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Relaciones y funciones
Algebra
Araceli Guzman y Guillermo Garro
Facultad de CienciasUNAM
Semestre 2018-1
doyouwantmektalwar.wordpress.com
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Relaciones y funciones Algebra
Relaciones y funciones
Los conceptos de relacion y funcion son, sin duda alguna, de los mas importantes dentrode las matematicas modernas. La mayor parte de la investigacion en matematicas secentra en el estudio de relaciones y funciones, por lo cual, no ha de sorprender que estosconceptos sean de una gran generalidad. Hausdorff consideraba que el concepto defuncion es casi tan primitivo como el de conjunto, y que decir del concepto de relacion,el cual intuitivamente parece mas esencial que el de funcion.
Fernando Hernandez, Teorıa de conjuntos.
Referencias
1. Antonio Lascurain, Algebra Superior, 2011. Bajar aquı.
2. Carmen Gomez Laveaga. Algebra Superior, 2016. Bajar aquı.
3. A. Bravo, H. Rincon y C. Rincon. Algebra superior, 2014. Bajar aquı.
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Relaciones y funciones Algebra
Relaciones y funciones
Los conceptos de relacion y funcion son, sin duda alguna, de los mas importantes dentrode las matematicas modernas. La mayor parte de la investigacion en matematicas secentra en el estudio de relaciones y funciones, por lo cual, no ha de sorprender que estosconceptos sean de una gran generalidad. Hausdorff consideraba que el concepto defuncion es casi tan primitivo como el de conjunto, y que decir del concepto de relacion,el cual intuitivamente parece mas esencial que el de funcion.
Fernando Hernandez, Teorıa de conjuntos.
Referencias
1. Antonio Lascurain, Algebra Superior, 2011. Bajar aquı.
2. Carmen Gomez Laveaga. Algebra Superior, 2016. Bajar aquı.
3. A. Bravo, H. Rincon y C. Rincon. Algebra superior, 2014. Bajar aquı.
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Relaciones y funciones Algebra
Pares ordenadas. Producto cartesiano
Sean A y B conjuntos. Si a ∈ A y b ∈ B, entonces el par ordenado de a y b es elconjunto
(a, b) := {{a}, {a, b}} ∈ ℘(℘(A ∪B)).
El producto cartesiano de A y B es el conjunto A × B de todos los pares ordenados(a, b) tales que a ∈ A y b ∈ B.
Si A = B, entonces escribimos A2 en lugar de A×A.
Ejemplo
Sean A = {1, 2, 3} y B = {a, b}.
A×B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}= {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}.
Note que (1, a) ∈ A×B, pero (1, a) /∈ A×B. El orden sı importa!
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Relaciones y funciones Algebra
Ejemplo
Sean los intervalos cerrados de numeros reales:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} y [c, d] := {x ∈ R : c ≤ x ≤ d}.
El producto cartesiano [a, b]× [c, d] tiene una representacion geometrica tıpica
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Relaciones y funciones Algebra
Ejemplo
Sea A := {x ∈ R : |x| < 1}. Note que
|x| < 1 ⇔ −1 < x < 1.
De modo que A es el intervalo abierto (−1, 1).
La representacion geometrica del producto cartesiano
A× R = {(x, y) : −1 < x < 1 ∧ y ∈ R}
tiene tambien una representacion geometrica tıpica.
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Relaciones y funciones Algebra
El plano cartesiano R2
El producto cartesiano R2 := R×R es el conjunto de todas las parejas ordenadas (x, y)tales que x ∈ R y y ∈ R
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Relaciones y funciones Algebra
La propiedad mas importante de las parejas ordenadas
Teorema : El orden sı importa
Sean A y B conjuntos. Para todos a, c ∈ A y para todos b, d ∈ B,
(a, b) = (c, d) si y solo si a = c y b = d.
Demostracion.
[⇒] Supongamos que (a, b) = (c, d). Luego, por definicion
(a, b) = {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} = (c, d).
Por el principio de extension, hay dos casos, a saber,
Caso I: {a} = {c} y {a, b} = {c, d}.
Caso II: {a} = {c, d} y {a, b} = {c}.
En cualquier caso, a = c y b = d.
Caso I: {a} = {c} y {a, b} = {c, d}.
{a} = {c} ⇒ a = c,
∴ {a, b} = {a, d} ⇒ b ∈ {a, d} y d ∈ {a, b}⇒ a = b y en cuyo caso a = b = c = d,
o bien, b = d (y ya sabemos que a = c).
Caso II: {a} = {c, d} y {a, b} = {c}.
{a} = {c, d} ⇒ a = c = d
{a, b} = {c} ⇒ a = b = c.
De donde, obviamente, a = c y c = d.
[⇐] Trivial.Araceli Guzman y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
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La propiedad mas importante de las parejas ordenadas
Teorema : El orden sı importa
Sean A y B conjuntos. Para todos a, c ∈ A y para todos b, d ∈ B,
(a, b) = (c, d) si y solo si a = c y b = d.
Demostracion.
[⇒] Supongamos que (a, b) = (c, d). Luego, por definicion
(a, b) = {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} = (c, d).
Por el principio de extension, hay dos casos, a saber,
Caso I: {a} = {c} y {a, b} = {c, d}.
Caso II: {a} = {c, d} y {a, b} = {c}.
En cualquier caso, a = c y b = d.
Caso I: {a} = {c} y {a, b} = {c, d}.
{a} = {c} ⇒ a = c,
∴ {a, b} = {a, d} ⇒ b ∈ {a, d} y d ∈ {a, b}⇒ a = b y en cuyo caso a = b = c = d,
o bien, b = d (y ya sabemos que a = c).
Caso II: {a} = {c, d} y {a, b} = {c}.
{a} = {c, d} ⇒ a = c = d
{a, b} = {c} ⇒ a = b = c.
De donde, obviamente, a = c y c = d.
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La propiedad mas importante de las parejas ordenadas
Teorema : El orden sı importa
Sean A y B conjuntos. Para todos a, c ∈ A y para todos b, d ∈ B,
(a, b) = (c, d) si y solo si a = c y b = d.
Demostracion.
[⇒] Supongamos que (a, b) = (c, d). Luego, por definicion
(a, b) = {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} = (c, d).
Por el principio de extension, hay dos casos, a saber,
Caso I: {a} = {c} y {a, b} = {c, d}.
Caso II: {a} = {c, d} y {a, b} = {c}.
En cualquier caso, a = c y b = d.
Caso I: {a} = {c} y {a, b} = {c, d}.
{a} = {c} ⇒ a = c,
∴ {a, b} = {a, d} ⇒ b ∈ {a, d} y d ∈ {a, b}⇒ a = b y en cuyo caso a = b = c = d,
o bien, b = d (y ya sabemos que a = c).
Caso II: {a} = {c, d} y {a, b} = {c}.
{a} = {c, d} ⇒ a = c = d
{a, b} = {c} ⇒ a = b = c.
De donde, obviamente, a = c y c = d.
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La propiedad mas importante de las parejas ordenadas
Teorema : El orden sı importa
Sean A y B conjuntos. Para todos a, c ∈ A y para todos b, d ∈ B,
(a, b) = (c, d) si y solo si a = c y b = d.
Demostracion.
[⇒] Supongamos que (a, b) = (c, d). Luego, por definicion
(a, b) = {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} = (c, d).
Por el principio de extension, hay dos casos, a saber,
Caso I: {a} = {c} y {a, b} = {c, d}.
Caso II: {a} = {c, d} y {a, b} = {c}.
En cualquier caso, a = c y b = d.
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Relaciones
Una relacion entre los conjuntos A y B, es cualquier subconjunto del producto cartesianoA×B. Si R ⊂ A×B y (a, b) ∈ R, algunas veces escribimos aRb. Si A = B decimossimplemente que R es una relacion sobre A.
Si (a, b) ∈ R, decimos que b es la imagen a respecto a R, y que a es la preimagen de brespecto a R.
El dominio de una relacion R ⊂ A × B, es el subconjunto DR ⊂ A de todos loselementos de A que tienen imagen en B respecto a R. Esto es:
DR = {a ∈ A : (∃b ∈ B)(a, b) ∈ R}.
Para toda a ∈ A,
a ∈ DR ⇔ (∃b ∈ B)(a, b) ∈ R.
La imagen de una relacion R ⊂ A × B, es el subconjunto IR ⊂ B de todos loselementos de B que tiene preimagen en A respecto a R. Esto es:
IR = {b ∈ B : (∃a ∈ A)(a, b) ∈ R}.
Para toda b ∈ B,
b ∈ IR ⇔ (∃a ∈ A)(a, b) ∈ R.
La relacion inversa de una realcion R ⊂ A×B, es la relacion sobre B ×A dada por
R−1 = {(b, a) ∈ B ×A : (a, b) ∈ A×B}.
Para toda a ∈ A y toda b ∈ B,
(b, a) ∈ R−1 ⇔ (a, b) ∈ R.
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Relaciones
Una relacion entre los conjuntos A y B, es cualquier subconjunto del producto cartesianoA×B. Si R ⊂ A×B y (a, b) ∈ R, algunas veces escribimos aRb. Si A = B decimossimplemente que R es una relacion sobre A.
Si (a, b) ∈ R, decimos que b es la imagen a respecto a R, y que a es la preimagen de brespecto a R.
El dominio de una relacion R ⊂ A × B, es el subconjunto DR ⊂ A de todos loselementos de A que tienen imagen en B respecto a R. Esto es:
DR = {a ∈ A : (∃b ∈ B)(a, b) ∈ R}.
Para toda a ∈ A,
a ∈ DR ⇔ (∃b ∈ B)(a, b) ∈ R.
La imagen de una relacion R ⊂ A × B, es el subconjunto IR ⊂ B de todos loselementos de B que tiene preimagen en A respecto a R. Esto es:
IR = {b ∈ B : (∃a ∈ A)(a, b) ∈ R}.
Para toda b ∈ B,
b ∈ IR ⇔ (∃a ∈ A)(a, b) ∈ R.
La relacion inversa de una realcion R ⊂ A×B, es la relacion sobre B ×A dada por
R−1 = {(b, a) ∈ B ×A : (a, b) ∈ A×B}.
Para toda a ∈ A y toda b ∈ B,
(b, a) ∈ R−1 ⇔ (a, b) ∈ R.
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Relaciones
Una relacion entre los conjuntos A y B, es cualquier subconjunto del producto cartesianoA×B. Si R ⊂ A×B y (a, b) ∈ R, algunas veces escribimos aRb. Si A = B decimossimplemente que R es una relacion sobre A.
Si (a, b) ∈ R, decimos que b es la imagen a respecto a R, y que a es la preimagen de brespecto a R.
El dominio de una relacion R ⊂ A × B, es el subconjunto DR ⊂ A de todos loselementos de A que tienen imagen en B respecto a R. Esto es:
DR = {a ∈ A : (∃b ∈ B)(a, b) ∈ R}.
Para toda a ∈ A,
a ∈ DR ⇔ (∃b ∈ B)(a, b) ∈ R.
La imagen de una relacion R ⊂ A × B, es el subconjunto IR ⊂ B de todos loselementos de B que tiene preimagen en A respecto a R. Esto es:
IR = {b ∈ B : (∃a ∈ A)(a, b) ∈ R}.
Para toda b ∈ B,
b ∈ IR ⇔ (∃a ∈ A)(a, b) ∈ R.
La relacion inversa de una realcion R ⊂ A×B, es la relacion sobre B ×A dada por
R−1 = {(b, a) ∈ B ×A : (a, b) ∈ A×B}.
Para toda a ∈ A y toda b ∈ B,
(b, a) ∈ R−1 ⇔ (a, b) ∈ R.
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Relaciones
Una relacion entre los conjuntos A y B, es cualquier subconjunto del producto cartesianoA×B. Si R ⊂ A×B y (a, b) ∈ R, algunas veces escribimos aRb. Si A = B decimossimplemente que R es una relacion sobre A.
Si (a, b) ∈ R, decimos que b es la imagen a respecto a R, y que a es la preimagen de brespecto a R.
El dominio de una relacion R ⊂ A × B, es el subconjunto DR ⊂ A de todos loselementos de A que tienen imagen en B respecto a R. Esto es:
DR = {a ∈ A : (∃b ∈ B)(a, b) ∈ R}.
Para toda a ∈ A,
a ∈ DR ⇔ (∃b ∈ B)(a, b) ∈ R.
La imagen de una relacion R ⊂ A × B, es el subconjunto IR ⊂ B de todos loselementos de B que tiene preimagen en A respecto a R. Esto es:
IR = {b ∈ B : (∃a ∈ A)(a, b) ∈ R}.
Para toda b ∈ B,
b ∈ IR ⇔ (∃a ∈ A)(a, b) ∈ R.
La relacion inversa de una realcion R ⊂ A×B, es la relacion sobre B ×A dada por
R−1 = {(b, a) ∈ B ×A : (a, b) ∈ A×B}.
Para toda a ∈ A y toda b ∈ B,
(b, a) ∈ R−1 ⇔ (a, b) ∈ R.
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Relaciones
Una relacion entre los conjuntos A y B, es cualquier subconjunto del producto cartesianoA×B. Si R ⊂ A×B y (a, b) ∈ R, algunas veces escribimos aRb. Si A = B decimossimplemente que R es una relacion sobre A.
Si (a, b) ∈ R, decimos que b es la imagen a respecto a R, y que a es la preimagen de brespecto a R.
El dominio de una relacion R ⊂ A × B, es el subconjunto DR ⊂ A de todos loselementos de A que tienen imagen en B respecto a R. Esto es:
DR = {a ∈ A : (∃b ∈ B)(a, b) ∈ R}.
Para toda a ∈ A,
a ∈ DR ⇔ (∃b ∈ B)(a, b) ∈ R.
La imagen de una relacion R ⊂ A × B, es el subconjunto IR ⊂ B de todos loselementos de B que tiene preimagen en A respecto a R. Esto es:
IR = {b ∈ B : (∃a ∈ A)(a, b) ∈ R}.
Para toda b ∈ B,
b ∈ IR ⇔ (∃a ∈ A)(a, b) ∈ R.
La relacion inversa de una realcion R ⊂ A×B, es la relacion sobre B ×A dada por
R−1 = {(b, a) ∈ B ×A : (a, b) ∈ A×B}.
Para toda a ∈ A y toda b ∈ B,
(b, a) ∈ R−1 ⇔ (a, b) ∈ R.
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Relaciones
Una relacion entre los conjuntos A y B, es cualquier subconjunto del producto cartesianoA×B. Si R ⊂ A×B y (a, b) ∈ R, algunas veces escribimos aRb. Si A = B decimossimplemente que R es una relacion sobre A.
Si (a, b) ∈ R, decimos que b es la imagen a respecto a R, y que a es la preimagen de brespecto a R.
El dominio de una relacion R ⊂ A × B, es el subconjunto DR ⊂ A de todos loselementos de A que tienen imagen en B respecto a R. Esto es:
DR = {a ∈ A : (∃b ∈ B)(a, b) ∈ R}.
Para toda a ∈ A,
a ∈ DR ⇔ (∃b ∈ B)(a, b) ∈ R.
La imagen de una relacion R ⊂ A × B, es el subconjunto IR ⊂ B de todos loselementos de B que tiene preimagen en A respecto a R. Esto es:
IR = {b ∈ B : (∃a ∈ A)(a, b) ∈ R}.
Para toda b ∈ B,
b ∈ IR ⇔ (∃a ∈ A)(a, b) ∈ R.
La relacion inversa de una realcion R ⊂ A×B, es la relacion sobre B ×A dada por
R−1 = {(b, a) ∈ B ×A : (a, b) ∈ A×B}.
Para toda a ∈ A y toda b ∈ B,
(b, a) ∈ R−1 ⇔ (a, b) ∈ R.
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Relaciones
Una relacion entre los conjuntos A y B, es cualquier subconjunto del producto cartesianoA×B. Si R ⊂ A×B y (a, b) ∈ R, algunas veces escribimos aRb. Si A = B decimossimplemente que R es una relacion sobre A.
Si (a, b) ∈ R, decimos que b es la imagen a respecto a R, y que a es la preimagen de brespecto a R.
El dominio de una relacion R ⊂ A × B, es el subconjunto DR ⊂ A de todos loselementos de A que tienen imagen en B respecto a R. Esto es:
DR = {a ∈ A : (∃b ∈ B)(a, b) ∈ R}.
Para toda a ∈ A,
a ∈ DR ⇔ (∃b ∈ B)(a, b) ∈ R.
La imagen de una relacion R ⊂ A × B, es el subconjunto IR ⊂ B de todos loselementos de B que tiene preimagen en A respecto a R. Esto es:
IR = {b ∈ B : (∃a ∈ A)(a, b) ∈ R}.
Para toda b ∈ B,
b ∈ IR ⇔ (∃a ∈ A)(a, b) ∈ R.
La relacion inversa de una realcion R ⊂ A×B, es la relacion sobre B ×A dada por
R−1 = {(b, a) ∈ B ×A : (a, b) ∈ A×B}.
Para toda a ∈ A y toda b ∈ B,
(b, a) ∈ R−1 ⇔ (a, b) ∈ R.
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Relaciones y funciones Algebra
Ejemplo
Sean A = {a, b, c, d} y B = {1, 2, 3, 4, 5}. Sea la relacion
R = {(a, 2), (a, 4), (b, 4), (d, 5)}.
Tenemos entoncesDR = {a, b, d} y IR = {2, 4, 5}.
Y en este caso,R−1 = {(2, a), (4, a), (4, b), (5, d)}.
b
b
b
b
b
b
b
b
b
a
b
c
d
1
2
3
4
5
A B
R
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Relaciones y funciones Algebra
Ejemplo
Sean A = {a, b, c, d} y B = {1, 2, 3, 4, 5}. Sea la relacion
R = {(a, 2), (a, 4), (b, 4), (d, 5)}.
Tenemos entoncesDR = {a, b, d} y IR = {2, 4, 5}.
Y en este caso,R−1 = {(2, a), (4, a), (4, b), (5, d)}.
b
b
b
b
b
b
b
b
b
a
b
c
d
1
2
3
4
5
A B
R−1
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Relaciones y funciones Algebra
Ejemplo
En Z definimos R tal que
∀m,n ∈ Z : (m,n) ∈ R⇔ (m > 0) ∧ (m | n).
Algunos pares (m,n) de R son
(2,−6), (2, 6), (3,−9), (3, 9), ...
En este caso,DR = Z+ y IR = Z.
Y por otro lado,
∀m,n ∈ Z : (m,n) ∈ R−1 ⇔ (n > 0) ∧ (n | m).
Algunos pares (m,n) de R−1 son
(−6, 2), (6, 2), (−9, 3), (9, 3), ...
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Relaciones y funciones Algebra
Ejemplo
La relacion R ⊂ Z2
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Relaciones y funciones Algebra
Ejemplo
La relacion R−1 ⊂ Z2
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Relaciones y funciones Algebra
Dos observaciones utiles
Teorema
Si R ⊂ A×B,
(R−1)−1 = R.
Demostracion.
(a, b) ∈ R⇔ (b, a) ∈ R−1
⇔ (a, b) ∈ (R−1)−1.
Teorema
Si R ⊂ S ⊂ A×B,
R−1 ⊂ S−1.
Demostracion.
(b, a) ∈ R−1 ⇒ (a, b) ∈ R⇒ (a, b) ∈ S⇒ (b, a) ∈ S−1.
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Relaciones y funciones Algebra
Composicion de relaciones
Dadas las relaciones R ⊂ A × B y S ⊂ B × C, definimos la composicion de R y Scomo la relacion
S ◦R = {(a, c) ∈ A× C : (∃b ∈ B)(a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ S}.
b ba
A B
R
C
bb c
S
S ◦R
aRb bSc
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Relaciones y funciones Algebra
Ejemplo
Sean los conjuntos
A = {−1, 0, 1}, B = {1, 3} y C = {3, 5},
y las relaciones
R = {(−1, 1), (1, 1)} ⊂ A×B y S = {(1, 3), (3, 5)} ⊂ B × C.
EntoncesS ◦R = {(−1, 3), (1, 3)}.
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Relaciones y funciones Algebra
Composicion de relaciones
Teorema
Sean A, B y C conjuntos, y sean R ⊂ A×B y S ⊂ B×C relaciones. Entonces
(S ◦R)−1 = R−1 ◦ S−1.
b ba
A B
R
C
bb c
S
S−1R−1
S ◦R
(S ◦R)−1 = R−1 ◦ S−1
aRb bSc
bR−1a cS−1b
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Relaciones y funciones Algebra
Composicion de relaciones
Teorema
Sean A, B y C conjuntos, y sean R ⊂ A×B y S ⊂ B×C relaciones. Entonces
(S ◦R)−1 = R−1 ◦ S−1.
Demostracion.
Para todo a ∈ A y c ∈ C, tenemos,
(c, a) ∈ (S ◦R)−1 ⇔ (a, c) ∈ S ◦R⇔ (∃b ∈ B)(a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ S⇔ (∃b ∈ B)(b, a) ∈ R−1 ∧ (c, b) ∈ S−1
⇔ (∃b ∈ B)(c, b) ∈ S−1 ∧ (b, a) ∈ R−1
⇔ (c, a) ∈ R−1 ◦ S−1.
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Relaciones y funciones Algebra
Composicion de relaciones
Teorema : La composicion de relaciones es asociativa
Sean A, B, C y D conjuntos, y sean R ⊂ A × B, S ⊂ B × C y T ⊂ C × D.Entonces
(T ◦ S) ◦R = T ◦ (S ◦R).
Demostracion.
[⊂] Observamos primero que T ◦ S ⊂ B ×D, ası que para toda a ∈ A y toda d ∈ D,si (a, d) ∈ (T ◦ S) ◦ R, existira un b ∈ B tal que (a, b) ∈ R y (b, d) ∈ T ◦ S; se sigueque habra un c ∈ C tal que (b, c) ∈ S y (c, d) ∈ T . Tenemos ası que (a, c) ∈ S ◦ R y(c, d) ∈ T . En consecuencia, (a, d) ∈ T ◦ (S ◦R).
[⊃] Observamos primero que S ◦ R ⊂ A × C, ası que para toda a ∈ A y toda d ∈ D,si (a, d) ∈ T ◦ (S ◦ R), existira un c ∈ C tal que (a, c) ∈ S ◦ R y (c, d) ∈ T ; se sigueque habra un b ∈ B tal que (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ S. Tenemos ası que (a, b) ∈ R y(b, d) ∈ T ◦ S. En consecuencia, (a, d) ∈ (T ◦ S) ◦R.
Otra forma de probar [⊃] asumiendo [⊂]
Note que
(T ◦ (S ◦R))−1 = (S ◦R)−1 ◦ T−1 = (R−1 ◦ S−1) ◦ T−1
((T ◦ S) ◦R)−1 = R−1 ◦ (T ◦ S)−1 = R−1 ◦ (S−1 ◦ T−1).
Y por otra parte,
(R−1 ◦ S−1) ◦ T−1 ⊂ R−1 ◦ (S−1 ◦ T−1).
De donde(T ◦ (S ◦R))−1 ⊂ ((T ◦ S) ◦R)−1,
esto esT ◦ (S ◦R) ⊂ (T ◦ S) ◦R.
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Relaciones y funciones Algebra
Composicion de relaciones
Teorema : La composicion de relaciones es asociativa
Sean A, B, C y D conjuntos, y sean R ⊂ A × B, S ⊂ B × C y T ⊂ C × D.Entonces
(T ◦ S) ◦R = T ◦ (S ◦R).
Demostracion.
[⊂] Observamos primero que T ◦ S ⊂ B ×D, ası que para toda a ∈ A y toda d ∈ D,si (a, d) ∈ (T ◦ S) ◦ R, existira un b ∈ B tal que (a, b) ∈ R y (b, d) ∈ T ◦ S; se sigueque habra un c ∈ C tal que (b, c) ∈ S y (c, d) ∈ T . Tenemos ası que (a, c) ∈ S ◦ R y(c, d) ∈ T . En consecuencia, (a, d) ∈ T ◦ (S ◦R).
[⊃] Observamos primero que S ◦ R ⊂ A × C, ası que para toda a ∈ A y toda d ∈ D,si (a, d) ∈ T ◦ (S ◦ R), existira un c ∈ C tal que (a, c) ∈ S ◦ R y (c, d) ∈ T ; se sigueque habra un b ∈ B tal que (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ S. Tenemos ası que (a, b) ∈ R y(b, d) ∈ T ◦ S. En consecuencia, (a, d) ∈ (T ◦ S) ◦R.
Otra forma de probar [⊃] asumiendo [⊂]
Note que
(T ◦ (S ◦R))−1 = (S ◦R)−1 ◦ T−1 = (R−1 ◦ S−1) ◦ T−1
((T ◦ S) ◦R)−1 = R−1 ◦ (T ◦ S)−1 = R−1 ◦ (S−1 ◦ T−1).
Y por otra parte,
(R−1 ◦ S−1) ◦ T−1 ⊂ R−1 ◦ (S−1 ◦ T−1).
De donde(T ◦ (S ◦R))−1 ⊂ ((T ◦ S) ◦R)−1,
esto esT ◦ (S ◦R) ⊂ (T ◦ S) ◦R.
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Relaciones y funciones Algebra
Composicion de relaciones
Teorema : La composicion de relaciones es asociativa
Sean A, B, C y D conjuntos, y sean R ⊂ A × B, S ⊂ B × C y T ⊂ C × Drelaciones. Entonces
(T ◦ S) ◦R = T ◦ (S ◦R).
Pero la mejor forma de probar el teorema es...
(a, d) ∈ (T ◦ S) ◦R⇔ (∃b ∈ B)(a, b) ∈ R ∧ (b, d) ∈ T ◦ S
⇔ (∃b ∈ B)(a, b) ∈ B ∧ ((∃c ∈ C)(b, c) ∈ S ∧ (c, d) ∈ T )⇔ (∃b ∈ B)(∃c ∈ C)(a, b) ∈ R ∧ ((b, c) ∈ S ∧ (c, d) ∈ T )⇔ (∃c ∈ C)(∃b ∈ B)((a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ S) ∧ (c, d) ∈ T⇔ (∃c ∈ C)((∃b ∈ B)(a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ S) ∧ (c, d) ∈ T⇔ (∃c ∈ C)(a, c) ∈ S ◦R ∧ (c, d) ∈ T⇔ (a, d) ∈ T ◦ (S ◦R).
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Relaciones y funciones Algebra
Composicion de relaciones
Teorema : La composicion de relaciones es asociativa
Sean A, B, C y D conjuntos, y sean R ⊂ A × B, S ⊂ B × C y T ⊂ C × Drelaciones. Entonces
(T ◦ S) ◦R = T ◦ (S ◦R).
Pero la mejor forma de probar el teorema es...
(a, d) ∈ (T ◦ S) ◦R⇔ (∃b ∈ B)(a, b) ∈ R ∧ (b, d) ∈ T ◦ S⇔ (∃b ∈ B)(a, b) ∈ B ∧ ((∃c ∈ C)(b, c) ∈ S ∧ (c, d) ∈ T )
⇔ (∃b ∈ B)(∃c ∈ C)(a, b) ∈ R ∧ ((b, c) ∈ S ∧ (c, d) ∈ T )⇔ (∃c ∈ C)(∃b ∈ B)((a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ S) ∧ (c, d) ∈ T⇔ (∃c ∈ C)((∃b ∈ B)(a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ S) ∧ (c, d) ∈ T⇔ (∃c ∈ C)(a, c) ∈ S ◦R ∧ (c, d) ∈ T⇔ (a, d) ∈ T ◦ (S ◦R).
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Composicion de relaciones
Teorema : La composicion de relaciones es asociativa
Sean A, B, C y D conjuntos, y sean R ⊂ A × B, S ⊂ B × C y T ⊂ C × Drelaciones. Entonces
(T ◦ S) ◦R = T ◦ (S ◦R).
Pero la mejor forma de probar el teorema es...
(a, d) ∈ (T ◦ S) ◦R⇔ (∃b ∈ B)(a, b) ∈ R ∧ (b, d) ∈ T ◦ S⇔ (∃b ∈ B)(a, b) ∈ B ∧ ((∃c ∈ C)(b, c) ∈ S ∧ (c, d) ∈ T )⇔ (∃b ∈ B)(∃c ∈ C)(a, b) ∈ R ∧ ((b, c) ∈ S ∧ (c, d) ∈ T )
⇔ (∃c ∈ C)(∃b ∈ B)((a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ S) ∧ (c, d) ∈ T⇔ (∃c ∈ C)((∃b ∈ B)(a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ S) ∧ (c, d) ∈ T⇔ (∃c ∈ C)(a, c) ∈ S ◦R ∧ (c, d) ∈ T⇔ (a, d) ∈ T ◦ (S ◦R).
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Composicion de relaciones
Teorema : La composicion de relaciones es asociativa
Sean A, B, C y D conjuntos, y sean R ⊂ A × B, S ⊂ B × C y T ⊂ C × Drelaciones. Entonces
(T ◦ S) ◦R = T ◦ (S ◦R).
Pero la mejor forma de probar el teorema es...
(a, d) ∈ (T ◦ S) ◦R⇔ (∃b ∈ B)(a, b) ∈ R ∧ (b, d) ∈ T ◦ S⇔ (∃b ∈ B)(a, b) ∈ B ∧ ((∃c ∈ C)(b, c) ∈ S ∧ (c, d) ∈ T )⇔ (∃b ∈ B)(∃c ∈ C)(a, b) ∈ R ∧ ((b, c) ∈ S ∧ (c, d) ∈ T )⇔ (∃c ∈ C)(∃b ∈ B)((a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ S) ∧ (c, d) ∈ T
⇔ (∃c ∈ C)((∃b ∈ B)(a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ S) ∧ (c, d) ∈ T⇔ (∃c ∈ C)(a, c) ∈ S ◦R ∧ (c, d) ∈ T⇔ (a, d) ∈ T ◦ (S ◦R).
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Composicion de relaciones
Teorema : La composicion de relaciones es asociativa
Sean A, B, C y D conjuntos, y sean R ⊂ A × B, S ⊂ B × C y T ⊂ C × Drelaciones. Entonces
(T ◦ S) ◦R = T ◦ (S ◦R).
Pero la mejor forma de probar el teorema es...
(a, d) ∈ (T ◦ S) ◦R⇔ (∃b ∈ B)(a, b) ∈ R ∧ (b, d) ∈ T ◦ S⇔ (∃b ∈ B)(a, b) ∈ B ∧ ((∃c ∈ C)(b, c) ∈ S ∧ (c, d) ∈ T )⇔ (∃b ∈ B)(∃c ∈ C)(a, b) ∈ R ∧ ((b, c) ∈ S ∧ (c, d) ∈ T )⇔ (∃c ∈ C)(∃b ∈ B)((a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ S) ∧ (c, d) ∈ T⇔ (∃c ∈ C)((∃b ∈ B)(a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ S) ∧ (c, d) ∈ T
⇔ (∃c ∈ C)(a, c) ∈ S ◦R ∧ (c, d) ∈ T⇔ (a, d) ∈ T ◦ (S ◦R).
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Composicion de relaciones
Teorema : La composicion de relaciones es asociativa
Sean A, B, C y D conjuntos, y sean R ⊂ A × B, S ⊂ B × C y T ⊂ C × Drelaciones. Entonces
(T ◦ S) ◦R = T ◦ (S ◦R).
Pero la mejor forma de probar el teorema es...
(a, d) ∈ (T ◦ S) ◦R⇔ (∃b ∈ B)(a, b) ∈ R ∧ (b, d) ∈ T ◦ S⇔ (∃b ∈ B)(a, b) ∈ B ∧ ((∃c ∈ C)(b, c) ∈ S ∧ (c, d) ∈ T )⇔ (∃b ∈ B)(∃c ∈ C)(a, b) ∈ R ∧ ((b, c) ∈ S ∧ (c, d) ∈ T )⇔ (∃c ∈ C)(∃b ∈ B)((a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ S) ∧ (c, d) ∈ T⇔ (∃c ∈ C)((∃b ∈ B)(a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ S) ∧ (c, d) ∈ T⇔ (∃c ∈ C)(a, c) ∈ S ◦R ∧ (c, d) ∈ T
⇔ (a, d) ∈ T ◦ (S ◦R).
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Relaciones y funciones Algebra
Composicion de relaciones
Teorema : La composicion de relaciones es asociativa
Sean A, B, C y D conjuntos, y sean R ⊂ A × B, S ⊂ B × C y T ⊂ C × Drelaciones. Entonces
(T ◦ S) ◦R = T ◦ (S ◦R).
Pero la mejor forma de probar el teorema es...
(a, d) ∈ (T ◦ S) ◦R⇔ (∃b ∈ B)(a, b) ∈ R ∧ (b, d) ∈ T ◦ S⇔ (∃b ∈ B)(a, b) ∈ B ∧ ((∃c ∈ C)(b, c) ∈ S ∧ (c, d) ∈ T )⇔ (∃b ∈ B)(∃c ∈ C)(a, b) ∈ R ∧ ((b, c) ∈ S ∧ (c, d) ∈ T )⇔ (∃c ∈ C)(∃b ∈ B)((a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ S) ∧ (c, d) ∈ T⇔ (∃c ∈ C)((∃b ∈ B)(a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ S) ∧ (c, d) ∈ T⇔ (∃c ∈ C)(a, c) ∈ S ◦R ∧ (c, d) ∈ T⇔ (a, d) ∈ T ◦ (S ◦R).
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Relaciones y funciones Algebra
Clasificacion de relaciones sobre un conjunto A
Sea R una relacion sobre un conjunto A, i.e. R ⊂ A×A = A2.
R es reflexiva ⇔ ∀x ∈ A : (x, x) ∈ R.
R es simetrica ⇔ ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R⇒ (y, x) ∈ R.
R es antisimetrica ⇔ ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R⇒ x = y.
R es transitiva ⇔ ∀x, y, z ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R⇒ (x, z) ∈ R.
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Relaciones y funciones Algebra
Ejemplo
Sea A = {a, b, c, d, e, f, g, h}, y sea la relacion sobre A
R1 = {(a, b), (b, a), (c, c), (c, d), (c, h), (e, c), (f, f), (h, g)}
r s tR1
R2
R3
R4Credito imagen aquı.
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Relaciones y funciones Algebra
Ejemplo
Sea A = {a, b, c, d, e, f, g, h}, y sea la relacion sobre A
R2 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b),(c, c), (c, d), (c, e), (c, h), (d, c),(d, d), (e, e), (f, f), (g, g), (h, h), (h, g)}
r s tR1
R2 XR3
R4Credito imagen aquı.
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Relaciones y funciones Algebra
Ejemplo
Sea A = {a, b, c, d, e, f, g, h}, y sea la relacion sobre A
R3 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c), (c, e), (c, g), (c, h), (f, f), (h, g)}
r s tR1
R2 XR3 XR4
Credito imagen aquı.
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Relaciones y funciones Algebra
Ejemplo
Sea A = {a, b, c, d, e, f, g, h}, y sea la relacion sobre A
R4 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c),(d, d), (e, e), (e, g), (e, h),(f, f), (g, e), (g, g), (g, h), (h, e), (h, g), (h, h)}
r s tR1
R2 XR3 XR4 X X X
Credito imagen aquı.
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Relaciones y funciones Algebra
Ejemplo
Sobrre R definimos R con la sentencia
∀x, y ∈ R : (x, y) ∈ R⇔ x− y ∈ Z.
Tenemos
1. R es reflexiva:x ∈ R⇒ x− x = 0 ∈ Z.
2. R es simetrica:
(y, x) ∈ R⇒ x− y ∈ Z⇒ y − x = −(x− y) ∈ Z⇒ (y, x) ∈ R.
3. R es transitiva:
(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R⇒ x− y ∈ Z ∧ y − z ∈ Z⇒ x− y + y − z ∈ Z⇒ x− z ∈ Z⇒ (x, z) ∈ R.
Para cada y ∈ R,
x ∼ y ⇔ (∃k ∈ Z) y = x+ k
Representacion grafica de R
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Relaciones y funciones Algebra
Ejemplo
Sobrre R definimos R con la sentencia
∀x, y ∈ R : (x, y) ∈ R⇔ x− y ∈ Z.
Tenemos
1. R es reflexiva:x ∈ R⇒ x− x = 0 ∈ Z.
2. R es simetrica:
(y, x) ∈ R⇒ x− y ∈ Z⇒ y − x = −(x− y) ∈ Z⇒ (y, x) ∈ R.
3. R es transitiva:
(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R⇒ x− y ∈ Z ∧ y − z ∈ Z⇒ x− y + y − z ∈ Z⇒ x− z ∈ Z⇒ (x, z) ∈ R.
Para cada y ∈ R,
x ∼ y ⇔ (∃k ∈ Z) y = x+ k
Representacion grafica de R
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Relaciones y funciones Algebra
Ejemplo importante: divisibilidad
Si m y n son enteros, decimos que m divide a n, y escribimos m | n, si existe un enterok tal que n = mk.
Propiedades:
1. | es reflexiva:m ∈ Z⇒ m = m · 1⇒ m | m.
2. | no es antisimetrica:
1 | −1 y − 1 | 1 pero 1 6= −1.
No obstante, | es casi antisimetrica: Sean m y n enteros tales que m | n y n | m.Existen enteros k y k′ tales que n = mk y m = nk′. Ası,
n = mk = (nk′)k = n(kk′).
Entonces kk′ = 1, y por lo tanto k y k′ tienen el mismo signo y |k| = |k′| = 1. Demodo que n = m o bien n = −m.
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Relaciones y funciones Algebra
Ejemplo importante: divisibilidad
Si m y n son enteros, decimos que m divide a n, y escribimos m | n, si existe un enterok tal que n = mk.
Propiedades:
1. | es reflexiva:m ∈ Z⇒ m = m · 1⇒ m | m.
2. | no es antisimetrica:
1 | −1 y − 1 | 1 pero 1 6= −1.
No obstante, | es casi antisimetrica: Sean m y n enteros tales que m | n y n | m.Existen enteros k y k′ tales que n = mk y m = nk′. Ası,
n = mk = (nk′)k = n(kk′).
Entonces kk′ = 1, y por lo tanto k y k′ tienen el mismo signo y |k| = |k′| = 1. Demodo que n = m o bien n = −m.
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Relaciones y funciones Algebra
Ejemplo importante: divisibilidad
Si m y n son enteros, decimos que m divide a n, y escribimos m | n, si existe un enterok tal que n = mk.
Propiedades:
1. | es reflexiva:m ∈ Z⇒ m = m · 1⇒ m | m.
2. | no es antisimetrica:
1 | −1 y − 1 | 1 pero 1 6= −1.
No obstante, | es casi antisimetrica: Sean m y n enteros tales que m | n y n | m.Existen enteros k y k′ tales que n = mk y m = nk′. Ası,
n = mk = (nk′)k = n(kk′).
Entonces kk′ = 1, y por lo tanto k y k′ tienen el mismo signo y |k| = |k′| = 1. Demodo que n = m o bien n = −m.
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Relaciones y funciones Algebra
Ejemplo importante: divisibilidad
Si m y n son enteros, decimos que m divide a n, y escribimos m | n, si existe un enterok tal que n = mk.
Propiedades:
3. | no es simetrica:1 | 2 pero 2 - 1.
4. | es transitiva: Sean m,n, l enteros tales que m | n y n | l. Existen enteros k y k′
tales que n = mk y l = nk′. Luego
l = nk′ = (mk)k′ = m(kk′).
De modo que m | l.
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Relaciones y funciones Algebra
Ejemplo importante: divisibilidad
Si m y n son enteros, decimos que m divide a n, y escribimos m | n, si existe un enterok tal que n = mk.
Propiedades:
3. | no es simetrica:1 | 2 pero 2 - 1.
4. | es transitiva: Sean m,n, l enteros tales que m | n y n | l. Existen enteros k y k′
tales que n = mk y l = nk′. Luego
l = nk′ = (mk)k′ = m(kk′).
De modo que m | l.
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Relaciones y funciones Algebra
Otras propiedades de la divisibilidad
Teorema
Para todo entero a, a∣∣0 y 1
∣∣a. Y
0∣∣a si y solo si a = 0.
Demostracion.0 = a · 0 y a = 1 · a.
Teorema
Si a∣∣b y b 6= 0, entonces |a| ≤ |b|.
Demostracion.Si b = ak, entonces |b| = |a||k|. Si b 6= 0,de hecho |k| ≥ 1. Luego |b| ≥ |a|.
Corolario
Si a∣∣b y b
∣∣a, entonces |a| = |b|.
Teorema
Si a∣∣b y a
∣∣c entonces a∣∣xb+yc para
cualesquiera enteros x y y.
Demostracion.Si b = ak y c = ak′, entonces
xb+ yc = a(xk + yk′).
Teorema
Si a∣∣b entonces ac
∣∣bc, para todo c.
Y si ac∣∣bc y c 6= 0 entonces a
∣∣b.Demostracion.Si b = ak, entonces bc = ack.
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Relaciones y funciones Algebra
Lema de Euclides
Si m y n son enteros, entonces el maximo comun divisor de m y n, es el numero enteropositivo
MCD(m,n) = (m,n) := max{d ≥ 1 : d∣∣n y d
∣∣m}.Los enteros m y n son primos relativos si (m,n) = 1.
Teorema : Lema de Euclides
Si a∣∣bc y (a, b) = 1, entonces a
∣∣c.Demostracion.
Si k es un entero tal que bc = ak, entonces
b
a· ca
= k.
Por lo que al menos uno de ba
y ca
es entero. Pero ba
no puede ser entero. Ası que ca
es un entero. Esto es, a∣∣c.
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Relaciones y funciones Algebra
Numeros Primos
Un numero entero p > 1 es primo si los unicos divisores positivos de p son 1 y p.
Teorema
Si p es primo y p∣∣mn entonces p
∣∣m o p∣∣n.
Demostracion.
Supongamos que p 6 | m. En particular, si d∣∣m entonces |d| 6= p. Luego, (m, p) = 1.
Ası que, por el Lema de Euclides, p∣∣n.
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Relaciones y funciones Algebra
Relaciones de equivalencia
Una relacion R sobre un conjunto A es de equivalencia si es reflexiva, simetrica ytransitiva. Algunas veces se escribe ∼ para denotar una relacion de equivalencia. Laexpresion x ∼ y se lee “x es equivalente a y”.
Si x ∈ A, entonces la clase de equivalencia (relativa a ∼) de x es el conjunto
K[x] = {y ∈ A : x ∼ y}.
El conjunto cociente relativo a ∼ es el conjunto
A/∼ = {K[x] : x ∈ A}.
Esto es, el conjunto cociente es el de todas las clases de equivalencia relativas a ∼.
Convenio
Sera mas comodo usar [x] para denotar las clases de equivalencia.
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Relaciones y funciones Algebra
Ejemplo: Recordemos
Sea A = {a, b, c, d, e, f, g, h}, y sea la relacion sobre A
R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c),(d, d), (e, e), (e, g), (e, h),(f, f), (g, e), (g, g), (g, h), (h, e), (h, g), (h, h)}
R es reflexiva, simetrica y transitiva. Por tanto R es equivalencia. Ademas
[a] = [b] = {a, b}, [c] = {c}, [d] = {d}, [e] = [g] = [h] = {e, g, h}, [f ] = {f}.
Credito imagen aquı.
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Relaciones y funciones Algebra
Relacion de congruencia
Sea n > 0 entero. Dos numeros enteros a y b son congruentes modulo n, si n | a− b.Escribimos
a ≡ b (mod n).
Teorema
La relacion de congruencia es de equivalencia.
Demostracion.
Reflexividad:∀x ∈ Z : n | x− x = 0
Simetrıa:
a ≡ b (mod n)⇔ n | a− b⇔ b ≡ a (mod n).
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Relaciones y funciones Algebra
Relacion de congruencia
Sea n > 0 entero. Dos numeros enteros a y b son congruentes modulo n, si n | a− b.Escribimos
a ≡ b (mod n).
Teorema
La relacion de congruencia es de equivalencia.
Demostracion.
Transitividad:
a ≡ b y b ≡ c (mod n)⇒ n | a− b y n | b− c⇒ n | (a− b) + (b− c) = a− c⇒ a ≡ c (mod n).
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Relaciones y funciones Algebra
Clases de equivalencia de la relacion de congruencia
Sean n > 0 un entero. Sea x ∈ Z. Preferiblemente usamos x para nombrar la clase deequivalencia de x (modulo n). Para todo entero y,
y ∈ x⇔ y ≡ x (mod n)
⇔ n | y − x⇔ (∃k ∈ Z)y − x = nk
⇔ (∃k ∈ Z)y = nk + x.
En consecuenciax = {nk + x : k ∈ Z}.
Algunos casos:
−2 = {...,−3n− 2,−2n− 2,−2, 2n− 2, 3n− 2, ...}−1 = {...,−3n− 1,−2n− 1,−1, 2n− 1, 3n− 1, ...}0 = {...,−3n,−2n,−n, 0, n, 2n, 3n, ...}1 = {...,−3n+ 1,−2n+ 1,−n+ 1, 1, n+ 1, 2n+ 1, 3n+ 1, ...}2 = {...,−3n+ 2,−2n+ 2,−n+ 2, 2, n+ 2, 2n+ 2, 3n+ 2, ...}
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Relaciones y funciones Algebra
Clases de equivalencia de la relacion de congruencia
En particular,y ∈ n⇔ (∃k ∈ Z)y = nk + n.
Pero,y = nk + n = n(k + 1).
Y desde luego, k + 1 ∈ Z⇔ k ∈ Z. Por lo tanto,
y ∈ n⇔ (∃k ∈ Z)y = nk + n⇔ (∃k ∈ Z)y = nk.
Esto es n = 0.
Del mismo modo puede verificarse
n+ 1 = 1
n+ 2 = 2
...
2n = 0
2n+ 1 = 1
...
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Relaciones y funciones Algebra
Clases de equivalencia de la relacion de congruencia
Por otra parte,y ∈ −1⇔ (∃k ∈ Z)y = nk − 1.
Pero,y = nk − 1 = nk − n+ (n− 1) = (k − 1)n+ (n− 1),
y desde luego k − 1 ∈ Z⇔ k ∈ Z. Por lo tanto,
y ∈ −1⇔ (∃k ∈ Z)y = nk + (n− 1).
Esto es, n− 1 = −1.
Del mismo modo puede verificarse
n− 2 = −2n− 3 = −3
...
0 = −n...
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Relaciones y funciones Algebra
Clases de equivalencia de la relacion de congruencia
En general...
Teorema
Sea n > 0. Las unicas clases de equivalencia de la relacion de congruencia modulon son 0, 1,...,n− 1.
Demostracion.
De acuerdo al algoritmo de la division de Euclides, para todo y ∈ Z, existe un entero ky un entero x tales que
y = nk + x y 0 ≤ x ≤ n− 1.
Se sigue inmediatamente que y ∈ x.
Aritmetica modular
Puede probarse:
a ≡ b y c ≡ d (mod n) ⇒ a+ c ≡ b+ d (mod n).
a ≡ b y c ≡ d (mod n) ⇒ ac ≡ bd (mod n).
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Relaciones y funciones Algebra
Clases de equivalencia de la relacion de congruencia
En general...
Teorema
Sea n > 0. Las unicas clases de equivalencia de la relacion de congruencia modulon son 0, 1,...,n− 1.
Demostracion.
De acuerdo al algoritmo de la division de Euclides, para todo y ∈ Z, existe un entero ky un entero x tales que
y = nk + x y 0 ≤ x ≤ n− 1.
Se sigue inmediatamente que y ∈ x.
Aritmetica modular
Puede probarse:
a ≡ b y c ≡ d (mod n) ⇒ a+ c ≡ b+ d (mod n).
a ≡ b y c ≡ d (mod n) ⇒ ac ≡ bd (mod n).
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Relaciones y funciones Algebra
Clases de equivalencia y particiones
Teorema
Si ∼ es una relacion de equivalencia sobre un conjunto A, entonces
1. ∀x ∈ A(x ∈ [x]).
2. ∀x, y ∈ A(x ∼ y ⇔ [x] = [y]).
Demostracion.
Prueba de 1.: Dado que ∼ es de equivalencia, x ∼ x para todo x ∈ A. Esto es x ∈ [x]para todo x ∈ A.
Prueba de 2.:
[⇒] Supongamos que x ∼ y. Sea z ∈ [x]. Entonces z ∼ x y por tansitividad, z ∼ y,por lo que z ∈ [y]. Esto prueba que [x] ⊂ [y]. Pero por simetrıa, un argumento analogomuestra que [y] ⊂ [x].
[⇐] Si [x] = [y], se sigue x ∈ [y] y por tanto x ∼ y.
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Relaciones y funciones Algebra
Clases de equivalencia y particiones
Dado un conjunto A, decimos que un conjunto Q de subconjuntos de A es una particionde A si cumple:
1. El vacıo no esta en Q: ∀B ∈ Q(B 6= ∅).2. Los elementos de Q son ajenos: ∀B,C ∈ Q(B 6= C ⇔ B ∩ C = ∅).3. A =
⋃Q.
Teorema
Si ∼ es una relacion de equivalencia sobre A, entonces el conjunto cociente A/∼es una particion de A. Recıprocamente, si Q es una particon de un conjunto A,si para todo x, y ∈ A, defnimos la relacion
x ∼ y ⇔ ∃P ∈ Q(x, y ∈ P ),
entonces ∼ es de equivalencia, y el conjunto cociente es Q.
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Relaciones y funciones Algebra
Funciones
Una funcion de un conjunto A en un conjunto B es una relacion f ⊂ A × B tal quepara cada x ∈ A, existe un unico y ∈ B tal que (x, y) ∈ f . En sımbolos, f es funcionsi y solo si
(∀x ∈ A)(∀y1, y2 ∈ B)(x, y1) ∈ f ∧ (x, y2) ∈ f ⇒ y1 = y2.
b
b
b
b
b
b
b
b
b
a
b
c
d
1
2
3
4
5
A B
f
No es funcion
b
b
b
b
b
b
b
b
b
a
b
c
d
1
2
3
4
5
A B
f
Sı es funcion
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Relaciones y funciones Algebra
Notacion
Si (x, y) ∈ f , entonces escribimos y = f(x). Decimos que y es la imagen de x (respectoa f) y que x es la preimagen de y (respecto a f).
Una regla de correspondencia es una formula f(x]) tal que permite asignar a cada x ∈ Aun unico y = f(x) ∈ B.
Si f es una funcion de A en B, generalmente escribimos f : A→ B. El conjunto A esel dominio y B es el contradominio de f .
Note que para toda funcion f : A → B, tenemos Df = A (el dominio de f esenteramente el conjunto A), en tanto que
If = {y ∈ B : ∃x ∈ A, y = f(x)} ⊂ B.
Tambien usamos la notacion
If = {f(x) : x ∈ A} y y ∈ If ⇔ ∃x ∈ A(y = f(x)).
Dos funciones f : A → B y g : C → D son iguales si y solo si, A = C, B = D y sipara toda x ∈ A, f(x) = g(x). Note en particular que f = g ⇒ If = Ig .
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Relaciones y funciones Algebra
Ejemplo
Sean A y B conjuntos y sea b ∈ B. Entonces f = A × {b} es una funcion llamadafuncion constante.
Ejemplo
Si A es un conjunto, entonces f = {(x, y) ∈ A2 : x = y} es una funcion llamadafuncion identidad
Ejemplo
Si A ⊂ B son conjuntos, la funcion iA = {(x, y) ∈ A × B : x = y} es una funcionllamada inclusion, usualmente denotada por iA : A ↪→ B.
Ejemplo
Si A ⊂ B son conjuntos, la funcion χA : B → {0, 1}, dada por
χA(x) =
{1 si x ∈ A,0 si x /∈ A,
es llamada funcion caracterıstica de A.
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Relaciones y funciones Algebra
Otras funciones tıpicas: Funciones escalonadas
La funcion piso o maximo entero menor que, es la funcion b·c : R→ Z dada por
bxc = max{n ∈ Z : n ≤ x}, ∀x ∈ R.
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Relaciones y funciones Algebra
Otras funciones tıpicas: Funciones escalonadas
La funcion techo o mınimo entero menor que, es la funcion d·e : R→ Z dada por
dxe = min{n ∈ Z : n ≥ x}, ∀x ∈ R.
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Relaciones y funciones Algebra
Algunas propiedades de las funciones escalonadas
Teorema
Para toda x ∈ R,bxc ≤ x < bxc+ 1
Demostracion.
De la definicion es inmediato que bxc ≤ x. Ahora, desde luego bxc ≤ bxc+1 y bxc+1es tambien un numero entero, de modo que, nuevamente por la definicion de la funcionpiso, x < bxc+ 1.
Corolario
Para toda x ∈ R y toda n ∈ Z,
bxc = n⇔ n ≤ x < n+ 1.
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Relaciones y funciones Algebra
Algunas propiedades de las funciones escalonadas
Teorema
Para toda x ∈ R y toda n ∈ Z,
bx+ nc = bxc+ n.
Demostracion.
Dado que bxc+ n es un entero y bxc+ n ≤ x+ n, se sigue que
bxc+ n ≤ bx+ nc.
Por otro lado, si k es un entero tal que k ≤ x + n, entonces k − n ≤ x, y por tantok − n ≤ bxc, de donde k ≤ bxc+ n. Luego,
bx+ nc ≤ bxc+ n.
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Relaciones y funciones Algebra
Algunas propiedades de las funciones escalonadas
Teorema
Para toda x ∈ R,
b2xc = bxc+⌊x+
1
2
⌋
Demostracion.
Supongamos primero que x− bxc < 12
. Se tiene entonces
bxc ≤ x ≤ x+1
2< bxc+ 1 y 2bxc ≤ 2x < 2bxc+ 1.
En consecuencia,
b2xc = 2bxc y
⌊x+
1
2
⌋= bxc,
y el teorema es inmediato.
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Relaciones y funciones Algebra
Algunas propiedades de las funciones escalonadas
Teorema
Para toda x ∈ R,
b2xc = bxc+⌊x+
1
2
⌋
Demostracion.
Si x− bxc ≥ 12
, se tiene
bxc+1 ≤ x+ 1
2< (bxc+1)+ 1 y 2bxc+1 ≤ 2x < 2(bxc+1) = (2bxc+1)+ 1.
De donde ⌊x+
1
2
⌋= bxc+ 1 y b2xc = 2bxc+ 1.
De aquı se sigue de inmediato la igualdad buscada.
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Relaciones y funciones Algebra
Algunas propiedades de las funciones escalonadas
Teorema
Para toda x ≥ 0,b√xc = b
√bxcc.
Demostracion.
k = b√bxcc ⇔ k ≤
√bxc < k + 1
⇔ k2 ≤ bxc < (k + 1)2
⇔ k2 ≤ x < (k + 1)2
⇔ k ≤ √x < k + 1
⇔ b√xc = k
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Relaciones y funciones Algebra
Clasificacion de funciones
Decimos que una funcion f : A→ B es inyectiva si
(∀x, x′ ∈ A)f(x) = f(x′)⇒ x = x′.
Decimos que una funcion f : A→ B es sobreyectiva si
(∀y ∈ B)(∃x ∈ A)y = f(x).
Decimos que una funcion f : A→ B es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
b
b
b
b
b
b
b
b
b
a
b
c
d
1
2
3
4
5
A B
f
Inyectiva
b
b
b
b
b
b
b
a
b
c
d
2
4
5
A B
f
Sobreyectiva
b
b
b
b
b
b
b
b
a
b
c
d
2
3
4
5
A B
f
Biyectiva
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Relaciones y funciones Algebra
Composicion de funciones
Si f : A → B y g : B → C son funciones, entonces la composicion de f y g es lafuncion g ◦ f : A→ C tal que para toda x ∈ A,
(g ◦ f)(x) := g(f(x)).
Teorema
Si f : A→ B, g : B → C y h : C → D son funciones, entonces
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f).
Demostracion.
Para toda x ∈ A,
((h ◦ g) ◦ f)(x) = (h ◦ g)(f(x))= h(g(f(x)))
= h((g ◦ f)(x))= (h ◦ (g ◦ f))(x)
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Relaciones y funciones Algebra
Composicion de funciones inyectivas
Teorema
Si f : A→ B y g : B → C son funciones inyectivas, entonces g ◦ f : A→ C esinyectiva.
Demostracion.
Sean x, x′ ∈ A. Entonces,
(g ◦ f)(x) = (g ◦ f)(x′)⇒ g(f(x)) = g(f(x′))
⇒ f(x) = f ′(x)
⇒ x = x′.
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Relaciones y funciones Algebra
Otro teorema importante
Teorema
Sean f : A → B y g : B → C funciones tales que g ◦ f : A → B es inyectiva,entonces f : A→ B es inyectiva.
Demostracion.
Sean x, x′ ∈ A. Tenemos,
f(x) = f(x′)⇒ g(f(x)) = g(f(x′))
⇒ (g ◦ f)(x) = (g ◦ f)(x′)⇒ x = x′.
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Relaciones y funciones Algebra
Composicion de funciones sobreyectivas
Teorema
Si f : A→ B y g : B → C son funciones sobreyectivas, entonces g ◦ f : A→ Ces sobreyectiva.
Demostracion.
Sea z ∈ C. Como g es sobreyectiva, existe y ∈ B tal que z = g(y). Pero f es tambiensobre, ası que existe un x ∈ A tal que f(x) = y. Ası entonces
z = g(y) = g(f(x)) = (g ◦ f)(x).
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Relaciones y funciones Algebra
Otro teorema importante
Teorema
Sean f : A→ B y g : B → C funciones tales que g ◦ f es sobreyectiva, entoncesg : B → C es sobreyectiva.
Demostracion.
Sea z ∈ C. Como g ◦ f es sobreyectiva, existe un x ∈ A tal que
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = z.
Pero de hecho, f(x) ∈ B.
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Relaciones y funciones Algebra
Composicion de funciones biyectivas
Teorema
Si f : A→ B y g : B → C son funciones biyectivas, entonces g ◦ f es biyectiva.
Teorema
Si f : A → B y g : B → C son funciones tales que g ◦ f es biyectiva, entoncesf es inyectiva y g es sobreyectiva.
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Relaciones y funciones Algebra
Funciones inversas
Sea f : A→ B una funcion.
Decimos que f tiene (funcion) inversa por la derecha si existe g : B → A tal que
f ◦ g = IdB .
Decimos que f tiene (funcion) inversa por la izquierda si existe h : B → A tal que
h ◦ f = IdA.
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Relaciones y funciones Algebra
Funciones inversas
Ejemplo
Sean A = {1, 2} y B = {0} y sea f : A→ B tal que
f(1) = f(2) = 0.
Entonces f es una funcion, y las funciones g, g′ : B → A dadas por
g(0) = 1 y g′(0) = 2,
son inversas por la derecha de f . En efecto:
(f ◦ g)(0) = f(g(0)) = f(1) = 0 y (f ◦ g′)(0) = f(g′(0)) = f(2) = 0.
Sin embargo, f no tiene inversa por la izquierda: En efecto, para cualquier funcionh : B → A, se cumple que
(h ◦ f)(1) = h(f(1)) = h(0) = h(f(2)) = (h ◦ f)(2),
por lo que h ◦ f 6= IdA.
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Relaciones y funciones Algebra
Funciones inversas
Teorema
Una funcion f : A→ B es inyectiva si y solo si tiene inversa por la izquierda.
Demostracion.
[⇒] Supongamos que f : A→ B es inyectiva. Elegimos algun x∗ ∈ A arbitrariamente.Definimos h : B → A dada por
h(y) =
{x si y = f(x)
x∗ si (@x ∈ A)y = f(x).
Entonces h ◦ f = IdA.
b
b
b
b
b
b
b
b
b
A B
f : A → B
x∗
b
h : B → A
h(y) = x y = f(x)
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Relaciones y funciones Algebra
Funciones inversas
Teorema
Una funcion f : A→ B es inyectiva si y solo si tiene inversa por la izquierda.
Demostracion.
[⇐] Supongamos que h : B → A es una inversa izquierda de f : A → B. Sean x1 yx2 en A tales que f(x1) = f(x2). Entonces, como h ◦ f = IdA, tenemos,
x1 = h(f(x1)) = h(f(x2)) = x2.
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Relaciones y funciones Algebra
Funciones inversas
Teorema
(Con Axioma de Eleccion). Una funcion f : A → B es sobre si y solo si tieneinversa por la derecha.
Demostracion.
[⇒] Supongamos que f : A → B es una funcion sobre. Vamos a definir una inversapor la derecha del siguiente modo: Para cada y ∈ B, dado que f es sobre,
Ay = {x ∈ A : f(x) = y} 6= ∅.
Elegimos entonces algun xy ∈ Ay (aquı es donde interviene el Axioma de Eleccion).Definimos ası una funcion g : B → A tal que g(y) = xy , para cada y ∈ B. Noteentonces que para todo y ∈ B,
f(g(y)) = f(xy) = y.
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Relaciones y funciones Algebra
Funciones inversas
Teorema
(Con Axioma de Eleccion). Una funcion f : A → B es sobre si y solo si tieneinversa por la derecha.
Demostracion.
[⇐] Supongamos que g : B → A es una inversa derecha de f : A → B. Si y ∈ B,entonces tomamos x = g(y) ∈ A, de manera que
f(x) = f(g(y)) = y.
Ası que f es sobre. (Aquı no usamos el Axioma de Eleccion).
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Relaciones y funciones Algebra
Funciones inversas
Teorema
Si una funcion f : A → B tiene inversa por la izquierda h : B → A, e inversapor la derecha g : B → A, entonces g = h.
Demostracion.
Sea y ∈ B. Por hipotesis,
h ◦ f = IdA y f ◦ g = IdB .
En particular,y = f(g(y)).
Luego,h(y) = h(f(g(y))) = g(y).
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Relaciones y funciones Algebra
Funciones inversas
Decimos que una funcion f : A → B tiene (funcion) inversa si existe una funcionf−1 : B → A tal que f ◦ f−1 = IdB y f−1 ◦ f = IdA.
Esto es, f tiene inversa si y solo si, tiene inversa por la izquierda y por la derecha.
Teorema
Una funcion f : A→ B tiene inversa si y solo si es biyectiva.
Se sigue de inmediato el teorema siguiente de unicidad de las funciones inversas.
Teorema
Si una funcion f : A→ B tiene inversa, entonces esta es unica.
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