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Análisis de Imágenes Digitales
Filtros espaciales suavizantes
Dr. Wilfrido Gómez Flores
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Introducción
paso bajo paso alto paso banda
rechaza banda
Filtrado es un concepto tomado del procesamiento en el dominio de la frecuencia.Se re�ere a pasar, modi�car o rechazar componentes de frecuencia especí�casde una imagen. Los grá�cos ilustran los diferentes tipos de �ltros existentes deacuerdo con las componentes de frecuencia que preservan.
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Introducción
El �ltrado espacial modi�ca una imagen reemplazando el valor de cada píxelpor una función de los valores de el píxel y sus vecinos. Un �ltro espacial utilizauna ventana (máscara o kernel) que se desplaza píxel por píxel generando unaimagen �ltrada. El origen del �ltro se ubica sobre la coordenada (x, y) del píxelque será modi�cado. Un �ltro espacial puede ser lineal o no lineal.
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Filtros lineales
Un �ltro lineal realiza una suma de productos entre una imagen f y una ventanade �ltro w. El tamaño de w (m × n) de�ne el vecindario y sus coe�cientesdeterminan la naturaleza del �ltro. En este ejemplo, el píxel modi�cado es
g(x, y) = w(−1,−1)f(x−1, y−1)+. . .+w(0, 0)f(x, y)+. . .+w(1, 1)f(x+1, y+1)
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Filtros lineales
Paso bajo Paso alto Paso banda
Secciones transversales de �ltros espaciales lineales típicos. El �ltro paso bajosgeneralmente se usa para reducción de ruido, mientras que el �ltro paso alto esutilizado para detección de bordes. El �ltro paso banda comúnmente se utilizapara el realce de características como las texturas.
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Filtros lineales
La convolución espacial es sinónimo de �ltrado lineal espacial:
w ∗ f(x, y) =
a∑s=−a
b∑t=−b
w(s, t)f(x− s, y − t) (1)
para x = 0, 1, . . . ,M − 1 y y = 0, 1, . . . , N − 1, y a = (m− 1)/2
y b = (n− 1)/2 asumiendo que m y n son enteros impares.
El signo menos alinea las coordenadas de f y w cuando una de
las funciones es rotada 180◦; por convención, w se rota.
Si w no se rota, se obtiene la correlación espacial :
w ∗◦f(x, y) =
a∑s=−a
b∑t=−b
w(s, t)f(x+ s, y + t) (2)
Si w es simétrico con respecto al origen, entonces convolución y
correlación obtienen el mismo resultado.5/31 Filtros espaciales suavizantes AID-03
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Filtros lineales
La función f representa un impulso unitario discreto. Para evitar operacionesinde�nidas en los bordes de f , se realiza un zero-padding. La convolución generauna copia exacta de w sin rotar (respuesta al impulso), mientras que con lacorrelación se obtiene una copia de w rotada 180◦.
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Filtros lineales
La convolución genera una copia exacta de w sin rotar.
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Filtros lineales
La correlación genera una copia rotada 180◦ de w.
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Filtros lineales
Algunas propiedades importantes de la convolución. La correlación solosatisface la propiedad distributiva.
Propiedad Expresión
Conmutativa f ∗ g = g ∗ fAsociativa f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ hDistributiva f ∗ (g + h) = (f ∗ g) + (f ∗ h)
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Filtros lineales
Convoluciones en secuencia: w = w1 ∗ w2 ∗ . . . ∗ wK .
Una ventana es separable si w = vwT , donde v y w son vectores
de tamaño m× 1 y n× 1, respectivamente.
Si w puede descomponerse en dos ventanas tal que w = w1 ∗w2:
w∗f = (w1∗w2)∗f = (w2∗w1)∗f = w2∗(w1∗f) = (w1∗f)∗w2 (3)
Ventaja computacional de ventanas separables:
C =MNmn
MN(m+ n)=
mn
m+ n(4)
donde el numerador es el número de operaciones para una ventana
no separable, y el denominador para una ventana separable.
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Filtros lineales suavizantes
Los �ltros suavizantes son utilizados para reducir ruido y borrar
detalles irrelevantes en una imagen.
La suma de los coe�cientes de la ventana debe ser la unidad para
evitar introducir un sesgo en el �ltrado.
El �ltro paso bajos más simple calcula la media de los vecinos de
el píxel f(x, y):
g(x, y) =
∑(s,t)∈w
f(s, t)∑(s,t)∈w
w(s, t)(5)
y se denomina �ltro promedio o �ltro de caja.
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Filtros lineales suavizantes
La ventana de un �ltro promedio se implementa como:
w =1
mn
1 2 ··· m
1 1 · · · 1 1
1 1 · · · 1 2
......
. . ....
...
1 1 · · · 1 n
(6)
Forma separable: w = vwT donde
v =1
m· [1, 1, . . . , 1]T y w =
1
n· [1, 1, . . . , 1]T
son vectores de tamaño m× 1 y n× 1, respectivamente.
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Filtros lineales suavizantes
(a) (b)
(c) (d)
(a) Imagen original de 500 × 500. Resultados del �ltro paso bajo promedio detamaño: (b) 5× 5, (c) 11× 11, y (d) 21× 21.
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Filtros lineales suavizantes
Una alternativa al �ltro promedio es el �ltro de media geométrica:
g(x, y) =
∏(s,t)∈w
f(s, t)
1mn
(7)
= exp
∑(s,t)∈w
log f(s, t)
1mn
(8)
Por conveniencia, la imagen f debe estar en el rango (0, 1] para
evitar sumas muy grandes.
Tiene mejor desempeño que el �ltro promedio en la preservación
de detalles �nos de los objetos.
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Filtros lineales suavizantes
(a) Imagen original con ruido Gaussiano. (b) Filtro promedio de tamaño 3 × 3.(c) Filtro de media geométrica de tamaño 3× 3.
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Filtros lineales suavizantes
El �ltro Gaussiano es un �ltro isotrópico, esto es, su respuesta es
independiente de la orientación:
w(s, t) =1
k· exp
(−s
2 + t2
2σ2
),
s = − (m−1)2 , . . . , (m−1)2
t = − (n−1)2 , . . . , (n−1)2
(9)
donde σ2 es la varianza y k es la suma de todos los coe�cientes
en la ventana que garantiza∑
(s,t)∈w w(s, t) = 1.
Forma separable:
w(r) =1
k· exp
(− r2
2σ2
)(10)
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Filtros lineales suavizantes
0
2
3
10-3
2
4
1 30 21-1
6
0-2 -1-3 -2-3
03
2
2 3
4
10-3
1 2
6
0 1
8
0-1-1-2 -2
-3 -3
Original Filtro promedio Filtro Gaussiano
Desempeños del �ltro promedio versus �ltro Gaussiano.
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Filtros lineales suavizantes
Efecto del tamaño del �ltro Gaussiano m×m y el valor de σ.
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Filtros con estadísticos de orden
Filtros con estadísticos de orden � basados en el ordenamiento de
los píxeles contenidos en una región w.
Suavizado � el valor del píxel central en w se reemplaza por un valor
determinado por el resultado del ordenamiento: mínimo, máximo,
mediana, etc.
Filtro de mediana � reemplaza el valor del píxel central por el valor
de la mediana del vecindario (percentil 50):
g(x, y) = mediana(s,t)∈w
{f(s, t)} (11)
donde w es una ventana de tamaño m× n.
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Filtros con estadísticos de orden
(a) (b)
El �ltro de mediana es particularmente efectivo cuando el patrón de ruido consistede componentes atípicas (ruido impulsivo) y se desea preservar la agudeza de losbordes. En la mitad izquierda: (a) ruido sal y pimienta, y (b) ruido Gaussiano, yen la mitad derecha efecto de una ventana de tamaño 3× 3.
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Filtros con estadísticos de orden
El �ltro de mediana híbrido obtiene información de diferentes direc-
ciones espaciales: D�diagonal, R�vertical y horizontal, y C�central.
El píxel central se remplaza con la mediana de las medianas de cada
dirección:
g(x, y) = mediana {mediana(D),mediana(R),C} (12)
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Filtros con estadísticos de ordenR
uid
o s
al y p
imie
nta
Filtro mediana 5x5 Filtro mediana hibrido 5x5
Ru
ido
Ga
ussia
no
El �ltro mediana híbrido preserva mejor la agudeza de los objetos.
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Filtro de difusión
Cuando existen componentes de ruido en diferentes escalas, un
solo �ltro puede no ser efectivo.
Se puede utilizar un banco de �ltros Gaussianos con σ creciente
aplicados sucesivamente a la imagen (scale-space).
Imagen ruidosa
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Filtro de difusión
Imagen ruidosa Un solo filtro Banco de filtros
Izquierda: imagen contaminada con ruido Gaussiano. Centro: imagen �ltrada conun solo �ltro Gaussiano con σ = 5, aun se mantienen componentes ruidosas.Derecha: imagen �ltrada con un banco �ltros Gaussiano con σ = [1, 1.5, . . . , 5],aunque se logra reducir el ruido la imagen se ha perdido agudeza en los detalles.
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Filtro de difusión
Aplicar sucesivamente �ltros Gaussianos equivale a resolver la
ecuación de difusión lineal:I(x, y, 0)= I0(x, y)
∂I(x,y,t)∂t = ∇2I(x, y, t)
(13)
donde ∇2I = ∇ · ∇I es el operador Laplaciano.
En física: la temperatura de un cuerpo se tiende a uniformizar a
medida que pasa el tiempo.
En imágenes: los niveles de intensidad tienden a ser uniformes
dentro de regiones homogéneas.
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Filtro de difusión
Discretización de (13) para cuatro vecinos:
It+1i,j = Iti,j + 1
4 [∇NI +∇SI +∇W I +∇EI]ti,j (14)
donde ∇ indica gradiente de la imagen I en las direcciones N (arri-
ba), S(abajo), W (izquierda) y E (derecha):
∇NI = Ii−1,j − Ii,j ∇EI = Ii,j+1 − Ii,j∇SI = Ii+1,j − Ii,j ∇W I = Ii,j−1 − Ii,j
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Filtro de difusión anisotrópico
Problema � cuando t→∞, se reduce más ruido aunque la ima-
gen se distorsiona por `emborronamiento'.
Solución � detener la difusión en los bordes de los objetos para
evitar emborronarlos:
∂I(x, y, t)
∂t= ∇ · [g (∇I)∇I] (15)
donde g(·) es una función de conducción:
g (∇I) =1
1 +(|∇I|2κ2
) (16)
donde κ es una constante que controla la extensión de la difusión.
g → 0 sobre los bordes y g → 1 en regiones homogéneas.
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Filtro de difusión anisotrópico
Discretizando (15) se obtiene el �ltro de difusión anisotrópico:
It+1i,j = Iti,j + λ [gN · ∇NI + gS · ∇SI + gW · ∇W I + gE · ∇EI]ti,j
(17)
dondegN = g (∇NI) gE = g (∇EI)
gS = g (∇SI) gW = g (∇W I)
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Filtro de difusión anisotrópico
Comparativo de imágenes con ruido Gaussiano e imágenes �ltradas con difusiónanisotrópico: κ = 2, λ = 0.1 y tmax = 300.
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Medidas de desempeño
La estimación de la potencia de ruido cuanti�ca la degradación de
una imagen original con respecto a su versión contaminada.
El desempeño de un �ltro se puede medir en términos de la esti-
mación de la potencia de ruido en decibelios:
PSNR = 10 · log10
max (f(x, y))2
1MN
M−1∑x=0
N−1∑y=0
[f(x, y)− g(x, y)]2
(18)
SNR = 10 · log10
M−1∑x=0
N−1∑y=0
f(x, y)2
M−1∑x=0
N−1∑y=0
[f(x, y)− g(x, y)]2
(19)
donde f es la imagen de referencia y g es la imagen degradada.
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Medidas de desempeño
La cantidad de ruido también se puede medir como el error que se
introduce a la imagen original:
MSE =1
MN
M−1∑x=0
N−1∑y=0
[f(x, y)− g(x, y)]2
(20)
MAE =1
MN
M−1∑x=0
N−1∑y=0
|f(x, y)− g(x, y)| (21)
(a) (b) (c)
(a) Imagen referencia, (b) imagen ruidosa: 17 dB/23 dB/302/13 y (c) imagen�ltrada: 22 dB/28 dB/96/6 (SNR/PSNR/MSE/MAE).
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