aritmetica todo

UNMSM Aritmtica

SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO

SEMANA 1

CONJUNTOS I

1. Si: A ;a; a ; a,b ; Indicar las proposiciones que son

verdaderas.

I. a A {a, b} A

II. {} A {} A

III. A A A) solo I B) solo II

C) solo III D) II y IV E) II y III

RESOLUCIN

A ;a; a ; a,b ;

I. a A {a, b} A

F F = F

II. {} A {} A

F V = V

III. A A

V V = V

I y III son verdaderas

RPTA.: D

2. Dados los conjuntos:

A x N 2x 13

B x A x 2x A

Indicar si es verdadero o falso, las siguientes proposiciones.

I. x A / x 5 > 4

II. x (A B) / 2x + 5 < 8

III. x (A B) / x B A) VVF B) FVF C) VFV

D) VFF E) VVV

RESOLUCIN

A x N 2x 13

A 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

B x A x 2x A

x = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

x 2x = 0 ;1; 0 ; 3 ; 8; 15; 24

B = {1; 4; 5; 6}

I. x A / x 5 > 4

(V)

II. x (A B)/2x + 5 < 8 (F)

III. x (A B) / x B (V)

RPTA.: C

3. Sea A n Z n 600 Calcule la suma de elementos del conjunto B; si

3B a 2 a A a A

A) 1000 B) 1296 C) 1312 D) 1424 E) 1528

RESOLUCIN

3

a es cubo perfecto

A n Z n 600 1,2,3,4,5,...,600

B a 2 a A a A

a = 1 ; 2; 3; ...; 8

2

B 1 2 ; 2 2 ; 3 2 ;....; 8 2

elementos 8x92 8

2de B

1312

Nota:

3

2

N

n n 1S

2

RPTA.: C

4. Halle el cardinal del conjunto B e

indicar el nmero de subconjuntos ternarios que tiene.

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CONJUNTOSLGICA

B x Z x 8 x 2

siendo : p q p q A B

A) 48 B) 42 C) 63 D) 56 E) 45

RESOLUCIN

B x Z x 8 x 2

(x > 8) (x = 2)

(x> 8) (x = 2)

x = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

n(B) = 8

#Subconjuntos 8 8!C

3! 5!3Ternarios de B

6x7x856

6

RPTA.: D

5. Dados los conjuntos unitarios

A = {a + b; a + 2b3; 12} y

B = {xy ; yx ; 16};

halle el valor de (x + y + a + b)

A) 81 B) 92 C) 96

D) 87 E) 90

RESOLUCIN A y B son unitarios:

* A = {a + b; a + 2b 3; 12} a + b = 12

a + 2b 3 = 12

a + 2b = 15 como: a + b = 12

b = 3 a = 9

* B = {xy; yx; 16}

xy = yx = 24

x = 2 ; y = 4

x + y + a + b = 90

RPTA.: E

6. Calcular el nmero de subconjuntos binaros del conjunto D, si:

D = {(x 1)Z / 0 < x 4} A) 132 B) 126 C) 105

D) 124 E) 120

RESOLUCIN D = {(x 1)Z / 0 < x 4}

0 < x 4 0 < x 16

1

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RESOLUCIN

* nP(A) = 128 = 27 n(A) = 7

nP(B) = 32 = 25 n(B) = 5

nP(AB) = 8 = 23 n(AB) = 3

n(AB) = 7 + 5 3 = 9

nP(AB) = 29 = 512

* C = 5

3x 1 Z x3

5x

3

5x 3 1 3 1

3

(3x + 1) < 6

C = {1; 2; 3; 4; 5} n(C) = 5

nP(AB) + n(C) = 517

RPTA.: B

8. Oscar compra 9 baldes de

pinturas de diferentes colores. Los mezcla en igual proporcin.

Cuntos nuevos matices se pueden obtener?

A) 512 B) 246 C) 247 D) 503 E) 502

RESOLUCIN # de colores = 9

# de nuevos matices= 29 1 9

= 512 10 = 502

RPTA.: E

9. El conjunto A tiene 200

subconjuntos no ternarios. Cuntos subconjuntos quinarios

tendr?

A) 64 B) 56 C) 48

D) 21 E) 35

RESOLUCIN Sea n(A) = x

x x

3

x

x

Subconjuntos2 C 200

no ternarios

x!2 200

3! x 3

x 2 x 1 x2 200

6

x 8

Luego :

#Subconjuntos 8 8!C

5! x 3!5Quinarios

8 x 7 x 656

6

RPTA.: B

10. Si el conjunto C tiene (P + 1) elementos y (2P + 3) subconjuntos propios; adems:

n(A) = 4P + 2 ; n(B) = 3P + 6 y

n(AB) = 2P 2

Halle n(AB)

A) 14 B) 16 C) 18 D) 17 E) 20

RESOLUCIN n(C) = P + 1

# subconjuntos2P 3

propios de C

P + 1

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2P + 1 1 = 2P + 3

P = 2 Luego:

n(A) = 4(2) + 2 = 10 n(B) = 3(2) + 6 = 12

n(AB) = 2

n (AB) = 18 RPTA.: C

11. Sean los conjuntos A E ; B E

y C E; E conjunto universal, tal que:

E = {x Z+ / x < 10}

A = x E x 7

AB = {x E / x 9 x > 2}

BC = {3}

BC = {x E / x 7}

AC = A B C

Determinar n(A) + n(B) + n(C)

A) 9 B) 12 C) 10 D) 13 E) 11

RESOLUCIN E={xZ+/x

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El nmero de subconjuntos de B

excede al nmero de subconjuntos propios de A en 993.

Cuntos subconjuntos propios tiene A ?

A) 281 B) 2101 C) 2111

D) 2121 E) 2131

RESOLUCIN Sean n(A) = x n(B) = 2x

# subconjuntos # subconjuntos

993de B propios de A

22x (2x1) = 993

2x(2x1) = 992 = 25 x 31

x = 5

Luego:

# subconjuntos de 7B 128 2

12#subconjuntos propios de A 2 1

RPTA.: D

14. Dados los conjuntos:

3x 5A x N / N

4

x 1 xB N / N

2 2

C x N /2x 25

Halle: n[(AB)C ]

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

RESOLUCIN

* 3x 5

A x N / N4

3x 5 4N 5N x

4 3

N = 2; 5; 8 ......

X = 1; 5; 9 ......

A = {1, 5, 9, 13, 17, 21, .....}

* x 1 x

B N/ N2 2

NATURAL

x 1 x 1No existe natural

2 2 2

B =

* C x N/2x 25

C = {13, 14, 15, 16, 17, .....}

n(AB) C A B (DIFERENCIA SIMTRICA)

n (A C ) = n(A C)

= n {1, 5, 9}

= 3 RPTA.: B

15. Para los conjuntos A, B y C afirmamos:

I. Si A B C C B A

II. A A

III. A B A B

IV. Si A B B A

V. A B A B A

Son verdaderas:

A) todas

B) solo II y III C) todas excepto V D) solo II, III, IV y V

E) solo I, II y V

RESOLUCIN I. Si A B C C B A (V)

II. A A (V)

2

5 10

B = 10A = 5

U

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III. A B A B (V)

IV. Si A B B A (V)

V. A B A B A (V)

RPTA.: A

16. Si A y B son dos conjuntos finitos, tal que, el nmero de

subconjuntos de A y de B suman 320, los conjuntos A y B tienen 2 elementos comunes; determine

n(AB)

A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

RESOLUCIN 320 = n(PA) + n (PB)

320 = 2n(A) + 2n(B) 320 = 26 + 28 Luego:

n(A) = 6 n(B) = 8

n(AB) = 10 RPTA.: E

17. Sean A, B y C conjuntos no vacos

diferentes dos a dos, tales que:

B A ; C B

A C

Al simplificar:

[B(C A)] [A (B C)] se

obtiene:

A) A B) B C) A B

D) A C E)

RESOLUCIN B A ; C B ; A C

A B ; C B ; A C

Graficando y enumerando las

regiones:

B C A A B C

[2] [1; 3] =

RPTA.: E

18. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, simplificar:

A B A B A B

A) A B B) A B

C) A B D) A B

E)

4 62

A B

2

BC

A

1

2 3

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RESOLUCIN Graficando los conjuntos A y B

A B A B A B

(A B) (BA)

1,2,3 2,3

1,2,3 1,4 1 A B

RPTA.: A

19. En el grfico, las zonas sombreadas estn representadas por:

I) [A(BC)] [C D]

II) (A B) (B C)

III) [(A D) C] [A (BC)] A) solo I B) solo II

C) solo I y II D) solo II y III E) todos

RESOLUCIN

I) [A(BC)] [C D]

[{1,2,3} {2,6,5}] {7}

= {1,3,7}: si

II) (A B) (B C)

{1,2,3,4,5,6,7} {2,5,6} = {1,3,4,7} no

III) [(A D) C] [A (BC)]

{1,2,5} {1,3} = {1} no

RPTA.: A

20. Dado 3 conjuntos A; B y C: Si n(A) = m ; n(B) = m + r

n(C) = m + 2r ; adems: n[P(A)] + n[P(B)]+ n[P(C)] = 896 Se sabe adems que A, B y C son

disjuntos.

Calcule n(A B C)

A) 16 B) 22 C) 24 D) 32 E) 48

RESOLUCIN n(A) = m ; n(B) = m + r ; n(C) = m + 2r

A B CnP nP nP 896

2m + 2m+r + 2m+2r = 896

2m [1 + 2r + 22r] = 896 = 27 x 7

m = 7

r = 1

A B C

7 8 9

n(A B C) = 24 RPTA.: C

B

CD

A

2 31

4

A B

B

CD

A

1 2 3 45

6

7

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SEMANA 2

CONJUNTOS II

1. Se hizo una encuesta a 50

personas sobre preferencias respecto a dos revistas A y B. Se

observa que los que leen las dos revistas son el doble de los que leen solo A, el triple de los que

leen solo B y el cudruplo de los que no leen ninguna de las dos

revistas. Cuntas personas leen la revista A?

A) 24 B) 30 C) 32 D) 36 E) 40

RESOLUCIN

6x + 12x + 4x + 3x = 50 x = 2 n(A) = 18(2) = 36

RPTA.: D

2. A una ceremonia asistieron 24 seoritas con cartera, 28 varones con corbata, 40 portaban casaca,

17 varones con corbata no tenan casaca, 9 seoritas portaban

casaca pero no tenan cartera. Cuntos varones con casaca no llevaron corbata, si 16 seoritas

no llevaron cartera ni casaca y 28 seoritas no llevaron casaca?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

RESOLUCIN

40 = 11 + 9 + 12 + x x = 8

RPTA.: A

3. De los residentes de un edificio se ha observado que 29 de ellos trabajan y 56 son mujeres, de los

cuales 12 estudian pero no trabajan. De los varones 32

trabajan o estudian y 21 no trabajan ni estudian, cuntas mujeres no estudian ni trabajan,

si 36 varones no trabajan?

A) 32 B) 30 C) 28 D) 26 E) 34

RESOLUCIN

X = 56 24 X = 32

RPTA.: A

12x 4x6x

A = 18x B

3x

U = 50

12 1217 11Cor

bata

= 2

8Casaca = 40 Cartera = 24

16

9x

H = M =

U =

M

H

56

T(29)

E 21

1212

1517

x

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4. En una clase de 50 alumnos, se

practica tres deportes: Atletismo, Bsquet y Fulbito.

* Los que practican atletismo o fulbito pero no bsquet son 30.

* Los que practican bsquet o

fulbito pero no atletismo son 27. * Los que practican atletismo y

fulbito son 7. * Los que practican fulbito pero no

atletismo o bsquet son 15. * Los que no practican estos

deportes son la cuarta parte de los

que practican bsquet y fulbito pero no atletismo.

* 4 practican atletismo y bsquet pero no fulbito.

* Los que practican bsquet pero no

atletismo o fulbito son 4. Cuntos practican solo dos

deportes o no practican ninguno?

A) 21 B) 17 C) 19

D) 2 E) 18

RESOLUCIN

50 = 15 + 8 + (7x) + x + 8 + x + 4 + 4 + 2

X = 50 48 = 2

solo 2 deportes o ninguno de los tres: 5 + 4 + 8 + 2 = 19

RPTA.: C

5. Dado los conjuntos A; B y C

contenidos en el universo de 98 elementos, tal que:

n(A B) = 21

n(B C) = 25

n(C A) = 32 3n (ABC) = n(ABC )

Hallar: A B C A) 93 B) 95 C) 87

D) 77 E) 91

RESOLUCIN Diagrama de Ven Euler para

visualizar:

Planteando tenemos: 98 = 4x + 21 + 25 + 32 20 = 4x

5 = x

Piden: A B C

U A B C 98 5 93

RPTA.: A

6. Usando las leyes del lgebra de

conjuntos, simplificar:

A B B A B C A) AC B) BC

C) U D) (A B)C

E) (A B)C

RESOLUCIN [(AB)B] =

8 + x

44

BA

F

2

8x

7 - x

U = 50

15

A B

C

x

3x

98

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[(AB)C]C = (AB)CC

{[(AB)B][(AB)C]}C

{}C = U RPTA.: C

7. En un condominio de 100

personas, 85 son casados, 70 son abonados de telfono, 75 tienen bicicleta y 80 son empresarios.

Cul es el mnimo nmero de personas que al mismo tiempo

son casados, poseen telfono, tienen bicicleta y son empresarios?

A) 15 B) 10 C) 20

D) 24 E) 15

RESOLUCIN Tomando por partes:

= 10

RPTA.: B

8. En una encuesta a los estudiantes

se determin que:

* 68 se portan bien * 160 son habladores * 138 son inteligentes * 55 son habladores y se portan bien

* 48 se portan bien y son inteligentes * 120 son habladores e inteligentes

* 40 son habladores, inteligentes y se

portan bien.

Cuntos estudiantes son inteligentes solamente?

A) 10 B) 20 C) 40 D) 12 E) 8

RESOLUCIN

Solo inteligentes = 10

RPTA.: A

9. Un club consta de 78 personas, de

ellas 50 juegan ftbol, 32 bsquet y 23 voley. Adems 6 figuran en

los 3 deportes y 10 no practican ningn deporte. Si x es el total de personas que practican exactamente un deporte, y es el total de personas que practican

exactamente 2 deportes, entonces

el valor de (xy) es:

A) 9 B) 10 C) 12 D) 15 E) 16

15 55

30

45 30

25

70 10

20

70

30

15 45

CASADOS

TELFONO 75

25

CASADOS

Y

TELFONO

85 55

AUTO

80

20

70 30

CASADOS,

TELFONO Y AUTO

EMPRESARIOS

4080

2515

5

8

10

HABLADORES:

160

INTELIGENTES:

138

PORTAN

BIEN: 68

U =

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RESOLUCIN

a + b + c = y x : solo un deporte

Del universo:

44ab+b+17bc+32+10 = 78 a + b + c = 25 = y

Tambin:

x + y + 6 + 10 = 78 x = 37

x y = 12

RPTA.: C

10. Dado el conjunto universal U y

los subconjuntos A, B y C; se

tiene los siguientes datos:

n(U) = 44 n(BC) = 12

n(AC) = 14 n[(ABC ) ]=6

n(ABC) = 5 n(B) = 17

n(A) = 21 n(ABC ) =3

Hallar n(C)

A) 31 B) 27 C) 29 D) 26 E) 28

RESOLUCIN n(AB C ) =3

n[(AB)C] =3

21 + 2 + 7 + 6 + x = 44 x = 8 n(C) = 9 + 5 + 7 + 8 = 29

RPTA.: C

11. En un grupo de 80 estudiantes, se

encuentra que las cantidades que estudiaban las diversas lenguas eran en nmero de 72,

distribuidas de la siguiente manera:

* Alemn solamente 25 * Espaol solamente 12

* Francs pero no alemn ni espaol, 15

* Alemn y francs 10 * Alemn y espaol 8

Adems los que estudiaban espaol y francs eran tantos

como los que estudiaban alemn y espaol. Determinar cuntos estudiaban 2 lenguas solamente o

estudiaban las 3 lenguas.

A) 14 B) 20 C) 12 D) 8 E) 18

a

c6

b

44

a

b

17 b c

V = 23

B = 32F = 50

10

U = 78

4 3 2

9

5

7

x C

B = 17A = 21

6

U = 44

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RESOLUCIN

Dos lenguas solamente tres

lenguas

= (80) (25 + 15 + 12 + 8) = 20

RPTA.: B

12. En una encuesta realizada a

100 trabajadores de una fbrica se obtuvo la siguiente informacin:

todos los hombres tenan ms de 20 aos, 25 de las mujeres eran

casadas mientras que 15 de los trabajadores casados tenan ms de 20 aos y 10 de las mujeres

casadas tenan ms de 20 aos. Si hay 60 que tienen ms de 20 aos,

hallar la diferencia entre el nmero de trabajadores con menos de 20 aos y el nmero de mujeres

solteras con menos de 20 aos.

A) 5 B) 10 C) 15 D) 18 E) 8

RESOLUCIN

A: personas con ms de 20 aos

B: hombres C: casados

Por datos: x + y = 25

x + z = 15 x = 10

y = 15 z = 5

* Trabajadores con menos de 20

aos: 15 + 25 = 40

* Mujeres solteras con menos de 20 aos = 25

40 25 = 15 RPTA.: C

13. Qu operacin representa el grfico?

A) [(AC)(BC)] C

B) [(AB)(BA)]C

C) C (AB)

D) (CA) (CB)

E) A B C

RESOLUCIN

RPTA.: C

14. En un colegio hay 35 nios. Cada uno de ellos tiene una bandera que puede ser moncroma,

bicolor o tricolor, habindose usado nicamente 3 colores: rojo, amarillo

y azul. El nmero de banderas bicolor es el doble del nmero de banderas monocromas, mientras

que el nmero de banderas que tienen el color rojo es igual al

nmero de banderas que tienen el

C

BA

25 8 - x 12

10 - x

x

15

F

EA

8

U = 80

8 - x

y

C

B

A(60)

a b z x

25

U(100)

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color azul e igual al nmero de

banderas que tienen el color amarillo. Si slo 8 nios tienen

banderas tricolor y dos alumnos banderas color amarillo. Cuntas banderas bicolor rojo azul hay?

A) 2 B) 3 C) 5

D) 7 E) 10

RESOLUCIN

Datos:

a + b + x + y + z = 25 ......(1)

x + y + z = 2(a + b + c) ....(2) (2) en (1)

a + b + 2 (a + b + 2) = 25 3(a + b) = 21 a + b = 7

Dato:

a + x + y = y + z + b = x + z + c

a + 18 z = 18 x + b = 18y+ c De donde:

a = z y + c

b = x y + c

Sumando: 7 = x + z 2y + 4

7 = 18 y 2y + 4 3y = 15 y = 5

RPTA.: C

15. A cuntas personas le gusta 2 cursos solamente si la cantidad de

personas que le gusta aritmtica pero no lgebra ni fsica es el doble

de los que les gusta lgebra, pero

no aritmtica ni fsica y adems a los que les gusta fsica pero no

aritmtica ni lgebra es el triple de los que les gusta lgebra pero no aritmtica ni fsica y a los que les

gusta los 3 cursos es la cuarta parte de los que les gusta aritmtica pero

no lgebra ni fsica, si a 24 personas le gusta solamente un

curso y adems el total de personas que gusta de al menos un curso es 36.

A) 5 B) 8 C) 12

D) 4 E) 10

RESOLUCIN

A: aritmtica X: lgebra

F: fsica

Datos:

A (xF) = 2[x (AF)]

F (Ax) = 3[x(AF)]

1

A x F A x F4

AxF = y Por dato:

4y + 2y + 6y = 24 12y = 24 y = 2

13y + m + n + p = 36 .... dato

13 x 2 + m + n + p = 36 m + n + p = 10

RPTA.: E

16. A, B y C son conjuntos contenidos en un mismo universo, simplifique la siguiente expresin:

E = {{[(A B) (A B )] (A B )}

a y b

z8

x

c = 2

Amarilo

AzulRojo

U = 35

A

4y n 2y

py

m

6y

F

x

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(C A)} {((A C) (A C)}

A) AC B) B C) A

D) AC E) C

RESOLUCIN

E={{[(AB)(ABC)](ABC)}(CA)} (AC) A(B(ABC)...............................

A(BA)

(AB) (ABC)

[(AB)A] [(AB)BC]

A (ABC)

A (CAC)

(AC) (AC)

(AC)

RPTA.: A

17. De 60 personas se sabe: * 6 hombres tienen 20 aos

* 18 hombres no tienen 21 aos * 22 hombres no tienen 20 aos

* Tantas mujeres tienen 20 aos como hombres tienen 21 aos.

Cuntas mujeres no tienen 20 aos?

A) 18 B) 20 C) 24 D) 22 E) 28

RESOLUCIN

= 22

RPTA.: E

18. De un grupo de personas se sabe

lo siguiente: * Algunos provincianos son casados. * Todos los profesores no son

provincianos.

* Ninguno de los que tienen hijos es

profesor

* Todos los casados tienen hijos

* 9 personas no son provincianas, ni

casadas, pero tienen hijos.

* Hay 12 profesores y son tantos como

el nmero de casados

* De los 25 provincianos, 15 tienen

hijos.

* 5 casados no son limeos

* 10 limeos no son profesores ni

tienen hijos.

Cuntas personas conforman el

grupo y cuntos no tienen hijos, ni son profesores?

A) 63 y 20 B) 57 y 10 C) 59 y 23 D) 64 y 9

E) 63 y 22

RESOLUCIN

Total = 63 No tienen hijos ni son

profesores = 20 RPTA.: A

19. En una academia de 100 alumnos, se rindieron 3 simulacros con los

siguientes resultados: 40 aprobaron el primero; 39 el

segundo; y 48 el tercero. 10 aprobaron 3 simulacros. 21 ninguno; 9 los dos primeros, pero

no el tercero; 19 el tercero, pero no los dos primeros.

6

x = 10

x = 10

H M

60 28 32

21+

21

20

20 -

7

5

9

10 10

12

10

LIMA

PROVINCIA

HIJOS HIJOS HIJOS

= 25

CASADOS SOLTEROS

UNMSM Aritmtica


Cuntos aprobaron por los menos

dos exmenes?

A) 19 B) 38 C) 24 D) 27 E) 29

RESOLUCIN

x + y + 10 + 19 = 48

x + y + 19 = 38

RPTA.: B

20. En una ciudad el 60% de los habitantes comen pescado; el

50% come carne; el 40% de los que comen carne tambin comen pescado. Qu porcentaje de los

habitantes no comen pescado ni comen carne?

A) 15% B) 23% C) 20% D) 10% E) 30%

RESOLUCIN

40

50% 20%100

60% + 30% + x = 100% X = 10%

RPTA.: D

9

yx

19

P = 40 S = 39

T = 48

U = 100

21

10

P = 60% C = 50%

x

U = 100%

40% 20% 30%

UNMSM Aritmtica


SEMANA 3:

NUMERACIN I

21. Calcule a si:

7 .9

pa n 2c 1 aa

3

Adems

n

p

c5p7 4c3

2

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

RESOLUCIN

n p 9 7c p

5p7 4c3 ; a n 2c 1 aa2 3

n 7 p 4 n 9 c 3

C= par p 36

n = 8 ; p 6 ; c 2

Luego:

9 7a28 5aa

81a 2 9 8 245 7a a

81a 26 245 8a

73.a 219 a 3

RPTA.: B

22. Cuntos valores puede tomar k

en

n

n

k0,125

kk ?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

RESOLUCIN

n

n

k 10,125

kk 8

Descomponiendo

k 1 k

kn k 8

k(1 n)

1

8

1 1n 1 8

n 1 8

n 7

Pero k n 7 k 1;2;3;4;5;6

K puede tomar 6 valores

RPTA.: C

23. Si:

7n 5n n 1 n 2 n 3 n 4 abcd

Halle: a b c d

A) 10 B) 12 C) 13 D) 11 E) 14

RESOLUCIN

(7)(n 5)n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4) abcd

n 5 7 n 1

(6) 712345 abcd

1 2 3 4 5

6 6 48 306 1860

1 8 51 310 1865

a=5

771865 5303 abcd b=3

C=0 D=3 a + b + c + d = 11

RPTA.: B

UNMSM Aritmtica


24. Halle m n p , si n n 1110 ,81 y

(n 1)1mp son nmeros consecutivos.

A) 15 B) 14 C) 13

D) 12 E) 11

RESOLUCIN

n 1n n 1110 ;81 ;1mp

Por dato: n n 1110 1 81

2n n 1 8 n 1 1

2n 7n 8 0 n 8 n 1 0 n - 8 n=8

n 1

78 9110 ;81 ;1mp

72 ; 73 ; 74

74 7

4 10 7 3 1

7 71mp 134 m 3;p 4;n 8

m n p 15

RPTA.: A

25. Sabiendo que : n 9a7b aoc ;

adems n 5 .6d6 mbmb Halle el

valor de (m + b + d).

A) 2 B) 4 C) 3 D) 6 E) 8

RESOLUCIN

n 9a7b aoc

7 n 9 n 8

Tambin por dato:

8 56d6 mbmb

2 2

56 8 d 8 6 mb .5 5mb

390 8d 26 mb 5

5195 4d 13.mb

0 15

5 5d 0 mb 15 30

m = 3; b = 0

3dbm

RPTA.: C

26. Calcule el valor de n si m es mximo en:

...1818 n

18.18 123

m veces

A) 8 B) 9 C) 11 D) 14 E) 10

RESOLUCIN Propiedad tenemos:

...1818 n

18.18 n 8 m 123

Pensando:

m 14 (mayor valor)

n 8 14 123

n 123 112

n 11

RPTA.: C

27. Si:

9 3a b 1 c 2 c b 1 10 xy 12

Calcule: a b c x y

A) 9 B) 10 C) 11

m es mximo n > 8

m veces

UNMSM Aritmtica


D) 12 E) 13

RESOLUCIN

Caso Especial: 2b b

9 3a b 1 c 2 c b 1 /10/xy /12

9 9a b 1 c 2 c b 1 3 3x y 5

Igualando:

* c = 5

* b 1 3;b 2

* a b 1;a 1

*c 2 3x y

5 2 3x y

7 3x y ; x = 2 y = 1

Pide: a b c x y 11

RPTA.: C

28. En la siguiente expresin:

m 8nM 4n6 54 3mn

Halle M.

A) 42 B) 532 C) 24 D) 220 E) 44

RESOLUCIN Analizando:

n54 5n

mn64 6m

nm

83mn 85 mn

7m y 6n

7 6 8M 466 54 376

M 244 34 254

M = 24

RPTA.: C

29. Si se cumple que:

ab naa 29abca 17a

Calcule el valor de n A)3 B)4 C)6

D)9 E)5

RESOLUCIN

ab naa 29abca 17a x 29

cambio de variable

x 29 x 29abca 17a abc .x a 17 .29 a

xabc .x 36.29

Si

9138116abc9x 9

a=1 ; b=3; c=8 Luego:

13 nx 11 9

n 1 3 9 n 5

RPTA.: E

30. Halle a b c m n , sabiendo

que: n maba bcn

Sabiendo que: m < 9 y b > 4

A) 27 B)3 C)-5

D) -3 E)5

RESOLUCIN mnab4 (Ordenando) 87654

Luego: 87 517656

a b c m n 6 5 1 7 3

3

RPTA.: D

x

UNMSM Aritmtica


31. Calcule la suma de las dos ltimas

cifras del numeral: n16 12 13 8 ,

al expresarlo en el sistema de

base 1n . A) 6 B) 7 C) 5

D) 4 E) 3

RESOLUCIN

n8131216N Base 1n

nn

n n

n n nn

nn

nn

n n

n n

n

16 12 13 8 n 1 11

11 1576 11

5 12 11 143 11

5 5 47

7 13 44

7 7 36

68 33

66 3

2

(n 1)N ...32

de las 2 ltimas cifras = 5

RPTA.: C

32. Si se cumple:

x

2m 1

9 6 12abcd

m m m

Calcule a b c d m x

A) 8 B) 10 C) 12

D) 13 E) 15

RESOLUCIN

x

1m2

abcdm

12

m

6

m

9

m divide a 9; 6 y 12 por tanto m = 3

Reemplazando.

x5 abcd324 a mayor valor

aparente menor base x 5

Se verifica para: x = 4

Por descomposicin:

8945253324 55

Por divisin a base 4:

89 4 1 22 4 2 5 4

1 1

x45 abcd1121324

4x;1d;2c;1b;1a

3m

12mxdcba

RPTA.: C

33. Calcule : a n m

Si: n m120a 64a 2553

A) 12 B) 14 C) 16

D) 18 E) 19

RESOLUCIN

mn 2553a64a120

6401200n

n + 2n = n (n+2) = 8(8+2)

Nmeros

equivalentes

UNMSM Aritmtica


)28(8)2n(n2n 223

n 8

8 m64a 120a 2553 ;m 5

m 8

6m

3

62553 2 6 5 6 5 6 3 645 64a

a 5

a m n 5 6 8 19

RPTA.: E

34. Halle x en:

n 7abx ccn , si: 2c y ab

A)0 B) 2 C) 3

D)5 E) 6

RESOLUCIN

n 7abx ccn ...(I) ; C 2 ; b a

7n 2 c a b n 7 c 3

a 4

b 5

n 6

Luego en I

6 745x 336 174

6 645x 450 x 0

RPTA.:A

35. Si se cumple que:

(2n) numerales

n

14 10 1

15 11

14 12

15 13

1 n 1

Cuntas cifras tendr el menor numeral de la base n, cuya suma de cifras sea 210, cuando se

exprese en la base 2n ?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5

RESOLUCIN Aplicando propiedad.

1)1n(...3210n5).1n()4(n15

2

)1(99

nnn

18n2

)1n(nn19

En base 3241822 n

Nmero 18324210 02 01 00

Nmero de cifras =5

RPTA.:E

36. Halle knba en la siguiente expresin:

k n9ab 213312 ; donde 2nk

A) 18 B) 24 C) 28 D) 41 E) 37

RESOLUCIN

Luego: knkn 2

nn 213312ab9 2

Transformando de base (n) a base 2n

n21 33 12

2n9 a b

UNMSM Aritmtica


n

4

4

21 9 n 4 ; k 16

33 a a 15

12 b b 6

41knba RPTA.: D

37. El mayor nmero de 3 cifras

diferentes de la base n, se escribe en base 8 como 4205. Halle n.

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

RESOLUCIN

Sea: nabc el mayor cba

n 8nabc n 1 n 2 n 3 4205

pasando a base 10.

218158082843nn).2n(n.1n 232

2184nn3

2184)1n(n 2

2184)1n)(1n(n

1413121nn1n

13n

RPTA.: D

38. Se desea repartir S/. 1000000 entre

un cierto nmero de personas, de

tal modo que lo que les corresponda

sea:

S/. 1 ; S/. 7 ; S/. 49 ; S/. 343;

y que no ms de 6 personas reciban

la misma suma. Cuntas personas

se beneficiaron?

A) 16 B) 15 C) 14

D) 13 E) 12

RESOLUCIN Transformando a base 7:

7311333110000001

Nmero de personas:

1611333311 16N

RPTA.: A

39. Si se cumple:

2 8a10b11b 15c

Halle: cba A)6 B) 7 C)5

D)9 E) 10

RESOLUCIN

2a 10b 11b = 8c15

8)b6)(b4(a = 8c15

1a*

1b;5b4*

7c;cb6*

9cba*

RPTA.: D

40. Si se cumple: n 7ab ba

Halle la suma de cifras de n ; si es el mximo valor posible.

A) 37 B) 13 C) 11 D) 21 E) 10

77

7

7

7

7

1 000 000

142 85720 408

2 915

416

59

8

1

(1)

(1)

7

(3)

(3)

(3)

(3)(1)

UNMSM Aritmtica


RESOLUCIN Descomponiendo:

ab7ban

1a

b6n

7by7a

6b;1a

37n 1073

RPTA.: D

SEMANA 4

NUMERACIN II

41. Si el trmino ab avo de la

siguiente serie aritmtica es ba. Calcule a +b si: 30;;48;51

A) 6 B) 7 C) 8

D) 9 E) 10

RESOLUCIN 30;;48;51 Razn: 3. Trmino 1: 30

Trmino n: 11

nttn razn

baabtab

3130

Descomponiendo:

30+3xab-3=ba 30+3(10a+b)-3=10b+a

27+29 x a = 7 x b

1 8

a=1; b=8

a+b=9 RPTA.: D

42. Dada la siguiente progresin aritmtica:

aa0;ab(a 2);a(b 1) 3b ;..... 3a 05

n trminos Halle: a+b+n

A) 15 B) 16 C) 17

D) 18 E) 19

RESOLUCIN n trminos

0533120 a;.....b)b(a;)a(ab;aa

)a(ab)b)(b(aaa)a(abr 23102

r = 10b+a+2-10a=10(b-1)+3b-10b-a-2

UNMSM Aritmtica


r =10b-9a+2=3b-a+8

7b = 8a+6 r = 13

2 1

n= 16113

110305

a + b + n=19 RPTA.: E

43. Cuntos trminos tiene la siguiente progresin aritmtica:

x x x x233 ;242 ;301 ;........;1034

A) 26 B) 17 C) 20

D) 19 E) 22

RESOLUCIN Clculo de la razn R:

xxxx 242301233242

Descomponiendo polinmicamente

2 22x 4x 2 2x 3x 3 2 23x 1 2x 4x 2 x = 5 R = x - 1 R = 4

5 5 5 5233 ;242 ;301 ;.........;1034

+ 4 + 4

5 51034 233

n 14

n = 20 RPTA.: C

44. En la numeracin de las pginas

impares de un libro se han empleado 440 tipos de imprenta. Cuntas pginas puede tener el

libro?

A) 165 B) 330 C) 320 D) 145 E) 325

RESOLUCIN Suponiendo la ltima pgina con

numeracin PAR.

Cantidad de cifras de las pginas impares:

1, 3, 5, 7, 9,

5#s 5 x 1 = 5 cifras

11, 13, 15, 17,., 97, 99 45#s 45x2=90cifras

101, 103, 105, 107,.

440-(5+90) = 345 cifras

Se han utilizado 345 cifras para

escribir nmeros de3 cifras:

3 cifras = 1153

345

nmeros de 3 cifras

Total de pginas impares

= 5+45+115=165 pginas. Total de pginas =330

RPTA.: B

45. Al escribir la secuencia adjunta que tiene 113 trminos. cuantas cifras

en total se han utilizado?

67 70 73 7666 ,69 ;72 ;75 ;...........

A) 664 B) 665 C) 620 D) 653 E) 655

RESOLUCIN

abc 1

67 70 97 100 10366 ,69 ;...96 ;99 ;102 ...abc

11#s 1# 101#s

UNMSM Aritmtica


11 x 4 1 x 5 101.6

RPTA.: E

46. Las 72 primeras pginas de un libro utilizan 69 tipos de imprenta menos en su numeracin que las utilizadas

por las 72 ltimas Cuntas pginas tiene el libro?

A) 159 B) 157 C) 148 D) 195 E) 185

RESOLUCIN La numeracin de las pginas

ser: 1, 2, 3, 4,., 71, 72,.., x Cifras utilizadas

N........,n,n,n 707172

(x+69) cifras utilizadas

(La cantidad de cifras del 1 al 72) = (72+1)2-11=135

La cantidad de cifras utilizadas en las 72 ltimas pginas ser:

135+69=204

Entonces si al total de cifras desde 1 N, le quitamos el total de cifras utilizadas desde 1 hasta (N-72) es igual a 204.

Asumiendo para N=3

N 1 3 111 N 72 1 2 11 204

N=159 RPTA.: A

47. En la siguiente serie, halle el

trmino que ocupa el lugar ante penltimo.

3, 9, 17, 27,., 699 A) 559 B) 597 C) 647 D) 649 E) 585

RESOLUCIN

tn = 211

2

211 r.

nnr.nt

En el problema

22

23613699

2

.nn

.ntn

2700 n 3n n 25

23

22.21t 3 22.6 .2 597

2

RPTA.:B

48. Cuntos nmeros de la forma:

a a 1 b b 2 c c /2 d existen? A) 960 B) 2160 C) 3200

D) 3600 E) 2400

RESOLUCIN

d/ccbbaaN 221 1 2 0 0 2 3 2 1 3 4 4 2

. . 6 . . . 8 .

. . .

. . . 7 . .

8 9 9 C#s= 8 x 8 x 5 x 10 =3200

d= 0; 1; 4; 9; 16;..; 28 ; 29 RPTA.: C

49. En que sistema de numeracin existen 136 nmeros de las

formas: Kbbaa

A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20

RESOLUCIN a+b= k-1 (mximo)

a=1; b=0; 1; 2; 3;k-2 k-1

UNMSM Aritmtica


a=2; b=0; 1; 2; .;k-3 k-2 a=3; b=0; 1; 2; .;k-4 k-3

. . . .

. .

a=k-2; b=0,12

a=k-1; b=0 1

#s = k 1 k

1362

k 1 k 8 17 2

k=17

RPTA.: B

50. Cuntos nmeros de tres cifras existen, que tengan por lo menos

una cifra par y por lo menos una cifra impar?

A) 500 B) 625 C) 675 D) 635 E) 600

RESOLUCIN Sabemos:

cba

9x10x10=900 nmeros de 3 cifras

Para hallar los nmeros de3 cifras que tengan al menos 1 cifra impar

y 1 cifra par, al total de nmeros de 3 cifras se le debe restar los nmeros de 3 cifras pares e

impares luego:

# de 3 cifras pares a b c 2 0 0

4 2 2 6 4 4

8 6 6 8 8

4 x 5 x 5 = 100#s

# de 3 cifras impares

a b c 1 1 1

3 3 3 5 5 7 7 7 5

9 9 9

5 x 5 x 5 = 125 #s

Entonces: 900-(100+125)675 #s RPTA.: C

51. Cuntos nmeros capicas existe

entre 800 y 80000?

A) 900 B) 800 C) 700 D) 750 E) 810

RESOLUCIN 800 < capicas< 80000 Capicas

aba ; abba ;

8 0 1 0 9 1 2 1 2 3 2

. . . . . .

. . . 9 9 9 2x10 = 20 9x10=90

a b cba

1 0 0 2 1 1

1 2 2 . . .

. . . . . . 7 9 9

7x10x10=700 C#s Capicas= 20+90+700=810

RPTA.: B

52. Cuntos nmeros de 10 cifras hay en base 16 tal que el producto de

sus cifras sea 30? A) 990 B) 800 C) 720

D) 500 E) 600

RESOLUCIN Casos: I II

Producto de =30= 2x3x5 = 5x6

cifras III IV

=15 x 2 =10 x 3

UNMSM Aritmtica


Caso I : 10x9x8 = 720#s

Caso II : 10x9 = 90#s Caso III : 10x9 = 90#s

Caso IV : 10x9 = 90#s Total = 990#s

RPTA.: A

53. En que sistema de numeracin hay 66 nmeros capicas de 5 cifras,

que exactamente tenga 2 veces la cifra 2 en su escritura?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

RESOLUCIN

Nro capica: abcba

Tenga 2 cifras 2 En su escritura:

x2 b c b 2 xa 2 c 2 a

0 0 1 0

1 1 3 1 3 3 . 3 . . . .

. . . . . . . .

1

1

1

1

x

x

x

x

1

1

2

1

x

x

x

x

2

x 1 x 2 x 1 66

x 1 x 1 x 2 66 6 11

x 1 2x 3 7 1 2 7 3

x 7

RPTA.: C

54. Se escriben en forma consecutiva los nmeros enteros positivo uno a continuacin del otro hasta emplear

2226 cifras. Cul es la cifra que ocupa el ltimo lugar?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

RESOLUCIN 2226 cifras

1,2,9; 10,11,.99,100,U

9 #s 90 #s

Cifras: 9x1 90x2 2037 cifras

2037 3 679 # s de 3 cifras

679 U 100 1 U 778

ltima cifra =8 RPTA.: D

55. Un libro se empieza a enumerar

desde una primera pgina y se observa que 58 nmeros comienzan con la cifra 7. Cuntos nmeros

escritos terminan con la cifra 7? A) 76 B) 67 C) 70

D) 74 E) 73

RESOLUCIN La numeracin de las pginas que comienzan con la cifra 7 ser:

1,2,3,.,7,..,70,71,,78,79,

1#s 10#s

700,701,702,..,746

47#s

El libro tiene 746 pginas La secuencia de las pginas que

terminan con la cifra 7 ser:

7,17,27,37,47,.,717,727,737

Total de nmeros que terminan en

la cifra 7:

Total=737 7

1 7410

Total= 74 nmeros RPTA.: D

UNMSM Aritmtica


56. Se han arrancado las 50 ltimas

hojas de un libro, notndose que el nmero de tipos de imprenta que se han utilizado en su numeracin, ha

disminuido en 361. Cuntos tipos de imprenta se han utilizado en la

numeracin de las hojas que quedaron.

A) 2 661 B) 2 771 C) 2 769 D) 2 772 E) 2 774

RESOLUCIN

En total de pginas =100

Si las 100 pginas arrancadas fueran todas de 4 cifras, faltaran

en total 400 tipos de imprenta, pero slo faltan 361, esto indica que algunas pginas son de 3

cifras.

Si cada pgina de 4 cifras reemplazamos por una de 3 cifras, la cantidad de tipos

disminuye en 1.

Cantidad de pginas de 3 cifras = 400 -361 =39

La ltima pgina de 3 cifras es la 999

La ltima pgina de 3 cifras que quedaron es =999-39=960

Cantidad de tipos=3(960+1)-111=2 772

Total de tipos = 2 772 RPTA.: D

57. Si de los nmeros del 1 a 1000, no se marca ni un solo nmero que contenga la cifra 4 la cifra 7

Cuntos nmeros se marcan?

A) 506 B) 510 C) 511 D) 512 E) 515

RESOLUCIN Sin 4 7 del 1 al 1000, por

anlisis combinatorio tenemos:

* De 1 cifra:(1,2,3,5,6,8,9)=7#s

* De 2 cifras: ba

7 x 8 = 56 #s

* De 3 cifras: cba

7 x8x 8=448 #s

* De 4 cifras: (1000) 1#

Luego : 7 +56 +448+1 =512#s

RPTA.: D

58. Un libro tiene entre 100 y 1500

pginas, si en las 40 ltimas pginas utiliza 155 cifras Cuntas cifras tendra si se enumerara en

el sistema octal?

A) 3555 B) 4005 C) 3750 D) 4125 E) 4325

RESOLUCIN x nmeros de 3 cifras

x+y=40 x=5

y nmeros de 4 cifras

3x+4y=155 y= 35

ltima pgina =1034 = 82012

# cifras = 884 2013 1111 3555

RPTA.: A

59. Sea la P.A.:

4a6;.....;68b;6c b 2 ;70d

donde el trmino del trigsimo

lugar de la P.A. es b68 . Halle (a + b + c + d).

UNMSM Aritmtica


A) 26 B) 24 C) 30 D) 25 E) 13

RESOLUCIN

4ab;.......;68b;6c b a ;70d

r=8; c=9

30t 68b 4a6 29. 8

680 406 10a 232

42 b 10.a d 4

8 5

a+b+c+d+=26 RPTA.: A

60. Halle la diferencia de las bases de 2 sistemas de numeracin; si uno tiene 56 nmeros capicas de 3

cifras ms que el otro, y que la suma de dichas bases es 15.

A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 7

RESOLUCIN

waba

Nros capicas:

zxyx

Adems: w+z=15

Mtodo combinatorio:

aba (w)

1 0

2 1 3 2

. 3 . . . .

. .

w

w

.w

w 1

1

1

zx y x

1 0

2 1 3 2

. . . . .

. .

z

z

.z

z 1

1

1

Por dato:

5622 zzww 5622 wzzw 561 zwzw 14

414

56 zw

RPTA.: B

61. Una persona empieza a numerar las

pginas de un libro desde el nmero 4000, se detiene en el nmero que representa la cantidad

de cifras utilizadas. Dar la suma de las cifras del ltimo nmero.

A) 12 B) 13 C) 11 D) 14 E) 15

RESOLUCIN Sucesin ser: 4000;4001;4002.;N

N tipos de imprenta

Planteando el enunciado: (Cantidad de nmeros) x 4 =N

NN 39994 3N= 4x 3999

N= 4(1333) =5332 N=5332

Suma de cifras: 5+3+3+2=13 RPTA.: B

UNMSM Aritmtica


62. Al enumerar las pginas de un libro

en base siete se emplean 996 cifras. Indicar la suma de las cifras del numeral correspondiente a la

ltima pgina. A) 4 B) 5 C) 6

D) 7 E) 8

RESOLUCIN 1;2;...6; 710 ;; 766 ;

6 nmeros 760 nmeros

7100 7666 71000 .. 7abcd

7600 nmeros x nmeros

6cifras+ 42x2 cifras +294x3 cifras

+x.4 =996

4x=996-972 4x=24 x=6 nmeros

7 7abcd 1005

1 + 0+ 0+ 5=6

RPTA.: C

UNMSM Aritmtica


SEMANA 5

ADICIN - SUSTRACCIN

63. Si :

a0ca 8abc b7c8 ccab 24022

Halle: 2a b c

A) 270 B) 256 C) 320 D) 245 E) 325

RESOLUCIN Si:

a ca abc b c ccab 0 0 0

24022 - 8000 -708=15314.

Entonces: a + b + c =14 (nico valor que cumple)

* 1+(a+ b+ c)+c =.........1

15 + c=..........1 c = 6 * 2 + a + c = ...........3

8 + a = ...........3 a = 5 * 1+ a + b + c = 15

1 + 5 + b +6 = 15 b=3

2 2a b c 5 3 6 270

RPTA.: A

64. Halle : ;cba si n + x =16 y

x1x x2x x3x ... x n 1 x abc4

A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 19

RESOLUCIN n + x = 16 ; (n 1) . x = ... 4

n = 10

x = 6

* x (n-1) 4 x=6

6 9 n=10

a + b + c = 14

RPTA.:B

65. Halle en base 10 el valor de S si sus 15 trminos forman una

progresin aritmtica:

S = 12(n) + 21(n) + 30(n) + ... + 210(n)

A) 637 B) 625 C) 5481

D) 675 E) 645

RESOLUCIN

(n)n n nS 12 ... 21 30 210

Razn: n n n 21 12 1

ltimo trmino:

n n12 14 n 1 210

Resolviendo:

n n n 2 7 6 0 6

6 6 6 6S 12 21 30 ... 210

S= 8 + 13 + 18 + + 78

xS

15 86645

2

RPTA.:E

n-1Sumandos

a

5

5 5

x x

x

1

2x

x (n-1) x

b c 49 0

.

.

.

UNMSM Aritmtica


66. Halle la suma de todos los

nmeros de la forma:

a a/2 b 2b

A) 84440 B) 84480 C) 84840 D) 104480 E) 105480

RESOLUCIN

1 columna = 80486420 2 columna = 0 1 2 3 4 4 40

3 columna = 5054321 4 columna = 2 4 6 8 5 100

RPTA.:E

67. Si: ....................106104102 nS

n sumandos

Halle la siguiente suma:

1 2 3 4 49S S S S S ......... S

A) 26 615 B) 16 415

C) 161 450 D) 164 150 E) 146 150

RESOLUCIN 1S 102

2S 102 104

3S 102 104 106

. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . ..

. . . . .. . . . . .. . . . . ..

49S 102 104 106 +198

S = 49(102)+48(104)+47(106)+...1(198) S = 2[49(51) + 48(52)+47(53)+...1(99)]

S = 2[49(10049)+48(10048)+...

+47(10047)+...+1(1001)]

S = 2[100(49+48+47+....+1)....

(49+48+47+...+1]

49 49 1 49 49 1 2 49 1S 2 100

2 6

164150

S = 164150 RPTA.: D

68. Efectuar:

S = 6 + 66 + 666 + 6666 + ....+ 66...66

n cifras

A) n 110 9n

9

B) n 110 9n 10

27

C) n10 9n 10

27

D) n 110 9n 10

227

E) n10 9n 10

227

RESOLUCIN Factorizando el 6:

S = 6 (1+11+111+1111+...

+ 11111 ....... 1111

n cifras Multiplicando por : 9:

9 S = 6 (9+ 99+999+9999 + ... + 99999 ....... 9999

n cifras

1 2 3 n3S

10 1 10 1 10 1 ....... 10 12

:20#s

S=

5 4

a

2

8

105 4 8

8

4

6

1

2

34

01234

02

4

68

a 2

b (2b)N=

0

UNMSM Aritmtica


1 n10 10 13Sn( 1)

2 (10 1)

n 12 10 9n 10S

27

RPTA.: D

69. Halle: ba si:

C.A. 1ab C.A 2ab C.A. 3ab ...

C.A. 9ab 41ab

A) 1 B) 6 C) 8 D) 10 E) 4

RESOLUCIN

CA 1ab CA 2ab ... CA 9ab 41ab

3 3 310 1ab 10 2ab ... 10 9ab 41ab

39 10 1ab 2ab ... 9ab 4100 ab

3 1ab 9ab9 10 9 4100 ab2

9000 500 ab 9 4100 ab 400 10 ab ab 40

a + b = 4

RPTA.: E

70. Calcule: k m n si se cumple

que:

1313

k m kCA mn 2n

5 3 8

A) 27 B) 13 C) 53 D) 4 E) 25

RESOLUCIN

13 13

k m kCA mn 2n

5 3 8

Mtodo Prctico:

m12 m m 9

3

12 n 2n n 4

k k

k 13 405 8

k m n 40 9 4 4

RPTA.: D

71. Si:

m m m m mabc cba xyz ,xyz zyx

mdefg yd e f g ; 16

Halle el valor de m.

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

RESOLUCIN

m m mabc cba xyz

x z m 1 y= m 1

m

m

m

x y z

z y x

de f g

z+x=m-1=g

2y = 2m-2= m

m 1 2

f m 2

m m1 x z m 10 de

D = 1 ; e = 0

Luego: d + e + f + g =16 (por dato)

1 + 0 +m 2 + m 1 =16

2m=18 m 9

RPTA.: E

72. Calcule el complemento aritmtico

del nmero n nM 1 19 10 10 Dar como respuesta la suma de sus cifras.

A) 10n+2 B) 15 C) 18 D) 9n-1 E) 10n-9

UNMSM Aritmtica


RESOLUCIN

n nM 1 19 10 10

Se puede expresar:

n nM 2 1 19 10 10 10

Factor comn:

n 1 n 1M 10 900 1 901 10

C.A 901000...000 99000...000

(n+2)cifs. ( n+1)cifs.

Suma de cifras: 9+9 =18 RPTA.: C

73. Si N y M son nmeros de 200 y

150 cifras respectivamente, y

CA N M CA(N).

Halle la suma de cifras del complemento aritmtico de M.

A) 151 B) 1 C) 50

D) 9 E) 450

RESOLUCIN

C.A. N-M C.A.(N)

k n10 N M 10 N n K KM 10 10 10 99...9

kCA(M) 10 .1 100...0

Cifras = 1

RPTA.: B

74. Cul es el mayor sistema de

numeracin en el cual se puede escribir con tres cifras un nmero

entero que en el sistema decimal tiene por complemento aritmtico a otro numeral de 3 cifras iguales?

A) 26 B) 29 C) 20

D) 19 E) 22

RESOLUCIN Sea n el valor mximo de la

base, que representa al nmero

dado como: nabc N 10

Adems: 10CA N XXX Cmo

10N debe ser mximo, por

lo tanto su CA deber ser el ms pequeo posible, luego x=1

Luego: 10CA N 111;N 889 Entonces:

2

nabc 889 n 889; n 29,7 L

uego el mayor valor de la base ser: n = 29

RPTA.: B

75. Si:

21ab 24ab 27ab .... 69ab

es xyz63

Calcule: (a+b+x+y+z)

A) 28 B) 27 C) 24

D) 26 E) 32

RESOLUCIN

21ab 24ab 27ab .... 69ab

es xyz63

.... ab 2100 2400 2700 6900 17

17#s.

9000

217 17 ab xyz63

Observando: (otras cifras son

ceros)

ab

17*7 b .3;b 9 ab 39

73 *7 a 6 .7;a 3

9 63

UNMSM Aritmtica


4500 17 17 39 xyz63 X=7

17 4539 77163 xyz63 Y=7

a b x y z 27 Z=1

RPTA.: B

76. En que sistema de numeracin

n la suma de todos los nmeros

capicas de 2 cifras es 330 en

base n?

A) 6 B) 4 C) 7

D) 9 E) 8

RESOLUCIN Planteando el enunciado.

n n n nn11 22 33 ... n 1 n 1 330

1 n 1 2 n 1 3 n 1 ... n 1 n 1 3n n 1

Simplificando tendremos: 1+2+3+4+.+(n-1)=3n

Suma

de n

n n

1 32

naturales

n 1 = 6; n = 7 Heptanal

RPTA.: C

77. Halle la suma mnima de los

siguientes nmeros que se

encuentran en P.A.:

S = ab;ac; a 1 3; a 1 c;....; a 7 c

De como respuesta la suma de

cifras de S.

A) 16 B) 18 C) 20

D) 21 E) 22

RESOLUCIN

ab;ac; a ; a C... a c 1 3 1 7 5 5 5

b=3 c=8

mina 1

13 88 88 13S 1

2 5

S 101

2 16 808

Cifras de S=16

RPTA.: A

78. Si: 8 8 8 8aba ab ba ccdd

Halle el valor de (a+b+c+d).

A) 15 B) 16 C) 17

D) 18 E) 19

RESOLUCIN Ordenando:

aba 8

ab 8

ba 8

ccdd 8

8a b a 2d 16 d

b=5

8b a b 2 2d 16 d

d=3

8a 2 CC 9C

c= 1 a=7

a + b + c + d = 16

RPTA.: D

UNMSM Aritmtica


79. Halle la suma:

4 5 6 7 10013 31 13 31 ... 13

A) 2 895 B) 7 536

C) 12 301 D) 10 321

E) 10 231

RESOLUCIN

Desdoblando en dos sumas:

S ... 1 4 6 8 10013 13 13 13

S 1

7 9 11 +103

2

103 7 103 7S 1 2695

2 2

S ... 2 5 7 9 9931 31 31 31

S ... 2

16 22 28 298

1

298 16 298 16S 1 7536

2 6

1 2S S S 2695 7536 10231

RPTA.: E

80. Halle: a+b+c si:

9 9 9 9 9a1b a2b a3b ... a8b 48c2

A) 16 B) 17 C) 15

D) 20 E) 18

RESOLUCIN

a b 91

a b

.

.

.

92

9a8b

948c2

Unidades:

98 b x2 8.b 9 2 b 7

Decenas:

8 9

6 42 4 9 6 c 62

Centenas:

98 a 4 48

8 a 40 a 5

a + b + c = 18

RPTA.: E

81. Halle la diferencia de las cifras de

un nmero de 2 cifras; tal que la

suma del nmero con el que

resulta de invertir sus cifras, sea

igual a la suma de todos los

nmeros de 2 cifras hasta el

inclusive.

A) 0 B)4 C) 2

D) 1 E) 3

RESOLUCIN Planteando el enunciado:

Nro. Inicial: ab

Nro. Invertido: ba

ab ba 10 11 12 13 ... ab

10 ab11 a b ab 92

22 a b 10 ab ab 9

22=10+ab ab 12

3 = 12 9

Pide la diferencia b a = 1 RPTA.: D

UNMSM Aritmtica


82. Halle la suma de los C.A. de todos

los nmeros que tienen tres cifras

impares.

A) 55 6615 B) 55635

C) 45 625 D) 55 525

E) 55 625

RESOLUCIN

C. A. abc

Sumando: Unidades:

25 (9 + 7 + 5 + 3 + 1) = 625

Decenas:

25 (8 + 6 + 4 + 2 + 0) = 500 Centenas:

25 (8 + 6 + 4 + 2 + 0) = 500 55625

RPTA.: E

83. Se realiza una reunin de Peruanos y Bolivianos para tratar

con respecto a la agricultura, son 12 en total, los peruanos son ms

que los bolivianos, los peruanos

llegan y se dan los buenos das mutuamente; los bolivianos lo

mismo, pero los peruanos no saludan a los bolivianos y lo mismo los bolivianos, si en total

se efectuaron 31 saludos Cul es la diferencia entre Peruanos y

Bolivianos?

A) 2 B) 3 C) 1

D) 5 E) 4

RESOLUCIN

P+B=12 Saludos Peruanos

1 P-1 2 P-2

. . P

P

1

2

. . . . P-1 1

Saludos Bolivianos

1 B-1 2 B-2 3 B-3

. . . .

. . B-1 1

P B

P B

1 131

2 2

2 2P P B B 62 P + B (P + B) = 62 P + B = 74

7 + 5 = 74

7 5 = 2 RPTA.: A

84. Cuntos nmeros de la forma

abcde existe, tales que:

a b c d e y la suma de los cuadrados de las cifras de

segundo y quinto orden es igual a

a b c

1 1 1

3 3 3

5 5 5

7 7 7

9 9 9

(9 a)(9 b)(10 c)

8 8 9

6 6 7

4 4 5

2 2 3

0 0 1

5 5 5 =125 Nmeros

5 5 5 = 125 Nmeros

BB

1

2

UNMSM Aritmtica


la suma de los cuadrados de las

dems cifras? (Las cifras a, b, c, y d forman una

progresin aritmtica). A) 1 B) 5 C) 6

D) 9 E) 4

RESOLUCIN

abcde;a b c d e

2 2 2 2 2a d b c e .

2 2 22 2d 3r d d 2r d r e

d=d

c= d+r b=d+2r

a=d+3r

Resolviendo e = 2 r

r e 1 2

a b c d e

6 5 4 3 2

7 6 5 4 2

8 7 6 5 2

9 8 7 6 2

Solo hay 4 nmeros

Si r e 2 4

a b c d e

119 7 5 4

No hay nmeros

RPTA.: E

85. Halle la suma de cifras de la suma

de todos los nmeros de la forma

a 3 b 1

a 2 2b 52 3

A) 15 B) 14 C) 13

D) 16 E) 17

RESOLUCIN

b = {1; 4} a = {3; 5; 7; 9; 11}

Ordenado los productos parciales

U ( )10

51

= 5 0 +

D ( )10

102

= 5 0

C ( )10

12

= 5

M ( )10

255

= 5 0

UM ( )10

255

= 50

S= 55 1 0 5 0

Cifras 16

RPTA.: D

UM M C D

a 2 b

1

3

a

3

25

U

( b)2

1

3

5

7

9

3

4

5

6

7

0

1

2

8

5

x5 (2) =10

UNMSM Aritmtica


SEMANA 7

DIVISIBILIDAD I

86. Si:

A = 3k + 1 ; B = 3k + 2

Halle el residuo que deja la

expresin:

E = [2A + 22B + 2] entre 7

A) 1 B) 2 C) 3

D) 5 E) 4

RESOLUCIN E = (2A + 22B + 8) 7

E = (23k+1+26k+4+ 7 +1)

E = (2)k . 21 + (2)2k 24 + 1

E = (

7 +1)2 + (

7 +1)(

7 +2)+1

E = 2 + 2 + 1 +

7

E =

7 + 5 residuo = 5

RPTA.: D

87. Una importadora ha comprado

relojes a S/. 143 c/u, lapiceros a

S/. 91 c/u; pulseras a S/. 77 c/u.

Si la factura total fue S/. 2213.

Halle el nmero de relojes.

A) 4 B) 5 C) 6

D) 7 E) 8

RESOLUCIN Planteando el enunciado:

a # de relojes

143 a + 91 b + 77 x c = 2 2 1 3

1 2 3 1

(1) +1

* Mdulo de

7 :

[(

7 +3)a+

7 +

7 ] = 3 + 3 4 2

3a +

7 = 7 + 1

7m 1

a3

m = 2 ; a = 5

RPTA.: B

88. Cul es el residuo de dividir:

666...666 (8) entre 13?

102 cifras

A) 2 B) 8 C) 3

D) 5 E) 9

RESOLUCIN Calculando restos potenciales de

base 8 respecto al mdulo 13.

Base 8: 80; 81; 8; 8; 84 1; 8; 12; 5; 1

1; 5; 1; 5; 1

Cada 4 cifras se anula:

102 4

2 25

6 6 6 ..... 6 6 6(8)

5 1 100 cifras = 0

30 6 13 r

13 + 2 =

13 + r

r = 2

RPTA.: A

89. Si: 43a43 es la suma de 83

nmeros consecutivos, halle el

valor de a.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

UNMSM Aritmtica


RESOLUCIN Sean los 83 nmeros

consecutivos: n41; ...; n1; n; n+1,...;n+41

Luego:

n41 + ....+n+41=43a43

83n = 43a43

83 = 43043 + 100a

83 = 49 + 17a +

83

83 = 17a 34

a = 2 RPTA.: B

90. Cuntos trminos son mltiplos

de

25 ?

2; 5; 10; 17; .......; 10001

A) 12 B) 9 C) 8

D) 5 E) 6

RESOLUCIN Trmino n simo:

an = n + 1 ; n = 1,...., 100

n +1 =

25

n + 1 50 =

25

(n + 7) (n 7) =

25

n + 7 =

25 n = 18; 43; 68; 93

n 7 =

25 n = 7 ; 32 ; 57; 82

# trminos = 8 RPTA.: C

91. Si al dividir por exceso:

2304606902b31 con

23 no deja

residuo, halle el valor de b.

A) 1 B) 2 C) 5

D) 7 E) 8

RESOLUCIN Se tiene:

2304606902b31 23 2b31

=

23 + 2031 + 100b

=

23 + 7 + 8b

Como el residuo es 0

7 + 8b =

23

b = 2

RPTA.: B

92. Halle el residuo de dividir: unac2008

3abc3 por 10

A) 1 B) 2 C) 5

D) 6 E) 7

RESOLUCIN

4kunac2008

k

3abc3 ...3

...1

= ...1

=

10 + 1

RPTA.: A

93. Halle el residuo de dividir:

nm

2 4 6abba cde1 fgh3 por 2.

A) 0 B) 1 C) 0.1

D) FD E) N.A.

RESOLUCIN

E = nm

2 4 6abba cde1 fgh3 ; a = 1 , b=0

=

nm2 1 4 1 6 3

=

2 1 2 1 2 3

=

2 + 3

E =

2 +1 RPTA.: B

94. Cul es el residuo de dividir la

siguiente suma:

E = [26n+3+9k.4k] entre 7?

A) 1 B) 2 C) 3

UNMSM Aritmtica


D) 4 E) 5

RESOLUCIN E = 26n+3 + 9k.4k entre 7

E = 2n

32 . 2 + (7 +2)k.4k

E = (

7 +1)(

7 +1) + 2k.4k

Ojo: 2k.4k = 8k=(

7 +1)

E = (

7 +1)+(

7 +1) = 7 +2 RPTA.: B

95. Sea:

n! =

23 + 2;

(n+1)! =

23 + 6

Cul es el residuo de (n+3)!

entre 23?

A) 3 B) 6 C) 5

D) 12 E) 13

RESOLUCIN

RPTA.: C

96. Cuntos trminos de la serie: 4;

11; 22; 37; 56; ....(100 trminos)

son: (

13+1)?

A) 14 B) 15 C) 9

D) 8 E) 12

RESOLUCIN Sucesin de 2 orden:

c = 1 4; 11; 22; 37; 56;...

a+b = 3 7 11 15 19

2a = 4 4 4 4

columna secundaria

a = 2 ; b = 1 ; c = 1

2n + n + 1 =

13 + 1

n(2n+1) =

13 ; n =

13k

#s: {13; 26; 39; 52; 65; 78; 91} (7 nros)

#s: {2n+1= 13; 6; 19; ...97} (8 nros)

Total de nmeros 7 + 8 = 15

RPTA.: B

97. Halle a si (a+b) = 6, adems:

5aabbaabb...ab1334 11 9 y el

exponente tiene 88 cifras.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 2

RESOLUCIN ++

1334 =

11+3; calculando restos potenciales.

(

11+3)5k+b =(

11+3)5k(

11+3)b=

11+9

=(

11+ 35k)(

11+3b) =

11+9

=(

11+3b) =

11+9 b = 2 ; a = 5

RPTA.: B

98. Si el nmero ab1

135 se convierte

en base 11. Cul ser la cifra de unidades del resultado?

A) 7 B) 3 C) F.D. D) 2 E) 1

UNMSM Aritmtica


RESOLUCIN ab1

ab1

ab1

135 base 11

11 3 11 r

11 3 11 r

Restos potenciales de impotencia 3 con respecto al mdulo 11.

30; 31; 3; 3; 34; 35 1; 3; 9; 5; 4; 1

ab0 1

k5

11 3 3 11 r

11 3 3 11 r

11+(

11+1).3 =

11+r

11 + 3 =

11+r r = 3

RPTA.: B

99. Halle el resto de dividir E entre 7:

12

142314241425E 1426

A) 2 B) 6 C) 3 D) 1 E) 5

RESOLUCIN

E = 1426 Impar =

7 + r

(

7 2)Impar =

7 +r

7 2k =

7 + r

K = mltiplo de 3 k = 3n

7 23n =

7 1 =

7 + r

7 + 6 =

7 + r r = 6

Residuo = 6

RPTA.: B

100. Halle (d+u), si el nmero de

la forma:

mcdu 11, tal que md 7

y m + c + d + u = u

A) 9 B) 13 C) 12

D) 15 E) 45

RESOLUCIN

mcdu 11;md 7;m c d u u u =16

++ 3 1 u = 25

u = 36

c + u (m+d) =

11;

para u = 4

c (m+d) =

11 4 .......... ()

3m+d =

7 .......................()

Para u = 4 m + c + d = 12

m + d = 12 c ..................() si: c = 4

m + d = 8 ........................()

de () y ()

c =

11 + 4 c = 4

de () y () m = 3; d = 5 d + u = 9

RPTA.: A

101. Cuntos trminos de la siguiente

sucesin: 2; 6; 12; 20; 30;

....;14762 al expresarlos en base

5, resultan que su cifra de menor

orden es 1?

A) 12 B) 24 C) 36

D) 42 E) 28

UNMSM Aritmtica


RESOLUCIN 2 ; 6 ; 12 ; 20 ; 30 ; .... 14762

1x2; 2x3;3x4;4x5; 5x6; ....;121x122

tn = n (n+1) =

5 + 1 ; n= 1,2,...,121

(por dato en base 5 acaba en 1)

n + n =

5 + 1 + 5

n + n 6 =

5

(n+3)(n2) =

5

Luego:

n + 3 =

5 n =

5 3 =

5 + 2

n 2 =

5 n =

5 + 2

n = 5k + 2 k = 0; 1; 2; ....23

n 121 24 valores RPTA.: B

102. En una fiesta infantil el payaso

POPI juega con un grupo no ms

de 150 nios y observa que si los

agrupa de 7 en 7 le sobran 5

nios; si los agrupa de 4 en 4 le

faltara un nio para formar un

nuevo grupo y si los agrupa de 9

en 9 le sobran 2 nios. Calcule el

nmero de nios que hay en dicha

fiesta.

A) 42 B) 130 C) 47

D) 122 E) 56

RESOLUCIN # nios (N) 150

N =

7 +5

N =

4 + 3 N =

4 + 11

N =

9 + 2 N =

9 + 11

N =

36+11 = 36 k + 11

k = 1 ; 2 ; 3

N = 47; 83; 119

Pero:

N =

7 + 5 N = 47

RPTA.: C

103. En una conferencia a la que

asistieron 528 personas; se sabe

que de los varones: la tercera

parte usan corbata; los 2

15 usan

lentes y los 3

7 llevan saco. De las

mujeres se sabe que: la sexta

parte usa minifalda; las 3

4 usan

lentes y las 2

9 tienen ojos azules.

Calcule el nmero de personas

que usan lentes.

A) 137 B) 56 C) 81

D) 420 E) 48

RESOLUCIN # personas = 528

De los varones (V):

* usan corbata = V

V 33

* usan lentes =2

V V 1515

* llevan saco = 3

V V 77

V =

105 = 105x

De las mujeres (M):

* usan minifalda = M

M 66

* usan lentes = 3M/4 M =

4

UNMSM Aritmtica


* tienen ojos azules = 2

M M 99

M =

36 = 36y

105x + 36y = 528

4 3

lentes

lentes

2(420)V 56

15

3(108)M 81

4

Personas con lentes: 137

RPTA.: A

104. Un comerciante va a la Galera

Gamarra con S/. 3060 para

comprar polos, camisas y

pantalones de precios unitarios

iguales a S/. 15; S/. 24 y S/. 60

respectivamente. Si entre

pantalones y camisas debe

comprar ms de 10 prendas.

Calcule cuntas prendas en total

compr; si la cantidad de polos

fue la mayor posible; adems

compr al menos uno de cada uno

y emple todo su dinero.

A) 183 B) 172 C) 163

D) 184 E) 195

RESOLUCIN Artculo: camisas; polos, pantalones Precios Unitarios 24 ; 15 ; 60

N artculos x ; y ; z

Mximo

x + z > 10

Luego:

24x + 60z + 15y = 3060 ........()

Por

5 : 24x +

5 +

5 =

5

24x = 5 x = 5 xmin = 5 en()

24 5 + 60z + 15y = 3060

20z + 5y = 980 4z + y = 196

Zmin = 6 ymax = 172

x + y + z = 183 RPTA.: A

105. El residuo de dividir el nmero

657143 entre 25 es ab . Calcule el

resto de dividir dicho nmero

entre a b

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

RESOLUCIN

657143= (

25+7)143 =

25 + 7143

=

25+(7)717=

25+(

25 1)71.7

=

25+(

25 171)7

=

25+

25 17 =

25 7

67143 =

25 +18 =

25+ab

ab = 18

657143=(

8 +1)143=

8 + 1143=

8 +1

r = 1 RPTA.: A

106. Halle el menor valor de N = cdu ,

sabiendo que es mltiplo de:

P c 2 d 1 u 3

A) 214 B) 316 C) 213

D) 426 E) 441

RESOLUCIN

o

cdu c 2 d 1 u 3 c 2 d 1 u 3 k

cdu cdu 213 k 213k k cdu cdu 3.71.k= cdu k 1

UNMSM Aritmtica


Dando valores obtenemos:

(k1) k cdu

1 2 3 x 71 x 2 = 426 c = 4

3 4 71 x 4 = 284 c = 2

71 72 72 x 3 = 216 c = 2

3.71 214 214 c = 2

cdu = 426

RPTA.: D

107. Halle el mayor nmero abc , tal

que: abc1492 al ser dividido entre

40, deje como residuo 24.

A) 996 B) 249 C) 989

D) 995 E) 998

RESOLUCIN Sabemos que:

1492 =

40 + 12

Aplicando el Binomio de Newton: abc

abc1492 40 12

abc abc1492 40 12 40 24

abc12 40 2 4

Determinando los restos

potenciales de 12 respecto al mdulo 40, hallamos como valor del Gassiano cuatro, entonces el

exponente abc deber ser

mltiplo de cuatro, ms aquel

exponente del grupo peridico que deja resto potencial 24.

1 4

2 4

3 4

4

12 40 12

12 40 24

12 40 8

12 40 16

abc 4 2

adems, como debe ser el mayor

posible abc 100 0

4k + 2 < 1000 k < 1000 2

249,54

kmximo = 249

abc 4 249 2 998

RPTA.: E

UNMSM Aritmtica


SEMANA 9

TEORA DE LOS NMEROS

NMEROS PRIMOS

108. Sea 600...32000A

n cifras

Calcule n si A tiene 444 divisores compuestos.

A) 13 B) 11 C) 12 D) 15 E) 16

RESOLUCIN

nnA 620632 6

nnA 32522

532 2 nnA

ACD 444 4

no compuestos

ACD 448

ACD n 3 (n 1) (1 1) 448

ACD n 3 (n 1) 224 13 3 13 1

n = 13 RPTA.: A

109. En el nmero aN 30 , la suma de sus divisores pares es 2418. Determine la cantidad de divisores

compuestos de N.

A) 23 B) 22 C) 21

D) 32 E) 14

RESOLUCIN a a aN 2 3 5

a 1 a aN 2(2 3 5 )

a a 1 a 1

N,2

2 1 3 1 5 1SD 2 2418

1 2 4

Divisores

2

a a 1 a 1N,2

SD 2 1 3 1 5 1 3 26 124

Slo cumple para a = 2

222 532 N

CD N 3 3 3 27

Divisores compuestos de N:

27 4 = 23 RPTA.: A

110. Si: x x 2M 20 30 ; tiene 48

divisores positivos mltiplos de 5 y adems impares. Halle x

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

RESOLUCIN x x 2M 20 30

2x x x 2 x 2 x 2M 2 5 2 3 5 22223 532 xxxM

23122 2535 xxxM

Divisores impares 0

5

05impares

CD 48 x 3 2x 2

05impares

CD 24 x 3 x 1

05impares

CD 6 4 3 3 3 1

x =3

RPTA.: C

111. Halle un nmero divisible por 6; de 3 cifras y que tenga 21 divisores.

A) 552 B) 576 C) 522

D) 288 E) 342

RESOLUCIN 0

x yM abc 6 2 3 (M)CD 21 7 3

Solo cumple:

UNMSM Aritmtica


x = 6; y =2 6 2M 2 3 64 9 576

RPTA.: B

112. Si N 2 .5 .3 tiene 16 divisores mltiplos de 15 y 16 divisores

mltiplos de 20. Halle la cantidad de divisores cbicos de N.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

RESOLUCIN

N 2 .5 .3

. 0115

N 3 5 2 5 CD 1 16

. 02 2 120

N 2 5 2 5 3 CD 1 2 16

De donde 3 4

Luego:

1 1

3 4 3 3N 2 5 3 2 5 5 3

cubicosCD 1 1 1 1 4 RPTA.: D

113. Halle cuntos nmeros de la

forma abab existen, tales que poseen 6 divisores.

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

RESOLUCIN Efectuando la descomposicin polinmica se obtendr:

N abab 101ab

Adems:

NCD 1 1 2 1

Como 101 es primo

ab = primo

Solo cumple:

ab = 5 7

Hay 2 nmeros

RPTA.: E

114. Si 2 3a b posee 35 divisores y

n

a b posee p9 divisores; halle

(n + p)

A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 10

RESOLUCIN

2 3N a b 35 divisores

Como: 35 5 7 4 1 6 1

Dando forma 2 3

2 2 4 6N x y x y

Donde: a = x ; b = y

nn 2 2 2n 2na b x y x y

Posee: 2n 1 2n 1 p9

2

2n 1 p9 49

2n 1 7 n 3 p 4

piden: n p 7

RPTA.: C

115. Sea N = 128 ab, determine (a + b) si la suma de divisores de

N, es los 28

85 de N (a y b primos).

A) 10 B) 11 C) 12

D) 13 E) 14

RESOLUCIN 7N 2 a b ; aplicando el mtodo

y simplificando

8NSD 2 1 a 1 b 1

7 585 17 5

2 ab 2 ab28 7

57 255 a 1 b 1 17 5 2 ab a y b son 3 y 7

a b 10 RPTA.: A

116. Halle el promedio aritmtico de los divisores del nmero 360.

UNMSM Aritmtica


A) 16,25 B) 48,75 C) 68,15 D) 47,85

E) 97,5

RESOLUCIN 3 2 1360 2 3 5

Calcule de la suma de divisores de

360:

4 3 2

360

2 1 3 1 5 1SD 1170

2 1 3 1 5 1

360CD 3 1 2 1 1 1 24

Promedio aritmtico = 1170

24

DivisoresPA 48,75

RPTA.: B

117. Si 31! Tiene n divisores, Cuntos

divisores tiene 32!?

A) 33

n28

B) 31

n27

C) 32

n27

D) 32

n25

E) 33

n31

RESOLUCIN 26

31!31! = 2 N CD 27n n

divisiones sucesivas para obtener la descomposicin del primo 2 en

31!

31 32!32! 31! 32 2 N CD 32n

31 32!32n

32! 31! 32 2 N CD27

RPTA.: C

118. Un nmero tiene 24 divisores y el

triple de ste, 30 divisores.

Cuntos divisores tiene el triple

del cuadrado del mismo?

A) 80 B) 90 C) 100 D) 120

E) 140

RESOLUCIN El nmero entero considerado admite como factor primo a tres:

a p p

NN 3 m n .... CD

a 1 p 1 q 1 .... 24 ........(1)

a 1 p q3 N 3 m n ....

NCD a 2 p 1 q 1 ... 30 ......(2) De (1) y (2), a =3

Reemplazando en (1) p = 1, q = 2

3 1 2N 3 m n 2 7 2 43N 3 m n

23NCD 7 1 2 1 4 1 120

23NCD 120

RPTA.: D

119. En el nmero 226800, determine cuntos divisores terminan en las cifras 1, 3, 7 9?

A) 6 B) 8 C) 10

D) 12 E) 14

RESOLUCIN 4 4 2 1226 800 2 3 5 7

226800CD 4 1 4 1 2 1 1 1 150

02

CD 3 1 4 1 2 1 1 1 120

05

CD 4 1 4 1 1 1 1 1 100

010

CD 3 1 4 1 1 1 1 1 80

CD que terminan en la cifra 1, 3, 7 9 =

100001052

800226

CDCDCDCD

Son 10 divisores

2 2 2 2

31 15 7 3 1

UNMSM Aritmtica


RPTA.: C

120. Si el nmero. x 2yM 10 15 ; tiene

el quintuple del nmero de

divisores de x 2yP 3 6 y este

tiene 3 divisores ms que 2x yR 3 7 . Halle (x + y).

A) 5 B) 4 C) 7

D) 8 E) 6

RESOLUCIN x 2y x x 2y 2yM 10 15 2 5 3 5

x 2y 2y x2 3 5 x 2y x 2y 2y x 2y 2yP 3 6 3 2 3 3 5 2x yR 3 7

Cd (M) 5Cd(P)

x 1 2y 1 2y x 1 5 x 2y 1 2y 1 x + 1 = 5; x =4

Cd(P) Cd(R) 3

x 2y 1 2y 1 x 1 y 1 3

5 2y 2y 1 9 y 1 3 y = 1

x + y = 5 RPTA.: A

121. Determine la suma de las cifras

del menor nmero tal que al multiplicarlo por 8 se cuadruplique su nmero de divisores; y si su

cuadrado tiene 21 divisores.

A) 5 B) 13 C) 9 D) 10 E) 12

RESOLUCIN 2 x yM a b ; a y b primos

2Cd(M ) 21 7 3 = (x + 1)(y+1)

x = 6; y = 2 Extraigo su raz cuadrada.

3 1M a b Cd(M) 4 2 8 3 3 38M 2 M 2 a b Cd(8M) 32

32 = 4 x 4 x 2 (cumple).

Luego M no contiene potencia de 2

a, b mnimos 3 1M 3 5

M 27 5 135

1 + 3 + 5 = 9 RPTA.: C

122. Sabiendo que n35 tiene a4 divisores. Cuntos divisores

tendr n aE 33 33 ?

A) 238 B) 272 C) 298 D) 294 E) 296

RESOLUCIN n n nN 35 5 7

NCD n 1 n 1 a4 64

NCD n 1 8 n 7

a = 6

7 7 6 6E 3 11 3 11 6 6 6 6 5E 3 11 (3 11 1) 3 11 2

CD(E) 6 1 6 1 5 1 294RPTA.: D

123. Se tiene un nmero divisible por 15, el cual posee tres divisores simples y adems sabemos que

cuando se multiplica por 27, el nmero de sus divisores se

duplica y cuando se multiplica por 625 su cantidad de divisores se triplica. Determinar la suma de

cifras de dicho nmero.

A) 9 B) 18 C) 27 D) 36 E) 15

RESOLUCIN 0 0

N 15 3 5

simplesCD (N) 3 ; CDprimos (N) = 2

a bN 3 5 a 3 b27 N 3 5

a b 4625 N 3 5

UNMSM Aritmtica


a 1 b 1 2 a 4 b 2 a = 2

51311 baxba b =1

2N 3 5 45 4 + 5 = 9

RPTA.: A

124. Si: n 1210 tiene ab0 divisores

compuestos. Halle el valor de

(a + b + n);

A) 10 B) 11 C) 12

D) 13 E) 14

RESOLUCIN

impuestosCD ab0

n 1 n 1 n 1 n 1 n 1210 2 3 5 7

CDcompuestos = ab0 y

CDnocompuestos = 5

4CD n abo 5

4n ab5 625

n = 5 a = 6 b = 2 a + b + n = 13

RPTA.: D

125. Se tiene un nmero W cuya taba de divisores es una matriz 3 x 3;

si se observa que el producto de los divisores que componen una

de las diagonales es 9261. Halle la suma de cifras de W.

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

RESOLUCIN 9261 = 33 . 73

Luego los factores de W son 3 y 7

2 2W 441 3 7

4 + 4 + 1 = 9

RPTA.: E

126. La suma de los divisores del

nmero 3a 1 a6 8 es 17 veces la

suma de los divisores del nmero a 3a 18 3 . Calcule a.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

RESOLUCIN 3a 1 a 6a 1 3a 1N 6 8 2 3

6a 2 3a 2

N

2 1 3 1SD

2 1 3 1

3a 3a 1M 2 3

2a 1 3a 2

M

2 1 3 1SD

2 1 3 1

Luego:

SDN = 17SDM

6a 2 3a 2 3a 1 3a 22 1 3 1 2 1 3 1x 17

1 2 1 2

3a 1 3a 1 3a 12 1 3 1 17 2 1 3a 1 3a 1 42 1 17 2 16 2

a = 1 RPTA.: A

127. Si los nmeros enteros P y Q son los menores posibles que tienen

los mismos divisores primos, si se cumple que P tiene 35 divisores y

Q tiene 39 divisores, determinar cuntos divisores compuestos tendr (P x Q)?

A) 74 B) 90 C) 120

D) 125 E) 130

RESOLUCIN Como P y Q son los menores

nmeros enteros, se cumplir que:

1 3 9

7 21 63

49 147 441

UNMSM Aritmtica


6 4PCD 35 6 1 4 1 P 2 3

12 2QCD 39 12 1 2 1 Q 2 3

18 6Pxq 2 3

P QCD 18 1 6 1 133

CD compuestos =130

RPTA.: E

128. Si aaa posee 8 divisores pero al restarle a unidades el nmero de sus divisores se duplica. Halle la cantidad de divisores de

a 1 a 1 .

A) 24 B) 12 C) 90

D) 8 E) 16

RESOLUCIN

aaa 3 37 a

8 divisores

2a 2 5 7 3

Restndole a unidades

aao 2 5 11 a

16 divisores de los valores anteriores

solo cumple a =7

se pide 3(a 1) a 1 88 2 11

NCD 3 1 1 1 8

RPTA.: D

129. Sea a b 1 aN a 1 a b , donde

D.C N tiene 108 divisores compuestos.

Calcule la suma de los divisores

cuadrados perfectos de cd si

imparescd (CD de

0

60

N) (CD de

N).

A) 32 B) 48 C) 85

D) 56 E) 68

RESOLUCIN

C PNCD CD CD 1

NCD 108 3 1 112

NCD a 1 b 2 a 1 112

2 2

NCD a 1 b 2 16 7 4 7

De donde a = 3 b =5

3 6 3N 2 3 5

01 5 2N,60

N 60 2 3 5 CD 2 6 3 36

3 6 3 IMPARESN 2 3 x 5 CD 7 4 28

cd 36 28 64

Suma de divisores cuadrados perfectos de 64:

1 + 4 + 16 + 64 = 85 RPTA.: C

130. Halle la suma de cifras del nmero

N = 32 ab sabiendo que a y b son primos absolutos y la suma de los divisores de N es el triple de N.

A) 11 B) 12 C) 13

D) 14 E) 15

RESOLUCIN 5N 2 a b

NSD 3N

6 52 1 a 1 b 1 3 2 ab 57 3 a 1 b 1 2 ab

aybson7y3

a 7 b 3

N 672

CIFRAS 15 RPTA.: E

UNMSM Aritmtica


131. Halle ( a +b ) si:

ab tiene 12 divisores y 2

ab tiene 33 divisores.

A) 12 B) 15 C) 14

D) 13 E) 18

RESOLUCIN Se verifica

ab

CD 12 = (5+1) (1 +1)

2ab

CD 33 = (2.5 + 1)(2.1+1)

Luego: 5 1ab 2 3

Son los nicos nmeros que cumplen:

Luego ab = 96

a + b = 9 + 6 = 15 RPTA.: B

SEMANA 10

MCD - MCM

132. La suma de dos nmeros A y B es 651, el cociente entre su MCM y su MCD es 108. Halle (A - B).

A) 108 B) 216 C) 713

D) 483 E) 438

RESOLUCIN MCD (A; B) = C

1A dq

2B dq

Donde 1q y 2q son nmeros

primos entre s.

Luego: MCM (A; B) = 1 2D q q

Por condicin:

2 3

1 2

MCM A;Bq q 2 3

MCD A;B

3 21 2q 3 q 2

1 2A B d q q 651

d 27 4 651 d 21

1 2A B d q q 21 23 483

A B 483 RPTA.: D

133. El MCM de dos nmeros es 30030 y su MCD es 5. Cuntos pares de nmeros hay con esta

propiedad?

A) 8 B) 16 C) 32 D) 64 E) 60

RESOLUCIN

Sean A y B los nmeros, entonces el MCD (A, B) = 5

Los nmeros A y B se podrn escribir como:

A = 5 p y B = 5 q; donde p y q

son nmeros primos entre s.

UNMSM Aritmtica


Aplicando la propiedad:

A B MCD(A,B) MCM (A, B)

5p 5q 5 30030 Entonces: p q 2 3 7 11 13

La cantidad de pares de valores enteros distintos ser:

# de divisores de su producto# de pares=

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2

# de pares = 16 RPTA.: B

134. Determinar en que cifra termina el

MCM de los nmeros:

862A 7 1 y 1293B 7 1 .

A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

RESOLUCIN

MCD 862,1293MCD A,B 7 1

431MCD A,B 7 1

A B

MCM A,BMCD(A,B)

2 3431 431

431

7 1 7 1MCM A,B

7 1

Simplificando:

431 1293MCM(A,B) 7 1 7 1

7 = 1 17 = 7

Gaussiano de 7 27 = 9

mdulo 10 37 = 3 47 = 1

Por restos potenciales de 7. gaussiano 4.

4k 3 4k 1MCM A,B 7 1 7 1

MCM A,B ...3 1 ...7 1

MCM A,B ...4 ...6

MCM A,B ...4 Termina en 4

RPTA.: C

135. Si:

MCD (3 A; 24 C) = 18 N y MCD (2 C; B ) = 2N

Calcule N si: MCD (A; 4 B; 8 C) = 21000

A) 10 500 B) 21 000

C) 13 500 D) 12 200 E) 12 400

RESOLUCIN MCD (3 A; 24 C) = 18 N

* MCD (A; 8 C) = 6 N ..............( ) MCD (2 C; B) = 2 N

* MCD (8 C; 4 B) = 8 N............()

De () y () MCD(A,4B;8C)=MCD(6N,8N)=2 N

En el cual intervienen los tres

nmeros y nos piden: MCD (A; 4 B; 8 C) = 21 000 = 2 N N = 10 500

RPTA.: A

136. Si: 0

MCD a1b8; a9b0 88

Calcule: (a + b)

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

RESOLUCIN

RPTA.: E

0

a1b8 88

0

8

0

11

0

11 a 1 b 8

9 =a + b

UNMSM Aritmtica


137. Determinar el valor de:

x + y + a, si los

aritmetica todo

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