annals of the oradea university. fascicle of management ... · 2 v = v s +v d (1) b ω= v s −v d...
TRANSCRIPT
MODELAREA MINI ŞI MICROROBOŢILOR PE ROŢI
Olimpiu TĂTAR, Dan MÂNDRU, Rareş CRIŞAN Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, Facultatea de Mecanică
Catedra: Mecanisme, Mecanică Fină şi Mecatronică, 400641, Cluj-Napoca, B-dul Muncii 103-105, e-mail: [email protected]
Abstract: A wheeled mobile robot is a robot capable of locomotion on a surface solely through the actuation of wheel assemblies mounted on the robot and in contact with the surface. The wheel assembly provides relative motion between its mount and a surface on which it is intended to have a single point of rolling contact. In this paper the kinematic model of the mobile mini/microrobots with two and three wheels is presented. The dynamic model of the mobile mini/microrobots with four wheels is given using a simplified model with two wheels. 1. MODELUL CINEMATIC AL MIN/MICROROBOŢILOR CU DOUĂ ROŢI MOTOARE
Un sistem clasic de locomoţie, în cazul microroboţilor, este constituit din două roţi
acţionate de către un motor, stabilitatea putând fi asigurată de unul sau două elemente de rulare sferice (fig. 1a), [5]
În cazul unui solid rigid, ecuaţiile de configurare sunt complet definite de următorul vector: [ ]Tyxq θ= , unde (x, y) sunt coordonatele unui punct fix al solidului rigid iar θ reprezintă orientarea sistemului de axe mobil al solidului rigid, faţă de un sistem fix.
Această analogie s-a utilizat pentru microrobotul ce rulează pe o suprafaţă plană, din figura 1b. Configuraţia microrobotului este astfel definită de coordonatele punctului M(x, y,) – originea sistemului mobil (dispusă la mijlocul axei roţilor motoare) şi de unghiul de orientare θ.
Axa MYm a sistemului de coordonate mobil trece prin centrul roţiilor, vitezele vs şi vd corespunzătoare roţilor din stânga şi din dreapta sunt paralele cu axa MXm şi viteza v a microrobotului are direcţia axei MXm.
În aceste condiţii, viteza liniară v şi unghiulară ω ale microrobotului, sunt date de următoarele relaţii, [6]:
a) b) Fig. 1 Microrobot mobil cu două roţi motoare
ANNALS of the ORADEA UNIVERSITY.
Fascicle of Management and Technological Engineering
442
2ds vvv +
= (1)
bvv ds −=ω (2)
Dacă se ţine seama că vs = r ωs şi vd = r ωd, r fiind razele roţilor, relaţiile de mai sus devin:
( )dsrv ωω +=2
(3)
( )dsbr ωωω −= (4)
cu
30s
ssnπ
θω == & ; 30
ddd
nπθω == & (5)
unde ns şi nd sunt turaţiile dezvoltate de motoarele celor două roţi. Relaţiile (3) şi (4) pot fi scrie şi sub formă matricială astfel:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
d
s
br
br
rrv
θθ
ω &
&22 (6)
Dacă se cunosc viteza liniara v şi viteza unghiulară ω ale microrobotului, utilizând relaţiile (1) şi (2), se pot deduce vitezele pentru roţile din stânga şi din dreapta, astfel:
2bvvs
ω+= , (7)
2bvvd
ω−= . (8)
Proiecţiile vitezei pe axele sistemului de coordonate fix sunt: θcosvvx x ==& (9) θsinvvy y ==&
sau sub forma matricială, vitezele se pot scrie astfel:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ωθθ
θ
vyx
1000
sincos
&
&
&
(10)
se observă că q& se poate scrie sub forma uqJq )(=&
unde [ ]Tvv
u ωω
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= şi
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100sin0cos
)( θθ
qJ - reprezintă Jacobianul microrobotului.
La toate aceste relaţii se mai adaugă constrângerea neolonomă dată prin ecuaţia: 0=− θtgxy && . (11)
2. MODELUL CINEMATIC AL MINI/MICROROBOŢILOR CU TREI ROŢI
Se consideră modelul mini/microrobotului pe trei roţi, având configuraţia din figura
2. Şi în acest caz constrângerile cinematice neolonome sunt date de ecuaţia:
0θcosθsin ss =− yx && ; ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
sRlarctgsθ (12)
ANNALS of the ORADEA UNIVERSITY.
Fascicle of Management and Technological Engineering
443
Raza minimă de rotaţie Rs depinde de unghiul de rotaţie al roţii din faţă sθ şi de distanţa dintre roţi l. Dacă roţile din spate se rotesc în direcţii opuse cu aceeaşi viteză şi unghiul de rotaţie al roţii din faţă este o90±=sθ , minirobotul se va roti în jurul punctului C.
Din analiza figurii 2 se poate obţine viteza fiecărei roţi în funcţie de b, l, vc, sθ astfel:
sc tg
lrθ
= (13)
din geometria figurii, rezultă relaţia: 22
222 ltg
llrRs
cs +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+=
θ, deci:
ss tg
lRθ2
11+= . (14)
Viteza punctului C este dată de relaţia:
2)(
2rvvv dsds
cωω +
=+
= , (15)
unde: rv ss ω= ; rv dd ω= şi r - raza roţilor.
Viteza fiecărei roţi se poate determina şi astfel:
)2()( scodooo
dods vvbvbvbrbv −+=+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+= ωωωω
ω (16)
unde s
co tgL
vθ
ω = ,
astfel, se obţine:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+= 1
2 scs tgl
bvvθ
, (17)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
scd tgl
bvvθ2
1 (18)
l
C
R SO
rdrcrs
b
vs
vd
vc
2s
To
2s
C’x
y
Fig. 2 Mini/microrobot pe trei roţi
ANNALS of the ORADEA UNIVERSITY.
Fascicle of Management and Technological Engineering
444
3. MODELUL DINAMIC AL MINI/MICROROBOŢILOR CU ROŢI
Se consideră cazul unui microrobot cu patru roţi şi modelul său simplificat cu două roţi (fig. 3). Ecuaţiile de mişcare ale microrobotului sunt [6]:
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
+=
sd
sd
FFbdtdI
FFdtdvm
2ω (19)
unde s-au folosit notaţiile: m – masa microrobotului, I - momentul de inerţie al microrobotului, Fd, Fs - forţele generate de roţile din dreapta şi respectiv din stânga.
Dacă considerăm că nu există alunecare între roţi şi suprafaţa de rulare, vitezele liniare şi unghiulare se determină cu relaţiile (3) şi (4).
Forţa care este dezvoltată de fiecare roată se poate exprima în funcţie de cuplul motor, care la rândul său se poate exprima în funcţie de tensiunea de alimentare a motorului, în cazul acţionării cu motoare de curent continuu, prin următoarele relaţii, obţinute astfel:
Se înlocuieşte în ecuaţia de echilibru mecanic: rrmdm
rm MKIM ++= ωε , (20)
momentul de inerţie redus determinat cu relaţia (fig. 4):
Rmr I
iII 2
1+= , (21)
şi momentul rezistent redus:
)(11flfrr
rr MMrF
iM
iM ++⋅== , (22)
în care momentul de frecare din lagărul dispus între reductor şi roată Mfl este [2 ]:
raara
afl Dh
rrbrhvArFM ω
ωπη ⋅===⋅=
2 (23)
unde η – este vâscozitatea dinamică a lubrifiantului, ra – raza arborelui roţii, b – lăţimea lagărului, h – grosimea filmului de lubrifiant, A – aria suprafeţei de contact şi
r
m
r
miωω
ωω
&
&== . Astfel, se obţine expresia momentului motor:
( ) iKDsFrFIi
iIM rdrNrRrmm ωωωω ++++++= &&1 , (24)
Fig. 3 Microrobot pe patru roţi – model simplificat
la două roţi dispuse lateral
ANNALS of the ORADEA UNIVERSITY.
Fascicle of Management and Technological Engineering
445
neglijând momentul de amortizare datorat pierderilor de câmp magnetic şi frecărilor vâscoase din lagăre - ωdK , rezultă:
( )NrrRrmm sFrFDIi
iIM ++++= ωωω &&1 . (25)
Pentru cele două roţi stânga/dreapta se pot scrie relaţiile:
( )NddddRdmmd sFrFDIi
iIM ++++= ωωω &&1 (26)
( )NssssRsmms sFrFDIi
iIM ++++= ωωω &&1 . (27)
- Din ecuaţiile: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
++=
Amm
eA
AAAA
iKM
ωKdtdiLiRu
prin înlocuirea intensităţii iA în a doua
relaţie a sistemului se obţine:
rme
Am
m RiKKu
RKM ω−= (28)
Pentru cele două roţi se pot scrie relaţiile:
dme
dm
md RiKKU
RKM ω−= (29)
sme
sm
ms RiKKU
RKM ω−= (30)
unde: Mmd, Mms, - sunt valorile cuplului motor din dreapta respectiv stânga; i - este raportul de transmitere al reductorului . Im - este momentul de inerţie al rotorului motorului; IR - este momentul de inerţie al roţii; R - rezistenţa înfăşurării rotorului; Ke - constanta t.e.m; Km - constanta cuplului motor; Ud, Us - tensiunea aplicată motorului pentru roţile din stânga şi dreapta.
Viteza şi acceleraţia liniară ale microrobotului se pot determina şi utilizând relaţiile scrise sub forma matricială:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡θθ
sincos
vyx&
& (31)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡θθ
θθθ
cossin
sincos &&
&&
&&vv
yx
(32)
unde θω &= şi 22 yxv && += , rezultând după înlocuire:
Fig. 4 a) Ansamblu motor- b) Distribuţia forţelor şi momentelor -reductor-roată pe roata motoare
ANNALS of the ORADEA UNIVERSITY.
Fascicle of Management and Technological Engineering
446
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡θθ
sincos22 yx
yx
&&&
&. (33)
Adunând relaţiile (26), (27) şi (29), (30) şi egalându-le rezultă:
( ) ( )
sme
sm
dme
dm
NssssRsmNddddRdm
RKiKU
RK
RKiKU
RK
sFrFDIi
iIsFrFDIi
iI
ωω
ωωωωωω
−+−
=+++++++++ &&&&11
din această relaţie se determină Fs + Fd:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−++
++−++−=+
)()())(())((1 22
NsNdsdm
dsmedsRmds FFsUUiK
RDKKiIIiRrR
FFωωωω &&
(34)
care se va înlocui în expresia acceleraţiei:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡θθ
θθθ
cossin
sincos 22 &&&
&&
&&yx
mFF
yx ds (35)
În urma scăderii relaţiilor (26), (27) şi (29), (30) şi egalându-le rezultă expresia:
( ) ( )
sme
sm
dme
dm
sNsssRsmdNdddRdm
RKiK
UR
KRKiK
UR
K
rFsFDIi
iIrFsFDIi
iI
ωω
ωωωωωω
+−−=
=+++−−++++ &&&&11
din care se obţine:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−
+−+−−+−=−
)()())(())((1 22
NsNdsdm
sdmesdRmsd FFsUUiK
RDKKiIIiRrR
FFωωωω &&
(36)
care se înlocuieşte în relaţia (19) pentru determinarea vitezei unghiulare:
)(2 sd FFI
b−== ωθ& . (37)
Dacă obstacolele sunt mai mari decât o dimensiune limită, roţile reprezintă un factor de limitare a mobilităţii. Acest dezavantaj este eliminat la mini şi microroboţii pe şenile, săritori, zburători sau cu sisteme de mixte de locomoţie.
CONCLUZII
Modelul cinematic prezentat, pentru mini şi microroboţii cu două roţi motoare, respectiv cu trei roţi, permite determinarea vitezelor liniare şi a vitezei unghiulare ale acestora. Modelul dinamic al mini/microroboţilor cu patru roţi are la bază reducerea la un model simplificat cu două roţi şi ecuaţiile electrice şi mecanice şi ale motoarelor de curent continuu. BIBLIOGRAFIE [1] CIOBANU, L., 2002 - Sisteme de roboţi celulari, Editura Tehnică, Bucureşti. [2] DEMIAN, T., 1980, - Elemente constructive de Mecanică Fină, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti. [3] HONG, D.,ş.a., 1999, - Verification of a Wheeled Mobile Robot Dynamic Model and Control Ramification, Journal of Dynamic System, Measurement, and Control, March, Vol. 121, pp. 58-63. [4] Mc KERROW, P. J., 1990 - Introduction to Robotics, Addison-Wesley Publishing Company, Sydney. [5] TĂTAR, M.O, ş.a,. 2001 – The Kinematic Modelling of Wheeled Mini and Microrobots, The Eighth IFToMM International Symposium on Linkages and Computer Aided Design Methods - Theory and Practice of Mechanisms SYROM 2001, Bucureşti, pp. 321 – 326. [6] TĂTAR, M.O., 2004 – “Studii şi cercetării privind sistemele de acţionare ale microroboţilor”, Teză de doctorat, Conducător ştiinţific: Prof.dr.ing. Viorel Handra-Luca, Prof. dr. ing. Vistrian Mătieş, Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca.
ANNALS of the ORADEA UNIVERSITY.
Fascicle of Management and Technological Engineering
447