Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Velibor Gojic

Blok dizajni

Diplomski rad

Osijek, 2014.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Velibor Gojic

Blok dizajni

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Ivan Matic

Osijek, 2014.

Sadrzaj

1. Uvod 1

2. Blok dizajni 2

2.1. Primjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2. Terminologija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. Latinski kvadrati 6

3.1. Ortogonalni latinski kvadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2. Neki primjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3. Postojanje ortogonalnih familija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4. Uravnotezeni nepotpuni blok dizajni 10

4.1. (b,v,r,k,λ)-dizajni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.1.1. Fisherova nejednakost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.1.2. Dokaz Fisherove nejednakosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.1.3. Steinerovi trostruki sustavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.1.4. Simetricni uravnotezeni nepotpuni blok dizajni . . . . . . . . . . 15

4.1.5. Izgradnja novih od postojecih (b,v,r,k,λ)-dizajna . . . . . . . . . 16

5. Zakljucak 18

1

1. Uvod

U ovom radu cemo proucavati kombinatorna pitanja koja proizlaze iz problema

eksperimentalnog (istrazivackog) dizajna. Teorija eksperimentalnog dizajna nastala je

vecinom kroz rad R.A. Fishera, F. Yatesa, koji su bili motivirani istrazivanjima dizajna

polja u agrikulturi.

Bavit cemo se istrazivanjima koja ciljaju na usporedbu ucinaka razlicitih postu-

paka (tretmana), npr. razlicitih tipova gnojiva, razlicitih doziranja lijekova ili razlicitih

proizvodaca cipela ili guma. Svaki postupak je primijenjen na broj eksperimentalnih

jedinica ili ploha. U agrikulturi, istrazivacka jedinica moze biti podrucje na kojem se

kultura uzgaja ili u drugim slucajevima moze biti masina (stroj) koji se iz nekog razloga

koristi na odredenoj lokaciji. Odredene istrazivacke jedinice grupirane su u blokove,

jer imaju neka zajednicka svojstva, npr. jer su sve u istom horizontalnom redu u polju

ili su sve na istom stroju.

2

2. Blok dizajni

Eksperimentalni dizajn je najsnazniji od svih istrazivackih dizajna i osigurava

najbolje rezultate zbog toga sto su subjekti slucajnim odabirom dodijeljeni eksperi-

mentalnoj i kontrolnoj grupi. Iako je on najjaci dizajn, njega je veoma tesko provesti

zbog toga sto nije uvijek praktican, etican ili cak moguc postupak slucajnog odabira

ljudi za izradu eksperimentalnih i kontrolnih grupa.

2.1. Primjer

Testiranje potrosnje guma.

Razmotrit cemo problem trosenja guma razlicitih proizvodaca (marki) guma. Tret-

mani koje usporedujemo su razliciti proizvodaci guma. Jasno, pojedine gume datih

proizvodaca mogu se razlikovati. Stoga svakako zelimo isprobati vise od jedne gume

svakog proizvodaca. Jedna guma je istrazivacka jedinica. Pretpostavimo da ce gume

biti testirane u realnim vozackim uvjetima. Tada grupiramo po 4 gume ili istrazivacke

jedinice, jer automobil koji ce biti koristen u testiranju guma treba 4 gume. Testna

vozila cine blokove.

Prirodno je dopustiti svakom proizvodacu guma da postupak koriste jednako cesto

kao i svi drugi. Pretpostavimo da svatko to cini r puta. Tada trebamo ukupno 4r guma,

jer postoje 4 postupka proizvodaca guma. S obzirom da su gume podjeljene u blokove

velicine 4, 4r mora biti djeljivo s 4. U tom slucaju r moze biti bilo koji pozitivan broj.

Ako bi bilo 5 proizvodaca, trebalo bi 5r guma i tada bi r mogao biti izabran tako da je

5r djeljivo sa 4.

Tablica 2.1 Eksperimentalni dizajn testiranja potrosnje guma

AutomobilA B C D

lijevi prednji 1 2 3 4desni prednji 1 2 3 4lijevi zadnji 1 2 3 4desni zadnji 1 2 3 4

Ako uzmemo da je r = 4, tada bi imali vrlo jednostavan eksperimentalni dizajn.

Neka su cetiri automobila, npr. A,B,C,D i stavimo cetiri gume proizvodaca 1 na

automobil A, cetiri gume proizvodaca 2 na automobil B, cetiri gume proizvodaca 3 na

automobil C i cetiri gume proizvodaca 4 na automobil D. Ovaj dizajn je prikazan u

Tablici 2.1. Ovo je nezadovoljavajuci eksperimentalni dizajn. Razliciti automobili i

razliciti vozaci mogu dovesti do razlicite kolicine potrosnje guma i pokusaj razlikovanja

3

proizvodaca prema potrosnji guma moze biti ometan tim vanjskim faktorima.

Vecina teorije eksperimentalnog dizajna se odnosi na eliminaciju zbunjujucih cimbe-

nika koje uzrokuju razlicite istrazivacke jedinice. Obicno se nastoji eliminirati cimbenike

putem slucajnog odabira. Npr., mozemo poceti s 4 gume svakog proizvodaca i staviti

gume na svaki auto nasumce. To moze dovesti do dizajna poput onog prikazanog u

Tablici 2.2. Nazalost, kao sto tablica pokazuje, to moze dovesti do toga da proizvodac

guma 4 nikad ne bude koristen na automobilu A ili da proizvodac 3 bude vise puta

koristen na automobilu A. Ovu situaciju mozemo izbjeci ako zahtijevamo da svaki pos-

tupak ili proizvodac bude koristen u svakom bloku ili automobilu i zatim izaberemo gume

za svaki kotac nasumce.

Tablica 2.2 Dizajn slucajnog odabira za testiranja potrosnje guma

AutomobilA B C D

lijevi prednji 3 4 2 2desni prednji 1 1 4 4lijevi zadnji 3 4 1 3desni zadnji 2 3 2 1

Glavno pitanje u teoriji eksperimentalnog dizajna je pitanje postojanja, tj. pita-

nje egzistencije. Ovdje postavljamo sljedece pitanje: Postoji li dizajn u kojem su 4

proizvodaca i 4 automobila, svaki proizvodac je koristen 4 puta i to najmanje jednom

u svakom automobilu? Odgovor je da. Tablica 2.3 prikazuje takav dizajn.

Tablica 2.3 Potpuni blok dizajn za testiranja potrosnje guma

AutomobilA B C D

lijevi prednji 1 1 3 4desni prednji 2 3 4 2lijevi zadnji 3 2 1 1desni zadnji 4 4 2 3

Dizajn u Tablici 2.3 ima neke nedostatke. Pretpostavimo da pozicija gume na auto-

mobilu utjece na trosenje gume. Npr., straznje gume se drugacije trose od prednjih, pa

cak i strana automobila na kojoj je guma moze utjecati na potrosnju. Ako zelimo eli-

minirati i ovaj cimbenik, mozemo zahtijevati da se svaki proizvodac koristi jednom na

svakom pojedinom automobilu i to jednom na svakoj mogucoj poziciji. Dakle, trazimo

takozvani Latinski kvadrat (koji ce biti formalno definiran u iducem poglavlju). Tablica

2.4 pokazuje takav dizajn.

4

Tablica 2.4 Dizajn latinskog kvadrata za testiranje potrosnje guma

AutomobilA B C D

lijevi prednji 1 2 3 4desni prednji 2 3 4 1lijevi zadnji 3 4 1 2desni zadnji 4 1 2 3

U nekim eksperimentima mozda nece biti moguce primjeniti sve postupke na svaki

blok. Npr., ako postoji 5 proizvodaca guma mozemo ih koristiti samo 4 u svakom bloku.

Kako bi sada dizajnirali istrazivanje? Ako je svaki proizvodac guma koristen r puta,

imamo 5r guma koje trebamo podijeliti u cetiri grupe, dakle kao sto smo gore razmotrili,

5r mora biti djeljiv sa 4. Npr., r mora biti 4, 8, 12, ... Primjetimo da ovo istrazivanje

ne mozemo raditi sa 6 automobila, jer ne postoji takav eksperimentalni dizajn koji ko-

risti 5 proizvodaca i 6 automobila, a da se svaki proizvodac upotrijebi isti broj puta i

da cetiri razlicita proizvodaca budu pridruzena svakom automobilu. Jer u tom slucaju

postoji 24 moguce pozicije guma, a 5r = 24 je nemoguce. Pretpostavimo da je r = 4.

Tada je 5r = 20 pozicija guma. Ako je s broj automobila, 4s bi trebalo biti 20, dakle

s bi trebalo biti 5. Jedan moguci dizajn prikazan je u Tablici 2.5. Ovdje je 4 razlicita

proizvodaca guma, svaki proizvodac je koristen jednom na svakoj poziciji i koristen 5

puta.

Tablica 2.5 Nepotpuni blok dizajn za testiranje potrosnje guma

AutomobilA B C D E

lijevi prednji 1 2 3 4 5desni prednji 2 3 4 5 1lijevi zadnji 3 4 5 1 2desni zadnji 4 5 1 2 3

2.2. Terminologija

Upoznajmo se sada sa opcom terminologijom. Pretpostavimo da je P skup istrazivackih

jedinica, a V je skup postupaka. Odredene podskupove od P cemo zvati blokovima.

Definicija 2.1 Blok dizajn definiramo kao stvaranje skupine blokova i pridruzivanje

svakoj eksperimentalnoj jedinici skupa P postupak iz skupa V.

Za blok dizajn koji odgovara Tablici 2.2. je V = {1, 2, 3, 4} i ima slijedece blokove:

5

{3,1,3,2}, {4,1,4,3}, {2,4,1,2}, {2,4,3,1}.

Osim kao podskupove, blokove mozemo smatrati i kao nizove. Blok dizajn sma-

tramo potpunim ako je svaki blok sastavljen od skupa V, inace je nepotpun. Tablice

2.3. i 2.4. prikazuju potpune, a 2.5 nepotpune blok dizajne. Blok dizajn nazivamo

nasumicnim ako su elementi u svakom bloku poredani nekim nasumicnim uredajem,

kao sto je racunalni program dizajniran da izabere nasumican redoslijed. Proucavat

cemo dva tipa blok dizajna. Potpune, koji proizlaze iz latinskih kvadrata i familije

latinskih kvadrata, i nepotpune, koji se jos nazivaju uravnotezeni blok dizajni.

6

3. Latinski kvadrati

Dizajn latinskih kvadrata je prikladan ako postoje dva faktora, npr., pozicija kotaca

i automobil ili redak i stupac te zelimo kontrolirati oba faktora. U agrikulturalnim eks-

perimentima reci i stupci su doslovno reci i stupci u pravokutnom polju. Latinske

kvadrate je osmislio Fisher (1926.) kako bi mogao raditi takve eksperimente. Pret-

postavimo da npr. postoji k razlicitih redaka, k razlicitih stupaca i zelimo testirati k

razlicitih postupaka. Zelimo urediti stvari tako da se svaki postupak pojavljuje jednom

i samo jednom u datom retku i datom stupcu, npr. na odredenoj poziciji na odredenom

automobilu. Postoji takvo uredenje, odnosno k×k latinski kvadrat za svaki k. Tablica

3.1 pokazuje k latinski kvadrat.

Tablica 3.1 k × k latinski kvadrat

1 2 3 ... k − 1 k2 3 4 ... k 13 4 5 ... 1 2: : : : : :

k − 1 k 1 ... k − 3 k − 2k 1 2 ... k − 2 k − 1

Definicija 3.1 Kazemo da je kvadratna matrica A reda n ∈ N latinski kvadrat ako

vrijedi:

• Elementi matrice A su elementi nekog n-clanog skupa {a1, a2, ..., an};

• U svakom retku matrice A, svaki ai, i = 1, 2, ..., n nalazi se na tocno jednom

mjestu;

• U svakom stupcu matrice A, svaki ai, i = 1, 2, ..., n nalazi se na tocno jednom

mjestu.

Primjer 3.1 Lako se vidi da su matrice

M =

1 2 32 3 13 1 2

i

N =

1 2 33 1 22 3 1

latinski kvadrati reda 3.

7

3.1. Ortogonalni latinski kvadrati

Definicija 3.2 Za latinske kvadrate A1 = (a(1)ij )ij i A2 = (a

(2)ij )ij reda n kazemo da su

ortogonalni ako skup

{(a(1)ij , a(2)ij ) : i, j = 1, 2, ..., n}

sadrzava n2 razlicitih uredenih parova. Ocito je ekvivalentno zahtijevati da je

(a(1)i1j1, a

(2)i1j1

) 6= (a(1)i2j2, a

(2)i2j2

), cim je i1 6= i2 ili j1 6= j2.

Kazemo da je skup {A1, A2, ..., At} latinskih kvadrata istog reda ortogonalan ako su

svaka dva razlicita elementa tog skupa ortogonalna.

3.2. Neki primjeri

Primjer 3.2 Lijekovi za srce.

Chen (1942.) je testirao ucinak 12 razlicitih lijekova za srce na mackama. Is-

trazivanje je zahtijevalo promatraca koji mjeri ucinak tijekom odredenog vremena tako

da svaki promatrac moze promatrati samo cetiri razlicite macke dnevno. Istrazivanjem

zelimo eliminirati ucinke dana u kojem je promatranje izvrseno, promatraca koji je

vrsio promatranje i doba dana (rano ujutro, kasnije ujutro, rano poslijepodne, kasno

poslijepodne) tijekom kojeg je promatranje vrseno. Stoga postoje tri faktora koja nisu

primjerena za dizajn latinskog kvadrata. Kako bilo, latinski kvadrat moze se izvesti uzi-

manjem da je jedan faktor dan u kojem se promatra, a drugi faktor promatrac i doba

dana. U latinskom kvadratu 12× 12 tijekom 12 dana svaki od 3 promatraca promatrao

je 4 macke dnevno, 2 ujutro i 2 poslijepodne. Dizajn se sastojao od 12 redaka, koji

su oznaceni kao promatraci i vrijeme promatranja, i 12 stupaca, koji su oznaceni kao

datum. i,j su bili lijekovi koristeni na datum j u doba dana i. Datumi definiraju blokove.

Primjer 3.3 Testiranje odjece.

Box (1978.) je opisao istrazivanje koje ukljucuje tester robe Martindale, stroj koji je

koristen za testiranje kvalitete nosenja materijala odjece. U jednom pokretanju stroja,

8

4 komada odjece bi bilo trljano istovremeno svaki komad o list brusnog papira, a po-

tom bi bio izmjeren gubitak tezine. Postojalo je 4 razlicite vrste drzaca oznacenih s

a,b,c,d i svaki je mogao biti koristen na jednom od 4 mjesta na stroju P1,P2,P3,P4.

U ovom istrazivanju 4 tipa odjece oznacenih 1, 2, 3, 4 je bilo usporedivano. Istrazivaci

su zeljeli kontrolirati ucinke 4 razlicite vrste drzaca, 4 pozicije na stroju, na kojem se

odjeca testirala i o koji list brusnog papira se odjeca trljala. Cetverostruka kvalifika-

cija istrazivackih jedinica predlaze ortogonalnu familiju od 3 4 × 4 latinska kvadrata.

Odluceno je da ce se koristiti 4 lista brusnog papira oznacena α,β,γ,δ svaki odrezan na

4 dijela i svaka cetvrtina koristena u jednoj istrazivackoj jedinici. Bila su 4 pokretanja

stroja R1,R2,R3,R4, svaki je testirao 4 vrste odjece s razlicitim drzacima na razlicitim

mjestima i razlicitim cetvrtinama brusnog papira. Tablica 3.2 prikazuje 3 koristena

dizajna latinskih kvadrata.

Tablica 3.2 Ortogonalna familija 3 latinska kvadrata za testiranje odjece.

Pokretanje

R1 R2 R3 R4P1 1 3 4 2P2 2 4 3 1P3 3 1 2 4P4 4 2 1 3

Pokretanje

R1 R2 R3 R4P1 A D B CP2 B C A DP3 C B D AP4 D A C B

Pokretanje

R1 R2 R3 R4P1 α β γ δP2 β α δ γP3 γ δ α βP4 δ γ β α

3.3. Postojanje ortogonalnih familija

Neka je n × n latinski kvadrat reda n. Pretpostavimo da su elementi u latinskom

kvadratu cijeli brojevi 1, 2, ..., n. Postavlja se pitanje: Postoji li ortogonalna familija r

9

latinskih kvadrata reda n? Pretpostavimo da je n > 1, jer postoji samo jedan 1 × 1

latinski kvadrat. Ne postoji par ortogonalnih 2 × 2 latinskih kvadrata, jer su jedini

latinski kvadrati reda 2 prikazani u Tablici 3.3. Oni nisu ortogonalni jer se par (1,2)

pojavljuje dva puta. Postoji par latinskih kvadrata reda 4, te ortogonalna familija 3

latinska kvadrata reda 4 (Tablica 3.2).

Tablica 3.3 Dva latinska kvadrata reda 2.

1 22 1

2 11 2

Naredni teorem daje nuzne uvjete za postojanje ortogonalne familije r latinskih

kvadrata reda n.

Teorem 3.1 Ako postoji ortogonalna familija r latinskih kvadrata reda n, tada je

r ≤ n− 1. 1

Teorem 3.1 kaze da nikada ne mozemo naci ortogonalnu familiju n × n latinskih kva-

drata koja se sastoji od vise od n−1 kvadrata. Ortogonalna familija latinskih kvadrata

reda n je potpuna ako se sastoji od tocno n− 1 latinskih kvadrata.

Teorem 3.2 daje dovoljne uvjete za postojanje potpunih ortogonalnih familija la-

tinskih kvadrata.

Teorem 3.2 Ako je n > 1 i n = pk, gdje je p prost i k prirodan broj, tada postoji

potpuna ortogonalna familija latinskih kvadrata reda n.

1Dokazi Teorema 3.1 i Teorema 3.2 se mogu vidjeti u [3].

10

4. Uravnotezeni nepotpuni blok dizajni

4.1. (b,v,r,k,λ)-dizajni

U poglavlju 2.1 istakli smo da u blok dizajnu nije uvijek moguce testirati svaki pojedini

postupak u svakom pojedinom bloku. Npr., u testiranju trosenja guma, ako postoji 5

proizvodaca guma kao sto smo promatrali samo 4 od 5 moze biti testirano u jednom

bloku. Stoga je potrebno koristiti nepotpuni blok dizajn. Osnovni nepotpuni blok

dizajn koji cemo proucavati zove se uravnotezeni nepotpuni blok dizajn.

Uravnotezeni blok dizajn sastoji se od skupa X od v ≥ 2 elemenata, koji se nazivaju

varijacije ili postupci i b > 0 podskupova od X, koji se zovu blokovi, ako su zadovoljeni

slijedeci uvjeti:

1. Svaki blok sastoji se od tocno istog broja varijacija k, k > 0,

2. svaka varijacija se pojavljuje u istom broju blokova r, r > 0,

3. svaki par varijacija pojavljuje se istovremeno u istom broju blokova λ, λ > 0.

Uravnotezeni blok dizajn s k < v nazivamo uravnotezeni nepotpuni blok dizajn.

Oznacava se s (b, v, r, k, λ)-dizajn.

Primjer 4.1 A(7,7,3,3,1)-dizajn

Ako je b = 7, v = 7, r = 3, k = 3 i λ = 1 imamo (b, v, r, k, λ)-dizajn. Blok di-

zajn je odreden sa X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} i blokovima

B1 = {1, 2, 4}, B2 = {2, 3, 5}, B3 = {3, 4, 6}, B4 = {4, 5, 7}, B5 = {5, 6, 1},B6 = {6, 7, 2}, B7 = {7, 1, 3}

Lako je vidjeti da se svaki blok sastoji od 3 varijacije, da se svaka varijacija pojavljuje u

tocno 3 bloka i da se svaki par varijacija pojavljuje istovremeno u tocno jednom bloku.

Primjer 4.2 A(4,4,3,3,2)-dizajn

Ako je b = 4, v = 4, r = 3, k = 3, λ = 2, dizajn je odreden s X = {1, 2, 3, 4} i

blokovima

{1, 2, 3}, {2, 3, 4}, {3, 4, 1}, {4, 1, 2}.

Treba biti jasno iz naseg iskustva s ortogonalnim familijama latinskih kvadrata da

(b, v, r, k, λ)-dizajni mozda ne postoje za sve kombinacije parametara b, v, r, k, λ. Do-

ista, osnovna kombinatorna pitanja o temi uravnotezenih nepotpunih blok dizajna je

pitanje postojanja: Za koje vrijednosti b, v, r, k, λ postoji (b, v, r, k, λ)-dizajn.

11

4.1.1. Fisherova nejednakost

Teorem 4.1 Fisherova nejednakost. U (b, v, r, k, λ)-dizajnu, vrijedi b ≥ v.

Dokazat cemo ovaj rezultat u potpoglavlju 4.1.2. Da bi ga dokazali pomaze nam pojam

slucajne matrice A blok dizajna. Ako blok dizajn ima varijacije x1, x2,...,xv i blokove

B1, B2,...,Bb, tada je A v × b matrica nula i jedinica s i, j elementima od A za koje je

vrijednost jednaka 1 ako je xi iz Bj i 0 inace. Npr., u (b, v, r, k, λ)-dizajnu iz Primjera

4.1 imamo sljedecu slucajnu matricu:

A =

1 0 0 0 1 0 11 1 0 0 0 1 00 1 1 0 0 0 11 0 1 1 0 0 00 1 0 1 1 0 00 0 1 0 1 1 00 0 0 1 0 1 1

Proizvoljna v × b matrica nula i jedinica s v ≥ 2 je slucajna matrica (b, v, r, k, λ)-

dizajna, b, v, r, k, λ > 0, ako i samo ako vrijede slijedeci uvjeti:

1. Svaki stupac ima jednak broj jedinica, k njih, k > 0,

2. svaki red ima jednak broj jedinica r, r > 0,

3. svaki par redaka ima isti broj stupaca s zajednickom jedinicom, njih λ, λ > 0.

Teorem 4.2 Ako je A slucajna matrica (b, v, r, k, λ)-dizajna, onda je

AAT = (r − λ)I + λJ ,

gdje je AT transponirano od A, I je v×v jedinicna matrica a J je v×v matrica jedinica.

Dokaz.

Neka je bij produkt i-tog retka od A s j-tim retkom od A, tada je

bij =b∑

k=1

aikajk

Ako je i = j vidimo da je aikaik jednako 1 ako i-ta varijacija pripada k-tom bloku, nula

inace. Stoga bii sadrzi broj blokova kojemu i pripada, tj. r. Ako je i 6= j tada je aikajk

jednako 1 ako je i-ta i j-ta varijacija pripada k-tom bloku, inace je 0. Stoga bij sadrzi

broj blokova kojima i-ta i j-ta varijacija obje pripadaju, tj. λ. Prevodenje ovih zakona

u jezik matrica daje nam trazenu jednakost.

12

4.1.2. Dokaz Fisherove nejednakosti

Pretpostavimo da je b < v i nadimo kontradikciju. Neka je A slucajna matrica. Kako je

b < v, mozemo dodati v−b stupaca samih nula matrici A, sto nam daje kvadratnu v×vmatricu B. Sada je AAT=BBT , jer je skalarni produkt dva retka matrice A jednak

skalarnom produktu dva retka matrice B. Uzimajuci determinantu zakljucujemo

det(AAT ) = det(BBT ) = (detB)(detBT ).

det(B) = 0 jer B ima stupac nula,pa je i det(AAT ) = 0. Sada po Teoremu 4.2 imamo,

det(AAT ) = det

r λ λ λ . . . λλ r λ λ . . . λλ λ r λ . . . λλ λ λ r . . . λ...

......

......

...λ λ λ λ . . . λλ λ λ λ . . . r

.

Oduzimanjem prvog stupca od svakog slijedeceg u matrici, ne mijenja se determi-

nanta, cime dobivamo

det(AAT ) = det

r λ− r λ− r λ− r . . . λ− rλ r − λ 0 0 . . . 0λ 0 r − λ 0 . . . 0λ 0 0 r − λ . . . 0...

......

......

...λ 0 0 0 . . . 0λ 0 0 0 . . . r − λ

.

Dodavanjem prvom retku ostalih redaka, determinanta se ne mijenja,pa je

det(AAT ) = det

r + (v − 1)λ 0 0 0 . . . 0λ r − λ 0 0 . . . 0λ 0 r − λ 0 . . . 0λ 0 0 r − λ . . . 0...

......

......

...λ 0 0 0 . . . 0λ 0 0 0 . . . r − λ

.

S obzirom da matrica ima sve nule iznad dijagonale, njena determinanta je produkt

dijagonalnih elemenata. Dakle,

13

det(AAT ) = [r + (v − 1)λ](r − λ)(v−1). (1)

S obzirom da smo zakljucili da je det(AAT ) = 0 imamo,

[r + (v − 1)λ](r − λ)(v−1) = 0.

Kako su r, v i λ pozitivni vrijedi,

[r + (v − 1)λ] > 0.

Kako je k < v, slijedi da je r > λ, pa imamo,

(r − λ)(v−1) > 0.

Zakljucujemo da je lijeva strana jednakosti (1) pozitivna, sto je kontradikcija.

4.1.3. Steinerovi trostruki sustavi

Dosad su nasi rezultati davali dovoljne uvjete za (b, v, r, k, λ)-dizajn, ali nam nisu dali

dovoljne uvjete za dokaz njihova postojanja ili konstruktivne postupke za stvaranje

istih. Opisat cemo nekoliko takvih postupaka. Pocinjemo uzimajuci u obzir posebne

uvjete (b, v, r, k, λ)-dizajna. U ovom slucaju pretpostavimo da je k = 2 i λ = 1. Tada

se svaki blok sastoji od 2 varijacije. Kako je r = v − 1 slijedi da je

2b = v(v − 1)

ili

b = v(v−1)2

.

Sada je

b = v(v−1)2

=(v2

).

Ako je npr., v = 3, dizajn s X = {1, 2, 3} ima za podskup blokove

{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

14

U ovom djelu cemo se koncentrirati na jedan slucaj (b, v, r, k, λ)-dizajna gdje je

k = 3 a λ = 1. Takav dizajn je skup od 3 para u kojem se svaki par varijacija po-

javljuje tocno jednom. Ti dizajni se nazivaju Steinerovi trostruki sistemi. Ovakvo

definiranje ukljucuje potpune blok dizajne gdje je k = v. Ovo je trivijalan dizajn gdje

je X = {1, 2, 3} i postoji samo jedan blok {1, 2, 3}.

Sada cemo govoriti o problemu postojanja Steinerovih trostrukih sistema. Primjetimo

2r = v − 1, (2)

dakle

r =v − 1

2. (3)

Sada imamo

3b = v(v−1)2

,

dakle

b =v(v − 1)

6. (4)

Iz jednakosti (3) slijedi da je v− 1 paran a v neparan. Takodcer je v ≥ 2, sto znaci

da je v najmanje 3. Iz jednakosti (4) slijedi da je v(v−1) = 6b, dakle v(v−1) je produkt

broja 6. To su potrebni uvjeti. Trebamo vidjeti koje vrijednosti za v zadovoljavaju

dva potrebna uvjeta: v je neparan broj i najmanje iznosi 3, v(v − 1) je visekratnik od

6. Ako je v = 3, tada je v(v − 1) = 6 i tada moze postojati Steinerov trostruki sistem

za v = 3, tj., potrebni uvjeti su zadovoljeni. Za v = 5, v(v − 1) = 20, nije djeljivo sa

6, stoga ne postoji Steinerov trostruki sistem za v = 5. Opcenito, Steinerovi trostruki

sistemi su moguci za v = 3, 7, 9, 13, 15, 19, 21, ..., tj., za v = 6n+ 1 ili v = 6n+ 3, n ≥ 1

i v = 3.

Teorem 4.3 (Kirkman)

Postoji Steinerov trostruki sistem varijacije v ako i samo ako je v = 3 ili v = 6n + 1

ili v = 6n+ 3, n ≥ 1.2

2Dokaz Teorema 4.3 se moze vidjeti u [1].

15

4.1.4. Simetricni uravnotezeni nepotpuni blok dizajni

Uravnotezeni nepotpuni blok dizajn je simetrican ako je b = v (broj blokova je jednak

broju varijacija) i r = k (broj koliko puta se varijacija pojavljuje je jednaka broju

varijacija u bloku). Simetricni uravnotezeni nepotpuni blok dizajn se ponekad naziva

(v, k, λ)-dizajn.

Teorem 4.4 (Bruck-Ryser-Chowla Teorem)3 Sljedeci uvjeti su potrebni za pos-

tojanje (v, k, λ)-dizajna.

1. Ako je v paran onda je k − λ kvadrat cijelog broja.

2. Ako je v neparan sljedeca jednakost ima rjesenje u brojevima x, y, z od kojih nisu

svi jednaki 0:

x2 = (k − λ)y2 + (−1)(v−1)/2λz2 (5)

Da bi pokazali teorem na primjeru, pretpostavimo v = 8, k = 7 i λ = 3. Tada je

v paran, a k − λ = 4 je kvadrat, pa uvjet 1 kaze da (8, 7, 3)-dizajn moze postojati.

Takoder slijedi da (8, 7, 4)-dizajn ne bi mogao postojati jer k − λ = 3 nije kvadrat.

Pretpostavimo da je v = 5, k = 3, λ = 1. Tada je v neparan i (5) postaje

x2 = 2y2 + z2.

Rjesenja su x = z = 1, y = 0, prema tome (5, 3, 1)−dizajn moze postojati. Uvjeti

za postojanje simetricnog uravnotezenog nepotpunog blok dizajna dati u Teoremu 4.4

nisu dovoljni. Neki posebni dovoljni uvjeti dati su u sljedecem teoremu.

Teorem 4.5 Za proizvoljno velike vrijednosti m i za m = 2k, k ≥ 1, postoji (4m-1,2m-

1,m-1)-dizajn.

(4m− 1, 2m− 1,m− 1)-dizajn se naziva Hadamardov dizajn dimenzije m. Slucaj

m = 2 daje (7, 3, 1)-dizajn. Hadamardov dizajn moze postojati za sve m ≥ 2 sto

proizlazi iz Teorema 4.4. Za v = 4m− 1, v je neparan i (5) postaje

x2 = my2 − (m− 1)z2,

sto ima rjesenje x = y = z = 1.

Naredni teorem daje dovoljne uvjete za postojanje simetricnog uravnotezenog nepot-

punog blok dizajna.

Teorem 4.6 Ako je m ≥ 1 potencija prostog broja, tada postoji

(m2 +m+ 1,m+ 1, 1)-dizajn.

3Dokaz Teorema 4.4 se moze vidjeti u [1] ili [4].

16

4.1.5. Izgradnja novih od postojecih (b,v,r,k,λ)-dizajna

Najtrivijalniji nacin za dobijanje dizajna iz drugog je da ponovimo blokove. Ako uz-

memo p kopija svakog bloka u (b, v, r, k, λ)-dizajnu dobivamo (pb, v, pr, k, pλ)-dizajn.

Npr., od (4, 4, 3, 3, 2)-dizajna iz Primjera 4.2 dobivamo (8, 4, 6, 3, 4)-dizajn ponavlja-

njem svakog bloka dvaput.

Teorem 4.7 U (v, k, λ)-dizajnu svaka dva bloka imaju tocno λ zajednickih elemenata.4

Teorem 4.8 Pretpostavimo da su B1, B2, ..., Bv blokovi (v, k, λ)-dizajna sa skupom va-

rijacija X={x1, x2, ..., xv}. Tada za svaki i

B1 −Bi, B2 −Bi, ..., Bi−1 −Bi, Bi+1 −Bi, ..., Bv −Bi

blokovi od (v − 1, v − k, k, k − λ, λ)-dizajna na skupu varijacija X \Bi.

Dokaz.

Ocito je v−1 blokova i v−k varijacija. Prema Teoremu 4.7 svaki blok Bj−Bi ima k−λelemenata. Svaka varijacija X \ Bi pojavljuje se u k blokova novog dizajna. Slicno,

svaki par varijacija X \ Bi pojavljuje se zajedno u λ blokova originalnog dizajna pa

slijedi da se pojavljuje i u λ blokova novog dizajna

Da bi prikazali ovu konstrukciju pretpostavimo da pocinjemo sa (7, 3, 1)-dizajnom i

neka je Bi = {3, 4, 6}. Tada sljedeci blokovi formiraju (6, 4, 3, 2, 1)-dizajn na skupu

varijacija {1, 2, 5, 7}:

{1,2},{2,5},{5,7},{1,5},{2,7},{1,7}.

Teorem 4.9 Pretpostavimo da su B1, B2, ..., Bv blokovi od (v, k, λ)-dizajna s X =

{x1, x2, ..., xv} skupom varijacija. Tada za svaki i

B1 ∩Bi, B2 ∩Bi, ..., Bi−1 ∩Bi, Bi+1 ∩Bi, ..., Bv ∩Bi

blokovi od (v − 1, k, k − 1, λ, λ− 1)-dizajna na skupu varijacija Bi.

Dokaz.

Ocito je v − 1 blokova i k varijacija. Prema Teoremu 4.7 svaki blok Bj ∩ Bi ima λ

elemenata. Stovise, date varijacije uBi pojavljuju se u originalnom dizajnu u blokovima

Bj1 , Bj2 , ..., Bjk−1, Bi.

Zatim se pojavljuju u novom dizajnu u k − 1 blokova

4Dokaz Teorema 4.7 se moze vidjeti u [3].

17

Bj1 ∩Bi, Bj2 ∩Bi, ..., Bjk−1∩Bi.

Stovise, svaki par varijacija u Bi pojavljuje se zajedno u originalnom dizajnu u λ

blokova,

Bj1 , Bj2 , ..., Bjλ−1, Bi,

i slijedi da se pojavljuju zajedno u novom dizajnu u λ− 1 blokova

Bj1 ∩Bi, Bj2 ∩Bi, ..., Bjλ−1∩Bi.

18

5. Zakljucak

Kroz povijest kombinatorika je igrala vaznu ulogu u provodenju znanstvenih eksperime-

nata. Blok dizajn pripada takvim eksperimentima i najsnazniji je od svih istrazivackih

dizajna, te daje najbolje rezultate, medutim tesko ga je provesti. Stoga se vecina teorije

eksperimentalnog dizajna odnosi na eliminaciju zbunjujucih cimbenika.

19

Literatura

[1] Hall, 1967.

[2] R. Mrden: Ortogonalni latinski kvadrati konacne projektivne ravnine, math.e,

broj 16.

[3] F. S. Roberts: Applied Combinatorics, Prentice Hall, Upper Saddle River, New

Jersey, 1984.

[4] Ryser, 1963.

[5] D Veljan: Kombinatorna i diskretna matematika, Algoritam, Zagreb, 2003.

20

Sazetak

Osobe koje se bave eksperimentima zele na najbolji moguci nacin doci do zeljenogrezultata uz sto manji gubitak. Jedan od nacina je upotreba blok dizajna koji dajenajbolje rezultate. U radu je opisan uravnotezeni nepotpuni blok dizajn. Na primje-rima je prikazana njegova provedba.

Kljucne rijeci

Latinski kvadrat, blok dizajn, ortogonalna familija, uravnotezeni nepotpuni blok di-zajn, slucajna matrica, determinanta, simetricni uravnotezeni nepotpuni blok dizajn.

21

Summary

People who do experimental design want to achieve the best possible way, with mini-mum loss. One way is to use block design which gives the best results. In this work isdescribed balanced incomplete block design. In examples are shown their implementa-tion.

Keywords

Latin square, block design, orthogonal family, balanced incomplete block design, inci-dence matrix, determinant, symmetric balanced incomplete block design.

22

Zivotopis

Roden sam 11. travnja 1986. godine u Virovitici. Osnovnu Skolu Josipa Kozarcau Slatini zavrsio sam 2001. godine. Iste godine upisao sam Elektortehnicku skoluu Slatini koju sam zavrsio 2005. godine. Nakon zavrsetka srednje skole upisao sam”Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike” na Odjelu za matematiku uOsijeku.