apostila civ 105.pdf
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Universidade Federal de Ouro Preto
Escola de Minas
Departamento de Engenharia Civil
Resistência dos Materiais Ι
Jaime Florencio Martins
Professor Associado – DECIV
Ouro Preto, Agosto/ 2014
ALFABETO GREGO
Nome moderno Nome clássico Minúsculas Maiúsculas
Alfa Alfa α Α Vita Beta β Β Gama Gama γ Γ Delta Delta δ ∆ Epsilo Èpsilón ε Ε Zeta Dzeta ζ Ζ Ita Eta η Η Tita Theta θ Θ Iota Iota ι Ι Capa Capa κ Κ Landa Lambda λ Λ Mi Mü µ Μ Ni Nü ν Ν Xi (csi) Xi (csi) ξ Ξ Ômicron Òmicrón ο Ο Pi Pi π Π Rô Ró ρ Ρ Sigma Sigma σ Σ Tau Tau τ Τ Ípsilon Üpsilón υ Υ Fi Fi φ Φ Khi Khi χ Χ Psi Psi ψ Ψ Ômega Omega ω Ω
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Capítulo 1 – Generalidades
1.1 – Objetivos da Resistência dos Materiais: É a ciência que estuda as tensões e
deformações que ocorrem nos sólidos, provenientes de forças externas a eles aplicadas.
A Resistência dos Materiais também é conhecida como Mecânica dos Materiais ou
Mecânica dos Sólidos.
Sólido: é um estado da matéria que tem volume e forma definidos.
Fluido: Substância liquida ou gasosa que não tem resistência ao cisalhamento. Os fluidos
tomam a forma do recipiente em que está colocado.
1.2- Histórico da Resistência dos Materiais
Madeira: Pela sua disponibilidade e propriedades foi um dos primeiros materiais utilizados
pelo homem para construir. As primeiras pontes surgiram de forma natural pela queda de
árvores sobre os rios ou vales.
Ferro fundido: A fabricação do ferro fundido teve início na Ásia por volta de 1.500 a. C. O
ferro fundido oxida com facilidade.
Aço: Liga de ferro e carbono sendo o teor de carbono variando de 0,008% a 2,11%. Se o
teor de carbono da liga for maior do que 2,11% e menor do que 6,67% a liga é chamada
ferro fundido.
Os gregos Aristóteles e Arquimedes estabeleceram os princípios da estática. Os
romanos foram grandes construtores de templos, estradas e pontes. Usavam,
freqüentemente, arcos nas construções. Os egípcios tinham algumas regras empíricas
(baseadas na experiência) para construir templos e pirâmides.
Muito do conhecimento dos gregos, romanos e egípcios para análise de estruturas
foi perdido durante a idade média.
Leonardo da Vinci estudou a resistência de colunas experimentalmente. Galileu Galilei
foi o primeiro cientista a estudar a flexão de vigas. É considerado o pai do método
experimental e da Resistência dos Materiais.
1.3 – Definições:
a) Material dúctil: É um material que apresenta grandes deformações antes de se
romper e a resistência à tração é considerada igual à compressão. Ex.: aço doce
(aço de construção), alumínio.
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b) Material frágil: É um material que rompe bruscamente, sem aviso prévio, com
pequena deformação. A resistência à tração é diferente da resistência à
compressão. Ex.: aço para ferramentas, vidro, concreto, giz.
c) Corpo rígido: corpo que não se deforma quando solicitado por forças ou momentos.
d) Deslocamento de corpo rígido: deslocamento sem deformação.
e) Barra - placa – bloco
Barra: quando as duas dimensões da seção transversal são pequenas quando
comparadas com o comprimento longitudinal (L>> h ; L>> b). Exemplo: vigas.
Placa: quando uma dimensão (a espessura) é muito menor do que as outras duas
dimensões (L ≅ b ; L>> h). Exemplos: lajes e cascas.
Bloco: quando: L ≅ h ≅ b
f) Eixo da barra: uma barra pode ser representada pelo seu eixo que é o conjunto de
pontos dos centróides das seções transversais.
g) Barra prismática: barra de eixo reto e seção transversal constante.
1.4 - Estrutura: É a parte mais resistente de uma construção e tem a função de resistir às
cargas aplicadas. Em um edifício a estrutura é constituída pelas vigas, pilares, lajes e
fundação. Para o dimensionamento da estrutura deve-se levar em consideração a
economia e a segurança.
1.5 – Hipótese fundamental: a estrutura está em equilíbrio estático.
• Condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um ponto material no
espaço:
∑ = 0Fx
∑ = 0Fy
∑ = 0Fz
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• Condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido no espaço:
∑ = 0Fx ; ∑ = 0M x
∑ = 0Fy ; ∑ = 0M y
∑ = 0Fz ; ∑ = 0M z
1.6 - Apoios
Uma estrutura no espaço possui seis graus de liberdade, sendo três translações e
três rotações. A função dos apoios é retirar graus de liberdade, surgindo reações nas
direções dos movimentos impedidos.
• Apoios do primeiro gênero
• Apoios do segundo gênero (ou articulação ou rótula): Retiram dois graus de
liberdade, impedem o deslocamento em todas as direções e permitem a rotação.
• Apoios do terceiro gênero (ou engaste): Retiram três graus de liberdade, impedem o
deslocamento em todas as direções e impedem a rotação.
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1.7 – Estaticidade e estabilidade de estruturas planas carregadas no próprio plano
Para estruturas planas carregadas no próprio plano (plano xOy) as condições
necessárias e suficientes para o equilíbrio são três:
∑ = 0Fx ; ∑ = 0Fy ; ∑ = 0MO
onde “o”, na expressão do somatório de momentos, é qualquer ponto do plano da
estrutura.
Para as estruturas planas carregadas no próprio plano três casos podem ocorrer
com relação à estabilidade e estacidade:
1o caso: O número de reações de apoio é menor que o número de equações de equilíbrio
da estática (3). A estrutura é chamada hipostática e o equilíbrio é instável.
2o caso: O número de reações de apoio é igual ao número de equações de equilíbrio da
estática (3). A estrutura é chamada isostática e o equilíbrio é estável.
3o caso: O número de reações de apoio é maior que o número de equações de equilíbrio
da estática (3). A estrutura é chamada hiperestática e o equilíbrio é estável.
São três as equações de equilíbrio e a viga acima possui cinco reações de apoio,
então, a viga é duas vezes hiperestática.
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As três equações de equilíbrio da estática não são suficientes para calcularem-se as
reações de apoio das estruturas hiperestáticas. Além das três equações de equilíbrio são
necessárias outras equações que são obtidas conhecendo-se como a estrutura se deforma
(para impor condições de deslocamento e/ou de rotação).
Observação: Casos particulares:
A viga acima possui três reações, mas o equilíbrio é instável; a viga abaixo possui quatro
reações e o equilíbrio também é instável.
1.8 – Sistema de Unidades
Unidades básicas do Sistema Internacional
m (metro): para comprimento
quilograma (kg): para massa
segundo (s): para tempo
Unidades de força no SI (unidade derivada)
1 N = 1 kg.m/s2
Sistema inglês 1 polegada = 1 in = ||1 = 2,54 cm
1 pé (foot) = 1 ft = |1 = 12 in = 30,48 cm
1 libra = 453,59 gramas
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1.9 – Esforços externos: São os esforços aplicados nas estruturas e podem ser:
a) Concentrados
b) Distribuídos
Observação: a carga distribuída uniforme q (N/m) é calculada multiplicando-se o peso
específico (γ) pela área da seção transversal (A).
c) Estático: quando aplicado lentamente (sem impacto) e o seu valor não varia com o
tempo. Ex.: peso próprio de vigas.
d) Dinâmico: quando aplicado com impacto e o seu valor varia com o tempo. Ex.: efeito
do vento em edifícios altos, efeito das ondas do mar em uma plataforma, pontes.
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1.10- Esforços internos: Os esforços externos produzem esforços internos que são em
número de quatro.
• Força normal (N)
• Força cortante (V)
• Momento fletor (M)
• Momento de torção ou torque (T)
• Força normal (N) → é a força normal (perpendicular) a uma área. A força normal pode
ser de tração ou compressão.
Fazendo-se um corte imaginário na barra tracionada, tem-se:
Por considerações de equilíbrio das partes recortadas: N = N|
N = esfoço externo e N| = esforço interno
• Força cortante (V) → é a força que está contida em uma seção transversal.
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• Momento fletor (M) → é o momento de uma força que produz flexão em uma barra.
Fazendo-se um corte imaginário na barra solicitada por um momento fletor positivo:
Por considerações de equilíbrio das partes recortadas: M = M|
M = esfoço externo e M| = esforço interno
Observação: Força vertical com o sentido para cima produz momento fletor positivo
(traciona em baixo). Força vertical com o sentido para baixo produz momento fletor
negativo (traciona em cima).
• Momento de torção ou torque (T) → é o momento de uma força que produz torção
em uma barra.
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Não existe convenção de sinais para o momento de torção.
1.11 – Exemplos de estruturas
a) Treliças: As treliças ideais são formadas por barras, as extremidades são rotuladas
e o carregamento atua nas rótulas (chamadas nós). As barras das treliças ideais
estão solicitadas apenas por forças normais (tração ou compressão).
OBS.: O contraventamento permite que a treliça resista aos esforços horizontais como, por
exemplo, a ação do vento.
Tirante: elemento estrutural que trabalha à tração.
Escora: elemento estrutural que trabalha à compressão.
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b) Vigas: As vigas estão solicitadas, geralmente, por momento fletor e força cortante.
Qualquer parte ou ponto de uma estrutura em equilíbrio também está em equilíbrio.
Fazendo-se um corte imaginário na viga acima, os esforços que eram internos tornam-
se externos e devem equilibrar a parte recortada.
c) Pórticos (ou quadros) planos carregados no próprio plano: Estas estruturas estão
solicitadas por força normal, força cortante e momento fletor (torção é igual a zero).
No pórtico (a) têm-se cinco (5) reações de apoio, portanto, este pórtico é duas vezes
hiperestático. O pórtico (b) também tem cinco reações de apoio, mas possui uma rótula a
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mais. Impondo-se que o momento fletor nesta rótula é nulo, obtém-se mais uma equação.
Desta forma, o pórtico (b) é uma vez hiperestático. As rótulas transmitem força, mas não
transmitem momento fletor.
c) Grelhas: O carregamento nas grelhas é perpendicular ao seu plano. As grelhas
estão solicitadas por momento fletor, força cortante e torção (força normal é igual a
zero).
1.12 – Exemplos de vigas isostáticas
12
1.13 – Relação entre momento fletor e força cortante
de onde: Vdx
dM0VdxdM =→=+−
qdx
dV0)dVV(qdxV0FY −=→=+−−→=⊕↑ ∑
Derivando-se a relação entre M e V em relação a x, tem-se:
qdx
Md
dx
dV
dx
Md2
2
2
2
−=→=
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Capítulo 2 – Tensão e deformação
2.1 – Tensão normal (σ):
Por definição:
σA
F= (2.1)
onde: σ : tensão normal dada em N/m2 (no Sistema Internacional) F : Força normal axial
A : área da seção transversal da barra
Por convenção: σ de tração é positiva e σ de compressão é negativa.
Fazendo ensaios de tração Galileu demonstrou que a resistência à tração de uma barra
é proporcional à área da seção transversal e independe do comprimento longitudinal.
A tensão normal no Sistema Internacional é dada em Pascais. Por definição 1 Pa = 1
N/m2. Então: 1 MegaPascal = 106 N/m2. Uma vez que 1 m = 1.000 mm ⇒ (1 m)2 = (1.000 mm)2 ⇒ 1 m2 = 106 mm2. Portanto: 226 mm/N1m/N10MPa1 ==
• Tensão admissível (__
adm ou σσ ): É a tensão que está dentro dos limites de segurança.
SCR
adm
σ=σ
onde: σR = Tensão de ruptura SC = Coeficiente de segurança ( SC > 1,0)
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• Definição matemática de tensão normal: A definição de tensão normal dada pela
equação (2.1) somente pode ser usada se ocorre distribuição uniforme das tensões
normais na seção transversal. Uma vez que esta condição nem sempre é satisfeita deve-
se usar a definição matemática de tensão normal:
A
F
0A ∆∆=σ
→∆
dA
dF=σ→ (2.2)
2.2 – Deformação linear específica (ε):
Por definição:
L
L∆=ε (2.3)
ε é adimensional e também conhecida como deformação específica normal, deformação
específica ou deformação normal.
• Fluência: deformação lenta de um corpo submetido a uma tensão constante.
2.3 – Coeficiente de Poisson (ν): Quando uma barra é tracionada o alongamento longitudinal
é acompanhado de contrações laterais, isto é, o comprimento da barra aumenta e a seção
transversal diminui. A relação entre a deformação lateral e a deformação longitudinal é
chamada coeficiente de Poisson (ν):
allongitudindeformação
lateraldeformação=ν
x
y
εε
−=ν
O coeficiente de Poisson é adimensional e sempre positivo. O sinal negativo na
expressão acima é necessário porque se a deformação εx for positiva εy será negativa, e vice-
versa.
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Material isotrópico: é um material que apresenta as mesmas propriedades físicas em
todas as direções. Em um material isotrópico:
x
'z
x
z
x
y
εε
−=εε
−=εε
−=ν
2.4 – Diagrama tensão - deformação
2.4.1 – Aço doce (aço usado na construção civil com baixo teor de carbono)
Em um ensaio de tração sendo a força aplicada gradualmente (sem impacto) os diversos
pares F - ∆L são anotados e podem ser colocados em um gráfico.
O diagrama tensão – deformação permite obter dados sobre o material sem considerar as suas
dimensões (área da seção transversal (A) e comprimento longitudinal (L)).
Pσ → Tensão de proporcionalidade (ou limite de proporcionalidade): É a maior tensão que
pode ser aplicada à barra sem que haja perda da proporcionalidade entre a tensão e a
deformação (ponto a).
Yσ → Tensão de escoamento (limite de escoamento): Neste ponto, a deformação aumenta
sem que haja acréscimo de tensão (ponto c).
Encruamento: endurecimento, enrijecimento (ponto d).
Uσ → Tensão última: É a maior tensão que a barra suporta. Esta tensão também é conhecida
como resistência do material (ponto e).
Rσ → Tensão de ruptura: (ponto f).
Fase elástica: Nesta fase a deformação desaparece com a retirada da tensão, não há
deformação permanente. Esta fase vai do início do carregamento até o ponto b.
Fase plástica: Descarregando-se a barra ela não retorna às suas dimensões iniciais, isto é,
surgem deformações permanentes (ou deformações plásticas). Esta fase vai do ponto b até à
proximidade da ruptura.
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Resiliência: É a energia armazenada por unidade de volume quando uma barra se deforma até atingir o limite de proporcionalidade ( Pσ ) . A resiliência faz com que a barra retorne às suas dimensões iniciais quando descarregada. O aço usado na fabricação de molas é um material com alta resiliência. Estricção: Durante o alongamento ocorre contração lateral (estricção), portanto, a área da seção transversal diminui. A estricção somente ocorre nos materiais dúcteis.
Obs.: O diagrama tensão × deformação convencional não leva em consideração que a área da seção transversal diminui durante o alongamento da barra. 2.4.2 - Alumínio No diagrama tensão × deformação do alumínio, não existe o ponto de escoamento definido como no diagrama do aço doce. Neste caso, a tensão de escoamento σY é obtida tomando-se no eixo das deformações o valor ε = 0,2% e por este ponto traça-se uma reta paralela ao trecho linear do diagrama. Onde esta reta cortar a curva σ x ε tem-se a tensão de escoamento σY.
2.4.3 - Material frágil: Rompe-se com uma deformação relativamente pequena.
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2.4.4 – Material elástico-plástico idealizado
2.5 - Lei de Hooke
Em 1678, Robert Hooke enunciou a lei “Ut tensio sic vis” (o estiramento é proporcional à
força ou F = Kx ). Hooke aplicou esta lei na invenção da balança de mola e do relógio sem
pêndulo.
Thomas Young, em 1807, sugeriu que a aplicação da Lei de Hooke nos sólidos deve
estabelecer a dependência linear entre tensão e deformação: “A tensão é proporcional à
deformação”, ou seja: εΕ=σ .
onde: σ → tensão normal
ε → deformação linear específica
Ε → constante de proporcionalidade e é chamado de módulo de elasticidade ou
módulo de Young e tem a mesma dimensão de tensão: N/m2
No SI o módulo de elasticidade é dado em GigaPascal: 2329 mm/N10m/N10GPa1 ==
Exemplos: Εaço = 200 GPa; Εliga de titânio = 120 GPa; Εliga de alumínio = 70 GPa.
Nota: A Lei de Hooke é válida até a tensão de proporcionalidade.
tg α = εσ → σ = tgα × ε ; então: Ε = tgα
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Capítulo 3 - Tração e Compressão
3.1 – Alongamento de barras carregadas axialmente
A variação do comprimento (∆L) de uma barra prismática solicitada por uma força axial
constante pode ser calculada usando-se a lei de Hooke:
σ = Ε × ε
Lembrando que: A
F=σ e que: L
L∆=ε , tem-se:
L
LE
A
F ∆⋅=
de onde:
EA
FLL =∆
A expressão acima somente pode ser aplicada no regime de validade da Lei de Hooke, ou seja, para tensões menores ou iguais que σP.
Para se calcular o alongamento de barras não prismáticas e/ou solicitadas por força axial
variável tem-se que usar o conceito de integral:
)x(EA
dx)x(Fdx=∆ → ∫∫ =∆
L
0 )x(EA
dx)x(Fdx → ∫=∆
L
0 )x(EA
dx)x(FL
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Considere-se, agora, uma barra prismática, suspensa por uma extremidade. Deseja-se
determinar a expressão do alongamento (∆L) da barra produzido pela ação de seu peso
próprio.
∫=∆→=∆L
0 )x(AE
dx)x(FL
)x(AE
dx)x(Fdx
Considerando-se o equilíbrio de forças verticais da parte recortada, tem-se:
x.A.)x(F γ=
Então:
∫∫ ⋅γ=⋅γ=⋅
⋅⋅⋅γ=∆L
0
L
0
2L
0 2
x
Edxx
EAE
dxxAL
Portanto:
E2
LL
2γ=∆
20
3.2- Princípio da superposição dos efeitos
Se em uma estrutura estão aplicadas várias forças podem-se calcular os deslocamentos
referentes a cada força, como se atuasse separadamente, e somar os resultados
correspondentes obtendo-se, assim, o resultado da ação de todas as forças.
∑=
=∆n
1i ii
ii
AE
LFL
3.3 – Sistemas estaticamente indeterminados
Para as estruturas hiperestáticas as três equações de equilíbrio não são suficientes para
calcularem-se as reações de apoio. Além das três equações de equilíbrio são necessárias
outras equações obtidas com as condições de deslocamentos da estrutura.
3.4 – Efeitos da variação da temperatura
A variação da temperatura pode provocar tensão normal nas estruturas. A tensão normal
somente ocorrerá se o deslocamento (movimentação) devido à variação da temperatura estiver
impedido.
tLL t ∆α=∆ (fórmula empírica)
onde
tL∆ : variação do comprimento da barra devida à variação da temperatura (m) α : coeficiente de dilatação térmica (1/ 0C) L : comprimento inicial (m)
t∆ : variação da temperatura ( 0C) Observação: nos problemas envolvendo variação da temperatura usam-se as fórmulas:
tLL t ∆α=∆ ; EA
FLL =∆ ;
A
F=σ
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Capítulo 4 – Cisalhamento Puro
4.1 – Força cortante (V)
A força cortante está contida no plano da área e provoca deslizamento. A força
cortante produz tensão cisalhante, representada pela letra grega τ (tau), que tem o mesmo
sentido da força.
4.2 – Cisalhamento Puro
Se em uma área atua apenas força cortante, ela fica solicitada por cisalhamento puro.
4.3 – Teorema de Cauchy
Em um ponto, as tensões de cisalhamento são iguais nos planos perpendiculares
entre si.
22
AFA
F ×τ=→=τ
0dydx1dxdy10M xy0 =×××τ−×××τ→=∑
Portanto: yx τ=τ
4.4 – Lei de Hooke no cisalhamento
Solicitando-se um material ao cisalhamento puro, pode-se estabelecer a relação entre
a tensão e a deformação de cisalhamento.
γτ=αtg → ( ) γ×α=τ tg
Chamando de α= tgG , tem-se a lei de Hooke no cisalhamento:
τ = γ⋅G
onde: τ → tensão de cisalhamento em N/m2
G→ é conhecido como módulo de elasticidade transversal ou módulo de
elasticidade ao cisalhamento ou módulo de cisalhamento (em N/m2). γ → distorção (deformação por cisalhamento) em radianos
Relação entre E , G e ν
Na Resistência dos Materiais 2 demonstra-se que:
( )ν+=
12
EG
+
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4.5 – Ligações parafusadas
Por hipótese, a tensão de cisalhamento é uniformemente distribuída na seção
transversal do parafuso.
Na ligação acima tem-se um parafuso que transmite a força de uma chapa para a
outra. A tensão de cisalhamento média no parafuso é dada por:
A
Fméd =τ
onde A é a área da seção transversal do parafuso.
Para uma ligação com "n" parafusos deve-se dividir a força F por n e pelo número de
áreas de corte (nA). Geralmente, nA é igual a 1 (uma área de corte) ou igual a 2 (duas
áreas de corte).
É interessante observar que a força F produz tensão normal (σ) nas chapas e tensão
cisalhante (τ) no parafuso. 4.6 – Ligações parafusadas solicitadas por força ex cêntrica
Nestas ligações os parafusos devem resistir à força vertical P e ao momento fletor M
= P.e. A força vertical produz força cortante (F1) nos parafusos dada por F1 = P/n, onde n é
o número de parafusos. O momento fletor provoca em cada parafuso a força cortante F2
que é perpendicular à reta que une o centro geométrico dos parafusos (ponto c) ao centro do
parafuso e varia linearmente com a distância ao ponto c.
24
Exercícios: 1) Calcule a tensão de cisalhamento máxima que ocorre nos parafusos
da ligação abaixo. Todos os parafusos têm diâmetro igual a 18 mm.
1875015,0F221,0F40M *22C =⋅+⋅→=∑
As forças F2 são diretamente proporcionais à distância ao ponto c, então tem-se a relação:
*22
2*2 F4,1F
21,0
F
15,0
F =→=
N3,12703F1875015,0F221,0)F4,1(4 *2
*2
*2 =→=⋅+⋅
Então: N6,17784F4,1F *22 ==
A força cortante resultante é dada pela expressão:
α++= cosFF2FFR 2122
21
Nos dois parafusos extremos do lado direito F1 = 2500 N, F2 = 17784,6 N e α = 45º,
então a força cortante resultante é:
N1,19632R45cos6,17784250026,177842500R o22 =→⋅⋅⋅++=
No parafuso central do lado direito da ligação as forças F1 e F2* têm o mesmo sentido, a
força cortante resultante neste parafuso é dada por: R = 2500 + 12703,3 = 15203,3 N.
Portanto, a maior força cortante na ligação ocorre nos dois parafusos extremos do lado
direito e a tensão de cisalhamento máxima é dada por:
22máx mm/N15,77
mm47,254
N1,19632 ==τ
25
2) Calcule a tensão de cisalhamento máxima que ocorre nos parafusos da ligação abaixo.
Todos os parafusos têm diâmetro igual a 25,4 mm.
N62504
25000
4
PF1 ===
4500014,0F40M 2C =⋅→=∑
de onde: N1,80357F2 =
Nos dois parafusos do lado direito a força cortante resultante é dada por:
N6,84891R45cos1,80357625021,803576250R o22 =→⋅⋅⋅++=
A tensão de cisalhamento máxima na ligação é:
22máx mm/N53,167
mm71,506
N6,84891 ==τ
ou:
MPa53,167máx =τ
5 - Torção
5.1. Introdução - A torção ocorre:
• Na ação do vento em edifícios altos
• Nos eixos de transmissão
• Nos chassis de ônibus, caminhão, avião.
5.2 - Momento de inércia à torção (J ) para barras com seção circular vazada
α dα
r dr
di de
Por definição: dA r J
A
2∫= onde:
dr d rdA α=
∫∫πα=
2
0
r
r
3 d dr r Je
i
πα= 20
r
r
4
. 4
rJ
e
i
( )0 - 2 . rr 4
1J
4
i4
e π
−=
( )4i
4e rr
2J −
π=
Ou em função dos diâmetros externo e interno: ( )4i
4e dd
32J −
π=
Particularizando para seções cheias: ( )0di = : ( )4d32
Jπ
=
5.3 – Hipóteses:
• As deformações são pequenas; • É válida a Lei de Hooke no cisalhamento ( γ=τ G );
• O momento de torção provoca apenas tensão de cisalhamento ( τ );
• As tensões de cisalhamento são perpendiculares e variam linearmente com o raio (esta
hipótese é válida somente para eixos de seção transversal circular).
Observações: 1) A tensão cisalhante tem o mesmo sentido do momento de torção
2) A tensão cisalhante máxima ocorre na superfície do eixo.
27 5.4 - Tensão e deformação nos eixos de seção circular solicitados por momento de torção
T
T γ
θ R B
B’
L T B
B’
R θ
Onde: θ : ângulo de torção (giro relativo entre duas seções transversais) γ : distorção (deformação por cisalhamento) na superfície do eixo
Da figura acima, têm-se as expressões:
L
BB tg
′=γ≅γ e
R
BB tg
′=θ≅θ
Portanto: γ =L
Rθ
dAdF ⋅τ= e rdA dT ⋅τ=
∫ τ=A
dA r T ou: ∫ τ=A
2
dA r
rT
Onde rτ é uma constante (por hipótese a tensão cisalhante varia linearmente com o raio),
então:
dA rr
TA
2∫
τ=
Por definição: dA rJA
2∫= , então:
J r
Tτ
=
De onde se tem a tensão de cisalhamento produzida por momento de torção em barras de seção
transversal circular:
J
r T=τ
A maior tensão de cisalhamento ocorre na superfície do eixo:
J
TRmáx =τ
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Aplicando-se a Lei de Hooke no cisalhamento ( γ=τ G ) na superfície do eixo, tem-se:
L
RG
J
TR θ=
de onde tem-se o giro relativo ( )θ entre duas seções transversais:
GJ
TL=θ
5.5 – Eixos hiperestáticos solicitados por momento de torção
5.6 – Torção de barras com seção vazada de parede fina com espessura t constante
Linha do esqueleto: linha média da espessura da seção transversal
t: espessura
Sendo a espessura t constante (não varia ao longo da linha do esqueleto e também
invariável ao longo do comprimento longitudinal), pode-se demonstrar que a tensão de cisalhamento média médτ é dada por:
At2
Tméd =τ
e o ângulo de torção (θ) é dado por:
tGA4
TLP2
=θ
onde: A: área limitada pela linha do esqueleto
P: perímetro da linha do esqueleto
L: comprimento longitudinal 5.7 - Torção de barras com seção retangular vazada de parede fina com espessura t variável
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Para o caso particular de uma barra, com seção transversal mostrada na figura acima solicitada por um momento de torção Τ têm-se as expressões de máxτ e do ângulo de torção:
baminmin
máx tetentrevalormenoroétonde,At2
T=τ
ba
22
tt
t
b
t
aba2
J:onde,JG
TL
+==θ
5.8 – Torção de barras com seção transversal retangular
onde: a é o maior lado da seção transversal e b é o menor lado da seção transversal
L: comprimento longitudinal
Usando a “analogia da membrana” Timoshenko & Goodier (1980) demonstram que a
tensão cisalhante máxima ocorre na linha central da face maior e seu valor é dado por:
21
máx abc
T=τ
e o ângulo de torção θ é dado por:
Gabc
LT3
2
=θ
Os valores de c1 e c2 são obtidos na tabela abaixo.
a/b c1 c2
1,0 0,208 0,141
2,0 0,246 0,229
3,0 0,267 0,263
4,0 0,282 0,281
5,0 0,291 0,291
10,0 0,312 0,312
∞ 0,333 0,333
30
5.9 – Torção de barras com seção transversal aberta de parede fina com t constante
Os casos acima, com espessura t constante, podem ser entendidos da seguinte
forma:
∞==t
a
b
a →
2máx ta333,0
T=τ e Gta333,0
LT3
=θ
5.10 – Torção de barras com seção transversal aberta composta por retângulos de paredes
finas
Para estes casos máxτ e θ são dados pelas equações:
( )∑⋅
=τ3ii
máxmáx ta333,0
tT e ( )∑
=θ3ii taG333,0
LT
5.11 – Torção de vigas com seção transversal em forma de triângulo eqüilátero de lado "d"
31
6 – FLEXÃO
6.1 - Introdução
Flexão é o ato de dobrar, curvar. Quando uma estrutura fica solicitada por momento fletor ela fica curvada. Neste caso, dizemos que a estrutura está flexionada. O objetivo deste capítulo é obter as tensões e deformações que surgem nas estruturas quando estão solicitadas por momento fletor. A flexão de uma estrutura pode ser pura, simples, oblíqua ou composta.
6.2 - Flexão pura
A flexão pura ocorre quando uma estrutura ou parte de uma estrutura fica solicitada apenas por momento fletor. Este é o caso do trecho CD da viga abaixo. Neste trecho, a força cortante é nula e o momento fletor é constante, como mostram os diagramas de esforços internos. É interessante observar que para não ocorrer força cortante no trecho CD, as forças P são simétricas e desprezamos o peso próprio da estrutura na presença das forças P.
Todas as estruturas que vamos abordar neste item e no próximo (flexão simples), possuem, pelo menos, um plano de simetria longitudinal.
(a) Viga e carregamento
(b) Diagrama de momento fletor
(c) Diagrama de esforço cortante
Figura 6.1 - Viga sobre dois apoios e diagramas de esforços internos (M e V)
32
y z x
P
P
Figura 6.2 – Viga em perspectiva Hipóteses: 1- O carregamento atua em um plano de simetria longitudinal. Uma vez que queremos obter as tensões que surgem na flexão pura, deve atuar apenas momento fletor, e se o carregamento atuar fora do plano de simetria, a viga ficará solicitada também por momento de torção.
2- O carregamento é perpendicular ao eixo da viga. Se as forças P forem inclinadas teremos componentes horizontais que são forças normais.
3- Seções planas permanecem planas depois de aplicado o carregamento. Esta hipótese, formulada pelo cientista francês Navier em 1826, é chamada fundamental e deve-se ao fato que no trecho CD: .0VT == Estes dois esforços provocam a deformação distorção (γ). Uma vez que no trecho CD estes dois esforços são nulos, as seções transversais permanecem planas e perpendiculares à superfície neutra depois de aplicado o carregamento.
4- A maior tensão que surge na viga é a tensão de proporcionalidade. Portanto, podemos usar a lei de Hooke.
5- O material da viga é homogêneo e os módulos de elasticidade à tração e à compressão são iguais.
6- O carregamento é aplicado sem impacto.
Vamos analisar o trecho L - 2a, onde atua apenas momento fletor. A ação do momento fletor faz com que este trecho da viga se curve (Figura 6.4). O momento fletor é constante neste trecho, sendo assim, a curvatura é também constante.
A Figura 6.4 mostra que a parte inferior da viga aumentou de comprimento, enquanto a parte superior diminuiu. Havendo variação de comprimento ∆L, tem-se deformação linear específica ε. Portanto, pode-se afirmar que o momento fletor produz tensão normal σ. Esta tensão provoca variação de comprimento. Uma vez que uma parte aumentou e outra diminuiu de comprimento existe uma superfície que separa as duas regiões e não tem o seu comprimento alterado. Esta superfície é chamada superfície neutra e está indicada na Figura 6.4 pelo arco CD.
O arco CD é dado por:
CD r= .θ
33
a a L - 2a
P P
y x y C
E D F
Figura 6.3
y
r
E C
F D
θ
O
M M
Figura 6.4
O arco EF, que está y abaixo do arco CD, é dado por:
( )EF r y= + ⋅ θ
É interessante observar que esta variação linear de EF só é possível se a seção transversal permanecer plana.
Por definição: L L∆=ε
Então, a deformação linear específica ε de EF é:
ε EF
EF CD
CD= −
Ou ( )
εθ θθEF
r y r
r=
+ ⋅ − ⋅⋅
Simplificando-se a expressão anterior, tem-se:
r yEF =ε
O → centro da curvatura da superfície neutra.
r → raio de curvatura da superfície neutra.
34
Utilizando-se a lei de Hooke, σ ε= ⋅E , pode-se obter a tensão normal que provocou o alongamento de EF:
r
yEEF ⋅=σ (6.1)
A Figura 6.5 mostra um corte imaginário na viga da Figura 6.2. A linha neutra divide, na seção transversal, as regiões tracionada e comprimida.
y
z
P
NL
Figura 6.5
Vamos impor a condição que:
σ ⋅ =∫ dAA
0
Esta condição deve-se ao fato de não existir força normal atuando na seção transversal. Uma vez que σ ⋅ =dA dF, a soma de todas as forças elementares dF é igual a zero. Colocando-se a equação (6.1) na equação acima, tem-se:
E y
rdA
A
⋅ ⋅ =∫ 0
Por hipótese, o módulo de elasticidade E é o mesmo à tração e à compressão, portanto, não varia na área. Sendo assim, a expressão acima pode ser colocada da seguinte forma:
E
ry dA
A⋅ ⋅ =∫ 0
Como o módulo de elasticidade E não pode ser igual a zero e o raio r não pode ser infinito (neste caso não haveria flexão), tem-se que:
y dAA
⋅ =∫ 0
A integral acima é, por definição, o momento estático da área da seção transversal em relação à linha neutra. O momento estático de uma área em relação a qualquer eixo que passa pelo centróide é igual a zero. Portanto, a linha neutra passa pelo centróide da área da seção transversal. A outra condição a ser imposta é que:
σ ⋅ ⋅ =∫ y dA MA
Linha neutra → Intersecção da superfície neutra com a seção transversal
35
Esta condição deve-se ao fato que σ ⋅ ⋅ =y dA dM e somando-se o momento de todas as forças elementares tem-se o momento fletor aplicado. Ou, em outras palavras, a toda ação corresponde uma reação em sentido contrário. A reação ao momento fletor aplicado é produzida pela soma de todos os momentos das forças elementares. Colocando-se a equação (6.1) na equação acima, tem-se:
E y
ry dA M
A
⋅ ⋅ ⋅ =∫
Ou
E
ry dA M
A⋅ ⋅ =∫
2 (6.2)
Por definição:
y dA I zA
2 ⋅ =∫
O eixo y tem origem na linha neutra da área da seção transversal, sendo assim, o momento de inércia I z , calculado pela expressão acima, é o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo horizontal do centróide.
Colocando-se a expressão acima em (6.2), o momento fletor assume a forma:
ME
rI z= ⋅
Isolando-se o raio da curvatura r, tem-se:
rE I
Mz=
⋅
Substituindo-se a expressão de r na expressão (6.1), tem-se:
σ = ⋅⋅
E yE I
Mz
Ou:
zI
yM ⋅=σ (6.3)
Portanto, a tensão normal referente ao momento fletor varia linearmente em uma seção transversal.
6.3 – Flexão simples
A flexão simples ocorre quando uma estrutura ou parte de uma estrutura fica solicitada por momento fletor e força cortante. Este é o caso dos trechos AC e DB da estrutura da apresentada na Figura 6.1. Vamos admitir, a priori, que a tensão normal nos trechos AC e DB, da mesma forma que no trecho CD, varie linearmente.
36
P P
y x
C D
dx g f
g f
A B g f
dx
g f M + dM M
Figura 6.6
O momento fletor varia ao longo do comprimento dx. A tensão normal nas seções transversais f-f e g-g são, respectivamente, dadas pelas expressões:
σ = ⋅M y
I z
e ( )
σ =+ ⋅M dM y
I z
A força normal resultante na seção transversal é nula, conforme já visto. Entretanto, tem-se força resultante em uma área genérica |A . A força resultante F (Figura 6.7) é dada pela expressão:
∫ ∫⋅=⋅σ=
| |A Az
dAI
yMdAF
e a força resultante dFF+ dada por:
( )∫
⋅+=+|A
Z
dAI
ydMMdFF
NL
dx |A dx
|A.
F
F + dF
(a) (b)
Figura 6.7
Nas três faces externas do elemento da Figura 6.7(b) não ocorre nenhuma ação. Portanto, no plano de corte e no sentido da força F existem tensões cisalhantes τ que mantêm o equilíbrio de forças (Figura 6.8).
37
dx
F
F + dF
τ
dx
F + dFF
Figura 6.8
O equilíbrio de forças na direção da força F fornece a expressão:
( ) 0dFFdxbF =+−⋅⋅τ+
onde b representa a largura da seção transversal.
Colocando-se as expressões de F e de dFF+ na equação acima, tem-se:
( )0dA
I
y dMMdx b dA
I
y M|| A
zA
z
=+−τ+ ∫∫
Simplificando a expressão anterior, tem-se:
0dA I
y dMdx b
|Az
=−τ ∫
O momento fletor e o momento de inércia não variam na área, isto é, dependem apenas da coordenada x. Sendo assim, a expressão acima pode ser colocada da seguinte forma:
∫ ⋅⋅⋅⋅
=τ|A
z
dAydx
dM
Ib
1
A integral acima é, por definição, o momento estático da área |A em relação ao eixo z. A derivada do momento fletor em relação à coordenada x fornece a força cortante, então:
τ = ⋅⋅
V Q
b I z
z (6.4)
Uma vez que as tensões cisalhantes são iguais nos planos perpendiculares entre si (Teorema de Cauchy), a seção transversal também está solicitada por τ (Figura 6.9). Estas tensões τ produzem a deformação distorção (γ) fazendo com que as seções transversais inicialmente planas não permaneçam planas depois de aplicado o carregamento.
dx
b
Figura 6.9
Entretanto, em alguns casos, a força cortante desempenha um papel secundário. Sejam, por exemplo, as duas vigas da Figura 6.10. As duas vigas têm a mesma altura h e estão solicitadas pela mesma força cortante (P). Na viga da Fig. 6.10(a), onde L >> h, o momento fletor é predominante, desta forma as seções planas permanecem praticamente planas depois de aplicado o carregamento.
38
(a) (b)
Figura 6.10
Ensaios em laboratórios mostram que as expressões (6.3) e (6.4) podem ser usadas nas estruturas em que:
L
h≥ 5
Nas estruturas em que a relação acima é verificada são chamadas vigas.
OBS.: No cisalhamento puro (Fig. 6.10(b)), conforme já visto, a tensão de cisalhamento é dada por: τ = F/A. Na flexão simples (M+V) a tensão cisalhante é dada pela equação (6.4).
6.4 – Distribuição das tensões de cisalhamento
A força cortante V, o momento de inércia I z e a largura b, no caso geral variam segundo a coordenada x. Sendo assim, em uma seção transversal qualquer a tensão de cisalhamento varia apenas em função do momento estático.
6.4.1- Seção transversal retangular
Figura 6.11
O momento estático da área hachurada é dado por:
Q A y= ⋅|_
Onde:
( )y
2
y2hy_
+−=
Ou:
( ) ( )4 h2 yy_
+=
39
A área A | é dada por:
by2h
A | ⋅
−=
Então:
Qh
y by h= −
⋅ ⋅ +
2 2 4
Resultando em:
Qb h
y= ⋅ −
2 4
22
Portanto, a tensão cisalhante varia segundo uma equação do segundo grau. Nos pontos com coordenadas y = h/2 e y = −h/2 a tensão cisalhante é nula. O valor máximo da tensão cisalhante é obtido nos pontos com coordenada y = 0, isto é, a tensão cisalhante é máxima na linha neutra e seu valor é calculado da seguinte forma:
A2
V3
4
h
2
b
12
bhb
V0
4
h
2
b
bI
Vmáx
2
3
22
z
máx =τ→
⋅⋅
=
−⋅=τ
Figura 6.12 – Gráfico referente à distribuição das tensões σ e τ
6.4.2 – Seção transversal em forma de "I"e"T"
c τmáx
τ σ
c
τ
τmáx
σ
Figura 6.13 – Gráfico referente à distribuição das tensões σ e τ
6.5 - Deformações
6.5.1 - Momento Fletor
40
Figura - 6.14 - Deformação referente ao momento fletor
dxL
L δ=ε→∆=ε
Lei de Hooke: Εε=σ . , onde:
I
y.M=σ
Então:
Εθ=→Εδ=dx
yd
I
M.y
dxI
y.M
de onde:
I
dx.Md
Ε=θ
6.5.2 - Força cortante
Figura 6.15 - Deformação referente a força cortante
Lei de Hooke no cisalhamento: τ = G . γ , onde τ na flexão simples (M + V) é dado por:
Ib
Q.V=τ
A tensão cisalhante τ pode ser colocada na forma: A
Vf=τ , onde f , chamado fator de forma,
resulta da distribuição não uniforme das tensões de cisalhamento e seu valor depende da forma da seção transversal. Então:
dxGA
Vfdhdx
Gdh =→τ=
41
6.6 – Módulo elástico de resistência à flexão ( W )
Em uma viga solicitada por momento fletor a maior tensão normal é dada por:
d
IM
I
dM máxmáxmáx =
⋅=σ
onde I é o momento de inércia da seção transversal e d é a distância da linha neutra até um
ponto localizado na superfície da viga. Por definição:
d
IW =
Então: W
M máxmáx =σ
Se a seção transversal não tiver eixo de simetria horizontal é evidente que: is WW ≠ .
Dimensão do módulo elástico de resistência à flexão ( W ): [ ]3L
Para vigas com seção transversal retangular, tem-se:
2
h12
bh
WW
3
is == → 6
bhWW
2
is ==
Para vigas com seção transversal circular, tem-se:
2
D64
D
WW
4
is
π
== → 32
DWW
3
isπ==
Para uma viga com seção transversal em forma de “ T ”, com as dimensões mostradas na figura
abaixo, o momento de inércia em relação ao eixo z é igual a 6,15 x 10 − 3 m4. Então:
217,0
10x15,6W
3
s
−= 32
s m10x83,2W −=→
383,0
10x15,6W
3
i
−= 32
i m10x61,1W −=→
42
6.7 – Flexão oblíqua (flexão assimétrica)
Na flexão oblíqua a linha neutra não é perpendicular (portanto, é oblíqua ) ao plano que
contém o carregamento e o centróide.
Nos estudos precedentes demonstrou-se a expressão da tensão normal (σ) produzida
por momento fletor atuando em vigas que possuem, pelo menos, um plano de simetria. Impôs-
se também que o carregamento atuava no plano de simetria.
Considerem-se, agora, vigas nas quais os carregamentos que provocam flexão atuam
em planos que não são planos de simetria e vigas que não possuem planos de simetria (vigas
assimétricas). Para analisar estas situações impõe-se que a linha neutra coincida com o vetor
momento e determina-se em quais situações isto é possível.
∫ =σ→=σA zxzx MdA.y.dMy.dA. onde:
z
zx I
y.M=σ
∫ =σ→=σA xyx 0dA.z.dMz.dA.
∫ ∫ ∫ =→=→=A A Az
z
z
z 0yzdA0yzdAI
M0dA.z
I
y.M (1)
A integral (1) é, por definição, o produto de inércia (ΙZY) da área A em relação aos eixos Y
e Z, e será igual a zero se estes eixos forem os eixos principais de inércia. Portanto, a linha
neutra vai coincidir com o vetor momento se, e somente se, o vetor momento for dirigido
segundo um dos eixos principais de inércia da área.
Se os eixos y e z são eixos principais de inércia, tem-se a expressão para calcular a
tensão normal nas estruturas solicitadas por Mz e My:
=σx z
z
I
y.M
y
y
I
z.M+
436.8 – Flexão de vigas constituídas de dois materiais Impondo-se que os dois materiais estão unidos as seções transversais, inicialmente planas,
permanecerão planas depois de aplicado o carregamento. Para esta demonstração supõe-se que:
Ε2 > Ε1.
Uma vez que seções planas permanecem planas o diagrama de deformação é linear, como
mostra o diagrama das deformações. O gráfico das tensões tem a variação brusca na interface entre
os dois materiais (ponto d) porque, para se ter a mesma deformação neste ponto, a tensão normal no
material 2 é maior do que a tensão normal no material 1 (lembrando que Ε2 > Ε1). Usando-se a lei de
Hooke pode-se determinar as tensões nos pontos a, d e f:
a1a . εΕ=σ
d11d . εΕ=σ
d22d .εΕ=σ
f2f . εΕ=σ
A Equação (6.1) pode ser usada para vigas feitas de dois materiais:
r
yE11 =σ e
r
yE 22 =σ
Onde r é o raio de curvatura da superfície neutra.
No estudo da flexão pura foi imposta a condição que: 0dA.A
=σ∫ . Para vigas constituídas por
dois materiais a condição a ser imposta é que:
+σ∫ 1A1 dA. 0dA.
2A2 =σ∫
Colocando-se as expressão de σ1 e σ2, tem-se:
+Ε
∫ 1A
1 dA.r
y 0dA.
r
y2A
2 =Ε
∫
44 Uma vez que os módulos de elasticidades e o raio de curvatura não variam na área, pode-se fazer:
+Ε∫ 1A
1 dA.y r
0dA.yr 2A
2 =Ε∫ (a)
Ou simplificando-se a raio de curvatura r e dividindo-se por Ε1:
+∫ 1AdA.y 0dA.y
2A1
2 =ΕΕ∫
Chamando de 1
2nΕΕ
= , tem-se:
+∫ 1AdA.y 0dA.yn
2A=∫
Então, cada elemento de área dA da área A2 é multiplicado por n conservando-se a distância y
destes elementos.
A seção homogeneizada acima é constituída apenas pelo material da área 1, com módulo de
elasticidade Ε1 (método da seção equivalente).
A seção homogeneizada pode ter como referência o material 2. Neste caso, a expressão (a)
deve ser dividida pelo módulo de elasticidade do material 2 (Ε2):
+Ε∫ 1A
2
1 dA.y E
0dA.y2A
=∫ → +∫ 1AdA.y
n
10dA.y
2A=∫
Os elementos de área dA da área A1 são divididos por n conservando-se a distância y destes
elementos. Então, a base b do material 1 deve ser dividida por n , como mostra a figura abaixo.
456.9 – Flexão de vigas de concreto armado Nas vigas de concreto armado despreza-se a resistência à tração do concreto. Assim sendo, na
seção homogeneizada aparece apenas a parte de concreto acima da linha neutra (quando a viga está
solicitada por momento fletor positivo). Por definição:
c
s
E
En =
onde: sE é o módulo de elasticidade do aço e cE é o módulo de elasticidade do concreto.
• Cálculo da posição da linha neutra (colocando-se o sistema de referência na face superior):
dnA2
ybynAyb
nAyb
dnA2
yyb
y s
2____
s
2__
s
_
s
__
_
+=+→+
+=
de onde se tem a equação do segundo grau que fornece a posição da linha neutra:
0dnAynA2
ybs
__
s
2__
=−+
A raiz positiva da equação acima é dada por:
−+= 1
nA
bd21
b
nAy
s
s_
• Cálculo do momento de inércia em relação à linha neutra:
2__
sB
42__
__3__
)yd(nAnn64
D
2
yyb
12
ybI −+π+
+=
O termo nn64
DB
4π, onde Bn é o número de barras de aço, pode ser desprezado por ser muito
menor que os outros dois termos. Então, o momento de inércia em relação à linha neutra é dado por:
2__
s
3__
)yd(nA12
yb4I −+=
46
7 – Solicitações compostas
7.1 – Introdução: Nos estudos precedentes foram obtidas as expressões das tensões (σ e τ) provocadas pelos quatro esforços internos :MeT,V,N
Força normal ( N ): A
N=σ
Força cortante ( V ): A
V=τ (cisalhamento puro) ou bI
VQ=τ (flexão simples: M + V)
Momento de torção ( T ): J
Tr=τ onde ( )4i
4e DD
32J −π= (Observação: fórmula válida
para barras que têm seção transversal circular)
Momento fletor ( M ) : I
yM=σ
• Flexão pura: quando uma estrutura fica solicitada somente por momento fletor (M)
• Flexão simples: quando uma estrutura fica solicitada por M + V
• Flexão composta: quando uma estrutura fica solicitada por momento fletor + força
normal ou momento fletor + momento de torção
Flexo-tração: momento fletor + força normal de tração
Flexo-compressão: momento fletor + força normal de compressão
Flexo-torção: momento fletor + torção
A flexão composta pode ser normal ou oblíqua:
• Flexão composta normal: quando a linha neutra é perpendicular ao plano que
contém o carregamento e o centróide. A flexão composta normal ocorre quando o
carregamento atua em um dos eixos principais de inércia.
• Flexão composta oblíqua: quando a linha neutra é oblíqua ao plano que
contém o carregamento e o centróide. A flexão composta oblíqua ocorre quando o
carregamento atua em um eixo que não é eixo principal de inércia.
• Equação geral da flexão composta para vigas solicitadas por momento fletor e força
normal:
+=σA
Nx
z
z
I
y.M
y
y
I
z.M+
47
7.2 – Núcleo central
Núcleo central é a região de uma seção transversal onde ao aplicar-se uma força
normal de compressão (tração) a seção transversal ficará solicitada apenas por tensão
normal de compressão (tração).
• Núcleo central de uma seção transversal retangular
Seja um pilar solicitado por uma força de compressão P com excentricidade d em
relação ao eixo y e excentricidade a em relação ao eixo z. A tensão normal é dada por:
−−=σA
P
12
bh
y.aP3
12
hb
z.dP3−
Para determinar o núcleo central impõe-se que não existe tensão normal de tração,
então a linha neutra tangencia a seção transversal no ponto de coordenadas y = − h/2 e
z = − b/2:
−−=bh
P0
12
bh
)2/h.(aP3
−
12
hb
)2/b.(dP3
−−
ou:
=1 h
a.6
b
d.6+
48
• Núcleo central de uma seção transversal circular
Seja uma área com seção transversal circular solicitada por uma força de
compressão com excentricidade a em relação ao eixo z. A tensão normal é dada por:
−π
−=σ
4
D
P2
64
D
y.aP4π
Impondo-se que a linha neutra tangencia a seção transversal no ponto de coordenada
y = − D/2, tem-se:
−π
−=2D
4P0
4D
64)2/D.(aP
π−
Ou:
=a 8
D
49
8 - Deformações na flexão
8.1 - Linha elástica: Por definição, linha elástica é a curva na qual se transforma o
eixo da viga depois de aplicado o carregamento.
P
x
v
vd
d
d’
o
linha elástica
Onde:
dv : deflexão (flecha) do ponto d (componente vertical do deslocamento do ponto d).
A deflexão é uma função da coordenada x.
8.2 - Métodos de cálculo:
Método da integração direta
Método da energia
Métodos numéricos
Outros.
8.3 - Hipóteses
• Despreza-se a contribuição da força cortante no cálculo das deflexões;
• As deflexões são pequenas quando comparadas com as dimensões da
viga (base, altura e comprimento);
• É válida a Lei de Hooke.
8.4 - Método da integração direta
Em coordenadas cartesianas a expressão da curvatura de uma curva em um
ponto Q(x, y) é dada por:
2
32
2
2
dxdy
1
dx
yd
r1
+
=
50
A inclinação da tangente à linha elástica é muito menor que 1,0. Então, para
uma curva no plano xOv, pode-se fazer:
2
2
dx
)x(v d
r
1 =
Da flexão pura, tem-se o raio de curvatura da superfície neutra:
)x(M
EIr = →
EI
)x(M
r
1 =
Igualando-se as duas últimas expressões, tem-se:
EI
)x(M
dx
)x(vd2
2
=
Para ΕΙ constante e analisando-se o sinal da segunda derivada (considerando-
se o sentido do eixo das deflexões ( v ) positivo para baixo), tem-se:
)x(M)x(vIE || −=
Condições de contorno (ou condições de extremidades):
Nos apoios do 1o e do 2o gênero: 0v =
Nos engastes: 0vv | ==
Observação: )x(V)x(vIE|||
−=
)x(q)x(vIE VI =
8.5 – Consideração do esforço cortante no cálculo de deflexões
51
O deslizamento relativo dh, provocado pela força cortante, entre duas seções
transversais distantes dx está demonstrado no item 6.5.2:
dxGA
)x(Vfdh=
Somando-se todos os deslocamentos relativos dh tem-se a contribuição da força
cortante ( Sv ) para a deflexão:
∫∫ =→= dxGA
)x(Vfvdhv SS
Exercício: Determine a deflexão no meio da viga considerando-se a contribuição do
momento fletor e da força cortante. A viga tem seção transversal retangular ( f = 1,2)
e ΕΙ = constante.
A deflexão total (vT) é dada pela contribuição do momento fletor (vB) e pela
contribuição da força cortante (vS) :
sBT vvv +=
∫= dhv S dx)qx2
qL(
GA
fv
2/L
0S −=→ ∫
−=→
−=
8
L
4
L
GA
qfv
2
xx
2
L
GA
qfv
22
S
2/L
0
2
S
de onde:
8
L
GA
qfv
2
S ⋅=
Considerando-se a contribuição do momento fletor e da força cortante a deflexão no
meio da viga é dada por:
GA8
Lqf
EI384
Lq5v
24
T +=
52
8.6 – Vigas hiperestáticas: Método da superposição dos efeitos
As três equações de equilíbrio da estática não são suficientes para calcularem-se as reações de apoio de vigas hiperestáticas, ou seja, são vigas estaticamente indeterminadas. Além das três equações de equilíbrio são necessárias outras equações que são obtidas impondo-se condições de deslocamentos da estrutura. Neste item, o método da superposição dos efeitos é empregado para calcularem-se as reações de vigas hiperestáticas.
A deflexão de uma estrutura solicitada por várias cargas pode ser calculada somando-se a contribuição de cada carga como se atuasse separadamente. Esta constatação permite calcularem-se as reações de apoio de vigas hiperestáticas com o seguinte procedimento:
1. Retira-se um vínculo da estrutura deixando-a isostática; 2. Calcula-se o deslocamento (ou a rotação) que o vinculo retirando estava
impedindo; 3. Coloca-se a ação (força ou momento) do vínculo retirado sobre a estrutura.
Determina-se o deslocamento (ou a rotação) do ponto de aplicação desta ação como se fosse o único carregamento que atua na estrutura;
4. Impõe-se uma condição de deslocamento (geralmente, deslocamento nulo) obtendo-se a reação de apoio do vínculo retirado. As outras reações serão obtidas com as equações de equilíbrio da estática.
8.7 – Contra-flecha Durante a construção de uma viga recomenda-se provocar deslocamentos em sentido contrário aos deslocamentos que ocorrerão quando for aplicado o carregamento. Este procedimento é chamado de contra-flecha .
53
9 - FLAMBAGEM 9.1 - Introdução
Barras esbeltas solicitadas à compressão rompem por flexão quando a força atinge um valor crítico (Pcr) .
Barra esbelta: quando o comprimento longitudinal é muito maior que as dimensões da seção transversal. Para estudar-se o fenômeno da flambagem tem-se que usar a “teoria de 2a ordem”. Teoria de 1a ordem: para calcularem-se os esforços internos esta teoria permite confundir a forma inicial da estrutura com sua forma deslocada pelas cargas. Teoria de 2a ordem: tem-se que levar em consideração a posição deslocada da estrutura para calcularem-se os esforços internos.
9.2 – Carga crítica de barras bi-articuladas solicitadas por força axial (caso fundamental)
v (x)
v
x
P
P
L
Então: )x(v.P)x(EIv || −= ou: 0)x(v.P)x(EIv || =+
Dividido-se a expressão acima por IE tem-se:
0)x(vEI
P)x(v
|| =+
Chamando-se de EI
Pc
2 = tem-se:
0)x(vc)x(v2|| =+ → Equação diferencial de segunda ordem homogênea
Solução: xe.)x(v βα= onde α é uma constante e ci=β
ou: cx cos B cx sen A (x)v +=
E I v | | (x) = − M (x)
M (x) = P . v(x)
54
A equação da linha elástica cx cos B cx sen A (x)v += tem que satisfazer as
condições de extremidade:
1ª) para x = 0 → v (0) = 0 = A sen c.0 + B cos c.0; 0 = A.0 + B.1 → B = 0
2ª) para x = L → v (L) = 0 = A sen c.L;
Se A = 0 → solução trivial → não existe elástica → não existe flambagem.
Então: sen c.L = 0
A solução é: n = 1, 2, 3 ,4...
Lembrando que: →=EI
Pc
2 →=
π
EI
P
L
n2
22
2
22
L
IEnP
π=
A figura abaixo mostra os três primeiros modos de flambagem, que podem ser verificados
colocando-se n = 1, 2 e 3 na expressão de v(x):
xL
nsenA cx sen A v(x)
π==
cL = nπ
n = ...,-4,-3,-2,-1,0, 1, 2, 3 ,4,...
55
Utilizamos o menor valor de P, isto é, n = 1:
2
2
crL
IEP
π=
crP → é conhecido como carga crítica de Euler. A flambagem é um problema de equilíbrio.
Formas de equilíbrio: estável, instável, indiferente.
9.3 – Tensão crítica (σcr)
AL
EI
A
P2
2cr π
= AL
EI2
2
cr
π=σ
Por definição, o raio de giração i é dado por: AIi2 = [i = m, cm, mm]
Então:
2
22
crL
Eiπ=σ
Chamando de: i
L=λ , onde λ é conhecido como índice de esbeltez e é adimensional, tem-se:
2
2
cr
E
λ
π=σ
Obs.: No cálculo do raio de giração usa-se o menor momento de inércia. Se ocorrer flambagem,
ela acontecerá na direção perpendicular ao eixo de menor momento de inércia (condição mais
desfavorável):
AIi minmin =
9.4 – Fórmula de Euler para outros casos de vinculação A fórmula de Euler torna-se geral se considerarmos o comprimento de flambagem
LKLfl
= :
2fl
min2
rcL
EIP
π= e
2
2
rcE
λ
π=σ onde
min
fl
i
L=λ
56
K = 1,0
L
K = 2,0 K = 0,7 K = 0,5
9.5 – Validade da fórmula de Euler O maior valor que a tensão crítica pode assumir é a tensão de proporcionalidade:
pcr σ≤σ
Por exemplo: Aço CA - 25 com pσ = 210 x 106 N/m2 e AçoΕ = 200 x 109 N/m2
2
2
cr
E
λ
π=σ →
2
926 10.200.
10.210λ
π= →
6
92
10.210
10.200.π=λ 95,96=λ→
57ANEXO
ΙΙΙΙ – Propriedades de áreas planas
ΙΙΙΙ.1 – Momento estático (Q): Seja a área A situada no plano YOZ. Sendo y e z as coordenadas de um
elemento de área dA, o momento estático da área A, por definição, é dado por:
• Dimensão de Q: [ L ] 3
• O momento estático de uma área, dependendo da posição do sistema de referência, pode ser positivo, negativo ou nulo.
ΙΙΙΙ.2 – Centróide: Por definição as coordenadas do centróide (__
y;z ) de uma área são dadas por:
• Observação: o momento estático de uma área finita em relação a um eixo que passa pelo
centróide é nulo. ΙΙΙΙ.3 – Momento de inércia ( ΙΙΙΙ): Por definição:
58• O momento de inércia de uma área é sempre positivo. Dimensão de Ι : [ L ]4
Teorema dos eixos paralelos (ou teorema de Steiner): O momento de inércia de uma área em
relação a um eixo de seu plano é igual ao momento de inércia em relação a um eixo paralelo que
passa pelo seu centróide acrescido ao produto da área pelo quadrado da distância entre os dois eixos.
ΙΙΙΙ.4 – Produto de inércia ( ΙΙΙΙZY): Por definição:
O produto de inércia de uma área em relação a um par de eixos ortogonais é nulo quando um
dos eixos é um eixo de simetria.
59• Teorema dos eixos paralelos para produtos de inércia
ΙΙΙΙ.5 – Rotação de eixos
∫=A
2Z dAyI ∫=
A
2Y dAzI ∫=
AZY ydAzI
Por analogia: ∫=A
2|
ZdAyI | ⇒ ∫ θ+θ=
A
2
ZdA )ycoszsen (I |
θθ+θ+θ= cossenI2senIcosII ZY2
Y2
ZZ| (1)
∫=A
||
YZdAyzI || ⇒ ∫ θ+θθ−θ=
AYZdA )ycoszsen )(senycosz(I ||
)sen(cosIcossen)II(I 22
ZYZYYZ || θ−θ+θθ−= (2)
60ΙΙΙΙ.6 – Circunferência de Mohr para momentos de inér cia e produtos de inércia
As equações (1) e (2) formam uma equação paramétrica da circunferência, ou seja, o lugar
geométrico dos pares )I;I( ||| YZZforma uma circunferência. Para demonstrar esta propriedade deve-se
eliminar o parâmetro θ das equações (1) e (2). Da trigonometria têm-se as seguintes relações:
θ=θθ 2sencossen2 )2cos1(2
1cos2 θ+=θ )2cos1(
2
1sen 2 θ−=θ
Substituindo-se as relações trigonométricas acima nas equações (1) e (2), elevando ao
quadrado e somando-as, tem-se a seguinte equação de uma circunferência:
( ) 2ZY
2
ZY2
YZ
2
YZZ
I2
III
2
III ||| +
−=+
+−
Sem perder a generalidade, para esta demonstração, supõe-se que ZY II > .
Circunferência de Mohr para momentos e produtos de inércia
Ι1 e Ι2 são chamados momentos de inércia principais. Ι1 é o maior momento de inércia e Ι2 o menor.
2ZY
2
ZYYZ1 I
2
II
2
III +
−+
+= 2
ZY
2
ZYYZ2 I
2
II
2
III +
−−
+=
θ1 e θ2 são chamados direções principais, são marcados a partir do eixo OZ e positivo quando o giro é
realizado no sentido anti-horário. θ1 é a direção do plano onde encontra-se o maior momento de inércia
(Ι1) e θ2 é a direção do plano onde encontra-se o menor momento de inércia (Ι2).
Y1
ZY1 II
Itg
−=θ
−−=θ
2Y
ZY2 II
Itg
• 021 90=θ+θ
• Da circunferência de Mohr conclui-se que nas direções principais o produto de inércia ΙZY = 0.
61
Resumo das equações de M(x) e V(x) dos carregamentos mais usados na Engenharia
Carregamento )x(M )x(V
M−
0
xP−
P−
2
xq 2
−
xq−
L6
xq 3
−
L2
xq 2
−
L6
xq
2
xq 32
+−
L2
xqxq
2
+−
BIBLIOGRAFIA
BEER, F. P. & JOHNSTON JR, E. R. Resistência dos Materiais – McGraw-Hill.1982.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais 7a ed. – Prentice Hall. 2009.
PFEIL, W. & PFEIL M. Estruturas de Aço – Dimensionamento Prático – LTC Editora. 1995.
POPOV, E. P. Resistência dos Materiais – Prentice Hall. 1984.
SÜSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural – v. 1. Editora Globo. 1973.
TIMOSHENKO, S. P. & GERE, J. E. Mecânica dos Sólidos – LTC Editora. 1982.