske u sljedecoj tablici mnozenja

~i ~j ~k

~i 1 0 0~j 0 1 0~k 0 0 1

Svaki se vektor moze na jednoznacan nacin prikazati preko vektora baze.

Propozicija 5 Neka su ~a = ax~i + ay~j + az~k i ~b = bx~i + by~j + bz~k bilo koji vektori iz

V 3, tada za njihov skalarni umnozak (uz svojstva skalarnog produkta i gore navedenu

tablicu) dobivamo

~a ·~b = (ax~i+ ay~j + az~k) · (bx~i+ by~j + bz~k) =

= axbx~i~i+ axby~i~j + axbz~i~k + aybx~j~i+ ayby~j~j + aybz~j~k + azbx~k~i+ azby~k~j + azbz~k~k

= axbx + ayby + azbz.

Vidi [3]. �

13

Time smo dobili formulu za racunanje skalarnog produkta zadanih koordinatnim kom-

ponentama.

Korolar 2 Neka je ~a = ax~i+ ay~j + az~k bilo koji vektor. Onda je njegov modul dan sa

|~a| =√a2x + a2y + a2z,

gdje treba uzeti pozitivno odredenje drugog korijena. Vidi [4].

Dokaz: Imamo |~a|2 = ~a2 = ~a~a = a2x + a2y + a2z odakle slijedi tvrdnja. �

Korolar 3 Neka su ~a = ax~i + ay~j + az~k i ~b = bx~i + by~j + bz~k bilo koji vektori iz V 3,

razliciti od nulvektora. Onda je kut tih vektora dan formulom

cos(~a,~b) =axbx + ayby + azbz√

a2x + a2y + a2z ·√b2x + b2y + b2z

.

Vidi [4].

Dokaz: Iz definicije skalarnog produkta imamo

cos(~a,~b) =~a ·~b|~a| · |~b|

pa tvrdnju dobivamo primjenom Propozicije 5 i Korolara 2. �

Iz gornje formule neposredno citamo uvjet za okomitost dvaju vektora.

Korolar 4 Vektori ~a i ~b su okomiti onda i samo onda ako za njihove koordinate vrijedi

axbx + ayby + azbz = 0.

Vidi [4].

Promotrimo slucaj kada je jedan od vektora koordinatni vektor. Ako je npr. ~b = ~i.

Onda je bx = 1, by = 0, bz = 0, pa iz Korolara 3 slijedi, uz oznaku ∠(~a,~i) = ϕ1,

cosϕ1 =ax√

a2x + a2y + a2z=ax

|~a|.

Analogno odredujemo ϕ2 = ∠(~a,~j) i ϕ3 = ∠(~a,~k) vektora ~a s ostalim koordinatnim

vektorima. Skalare

cosϕ1 =ax

|~a|, cosϕ2 =

ay

|~a|, cosϕ3 =

az

|~a|

nazivamo kosinusi smjera vektora ~a, jer je njima odreden smjer tog vektora u prostoru.

Kosinusi smjera nisu neovisni.

14

Propozicija 6 Za kosinuse smjera bilo kojeg vektora ~a vrijedi

cos2 ϕ1 + cos2 ϕ2 + cos2 ϕ3 = 1.

Vidi [4].

Dokaz: Relacija se dobiva kvadriranjem i zbrajanjem kosinusa smjera i primjenom

Korolara 2. �

Specijalno ako je ~a jedinicni vektor, |~a| = 1, imamo

cosϕ1 = ax, cosϕ2 = ay, cosϕ3 = az

tj. pravokutne koordinate jedinicnog vektora podudaraju se s kosinusima smjera tog

vektora.

Propozicija 7 Kosinusi smjera vektora ~a ∈ V 3 jednaki su pravokutnim koordinatama

jedinicnog vektora ~a0 u smjeru tog vektora. Vidi [4].

Primjer 1 Za vektore ~a,~b vrijedi: |~a| =√

5, |~b| =√

30,∠(~a,~b) = 45◦. Neka su ~e =

4~a−~b i ~f = ~a+ 3~b. Izracunaj ~e · ~f.

Rjesenje:

~e · ~f = (4~a−~b)(~a+ 3~b) = 4~a~a+ 11~a~b− 3~b~b

= 4 · 5 + 11√

150− 3 · 30 = 20 + 11 · 5 ·√

6− 90 = −70 + 55√

6.

Pomocu skalarnog umnoska izracunava se i projekcija vektora na vektor, tj.

~a · ~b0 = |~a| · cosϕ = ab =⇒ skalarna prijekcija vektora ~a na vektor ~b,

~a ·~b = |~b| cosϕ = ba =⇒ skalarna projekcija vektora ~b na vektor ~a.

Slika 10: Skalarne projekcije vektora na vektor

15

Ako se vektori ~a i ~b prikazuju kao vektor-stupci n×1− matricama, skalarni se produkt

moze napisati kao

~a ·~b =[a1 . . . an

] b1...bn

= [~a]T [~b ] = ~aT ·~b

gdje je [~a]T vektor-redak.

2. Mnozenje matrica

Skalarni produkt vektora u trodimenzionalnom prostoru V 3 definirali smo formulom

~a ·~b := |~a||~b| cosϕ

gdje su |~a| i |~b| duljine vektora ~a i ~b, a ϕ kut medu njima.

Ova formula nam bas ne odgovara za n - dimenzionalni prostor. No, spomenuli smo

drugu formulu. Ako je {~i,~j,~k} kanonska baza u V 3 u kojoj vektori imaju prikaze

~a = ax~i+ ay~j + az~k,

~b = bx~i+ by~j + bz~k,

tada se skalarni produkt racuna formulom

~a ·~b = axbx + ayby + azbz.

Za razliku od prethodne ova se formula direktno poopcava u n - dimenzionalni prostor

Rn.

Elementi prostora Rn su uredene n - torke:

~a = (a1, . . . , an), ~b = (b1, . . . , bn).

Definicija 4 Skalarni umnozak vektora ~a i ~b oznacavamo s (~a|~b) i definiramo formu-

lom:

(~a|~b) = a1b1 + . . .+ anbn.

Vidi [7].

Duljina vektora ili norma racuna se formulom

|~a| =√

(~a|~a) =√a21 + . . .+ a2n.

Kut medu vektorima racunamo formulom

cosϕ =(~a|~b )

|~a| · |~b |.

16

Definicija 5 Za prirodne brojeve m i n, preslikavanje A :{1, . . . ,m}×{1, 2, . . . , n}−→Fse naziva matrica tipa (m,n) s elementima iz polja F. Vidi [7].

Djelovanje svake takve funkcije moze se zapisati tablicom u m redaka i n stupaca.

Takoder funkcijsku vrijednost A(i, j) jednostavnije oznacavamo aij. Dakle, svaku ma-

tricu s m redaka i n stupaca standardno pisemo u obliku

A = [aij] =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

Skup svih matrica s m redaka i n stupaca s elementima iz polja F oznacavamo s

Mmn(F), a ako je m = n pisemo krace Mn(F), a elemente tog skupa zovemo kvadratnim

matricama reda n.

Nulmatrica je matrica kojoj su svi elementi aij = 0.

Matrica redak je matrica tipa (1, n) a matrica stupac je matrica tipa (m, 1).

Za kvadratnu matricu reda n definiramo glavnu dijagonalu kao n-torku njezinih eleme-

nata (a11, a22, a33, . . . , ann), i sporednu dijagonalu, kao n-torku (a1n, a2n−1, . . . , an1).

Zatim, za kvadratnu matricu A definirat cemo trag, kao sumu elemenata na glavnoj

dijagonali,

tr A =n∑i=1

aii.

Kvadratnu matricu s jedinicama na glavnoj dijagonali nazivamo jedinicna matrica.

Matrice A = [aij] i B = [bij] nad istim poljem F su jednake, A = B, ako su istog tipa

(ista domena) i ako je

aij = bij, ∀i, j.

Matricom A = [aij] tipa (m,n) jednoznacno je odredena matrica B = [bji] tipa (n,m),

definirana s

bji = aij,∀i = 1, . . . ,m, k = 1, . . . , n.

Tu matricu zovemo transponirana matrica matrice A i oznacavamo s AT .

Primjer 2

A =

2 34 10 2

i AT =

[2 4 03 1 2

]

Ocito je da vrijedi (AT )T = A.

Transponirana matrica kvadratne matrice je opet kvadratna matrica istog reda.

17

2.1. Operacije s matricama

2.1.1. Zbroj matrica

Ako su A,B ∈ Mmn, A = [aij], B = [bij], bilo koje matrice, definiramo njihov zbroj,

kao matricu C = [cij] istog tipa kao A i B, Ciji su elementi dani s

cij = aij + bij, ∀i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n

i pisemo C = A+B.

Ako A i B nisu istog tipa, njihov zbroj se ne definira.

2.1.2. Produkt matrice skalarom

Za λ ∈ F i bilo koju matricu A ∈ Mmn, A = [aij], definiramo produkt te matrice sa

skalarom λ kao matricu C = [cij], koja je istog tipa kao A, a za cije elemente vrijedi

cij = λaij, ∀i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n

i pisemo C = λA.

Primjer 3

3

[2 3 11 0 −2

]=

[6 9 33 0 −6

]Ocito je da vrijedi

(1) λ(µA) = (λµ)A;

(2) 1A = A;

(3) (λ+ µ)A = λA+ µA;

(4) λ(A+B) = λA+ λB, ∀λ, µ ∈ F i A,B ∈Mmn.

2.1.3. Mnozenje matrica

Mnozenje matrica se definira samo za matrice kod kojih su dimenzije u specijalnom

odnosu, tj. za tzv. ulancane matrice.

Definicija 6 Neka je A ∈Mmn i B ∈Mrs. Kazemo da su matrice A i B ulancane ako

je n = r. Vidi [7].

18

Matrice A i B su ulancane ako je broj stupaca matrice A jednak broju redaka matrice

B. Uocimo da ovo nije simetricna relacija, u slucaju kada je A ∈Mmn a B ∈Mrs, dok,

ako su A i B kvadratne matrice istog tipa onda su one ulancane u oba poretka.

Definicija 7 Neka su A = [aij] ∈ Mmn i B = [bij] ∈ Mns ulancane matrice. Tada je

produkt AB definiran kao matrica AB = [aij] ∈Mms pri cemu je

cij =n∑k=1

aikbkj, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , 1, 2, . . . , n

Vidi [7].

Umnozak AB ima redaka kao prvi faktor i stupaca kao drugi faktor. Smisao definicije je

da koeficijent cij koji se u produktu nalazi u i-tom retku i j-tom stupcu izracunamo kao

“umnozak i-tog retka od A i j-tog stupca od B”. Pod tim umnoskom se podrazumijeva

zbroj ai1b1j + ai2b2j + . . .+ ainbnj.

Sada je jasno da zahtjev da matrice budu ulancane upravo znaci da svaki redak od A

ima tocno onoliko elemenata koliko i svaki stupac od B cime je osigurano da ovakvo

mnozenje ima smisla.

Primjer 4 [1 1 −1 31 0 2 1

]1 −1 −11 0 90 −1 −21 2 3

=

[5 6 192 −1 −2

]

(2, 4) × (4, 3) = (2, 3).

Napomena 1

a) Mnozenje matrica je preslikavanje

· : Mmn ×Mns −→Mms, m, n, s ∈ N.

Zato, opcenito, mnozenje nije binarna operacija. Izuzetak je slucaj m = n = s;

jedino tada je mnozenje

· : Mn ×Mn −→Mn

binarna operacija na skupu Mn.

b) Iz definicije je jasno da mnozenje matrica nije komutativna operacija. Proma-

tramo li proizvoljne ulancane matrice A i B, umnozak BA ne samo da nije jednak

AB, nego mozda nije niti definiran. Cak i u prostoru Mn zakon komutacije ne

vrijedi.

19

Primjer 5 [0 10 0

] [0 01 0

]=

[1 00 0

][

0 01 0

] [0 10 0

]=

[0 00 1

]c) za svaku matricu A ∈ Mmn vrijedi A0 = 0 i 0A = 0 (pri cemu je nulmatrica

prikladno formulirana da bismo je s desna ili s lijeva mogli mnoziti s A)

d) za n ∈ N definiramo jedinicnu matricu reda n. Mozemo ju zapisati kao

I = [eij] ∈Mn, eij =

{1, ako je i = j,0, ako je i 6= j.

Jedinicna matrica ima jedinice na glavnoj dijagonali i sve ostale nule.

Kroneckerov simbol

δij =

{1, ako je i = j,0, ako je i 6= j.

Jedinicnu matricu n-tog reda zapisujemo kao

I = [δij] ∈Mn.

Za svaku matricu A ∈ Mmn vrijedi AI = A i IA = A, ako je I prikladno

formulirana. Dakle, I je neutralni element za mnozenje svih matrica.

Svojstva mnozenja matrica

Teorem 4 Za mnozenje matrica vrijedi (kad god su navedeni produkti definirani)

(1) A(B + C) = AB + AC;

(2) (A+B)C = AC +BC;

(3) (λA)B = A(λB) = λ(AB), ∀λ ∈ F;

(4) (AB)C = A(BC);

(5) IA = A;AI = A.

Svojstva (1) i (2) se zovu desna, odnosno lijeva distributivnost mnozenja prema zbra-

janju, a svojstvo (3) kvaziasocijativnost. Vidi [7].

Dokaz: (4) - asocijativnost mnozenja matrica Neka je A = [aij] ∈ Mmn, B = [bij] ∈Mns, C = [cij] ∈Mst. Uocimo da je AB ∈Mms pa je produkt (AB)C definiran i rezultat

je matrica iz Mmt. Isto se pokaze da je A(BC) ∈ Mmt. Zato preostaje vidjeti da su

20

matricama (AB)C i A(BC) svi odgovarajuci elementi jednaki. Odaberemo proizvoljne

1 ≤ i ≤ m i 1 ≤ j ≤ t. Sada je

[(AB)C]ij =s∑

k=1

[AB]ikckj =s∑

k=1

(n∑l=1

ailblk

)ckj,

dok s druge strane imamo

[A(BC)]ij =n∑p=1

aip[BC]pj =n∑p=1

aip

(s∑r=1

bprcij

)=

s∑r=1

(n∑p=1

aipbpr

)crj,

odakle je ocito da su dobiveni rezultati identicni. Takoder primijetimo da je zamjena

redoslijeda sumiranja moguca jer su sume konacne, a zbrajanje u polju komutativno.

Korolar 5 Mnozenja matrica u vektorskom prostoru Mn(F) ima sljedeca svojstva:

(1) A(B + C) = AB + AC, ∀A,B,C ∈Mn(F);

(2) (A+B)C = AC +BC, ∀A,B,C ∈Mn(F);

(3) (λA)B = A(λB) = λ(AB), ∀λ ∈ F, ∀A,B ∈Mn(F);

(4) (AB)C = A(BC), ∀A,B ∈Mn(F);

(5) IA = AI = A, ∀A ∈Mn(F).

Vidi [7].

21

3. Zadatci - primjeri

Zadatak 1 Nadite kut izmedu vektora ~a i ~b ako je poznato da je ~a + ~b okomito na

7~a− 5~b i ~a− 4~b okomito na 7~a− 2~b.

Rjesenje: Oznacimo ~a = |~a| i ~b = |~b|. Tada je

(~a+~b) · (7~a− 5~b) = 7~a2 + 2~a ·~b− 5~b2 = 0

(~a− 4~b) · (7~a− 2~b) = 7~a2 − 30~a ·~b+ 8~b2 = 0

iz toga slijedi da je

5~b2 − 7~a2

2=

7~a2 + 8~b2

30,

odnosno

67~b2 = 112~a2.

Dakle,

cosϕ =~a ·~b|~a| · |~b|

=5~b2 − 7~a2

2~a~b=

5~b2 − 7 · 67112~b2

2 ·√

67112~b2

=5 · 112− 7 · 67

244 ·√

67112

= 0.53

ϕ = 57◦59′40.4′′

Zadatak 2 Za matrice A =

[1 10 1

], B =

[1 −10 1

], C =

[1 32 1

], D =

[4 02 1

]izracunajte (AC)D,A(CD) i AB

Rjesenje:

(AC)D =

([1 10 1

] [1 32 1

])[4 02 1

]=

[3 42 1

] [4 02 1

]=

[20 410 1

]A(CD) =

[1 10 1

]([1 32 1

] [4 02 1

])=

[1 10 1

] [10 310 1

]=

[20 410 1

]AB =

[1 10 1

] [1 −10 1

]=

[1 00 1

]Zadatak 3 Ako je {~a,~b,~c} ortonormiran skup vektora onda su vektori ~a,~b i ~c linearno

nezavisni. Dokazi!

Rjesenje: Treba pokazati da α~a + β~b + γ~c = 0 povlaci α = β = γ = 0, odnosno

jednadzba α~a + β~b + γ~c = 0 (nepoznanice su α, β i γ) ima trivijalno rjesenje. Ako tu

jednadzbu skalarno mnozimo redom s ~a,~b i ~c, dobivamo

α|~a|2 + β|~b|2 + γ|~c|2 = 0

dakle slijedi da je α = β = γ = 0.

22

Zadatak 4 Treba dokazati da se visine trokuta sijeku u jednoj tocki.

Rjesenje: Neka je O sjeciste visina povucenih iz vrhova A i B; dakle−→OA ·

−−→BC = 0 i

−−→OB ·

−→CA = 0, zatim

−−→BC =

−−→BO +

−→OC

−→CA =

−→CO +

−→OA =⇒

−→OA ·

−−→BO +

−→OA ·

−→OC = 0

−−→OB ·

−→CO +

−−→OB ·

−→OA = 0.

Zbrajanjem ovih relacija zbog−−→OB = −

−−→BO dobivamo

−→OC · (

−−→BO +

−→OA) = 0, tj.

−→OC ·

−→BA = 0;

dakle, duz OC je okomita na stranicu AB.

Zadatak 5 Pokazite da vrijedi C(A+B) = CA+ CB (distributivnost s lijeva)(*)

Rjesenje: Neka su A,B,C,D matrice po redu tipa m× n,m× n, p×m,n× q i neka je

α ∈ C.

Buduci su A i B tipa m×n, to je A+B definirano, i to je matrica tipa m×n. Kako je

C tipa m×n. Kako je C tipa p×m i A+B tipa m×n, produkt C(A+B) je definiran

i to je matrica tipa p× n. Isto tako je svaka od matrica CA,CB tipa p× n, pa su sve

operacije izvrsene u (*) izvedive.

Dokazimo jednakost:

[C(A+B)]ij = [CA+ CB]ij (i = 1, . . . , p; j = 1, . . . n).

No,

[C(A+B)]ij =∑m

k=1 cik(A+B)kj =∑m

k=1 cik(akj + bkj) =∑m

k=1 cikakj +∑m

k=1 cikbkj

= (CA)ij + (CB)ij = (CA+ CB)ij

�

23

Literatura

[1] D. Butkovic, Predavanja iz linearne algebre, Grafika d.o.o., Osijek, 2006.

[2] L. Caklovic, Zbirka zadataka iz linearne algebre, Skolska knjiga, Zagreb, 1992.

[3] N. Elezovic, Linearna algebra, Element, Zagreb, 1999.

[4] K. Horvatic, Linearna algebra, Golden marketing - Tehnicka knjiga, Zagreb, 2004.

[5] S. Kurepa, Uvod u linearnu algebru, Skolska knjiga, Zagreb, 1985.

[6] http://www.geof.unizg.hr/~jbeban/AGLA/01 vektori.pdf

[7] http://web.math.hr/nastava/la/razno/matrice.pdf

[8] http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node59.html

[9] http://en.wikipedia.org/wiki/Gabriel Cramer

[10] http://en.wikipedia.org/wiki/Hermann Grassmann

[11] http://en.wikipedia.org/wiki/James Joseph Sylvester

[12] http://en.wikipedia.org/wiki/William Rowan Hamilton

[13] http://en.wikipedia.org/wiki/Arthur Cayley

[14] http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker

[15] http://en.wikipedia.org/wiki/Charles Hermite