USO DE TABLAS DE MUESTREO MIL-STD- 105 D., DODGE-ROMIG Y MIL-STD-414.

EL SISTEMA DODGE-ROMIG PARA EL MUESTREO DE ACEPTACIN LOTE POR LOTE

Un procedimiento para muestreo por atributos que incluye considerar los efectos de la

inspeccin detallada del producto rechazado debe ser escogido por la persona encargada del

procedimiento de muestreo y para esto debe tomar en cuenta dos cosas: el Sampling

Inspection Tables por Dodge y Romig, y Sampling Inspection por el SRG de Columbia

University.

Las tablas de Dodge y Romig fueron utilizadas primeramente para uso interno en Bell

Telephone System para reducir al mnimo la cantidad total de inspeccin, tomando en cuenta la

inspeccin para muestreo y la inspeccin para seleccin de los lotes rechazados.

Dodge-Romig contiene cuatro grupos de tablas:

I. Tablas de tolerancias de lotes para planes de muestreo sencillo.

II. Tablas de tolerancias de lotes para planes de muestreo doble.

III. Tablas de AOQL (Average Outgoing Quality Limit) para muestreo sencillo.

IV. Tablas de AOQL (Average Outgoing Quality Limit) para muestreo doble.

En el grupo I todos los planes de muestreo en esta tabla tienen el mismo porcentaje de

defectivo tolerable en el lote. Pero los planes tienen diferentes valores de AOQL, los cuales se

presentan en la tabla para cada uno.

La tabla tiene seis columnas, cada una para un valor diferente de porcentaje promedio de

defectivos en el proceso. La finalidad de estas tres columnas diferentes es indicar el plan que

incluya la inspeccin total mnima, al considerar tanto la inspeccin de las muestras y la

inspeccin de 100% de los lotes rechazados.

En el grupo II sera bsicamente como el del grupo I, pero para diferenciarlos es necesario

hacer una comparacin en cualquier plan de muestreo sencillo con uno doble del mismo lote y

el promedio del proceso que produzca la misma proteccin de la calidad para el lote. La

primera muestra del doble es ms pequea que la muestra nica en un sencillo. Dodge-Romig

muestra en su obra un diagrama el cual compara la inspeccin con muestreo sencillo y doble

para diversos tamaos de lotes y relaciones entre promedio del proceso y fraccin de

defectivos tolerables en el lote. Una caracterstica de todos los planes de muestreo doble es

que C2 es siempre de uno o ms, lo cual significa que no se rechaza ningn lote se rechazar

si tiene una sola pieza defectiva.

En el grupo III al contrario de que todos los planes para muestreo sencillo tuvieron el

mismo LTPD, todos los planes tienen el mismo AOQL, adems se presenta el porcentaje de

defectivos tolerables en el lote para cada plan. Cuanto mayor son el tamao de la muestra y el

nmero de aceptacin para un AOQL determinado, menor ser el LPTD.

Hay columnas para los promedios de los diversos procesos; el plan que hay en cada

columna es el que da la inspeccin mnima total para el promedio del proceso que se cita en la

cabeza de la columna. Por tanto, todos los planes en cualquier lnea de la tabla son iguales en

proteccin de calidad y slo difieren en la cantidad total de inspeccin requerida. Si no hay

base para estimar el promedio del proceso, el plan de muestreo se debe escoger en la columna

derecha de la tabla.

En el grupo IV las tablas que incluyen conceptos y muestreo sencillo y doble han estado

disponibles en el sistema Bell para aplicarlos a todos los tipos de inspeccin. Se necesita que

Dodge-Romig confirmen que las tablas AOQL para muestreo doble son las ms tiles de todas.

Determinacin del promedio del proceso en la inspeccin de Dodge-Romig.

La minimizacin de la inspeccin total depende de efectuar una estimacin correcta del

promedio del proceso como base para la seleccin del plan de muestreo. Es ventajoso emplear

en forma sistemtica los resultados de la inspeccin de muestreo a fin de determinar el

promedio del proceso.

Un formato impreso es para registrar los nmeros inspeccionados y los nmeros de

defectivos en los muestreos de lote por lote en un trabajo dado de inspeccin durante una

semana y se separan los resultados de las primeras y segundas muestras en el muestreo

doble. Se cuenta con columnas para mostrar el nmero de defectos de cada tipo, descubiertos

en las primeras muestras. Otro formato impreso es un resumen semanal de los resultados de la

inspeccin. Un lado de este formato es una grfica de control Dep. en la cual se trazan los

porcentajes semanales de defectivos en las primeras muestras. En esta grfica se emplean

lmites de 2-sigmas. Cuando se utilice muestreo doble, el promedio del proceso se debe

calcular slo con las primeras muestras.

Relacin entre el tamao del lote y el tamao de la muestra en las tablas de Dodge-

Romig

Las tablas se aplican a lotes de tamao de 1 a 100,000 y se pueden emplear en los lotes

que se vayan a presentar para aceptacin. Puede ser ventajoso establecer el tamao de los

lotes que se van a presentar para la aceptacin, en lugar de aceptar los lotes tal como vienen.

Las tablas ayudan a tomar una decisin del tamao del lote porque muestran con claridad la

desventaja de los lotes pequeos por comparacin con los grandes desde el punto de vista de

muestreo necesario para una proteccin dada de la calidad.

Est claro que siempre que sea posible es preferible evitar los lotes de tamao muy

pequeo. Se apreciar que el gran ahorro en la inspeccin para una proteccin de calidad

consiste en tomar lotes de 1000 en lugar de los usuales de 50 o 100.

Hay posibles objeciones en lotes de tamao muy grande como de 10,000 a 100,000. Hay

dificultades prcticas para integrar lotes tan grandes para inspeccionarlos; el costo del manejo

ser muy superior a los ahorros en la inspeccin. Es mucho ms difcil tomar una muestra

aleatoria en un lote de 10,000 que un lote de 1,000. Tambin el afecto prejudicial que puede

producir el rechazo de lotes muy grandes en las relaciones entre productor y consumidor puede

ser muy grave.

En las tablas Dodge-Romig se presentan 2 tipos de planes de muestreo:

LTPD. Planes de proteccin para la tolerancia del porcentaje defectuoso en un lote.

AOQL. Planes que proporcionan un lmite especificado para la calidad de salida

promedio.

Los planes de Dodge-Romig slo se aplican a los programas que someten los lotes

rechazados a una inspeccin del 100%. Adems, para usar los planes, debe conocerse el

promedio del proceso, es decir, la fraccin disconforme promedio del producto de entrada.

Obtener una estimacin mas precisa de la fraccin disconforme de entrada o del promedio del

proceso permitir adoptar un plan de muestreo mas apropiado.

Planes AOQL

Los lotes aceptados contendrn, ms o menos, el porcentaje de defectivos original,

aunque habr una ligera mejora con la eliminacin de los defectivos encontrados en las

muestras siempre que es de uno o ms.

Cabe suponer que los lotes rechazados, despus de la inspeccin para seleccin, no

contendrn defectivos. Con cualquiera de los planes, es posible calcular el valor mximo

posible del porcentaje de defectivos en el producto salido de produccin. Este valor mximo se

denomina Lmite de la Calidad

Promedio de Salida (AOQL).

Las tablas de Dodge-Romig incluyen planes de muestreo AOQL para valores del AOQL

de 0.1%, .25%, .5%, .75%, 1%, 1.5%, 2%, 2.5%, 3%, 4%, 5%, 7% y 10%. Para cada uno de

estos valores de AOQL se especifican 6 clases de valores para el promedio del proceso. Se

proporcionan tablas para muestreos nicos y dobles.

Los sistemas de muestreo basados en los valores expresados de AOQL han tenido gran

aceptacin en la industria. Su empleo, en particular, es en la inspeccin que hace el fabricante

de su propio producto, tanto en la inspeccin del proceso como en la inspeccin final. Tambin

han resultado adecuados en muchas circunstancias que no sean de la manufactura, en

particular en la verificacin del trabajo administrativo.

En las tabla B1-B2 se muestran algunos ejemplos de tablas de Dodge-Romig de

tolerancia de lotes con muestreo nico y de AOQL = 2.0% con muestreo doble. En los planes

de doble muestreo de las tablas Dodge-Romig, el nmeroc2 representa el total acumulativo de

elementos defectuosos.

Planes LTPD

Las tablas LTPD de Dodge-Romig estn diseadas de tal modo que la probabilidad de

aceptacin del lote en la LTPD sea 0.1, se proporcionan tablas para los valores LTPD de 0.5%,

1%, 2%, 3%, 4%, 5%, 7% y 10%.

USO E INTERPRETACION DEL MILITAR STANDARD 414: UNO Y DOS LMITES MIL STD 414 (ANSI/ASQC Z1.9)

Es un plan de muestreo para aceptacin por variables, se introdujo en 1957, su punto focal es el nivel de calidad aceptable, que vara de 0.04 a 15%. Existen cinco niveles de inspeccin, donde el nivel IV se considera normal. Utiliza letras cdigos para los tamaos de muestra, los tamaos mustrales son una funcin del tamao del lote y del nivel de inspeccin. En esta norma se pueden emplear dos procedimientos: para el caso de lmites unilaterales se aplica el procedimiento 1 o 2. Si hay lmites bilaterales, se utiliza el procedimiento 2. Esta norma se divide en cuatro secciones: Seccin A.- es una descripcin general de los planes de muestreo, incluyendo ediciones, letras cdigo para el tamao de la muestra, y curvas CO para varios planes de muestreo. Seccin B.- ofrece planes de muestreo por variables que se basan en la desviacin estndar de la muestra, para el caso en el cual se desconoce la variabilidad del lote o del proceso. Seccin C.- presenta planes de muestreo por variables que se basan en el mtodo de la amplitud muestral. Seccin D.- proporciona planes de muestreo por variables para el caso en el que se conoce la desviacin estndar del proceso. La MIL STD 414 proporciona informacin para un cambio a la inspeccin estricta o a la reducida, cuando ella se justifica. Se usa la media del proceso como base para determinar cundo se realizara dicho cambio. Como media del proceso se toma el promedio de las estimaciones mustrales del porcentaje defectuoso, calculadas a partir de los lotes sometidos a la inspeccin original. Normalmente la media del proceso se calcula a partir de la informacin de los 10 lotes anteriores. Debe implantarse la inspeccin estricta siempre que la media del proceso exceda al NCA, y cierto nmero de los lotes (mayor a un valor T en los que se basa la media del proceso tenga estimaciones del porcentaje defectuoso mayores que el NCA. La tabla 11.6 presenta los valores de T. Se utiliza la inspeccin reducida cuando: 1.- los 10 lotes anteriores han estado bajo la inspeccin normal y no se ha rechazado ninguno, 2.- el porcentaje defectuoso estimado para cada uno de dichos lotes es menor que un limite inferior especificado, para el cual se proporciona una tabla especial, o en ciertos planes, cuando el porcentaje defectuoso estimado es igual a cero para un numero especificado de lotes consecutivos; 3.- La produccin es estable. Es necesario estimar la fraccin defectuosa cuando se aplica el procedimiento 2 de la MIL STD 414. Tambin se requiere implementar las reglas de cambio entre la inspeccin normal, la estricta y la reducida. En la norma se proporcionan tres tablas para estimar la fraccin defectuosa. La seleccin de la tabla adecuada depende de que se suponga conocida la desviacin estndar, se estime la desviacin estndar mediante la desviacin estndar muestral, o se use la amplitud de los datos mustrales. Estas tablas se denominan a veces Lieberman- Resnikoff (tabla 11.7), se emplean para estimar la fraccin defectuosa correspondiente a ZLIE y ZESE cuando se desconoce la variabilidad del proceso, y se estima mediante la desviacin estndar muestral. Los nmeros en la tabla son las probabilidades de que la variable normal sea menor que o igual a Z. Estas tablas no solo son tiles para el muestro por variables, sino tambin para cualquier situacin problemtica en la que se necesita una estimacin de los percentiles de una distribucin normal con una media y una desviacin estndar desconocidas. Cuando se empieza a utilizar la MIL STD 414, puede elegirse entre los procedimientos de la desviacin estndar conocida y la desviacin estndar desconocida.

Cuando no se tiene alguna base para conocer Sigma, debe utilizarse obviamente el plan de la desviacin estndar desconocida. Sin embargo, es conveniente llevar una grafica de R o de S para los resultados de cada lote, con objeto de obtener una cierta informacin acerca del estado de control estadstico de la dispersin en el proceso de manufactura. Si este diagrama indica un control estadstico, ser posible cambiar a un plan de sigma conocida. Tal cambio reducira el tamao muestral requerido. Incluso en un proceso sin control perfecto, la grafica de control podra proporcionar informacin conducente a una estimacin conservadora de sigma para su uso en un plan de sigma conocida. Cuando se utiliza un plan de sigma conocida, es necesario llevar un diagrama de control R o S como una verificacin continua de la suposicin de variabilidad estable y conocida del proceso. La MIL STD 414 contiene un procedimiento especial para planes mixtos de muestreo de aceptacin por variables y atributos. Si el lote no satisface los criterios de aceptacin del plan por variables, se obtendr un plan de muestreo por atributos MIL STD 105D utilizando la inspeccin estricta y el mismo NCA. Se puede aceptar un lote por cualquiera de los planes, pero tiene que ser rechazado por ambos mtodos por variables y por atributos. Uno y dos lmites Es posible disear planes de muestreo para aceptacin en casos en los que se conoce o desconoce la variabilidad del lote o el proceso, y en los que hay lmites unilaterales o bilaterales de especificacin para caracterstica de calidad. En el caso de los lmites unilaterales se puede aplicar el procedimiento 1 o el procedimiento 2. Si hay lmites bilaterales, entonces habr que utilizar el procedimiento 2. Si se conoce y es estable la variabilidad del lote o del proceso, los planes que corresponde a una variabilidad conocida son los ms eficaces econmicamente. Cuando se desconoce la variabilidad del lote o del proceso se podra usar la desviacin estndar o la amplitud de la muestra para el plan de muestreo. El mtodo de la amplitud necesita un tamao maestral ms grande y, por lo general, no se recomienda su uso. Diferentes procedimientos del mil-std 414 Esta norma puede aplicarse a una especificacin con solo un lmite, S o I, o a una especificacin con dos lmites. Los planes con sigma conocida incluidos en la norma estn designados como de variabilidad conocida. En estos ltimos planes era posible aplicar o bien el mtodo de la desviacin estndar o el mtodo de amplitud para estimar la variabilidad del lote. Se dispona de dos formas de hacer los clculos. En la forma 2 , la decisin de aceptacin o rechazo requera el uso de una tabla auxiliar que proporcionaba un valor estimado del porcentaje defectuoso del lote basado en un ndice de calidad calculado a partir de cierto valor estadstico de la muestra. En la forma 1 , que era solamente para especificaciones unilaterales, no hacia falta esa tabla auxiliar, las diferencias entre las dos formas se aplicaban solamente al procedimiento de clculos y las dos daban resultado idnticos en cuanto aceptacin y rechazo se refiere .

ANEXO 1

Tablas militares

Los pasos necesarios para poner en marcha el muestreo son los siguientes: 1. Debemos definir el tamao del lote. 2. Conocer el nivel de inspeccin. 3. Consultar una tabla y localizar el cdigo correspondiente al tamao de la muestra. 4. Consultar en la tabla del nivel de inspeccin correspondiente (normal, reducido o riguroso) el cdigo correspondiente al tamao de la muestra la cantidad a inspeccionar y los NCA para los defectos crticos, mayores y menores. 5. Tomar las muestras aleatoriamente y decidir la aceptacin o rechazo del lote. Recuerda que

toda inspeccin inicia como normal y segn el comportamiento se incrementa o reduce su margen de aceptacin. A continuacin se detallan estos 5 pasos 1, 2, 3 y 4. Una vez conocido el tamao del lote y determinado el nivel de inspeccin, se consulta en la tabla el rango en el que se encuentra el tamao del lote que se inspeccionara y el nivel de inspeccin que se aplicara, en donde se cruce la fila del tamao, con la columna del nivel, se encontrara el cdigo correspondiente al tamao de la muestra de la cantidad a inspeccionar. Si tenemos un lote de 10000 piezas y un nivel de inspeccin de I, el cdigo ser J, si el lote fuera del 3150 y el nivel de inspeccin de II, el cdigo ser K.

TAMAO DEL LOTE NIVELES DE INSPECCION GENERALES I II III 28 A B 915 A B C 1625 B C D 2650 C D E 5190 C E F 91150 D F G 151280 E G H 281500 F H J 5011200 G J K 12013200 H K L 320110000 J L M 1000135000 K M N 35001150000 L N P 150001500000 M P Q 500001-en adelante N Q R Paso 4 Conocido el cdigo el nivel de inspeccin (normal, riguroso o reducido), se selecciona la tabla correspondiente del anexo 3, se busca en estas tablas la letra cdigo del tamao de la muestra en la primer columna, una vez localizada, se buscan los valores de aceptacin de los NCA correspondientes a los defectos crticos, mayores o menores del anexo 2. Este ejemplo nos ayudara a poner en prctica lo anterior. Tenemos un lote de 10500 piezas, utilizaremos un nivel de inspeccin I, en inspeccin normal, con un NCA de 0.65 para defectos crticos, 1.0 para mayores y 1.5 para menores. La letra cdigo correspondiente es K, el tamao de la muestra es de 125, el criterio de aceptacin para defectos crticos es de 2 o menos piezas no conformes para aceptar y 3 o ms para rechazar el lote completo, para los defectos mayores es de 3 o menos para aceptar y 4 o ms para rechazar, para los defectos menores se aceptara el lote con 5 o menos defectuosos y se rechazara con 6 o ms. Nmeros aleatorios y como usarlos La tcnica bsica del muestreo aleatorio consiste en asignar un nmero a cada una de las unidades del lote. Para esto se necesita una tabla con nmeros aleatorios como la de la pgina siguiente. Se escoge cualquier parte de la tabla y se van escogiendo nmeros uno tras otro (de izquierda a derecha o de arriba abajo), los nmeros que no aplican, se descarta o se dividen grficamente en 2, un ejemplo seria escoger la serie 10, 42, 56,32 y 43. El 10 pudiera ser el palet (1 si el lote fuera menor de 10 palets), 42 la cama (si el palet tuviera solo 20 camas, se toma el 4, 56 la fila (5 si no tuviera 56 filas) y 32 la columna (3 si no tuviera 32 columnas). La lata a inspeccionar ser la que se encuentre en la interseccin de fila con columna, en la cama y el palet seleccionado. Este plan puede ser modificado por las caractersticas del material a inspeccionar, pero lo importante es no olvidar que debe de ser aleatorio para poder tomar muestras representativas.

USO E INTERPRETACION DEL MILITAR STANDARD 105 E EN EL MUESTREO: Elaborar nuevos programas de muestreo de aceptacin a medida que la ocasin lo requiere es un cierto modo tedioso. El MIL-STD-105D conocido internacionalmente como ABC-STD-105D es un esfuerzo que proporciona un conjunto de programas estandarizados que se conoce tambin como proyecto de muestreo. Se habla de esfuerzo por que fue la ltima revisin del conjunto de programas estndar diseado poco despus de la II guerra mundial. Cada una de las revisiones se baso en el proyecto de muestreo precedente y de los cambios realizados fueron producto de la experiencia adquirida. El primer conjunto de programas estandarizados se elaboro para la Armada y la Marina de los Estados Unidos y se llamo JAN-STD (1949).

En 1950 lo construyo el MIL-STD-105A, con revisiones posteriores de nominadas B y C hasta 1963, ao en que republico el MIL-STD-105D. Uno de los objetivos de la revisin 105D fue crear un conjunto de programas estndar para usarse tanto en Estados Unidos Como en otras naciones. Para ello se formo una comisin internacional integrada por los Estados Unidos, Gran Bretaa y Canad. Al conjunto final de programas estndar se incluyeron las sugerencias de otros pases. Elaboracin de los programas Al analizar el muestreo simple, doble y mltiple, se observo que cada proyecto tiene un objetivo la conversin de los deseos cualitativos de la sugerencia de un modelo cuantitativo. Unas ves establecidas las restricciones RP, RC, NAC, y PDTL, se elaborar un programa que opere de la manera deseada. Cualquier cambio cuantitativo en los programas significa un cambio en los propsitos de la gerencia. Es lgico que un grupo personas incurra en contradicciones al tomar primero una decisin el cuento a cules son los objetivos a lograr por medio de los programas estndar e investigar posteriormente cul es la mejor manera de hacerlo. Si a estos se agregan los compromisos polticos, el programa es an ms complicado. En consecuencia, la tarea de elaborar los programas estndar para uso internacional no fue nada fcil y el proyecto resultante es digno de admirarse. Caractersticas de los programas estndar UN VISTAZO a los programas de MIL-STD-105D revela algunas de las caractersticas generales. En cada pgina, el NAC y las coordenadas arbitrarias designadas con letras maysculas representan un programa especfico. Adems de los programas normales se prevn las medidas necesarias para una inspeccin rigurosa y una truncada. El clculo del NAC presenta varios aspectos interesantes. Dado que dicho clculo se realiza con base a una inspeccin normal, est relacionado con un RP menor al 5% (generalmente entre 1y 2 %). Es decir, cuando la produccin opera correctamente, el riesgo de un rechazo errneo de una determinada cantidad de productos debe ser cazo errneo de una determinada cantidad de productos debe ser muy pequeo. Pero si la operacin es defectuosa, se toman precauciones necesarias para incrementar la proteccin al consumidor. Esto hace que aumente el riego del productor, al considerar las precauciones en que incurre a la inspeccin rigurosa. Por otra parte, si todo funciona adecuadamente durante un periodo largo, el proyecto establece que se tomen muestras ms pequeas con inspeccin truncada y en consecuencia, el costo de la inspeccin es bajo. Conviene observar que el NAC puede variar desde 0.01 hasta 1000, lo cual parece un poco extrao ya que se trata de la proporcin de unidades defectuosas, es decir, Cmo se puede relacionar una cifra de 1000% de unidades defectuosas con antecedentes en estadsticas? El NAC debe definirse de tal manera que la cifra sea razonable. En el MIL-STD-105D, el NAC se refiere al porcentaje de unidades defectuosas, o bien, a los defectos por cien unidades (por supuesto que cualquier unidad puede tener ms de un defecto). Para valores comprendidos entre 0.01 y 10%, los NAC pueden referirse a cualquiera de los dos resultados anteriores. No obstante, los NAC para valores superiores al 10% se requieren exclusivamente por defectos por 100 unidades (por ejemplo, la columna encabezada con el numero 40 indica 40 defectos por cada 100 unidades). Las letras maysculas que aparecen en la columna izquierda de cada pgina de los programas de muestreo se refieren al tamao de la muestra a tomar, que a su vez se refiere al tamao de la muestra y en el del lote. La dependencia entre el tamao de la muestra y el del lote puede parecer incongruente en la construccin de la curvas CO. Es lgico que se obtuviera la misma informacin al tomar una muestra aleatoria de 100 unidades de 10,000, que al tomar una muestra idntica de un lote de 2000.

La cantidad de informacin obtenida de una muestra dada no est muy relacionada con el tamao de la poblacin original si se considera que esta ltima es mucho ms grande (al menos 10 veces al tamao de la muestra). En consecuencia, debe haber otra razn para incrementar el tamao de la muestra al aumentar el tamao del lote. El motivo es de carcter econmico, debido a que los costos implicados en la aceptacin o al rechazo de grandes cantidades de productos requieren mayor cuidado para obtener la evidencia. Se puede escoger un programa de muestro simple, doble o mltiple, para cada letra y NAC correspondiente al tamao del lote. Las curvas CO para programas de muestreo simple, doble o mltiple concuerdan prcticamente para una letra y un NAC determinado. El plan original, el Militar Standard 105 fue diseado en 1950. La ltima revisin, el plan Militar Standard 105E data de 1989. Existe una versin civil de este plan militar, el plan ANSI/ASQC Z1.4, pero supone slo pequeas modificaciones de ste. Este estndar ha sido tambin adoptado por la International Organization for Standarization bajo la denominacin ISO 2859. Este estndar cubre tres tipos de muestreo: simple, doble y mltiple. Para cada tipo de muestreo existen planes especficos dependiendo del nivel de calidad que el comprador espera del vendedor. En este tema nos ocuparemos slo de los planes simples. Para un mismo tamao de lote y un mismo nivel de calidad aceptable (NCA o AQL o valor pA) se especifican tres planes de inspeccin: 1. Normal: para aquellos casos en los que la calidad que se espera del proveedor es similar al NCA 2. Reducido: para aquellos casos en los que la calidad esperada sea muy alta (p < pA). En este tipo de muestreo, el tamao muestral es inferior al plan normal. 3. Riguroso: implica un elevado tamao muestral. Se utiliza cuando se espera una calidad inferior a la AQL (p > pA). Existen una serie de reglas que determinan el plan de muestreo anterior. Estas reglas pueden resumirse en los siguientes puntos: El plan de inspeccin normal se realizar al comienzo de la tarea de inspeccin. Cambio de plan normal a riguroso: se pasar de inspeccin normal a rigurosa si dos de cinco lotes consecutivos han sido rechazados. Cambio de plan riguroso a normal: se pasar de control riguroso a normal cuando se acepten cinco lotes consecutivos Cambio de plan normal ha reducido: se pasar de muestreo normal ha reducido si no se rechaza ningn lote durante diez lotes seguidos. Cambio de plan reducido a normal: se pasar de muestreo reducido a normal si un lote es rechazado. Tambin puede volverse al plan normal cuando el nmero de defectuosos no lleva ni a aceptar ni a rechazar el lote. Si se est en el plan de inspeccin riguroso durante ms de diez lotes, la inspeccin debe concluir y se debe proponer el vendedor que aumente los niveles de calidad de su produccin.

El plan MIL STD 105E vara tambin en funcin del coste del muestreo, existiendo varios niveles segn el coste de inspeccin. Estos niveles son: Coste de inspeccin alto: Nivel I. Coste de inspeccin estndar: Nivel II. Coste de inspeccin bajo: Nivel III. Niveles especiales (por ejemplo, en ensayos destructivos): Niveles S-1 a S-4 Los planes estn diseados teniendo en cuenta el riesgo del vendedor, AQL o pA. El riesgo del comprador y pR no se tienen en cuenta explcitamente al utilizar las tablas, pero los valores de son muy pequeos si pR > 5pA. Para aplicar el plan hay que seguir los siguientes pasos (consideramos muestreo simple): 1. Decidir el AQL o pA. 2. Determinar el nivel de inspeccin en funcin de su coste (nivel I, II, III, o niveles especiales). 3. Con el tamao del lote y el nivel de inspeccin anterior ir a la tabla de cdigos y encontrar el cdigo de inspeccin. 4. Determinar el plan de inspeccin (normal, riguroso (o estricto) y reducido). 5. Con el cdigo de inspeccin y el plan de inspeccin, acudir a la tabla correspondiente: Tabla de inspeccin normal, reducida o estricta, y encontrar el plan de muestreo. 6. Tomar la muestra y ejecutar la inspeccin. Con el resultado evaluar un posible cambio de plan. MIL STD 105E. Reglas para el cambio de nivel de muestreo Ejemplo tabla militar MIL STD 105-E Supongamos que N=100 y el PDTL = pL = 0.10. Entonces D = N pL = 100(0.10) = 10 La tabla 106 da entonces f = 0.21, que corresponde al valor mas cercano a D= 10. El Plan de muestreo deseado es entonces n = 0.21 (100) = 21 c = 0 As, dicho plan consiste en seleccionar, al azar 21 artculos del lote de tamao 100, y en rechazar el lote si se encuentra 1 o mas defectos. Ejemplo de tabla: Sencillo o Simple: Consiste en un tamao de muestra n, y un nmero de aceptacin c, ambos fijados de antemano. El nmero de unidades que se deben inspeccionar deber ser igual al tamao de la muestra dado por el plan. Si el nmero de defectivos encontrados en la muestra es igual o menor que el nmero de aceptacin, se debe considerar como ACEPTABLE EL LOTE o PRODUCCIN UNITARIA. Si el numero de defectivos es igual o mayor que el numero de rechazo, el LOTE O PRODUCCIN SE DEBE RECHAZAR. Ejemplo: Muestreo sencillo Tamao de la muestra: 125 Nmero de aceptacin: 5 defectivos Nmero de rechazo: 6 defectivos 3.2.4 DOBLE Doble: La idea de este muestreo es tomar una primera muestra de tamao pequeo para detectar los lotes muy buenos o lo muy malos, y si en la primera muestra no se puede decidir si aceptar o rechazar porque la cantidad de unidades defectuosas ni es muy pequea ni es muy grande, entonces se toma una segunda muestra, para decidir si aceptar o rechazar tomando en cuenta las unidades defectuosas encontradas en las dos muestras.

O El nmero de unidades de la muestra que se inspecciona debe ser igual al primer tamao de

muestra dado por el plan. O Cuando el nmero de defectivos que se encuentran en la primera

muestra sea igual o menor que el primer nmero de aceptacin, se considerara aceptable el

lote o la produccin unitaria. O Si el nmero de defectivos en la primera muestra es igual o

mayor que el primer nmero de rechazo, se debe de rechazar el lote o la produccin. O Si el

numero de defectivos en la primera muestra queda entre los primeros nmeros de aceptacin y

de rechazo se toma UNA SEGUNDA MUESTRA, del tamao dado por el plan y se inspecciona;

el nmero de la primera y la segunda muestra se suman; si la suma es igual o menor que el

segundo numero de aceptacin, se ACEPTA EL LOTE o PRODUCCIN. Si la suma de

defectivos es mayor o igual que el segundo numero de rechazo, el LOTE O PRODUCCIN SE

RECHAZA.

Ejemplo de plan de muestreo Doble Primera muestra: 125 Nmero de aceptacin: 1 defectivo Nmero de rechazo: 4 defectivos Segundo tamao de muestra: 125 Tamao de muestra combinada: 250 Nmero de aceptacin: 4 defectivos Nmero de rechazo: 5 defectivos MULTIPLE En una inspeccin de muestreo mltiple, el procedimiento debe de ser, similar al descrito en el muestreo doble a excepcin de que el nmero requerido de muestras sucesivas para llegar a una decisin, debe ser mayor de dos. Un plan de muestre mltiple es una extensin del concepto de muestreo doble a varias fases en el que pueden necesitarse mas de dos muestras para llegar a una decisin acerca de la suerte del lote. Los tamaos maestrales suelen ser menores que en un muestreo simple o doble. Se usa el mismo principio que en muestreo doble excepto que pueden necesitarse ms de dos muestras Una forma particular de muestreo mltiple es conocida como muestreo secuencial. PLAN DE MUESTREO DE ACEPTACION POR VARIABLES: En este tipo de planes se toma una muestra aleatoria del lote y a cada unidad de la muestra se le mide una caracterstica de calidad aleatoria del lote (peso, longitud, etc.). Con las mediciones se calcula un estadstico, que generalmente est en funcin de la media y la desviacin estndar muestral, y dependiendo del valor de este estadstico al compararlo con un valor permisible, se aceptar o rechazar todo el lote. Muestreo de aceptacin por variable. En los planes de muestreo de aceptacin por variables se especifican el nmero de artculos que hay que muestrear y el criterio para juzgar los lotes cuando se obtienen datos de las mediciones respecto a la caracterstica de calidad que interesa. Estos planes se basan generalmente en la media y desviacin estndar maestrales de la caracterstica de calidad. Cuando se conoce la distribucin de la caracterstica en el lote o el proceso, es posible disear planes de muestreo por variables que tengan riesgos especificados de aceptar y de rechazar lotes de una calidad dada. Ventajas: Se puede obtener de la misma curva caracterstica de operacin con un tamao muestral menor que lo requerido por un plan de muestreo por atributos. Cuando se utilizan pruebas destructivas, el muestreo por variables es particularmente til para reducir los costos de inspeccin. Los datos de mediciones proporcionan normalmente ms informacin sobre el proceso de manufactura o el lote que los datos de atributos.

Desventajas: Se debe de conocer la distribucin de la caracterstica de calidad. Se debe de usar un plan para cada caracterstica de calidad que hay que inspeccionar. Es posible que el uso de un plan de muestreo por variable lleve al rechazo de un lote aunque la muestra que se inspecciona realmente no tenga ningn artculo defectuoso. En el muestreo de aceptacin por variable, inspeccionamos los productos de acuerdo con una medida cuantitativa de la calidad (por ejemplo: peso, longitud, resistencia a la presin, etc.). En el caso de las caractersticas que se miden en una escala continua, debemos tener en cuenta que nunca se pueden lograr estndares exactos, porque siempre hay una pequea variabilidad entre los productos. Por ejemplo, si un saco de arroz especifica un peso de 50 Kg., lo normal es que recibamos sacos con pesos cercanos a los 50 Kg., pero nunca con precisin matemtica la especificacin indicada. En general, el control de la calidad por variables requiere de la especificacin de un valor promedio de la variable o caracterstica, y de una medida del grado de variabilidad de la variable; al respecto, la medida de variabilidad adoptada universalmente es la desviacin estndar. Si la calidad de un producto especifica que la variable de calidad tiene una media y una desviacin estndar S, esto significa que aproximadamente en el 68% de los productos la variable de calidad tiene un valor que est entre fiS y + S. Un plan de muestreo de aceptacin por variable debe especificar el tamao de la muestra, al cual llamamos n, y el rango de aceptacin para el promedio de la muestra. La determinacin de n y del rango de aceptacin en un plan de muestreo por variable se hace de acuerdo con el riesgo que estamos dispuestos a correr de cometer los errores tipo I y tipo II. Supongamos que de acuerdo con nuestro costo de inspeccin, hemos determinado que n = 10 es un tamao de muestra apropiado. Con el fin de determinar el rango de aceptacin para el promedio de la muestra, debemos fijar la probabilidad de cometer el error tipo I (rechazar un lote que cumple las especificaciones). En este caso, fijaremos la probabilidad de error tipo I en 0.05. Para determinar el rango de aceptacin debemos tener en cuenta que la variable: Z = (x ) / [S / n] Tiene una distribucin de probabilidades conocida con el nombre de distribucin normal estndar. Las probabilidades de la distribucin normal estndar estn tabuladas en los textos de estadstica. En particular, en estas tablas se puede ver que la probabilidad de que Z tome un valor menor de 1.645 es igual a la probabilidad de error tipo I de 0.05 que hemos fijado. Luego, si el lote cumple con las especificaciones de calidad, es decir n = 50 y S = 1, la probabilidad de que la media de la muestra sea menor de: - 1.645 (S n) = 50 - 1.645 (1 / 10) = 49.48 Es de 0.05. Es decir; si nuestro criterio de rechazo es que la media de los pesos de la muestra de 10 sacos es menor de 49.48 Kg., tendremos una probabilidad de 0.05 de cometer el error tipo I, como lo queramos. De esta forma, hemos determinado nuestro rango de aceptacin, aceptamos el lote de 100 sacos si en una muestra de 10 sacos encontramos un peso promedio de 49.48 kg. O ms. Si queremos determinar un tamao de muestra adecuado, debemos tener en cuenta las probabilidades de cometer el error tipo II. Al igual que en el muestreo por atributo, al aumentar el tamao de la muestra, se disminuye la probabilidad de cometer el error tipo II, una vez que se ha fijado el riesgo de cometer el error tipo I.

Resumiremos los pasos necesarios para la determinacin de un plan de muestreo de aceptacin por variable:

1. Determinar la media y. y la desviacin estndar S que esperamos en un lote aceptable. 2. Fijar la probabilidad de cometer el error tipo I deseada (menor de 0.10) y un tamao de muestra n que consideremos adecuado desde el punto de vista del costo. 3. Con base en los valores de n, , S y la probabilidad de cometer el error tipo I, se determina el rango de aceptacin haciendo uso de las tablas de la distribucin normal estndar. 4. En funcin de una media de la caracterstica que no es deseable, y de una probabilidad de cometer el error tipo II con esa media, determinar si el tamao de muestra n satisface nuestras expectativas de costo y precisin. Si las satisface, podemos aceptar el plan de muestreo; de otra forma, debemos incrementar el tamao de muestra n y volver al paso 3. Debemos indicar que para el caso de muestreo de aceptacin por variable se puede determinar directamente el tamao de muestra apropiado en funcin de las probabilidades de cometer los errores tipo I y II

ACEPTACION DE LOTES CON NIVEL ACEPTABLE DE CALIDAD

Existen dos tipos generales de procedimientos de muestreo por variables;

planes que controlan la fraccin defectuosa del lote o el proceso, y

planes que controlan un parmetro (normalmente la media) del lote o el proceso.

Procedimiento 1: Se obtiene una muestra aleatoria de n artculos del lote y se calcula la estadstica. Observemos que en (111) ZLIE expresa exactamente la distancia entre la media maestral x y el lmite inferior de especificacin en unidades de desviacin estndar. Cuando mas grande sean los valores de ZLIE, tanto mas lejos se encuentra la media muestral x respecto del limite inferior de especificacin y, por consiguiente, tanto mas pequea es la fraccin defectuosa p del lote. Si ZLIE>= k, se aceptar el lote. Si ZLIE < k, se rechazar el lote. Procedimiento 2: Se obtiene una muestra aleatoria de n artculos del lote y se calcula ZLIE. Para estimar la fraccin defectuosa del lote o el proceso se utiliza ZLIE como el rea bajo la curva normal estndar a la izquierda de ZLIE. Sea p el estimador. Si el valor del estimador p es mayor que un mximo especificado M, se rechazar el lote de otra manera se aceptar. Muestreo para Aceptacin que busca responder a la cuestin cuanto a la calidad de los artculos que se adquiere en base a la inspeccin de una muestra aleatoria de tems del lote del producto terminado conduce necesariamente a una decisin, aceptar o rechazar el lote. Sabemos por anticipacin que cualquier decisin involucra riegos (Tomar la decisin correcta o equivocada) y que por regla general cuanto ms informacin tenemos sobre el problema, menores son los riesgos de tomar la decisin equivocada. En el caso denominase Riesgo de Productor la probabilidad de que el lote sea RECHAZADO cuando en VERDAD el lote presenta la calidad deseada y Riesgo del Consumidor es la probabilidad que este sea ACEPTADO cuando no presenta la calidad deseada. La elaboracin de Planes de Muestreo para Aceptacin toma en cuenta todos estos factores y una vez establecido se pueden representar los riegos del productor y del consumidor a travs de puntos sobre una curva denominada Curva Caracterstica de Operacin - CCO del Plan de Muestreo.

La CCO es construida calculndose la probabilidad del Riesgo del Productor tomando en cuenta la supuesta Calidad del Lote. Esta probabilidad estar dada por el modelo de probabilidad que mejor describe la variacin que introducimos en el proceso al juzgar la poblacin con base al examen de una muestra tomada de ella. El establecimiento de Tablas de Control as como de Planes de Muestro para Aceptacin requieren de significativo conocimiento de Mtodos Estadsticos que trascienden los objetivos de este texto. Sin embargo, con alguna superficialidad es posible ilustrar a travs de un Plan de Muestreo para Ilustracin: Suponga que estamos inspeccionado lotes de piezas con el siguiente procedimiento: Examinamos una muestra de n=16 tems de cada lote de un producto terminado; Aceptamos cualquier lote como satisfactorio si en la muestra no encontramos ms que 4 defectuosos. As n= 16, donde n es tamao de la muestra o nmero de ensayos y la cantidad mxima de tems defectuosos en la muestra c que nos lleva a aceptarlo es c= 4. Para examinar con algn detalle el funcionamiento de este Plan de Muestreo es necesario construir su Curva Caracterstica de Operacin - CCO y para tal debemos determinar la probabilidad de rechazarlo haciendo suposiciones sobre el porcentaje de defectuosos en el lote. En este caso el modelo de probabilidad involucrado es conocido por Distribucin Binomial de Probabilidades. Si genricamente definimos X = nmero de tems defectuosos en la muestra es posible determinar la probabilidad deseada, P(X

Es preciso definir previamente en qu consiste un plan de muestreo con rectificacin para entender la relevancia terica y prctica de la estimacin de la Calidad Promedio a la Salida (AOQ) y el Lmite Promedio de Calidad a la Salida (AOQL).

Los planes de muestreo con rectificacin son aquellos donde los lotes rechazados son

inspeccionados completamente, de modo que las unidades defectuosas sean cambiadas por unidades conformantes. De esta forma se considera que un lote rechazado luego de la rectificacin tendr un 100% de unidades conformantes. Se asume implcitamente que no existen errores en la inspeccin, donde una unidad defectuosa sea clasificada errneamente por una unidad conformante. La rectificacin permite mejorar significativamente la calidad de aquellos lotes que en primera instancia fueron rechazados, sin embargo, aquellos lotes aceptados mantendrn una cierta proporcin de unidades defectuosas que no han sido reemplazadas dado que no ha sido necesario inspeccionar la totalidad del lote (dada la aceptacin del mismo).

En este contexto la Calidad Promedio a la Salida (AOQ) consiste en estimar la calidad que tendr en promedio los lotes inspeccionados que tengan una proporcin de unidades (p) que no cumple con las especificaciones. En trminos de valor esperado se obtiene a travs de la siguiente frmula:

AOQ = Pa*p

En forma complementaria al indicador AOQ, usualmente se requiere estimar el Lmite Promedio de Calidad a la Salida (AOQL) que se define como el nivel de calidad a la entrada (como fraccin de unidades defectuosas "p") que tiene asociada la "peor" calidad luego de la rectificacin (salida).

Ejemplo de Clculo de la Calidad Promedio a la Salida (AOQ) y Lmite Promedio de Calidad a la Salida (AOQL)

Se dispone de lotes de N=5.000 unidades que se someten a un plan de muestreo simple con rectificacin donde se toma una muestra de tamao n=50 y se define un nmero de aceptacin c=4. Se estima que el porcentaje histrico de defectuosos en lotes similares alcanza un 4%. Determine la Calidad Promedio a la Salida (AOQ) y estime el Lmite Promedio de Calidad a la Salida (AOQL) para distintos valores de calidad a la entrada (p).

El muestreo queda definido por N=5.000, p=4% y (n,c)=(50,4). Para determinar la probabilidad de aceptacin del lote se utiliza la Distribucin de Poisson dado que se satisfacen las condiciones para utilizar dicha distribucin (n>15 ; p 10*n - Ver para ms detalles la

seccin de muestreo simple). La siguiente tabla muestra el clculo de AOQ para distintos niveles de calidad a la entrada, por ejemplo, para una fraccin de 4% de unidades defectuosas el plan de muestreo nos dar una probabilidad de aceptacin del lote de un 94,73% y por tanto luego de la rectificacin en promedio los lotes de calidad similar (a la entrada) tendrn a la salida un 3,79% de unidades defectuosas. En consecuencia AOQ = 0,9473*0,04 = 3,79%.

Siguiendo este procedimiento para distintos valores de p se puede estimar la Calidad a la Salida (AOQ). Luego, para el valor de p que determina la "peor" Calidad a la Salida se obtiene el Lmite Promedio de Calidad a la Salida (AOQL). En nuestro ejemplo para una fraccin de

defectuosos del 7% a la entrada se obtiene la peor calidad a la salida. Aproximadamente AOQL = 5,08%. El siguiente grfico muestra que la calidad promedio a la salida (eje vertical) se alcanza aproximadamente para un valor de p=7% que corresponde a la calidad a la entrada (eje horizontal).

MUESTREO SIMPLE

El plan de muestreo simple es la tcnica ms sencilla para determinar la aceptacin de un lote, donde ste se

somete a una muestra nica. Si consideramos un lote de tamao N y tomamos una muestra de tamao n y se

define un nmero de aceptacin c, el lote se acepta si la muestra tiene un nmero de unidades defectuosas X

menor o igual a c. Si esta condicin no se cumple, entonces el lote se rechaza. El siguiente diagrama describe

el procedimiento:

Ejemplo de Muestreo Simple

Consideremos un lote de tamao de 1.000 unidades sobre el cual queremos realizar un muestreo simple

tomando una muestra de tamao 80 unidades y definiendo como nmero de aceptacin 4 unidades, es decir,

se aceptar el lote completo si de la muestra se obtiene un mximo de 4 unidades defectuosas. Si

consideramos que histricamente los lotes de similares caractersticas han presentado un 5% de unidades

defectuosas, necesitamos estimar la probabilidad de aceptacin del lote.

En la notacin descrita anteriormente, el muestreo queda definido por N=1.000, p=5% y (n,c)=(80,4).

Para estimar la probabilidad de aceptacin del lote se puede utilizar la Distribucin de Poisson la cual

generalmente se encuentra tabulada en los textos de Gestin de Calidad o alternativamente se puede estimar

de forma sencilla a travs de una planilla de clculo. Se utiliza generalmente la Distribucin de Poisson

cuando se cumplen en forma conjunta los siguientes requisitos: n>15 ; p 10*n. Es importante

destacar que en cuanto al tamao de la muestra existe ciertas diferencias en los criterios, donde se requiere a

veces slo un tamao de muestra superior a 12 o 13. Si la muestra es "pequea" (asumamos un tamao de

muestra inferior a 15 unidades) se recomienda utilizar para la estimacin la Distribucin Binominal.

En nuestro ejemplo se cumplen las condiciones para utilizar la Distribucin de Poisson. Un parmetro de

entrada para esta distribucin es n*p=80*0,05=4. Luego buscamos en la tabla el cruce de dicho valor para

c=4.

Se concluye que la probabilidad de aceptacin del lote es de un 62,9%. Si por ejemplo el valor de c hubiese

sido 3, la probabilidad de aceptacin del lote sera slo de un 43,3% lo cual es lgico al ser este plan de

muestreo ms restrictivo. A continuacin se muestra como obtener un resultado similar haciendo uso de Excel:

Una extensin natural del Muestreo Simple es el Muestreo Doble y Muestreo Mltiple cuyo procedimiento se

detallan en las secciones respectivas de este sitio.

Para una mayor facilidad en la utilizacin y aplicacin de los planes de muestreo de aceptacin, se requiere

generalmente que stos se encuentren tabulados. La norma MIL-STD-105E es un esquema de muestreo que

ide el gobierno de Estados Unidos para sus adquisiciones durante la Segunda Guerra Mundial.

MIL-STD-105E est diseada para muestreo de atributos lote por lote. Se usa AQL entre 0,10 a 10%. Los

planes AQL tienen eficacia mxima si rechaza suficientes lotes para que sea conveniente mejorar la calidad del

producto cuando el fabricante produce un nivel de calidad peor que el AQL y si el plan rechaza muy pocos lotes

cuando el fabricante produce un nivel de calidad mejor que el AQL.

Para utilizar un plan de muestreo indexado segn AQL como la norma MIL-STD-105E se deben seguir los

siguientes pasos:

Establecer el valor de AQL: decisin de la administracin.

Determinar el tamao del lote: por lo general se establece por convenio entre el proveedor y el cliente.

Determinar el nivel de inspeccin: generalmente inspeccin normal.

Determinar el plan de muestreo: muestreo sencillo, doble o mltiple.

Determinar la clave de tamao de muestra (letra)

Determinar el tamao de muestra y el nmero de aceptacin

Seleccionar la muestra: se debe tomar del lote al azar.

Inspeccionar la muestra: se cuentan los artculos defectuosos. Si el nmero que resulta no supera el nmero de aceptacin que se encontr en la tabla se acepta el lote. En caso contrario se rechaza.

Registrar los resultados: se debe llevar registro de las decisiones de aceptacin o rechazo para que se puedan seguir las reglas de cambio.

Ejemplo de Aplicacin de la Norma MIL-STD-105E

Una empresa desea aplicar la Norma MIL-STD-105E para el muestreo de lotes de un determinado producto de

tamao N=3.000 y que histricamente ha presentado un porcentaje de defectuosos de un 2%. Se ha

convenido un nivel de calidad aceptable (AQL) de un 1%. La empresa utiliza inspeccin normal. Con esta

informacin se busca determinar el tamao de la muestra (n) y el nmero de aceptacin (c).

Paso 1: Dado el tamao del lote y el nivel de inspeccin seleccionado se busca la letra que corresponde a dicho

plan. En el ejemplo el tamao del lote esta en el rango entre 1.201 y 3.200 y la inspeccin normal corresponde

a la columna II. La letra por tanto a utilizar es K.

Paso 2: Buscamos en la siguiente tabla el cruce entre la letra seleccionada previamente (en nuestro ejemplo

K) y el nivel de AQL definido (en nuestro ejemplo AQL=1%). Se obtiene n=125 como tamao de muestra,

c=3 como nmero de aceptacin y r=4 como nmero de rechazo.

Finalmente utilizando el procedimiento de Muestreo Simple se puede determinar la probabilidad de aceptar el

lote con N=3.000, p=2% y (n,c)=(125,3). Se deja al visitante verificar que dicha probabilidad corresponde

a Pa=75,75%.