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ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE LAJES NERVURADAS PRÉ-FABRICADAS
COM VIGOTA TIPO TRILHO PROTENDIDA NA CONDIÇÃO BIAPOIADA E
CONTÍNUA
Luiz Carlos França e Silva 1
Silvandro Ferreira de Siqueira Júnior 2
RESUMO
No presente trabalho serão apresentados o dimensionamento e a verificação
de uma laje pré-fabricada com vigota tipo trilho protendida na condição biapoiada e
contínua.
Os procedimentos de dimensionamento e verificação foram baseados nas
normas NBR 6118 (2014) “Projeto de estruturas de concreto – Procedimento” e NBR
14859 (2002) “Laje pré-fabricada – Requisitos parte 1: Lajes unidirecionais” além da
norma espanhola EF-96 (2002) “Instrucción para el Projecto y la Ejecución de Forjados
Unidireccionales de Hormigón Armado e Pretensado”. Os critérios de projeto para
esse tipo de sistema estrutural como dimensões mínimas, especificações de materiais
e limites de tensões serão expostos ao longo do trabalho, os quais serão aplicados a
uma laje típica com vãos e carregamentos relativamente comuns. O Vão adotado para
a análise na condição biapoiada será de 5,00 metros e para a condição contínua,
duplos de também 5,00 metros.
Depois de dimensionada a área de aço efetiva necessária para a vigota iniciou-
se as verificações em relação ao estado limite de serviço. Foram realizadas as
verificações relativas ao ELS-F (estado limite de formação de fissuras), ELS-D (estado
limite de descompressão) e a vigota na sua fase de construção. Todas essas
verificações foram realizadas para a condição biapoiada e contínua e para o máximo
e mínimo momento fletor atuante na peça. As verificações nos estados limites de
serviço de formação de fissuras, descompressão da seção transversal e fase
construtiva foram verificadas chegando à conclusão de que a peça na condição
contínua é mais eficiente. Isso se deve principalmente ao fato de o apoio intermediário
diminuir significativamente os momentos fletores nos vãos e consequentemente as
tensões na seção transversal.
Palavras-chave: Lajes pré-fabricadas. Concreto protendido. Dimensionamento
estrutural. Vigotas protendidas.
ABSTRACT
In the present work will be presented the sizing and verification of a
prefabricated slab with prestressed rail type in two-supported and continuos condition.
The design and verification procedures were based on Brazilian’s NBR 6118
(2014) “Projeto de estruturas de concreto – Procedimento” and NBR 14859 (2002)
“Laje pré-fabricada – Requisitos parte 1: Lajes unidirecionais” in addition to Spanish
Standard EF-96 (2002) “Instrucción para el Projecto y la Ejecución de Forjados
Unidireccionales de Hormigón Armado e Pretensado”. Design criteria for this type of
structural system such as minimum dimensions, material specifications and stress
limits will be exposed throughout the work, which will be applied to a typical slab with
relatively common spans and loads. The Gap adopted for the analysis in the two-
supported condition will be 5.00 meters and for the continuous condition, doubles will
also be 5.00 meters.
After dimensioning the effective steel area required for the raft, the checks on
the service limit state began. Checks for ELS-F (Crack Formation Limit State), ELS-D
(Decompression Limit State), and the design in its construction phase have been
carried out. All these checks were performed for the two-supported and continuous
condition and for the maximum and minimum bending moment acting on the part. The
limit state checks for crack formation, cross-section decompression, and construction
phase were verified to the conclusion that the part in the continuous condition is more
efficient. This is mainly due to the fact that the intermediate support significantly
reduces the bending moments in the spans and consequently the tensions in the cross
section.
Keywords: Prefabricated slabs. Prestressed concrete. Structural sizing. Prestressed rib. ________________________
¹ SILVA, Luiz Carlos França; Bacharel em Engenharia Civil pela Universidade Católica de Pernambuco
e Especialista em Estruturas de Concreto e Fundações, Universidade Estadual Paulista, Brasil.
² SIQUEIRA Jr., Silvandro Ferreira; Engenheiro Civil, Centro Universitário dos Guararapes, UNIFG,
Brasil.
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INTRODUÇÃO
Nos edifícios de pequeno e médio porte é cada vez maior a importância dada
a versatilidade dos espaços interiores, sempre impostos pela concepção estrutural
que por sua vez depende sempre do binômio “vão-carga”. Como consequência tem-
se aparecido soluções estruturais mais eficientes que exploram as vantagens da
protensão no concreto aumentando a resistência dos materiais o que permite maiores
vãos.
O trabalho está organizado em três tópicos. No primeiro são apresentados os
conceitos básicos e algumas definições necessárias a esse tipo de sistema estrutural,
ressaltando principalmente as suas vantagens e desvantagens. No item seguinte e
com grande relevância é apresentado o dimensionamento da armadura de protensão
necessária para essa laje na condição biapoiada. De fundamental importância, este
pode ser aplicado para outros casos de vãos e carregamentos. No último item e com
maior relevância são apresentados os critérios de verificação para ambas as
condições. As verificações são feitas em relação aos maiores esforços nos quais a
peça está solicitada, caracterizando e discutindo seus respectivos resultados.
1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS
As lajes pré-fabricadas já são bastante difundidas no Brasil, tendo sua principal
aplicação em obras de pequeno porte e prédios de poucos pavimentos. A partir do
projeto arquitetônico essas lajes são fabricadas com o tamanho desejado, sendo
comumente usadas para vencer vãos de 5,00 metros, o que vem sendo ultrapassado
conforme a adoção da técnica de protensão nas vigotas, conforme apresentado nesse
trabalho.
CAMPOSINHOS; NEVES (2005) definem esse tipo de sistema como
constituídos por nervuras pré-fabricadas (vigotas) dispostas paralelamente, sobre as
quais se apoiam unidades de aligeiramento (elementos de enchimento) em
abobadilhas ou blocos de cofragem (bloco de concreto, cerâmico ou de isopor), sendo
o conjunto solidarizado por um enchimento de betão (concreto) complementar com
função resistente. Seu esquema é apresentado conforme (figura 01).
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Figura 01: Ligação da vigota penetrando no apoio.
Fonte: CAMPOSINHOS; NEVES. (2005).
Se tratando de algumas desvantagens desse sistema podemos citar DROPPA
Jr. (1999);
• em geral, não possuem um comportamento monolítico com o restante
da estrutura, o que pode ser inconveniente sob o ponto de vista do
contraventamento da edificação;
• as vigotas protendidas, dependendo do vão final da laje podem resultar
em elementos relativamente pesados, dificultando seu manuseio
durante a montagem.
Algumas das principais vantagens que caracterizam esse sistema e que entre
outras, comuns à pré-fabricação, são consideradas determinantes, de acordo com
CAMPOSINOS E NEVES (2005) são:
• o recurso a sistemas pré-fabricados contribui decisivamente para o
aumento da qualidade, implicando ações de racionalização e
mecanização e promovendo o aumento da competitividade;
• a produção das unidades pré-fabricadas é sempre feita em instalações
industriais e protegidas de condições climáticas, facilitando o controle
dos resíduos, da emissão de poluentes e de níveis de ruído, aspectos
ambientais que são difíceis de atender quando os mesmos componentes
são realizados em obra;
• a rigor a dimensão das peças produzidas é superior, permitindo uma
economia substancial no consumo dos materiais, designadamente nas
espessuras de recobrimento das armaduras;
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• o transporte das peças pré-fabricadas, vigotas e elementos de
enchimento é simples e fácil, recorrendo a veículos de dimensões
correntes;
• os componentes pré-fabricados realizam o papel das formas para o
concreto complementar de enchimento;
• a montagem dos elementos pré-fabricados é fácil e rápida exigindo
escoramento relativamente reduzido;
• o sistema é tecnologicamente pouco exigente e é adaptável à mão-de-
obra pouco especializada.
2. DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL
Neste item, apresenta-se em exemplo de cálculo de lajes formadas por
vigotas tipo trilho protendidas. Com o objetivo de mostrar o comportamento da laje
quando essa passa da situação simplesmente apoiada para a condição contínua,
será apresentado o roteiro de cálculo para ambas condições e suas respectivas
conclusões. Abaixo na (figura 02), apresenta-se ambas as situações.
Figura 02: Esquema da laje com vão simples e duplo (m).
Fonte: Elaborado pelos autores.
A primeira etapa no dimensionamento desse sistema é a determinação das
propriedades dos materiais. No Brasil, as estruturas em concreto armado e protendido
são regidas pela NBR 6118 (2014) “Projeto de estruturas de concreto –
Procedimento”, que em seu item 6, que trata das diretrizes de durabilidades das
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estruturas de concreto e o item 8 que trata das propriedades dos materiais,
trabalhando simultaneamente apresentam os critérios necessários para suas
especificações. Abaixo segue as características dos materiais adotadas para o
dimensionamento em questão.
✓ Classe de agressividade ambiental: CAA III;
✓ Cobrimento nominal mínimo: Cmín = 1,5 cm;
✓ Resistência característica à compressão do concreto pré-fabricado: fck,pré = 40 Mpa;
✓ Resistência à compressão do concreto no ato da compressão (10 dias): fck,j = 25 Mpa;
✓ Resistência caracterísca à compressão da capa de concreto: fck,cap = 20 Mpa;
✓ Coeficiente de minoração da resistência do concreto: γc = 1,4;
✓ Resistência de cálculo à compressão do concreto: fcd =fck
γc;
✓ fcd,pré = 28,27 Mpa ; fcd,j = 17,85 Mpa ; fcd,cap = 14,28 Mpa;
✓ Resistência média a tração do concreto: fct,m = 0,30 fck2/3;
✓ fct,m,pré = 3,50 Mpa ; fct,m,j = 2,56 Mpa ; fct,m,cap = 2,20 Mpa;
✓ Resistência característica a tração inferior fctk,inf = 0,7 fct,m e superior fctk,sup = 1,3 fct,m;
✓ fctk,inf,pré = 2,45 Mpa ; fctk,inf,j = 1,79 Mpa ; fctk,inf,cap = 1,54 Mpa;
✓ fctk,sup,pré = 4,55 Mpa ; fctk,sup,j = 3,32 Mpa ; fctk,sup,cap = 2,86 Mpa;
✓ Módulo de elasticidade secante: Ecs = αi αE 5600 √fck ,
✓ αi = 0,90(C40), 0,86(C25), 0,85(C20); αE= 1,0;
✓ Ecs,pré = 31.875,75 Mpa ; Ecs,j = 24.080,00 Mpa ; Ecs,cap = 21.287,36 Mpa;
✓ Peso específico: γc = 25 kN/m²;
✓ Armadura ativa CP 175 (RN – Relaxação Normal);
✓ Fio de aço para protensão com de ϕ = 5 mm (adotado inicialmente);
✓ Resistência característica à tração da armadura ativa: fptk = 1750 Mpa;
✓ Resistência característica ao escoamento da armadura ativa (0,85fptk): fpyk = 1490 Mpa;
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✓ Módulo de elasticidade da armadura ativa: Ep = 200.000 Mpa;
✓ Armadura de continuidade passiva em aço CA50;
✓ Resistência à tração da armadura passiva: fyk = 500 Mpa;
✓ Coeficiente de minoração da resistência do aço: γs = 1,15;
✓ Resistência de cálculo à tração da armadura passiva: fyd =fyk
ys∴ fyd = 434,78 Mpa;
✓ Módulo de elasticidade da armadura passiva: Es = 210.000 Mpa;
Para a definição das dimensões da seção transversal foram consultados os
itens 13.2.4.2 da NBR 6118 (2014) “Projeto de estruturas de concreto - procedimento”
e a norma NBR 14859-1 (2002) “Laje pré-fabricada – Requisitos Parte 1: Lajes
unidirecionais”, que apresenta as diretrizes para o projeto de lajes nervuradas com
vigotas protendidas. Vale ressaltar que está define laje pré-fabricada em concreto
protendido como laje com seção usualmente em forma de um “T” invertido, com
armadura ativa pré-tensionada totalmente englobada pelo concreto da vigota. O
intereixo (i) mínimo para a vigota protendida é de 40 cm. Abaixo segue as dimensões
da seção transversal da laje (figura 03) e da vigota protendida (figura 04) para o
dimensionamento em questão.
Laje:
✓ Altura total: h = 0,13 m;
✓ Espessura da capa de concreto: hf = 0,05 m;
✓ Altura do elemento de enchimento: he = 0,08 m;
✓ Intereixo entre vigotas: i = 0,40 m;
✓ Bloco cerâmico: H8x27x30x20 (0,33 kN/m²);
✓ Vãos simples e duplos: 𝑙 = 5,00 m;
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Figura 03: Seção transversal laje pré-fabricada (cm).
Fonte: Elaborado pelos autores.
Vigota Protendida:
✓ Largura da vigota: bv = 0,13 m;
✓ Largura da alma da seção: bw = 0,05 m;
✓ Altura da vigota: hv = 0,10 m;
✓ Aba de encaixe horizontal: aeh = 0,04 m;
✓ Aba de encaixe vertical: aev = 0,035 e 0,03 m;
✓ Área da seção transversal da vigota: Avp = 7,60 10−3 m²;
✓ Momento de inércia da vigota: Ivp = 6,34 10−6 m4;
✓ Centro de gravidade: borda inferior: Yi,vp = 0,038 m e superior: Ys,vp = 0,062 m;
✓ Módulo de resistência à flexão: borda inferior: Wi,vp = 1,66 10−4m3 ; superior: Ws,vp =
1,02 10−4m3;
Figura 04: Seção transversal da vigota protendida
Fonte: Elaborado pelos autores.
Os carregamentos foram determinados com base na NBR 6120 (2019), que
trata das cargas de cálculo de estruturas de edificações. Abaixo segue seu
levantamento.
✓ Peso próprio da vigota: g1 = Avp γc ∴ g1 = 7,60 10−3m² 25 kN/m3 ∴ g1 = 0,19 kN/m;
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✓ Capa de concreto: g2 = Ac,cap γc ∴ g2 = (0,40 0,05)m² 25 kN/m3 ∴ g2 = 0,50 kN/m;
✓ Material de enchimento (0,33 kN/m²) : g3 = 0,40 m 0,33 kN/m2 ∴ g3 = 0,13 kN/m;
✓ Revestimento e contra piso (1,5 kN/m²): g4 = 0,40 m 1,5 kN/m2 ∴ g4 = 0,60 kN/m;
✓ Carga acidental (2,5 kN/m²): q = 0,40 m 2,5 kN/m2 ∴ q = 1,00 kN/m;
✓ Sobrecarga de execução (1,0 kN/m²): qe = 0,40 m 1,0 kN/m2 ∴ qe = 0,40 kN/m;
Em relação ao estado limite último devido a ação do momento fletor as peças
de concreto protendido são dotadas das mesmas hipóteses básicas da teoria de
cálculo do concreto armado, porém como a armadura ativa sempre estará com uma
deformação inicial chamada de “pré-alongamento”, diferente do concreto armado
onde as deformações específicas do aço e do concreto são nulas. No
dimensionamento do concreto armado de uma maneira geral, é usual determinar a
armadura de longitudinal de flexão no ELU e depois verificar as condições de serviço.
No concreto protendido além dessa mesma metodologia é comum dimensionar a
armadura para atender a um estado limite (estado limite de fissuração ou deformação)
e depois verificar se há ou não ruptura (Quadro 01). Logo as peças de concreto
protendido diferenciam-se das peças em concreto armado por ser necessário a
realização de verificações e imposições de limites de tensões. A determinação da
armadura de protensão descrita a seguir segue o roteiro presente no livro “Estruturas
em Concreto Protendido” do autor Roberto Chust de Carvalho.
Quadro 01: Verificações para a determinação da quantidade da armadura longitudinal
Fonte: CARVALHO, (2014).
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O momento fletor solicitante na nervura foi determinado considerando a mesma
como uma viga simplesmente apoiada, visto que se faz necessário que tenhamos a
mesa quantidade de armadura longitudinal para ambas as condições. Abaixo segue a
sua determinação.
Carregamento na nervura: p = ∑g1 + g2 + g3 + g4 + q = 2,42 kN/m;
Coeficiente de majoração de esforços: γf = 1,4;
Momento fletor de projeto: Md = γfp l2
8∴ Md = 1,4 2,42 kN/m (5,00 m)
2 8⁄ = 10,48 kNm
A definição da seção transversal de cálculo deve seguir os critérios de
geometria para seção “T”, conforme item 14.6.2.2 da NBR 6118 (2014) “Projeto de
estruturas de concreto - procedimento”.
Largura da mesa colaborante: bf = bw + 2 b1 = 5 cm + 2 . 15 cm = 35cm
b1 ≤ {0,10 a = 0,10 l = 0,10 500 cm = 50 cm (a = l, viga biapoiada)
0,50 b2 = 0,50 30 cm = 15cm
b2 = 40 cm − 10 cm = 30cm (largura entre faces da nervura)
Figura 05: Seção transversal de cálculo (cm).
Fonte: Elaborado pelos autores.
Altura útil da seção: d = h − 0,017 m = 0,13 m − 0,017 m = 0,113 m. (0,017 m
= 0,015 m de cobrimento nominal mais a metade do diâmetro armadura longitudinal).
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KMD =Md
bf d2 fcd∴ KMD =
10,58 kNm
0,35 m (0,113 m)2 28,27 103kN/m²∴
KMD ≅ 0,08 {KX = 0,123KZ = 0,950εS = 10 ‰
Pela tabela 2.10 KMD 0,08 → KX = 0,123, com isso x = KX d ∴ x =
0,123 . 0,113 m ∴ x = 0,013 m
Como x = 0,013 m < hf = 0,05 m, a hipótese inicial é válida. A linha neutra
passa na mesa, logo a seção é retangular.
A determinação da tensão inicial na armadura de protensão devido a força Pi,
a tensão inicial de protensão que sai do aparelho de tração σpi deve ser limitada ao
menor dos valores abaixo.
σpi ≤ {0,77 fptk = 0,77 1750 Mpa = 1347,50 Mpa
0,90 fpyk = 0,90 1490 Mpa = 1341,00 Mpa
Logo a tensão inicial de protensão σpi = 1341,00 Mpa
As perdas de protensão serão estimadas conforme a proposta da norma
inglesa EN – 15037-1, apresentado no item perdas de protensão. Como a tensão
inicial de protensão foi dada por 0,90 fpyk, as perdas finais de protensão serão
estimadas em 22 %.
σp∞ = σpi (1 − ∆σ∞) ∴ σp∞ = 1341,00 Mpa (1 − 0,22) ∴ σp∞ = 1045,98 Mpa
A tensão final na armadura de protensão é dada em função da sua deformação
total εt = εp + εs. A deformação εs já foi determinada anteriormente. A deformação εp
e tensão final na armadura de protensão σp∞ a são obtidos por interpolação linear na
tabela de tensões em aços de protensão publicada por Vasconcelos (1980) e
apresentada no item tensão na armadura de protensão.
6,794 − 5,25
εp − 5,25=
1264 − 1025
1045,98 − 1025∴ εp = 0,185 + 5,25 ∴ εp = 5,43‰
εt = εp + εs ∴ εt = 5,43 ‰+ 10 ‰ ∴ εt = 15,43 ‰
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17,5 − 15
15,43 − 15=1397 − 1388
σpd − 1388∴ σpd = 0,00071 + 1388 ∴ σpd = 1388 Mpa
A armadura de protensão fica sendo dada por:
Ap =Md
KZ d σpd∴ Ap =
10,58kN/m
0,950 0,113m 1388 103kN/m²∴
Ap = {7,10 10−5m²
ou0,71 cm²
{
ϕ = 5 mm
Apϕ = 0,19 cm²
n = 4 fiosAp,efe = 0,76 cm²
Abaixo na figura, é apresentado o detalhe final da vigota protendida.
Figura 06: Seção transversal da vigota e alojamento das barras (cm).
Fonte: Elaborado pelos autores.
3. CARACTERÍSITCAS GEOMÉTRICAS DA SEÇÃO COMPOSTA
Na determinação das características geométricas considerando a seção
composta, é necessário realizar a homogeneização da seção. As dimensões
horizontais devem ser reduzidas por meio de um fator α dado pela relação entre o
módulo de elasticidade do concreto da capa com o concreto da vigota no caso da laje,
e para a vigota a relação entre módulo de elasticidade do aço e do seu respectivo
concreto.
Para a laje pré-fabricada o fator α para esse caso é dado por:
α1 =Ecs,cap
Ecs,pré∴ α1 =
21.287,36 Mpa
31.875,75 Mpa∴ α1 = 0,66
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A seção transversal de cálculo para a seção homogeneizada e suas respectivas
características geométricas são:
Figura 07: Seção transversal de cálculo homogeneizada (cm).
Fonte: Elaborado pelos autores.
✓ Área da seção transversal: ALH = 7,24 10−3 m²;
✓ Momento de inércia: ILH = 3,11 10−5 m4;
✓ Centro de gravidade: borda inferior: Yi,LH = 0,074 m e superior: Ys,LH = 0,055 m;
✓ Módulos de resistência à flexão:
✓ Borda inferior: Wi,LH = 4,20 10−4m3 e borda superior: Ws,LH = 5,65 10−4m3;
Para a vigota protendida o fator α para esse caso é dado por:
α2 =Es
Ecs,pré∴ α2 =
210.000 Mpa
31.875,75 Mpa∴ α2 = 6,58
As características geométricas para a seção homogeneizada da vigota são:
✓ Área de armadura protendida: Ap = 7,10 10−5m²;
✓ Área líquida de concreto: ACVP = AVP − AP ∴ ACVP = 7,52 10−3 m²;
✓ Área da seção homogeneizada da vigota: AHVP = ACVP + α2AP ∴ AHVP = 7,98 10−3 m2;
✓ Centro de gravidade de Ap: borda inferior: Yi,Ap = 0,0325 m e superior: Ys,Ap = 0,0675 m;
✓ Centro de gravidade em relação a seção líquida de concreto:
✓ Borda inferior: Yi,CVP =Yi,VP AVP – Yi,Ap Ap
ACVP∴ Yi,CVP = 0,038 m;
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✓ Borda superior: Ys,CVP = 0,062 m;
✓ Centro de gravidade em relação a seção homogeneizada:
✓ Borda inferior: Yi,HVP =Yi,Cvp Acvp+α2 Yi,Ap Ap
AHVP∴ Yi,HVP = 0,037 m;
✓ Borda superior: Ys,HVP = 0,063 m;
✓ Momento de inércia da armadura protendida: IAP = 3,33 10−8 m4;
✓ Momento de inércia da seção líquida de concreto: Icvp = IVP − IAP ∴ IC = 6,30 10−6 m4;
✓ Momento de inércia da seção homogeneizada: IHVP=ICVP + α2IAp ∴ IHVP = 6,51 10−6 m4;
✓ Módulos de resistência à flexão em relação a seção líquida de concreto:
✓ Borda inferior: Wi,CVP = 1,657 10−4 m3 e superior: Ws,CVP = 1,016 10−4 m3;
✓ Módulos de resistência à flexão em relação a seção homogeneizada:
✓ Borda inferior: Wi,HVP = 1,759 10−4 m3 e superior: Ws,HVP = 1,033 10−4m3;
Logo a excentricidade ep da armadura protendida, estando essa abaixo do
centroide da seção, em relação a área líquida de concreto é dada por:
ep = Yi,CVP − Yi,Ap ∴ ep = 0,038 m − 0,0325 m ∴ ep = −0,0055 m (0,55 cm)
4. VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES
4.1 Verificação das Tensões em Vazio
Essa verificação é caracterizada pela protensão máxima que estará atuando
na vigota (tensão de protensão no tempo zero – após decorridas as perdas iniciais),
pelo carregamento mínimo (apenas o peso próprio da viga) e considerando o concreto
com resistência fck,j.
Considerando os critérios da NBR 6118 (2014), temos conforme abordado
anteriormente os seguintes limites:
{limite de tração: − 1,2 fct,m,j = − 3.070,00 kN/m²
limite de compressão: + 0,7fck,j = + 17.500,00 kN/m²
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Antes de determinar as tensões normais na seção transversal da vigota é
necessário conhecer o valor da força normal de protensão que ocorre imediatamente
após a liberação da protensão ainda na pista de concretagem. As perdas imediatas
devidas ao escorregamento dos fios na ancoragem, relaxação inicial da armadura,
retração inicial e deformação imediata do concreto serão estimadas em 5% do valor
da tensão inicial de protensão.
σto = 0,95 1341,00 Mpa ∴ σto = 1273,95 Mpa
Com o valor dessa tensão determinamos a força normal “NP” dada por:
NP = σto Ap,efe ∴ NP = 1273,95 103 kN/m2 0,76 10−4m² ∴ NP = 96,82 kN
Conforme apresentado no item “verificações” as tensões normais na seção
transversal das peças serão determinadas com base nas equações clássicas da
resistência dos materiais.
σs =Np
ACVP−Np ep
Ws,CVP±
M
Ws,CVP
σi =Np
ACVP+Np ep
Wi,CVP∓
M
Wi,CVP
O diagrama de estado de carga e de momentos fletores para a situação em
vazio (apenas peso próprio) está apresentado na figura 08.
Figura 08: Estado de carga e diagrama de momentos fletores (kNm/m).
Fonte: Elaborado pelos autores.
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Assim as tensões na borda superior e inferior da viga ficam sendo dadas por:
σs =96,82 kN
7,52 10−3 m²−96,82 kN 0,0055 m
1,016 10−4 m3+
0,59 kN/m
1,016 10−4 m3∴ σs = +13.440,84 kN/m²
σi =96,82 kN
7,52 10−3 m²+96,82 kN 0,0055 m
1,657 10−4 m3−
0,59 kN/m
1,657 10−4 m3∴ σi = +12.528,04 kN/m²
Com os valores acima é possível perceber que os limites (− 3.070,00 kN/m²) e
(+ 17.500,00 kN/m²) não são ultrapassados pelas tensões (+13.440,84 kN/m²) e
(+12.528,04 kN/m²) no estado em vazio, como isso pode-se afirmar que a peça está
verificada no ato de sua protensão.
4.2 Verificações nos Estados Limites de Serviço
As verificações de tensões no tempo infinito (após decorridas todas as perdas
de protensão) tem o objetivo de verificar as tensões perante o carregamento total e
acidental parcial, considerando a resistência característica do concreto. Para a classe
de agressividade III, por meio de tabela, extraída da NBR 6118 (2014), a protensão
pode ser classificada como limitada ou completa, ficando a critério do projetista o nível
a ser considerado. Para esse trabalho será considerado o nível de protensão limitada.
Devendo ser verificada as condições representadas na tabela 01.
Tabela 01: Condições a serem verificadas.
Fonte: adaptado da NBR 6118 (2014).
Cada verificação será realizada para a laje na condição biapoiada e na
condição contínua. Abaixo quadro com os respectivos valores de momento fletor
17
característico para a vigota na condição biapoiada e contínua. Os valores dos
momentos fletores estão apresentados na tabela 02 abaixo.
Tabela 02: Quadro de carregamentos e momentos fletores.
Fonte: Elaborado pelos autores.
4.3 Verificação no ELS-F (Estado Limite de Formação de Fissuras)
A NBR 6118 (2014) em seu item 17.3.1 estabelece que o valor da tensão de
tração a ser usada na verificação ligada à fissuração é o valor de fctj,inf e a relação
entre a tensão de tração na flexão e a tração direta é dada por meio do coeficiente α,
apresentado no item estado limite de serviço. Considerando os critérios da norma,
temos os seguintes limites:
{limite de tração: − α (1,5) fctk,inf = − 3.675,00 kN/m²
limite de compressão: + 0,7fck = + 28.000,00 kN/m²
Por se tratar de uma verificação em serviço, para a determinação da força de
protensão “NP” deve-se utilizar a tensão no tempo infinito σp∞ = 1045,98 Mpa. Com o
valor dessa tensão determinamos a força normal “NP” dada por:
18
NP = σt∞ Ap,efe ∴ NP = 1045,98 103 kN/m2 0,76 10−4m² ∴ NP = 79,49 kN
A combinação a ser utilizada é a combinação frequente de serviço. Supondo
que no local haja a predominância de pesos de equipamentos que permaneçam fixos
por longos períodos de tempo ou elevada concentração de pessoas (a exemplo de
edifícios comerciais, escritórios, etc.), o coeficiente ψ1 = 0,6 e ψ2 = 0,4 .O esforço de
projeto conforme item 11.8.2.4 da NBR 6118 (2014) que trata das combinações usuais
é dada por:
Fd,serviço =∑Fgik + ψ1 Fq1k +∑ ψ2j Fqjk
Nas combinações frequentes de serviço, a ação variável principal Fq1 é tomada
com seu valor frequente ψ1 Fq1 e todas as demais ações variáveis que venham a
existir são tomadas com seus valores quase permanentes ψ2 Fqj. Para o nosso caso
o momento fletor de projeto é dado por:
M =∑Mg + (ψ1Mq)
Para a vigota na condição biapoiada com o vão 𝑙=5,00 metros, teremos dois
valores de momento fletor. Um para os esforços de flexão que atuam antes da
solidarização dos concretos "M1" e outro para os esforços de flexão que atuam após
a solidarização do concreto "M2". Para a situação de momento mínimo a carga
acidental q é considerada inexistente.
M1 =∑(Mg1 +Mg2 +Mg3)kNm ∴ M1 = 2,56 kNm
M2 =∑(Mg4 + ψ1 Mq )kNm ∴ M2 = 3,75 kNm
Conforme apresentado no item “verificações” as tensões normais na seção
transversal das peças serão determinadas com base nas equações clássicas da
resistência dos materiais.
19
σs =Np
ACVP−Np ep
Ws,CVP±
M1
Ws,HVP±
M2
Ws,LH
σi =Np
ACVP+Np ep
Wi,CVP∓
M1
Wi,HVP∓
M2
Wi,LH
Assim as tensões na borda superior e inferior da viga ficam sendo dadas por:
Situação de momento máximo:
σs =79,49 kN
7,52 10−3 m2−79,49 kN 0,0055 m
1,016 10−4 m3+
2,56 kNm
1,033 10−4 m3+3,75 kNm
5,65 10−4 m3∴
σs = +37.686,73 kN/m²
σi =79,49 kN
7,52 10−3 m2+79,49 kN 0,0055 m
1,657 10−4 m3−2,56 kNm
1,759 10−4 m3−3,75 kNm
4,20 10−4 m3∴
σi = −10.273,34 kN/m²
Com os valores acima é possível perceber que os limites (− 3.675,00 kN/m²) e
(+ 28.000,00 kN/m²) são ultrapassados pelas tensões (−10.273,34 kN/m²) e
(+37.686,73 kN/m²) no estado em serviço de verificação de formação de fissuras para
a situação de máximo momento fletor atuante, ou seja, com a estrutura em uso. Com
isso pode-se afirmar que a peça não está verificada em relação a fissuração na
condição biapoiada com vão de 5,00 metros.
Situação de momento mínimo:
σs =79,49 kN
7,52 10−3 m2−79,49 kN 0,0055 m
1,016 10−4 m3+
2,56 kNm
1,033 10−4 m3+1,88 kNm
5,65 10−4 m3∴
σsσs = +34.376,99 kN/m²
σi =79,49 kN
7,52 10−3 m2+79,49 kN 0,0055 m
1,657 10−4 m3−2,56 kNm
1,759 10−4 m3−1,88 kNm
4,20 10−4 m3∴
σi = −5.820,96 kN/m²
20
Com os valores acima é possível perceber que os limites (− 3.675,00 kN/m²) e
(+ 28.000,00 kN/m²) são ultrapassados pelas tensões (−5.820,96 kN/m²) e
(+34.376,99 kN/m²) no estado em serviço de verificação de formação de fissuras para
a situação de mínimo momento fletor atuante, ou seja, com a estrutura sem a
sobrecarga acidental. Com isso pode-se afirmar que a peça não está verificada em
relação a fissuração na condição biapoiada com vão de 5,00 metros.
Para a vigota na condição contínua com vãos duplos de 𝑙=5,00 metros, nesse
caso também teremos dois valores de momento fletor. Um para os esforços de flexão
que atuam antes da solidarização dos concretos "M1" e outro para os esforços de
flexão que atuam após a solidarização do concreto "M2". Para a situação de momento
mínimo a carga acidental q é considerada inexistente.
M1 =∑(Mg1 +Mg2 +Mg3)kNm ∴ M1 = 1,44 kNm
M2 =∑(Mg4 + ψ1 Mq )kNm ∴ M2 = 2,10 kNm
Assim as tensões na borda superior e inferior da viga ficam sendo dadas por:
Situação de momento máximo:
σs =79,49 kN
7,52 10−3 m2−79,49 kN 0,0055 m
1,016 10−4 m3+
1,44 kNm
1,033 10−4 m3+2,10 kNm
5,65 10−4 m3∴
σs = +23.924,17 kN/m²
σi =79,49 kN
7,52 10−3 m2+79,49 kN 0,0055 m
1,657 10−4 m3−1,44 kNm
1,759 10−4 m3−2,10 kNm
4,20 10−4 m3∴
σi = −217,37 kN/m²
Com os valores acima é possível perceber que os limites (− 3.675,00 kN/m²) e
(+ 28.000,00 kN/m²) não são ultrapassados pelas tensões (−217,37 kN/m²) e
(+23.924,17 kN/m²) no estado em serviço de verificação de formação de fissuras
para a situação de máximo momento fletor atuante, ou seja, com a estrutura em uso.
21
Com isso pode-se afirmar que a peça está verificada em relação a fissuração na
condição contínua com vãos duplos de 5,00 metros.
Situação de momento mínimo:
σs =79,49 kN
7,52 10−3 m2−79,49 kN 0,0055 m
1,016 10−4 m3+
1,44 kNm
1,033 10−4 m3+1,05 kNm
5,65 10−4 m3∴
σs = +22.065,76 kN/m²
σi =79,49 kN
7,52 10−3 m2+79,49 kN 0,0055 m
1,657 10−4 m3−1,44 kNm
1,759 10−4 m3−1,05 kNm
4,20 10−4 m3∴
σi = −2.522,48 kN/m²
Com os valores acima é possível perceber que os limites (− 3.675,00 kN/m²) e
(+ 28.000,00 kN/m²) são ultrapassados pelas tensões (−2.522,48 kN/m²) e
(+22.065,76 kN/m²) no estado em serviço de verificação de formação de fissuras para
a situação de mínimo momento fletor atuante, ou seja, com a estrutura sem a
sobrecarga acidental. Com isso pode-se afirmar que a peça está verificada em relação
a fissuração na condição contínua com vãos duplos de 5,00 metros.
4.4 . Verificação no ELS-D (Estado Limite de Descompressão)
O estado limite de descompressão de acordo com o item 3.2 da NBR 6118
(2014) é definido como o estado no qual em um ou mais pontos da seção transversal
a tensão normal é nula, não havendo tração no restante da seção.
Considerando os critérios da norma, temos os seguintes limites:
{limite de tração: σ = 0
limite de compressão: + 0,7fck = + 28.000,00 kN/m²
22
Por se tratar de uma verificação em serviço a força de protensão “NP” a ser
utilizada é a dada pela tensão no tempo infinito σp∞ = 1045,98 Mpa conforme o item
anterior, sendo NP = 79,49 kN.
A combinação a ser utilizada é a combinação quase permanente de serviço.
Supondo que no local haja a predominância de pesos de equipamentos que
permaneçam fixos por longos períodos de tempo ou elevada concentração de
pessoas (a exemplo de edifícios comerciais, escritórios, etc.), o coeficiente ψ1 =
0,6 e ψ2 = 0,4 .O esforço de projeto conforme tabela 2.14 extraída da NBR 6118
(2014) é dado por:
Fd,serviço =∑Fgik +∑ ψ2j Fqjk
Nas combinações quase permanentes de serviço, todas as ações são tomadas
com seus valores quase permanentes ψ2 Fqj. Para o nosso caso o momento fletor de
projeto é dado por:
M =∑Mg + (ψ2Mq)
Para a vigota na condição biapoiada com o vão 𝑙=5,00 metros, teremos dois
valores de momento fletor. Um para os esforços de flexão que atuam antes da
solidarização dos concretos "M1" e outro para os esforços de flexão que atuam após
a solidarização do concreto "M2". Para a situação de momento mínimo a carga
acidental q é considerada inexistente.
M1 =∑(Mg1 +Mg2 +Mg3)kNm ∴ M1 = 2,56 kNm
M2 =∑(Mg4 + ψ2 Mq )kNm ∴ M2 = 3,13 kNm
Conforme apresentado no item “verificações” as tensões normais na seção
transversal das peças serão determinadas com base nas equações clássicas da
resistência dos materiais.
23
σs =Np
ACVP−Np ep
Ws,CVP±
M1
Ws,HVP±
M2
Ws,LH
σi =Np
ACVP+Np ep
Wi,CVP∓
M1
Wi,HVP∓
M2
Wi,LH
Assim as tensões na borda superior e inferior da viga ficam sendo dadas por:
Situação de momento máximo:
σs =79,49 kN
7,52 10−3 m2−79,49 kN 0,0055 m
1,016 10−4 m3+
2,56 kNm
1,033 10−4 m3+3,13 kNm
5,65 10−4 m3∴
σs = +36.589,38 kN/m²
σi =79,49 kN
7,52 10−3 m2+79,49 kN 0,0055 m
1,657 10−4 m3−2,56 kNm
1,759 10−4 m3−3,13 kNm
4,20 10−4 m3∴
σi = −8.797,15 kN/m²
Com os valores acima é possível perceber que os limites (σ = 0) e
(+ 28.000,00 kN/m²) são ultrapassados pelas tensões (−8.797,15 kN/m²) e
(+36.589,38 kN/m²) no estado limite de descompressão para a situação de máximo
momento fletor atuante, ou seja, com a estrutura em uso. Com isso pode-se afirmar
que a peça não está verificada em relação a descompressão na condição biapoiada
com vão de 5,00 metros, pois há tensões de tração na seção transversal.
Situação de momento mínimo:
σs =79,49 kN
7,52 10−3 m2−79,49 kN 0,0055 m
1,016 10−4 m3+
2,56 kNm
1,033 10−4 m3+1,88 kNm
5,65 10−4 m3∴
σs = +34.376,99 kN/m²
σi =79,49 kN
7,52 10−3 m2+79,49 kN 0,0055 m
1,657 10−4 m3−2,56 kNm
1,759 10−4 m3−1,88 kNm
4,20 10−4 m3∴
24
σi = −5.820,96 kN/m²
Com os valores acima é possível perceber que os limites (σ = 0) e
(+ 28.000,00 kN/m²) são ultrapassados pelas tensões (−5.820,96 kN/m²) e
(+34.376,99 kN/m²) no estado limite de descompressão para a situação de mínimo
momento fletor atuante, ou seja, com a estrutura sem sobrecarga acidental. Com isso
pode-se afirmar que a peça não está verificada em relação a descompressão na
condição biapoiada com vão de 5,00 metros, pois há tensões de tração na seção
transversal.
Para a vigota na condição contínua com vãos duplos de 𝑙=5,00 metros, nesse
caso também teremos dois valores de momento fletor. Um para os esforços de flexão
que atuam antes da solidarização dos concretos "M1" e outro para os esforços de
flexão que atuam após a solidarização do concreto "M2". Para a situação de momento
mínimo a carga acidental q é considerada inexistente.
M1 =∑(Mg1 +Mg2 +Mg3)kNm ∴ M1 = 1,44 kNm
M2 =∑(Mg4 + ψ1 Mq )kNm ∴ M2 = 1,75 kNm
Assim as tensões na borda superior e inferior da viga ficam sendo dadas por:
Situação de momento máximo:
σs =79,49 kN
7,52 10−3 m2−79,49 kN 0,0055 m
1,016 10−4 m3+
1,44 kNm
1,033 10−4 m3+1,75 kNm
5,65 10−4 m3∴
σs = +23.304,70 kN/m²
σi =79,49 kN
7,52 10−3 m2+79,49 kN 0,0055 m
1,657 10−4 m3−1,44 kNm
1,759 10−4 m3−1,75 kNm
4,20 10−4 m3∴
σi = +855,81 kN/m²
25
Com os valores acima é possível perceber que os limites (σ = 0) e
(+ 28.000,00 kN/m²) não são ultrapassados pelas tensões (+855,81 kN/m²) e
(+23.304,70 kN/m²) no estado limite de descompressão para a situação de máximo
momento fletor atuante, ou seja, com a estrutura em uso. Com isso pode-se afirmar
que a peça está verificada em relação a descompressão na condição contínua com
vãos duplos de 5,00 metros, pois não há tensões de tração na seção transversal.
Situação de momento mínimo:
σs =79,49 kN
7,52 10−3 m2−79,49 kN 0,0055 m
1,016 10−4 m3+
1,44 kNm
1,033 10−4 m3+1,05 kNm
5,65 10−4 m3∴
σs = +22.065,76 kN/m²
σi =79,49 kN
7,52 10−3 m2+79,49 kN 0,0055 m
1,657 10−4 m3−1,44 kNm
1,759 10−4 m3−1,05 kNm
4,20 10−4 m3∴
σi = −2.522,48 kN/m²
Com os valores acima é possível perceber que o limite (σ = 0) é ultrapassado
pela tensão (−2.522,48 kN/m²) na borda inferior no estado limite de descompressão
para a situação de mínimo momento fletor atuante, ou seja, há tensões de tração na
seção transversal. Em relação ao limite (+ 28.000,00 kN/m²), esse é respeitado pela
tensão (+22.065,76 kN/m²) não havendo tensões de tração na borda superior. Com
isso pode-se afirmar que a peça não está verificada em relação a descompressão na
condição contínua com vãos duplos de 5,00 metros, pois não há tensões de tração na
seção transversal.
4.5 . Verificação da Vigota Durante a Fase de Construção
Durante essa fase a vigota deve ser capaz de absorver os seguintes
carregamentos; peso próprio, peso do concreto moldado no local, peso do material de
enchimento e principalmente o peso da sobrecarga de execução que conforme a
26
norma espanhola já apresentada anteriormente deve ser de 1kN/m². Além disso o
coeficiente de segurança global γf não pode ser menor que 1,2. As verificações para
a fase de construção serão realizadas considerando a força de protensão P0, sendo o
mais correto utilizar a força considerando as perdas de protensão até a fase de
execução da laje. O valor dessa força já foi determinado anteriormente na verificação
do estado em vazio, sendo: NP = 96,82 kN.
Para os limites de tensões, levando em consideração estar a favor da
segurança serão considerados os mesmos da verificação em vazio, sendo dados por:
{limite de tração: − 1,2 fct,m,j = − 3.070,00 kN/m²
limite de compressão: + 0,7fck,j = + 17.500,00 kN/m²
Conforme a recomendação de CARVALHO (2017) o espaçamento máximo
entre escoras deve ser de no máximo 2 metros o que condiz também com as
recomendações emitidas por ALMEIDA (1998) e, onde se utiliza a relação de vãos
para escoramento de 0,4l – 0,2l – 0,4l. A tabela abaixo apresenta os valores de
momentos fletores máximo. Os valores dos momentos fletores para ambas as
condições estão na tabela 03 abaixo.
Tabela 03: Quadro de carregamentos e momentos fletores na fase construtiva.
Fonte: Elaborado pelos autores.
Conforme apresentado no item “verificações” as tensões normais na seção
transversal das peças serão determinadas com base nas equações clássicas da
resistência dos materiais.
27
σs =Np
ACVP−Np ep
Ws,CVP±
M
Ws,HVP
σi =Np
ACVP+Np ep
Wi,CVP∓
M
Wi,HVP
Para a vigota na condição biapoiada com o vão 𝑙=5,00 metros, as tensões na
borda superior e inferior da viga ficam sendo dadas por:
σs =96,82 kN
7,52 10−3 m2−96,82 kN 0,0055 m
1,016 10−4 m3−1,2 0,39 kNm
1,033 10−4 m3∴ σs = +3.103,26 kN/m²
σi =96,82 kN
7,52 10−3 m2+96,82 kN 0,0055 m
1,657 10−4 m3+1,2 0,39 kNm
1,759 10−4 m3∴ σi = +18.749,30 kN/m²
Com os valores acima é possível perceber que os limites (− 3.070,00 kN/m²) e
(+ 17.500,00 kN/m²) não são ultrapassados pelas tensões (+3.103,26 kN/m²) e
(+18.749,30 kN/m²). Com isso pode-se afirmar que a peça está verificada em relação
a fase construtiva na condição biapoiada com vão de 5,00 metros e duas linhas de
escoramento.
Para a vigota na condição contínua com vãos duplos de 𝑙=5,00 metros, as
tensões na borda superior e inferior da viga ficam sendo dadas por:
σs =96,82 kN
7,52 10−3 m2−96,82 kN 0,0055 m
1,016 10−4 m3−1,2 0,42 kNm
1,033 10−4 m3∴ σs = +2.754,76 kN/m²
σi =96,82 kN
7,52 10−3 m2+96,82 kN 0,0055 m
1,657 10−4 m3+1,2 0,42 kNm
1,759 10−4 m3∴ σi = +18.953,30 kN/m²
Com os valores acima é possível perceber que os limites (− 3.070,00 kN/m²) e
(+ 17.500,00 kN/m²) não são ultrapassados pelas tensões (+2.754,76 kN/m²) e
(+18.953,30 kN/m²). Com isso pode-se afirmar que a peça está verificada em relação
a fase construtiva na condição contínua com vãos duplos de 5,00 metros e duas linhas
de escoramento em cada vão.
28
CONCLUSÃO
Neste trabalho procurou-se fazer uma avaliação do comportamento estrutural
de lajes pré-fabricadas formadas por vigotas tipo trilho protendidas mediantes os
critérios de projeto propostos pelas principais normas técnicas relativas ao assunto.
Esse estudo foi realizado por meio da comparação entre uma laje na condição
biapoiada e outra na condição contínua. Os vãos utilizados foram simples e duplos de
5,00 metros.
O dimensionamento de uma laje usual com carregamentos e vãos
relativamente usuais foi realizado com base nos critérios apresentados e iniciou-se as
verificações necessárias em relação aos estados limites de serviço. Foram realizadas
as verificações relativas ao ELS-F (estado limite de formação de fissuras), ELS-D
(estado limite de descompressão) e fase de construção. Todas essas verificações
foram realizadas para a condição biapoiada e contínua e para o máximo e o mínimo
momento fletor em toda a peça. A partir disso, fez-se a análise teoria dos resultados
das tensões normais atuantes na seção transversal mais solicitada, chegando às
seguintes conclusões:
✓ Para a verificação da vigota isolada no estado em vazio com vão de 5,00
metros não há problemas em relação aos limites de tensões normais de
tração e compressão impostos pela norma.
✓ Em relação ao estado limite de formação de fissuras, a vigota biapoiada
com vão de 5,00 metros apresentou valores que ultrapassaram os limites
estabelecidos de tensões normais, tanto para a situação de máximo como
para a situação de mínimo momento fletor. Esse problema pode ser
resolvido de algumas maneiras, como por exemplo: a) Utilizar armadura
passiva para controlar as tensões de tração existentes. b) Diminuir a
armadura de protensão de modo que não haja tensão ou que seu valor seja
limitado. c) Utilizar armadura de protensão na zona tracionada. d) Aumentar
o fck do concreto. Para a vigota na condição contínua, com vãos duplos de
5,00 metros, na seção mais solicitada as tensões normais não
ultrapassaram os limites estabelecidos pela norma, o que garante que
nessa condição não há possibilidade de formação de fissuras. Isso pode se
29
dá ao fato de uma melhor redistribuição dos momentos fletores ao longo da
peça.
✓ Para o estado limite de descompressão a vigota biapoiada com vão de 5,00
metros também apresentou valores que ultrapassaram os limites
estabelecidos de tensões normais, tanto para a situação de máximo como
para a situação de mínimo momento fletor. Esse problema pode ser
resolvido com um aumento do fck do concreto. Para a vigota na condição
contínua, com vãos duplos de 5,00 metros, na seção mais solicitada apenas
na situação de momento fletor mínimo temos a existência de tensões de
tração, porém não muito elevadas que podem ser corrigidas com o emprego
de armadura passiva.
✓ Em relação a verificação na fase construtiva ambas as vigotas atenderam
os limites de tensões estabelecidos. Não apresentando tensões normais de
tração ou compressão excessivas, para o caso de utilização de duas linhas
de escoras.
Uma verificação prévia realizada com a diminuição da armadura de protensão
e uma nova verificação pode ser feita para diminuir as tensões normais na seção
transversal da vigota biapoiada. Porém seria necessário também uma verificação de
sua segurança em relação ao estado limite último de solicitações normais e
tangenciais. A elaboração de um quadro com os vãos máximos possíveis de serem
atingidos respeitando os critérios dos estados limites de serviços e últimos também
pode ser apresentado. Uma outra verificação que pode ser realizada e não menos
importante que poderia ser feita diz respeito a verificação de transporte e montagem
da viga, tendo em vista que se trata de um elemento pré-fabricado que irá ser
produzido em um outro local diferente de sua utilização.
30
REFERÊNCIAS
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Estruturas de Concreto - Procedimento. Rio de Janeiro, 2014a. 238 p.
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fabricada - Requisitos. Parte 1 - Lajes Unidirecionais. Rio de Janeiro, 2002. 16 p.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6120: Ações para o
cálculo de Estrutura de edificações - Procedimento. Rio de Janeiro, 2019. 66 p.
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tração - Cálculo e detalhamento. 2 ed, Pini, 2017. 448 p.
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Products - Beam-and-Block Floor systems, Part 1: Beams. Brussels, 2008.
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Vigotas Pré-Tensionadas. Porto: Feup Edições, 2005. 273 p.
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moldados tipo vigota com armação treliçada. Dissertação (Mestrado). Escola de
Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. São Carlos, SP. 1999.
MERLIN, Andrei José. Momentos Fletores Negativos nos Apoios de Lajes
Formadas por Vigotas de Concreto Protendido. 2002. 156 f. Dissertação
(Mestrado) - Curso de Engenharia Civil, Engenharia de Estruturas, Escola de
Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo, São Carlos, 2002.
VASCONCELOS, Augusto Carlos de. Manual Prático para a Correta Utilização dos
Aços no Concreto Protendido: Em obediência as normas atualizadas. Ltc, 1980. 64
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