TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL

Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut

Raul Naadel

AUTOMAATJUHTIMISE ALUSED

TALLINN 2006

1

2

1. SISSEJUHATUS AUTOMAATJUHTIMISSE

1.1. Automaatjuhtimise olemus ja ülesanneVõib arvata, et inimene on aegade algusest mõelnud oma tegevuste lihtsustamisele – kuidas saaks vett lihtsamalt oma elamisse; kuidas oleks võimalik rohkem kaupa korraga liigutada; kuidas oma teisi töid kiiremini teha; kas saaks neid töid teha nii, et nad iseseisvalt tehtud saaksid? Selle eesmärgiks oli üleminek käsitöölt mehhaniseeritud tööle ja nii on tehnoloogia arenenud sajandite vältel – algselt leiti meetodid, kuidas jõudu (energiat) nõudvad tööd masinatele loovutada ning seejärel võimalused anda ka informatsiooni töötlemine masinatele. Kuigi energiatasandi üleandmine masinatele toimus juba suhteliselt ammu, siis informatsiooni töötlemine masinate poolt toimus üpris algelisel tasemel kuni arvutustehnika arenguni. Arvutustehnika areng kiirendas ka paljude teiste teadusharude arengut, nende seas juhtimistehnika arengut, mis omakorda võimaldas usaldada masinatele varasemast enam otsustamist vajavaid tegevusi.

Selliste süsteemide, kus masinatele on usaldatud otsustusõigus, kirjeldamiseks võeti kasutusele termin – automatiseeritud süsteem. See mõiste pärineb kreeka keelest, kus sõna automatos tähendaks eesti keeles isetoimivat. Erinevate kirjandusallikate järgi jaotatakse süsteeme automatiseerimisele vastavalt erinevalt, nt. automatiseerimise astmete järgi [1], mis on kirjeldatud tabelis 1.1.

Tabel 1.1. Süsteemide liigitus automatiseerimise astme järgi

Aste Asendatav funktsioon NäideA(0) Puudub Käsitööriistad, nt. vokkA(1) Energia PuurpinkA(2) Osavus Ettenihkega treipinkA(3) Usinus Avatud juhtimiskontuuriga ning kordu-

va töötsükliga automaattreipinkA(4) Otsustamine Suletud juhtimiskontuuriga ning arv-

juhtimisega treipink

Selline jaotus on tinglik, mistõttu on vahel sobivam kasutada lihtsamat jaotust, mis baseerub juhtimisel. Juhtimine on infotöötlusprotsess, mis väljendub mingi tegevuse sihipärases korraldamises. Tegevuseks võib olla nii tehniline, bioloogiline kui ka sotsiaalne protsess [2]. Keskendudes tehnilistele protsessidele võib neis eristada:

● käsijuhtimist, mis vastab automatiseerimise astmele A(0);● automatiseeritud juhtimist, mille vaste oleks A(1) kuni A(3);● ning automaatjuhtimist, millele vastaksid astmed A(3) ja kõrgemad.

Tehniliste süsteemide all mõistetakse seadmete kogumit, mis töötavad koos töö eesmärgi täitmiseks. Töö omapära kirjeldavad seadmete füüsikalised omadused, mida on võimalik kirjeldada matemaatiliste võrranditega, millede lahendamise järel on võimalik süsteemi analüüsida. Kui süsteem ei vasta soovitud tingimustele, siis tuleb süsteemi mõjutada nii, et süsteem hakkaks vastama soovitud tingimustele. Juhul kui süsteem suudab iseseisvalt rakendada neid mõjusid, ilma inimest kaasamata, on tegemist automaatjuhtimissüsteemiga.

3

1.2. MõisteidAutomaatjuhtimissüsteemid jagunevad kaheks – avatud kontuuriga süsteemid ning suletud kontuuriga süsteemid. Avatud kontuuriga süsteemides juhitakse protsessi eelnevalt määratud matemaatilise mudeli järgi, kontrollimata, kas juhitava protsessi tulemused vastavad soovitutele. Selline juhtimine sobib lihtsamatele süsteemidele, sest protsessi tulemustele avaldavad ka soovimatud mõjurid ehk häiringud mõju. Häiringuteks võivad olla protsessimüra ja mõõtemüra. Protsessimüra tekib füüsikalistest nähtustest, mis mõjuvad protsessile, muutes selle käitumist. Mõõtemüra tekib aga mõõteaparatuuri ehk sensorite mõõteveast. Üldjuhul on esimene neist juhuslik suurus, mida etteaimata ei saa, mõõtemüra saab aga eelnevalt arvesse võtta ja vastavalt sellele süsteemi mõjutada ehk juhtida juba nii, et juhttoimes (juhtimise mõju süsteemile) kompenseeritakse tekkiv viga. Sellist juhtimist nimetatakse häiringute kompenseerimiseks.

Joonis 1.1. Automaatjuhtimissüsteem a) avatud kontuuriga, b) suletud kontuuriga

Suletud kontuuriga süsteemides juhitakse protsessi juba kontrollides, tulemuse vastavust etteantud kriteeriumitele ehk süsteemis toimub tagasiside tulemuste kohta. Protsessi juhitakse vea järgi ehk sõltuvalt erinevusest protsessi tegeliku ja soovitud tulemuse vahel. Juhitavat protsessi või seadet nimetatakse üldiselt juhtimisobjektiks ja selle tulemust väljundiks y. Seade, mis moodustab juhttoime u nimetatakse kas juhtseadmeks või ka regulaatoriks. Süsteemile avaldavad mõju sisendid, mis pärinevad väljast poolt süsteemi. Nendeks sisenditeks on seadesuurus s, mis määratleb mida süsteemilt soovitakse ning häiringud n, mis segavad süsteemi talitlust.

Joonisel 1.1. on kujutatud automaatjuhtimissüsteemi, mis koosneb blokkidest ning blokkide vahelistest suunatud mõjudest. Blokke nimetatakse ülekandelülideks ja mõjusid signaalideks. Kui vaadelda üksikut blokki, siis selle puhul kehtib seos

y=W⋅s . (1.1)

Suurust W nimetatakse ülekandefunktsiooniks ning see kirjeldab väljundsuuruse sõltuvust sisendsuurusest.

4

Juht-seade

Juhtimis-objekt

Juht-seade

Juhtimis-objekt

s y

s yue±

un

n

a)

b)

s sisendsuurus

u juhttoime

n häiring

e viga ehk hälve

y väljundsuurus

Joonis 1.2. Ülekandelüli

Ws y

Näide 1.1.

Kui vedrule rakendada jõudu, siis selle tulemusel muutub vedru pikkus. Avaldades selle võrrandi (1.1) põhjal

x=W⋅F .

Hooke'i seadusest on teada järgmine avaldis

F=k⋅x

ning nendest avaldistest on võimalik järeldada, et

Joonis 1.3. Vedru W= 1k .

Blokk- ehk struktuurskeemides esineb kolme liiki signaalitehteelemente (summeerimissõlm, hargnemissõlm ja korrutussõlm) ning kolme liiki põhi- ehk lihtsaid struktuure (jadastruktuur, rööpstruktuur ja tagasisidestatud kontuur) [3].

Summeerimissõlme puhul kehtib matemaatiline seos

y=s1−s2 . (1.2)

Joonis 1.4. Summeerimis-sõlm

Joonis 1.5. Hargnemissõlm

Korrutussõlme matemaatiline esitus on

y=s1⋅s2 . (1.3)

Joonis 1.6. Korrutussõlm

Jadastruktuuri kohta kehtib

y=W 1⋅W 2⋅s . (1.4)

Joonis 1.7. Jadastruktuur

Rööpstuktuuri väljund avaldub

y=W 1±W 2⋅s (1.5)

Joonis 1.8. Rööpstruktuur

5

xF

s1 y

-s2

+

s s

s

s1 y

s2

X

W1 W2

s y

W1

W2

s y

±

Tagasisidestatud struktuur esitatakse matemaatiliselt

y=W 1

1∓W 1⋅W 2⋅s (1.6)

Joonis 1.9. Tagasisidestatud struktuur

Pikemalt käsitletakse ülekandefunktsioone järgmises peatükis.

Ülekandefunktsioone kasutatakse kirjeldamaks ühe väljundsuuruse sõltuvust ühe sisendsuuruse suhtes. Keerulisemate süsteemide puhul, kus tuleb jälgida üheagselt mitut väljundit, mis sõltuvad samaaegselt mitmest sisendist ehk mitmelisidusat süsteemi, siis ülekandefunktsioonidega arvutamine muutub keerukaks. Arvutamine muutub lihtsamaks kui süsteemi kirjeldada olekuvõrranditega (vt. ka jaotist 2.3)

x=A⋅xB⋅uy=C⋅xD⋅u , (1.7)

kus A – süsteemi olekumaatriks;B – sisendmaatriks;C – väljundmaatriks;D – häiringumaatriks;x – olekuvektor;u – sisendvektor;y – väljundvektor.

Süsteemi olekuks nimetatakse süsteemi kõikide olekumuutujate kogumit. Näiteks kirjeldades vedru olekut, siis on seal kaks muutuvat suurust ehk olekumuutujat – jõud ja nihe. Jõu puhul oleks tegemist sisendmuutujaga ja nihke puhul väljundmuutujaga. Samas võib olekumuutujaid olla rohkem, mida esitatakse kas täpselt või ligikaudselt, aga selle kas need sobivad väljundmuutujaks määrab ära järgmine kriteerium: väljundmuutujaks saab olla olekumuutuja, mida on võimalik täpselt mõõta ning mis ei kuulu samaaegselt sisendmuutujate hulka. Seda kriteeriumi võib tegelikult rakendada ka ülekandefunktsioonidele.

Joonis 1.10. Olekuvõrrandite graafiline kujutis

6

W1

W2

y

±

s

∫

A

yCB

D

s

xx'

1.3. Automaatjuhtimissüsteemi komponendidKuigi automaatjuhtimissüsteemi saab jagada üldiselt juhtimisobjektiks ja juhtseadmeks, ei ole sellest võimalik mõista milliseid seadmeid süsteemis kasutatakse. Samuti on n. ö. taust-komponentide tundmine vajalik, et mõista võimalikke häiringu mõjusid.

Seega alustades kirjeldamist juhtimisobjektist ehk seadmest või protsessist, mida juhtida soovitakse, siis nagu nimigi ütleb on üks komponentidest juhitav seade, näiteks elektrimootor. Sellele seadmele mõjuvad nii juhttoimed kui ka häiringud, mille tulemusena muutub juhtimisobjekti väljund ehk protsessi tulemus. Selleks, et tulemust kontrollida, peab seda mõõtma, mistõttu kuulub juhtimisobjekti koosseisu ka mõõteaparatuur ehk sensor, millele mõjuvad sõltuvalt ehituslikest omapäradest kas juhuslikud või süsteemsed vead. Juhuslikuks veaks võib olla temperatuuri mõju, väliste väljade olemasolu vms. Süsteemsed vead on tingitud aga mõõteriista täpsusest.

Kui mõõteaparatuuri signaalid ei ole sobivad juhtseadmele, näiteks digitaalarvuti ei saa töödelda analoogsignaale, siis tuleb mõõteaparatuurile lisada signaalimuundur, mis vastavalt vajadusele muudab signaali füüsikalisi omadusi ja/või kvantiseerib signaali. Sellises energiamuundusprotsessis esinevad mõõteaparatuuriga sarnased vead.

Automaatjuhtimissüsteemi keskuseks võib pidada aga juhtseadet, mis asendab inimest, otsustades süsteemi väljundi üle, kui tegemist on tagasisidestatud süsteemiga või avatud süsteemi korral võtab eelnevalt arvesse võimalikud kõrvalekalded. Ka sellele süsteemi osale mõjuvad erinevad häiringud ning niisamuti, nagu pidi kohandama sensori signaali juhtseadmele, võib olla vajadus kohandada juhttoimet juhtimisobjektile, mis tähendab teist signaalimuundurit süsteemis.

Joonis 1.11. Automaatjuhtimissüsteem

Ka ei saa tähelepanuta jätta, et seadesuurus, millega esitatakse tellimus automaatjuhtimis-süsteemile, omab mingit viga. Kuid suurimaid raskusi tekitab süsteemile aeg. Nimelt signaali töötlemiseks igas komponendis kulub oma aeg, nagu ka signaali kulgemisele komponentide vahelistes ühendusliinides, mis on probleemiks suurtes vabrikutes. Seega juhtseade reguleerib enamasti süsteemi olekut, mis tegelikult on juba möödunud.

1.3.1. RegulaatorRegulaator on automaatjuhtimissüsteemi n.ö. otsustav element, mis moodustab hälbe alusel juhttoime. Seega kuulub ka regulaatori ees olev summeerimissõlm ehk võrdlussõlm juhtseadme koosseisu. Samuti kuulub sellesse kooslusesse ka seadesuuruse tekitamise element, milleks lihtsamal juhul võib olla tavaline lüliti (protsess käivitada või seisata) või potentsiomeeter, mille liugkontaktiga saab seadesuurust sujuvalt muuta.

Kuidas regulaator reaalselt teostatud on sõltub juba otseselt selle ülesannetest ja nõuetest reguleerimise kvaliteedile. See võib olla teostatud analoogarvutiga, digitaalarvutiga, releedega või mõnel teisel viisil. Regulaator võib olla individuaalne seade või ta võib olla kaasatud

7

Regu-laator

Täitur-element

s ue±

n1

Protsess

n2Mõõte-

aparatuur

n3y

täiturseadmesse. Kõige lihtsam on kujutada temperatuuri releetoimelist regulaatorit.

Sellist regulaatorit saab kasutada elektriradiaa-torites. Radiaatori toitejuhtmele ehitatakse vahele bimetall-element, mis avab ja sulgeb kontakti sõltuvalt temperatuurist. See on võimalik tänu bimetallis kasutatavate materja-lide erinevatele joonpaisumisteguritele, mis tingib elemendi paindumise.

Joonis 1.12. Bimetall-regulaator

Sisseehitatud regulaatoritest tasuvad märkimist kontrollerid, milles regulaatorid on teostatud programmiliselt ehk mikroprotsessor otsustab mõõteaparatuurilt saadava informatsiooni põhjal sobiva juhttoime üle. Joonisel 1.13 kujutatud LOGO! Kontrolleri võib panna tööle sarnaselt bimetall-regulaatoriga.

Joonis 1.13. Siemens LOGO! kontroller

1.3.2. TäiturelementTäiturelement on automaatjuhtimissüsteemi osa, mis võimendab ja muudab juhttoimet juhitavale seadmele vastuvõetavaks. Joonisel 1.12. kujutatud regulaator on samas ka täiturelement, aga see on võimalik ainult väikesevõimsuseliste süsteemide korral. Suurevõimsuseliste juhtimissüsteemide puhul tuleb rakendada muundureid, sest regulaatorid on ehitatud väikese-võimsuselisena, tagamaks seadmete minimaalseid mõõtmeid ja vähendada kadusid. Näiteks kui regulaatori väljundsignaal on vahemikus 0...5 V ja juhitava elektrimootori nimipinge on 400 V, siis nende ühildamiseks tuleb kasutada täiturelementi ehk (pooljuht)muundurit, mis peab juhttoimest moodustama sisemised muutujad (nt. türistoride avamisnurgad), millede alusel moodustatakse mootori toitepinge.

Regulaator võib olla ka muundurisse sisseehitatud, mis hägustab piiri juhtseadme ja juhtimisobjekti vahel.

Joonis 1.14. ABB ACS-800 muundur

8

Kontaktid

Toitejuhtmed

Bimetall

1.3.3. ProtsessProtsess on üldistatult seade, mida üldse soovitakse juhtida. See on ainuke osa automaatjuhtimissüsteemist, mille parameet-reid ei saa muuta, mistõttu moodustab see juhtimissüsteemi aluse, mille ümber ehitatakse süsteem. Kõigil teistel süsteemi osadel saab muuta parameetreid või nad vahetatakse vajadusel välja. Näiteks olgu protsessiks asünkroonmasina kiiruse reguleerimine, mille-le võib vabalt valida erinevaid regulaatoreid (pidevad, diskreetsed jne.), täiturelemente (sagedusmuundur, reostaat jne.) ja mõõte-aparatuuri (tahhogeneraator, impulssandur jne)Nende valikul otsustatakse, kuidas need omavahel ja masinaga kokku sobivad. Masin vahetatakse aga välja kui selgub, et valitud ülesandeks ei ole see sobiv, aga siis valitakse kõik elemendid juba uuesti.

1.3.4. MõõteaparatuurMõõteaparatuuri kasutatakse juhtimissüsteemi parameetrite kohta informatsiooni saamiseks. Mõõtmisele kuuluvad kõik parameetrid, mis on vajalikud edukaks juhtimiseks. Näiteks mootori kiiruse juhtimiseks piisab kui mõõta ainult kiirust ja sisendpinget, aga juhtimise tulemus on parem kui mõõdetakse ka mootori voolu ja reguleeritakse ka seda. Alati ei ole aga sisendit vaja mõõta, nt. kui see on konstantne või muutub ettemääratud seaduspärasuse järgi. Samuti ei pruugi olla võimalik mõõta sisendit, seda just mõningate häiringute korral.

Mõõteaparatuur on ka kõige laiavalikulisem element automaatjuhtimissüsteemis, sest erinevaid suurusi mida saab ja tuleb mõõta on mitmeid. Näiteks elektriajami korral oleksid järgmised sensorid võimalikud – Hall'i andur ja magnetotakistid, rootori õhupilu magnetvälja mõõtmiseks; kiirusemõõtmiseks tahhogeneraator, resolver, optiline inkrementaalandur; kaks viimast sobivad ka mootori võlli positsiooni määramiseks; voolu mõõtmiseks sobib voolutrafo, šunt, Hall'i sensor; jõu mõõtmiseks nt. dünamomeeter, kuid tavaliselt asendatakse see voolumõõtmisega, sest moment on voolu produkt; pinge mõõtmiseks sobivad pingetrafod, -jagurid jne. Küsimus ei ole selles, et kuidas ja millega mõõta, vaid kas mõõtmine on otstarbekas. See küsimus tuleneb andmete töötlemiskestusesest, sest oma aja nõuavad andmete kogumine, hindamine ja otsustamine ehk juhttoime moodustamine, mistõttu juhttoime moodustamise ajaks võib olla, et juhtimisobjekt on juba avarii olukorras.

Mõõteaparatuurist võib üldse loobuda juhul, kui juhtimisobjekti väljund on igal ajahetkel täpselt determineeritud. Üheks selliseks juhtimisobjektiks on sammmootor, millel on alati täpselt määratud rootori asukoht, tingimusel, et mootorit ei koormata üle.

1.3.4.1. Kiirus- ja asendianduridTahhogeneraator kujutab endast alalisvoolumasinat, mis muundab pöörlemiskiiruse ehk mehaanilise signaali pinge- ehk elektriliseks signaaliks [4]. Seda kirjeldab järgmine võrrand

u t =k m⋅t , (1.8)

9

Joonis 1.15. Servomootor

kus km – masina konstant, mis iseloomustab masina konstruktsiooni ja ergutust.

Tahhogeneraatori suureks puuduseks on harjade kulumine, mistõttu vajavad nad sagedast hooldust, samuti ei ole sellega võimalik määrata võlli asendit.

Eksisteerivad ka asünkroon- ja sünkroontahhogeneraatorid, kuid need ei ole eriti laialt levinud.

Resolver kujutab endast kõrgsageduslikku pöörd-trafot, mille primaarmähis on istutatud pöörleva masina võllile ja sekundaarpoolel on kaks mähist, mis on nihutatud üksteise suhtes 90 kraadi. Primaarmähise pöörlemisel indutseeritakse sekun-daarpoolel muutuva amplituudiga signaal, mis peale kandesageduse filterdamist annab tulemuseks siinus-signaali A ja koosiinussignaali B. Nende signaalide hetkväärtuste alusel on võimalik määrata võlli asend ja sellest omakorda peale tuletamist ka kiirus. Seadme eeliseks on harjade puudumine [5].

Joonis 1.16. Resolveri põhimõtteskeem

Optiline inkrementaalanduri (joonis 1.17) põhielemendiks on inkrementaalketas, mis asetseb pöörleval võllil. Ketas on jaotatud mitmeteks valgust läbilaskvateks ja mitteläbilaskvateks sektoriteks (tavaliselt 1024, 2048 või 4096 läbilaskvat sektorit). Neid sektoreid valgustatakse enamasti LED-valgustiga, mille valgusvihk suunatakse läbi kondensori ja filtri. Kondensor koondab valgusvihu ja filter omab samuti valgust läbilaskvaid ja mitteläbilaskvaid sektoreid, millede laius vastab ketta sektorite laiusele. Teisel pool ketast asetsevad neli fotoelementi, mis on nihutatud üksteisest neljandiku sektori laiuse võrra ning mis on paari kaupa vastulülitatud. Selle tulemuseks on olukord, kus inkrementaalketta pöörlemisel tekitatakse fotoelementides vool, mis vastab siinus- ja koosiinussignaalidele, kus signaali periood vastab kahe sektori laiusele (üks valgust läbilaskev ja üks mitteläbilaskev), mitte aga võlli pöördele. Seega saadavate signaalide sagedus on sektorite arvu ja võlli pöörlemiskiiruse korrutis. Aga tangensiga on võimalik määrata võlli asukoht ühe perioodi lõikes, mistõttu peab antud andur lugema mitu perioodi on juba möödunud antud pöörde keskel ehk inkrementeerima. Selleks, et vahepealseid arvutustulemusi kontrollida on inkrementaalkettal ka referentspunkt, mida jälgitakse viienda fotoelemendiga, mis kinnitab, et üks võlli pööre on toimunud [5].

Eksisteerib ka teine optiline positsiooniandur, mida nimetatakse absoluutanduriks ehk enkooderiks. Sel juhul on ketas jagatud mitte enam ribiliseks, vaid aladeks (sarnaselt malelauale). Alade paigutus sõltub kodeerimisviisist ja kui mitme bitilist kodeeringut kasutatakse. Sellise anduri puuduseks on täpsus (alasid ei saa sama tihedusega paigutada nagu ribisid) ja andmemahu suur hulk (iga biti kohta on üks fotoelement) [5].

10

A

B

Joonis 1.17. Optiline inkrementaalandur a) ehitusskeem, b) põhimõtte skeem

1.3.4.2. VooluanduridVoolutrafod on enamlevinumad seadmed voolu mõõtmiseks. Kuna tegemist on transformaatoritega, kuigi eritüüpi trafodega, siis on need sobivad ainult vahelduv-voolusüsteemides kasutamiseks. Voolutrafod eeliseks on aga lihtsus, mis avaldub nende ehituses. Trafo primaar-mähiseks on juhe või kaabel, mille voolu mõõdetakse ja sekundaarpool paigaldatakse ümber kaabli ning selle klemmidel indutseeritakse vooluga võrdeline elektro-motoorjõud.

Muundur Hall'i sensoriga sobib kasutamiseks nii alalis- kui ka vahelduvvoolu korral. Mõõdetav vool läbib muunduri mähist, millega kaasneb magnetvoog, mis läbib Hall'i andurit. Kuna magnetvoog on võrdeline vooluga ja Hall'i anduri klemmidel tekkiv pinge on võrdeline magnetvooga ehk tulemuseks on vooluga võrdeline pingesignaal [5].

1.4. JuhtimismeetodidKlassikaline juhtimismeetod kuulub vanemate ja seega ka lihtsamate süsteemide juurde. Seda kasutatakse enamasti ühe sisendi ja ühe väljundiga süsteemide korral. Tegemist on enamasti lineaarsete süsteemidega, mida on võimalik kirjeldada lineaarsete diferentsiaalvõrranditega, mida on hõlbus analüüsida Laplace'i teisenduse ja sageduslike meetoditega. Need süsteemid jagunevad omakorda stabiliseerimis-, reguleerimis- ja järgivsüsteemideks. Stabiliseerimissüsteemi kasutatakse kui tahetakse väljundit hoida ühel kindlal väärtusel. Reguleerimissüsteemides muudetakse väljundit etteantud seaduspärasuse

11

LED Kondensor

FotoelementInkrementaal-ketas

Filter

Referents

a) b)

Joonis 1.18. Voolutrafo

Joonis 1.19. Hall'i muundur

järgi. Nende hulka kuuluvad programmjuhtimisega süsteemid. Järgivsüsteemid aga muudavat väljundit sõltuvalt sisendist, mille muutusi ajas ei ole eelnevalt ettemääratud.

Näide 1.2.

Joonis 1.20. Automaatjuhtimissüsteem klassikalise juhtimismeetodiga

Termostaadilt seadistatakse soovitud ruumitemperatuur. Sõltuvalt hetke soovitud ja tegeliku temperatuuri vahest moodustab regulaator toitebloki elektroonika abil toitekaablile sobiva toitepinge, mis omakorda määrab kütte intensiivsuse. Temperatuuri mõõdetakse anduriga, mis muundab temperatuuri pingesignaaliks, mis suunatakse regulaatorisse.

Moodsad juhtimismeetodid leiavad kasutamist mitmelisidusate, s. t. mitme sisendi ja väljundiga süsteemide korral, kus samaaegselt reguleeritakse mitut väljundit.

Näide 1.3.

Joonis 1.21. Automaatjuhtimissüsteem moodsa juhtimismeetodiga

Joonisel 1.21 on kujutatud lihtsustatult üht elektrienergia tootmiskompleksi. Katla põlemiskambrisse juhitakse õhku ja kütust, millede põlemisel eralduv energia antakse üle veeaurule, mis paneb turbiini pöörlema. Sellega seoses hakkab ka elektrigeneraator pöörlema ning selle käigus indutseeritakse elektrienergiat. Selleks, et elektrivõrgu pinget ja sagedust koormuse muutudes stabiilsena hoida, jälgitakse ka koormusvoolu. Selleks tuleb reguleerida generaatori pöörlemiskiirust, mis toimub kas turbiini labade nurga või auruenergia muutmisega. Viimast saab muuta muutes auru rõhku ja temperatuuri, mis toimub katla pumbaga (joonisel näitamata) või põlemisprotsessi muutmisega, lisades sinna kütust ja õhku vastavalt vajadusele. Põlemisprotsessi käigus jälgitakse ka heitgaase, et tagada optimaalne põlemisprotsess, tagamaks maksimaalset kasutegurit.

Selliste süsteemide kirjeldamine ülekandefunktsioonidega kujuneks keeruliseks, mistõttu

12

Vesi

Kütus

Õhk

T, pKatel

Turbiin

CO2

ω

Generaator

U, I, fα

x1

x2

x3

230V ACUvar T°

U(T°)

leiavad moodsate juhtimissüsteemide juures kasutust enamasti olekuvõrrandid diskreetsel kujul.

Kõrgeimaks juhtimismeetodiks on intellektuaalsed meetodid, mis põhinevad programmeerija intuitiivsetel hinnangutel, nt. hägusloogikal või eksperthinnangutel. Need meetodid leiavad kasutust, kui tegemist on juhtimisobjekti määramatusega. Sel juhul ei hinnata olekumuutujaid kvantitatiivselt, vaid hoopis kvalitatiivselt (nt. suur, väike vms.) ning need muutujad seotakse tingimusklauslitega KUI-SIIS-algoritmi kohaselt. Selliste süsteemide hulka kuuluvad isehäälestuvad, -programmeeruvad, -modelleeruvad, -õppivad ning -organiseeruvad süsteemid [2].

1.5. Juhtimise ülesanneLähtuvalt eespool mainitust võib juhtimise ülesande formuleerida järgmiselt [2]:

Juhtimise põhiülesandeks on moodustada juhttoimete kogum, mille mõjul süsteem toimiks soovitud viisil. Antud kogum peab tagama süsteemi etteantud kvaliteedinõuetele (reakt-sioonikiirus, ülereguleerimine, sumbuvus) vastava juhtimise. Seejuures tuleb arvestada füüsikaliste tingimustega (masinate võimsuspiirangud) või subjektiivsete otsustega (oht inimesele).

Selle ülesande lahendamine tähendabki automaatjuhtimissüsteemi sünteesi ehk loomist. Seda tegevust alustatakse juhtimisobjekti määratlemisest. Selleks eraldatakse uuritav objekt teda ümbritsevast keskkonnast ning tehakse kindlaks selle parameetrid ja struktuur. Seda nimetatakse objekti identifitseerimiseks. See toimub tihti mõtteliselt, sest tavaliselt puudub projekteerimisjärgus reaalne objekt, millest koostatakse ülevaate saamiseks matemaatiline mudel, mis imiteerib reaalse objekti talitlust. Kui reaalne objekt eksisteerib, siis on seda võimalik identifitseerida uurides objekti reaktsioone ehk siirdeprotsesse, mida põhjustavad normeeritud sisendsignaalid. Neid reaktsioone võib nimetada ka signaalikajaks. Signaalikaja kuju on võimalik kirjeldada matemaatilise võrrandiga ehk mudeliga.

Kui hästi mudel toimib, sõltub kui täpselt on juhtimisobjekt modelleeritud. Mida keerukam objekt seda, seda suurem on määramatuse osakaal. Kuna määramatust kirjeldatakse hinnangutega, siis tekivad mudelisse ebatäpsused, mis omakorda raskendavad juhtimis-ülesande lahendamist. Juhul kui mudel on koostatud ilma, et seal oleks määramatusi, siis nimetatakse mudelit täielikult determineerituks. Selliseid süsteeme saab hõlpsalt juhtida avatud kontuuriga, kuid reaalselt on sellised mudelid pigem erandiks, mistõttu enamus reaalseid süsteeme töötab tagasiside põhimõttel, et vähendada mõõteaparatuuri abil süsteemi ja seega ka mudeli määramatust.

Enamus matemaatilisi mudeleid ja seega ka süsteeme on dünaamilised, s. t. süsteemi olek sõltub eelnevast olekust. Näiteks jadakinemaatikaga roboti ühe liigendi liikumist mõjutavad kõikide teiste liigendite liikumised. Selliseid süsteeme võib nimetada ka inertseteks või ka järelmõjuga süsteemideks. Selliseid süsteeme kirjeldatatakse kas diferentsiaal- või differentsvõrranditega.

Järgmise etapina määratakse juhtimise eesmärk. Selleks defineeritakse väljundsuurus, mida juhtima hakatakse, näiteks elektrimootori puhul kas pöördemoment, nurkkiirus või positsioon ning kuidas juhtima hakatakse, näiteks hoitakse momenti konstantsena või muudetakse seda mingi seaduspärasuse järgi.

Juhtimise ülesande lahendamise käigus tuleb määratleda ka lubatavad seadesignaalid ning

13

juhttoimed. Need signaalid tuleb eelnevalt määratleda ülesandes formuleeritud piirangute tõttu.

Viimase etapina määratletakse juhtimise kvaliteedi mõõt. Selleks on erinevate kriteeriumide kogum, mille alusel on võimalik võrrelda erinevaid süsteeme, mis teostavad samu ülesandeid. Samuti on võimalik selle mõõdu alusel optimeerida hinnatava süsteemi tööd ning vähendada häiringute mõju väljundile.

14

2. AUTOMAATJUHTIMISSÜSTEEMIDE KIRJELDAMINESelleks et rahuldavalt juhtida automaatjuhtimissüsteemi peavad nii protsessi kui ka süsteemi dünaamilised omadused teada olema. Üksiku komponendi või terve süsteemi dünaamilisi omadusi saab määrata kas arvutuslikult või katseliselt [3].

2.1. Süsteemide kirjeldamine diferentsiaalvõrranditegaNäide 2.1.

Takisti puhul kehtib Ohm'i seadus

u t =R⋅i t .

Kuna takistus on sõltuv temperatuurist, siis täpsustatult oleks

u t=Ri , t ⋅i t .

Joonis 2.1. Takisti

Näide 2.2.

Kondensaatori pingevõrrand

u t = 1C ∫−∞

t

i d =U 01C∫0

t

i d .

Joonis 2.2. Kondensaator

Näide 2.3.

Mähise pingelang avaldub

u t =R⋅i t L⋅di t dt .

Joonis 2.3. Mähis

Näide 2.4.

Olgu vedru otsas veeämber, mis lekib [3]. Lähtudes Newtoni II seadusest ning Hooke'i seadusest võib süsteemi kohta kirjutada

ddt[m t ⋅x ]k x ⋅x=m t⋅g

mt ⋅xmt ⋅xk x ⋅x=mt ⋅g

15

i(t)

u(t) R

i(t)

u(t)C

i(t)

u(t) RL

Joonis 2.4. Lekkiv anum

x

k(x)

m(t)

Näide 2.5.

RLC ahela puhul võib rakendada Kirchoffi II seadust ja vastavad diferentsiaalvõrrandid on

ust =R⋅i t L⋅d i t dtu y t

i t =C⋅d u y t

dt

ust =RC⋅d u y t

dtLC⋅

d 2 uy t dt 2 u y t

Joonis 2.5. RLC-ahel

Näide 2.6.

Newtoni II seaduse põhjal kehtib

m⋅d2 x

dt 2 =F−⋅m⋅g⋅sgn dxdt

Joonis 2.6. Sirgjooneline liikumine

Näide 2.7.

Newtoni II seadus kehtib ka pöördliikumisele

J d dt=T−T h .

Erinevuseks on siin asjaolu, et hõõrdemoment töötab alati ajamimomendile vastu.

Joonis 2.7. Pöördliikumine

Näide 2.8.

Elektriajamite teooriast on teada alalisvoolumootori põhivõrrandid

ust =R⋅i t L⋅d i t dtk m⋅t

J⋅d t

dt=k m⋅i t −T k t

Joonis 2.8. Alalisvooluajam

Eeldades, et süsteemi inertsimoment ja koormusmoment on ajas konstantsed (hõõrdemoment on tegeliku koormusega võrreldes kaduvväike), siis võib asendada mehaanikavõrrandi pingevõrrandisse

ust =J⋅Lk m⋅

d 2t dt 2

J⋅Rk m⋅

d t dtk mt

Rk m⋅T k t

Lk m⋅

d T k t dt .

16

us(t) uy(t)C

R L

i(t)

FFh

m

x

Th

Tω

J

us(t)

R L

i(t)M

J, ω, Tk

km

2.2. Süsteemide kirjeldamine ülekandefunktsioonidega

2.2.1. Laplace'i teisendusDiferentsiaalvõrrandite lahendamine ilma matemaatikatarkvara toeta on keeruline, mistõttu on neile loodud erinevaid lahendusvõtteid. Üheks vanemaks ja enamlevinumaks meetodiks on operaatormeetod ehk Laplace'i teisendus

F p=ℒ { f t }=∫0

∞

f t ⋅e− p⋅t , (2.1)

kus F(p) – diferentsiaalvõrrandi operaatorkujutis;ƒ(t) – diferentsiaalvõrrand;p – kompleksmuutuja ehk operaator.

Tegemist on matemaatilise manipulatsiooniga, mille käigus pööratakse protsessi ajatelg ümber ehk minnakse üle sagedusteljele. Selle tulemusena kujutatakse protsesse, mis toimusid ajatelje alguses ehk kiireid protsesse sagedustelje lõpus ja aeglaseid protsesse sagedustelje alguses. Selle manipulatsiooni matemaatilist tausta ei ole kerge mõista, kuid operaatorkujul võrrandite lahendamine on võimalik tundmata diferentsiaalvõrrandite integreerimist, kuna keerulised võrrandid asenduvad lihtsate algebraliste võrranditega.

Kuigi teisenduse läbiviimine on suhteliselt lihtne, siis pöördteisendus ehk sagedusruumist tagasitulek aegruumi on keeruline matemaatiline protseduur, mistõttu teisenduste läbiviimiseks kasutatakse tabeleid (Lisa 1) kui ei ole kasutada tarkvaralisi lahendusi. Siiski on võimalik teisendada suur osa võrranditest kahe järgmise võrrandi alusel.

Diferentsiaali teisendus

ℒ {d n

dtn f t }= pn⋅F p (2.2)

ja integraali teisendus

ℒ {∫ f t }= 1p⋅F p . (2.3)

Näide 2.9.

Näite 2.3. diferentsiaalvõrrandi kujutisfunktioon

u t =R⋅i t L⋅di t dt⊶ u p=R⋅i p p⋅L⋅i p

Näide 2.10.

Näite 2.8 diferentsiaalvõrrandi kujutisfunktsioon

ust =J⋅Lk m⋅

d 2t dt2

J⋅Rk m⋅

d t dtk mt

Rk m⋅T k

Lk m⋅

d T k t dt⊶

u s p=J⋅Lkm⋅ p ⋅p2 J⋅R

k m⋅ p⋅pkm⋅ p

Rk m⋅T k p

Lk m⋅p⋅T k p

17

2.2.2. ÜlekandefunktsioonÜlekandefunktsioon kirjeldab ülekandelüli väljundsuuruse suhet sisendsuuruse suhtes

Joonis 2.9. Ülekandelüli W= ys . (2.4)

Ülekandefunktsioon teisendatakse ülekandelüli kujutisfunktsioonist selle matemaatilise teisendamise lihtuse tõttu. Ülekandefunktsiooni eeliseks on ka pööratavus

W−1= sy . (2.5)

Näide 2.11.

Näites 2.3. kujutati RL-ahelat ja näites 2.9 esitati selle kujutisfunktsioon. Määrates toitepinge sisendsuuruseks ning voolu väljundsuuruseks leitakse vastav ülekandefunktsioon järgnevalt

u p =R⋅i p p⋅L⋅i p=[Rp⋅L ]⋅i p

W p = i pu p=

1Rp⋅L=

1R

1 p⋅LR

.

Leitud ülekandefunktsioon on natuke kohmakas, mistõttu on soovitatav teha kaks teisendust

1R=K ja

LR=T ,

kus K – ülekandetegur;T – protsessi ajakonstant.

W p = i pu p= K

1p⋅T

Ülekandetegur kirjeldab antud ülekandelüli võimendustegurit ning see on alati ühikuga suurus

(antud näite puhul 1= A

V ), mille ühik määrab ka ülekandefunktsiooni ühiku. Protsessi

ajakonstant kirjeldab ülekandelülis toimuva siirdeprotsessi ajalisi omadusi. Tegemist on samuti ühikulise suurusega, mille ühikuks on sekund. Kuna ülekandetegur määras ülekandefunktsiooni ühiku, siis siit järeldub, et funktsiooni nimetaja peab olema ühikuta, millest omakorda järeldub, et operaator p on samuti ühikuga suurus, mille ühikuks on s-1.

Kui vaadelda aga voolu sisendsuurusena ja pinget väljundsuurusena, siis vastav ülekandefunktsioon avaldub

W p =u pi p=R p⋅L=1 p⋅T

K .

Tulemuseks on esimesena määratud ülekandefunktsiooni pöördväärtus, mis vähendab tunduvalt arvutuste mahtu automaatjuhtimissüsteemide analüüsil ja sünteesil.

18

Ws y

Näide 2.12.

Näites 2.5. käsitleti RLC-ahelat, mille väljundsuuruseks oleks kondensaatori pinge ning sisendsuuruseks toitepinge. Sellele vastav ülekandefunktsioon määratakse järgmiselt

ust =RC⋅d u y t

dtLC⋅

d 2u y t dt 2 u y t ⊶ us p=RC⋅p⋅u y pLC⋅p2⋅uy pu y p

W p =uy pus p

= 1LC⋅p2RC⋅p1

.

Tehes asendused RC=T 2 ja LR=T 1 saab ülekandefunktsioon kuju

W p =uy pus p

= KT 1 T 2⋅p2T 2⋅p1

.

Näide 2.13.

Näites 2.8 avaldati alalisvooluajami kujutisfunktsioon

us p=J⋅Lk m⋅ p⋅p2 J⋅R

k m⋅ p ⋅pk m⋅ p

Rk m⋅T k p

Lk m⋅p⋅T k p .

Antud funktsioonis on kolm mitteparameetrilist suurust, us, ω ja Tk. Ülekandefunktsioon eeldab aga ainult kaht mitteparameetrilist suurust, mistõttu tuleb valida sisendsuurus ja väljundsuurus ning kolmas suurus võrdustada nulliga. Kuna elektriajamit juhitakse pingega, siis sobib see sisendsuuruseks. Koormusmoment on aga juhuslik suurus, mida ei ole võimalik alati suunata, mistõttu võiks seda vaadelda pigem häiringuna kui juhttoimena või väljundina. Kiirust seevastu on kerge juhtida ja veel kergem mõõta (nt. tahhogeneraatoriga), mistõttu on see sobiv väljundsuuruseks. Seega tegemist on ühe väljundsuuruse ja kahe sisendsuurusega (ka häiring on sisend), seega on avaldatav kaks ülekandefunktsiooni

W j p= pus p

= 1J⋅Lk m⋅p2 J⋅R

k m⋅pk m

,

W h p= pT k p

=−RL⋅p

k m

J⋅Lk m⋅p2 J⋅R

k m⋅pk m

.

Peale korrastamist ja asendades 1

k m=K ,

J⋅Rk m

2 =T 2 ning LR=T 1 on tulemuseks

W j p= pus p

= KT 1T 2⋅p

2T 2⋅p1,

W h p= pT k p

=

− RL⋅pk m

2

T 1 T 2⋅p2T 2⋅p1.

19

Neid nimetatakse vastavalt juhtimise ülekandefunktsiooniks ja häiringu ülekande-funktsiooniks. Kumbki kirjeldab ühe väljundi sõltuvust erinevast sisendist ning nagu täheldada võib ülekandefunktsioonid erinevad ja etteruttavalt võib mainida, et kui ajam on häälestatud ideaalsele juhttoimete täitmisele, siis häiringu mõju vähendamine on vähem efektiivne ja sama kehtib vastupidisele juhule. Selle probleemi juurde naastakse hilisemates peatükkides.

Kui võrrelda RLC-ahela ja alalisvooluajami juhtimise ülekandefunktsioone, siis võib veenduda, et matemaatiliselt on tegemist sarnaste süsteemidega, kuigi füüsikaline taust on neil erinev. Sellest võib järeldada, et süsteemid käituvad sarnaselt, mistõttu võib neid kirjeldada ja juhtida sarnaselt ehk neile on rakendatavad tüüplahendused ning neid võiks nimetada tüüplülideks. Tüüplülisid käsitletakse peatükis 2.5.

2.2.3. Bode diagrammBode diagrammi nimetatakse teisiti ka logaritmiliseks amplituudi-faasi sagedus-karakteristikuks. Tegemist on ülekandefunktsiooni graafilise esitusega, mis iseloomustab süsteemi omadusi sõltuvalt sagedusest. Seda kasutatakse rohkem akustikas ja filtrite arvutusel, kuna neilt on võimalik näha kas antud objekt antud sagedusel põhjustab signaali sumbumist või võimendust ja milline faasinihe toimub signaaliga. Automaatikas ei ole küll tegemist pidevate sagedusrežiimidega, kuid süsteemi analüüsiks on Bode diagramm kasulik, sest süsteemi stabiilsuse määramine graafikult on lihtne (vt. ka jaotis 3.1).

Kasutusel on kaks erinevat Bode diagrammi esitlusviisi, kuid ajalooliselt on Eestis väljakujunenud esitlusviis, kus logaritmilise amplituudi mõõtühikuks on detsibell (dB), mida kasutatakse suhtelise võimendustegurina. Samuti võimaldavad suhtelised ühikud erinevaid objekte graafiliselt liita.

Kirjeldades ühe objekti väljund- ja sisendvõimsuse suhet kasutatakse logaritmilist kirjeldusviisi, mis lihtsustab nende esitamise graafikuna Matemaatiliselt avaldub see

L=logPv

P s(2.6)

ja ühikuks on 1 bell, mis tähendab võimsuste suhet 10:1. Kuna tihti on tegemist väiksemate suhtarvudega, siis kasutatakse ühikuna detsibelli

L=10⋅logP v

P s(2.7)

Ühik (detsi)bell oli algselt seotud võimsuse ehk „ruutsuurusega“, siis lineaarsete suuruste jaoks kehtib elektrotehnikast tuntud suhte P ~ I2 alusel

L=10⋅logP v

P s=10⋅log

I v2

I s2=20⋅log

I v

I s=20⋅log K . (2.8)

Ülekandefunktsioonist üleminek logaritmilisele kujule toimub tingimusel, et p = jω

log W p= logW j=log K e j= log K j , (2.10)

kuid kui konstrueeritakse käsitsi Bode diagrammi, siis lahendatakse see asümptootidega.

20

Näide 2.13.

Olgu antud ülekandefunktsioon

W p =K⋅1 p⋅T 1

1 p⋅T 2,

millest esitatakse sagedusfunktsioon

W j=K⋅1 j⋅T 1

1 j⋅T 2.

Sagedusfunktsiooni võib jaotada kaheks eraldiseisvaks funktsiooniks

W 1 j=1 j⋅T 1 ja W 2 j= K1 j⋅T 2

.

Neile funktsioonidele määratakse murdesagedused

1=1T 1

ja 2=1

T 2.

Lähtuvalt murdesagedustest määratakse kummagi funktsiooni asümptoodid

W 1 j=1T 1 j∣≪1

=1

W 1 j=1T 1 j∣≫1

=T 1 j1 ,

W 2 j= K1 j⋅T 2

∣≪2

=K

W 2 j= K1 j⋅T 2

∣≫2

=KT 2 j−1

.

Sagedusmuutuja astmenäitaja näitab asümptoodi kallet. Positiivse astmenäitaja korral siirdub asümptood üles ja negatiivse puhul alla. Astmenäitaja väärtus kalde suuruse ehk mitu amplituudidekaadi (20 dB) muutub amplituud ühe sagedusdekaadi (10x) jooksul. Samuti on astmenäitajaga määratud faasinihked – märk näitab faasinihke suunda ja väärtus näitab mitu 90-kraadist faasinihet toimub.

Olgu diagrammi konstrueerimiseks antud K = 2, T1 = 2 s ja T2 = 0,5 s. Seega murdesagedused

1=1

2 s=0,5 s−1 ja 1=

10,5 s=2 s−1 .

Asümptoodid avalduvad

W 1.1 j=1 , W 1.2 j=2 s j , W 2.1 j=2 ja W 2.2 j=1 s−1 j−1 .

Võimendutegurite logaritmid

L1.1=20⋅log1=0 ja L2.1=20⋅log 2=6,02 .

21

Joonis 2.10. Bode diagrammi asümptoodid

Bode diagramm konstrueeritakse lähtudes eelnevatest arvutustest järgnevalt:

Samm 1 Esimese ülekandefunktsiooni võimendustegur on 0 dB kuni esimese murdesageduseni.

Samm 2 Peale murdesagedust hakkab võimendustegur kasvama kiirusega 20 dB dekaadi kohta.

Samm 3 Teise ülekandefunktsiooni võimendutegur on 6,02 dB kuni teise murdesageduseni.Samm 4 Peale murdesagedust hakkab võimendus tegur vähenema kiirusega 20 dB dekaadi

kohta.Samm 5 Eri funktsioonide võimendustegurid võib liita aritmeetiliselt, seega süsteemi

võimendutegur on 6,02 dB kuni esimese murdesageduseni.Samm 6 Peale esimest murdesagedust hakkab kasvama ka esimese funktsiooni

võimendustegur ja seega ka kogu süsteemi võimendustegur kiirusega 20 dB dekaadi kohta.

Samm 7 Peale teist murdesagedust hakkab kahanema teise funktsiooni võimendustegur ning kuna kasvu- ja kahanemiskiirused on võrdsed, siis süsteemi võimendustegur ei kasva ega kahane enam.

Samm 8 Madalal sagedusel puudub esimesel alamsüsteemil faasinihe.Samm 9 Murdesagedusel toimub esimesel alamsüsteemil faasinihe positiivses suunas,

mille konstrueerimiseks märgitakse punkt, mille koordinaatideks on murde-sagedus ja pool faasinihke lõppväärtusest (antud juhul 45-kraadi). Läbi selle punkti tõmmatakse sirge, mis algab punktist, koordinaatidega algfaasinurk ja 0,7 dekaadi pikkust enne murdesagedust ning lõppeb punktis, mille koordinaatideks on lõppfaasinurk ja 0,7 dekaadi pikkust peale murdesagedust.

22

ω1 ω2

9

1

2

3

4

56

7

8

A

B

C

D

EF G

H

I KJL

Samm A Esimesel süsteemil rohkem murdesagedusi ei ole, seega ta säilitab eelmise sammu lõpus omandatud faasinurga.

Samm B Ka teine alamsüsteem alustab 0-kraadise faasinihkega.Samm C Antud alamsüsteemil toimub faasinihe negatiivses suunas, mis kontrueeritakse

sarnaselt sammule 9.Samm D Ka sellel süsteemil puuduvad ülejäänud murdesagedused, siis säilitab see eelmise

sammu lõpus määratud faasinihke.Samm E Kuna logaritmilisi süsteeme saab liita, siis matemaatika lihtsustamise huvides

nihutatakse teise alamsüsteemi faasi-sagedustunnusjoon 90-kraadi võrra üles.Samm F Faasinihke protsessid kattuvad osaliselt ja selle alumist piiri sageduse järgi

kirjeldab vertikaal joon.Samm G Sarnane sammuga F, kirjeldades ülemise piiri määramist.Samm H Liites kaks süsteemi on tulemuseks kuni esimese faasinihkeprotsessini üldine

faasinihe, mis on võrdne 0-ga.Samm I Esimene alamsüsteem tekitab positiivse faasinihke kuni ülekatte alumise piiriniSamm J Ülekatte piiride vahel on mõlema protsessi kalle võrdne, aga vastasmärgiline,

mistõttu süsteem säilitab eelmise sammuga saavutatud faasinihke.Samm K Peale ülemist ülekattepiiri mõjutab kogu süsteemi teine alamsüsteem,mis tekitab

negatiivse faasinihke.Samm L Kuna süsteemil puuduvad edasised murdesagedused, siis säilib eelmise sammuga

määratud faasinihe.

Joonis 2.11. Arvutatud Bode diagramm

23

2.2.4. StruktuuriskeemidJuhul kui süsteem osutub keerukaks esitatakse struktuuriskeemina üksikutest ülekande-funktsioonidest koosnevana, mis tihti võib hõlbustada süsteemis toimuvate protsesside mõistmist.

Näide 2.14.

Joonis 2.12. Võõrergutusega alalisvoolumootori struktuuriskeem

Esimene ülekandefunktsioon kirjeldab pingesignaali muundamist voolusignaaliks, mis omakorda muundatakse masinamomendiks. Masinamomendi ja koormusmomendi vahe on dünaamiline moment, mille jagamisel inertsmomendiga ning integreerides saadakse kiiruse signaal. Kiirussignaali omakorda integreerides on tulemuseks ankru positsioon [6].

Ning kuna tegemist on lihtsate struktuuridega, siis on avaldatav ülekandefunktsioon juhtimisele

W j p= p U p

=

1R

1 p LR

⋅k m⋅1

p J

1

1R

1p LR

⋅k m⋅1

p J⋅km

,

mis peale lihtsustamist ja asendusi taandub kujule

W j p= p U p

= KT 1T 2⋅p2T 2⋅p1

.

Sama ülekandefunktsioon määrati ka näites 2.8.

Juhul, kui automaatjuhtimissüsteem ei ole esitatud lihtsate struktuuriskeemidena, siis sellise süsteemi ülekandefunktsioonide leidmiseks on järgmised võimalused:

● teisendada struktuuriskeem lihtsateks skeemideks;● esitada struktuuriskeem avatud ahelatega;● kasutada Mason'i valemit.

Eelnimetatud lahendamismeetodeid uuritakse joonisel 2.13 kujutatud automaatjuhtimis-süsteemi ülekandefunktsiooni leidmisel [2].

24

1/R 1+p L/R

U - 1 pJ

Tm 1 2π

km

km

-

I

E

φ

ω

Tk

Td

Joonis 2.13. Automaatjuhtimissüsteemi struktuuriskeem

2.2.4.1. Ülekandefunktsiooni määramine teisenduste abilStruktuuriskeemi ülekandefunktsiooni määramisel teisenduste abil tuleb alustada struktuuriskeemi keskelt, kus on võimalik määrata lihtne struktuuriskeemi osa, millele on võimalik määrata üheselt üks sisend ja üks väljund. Lihtsad struktuuriskeemid esitati esimeses peatükis.

Joonisel 2.13 kujutatud automaatjuhtimissüsteemi keskpunktiks võiks lugeda ülekandelüli W3, mis moodustaks lüliga W8 rööpstruktuuri, kui puuduks summeerimissõlm lüli W3 sisendis. Sellest järeldub, et antud skeemil puuduvad lihtsad struktuurid ehk struktuuri tuleb teisendada. Teisendada saab hargnemis- ja summeerimissõlmi lüli sisendist väljundisse ja vastupidi, seejuures peale teisendust ei muutuks signaalide väärtused.

Joonis 2.14. Hargnemissõlme teisendamine sisendist väljundisse

Joonis 2.15. Hargnemissõlme teisendamine väljundist sisendisse

25

W1 W2 W3 W4

W6

W8

W7

W5

- - +

+s y

Wys1

s1

Wys1

s1

Wys1

s1

1 / W

Wys1

Wys1

y

Wys1

y

W

Joonis 2.16. Summeerimissõlme teisendamine sisendist väljundisse

Joonis 2.17. Summeerimissõlme teisendamine väljundist sisendisse

Näide 2.15.

Lähtudes nendest teisendamisreeglitest võib teisendada summeerimissõlme lüli W3 sisendist väljundisse, mille tulemusena struktuurskeem saab kuju

Joonis 2.18. Teisendatud skeem peale 1. sammu

Peale teisendust tekib struktuuriskeemi kaks lihtsat struktuuri osa, mille võib asendada ekvivalentsete ülekandelülidega, millede ülekandefunktsioonid avalduvad

W e1=W 3W 8

ja

W e2=W 3⋅W 6

ning struktuuriskeem saab kuju (joonis 2.19), milles tekib uus lihte struktuuri osa, mille ülekandefunktsioon avaldub

W e3=W e1⋅W 2=W 3W 8⋅W 2 .

26

Wy

Wy

Ws1

W

s1

s2 s2

y

Wy

Wy

Ws1

1 / W

s1

s2 s2

y

W1 W2 W3 W4

W3

W8

W7

W5

- -

s y

W6We1

We2

Joonis 2.19. Teisendatud skeem peale 2. sammu

Joonis 2.20. Teisendatud skeem peale 3. sammu

Järgnevaks sammuks on summeerimissõlme teisendamine ülekandelüli We3 väljundist sisendisse.

Joonis 2.21. Teisendatud skeem peale 4. sammu

Peale teisendust tekkis skeemi kaks järjekordset lihtsat struktuuri, mis millede ülekandefunktsioonid avalduvad

W e4=W e2

W e3=

W 3⋅W 6

W 3W 8⋅W 2

ja

W e5=W e3

1W e3⋅W 7=

W 3W 8⋅W 2

1W 3W 8⋅W 2⋅W 7.

27

W1 W2 We1 W4

W7

W5

- -

s y

We2We3

W1 We3 W4

W7

W5

- -

s y

We2

W1 We3 W4

W7

W5

- -

s y

We21 / We3

We4

We5

Joonis 2.22. Teisendatud struktuuriskeem peale 5. sammu

Tekkiva jadastruktuuri ekvivalent ülekandelüli

W e6=W e5⋅W 4=W 3W 8⋅W 2⋅W 4

1W 3W 8⋅W 2⋅W 7

moodustab lüliga We4 tagasisidestatud struktuuri, mille ekvivalent on

W e7=W e6

1−W e4⋅W e6=

W 3W 8⋅W 2⋅W 4

1W 3W 8⋅W 2⋅W 7

1−W 3⋅W 6

W 3W 8⋅W 2⋅W 3W 8⋅W 2⋅W 4

1W 3W 8⋅W 2⋅W 7

=

=W 3W 8⋅W 2⋅W 4

1W 2⋅W 3⋅W 7W 2⋅W 7⋅W 8−W 3⋅W 4⋅W 6

.

Joonis 2.23. Teisendatud struktuur peale 7. sammu

Eelviimaseks teisenduseks on jadastruktuuri teisendus

W e8=W 1⋅W e7=W 3W 8⋅W 2⋅W 4⋅W 1

1W 2⋅W 3⋅W 7W 2⋅W 7⋅W 8−W 3⋅W 4⋅W 6,

mis viimaseks teisenduseks moodustab tagasisidestatud struktuuri päriülekande. Viimase teisenduse tulemuseks on kogu süsteemi ülekandefunktsioon

W=W e8

1W e8⋅W 5=

W 3W 8⋅W 2⋅W 4⋅W 1

1W 2⋅W 3⋅W 7W 2⋅W 7⋅W 8−W 3⋅W 4⋅W 6

1W 3W 8⋅W 2⋅W 4⋅W 1

1W 2⋅W 3⋅W 7W 2⋅W 7⋅W 8−W 3⋅W 4⋅W 6⋅W 5

=

=W 1⋅W 2⋅W 3⋅W4W 1⋅W 2⋅W 4⋅W 8

1W 1⋅W 2⋅W 3⋅W 4⋅W 5W 1⋅W 2⋅W 4⋅W 5⋅W 8W 2⋅W 3⋅W 7W 2⋅W 7⋅W 8−W 3⋅W 4⋅W 6

.

28

W1 We5 W4

W5

-

s y

We4We7

We6

W1 We7

W5

-

s yWe8

2.2.4.2. Avatud ahelatega struktuuriskeemi ülekandefunktsiooni määramineNäide 2.16.

Antud meetod on tõhus teiste meetoditega määratud automaatjuhtimissüsteemi ülekandefunktsiooni õigsuse kontrollimiseks. Joonisel 2.13 esitatud skeemi hargnemis-punktide lahtiühendamisel saadakse joonisel 2.24 esitatud avatud ahelatega struktuuriskeem

Joonis 2.24. Avatud ahelatega struktuuriskeem

Arvutuste lihtsustamiseks lisatakse süsteemi vahemuutujad xi. Vahemuutujate asendamisel jälgitakse, et nende hulk oleks piisav kirjeldamaks süsteemi peale hargemispunktide lõhkumist. Vahemuutujaid võib käsitleda ka olekumuutujatena. Järgenvalt kirjeldatakse iga olekumuutujat, peale sisendi, võrrandiga teiste olekumuutujate kaudu

y=W 4⋅x4

x4=x3W 8⋅x2

x3=W 3⋅x2W 6⋅y x2=W 2⋅ x1−W 7⋅x4x1=W 1⋅s−W 5⋅y

.

Avaldamaks väljundsignaali sisendsignaalist lahendatakse võrrandisüsteem asendusmeetodil.

x2=W 2⋅[W 1⋅ s−W 5⋅y−W 7⋅x4 ]=W 1⋅W 2⋅s−W 2⋅W 5⋅y−W 2⋅W 7⋅x 4

x3=W 3⋅[W 1⋅W 2⋅s−W 2⋅W 5⋅y−W 2⋅W 7⋅x4W 6⋅y ]==W 1⋅W 2⋅W 3⋅s−W 2⋅W 3⋅W 5⋅y−W 2⋅W 3⋅W 7⋅x4W 3⋅W 6⋅y

x4=W 1⋅W 2⋅W 3⋅s−W 2⋅W 3⋅W 5⋅y−W 2⋅W 3⋅W 7⋅x4W 3⋅W 6⋅yW 8⋅[W 1⋅W 2⋅s−W 2⋅W 5⋅y−W 2⋅W 7⋅x4 ]⇒

x4=W 1⋅W 2⋅W 3W 1⋅W 2⋅W 8⋅s−W 1⋅W 2⋅W 3⋅W 5−W 3⋅W 6W 1⋅W 2⋅W 5⋅W 8⋅y

1W 2⋅W 3⋅W 7W 2⋅W 7⋅W 8

y=W 4⋅W 1⋅W 2⋅W 3W 1⋅W 2⋅W 8⋅s−W 1⋅W 2⋅W 3⋅W 5−W 3⋅W 6W 1⋅W 2⋅W 5⋅W 8⋅y

1W 2⋅W 3⋅W 7W 2⋅W 7⋅W 8⇒

W=W 1⋅W 2⋅W 3⋅W4W 1⋅W 2⋅W 4⋅W 8

1W 1⋅W 2⋅W 3⋅W 4⋅W 5W 1⋅W 2⋅W 4⋅W 5⋅W 8W 2⋅W 3⋅W 7W 2⋅W 7⋅W 8−W 3⋅W 4⋅W 6.

29

W1 W2 W3 W4

W6

W8W7W5

- - +

+s yx1 x2 x3 x4

y

yx2x4

2.2.4.3. Ülekandefunktsiooni määramine Mason'i valemi abilAutomaatjuhtimissüsteemide struktuuride teisendamiseks saab edukalt kasutada graafiteooriat, mis on dikreetse matemaatika haru, käsitledes süsteemi elementide topoloogiat. Sellest valdkonnast pärineb S. J. Mason'i valem, mille lihtsustatud kuju võib kasutada erakkontuurideta struktuuriskeemide lihtsustamiseks. Erakkontuurideks nimetatakse tagasisidestatud struktuuriskeemi osasid, mis ei oma ühiseid elemente.

Lihtsustatud Mason'i valemit kasutatakse joonisel 2.13 kujutatud struktuuriskeemi korral, kus kõik tagasisidestatud kontuurid sisaldavad elemente, mis on kaasatud ka mõnda teise tagasisidestatud kontuuri ehk puuduvad erakkontuurid ehk struktuurskeemi lihtsustamiseks on kasutatav järgmine valem [2].

W=W o j

1∓W ki, (2.11)

kus Woj – j-nda päriahela ülekandefunktsioon;Wki – i-nda lahtiühendatud tagasisidega kontuuri ülekandefunktsioon.

Kui tagasiside on negatiivne, siis Wki on „+“-märgiga, positiivse tagasiside korral aga „-“-märgiga.

Näide 2.17.

Joonisel 2.13 kujutatud struktuuriskeemilt võib märkida kaks päriahelat

W o 1=W 1⋅W 2⋅W 3⋅W 4

W o 2=W 1⋅W 2⋅W 4⋅W 8 .

Samuti võib märkida skeemilt viis tagasisidekontuuri, millede avatud kontuuri ülekandefunktsioonid avalduvad

W k 1=W 1⋅W 2⋅W 3⋅W 4⋅W 5

W k 2=W 1⋅W 2⋅W 4⋅W 5⋅W 8

W k 3=W 2⋅W 3⋅W 7

W k 4=W 2⋅W 7⋅W 8

W k 3=−W 3⋅W 4⋅W 6 .

Asendades leitud ülekandefunktsioonid valemisse (2.11) on tulemuseks

W=W 1⋅W 2⋅W 3⋅W4W 1⋅W 2⋅W 4⋅W 8

1W 1⋅W 2⋅W 3⋅W 4⋅W 5W 1⋅W 2⋅W 4⋅W 5⋅W 8W 2⋅W 3⋅W 7W 2⋅W 7⋅W 8−W 3⋅W 4⋅W 6.

Mason'i täisvalem leiab kasutust kui tegemist on erakkontuuridega. Vastavalt eespool toodud erakkontuuride definitsioonile on joonisel 2.25 kujutatud vastavat automaatjuhtimissüsteemi struktuuri. Sellise struktuuri lihtsustamiseks leiab kasutust valem [7]

W=W o j⋅ j

, (2.12)

kus Δ – automaatjuhtimissüsteemi determinant;Δj – j-nda päriahela determinant.

30

Automaatjuhtimissüsteemi determinant arvutatakse

=1−W k iW ej⋅W ek∣ j≠k−W ej⋅W ek⋅W el∣ j≠ k≠l... , (2.13)

kus Wex – lahtiühendatud erakkontuuri ülekandefunktsioon.

Päriahela determinant kasutatakse sarnaselt süsteemi determinandiga, määrates peale i-nda päriahela kustutamist terveks jäävad kontuurid.

Näide 2.18.

Joonis 2.25. Erakkontuuridega automaatjuhtimissüsteem

Antud struktuuriskeemil on kolm tagasisidestatud kontuuri, milledes kahel puuduvad omavahelised ühised elemendid ehk tegemist on kahe erakkontuuriga.

Struktuuriskeemist võib märkida päriahela ülekandefunktsiooni

W o 1=W 1⋅W 2⋅W 4⋅W 5⋅W 7

ja kolme lahtiühendatud tagasisidega struktuuri ülekandefunktsiooni

W k1=−W 1⋅W 2⋅W 4⋅W 5⋅W 7⋅W 8

W k2=−W 2⋅W 3

W k3=−W 5⋅W 6

,

milledest kaks on ka erakkontuurid

W e1=−W 2⋅W 3

W e2=−W 5⋅W 6.

Määramaks struktuuri determinanti, asetatakse leitud ülekandefunktsioonid võrrandisse (2.13)

=1W 1⋅W 2⋅W 4⋅W 5⋅W 7⋅W 8W 2⋅W 3W 5⋅W 6W 2⋅W 3⋅W 5⋅W 6 .

Päriahela kustutamisel katkevad kõik kontuurid, mistõttu selle determinant on võrdne 1. Asetades tulemused valemisse (2.12) on tulemuseks süsteemi ülekandefunktsioon

W=W 1⋅W 2⋅W 4⋅W 5⋅W 7⋅1

1W 1⋅W 2⋅W 4⋅W 5⋅W 7⋅W 8W 2⋅W 3W 5⋅W 6W 2⋅W 3⋅W 5⋅W 6.

31

W1 W2 W4 W5

W8

W6W3

W7-

s

y

-

-

2.3. Süsteemide kirjeldamine olekuvõrranditegaJaotises 1.2 käsitleti lühidalt olekuvõrrandeid, mis esitati matemaatiliselt võrrandiga (1.7)

x=A⋅xB⋅uy=C⋅xD⋅u .

Pidevatele süsteemidele on võimalik koostada olekuvõrrandid lähtudes diferentsiaal-võrranditest või struktuuriskeemist [2].

2.3.1. Olekuvõrrandite määramine diferentsiaalvõrranditestNäide 2.19.

Määrates näitest 2.8 tuttavale alalisvooluajamile, mille kiirust reguleeritakse, olekuvõrrandid, avaldatakse esmalt ajami diferentsiaalvõrrandid

ust =R⋅i t L⋅d i t dtk m⋅t

J⋅d t

dt=k m⋅i t −T k t

.

Peale võrrandite korrastamist saavad viimased kuju

d i t dt=−R

L⋅i t−

k m

L⋅t1

L⋅ust

d tdt=

k m

J⋅i t −1

J⋅T k t

,

mis maatrikskujul esitatuna

[ d i t dt

d t dt]

x

=[−RL−

k m

Lk m

J0 ]

A

⋅[ i t t ]x

[ 1L 0

0 −1J ]

B

⋅[ ust T k t ]

u

.

Kiirusjuhtimisega ajamil jälgitakse tavaliselt nii voolu kui ka kiirust. Voolu jälgimise põhjuseid käsitletakse pikemalt automaatjuhtimissüsteemi sünteesi käigus. Lähtudes olekuvõrrandist ja väljundmuutujatest on avaldatav väljundvõrrand

[ i t t ]y

=[1 00 1]

C

⋅[ i t t ]x

[0 00 0]

D

⋅[u st T k t ]

u.

Näide 2.20.

Rakendades eelmises näites kirjeldatud ajamil positsioonjuhtimist, esituvad diferentsiaal-võrrandid järgmiselt

32

d i t dt=−R

L⋅i t−

k m

L⋅t1

L⋅ust

d tdt=

k m

J⋅i t −1

J⋅T k t

d tdt=t

ning olekuvõrrandid saavad kuju

[d i t

dtdt

dtdt

dt]

x

=[−RL−

k m

L0

k m

J 0 0

0 1 0]

A

⋅[ i t t t ]

x

[ 1L 0

0 −1J

0 0]

B

⋅[ ust T k t ]

u

[ i t t t ]y

=[1 0 00 1 00 0 1]

C

⋅[ i t t t ]x

[0 00 00 0]

D

⋅[us t T k t ]

u.

2.3.2. Olekuvõrrandite määramine struktuuriskeemistNäide 2.21.

Joonis 2.26. Automaatjuhtimissüsteem

Kasutades avatud ahelatega struktuuriskeemi põhimõtet võib kirjutada

y=k 5

T 5⋅p⋅ x4−k 10⋅s2

x4=k 4

T 4⋅p1⋅x3−k 6⋅y

33

k1

k 2

T2p k 3

T3p+1 k 4

T4p+1

k10

k8

k7

k 5

T5p-

s2

y-

k9

k6

-s1 x1 x2 x3 x4

-

x3=k 3

T 3⋅p1⋅[ x2k 7⋅x1−k 8⋅x4]

x2=k 2

T 2⋅p⋅ x1−k 8⋅x4

x1=k1⋅ s1−k9⋅y .

Võrrandid korrastades viiakse operaatormuutuja võrdusmärgist vasakule ja olekumuutujad järjestatakse indeksi järgi. Kuna viimases võrrandis puudub operaatormuutuja, siis asendatakse see teistesse võrranditesse

p y=k5

T 5⋅x4−

k 5⋅k 10

T 5⋅s2

p x4=−k 4⋅k6

T 4⋅y− 1

T 4⋅x 4

k 4

T 4⋅x3

p x3=−k1⋅k 3⋅k 7⋅k9

T 3⋅y−

k 3⋅k7⋅k 8

T 3⋅x4−

1T 3⋅x3

k 3

T 3⋅x2

k 1⋅k 3⋅k7

T 3⋅s1

p x2=−k 1⋅k 2⋅k9

T 2⋅y−

k 2⋅k 8

T 2⋅x 4

k 1⋅k 2

T 2⋅s1 .

Esitades maatriksid üldkujul

[ p yp x4

p x3

p x2]

x

=[a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44]

A

⋅[ yx4

x3

x2]

x

[b11 b12

b21 b22

b31 b32

b41 b42]

B

⋅[ s1

s2]u

[ y ]y=[c11 c12 c13 c14 ]

C

⋅[ yx4

x3

x2]

x

[d 11 d 12]D

⋅[ s1

s2]u

ning kasutades konstantide võrdlusprintsiipi võib avaldada

a12=k5

T 5a21=−

k 4⋅k 6

T 4a22=−

1T 4

a23=k 4

T 4a31=−

k1⋅k 3⋅k 7⋅k 9

T 3

a32=−k 3⋅k7⋅k 8

T 3a33=−

1T 3

a34=k3

T 3a41=−

k 1⋅k2⋅k 9

T 2a42=−

k 2⋅k 8

T 2

b12=−k5⋅k 10

T 5b31=

k 1⋅k 3⋅k7

T 3b41=

k 1⋅k 2

T 2c11=1

Avaldamata konstandid on võrdsed nulliga.

34

2.4. Süsteemide kirjeldamine karakteristikutegaKui süsteemide kirjeldamiseks ei ole võimalust kasutada matemaatilist lähenemist, nt. tegemist on parendatava seadmega, mille kohta on puudulikud andmed, ehk musta kastiga, siis uuritakse seadme või protsessi karakteristikuid. Karakteristik on protsessi graafiline kirjeldus. Eristatakse kahte liiki karakteristikuid – dünaamilisi ja staatilisi. Dünaamiline karakteristik iseloomustab siirdeprotsesse ehk seadme väljundsuuruse üleminekut ühelt väärtuselt teisele ja seda aja lõikes. Selliseid karakteristikuid nimetatakse ka siirde-karakteristikuteks. Staatilised karakteristikud kirjeldavad aga seadme väljundi sõltuvust kõikidest sisenditest, k. a. häiringutest, tingimusel, et siirdeprotsessid seadmes on lõppenud. Kumba karakteristikut seadme uurimiseks kasutada sõltub uurimise eesmärgist. Dünaamiline karakteristik kirjeldab kiireid protsesse ehk neid kasutatakse kui tähtsust omavad siirdeprotsessi kvaliteet ja kestus, nt. automaatfreespink. Staatilised karakteristikud pakuvad huvi juhul, kui siirdeprotsessi parameetrid ei mõjuta märkimisväärselt seadme tööd, nt. tavaline veepump.

2.4.1. Dünaamiline karakteristikDünaamiline karakteristik kujutab endast seadme või protsessi vastust sisendsignaalile. Seda võib nimetada ka signaalikajaks. Kuna sisendsignaale võib olla erinevaid (erinev amplituud, erinev signaalikulg ajas jne.), siis võrdlemaks erinevaid seadmeid omavahel kasutatakse identifitseerimiseks järgnevaid sisendfunktsioone [3]:

● ühikhüpe;● ühikimpulss;● lineaarfunktsioon;● koosiinusfunktsioon.

Ühikhüppe kulgu ajas kirjeldab karakteristik joonisel 2.27. Matemaatiline esitusviis sellisele funktsioonile on

t =0 , kui t01 , kui t≥0 . (2.14)

Juhul kui tegemist on reaalse seadmega, mille matemaatilist kirjeldusviisi otsitakse, siis rakenda-takse ühikhüppele vastav signaal seadme sisendile ja väljundsignaal võetakse üles. Peale siirdeprotsessi lõppu määratakse seadme matemaatiline esitusviis ülevõetud graafikult, nt. jooniselt 2.28 loetakse

h t =K⋅1−e− t

T

Kui tegemist on projekteeritava seadmega, mida soovitakse simuleerida, siis lahendatakse seadet kirjeldav diferentsiaalvõrrand tingimusel, et sisend-signaal on konstantselt 1 ja ajal lastakse joosta lõpmatusse.

35

Joonis 2.27. Ühikhüpe

K

t

1

Joonis 2.28. Hüppekaja

K

t

KT

Ühikimpulsi kulgu ajas kirjeldab karakteristik joonisel 2.29. Matemaatiline esitusviis sellisele funktsioonile on

t = 0 , kui t≠0∞ , kui t=0 . (2.15)

Seda funktsiooni nimetatakse ka Dirac funktsiooniks. Kuna lõpmatus on määramatu suurus, siis praktikas realiseeritakse impulss nii, et selle pindala võrduks 1-ga, sellal kui kestus läheneb nullile. Seejuures jälgitakse ka amplituudi, et see ei ületaks seadmele lubatavat maksimaalset signaali, nt. kui ühendusjuhtmete isolatsioon on mõeldud kasutamiseks kuni 1 kV, siis ei tohi rakendada pingeimpulssi suurema amplituudiga. Nagu ka hüppekajast on võimalik impulsikajast määrata seadet iseloomustav võrrand, nt. jooniselt 2.30

w t= KT⋅e− t

T .

Nii joonise 2.28 kui ka joonisel 2.30 on tegelikult kirjeldatud sama seadet, millele anti erinevad sisendsignaalid. Kui tegemist on sama süsteemiga, siis peaks olema nende kahe signaali vahel ka matemaatiline seos, milleks on

h t =∫wt dt (2.16)

ning graafiliselt esitatuna need seosed on joonisel 2.31.

Joonis 2.31. Graafiline seos ühikimpulsi ja -hüpe vahel

Lineaarfunktsiooni kulgu ajas kirjeldab karakteristik joonisel 2.32. Matemaatiline esitusviis sellisele funktsioonile on

Rt =K1⋅t . (2.17)

Lineaarfunktsioonist tingitud seadme väljundi muutust ajas tähistatakse f(t), nt. juba tuttava

36

Joonis 2.30. Impulsikaja

K

t

KT

Joonis 2.29. Ühikimpulss

K

t

∞

0

1

δ(t)

σ(t)

∫

Protsess

Protsess

Laplace

Laplace

∫ 1p

w(t)

h(t)

W(p)

H(p)

Aegruum Sagedusruum

seadme lineaarfunktsiooni kaja avaldis

f t=K⋅t−TT⋅e− t

T

Joonisel 2.33 on kujutatud kahe eelneva funktsiooniga uuritud süsteemi signaali kaja, millelt on võimalik määrata süsteemi ajakonstanti. Kui pikendada puutujat ordinaatteljeni, siis lõikepunkti kaudu on võimalik määrata seadme võimendustegur.

Koosinusfunktsiooni kulgu ajas kirjeldab karakteristik joonisel 2.34. Matemaatiline esitusviis sellisele funktsioonile on

s t =s⋅cos ⋅t . (2.18)

Koosinusfunktsiooni kasutatakse uurimaks seadme või protsessi ajalisi omadusi. Seejuures ei pöörata rõhku mitte siirdeprotsessile, mis järgneb sisendi rakendamisele, vaid amplituudi muutusele ja faasinihkele, sest väljakujunenud olukorras on seadme väljundsignaali sagedus võrdne sisendsignaali sagedusega. Seni uuritud seadme signaalikaja koosinusfunktsioonile on toodud joonisel 2.35.

37

Joonis 2.32. Lineaarfunktsioon

K

t

K1 ∙t

Joonis 2.33. Signaalikaja

K

t

TK1K T

Joonis 2.34. Koosinusfunktsioon

K

t

T

ŝ

Joonis 2.35. Signaalikaja

K

t

T

ŝ

2.4.2. Staatiline karakteristikStaatiline karakteristik kirjeldab süsteemi väljakujunenud olukorras, mis on avaldatav joonisel 2.36 kujutatud automaatjuhtimissüsteemi väljundsuuruse operaatorkujust [3], [8]

y p =W R⋅W P

1∓W R⋅W P⋅s p

W P

1∓W R⋅W P⋅n p . (2.19)

Võrrand (2.19) kirjeldab suletud süsteemi väljundsuurust, kuid avatud süsteemi korral avalduks võrrand teisiti

y p =W R⋅W P⋅s pW P⋅n p . (2.20)

Määramaks väljundsuuruse väljakujunenud väärtust lahendatakse eelnimetatud võrrand (olenevalt süsteemist) järgnevalt

yst t =limp0

p⋅y p , (2.21)

mida lahendatakse iga erineva seadesuuruse ja häiringu väärtuse kohta. Reaalsete eksisteerivate süsteemide korral rakendatakse süsteemile seadesuurus, hinnatakse ja kui võimalik mõjutatakse häiringu suurust ning mõõdetakse väljundsuurust. Selle tulemusena on võimalik esitada tulemused graafiliselt.

Joonis 2.37. Staatiline karakteristik

Sellelt graafikult on kerge lugeda väljundsuuruse väärtust, mingil kindlal seadesuuruse ja häiringuväärtusel. Samuti annab see hinnangu selle kohta, kui palju muutub väljundsuurus häiringu muutudes. Vanasti kasutati ka nende graafikute lineariseerimist tööpunkti ümbruses, kuid tänapäeval leiavad need karakteristikud vähem kasutust. Kasutusse on jäänud aga mõningad mõisted staatilistest karakteristikutest.

Staatiline ehk väljakujunenud väljundsuurus on väärtus, mille väljundsuurus saavutab, kui siirdeprotsessi algusest on möödunud lõpmata palju aega. See on arvutavav võrrandiga (2.21).

38

Joonis 2.36. Automaatjuhtimissüsteem

Regu-laator

Protsess

s

y

u

e±

n

Jääv reguleerimisviga on erinevus soovitud väljundsuuruse väärtuse ja realiseeritud väärtuse vahel. Matemaatiliselt avaldub see

xd st=limp0K⋅s p− y p , (2.22)

kus K – süsteemi planeeritud võimendustegur.

Regulaatori efektiivsus objekti püsirežiimis hoidmisel kirjeldab regulaatori võimet vähendada häiringute mõju süsteemile. Efektiivsuse hinnangu saab avaldada võrranditest (2.19) ja (2.20), kus avatud süsteem kirjeldab regulaatorita süsteemi ( WR = 1; s(p) = 0) ja suletud süsteem regulaatoriga süsteemi (s(p) = 0). Nende suhe ongi efektiivsuse hinnanguks.

yreg

y= 1

1∓W R⋅W P. (2.23)

Võrrandist (2.23) võib järeldada, et suletud kontuuriga süsteemis väheneb häiringu mõju 1-WRWP korda.

2.5. TüüplülidPeatükis 2.2.2. jõuti järeldusele, et kui RLC ahela kondensaatori pinget ja alalisvoolumootori kiirust juhtides sisendpingega, käituvad mõlemad süsteemid sarnaselt ja neid on võimalik kirjeldada sarnaste matemaatiliste võrranditega. Seega kui eksisteerivad matemaatiliselt sarnased juhtimisobjektid, siis eksisteerivad järelikult ka matemaatiliselt sarnased juhtseadmed, millest võib omakorda järeldada, et kui ühele juhtimisobjektile sobib mingi juhtseade, siis teisele sarnasele juhtimisobjektile sobib juhtseade, mis sarnaneb teise objekti juhtseadmega. Teisiti sõnastades – tegemist on juhtimise tüüplahendustega ja kasutust leidvaid automaatjuhtimissüsteemi lülisid nimetatakse seetõttu tüüplülideks [8].

2.5.1. ProportsionaallüliProportsionaallüli nimetatakse ka võimenduslüliks ja inertsi-vabalüliks, aga ka lühidalt P-lüli. P-lüli väljundsignaal muutub üheaegselt hüppelise sisendsignaaliga ja samuti hüppeliselt ilma hilinemiseta. Signaalinivoode erinevus on tingitud ainult võimendustegurist.

Diferentsiaalvõrrand: y t =K⋅s t (2.24)

Ülekandefunktsioon: W p =K (2.25)

Impulsikaja: w t =K⋅t (2.26)

Hüppekaja: h t =K⋅ t (2.27)

39

Joonis 2.38. P-lüli

ysK

Joonis 2.39. P-lüli K=1. a) hüppekaja, b) Bode diagramm

2.5.2. IntegreerimislüliIntegreerimislüli nimetatakse ka astaatiliseks lüliks ning I-lüliks. Ideaalne integreerimislüli väljundsignaal kasvab (või kahaneb) pidevalt püsiva kiirusega, kui xs ≠ 0 ja on konstantne. Kiiruse määrab hüppe suurus sisendil. Reaalsel integreerimislülil (kirjeldatav IT1-lüliga) on väljundsignaali kasvamiskiirus alghetkel null ja tõuseb pikkamööda lõpliku kiiruseni.

Diferentsiaalvõrrand: v t =K⋅u t (2.28)

Ülekandefunktsioon: W p =Kp (2.29)

Impulsikaja: w t=K⋅ t (2.30)

Hüppekaja: h t =K⋅t (2.31)

Joonis 2.41. I-lüli K=1. a) hüppekaja, b) Bode diagramm

40

a) b)

Joonis 2.40. I-lüli

ysK

a) b)

2.5.3. DiferentseerimislüliDiferentseerimislüli teine nimetus on D-lüli. Ideaalse diferentseerimislüli väljundsignaaliks on lõputult suure amplituudiga ülilühike impulss. Reaalse diferentseerimislüli (kirjeldatav DT1-lüliga) väljudsignaal kasvab väga kiiresti teatud lõpliku väärtuseni ja väheneb siis järkjärgult aeglustuva kiirusega nullini.

Diferentsiaalvõrrand: y t =K⋅s t (2.32)

Ülekandefunktsioon: W p =K⋅p (2.33)

Impulsikaja: w t =K⋅ddtt (2.34)

Hüppekaja: h t =K⋅t (2.35)

Joonis 2.43. D-lüli K=1. a) hüppekaja, b) Bode diagramm

2.5.4. Ajakonstandiga integreerimislüliAjakonstandiga integreerimislüli ehk lühidalt IT1 kirjeldab reaalset integreerimislüli, mis erinevalt ideaalsest omab moonutust väljundis.

Diferentsiaalvõrrand: T⋅y t y t =K⋅s t (2.36)

Ülekandefunktsioon: W p = Kp⋅1T⋅p (2.37)

Impulsikaja: w t =K⋅1−e− t

T (2.38)

Hüppekaja: h t =K⋅t−TT⋅e− t

T (2.39)

41

Joonis 2.42. D-lüli

ysK

a) b)

Joonis 2.44. IT1-lüli

ysK, T

Joonis 2.45. IT1-lüli K=1, T=1 s. a)hüppekaja, b) Bode diagramm

2.5.5. Ajakonstandiga diferentseerimislüliAjakonstandiga diferentseerimislüli ehk lühidalt DT1 kirjeldab reaalset diferentseerimislüli, mis erinevalt ideaalsest omab moonutust väljundis.

Diferentsiaalvõrrand: T⋅y t y t =K⋅s t (2.40)

Ülekandefunktsioon: W p = K⋅p1T⋅p (2.41)

Impulsikaja: w t =KTt − K

T 2⋅e− t

T (2.42)

Hüppekaja: h t = KT⋅e− t

T (2.43)

Joonis 2.47. DT1-lüli K=1, T=1 s. a) hüppekaja, b) Bode diagramm

42

a) b)

Joonis 2.46. DT1-lüli

ysK, T

a) b)

2.5.6. HilistuslüliHilistuslüli käitub nagu P-lüli, aga reageerides sisendile teatava hilinemisega. Hilistuslüli tähistatakse PTh-lüli.

Märkus! Bode diagramm on koostatud programmiga MathCAD.

Diferentsiaalvõrrand: y t =K⋅s t−T h (2.44)

Ülekandefunktsioon: W p =K⋅e−T h⋅p (2.45)

Impulsikaja: w t =K⋅t−T h (2.46)

Hüppekaja: h t =K⋅ t−T h (2.47)

Joonis 2.49. PTh-lüli K=1, Th=1 s. a) hüppekaja, b) Bode diagramm

2.5.7. Aperioodiline lüliAperioodilist lüli nimetatakse ka inertseks lüliks, relaksatsioonlüliks ja PT1-lüliks. Väljundsignaal hakkab muutuma kohe, algul maksimaalse, siis järjest kahaneva kiirusega ning saavutab lõppväärtuse (3...5)T möödudes. Siirdekarakteristik kujutab enesest eksponentkõverat.

Diferentsiaalvõrrand: T⋅y t y t =K⋅s t (2.48)

Ülekandefunktsioon: W p = K1T⋅p (2.49)

Impulsikaja: w t =K⋅e− t

T (2.50)

Hüppekaja: h t =K⋅1−e− t

T (2.51)

43

Joonis 2.48. PTh-lüli

ysK, Th

a) b)

0.01 0.1 1 10 10020

10

0

10

20

W

wi

0.01 0.1 1 10 1003

2

1

0

qi

wi

Joonis 2.50. PT1-lüli

ysK, T

Joonis 2.51. PT1-lüli K=1, T=1 s. a) hüppekaja, b) Bode diagramm

2.5.8. VõnkelüliVõnkelüli võib nimetada ka PT2-lüli, sest see omab juba kaht ajakonstanti. Selleks, et paremini hinnata võnkelüli tööd, tuleb sisse tuua mõningad uued suurused. Näidetest 2.12 ja 2.13 on tuttav järgmine ülekandefunktsioon

W p = K1T 2 pT 1T 2 p2 , (2.52)

kus tehes järgmised asendused

0=1T 1T 2

, (2.53)

kus ω0 – objekti karakteristlik ehk sumbumatu võnkumise nurksagedus;

= 12T1

, (2.54)

kus α – sumbumiskonstant;

on võimalik avaldada võrrand (2.52) teisel kujul

W p =K⋅0

2

022⋅p p2 . (2.55)

Samuti on võimalik avaldada sumbumiskonstandi ja karakteristliku nurksageduse kaudu teisi süsteemi iseloomustavaid suuruseid

s=02− 2 , (2.56)

kus ωs – sumbuva võnkumise nurksagedus;

T=2s

, (2.57)

kus T – sumbuva võnkumise periood;

44

a) b)

=0

, (2.58)

kus χ – sumbumistegur.

Joonis 2.52. Võnkelüli siirdekarakteristiku näide

Sõltuvalt sumbumistegurist täheldatakse kolme liiki võnkelülisid.

Sumbumistegur χ > 1

Joonis 2.53. PT2-lüli

Diferentsiaalvõrrand: T 1⋅T 2⋅y t T 1T 2⋅y t y t =K⋅st (2.59)

Ülekandefunktsioon: W p = K1T 1⋅p⋅1T 2⋅p (2.60)

Impulsikaja: w t = KT 1−T 2

⋅e− t

T 1−e− t

T2 (2.61)

Hüppekaja: h t =K⋅[1− 1T 1−T 2

⋅T 1⋅e− t

T 1−T 2⋅e− t

T 2 ] (2.62)

45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Aeg

h(t

)

K(1+exp(-αt))

K(1-exp(-αt))

T

ysK, T1, T2

Joonis 2.54. PT2-lüli K=1, T1=0,3 s, T2= 2,4 s. a) hüppekaja, b) Bode diagramm

Sumbumistegur χ = 1

Joonis 2.55. PT2-lüli

Diferentsiaalvõrrand: T 2⋅y t 2⋅T⋅y t y t =K⋅s t (2.63)

Ülekandefunktsioon: W p = K1T⋅p2

(2.64)

Impulsikaja: w t = KT 2⋅t⋅e

− tT (2.65)

Hüppekaja: h t =K⋅[1−1 tT⋅e− t

T ] (2.66)

Joonis 2.56. PT2-lüli K=1, T1=0,3 s, T2= 0,3 s. a) hüppekaja, b) Bode diagramm

46

a) b)

ysK, T, T

a) b)

Sumbumistegur 0 < χ < 1

Joonis 2.57. PT2-lüli

Diferentsiaalvõrrand:10

2⋅y t 2⋅0⋅y t y t =K⋅s t (2.67)

Ülekandefunktsioon:W p = K

10

2⋅p22⋅0

⋅p1 (2.68)

Impulsikaja: w t =K⋅0

1−2⋅e−⋅0⋅t⋅sin 1−2⋅0⋅t (2.69)

Hüppekaja:

h t =K⋅{1−e−⋅0⋅t⋅[cos 1−2⋅0⋅t

1−2⋅sin1−2⋅0⋅t ]} (2.70)

Joonis 2.58. PT2-lüli K=1, χ=0...1, ω0=5 s-1. a) hüppekaja, b) Bode diagramm

2.5.9. Proportsionaal-integreerimislüliPI-lüli ühendab endas proprtsionaalset ja integraalset lüli. Antud lüli leiab kasutust peamiselt regulaatorites.

Diferentsiaalvõrrand: y t =K R⋅1T I⋅s t s t (2.71)

47

ysK, χ, ω0

a) b)

Joonis 2.59. PI-lüli

ysKR, TI

Ülekandefunktsioon: W p =K R⋅1T I⋅p

T I⋅p(2.72)

Impulsikaja: w t =K R⋅ t 1T I⋅t (2.73)

Hüppekaja: h t =K R⋅11T I⋅t (2.74)

Sidumaks PI-lüli parameetrid I-lüli võimendusteguriga kehtib järgmine avaldis

K I=K R

T I. (2.75)

Joonis 2.60. PI-lüli K=1, TI=1 s. a) hüppekaja, b) Bode diagramm

2.5.10. Proportsionaal-diferentseerimislüliPD-lüli ühendab endas proprtsionaalset ja diferentseerivat lüli. Antud lüli leiab kasutust peamiselt regulaatorites.

Diferentsiaalvõrrand: y t =K R⋅s t T D⋅s t (2.76)

Ülekandefunktsioon: W p =K R⋅1T D⋅p (2.77)

Impulsikaja: w t =K R⋅ t T D⋅ddt⋅t (2.78)

Hüppekaja: h t =K R⋅ t T D⋅t (2.79)

Sidumaks PD-lüli parameetrid D-lüli võimendusteguriga kehtib järgmine avaldis

K I=K R⋅T D . (2.80)

48

a) b)

Joonis 2.59. PD-lüli

ysKR, TI

Joonis 2.62. PD-lüli K=1, TD=1 s. a) hüppekaja, b) Bode diagramm

2.5.11. Proportsionaal-integreerimis-diferentseerimislüliPID-lüli ühendab endas kõiki kolme põhielementi – P-lüli, I-lüli ja D-lüli. PID-regulaatorid on ühed kõige laiemalt levinud juhtseadmed, kusjuures PI- ja PD-regulaator on realiseeritud PID-regulaatoriga, millel kas D- või I-lüli võimendus on nullitud.

Diferentsiaalvõrrand: y t =K R⋅1T I⋅s t s t T D⋅s t (2.81)

Ülekandefunktsioon: W p =K R⋅1T I⋅pT I⋅T D⋅p

2

T I⋅p(2.82)

Impulsikaja: w t =K R⋅ t 1T I⋅t T D⋅

ddt⋅t (2.83)

Hüppekaja: h t =K R⋅ t 1T I⋅tT D⋅t (2.84)

49

a) b)

Joonis 2.63. PID-lüli

ysKR, TI, TD

Joonis 2.64. PID-lüli K=1, TI= 50 s, TD=0.5 s. a) hüppekaja, b) Bode diagramma) b)

Ülesandeid 2. peatüki juurdeÜlesanne 1.

Avaldada joonisel 2.65 kujutatud süsteemi väljundpinge sõltuvus sisendpingest diferent-siaalvõrrandiga. Teisendada määratud võrrand operaatorkujule ning avaldada süsteemi ülekandefunktsioon. Sama korrata tingimusel, et väljundsuuruseks on vool.

Ülesanne 2.

Määrata joonisel 2.66 kujutatud süsteemi ülekandefunktsioon.

Joonis 2.66. RLC-ahel

Ülesanne 3.

Määrata joonisel 2.67 kujutatud struktuuriskeemi ülekandefunktsioon.

Joonis 2.67. Automaatjuhtimissüsteemi struktuuriskeem

Ülesanne 4.

Määrata joonisel 2.68 kujutatud struktuuriskeemi ülekandefunktsioon.

Joonis 2.68. Automaatjuhtimissüsteemi struktuuriskeem

50

Joonis 2.65. RC-ahel

i(t)

us(t)

R

Cuv(t)

us(t)

R1

L

R2

Cuv(t)

W1 W2 W4 W5

W3

s y-

s-

y

3. AUTOMAATJUHTIMISSÜSTEEMIDE ANALÜÜSAutomaatjuhtimissüsteemi analüüsil on olune määrata süsteemi põhiomadused. Nendeks on süsteemi juhitavus ja jälgitavus, aga ka stabiilsus ning dünaamika kvaliteet.

Süsteem on juhitav, kui lõpliku ajavahemiku ta ≤ t ≤ tl vältel on olemas niisugune juhttoime u(t), mis viib süsteemi kujutispunkti olekuruumi etteantud algolekust lõppolekusse või sellele piisavalt lähedale. Süsteem on täielikult juhitav, kui on olemas juhttoime, millega saab viia süsteemi kujutispunkti suvalisest olekuruumi punktist koordinaatide alguspunkti. Süsteem on osaliselt juhitav kui juhttoime ei mõjuta kõiki süsteemi olekumuutujaid või kui osa olekumuutujaid ei mõjuta süsteemi väljundeid.

R. Kalman formuleeris juhitavuse kriteeriumi sõltuvalt süsteemi juhitava osa diferentsiaalvõrrandi järgust. Süsteem on täielikult juhitav, kui süsteemi juhitava osa diferentsiaalvõrrandi järk on võrdne tema olekumaatriksi (maatriks A) järguga. Süsteem on osaliselt juhitav kui diferentsiaalvõrrandi järk on väiksem olekuvõrrandi järgust ning mittejuhitav kui diferentsiaalvõrrandi järk on 0.

Süsteemi jälgitavust iseloomustab tema väljundite ja olekumuutujate vaheline seos, kusjuures süsteem võib olla kas täielikult või osaliselt jälgitav. Kalmani järgi on süsteem täielikult jälgitav, kui tema jälgitava osa diferentsiaalvõrrandi järk võrdub olekuvõrrandi järguga. Süsteem on osaliselt jälgitav kui diferentsiaalvõrrandi järk on väiksem olekumaatiksi järgust ja mittejälgitav kui diferentsiaalvõrrandi järk on 0.

Süsteemi stabiilsust käsitlev teooria põhineb matemaatikast tuntud diferentsiaalvõrrandite lahendite stabiilsusprobleemide uurimisel. Automaatjuhtimise klassikaliste meetoditega kontrollitakse süsteemi stabiilsust ülekandefunktsiooni ja selle tunnusvõrrandi järgi.

Süsteemi staatilise täpsuse all mõistetakse süsteemi väljundi vastavust juhtsisendile püsitalitluses. Väljundi erinevust juhtsisendiga määratud väärtusest nimetatakse süsteemi püsitalitlusveaks. Püsitalitlusviga on võimalik määrata siirdeprotsessi arvutamise käigus, mille käigus võrreldakse siirdeprotsessi kvaliteeti soovitud kvaliteedinäitajatega [2].

3.1. Süsteemi stabiilsusAutomaatjuhtimissüsteemi dünaamikat iseloomustab tema tasakaalu- ehk püsioleku rikkumisele järgnev siirdeprotsess. Tasakaaluolekust kõrvalekaldumist põhjustab süsteemi sisendsignaali(de) muutumine. Lineaarne automaatjuhtimissüsteem võib olla stabiilne või mittestabiilne.

Süsteem on stabiilne kui siirdeprotsessi järel teatud lõpliku ajavahemiku jooksul taastub automaatjuhtimissüsteemi tasakaaluolek. Seejuures võib stabiilne süsteem tasakaalustuda kas uues olekus, kui kõrvalekalde põhjus säilib, või esialgses olekus, kui kõrvalekalde põhjus möödub või kui süsteem on antud sisendsignaali suhtes staatiliselt invariantne.

Süsteem on mittestabiilne kui siirdeprotsessi jooksul tasakaaluolek ei taastu. Tasakaaluolekust kõrvalekaldumisel võib tekkida olekumuutujate kasvava amplituudiga võnkumine või kaugenevad süsteemi olekumuutujad monotoonselt tasakaaluolekust.

51

Joonis 3.1. Stabiilse süsteemi siirdekarakteristikud. a) tasakaalustumine uues olekus, b) tasakaalustumine endises olekus

Joonis 3.2. Mittestabiilse süsteemi siirdekarakteristikud. a) muutuja hakkab võnkuma kasvava amplituudiga, b) muutuja kaugeneb monotoonselt tasakaaluolekust

3.1.1. Stabiilsuskriteeriumid

3.1.1.1. Stabiilsuse määramine ülekandefunktsiooni abilKui ülekandefunktsioon on esitatud kujul [2]

W p =b0⋅pnb1⋅pn−1...bn−1⋅pbn

a0⋅pma1⋅pm−1...am−1⋅pam, (3.1)

siis võrrandit

a0⋅pma1⋅pm−1...am−1⋅pam=0 (3.2)

nimetatakse ülekandefunktsiooni (3.1) tunnusvõrrandiks, mille lahendite alusel on võimalik otsustada kirjeldatava süsteemi stabiilsuse üle ja anda hinnang teistele siirdeprotsessi iseloomustavatele suurustele. Võrrandi (3.2) lahendid on avaldatavad kujul

52

a) b)

a) b)

p i=ℜ[ p]± j⋅ℑ[ p ] , (3.3)

kus R – lahendi reaalosa;I – lahendi imaginaarosa.

Ning teades, et süsteemi kirjeldava diferentsiaalvõrrandi

b0⋅d n

dt n⋅y t b1⋅d n−1

dt n−1⋅y t ...bn⋅y t =a0⋅d m

dtm⋅s t a1⋅d m−1

dt m−1⋅s t ...an⋅s t (3.4)

lahendit võib esitada kujul

y t= yc t yd t , (3.5)

kus yc(t) – muutuja sundliikumist kirjeldav lahend;yd(t) – muutuja vabaliikumist ehk siirdeprotsessi kirjeldav lahend.

Asetades tunnusvõrrandi lahendid (3.3) vabaliikumislahendi

yd t =C i⋅epi⋅t (3.6)

üldkujusse, avaldub viimane reaallahendite korral

yd t =C i⋅eℜ[ p]i⋅t (3.7)

ja komplekslahendite korral

yd t =C i⋅eℜ [ p]i⋅t⋅sin ℑ[ p]i⋅ti . (3.8)

Eelmisest jaotisest on teada, et süsteem on stabiilne kui väljundmuutuja tasakaalustub kas uues või vanas olekus ehk süsteemi vabaliikumine väheneb nullini. Matemaatiliselt esitatuna

limt∞

y d t =0 , (3.9)

mille alusel võib võrranditest (3.7) ja (3.8) järeldada, et iga tunnusvõrrandi lahendi korral peab kehtima

ℜ[ p]i0 (3.10)

ehk süsteem on stabiilne kui selle tunnusvõrrandi kõikide lahenendite reaalosa on negatiivne.

Näide 3.1.

PT1-lüli ülekandefunktsioon on

W= K1T⋅p

ja selle tunnusvõrrand

1T⋅p=0 .

Tunnusvõrrandi lahendiks on

p=− 1T ,

mille alusel võib väita, et PT1-lüli on stabiilne, mis tahes parameetriliste väärtuste korral.

53

Näide 3.2.

I-lüli ülekandefunktsioon on

W= Kp

ja selle tunnusvõrrand

p=0 .

Selle alusel võib väita, et I-lüli on oma olemuselt mittestabiilne.

Ülevaatlikuse saamiseks esitatakse lahendid komplekstasandil, mida nimetatakse p-tasandiks, graafiliselt. Kasutades selleks matemaatika tarkvara võimalusi, saab sinna hõlpsalt lisada ka sumbumis- ja karakteristliku sageduse teljed. Sumbumisteguri saab lugeda p-tasandi nullpunktist lähtuvate kiirte abil, millede väärtus vastab kiire ja imaginaartelje vahelise nurga siinusele. Karakteristliku nurksageduse lugemiseks tuleb lugeda punkti kaugust nullpunktist.

Näide 3.3.

PT3-lüli ülekandefunktsioon on esitatud kujul

W= 1000.004⋅p30.06⋅p20.3⋅p1

.

Määrates ülekandefunktsiooni poolused (tunnusvõrrandi nullkohad) ja kandes tulemused p-tasandile on tulemuseks joonisel 3.3 kujutatud poolusdiagramm.

Joonis 3.3. Poolus-null diagramm

Kuna tegemist on kolmandat järku tunnudvõrrandiga, siis on tegemist ka kolme poolusega, mida diagrammil tähistavad ristid, milledest üks asetseb reaalteljel ja teisi kirjeldavad aga kaaskompleksarvulised näitajad, millest võib järeldada, et tegemist on võnkelise protsessiga,

54

mille sumbuvus on 0,5 ja karakteristlik nurksagedus on 5 s-1. Süsteem ise on aga stabiilne, sest kõikide pooluste reaalosad on negatiivsed.

3.1.1.2. Routhi stabiilsuskriteeriumE. J. Routh formuleeris süsteemi stabiilsuse kriteeriumid, millede üheaegsel täitmisel saab väita, et süsteem on stabiilne [2], [9]:

● Süsteemi stabiilsuse vajalikuks, kuid mitte piisavaks tingimuseks on, et tunnusvõrrandi kõik kordajad peavad olema sama märgiga (positiivsed) ehk ai > 0. Vajadusel korrutada kogu tunnusvõrrandit -1'ga;

● Süsteemi stabiilsuse vajalikuks ja piisavaks tingimuseks on, et kõik Routhi koefitsendid peavad olema positiivsed ehk Ri > 0.

Tunnusvõrrandi üldkuju oli antud võrrandiga (3.2)

a0⋅pma1⋅pm−1...am−1⋅pam=0

Lähtuvalt tunnusvõrrandi üldkujust määratakse Routhi koefitsendid järgneva algoritmi kohaselt

R0=a0 a2 a4 0R1=a1 a3 a5 0

R2=a2−R0

R1⋅a3 a ' 4=a4−

R0

R1⋅a5 a ' 6=a6−

R0

R1⋅a7 0

R3=a3−R1

R2⋅a ' 4 a ' 5=a5−

R1

R2⋅a ' 6 a ' 7=a7−

R1

R2⋅a ' 8 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮Rm=am 0 0 0 0

(3.11)

Näide 3.4.

Olgu antud süsteemi kirjeldav diferentsiaalvõrrand

0.045 s3

m⋅y t 2.78 s2

m⋅y t −78.6 s

m⋅y t −897 1

m⋅y t =0.8 1

V⋅s t 0.027 1

T⋅n t .

Peatükis 2. käsitletud Laplace'i teisenduse alusel võib avaldada tunnusvõrrandi

0.045 s3

m⋅p32.78 s2

m⋅p2−78.6 s

m⋅p−897 1

m=0 ,

mida uuritakse esmalt Routh'i esimese tingimusega

a00 0.0450 Tingimus täidetud;

a10 2.780 Tingimus täidetud;

a20 −78.60 Tingimus täitmata!

Selle alusel võib järeldada, et süsteem on mittestabiilne.

55

3.1.1.3. Hurwitzi stabiilsuskriteeriumA. Hurwitz lihtsustas Routhi kriteeriumi ja tema formuleering kõlab [2], [9]:

● Süsteemi stabiilsuse vajalikuks, kuid mitte piisavaks tingimuseks on, et tunnusvõrrandi kõik kordajad peavad olema sama märgiga (positiivsed) ehk ai > 0. Vajadusel korrutada kogu tunnusvõrrandit -1'ga;

● Süsteemi stabiilsuse vajalikuks ja piisavaks tingimuseks on, et Hurwitzi determinant ja selle diagonaalsed miinorid peavad olema positiivsed.

Hurwitzi determinant koostatakse tunnusvõrrandi kordajatest järgnevalt

=[a1 a3 a5 a7 0a0 a2 a4 a6 00 a1 a3 a5 00 a0 a2 a4 0⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 0 0 am

]0 (3.12)

ning diagonaalsed miinorid vastavalt

1=[a1 ]0 , (3.13)

2=[a1 a3

a0 a2]0 , (3.14)

3=[a1 a3 a5

a0 a2 a4

0 a1 a3]0 jne. (3.15)

Näide 3.5.

Olgu näites 3.4. antud süsteem täiendatud PD-regulaatoriga, mille järel diferentsiaalvõrrand saab kuju (tingimusel, et häiringut arvesse ei võeta)

0.045 s3

m⋅y t 2.78 s2

m⋅y t 61.2 s

m⋅y t 234 1

m⋅y t =0 ,

mida võib vaadelda kohe ka tunnusvõrrandina ning uurida Hurwitzi esimese tingimusega

a00 0.0450 Tingimus täidetud;

a10 2.780 Tingimus täidetud;

a20 61.20 Tingimus täidetud;

a30 2340 Tingimus täidetud.

Selle alusel võib vaadelda süsteemi teise tingimuse alusel

=[a1 a3

a0 a2]0 125.140 Tingimus täidetud;

56

1=[a1]0 2.780 Tingimus täidetud.

Selle alusel võib järeldada, et süsteem on stabiilne.

3.1.1.4. Nyquisti stabiilsuskriteeriumNyquisti stabiilsuskriteerium kuulub sagedusmeetodite kulka, kus uuritakse lahtiühendatud tagasisideahelaga ehk avatud süsteemi amplituudi-faasi sagedustunnusjooni, mis võimaldab hilistumislüliga süsteemide stabiilsust hinnata, mis ei olnud võimalik ei Routhi ega Hurwitzi järgi. Kuid üldise Nyquisti stabiilsuskriteeriumi matemaatiline esitlusviis keerukas, mistõttu rakendatakse sagedamini selle kriteeriumi üht erijuhtu, mille alusel on võimalik hinnata enamkasutatavate automaatjuhtimissüsteemide stabiilsust, kuid tulemusse tuleb suhtuda teatava reserveeritusega. Erijuhtu nimetatakse Nyquisti stabiilsuskriteeriumi vasaku käe reegliks, mida saab rakendada negatiivse tagasisidega süsteemidele ning mille formuleering kõlaks [2], [3], [6], [8]:

● Suletud süsteemi stabiilsuse vajalikuks, kuid mitte piisavaks tingimuseks on, et avatud süsteemi sagedustunnusjoon ei haaraks endasse punkti (-1, j0) komplekstasandil.

See tähendab seda, et liikudes sagedustunnusjoonel sageduselt 0 suunas ∞, jääb Nyquisti punkt (-1, j0) tunnusjoonest vasakule. Kuna tegemist on ainult piisava tingimusega, siis on soovitatav kontrollida tulemust mõne teise meetodiga.

Sagedustunnusjoone võrrandi saamiseks tehakse ülekandefunktsioonis järgmine teisendus

p= j , (3.16)

mille tulemusel sagedustunnusjoone võrrandi saab esitada üldkujul

W j=b0⋅ j

nb1⋅ jn−1...bn−1⋅ jbn

a0⋅ jma1⋅ jm−1...am−1⋅ jam

. (3.17)

Ning avatud ahela ülekandefunktsioon on määratav vastavalt automaatjuhtimissüsteemi üldstruktuurile, mis on esitatud joonisel 3.4

W 0=W R⋅W P , (3.18)

Joonis 3.4. Automaatjuhtimissüsteemi üldstruktuur

mis on ka esitatav võrrandi (3.17) kujul, mis omakorda esitatakse

W 0=ℜ[W 0 j] j⋅ℑ[W 0 j] , (3.19)

mille alusel on koostatakse Nyquisti diagramm komplekstasandil.

Näide 3.6.

Joonisel 3.5. on kujutatud kolmest PT1-lülist koosnevat struktuuri,

57

WR WPs yue

±

n

Joonis 3.5. Automaatjuhtimissüsteem

mille avatud struktuuri ülekandefunktsioon avaldub

W 0 j=K

10.1 s⋅j⋅10.5 s⋅j⋅10.2 s⋅j .

Selle alusel koostatakse Nyquisti diagrammi (joonis 3.6) erinevate võimendustegurite korral, seejuures tähendab punane joon (K = 5), et tegemist on stabiilse süsteemiga. Rohelise (K = 12,5 ) puhul on tegemist tingimusliku stabiilsusega ehk piiritingimusega, mida tuleb täpsemalt kontrollida (meenutuseks, kõik arvutusvalemid on lähendatud reaalsele süsteemile). Sinine joon (K = 20) kirjeldab aga mittestabiilset süsteemi, sest Nyquisti punkt on haaratud sagedustunnusjoone poolt.

Joonis 3.6. Nyquisti diagramm. a) täisdiagramm, b) suurendus Nyquisti punkti ümber

Kinnitamaks järeldust on joonisel 3.7 esitatud hüppekajad suletud süsteemide kohta.

Joonis 3.7. Suletud süsteemi hüppekaja a) K = 5, b) K = 13,5, c) K = 20.

Tulemused kinnitavad Nyquisti järgi määratud stabiilsusomadusi, kusjuures joonisel 3.7.b) on küll stabiilse süsteemiga tegemist, aga siirdeprotsessi kvaliteet ei vasta nõuetele.

58

a) b)

s-

yK, T1 1, T2

1, T3

a) b) c)

3.1.1.5. Stabiilsuskriteeriumid Bode diagrammi aluselSee meetod põhineb Nyquisti stabiilsuskriteeriumil, mille tulemused on esitatud Bode diagrammil ning sellest tulenev formuleering on [2], [3], [6], [8]:

● Suletud süsteemi stabiilsuse vajalikuks, kuid mitte piisavaks tingimuseks on, avatus süsteemi Bode diagrammi sagedustelje ordinaat φ(ω) ehk faasinurk lõikesagedusel ωL

on absoluutväärtuselt väiksem kui |180°|.

Lõikesageduseks loetakse sagedust, mille juures logaritmilise amplituudi sagedustelje ordinaat L(ω) on võrdne nulliga.

Joonis 3.8. Mittestabiilse süsteemi Bode diagramm

3.1.1.6. Teisi meetodeidArvutustehnika arenguga on ajalukku jäänud mitmeid erinevaid stabiilsuse määramise meetodeid, neist võib-olla tuntumad on Mihhailovi hodograaf ja Nicholsi diagramm.

Mihhailov lähtus suletud tunnusvõrrandist, mis lahendati sagedusmeetodiga ning mille väärtused kanti komplekstelgedele. Sellest lähtuvalt formuleeris Mihhailov endanimelise stabiilsuskriteeriumi [2]:

● Süsteem on stabiilne, kui sageduse muutumisel ω = 0...∞ läbib hodograaf (funktsiooni lahendeid kirjeldav joon tasandil) komplekstasandil positiivses suunas järjekorras n kvadranti, kus n on vaadeldava süsteemi diferentsiaalvõrrandi järk (tunnusvõrrandi järk).

59

ωL

Joonis 3.9. Stabiilse 3. järgu süsteemi Mihhailovi hodograaf

Nicholsi diagrammi võib vaadelda kui Nyquisti diagrammi, mis on esitatud teisel kujul, mistõttu kehtib Nyquisti stabiilsuskriteerium.

Joonis 3.10. Stabiilse süsteemi Nicholsi diagramm

3.1.2. Struktuurne stabiilsusStruktuurselt stabiilsuseks nimetatakse süsteemi, mida saab muuta stabiilseks parameetrite muutmisega, kusjuures süsteemi struktuuri või lülide iseloomu pole vaja muuta. Süsteemi, mida pole võimalik parameetrite (ajakonstantide või ülekandetegurite) muutmisega stabiliseerida, nimetatakse struktuurselt mittestabiilseks [2].

Näide 3.7.

Olgu antud PT1 ja kahe I-lüli tagasisidestatud jadaühenduse tunnusvõrrand

T 1⋅p3 p2K1⋅K I 2⋅K I 3=0 ,

mida uurides Hurwitzi järgi on avaldatav

60

- 1 0 0 - 8 0 - 6 0 - 4 0 - 2 0 0 2 0- 7 0

- 6 0

- 5 0

- 4 0

- 3 0

- 2 0

- 1 0

0

1 0

R e

Im

a1⋅0−a0⋅a30

ehk antud süsteem on mittestabiilne kõikide võimalike parameetrite väärtuste juures, s. t. süsteem on struktuurselt mittestabiilne.

Näide 3.8.

Olgu antud kolme PT1 tagasisidestatud süsteemi tunnusvõrrand

T 1⋅T 2⋅T 3⋅p3T 1⋅T 2T 2⋅T 3T 3⋅T 1⋅p

2T 1⋅T 2⋅T 3⋅pK 1⋅K 2⋅K3=0

ja Hurwitzi järgi

a1⋅a2−a0⋅a3=?

ehk kui süsteem on mingitel parameetri väärtustel mittestabiilne, siis on võimalik seda stabiliseerida süsteemi parameetrite muutmisega, muutmata seejuures süsteemi struktuuri ehk tegemist on struktuurselt stabiilse süsteemiga.

3.1.3. Parameetriliste stabiilsuspiirkondade määraminePeale süsteemi stabiilsuskontrolli tuleb sageli analüüsida teatud parameetrite mõju süsteemi omadustele. Näiteks on vaja selgitada, kuidas tuleks muuta mõnda parameetrit, et stabiliseerida mittestabiilne süsteem. Samuti võib olla vajadus uurida, kui palju tohib muuta süsteemi või mõne süsteemiosa ülekandetegurit, et süsteem jääks stabiilseks.

Eelnevast on teada, et süsteemi tunnusvõrrandi kordajad määratakse automaatjuhtimis-süsteemi parameetritega, s. o. ülekandetegurite ja ajakonstantidega. Tunnusvõrrandi lahendid omakorda on määratud võrrandi kordajatega. Seega, tunnusvõrrandi lahendite ja süsteemi parameetrite vahel on pidev sõltuvus.

Kujutades tunnusvõrrandi lahendeid komplekstasandil ja kui lahendid paiknevad imaginaarteljest vasakul, siis on süsteem stabiilne. Mõne lahendi nihkumine imaginaarteljest paremale muudab süsteemi mittestabiilseks. Seega, lahendite komplekstasandil on imaginaartelg piiriks süsteemi stabiilse ja mittestabiilse piirkonna vahel.

Analoogiliselt saab süsteemi stabiilsust iseloomustava ala piirjoone määrata tunnusvõrrandi kordajate koordinaadistikus. Kõigi kordajate muutumisel toimub see vastavalt süsteemi järgule n-mõõtmelises ruumis. Selles ruumis saab määrata pinna, mida nimetatakse D-piiriks. Pinnast ühel pool on ruum, kus süsteem on stabiilne ja teisel pool ruum, kus süsteem on mittestabiilne. D-piir on määratud tunnusvõrrandi kordajate stabiilsuspiirile vastavate väärtustega. Kui mõni stabiilse süsteemi tunnusvõrrandi kordajatest peaks ületama piirile vastava kriitilise väärtuse, siis osutub süsteem mittestabiilseks.

D-piiri võib määrata ka süsteemi kordajates sisalduvate parameetrite jaoks. Tavaliselt joonistatakse D-piir välja ühe või kahe parameetri jaoks.

Näide 3.9.

Kirjeldagu järgmine võrrand ühe monorelsi magnetite juhtpinge s(t), rongi ja relsi vahelise õhupilu x(t) ja raja ebatasasuste n(t) vahelist sõltuvust.

0.445⋅y t 1.72⋅y t −288.3⋅y t −2241⋅y t =0.5⋅s t −Kn⋅n t

Kasutades Hurwitzi stabiilsuskriteeriumi võib järeldada, et tegemist on mittestabiilse

61

süsteemiga, kuna

a0=0.4450 Tingimus täidetud;

a1=1.720 Tingimus täidetud;

a2=−288.30 Tingimus täitmata!

Kuna selle süsteemi parameetreid muuta ei saa, siis on tegemist struktuurselt mittestabiilse süsteemiga. Selleks, et süsteem oleks siiski kasutatav ja stabiilne täiendatakse seda negatiivse tagasiside ja PD-regulaatoriga, misjärel muutub süsteem struktuurselt stabiilseks. Regulaatori diferentsiaalvõrrand oleks

s t=K R⋅ sR t T D⋅s Rt ,

aga arvestades asjaolu, et süsteemi väljund on regulaatori sisendiks ja süsteemi sisendit saab vaadelda regulaatori väljundina, siis esitub regulaatori diferentsiaalvõrrand, arvestades ja negatiivset tagasisidet, hoopis kujul

s t=−K R⋅ y t T D⋅y t .

Uueks süsteemi diferentsiaalvõrrandiks saab

0.445⋅y t 1.72⋅y t −288.3⋅y t −2241⋅y t =0.5⋅[−K R⋅ y t T D⋅y t ]−K n⋅nt

,

mis peale korrastamist on esitatav kujul

0.445⋅y t 1.72⋅y t −288.30.5⋅K R⋅T D⋅y t −22410.5⋅K R⋅y t =−K n⋅nt

,

mille tunnusvõrrandist saab avaldada vastavalt Hurwitzi stabiilsuskriteeriumile

a0=0.4450 Tingimus täidetud;

a1=1.720 Tingimus täidetud;

a2=−288.30.5⋅K R⋅T D0 ⇒ T D576.6⋅ 1K R

1. Tingimus

a3=−22410.5⋅K R0 ⇒ K R4482 2. Tingimus

1=[a1 ]=[1.72 ]0 Tingimus täidetud;

=[a1 a3

a0 a2]0 ⇒ a1⋅a2−a0⋅a30 ⇒ T D0.25−583⋅ 1K R

3. Tingimus

Esitades 3 määratud tingimust graafiliselt on hõlbus määrata stabiilsuspiirkond, mida kujutab joonisel 3.10 värvitud piirkond. Kui valida regulaatori parameetrid selle ala seest, on tegemist kindlasti stabiilse süsteemiga.

62

Joonis 3.10. D-piiride graafiline esitus

3.1.4. Mõisteid stabiilsusvarustStabiilsuspiiride käsitlemisel selgus, et kõigi kriteeriumide puhul saab näidata teatud piiri, mille ületamisel stabiilne süsteem muutub mittestabiilseks. Samuti kirjeldades automaatjuhtimissüsteemi võrranditega, tuleb arvestada mõningaste vigadega, mis võivad olla tingitud järgmistest asjaoludest [2]:

● võrrandite koostamisel tehakse lihtustusi;● mittelineaarsete võrrandite asemel kasutatakse lineaarseid võrrandeid;● süsteemi parameetreid määratakse ligikaudu, s. o. teatud veaga;● süsteemi parameetrid võivad aja jooksul muutuda.

Seepärast võib teoreetiliselt stabiilne süsteem osutuda praktikas rakendades mittestabiilseks, eriti juhul kui tema arvutuslikud tunnusjooned on stabiilsuspiirile liiga lähedal. Sellest järeldub, et reaalse süsteemi parameetrid tuleb valida nii, et süsteemil oleks teatud stabiilsusvaru. Olenevalt stabiilsuskriteeriumist võib stabiilsusvaru iseloomustamiseks kasutada mitmesuguseid näitajaid. Näiteks Nyquisti kriteeriumi puhul määratakse nii amplituudi kui faasireserv, mida on võimalik määrata ka Bode diagrammilt.

63

Joonis 3.11. Stabiilsusreserv PT3-elemendile a) Nyquisti järgi, b) Bode järgi (suurendatud)

Amplituudi ja faasireservi käsitletakse kuna nende alusel on võimalik määrata süsteemi parameetreid. Näiteks kui soovitakse suurendada amplituudi reservi, muutmata faasireservi, siis tuleb muuta süsteemi võimendustegurit (meeldetuletuseks P-lüli ei avalda mõju faasile). Nende iseloomustavate parameetrite tähtsust aitab mõista järgmine mõttekäik.

Süsteemi sisendsignaaliks on siinussignaal sagedusega, mille juures süsteemi võimendustegur K ≥ 1 ja faasinihe on täpselt -180°. Kui väljundsignaal suunatakse negatiivse tagasiside abil süsteemi sisendisse, siis selle tulemusena liituvad mõlemad signaalid, mille tulemusena süsteemi sisendsignaal suureneb, kuigi etteandeseadme väärtus pole muutunud ning see protsess toimub edasise võimenemisega ehk süsteem hakkab „genereerima“ ehk tegemist on mittestabiilse süsteemiga.

3.2. Siirdeprotsesside kvalitatiivne hindamineSüsteem on matemaatiliselt ehk formaalselt stabiilne, kui siirdeprotsess sumbub lõpliku ajavahemiku jooksul. Sellest aga ei järeldu, et iga stabiilne süsteem on sobiv praktiliseks kasutamiseks. Praktiliselt mittesobivad on nt. süsteemid, kus tasakaaluoleku taastamise kestus on suurem lubatavast või on siirdeprotsessi võnkumiste amplituud liiga suur. Üldjuhul on automaatjuhtimisstruktuur kasutuskõlblik, kui tema siirdeprotsess on nõutava kvaliteediga.

Siirdeprotsessi kvaliteedi iseloomustamiseks kasutatakse järgmisi põhinäitajaid [2]:

● staatiline ehk püsitalitlusviga ε;● esifrondi kestus tr;● siirdeprotsessi kestus ts;● maksimaalne ülereguleerimine σ ja sellele vastav aeg tm;● võnkuvus ehk poollainete arv võnkuva siirdeprotsessi kestel.

Staatiline ehk püsitalitlusviga ε iseloomustab süsteemi täpsus ja on siirdeprotsessi väljakujunenud püsioleku ning juhttoimega määratud püsiolekute vahe. Süsteeme, mille staatiline viga on võrdne nulliga nimetatakse astaatilisteks süsteemideks.

Esifrondi kestuseks tr loetakse ajavahemikku, mis kulub signaalikaja muutumiseks vahemikus (0 või 0,1 ... y∞-δ).

64

a) b)

αR

αR

LR

LR

Tolerantsiks δ nimetatakse maksimaalset lubatud kõrvalekallet juhttoimega määratud püsiolekust.

Siirdeprotsessi kestuseks ts nimetatakse ajavahemikku, mille järel siirdeprotsess on kahanenud tolerantsi piiridesse.

Siirdeprotsessi esifrondi- ja kogukestus iseloomustavad süsteemi toimekiirust. Viimane on suure tähtsusega neis süsteemides, mille töös etendavad suurt osa dünaamilised protsessid, nt. käivitus- ja pidurdusprotsessid. Süsteemide toimekiiruse suurendamine ja ühtlasi siirdeprotsessi kestuse lühendamine aitab oluliselt suurendada masinate tootlikkust.

Joonis 3.12. Siirdeprotsessi parameetreid

Maksimaalne ülereguleerimine σ on määratav seosega

= ym

y∞. (3.20)

Maksimaalne ülereguleerimine määrab ära siirdeprotsessi maksimaalse lubatud amplituudi, mis määratakse süsteemi tööspetsiifikast lähtudes. Olgu siin kohal öeldud, et enamasti on esifrondi kestuse ja maksimaalse ülereguleerimise vahel pöördvõrdeline seos.

Reguleerimise kvaliteeti saab hinnata kas eksperimentaalselt määratud või arvutatud signaalikaja järgi, kusjuures arvutusteks võib kasutada nii analüütilisi, numbrilisi kui ka kaudseid meetodeid.

65

Joonisel 3.13. olev hall ala iseloomustab väljundi kõrvalekallet sisendi suhtes. Ideaalse siirdekarakteristiku korral puuduks hall ala ehk väljund järgiks täpselt sisendit, kus erinevuse mõõduks on ainult võimendustegur. Selleks, et hinnata reguleerimise kvaliteeti sellisel protsessil on sobiv kasutada integraalkriteeriume, mille käigus hinnatakse erinevusi ideaalse siirdekarakteristiku ja reaalse karakteristiku vahel, lihtsamalt öelduna hinnatakse halli ala pindala suurust. Hindamiseks on kasutada järgnevad arvutusmeetodid:

● absoluutse vea integraal ehk IAE-kriteerium

J=∫0

∞

∣y t − y∞∣dt ; (3.21)

● ruutvea integraal ehk ISE-kriteerium

J=∫0

∞

∣y t − y∞∣2 dt ; (3.22)

● ajaga kaalutud absoluutse vea integraal ehk ITAE-kriteerium

J=∫0

∞

t⋅∣y t − y∞∣dt ; (3.23)

● ajaga kaalutud ruutvea integraal ehk ITSE-kriteerium

J=∫0

∞

t⋅∣y t − y∞∣2 dt . (3.24)

Protsesside puhul, millede tegelik siirdekarakteristik lõikab ideaalset siirdekarakteristikut, tuleks kasutada ruutmeetodeid, kuna vea märk muutub protsessi käigus, mis absoluutmeetodite kasutuse korral võib viia ekslike hinnanguteni.

Joonis 3.13. PT2-elemendi sisendi ja väljundi erinevus

3.2.1. Arvutusliku püsitalitlusvea määramineVäljakujunenud väljundiväärtuse ja püsitalitlusvea määramine arvutuslikult on vajalik hindamaks projekteeritava süsteemi täpsust isegi enne simulatsiooni läbiviimist, mis vähendab töömahtu arendustööde käigus. Joonisel 3.14. on kujutatud automaatjuhtimis-

66

süsteemi üldkujul. Selle süsteemi kohta võib kirjutada [3]

Joonis 3.14. Automaatjuhtimissüsteem

y p =W R⋅W P

1∓W R⋅W P⋅s p

W P

1∓W R⋅W P⋅n p . (3.25)

Määramaks väljakujunenud väärtust lahendatakse võrrand (3.25) järmiselt

y∞=limp 0

p⋅[ W R⋅W P

1∓W R⋅W P⋅

s∞p

W P

1∓W R⋅W P⋅

n∞p ] . (3.26)

Enamlevinumate protsessi-regulaatori kombinatsioonide lahendid (3.26) on esitatud tabelis 3.1.

Tabel 3.1. Süsteemi väljakujunenud väljundiväärtus ja püsitalitlusviga juhtsisendi suhtes

Regulaator Protsess Väljakujunenud väärtus Püsitalitlusviga

PPTn y∞=

K R⋅K P

1K R⋅K P⋅s∞

K P

1K R⋅K P⋅n∞

11K R⋅K P

ITn y∞=s∞1

K R⋅n∞ 0

IPTn y∞=s∞0⋅n∞ 0

ITn Struktuurselt mittestabiilne

Püsitalitlusviga määratletakse operaatorkujul järgmiselt

p=s p− y p , (3.27)

mis arvestades võrrandit (3.25) saab kuju

p= 11W R⋅W P

⋅s p−W P

1W R⋅W P⋅n p . (3.28)

Lahendades võrrandi (3.28) tingimusel

=limp0

p⋅[ 11W R⋅W P

⋅s∞p−

W P

1W R⋅W P⋅

n∞p ] . (3.29)

Nende arvutuste tulemusel võib järeldada, et süsteemis, mis sisaldab üht I-lüli on võimalik viia püsitalitlusviga nulli, mida aga ei õnnestu teostada P-regulaatoriga.

67

WR WPs yue

±

n

Ülesandeid 3. peatüki juurdeÜlesanne 5.

Kontrollida, kas süsteem on stabiilne, kui ülekandefunktsioon esitub

W p = p2⋅ p−4.2⋅ p7.1 p2.5⋅ p12⋅ p2⋅ p−1 .

Ülesanne 6.

Kontrollida Routhi kriteeriumi järgi süsteemi stabiilsust, kui süsteemi tunnusvõrrand on

0.0076⋅p50.051⋅p40.17⋅p39.67⋅p278.1⋅p542=0 .

Ülesanne 7.

Süsteemi, mida juhitakse kahe P-regulaatoriga, tunnusvõrrand on

T 2⋅p32⋅T⋅p2K⋅K R1⋅pK⋅K I⋅K R1⋅K R2=0 .

Määrata süsteemi stabiilsuspiirkond regulaatorite parameetrite KR1 ja KR2 järgi, kui süsteemi parameetrid on K = 1, KI = 0.5 s-1 ja T = 2 s.

Ülesanne 8.

Määrata süsteemi stabiilsuspiirkond, kui tunnusvõrrand on kujul

[T I⋅T P⋅1−K P⋅K R]⋅p2[T IK P⋅K R⋅T I−T S]⋅pK P⋅K R=0 .

Ülesanne 9.

Määrata kõrvalolevalt graafikult järgmised parameetrid:

● Püsitalitlusviga;

● Maksimaalne ülereguleerimine;

● Ligikaudne IAE-kriteerium;

● Ligikaudne ISE-kriteerium.

68

Joonis 3.15. Siirdekarakteristik

4. AUTOMAATJUHTIMISSÜSTEEMIDE SÜNTEESAutomaatjuhtimissüsteemi sünteesi all mõistetakse süsteemi projekteerimist etteantud nõuetest lähtuvalt. Süntees on keerulisem protsess kui olemasoleva süsteemi analüüs, kuna sünteesil puudub ühene lahendus, sest sama tulemuseni võib viia mitu erinevat meetodit – näiteks muudetakse süsteemi struktuuri või muudetakse juhtimisalgoritme. Ühel juhul on tegemist lahendusega energia tasandil, teisel juhul aga informatsiooni tasandil [2].

Siin kohal on hea korrata juhtimisülesande formuleeringut – juhtimise ülesandeks on vastavalt juhtimise eesmärgile viia objekti kujutispunkt olekuruumi mingist algpunktist A punkti B täites samaaegselt etteantud kvaliteedinõudeid. Oluliseks üldistuseks on, et liikumine olekuruumis ei tähenda mitte ainult mingi mehhanismi lülide asendi geograafilist muutumist, vaid kogu süsteemi olekut kirjeldavate suuruste muutumist.

Tavaliselt projekteeritakse automaatjuhtimissüsteem ümber eelnevalt teadaoleva juhtimisobjekti, näiteks mootori, ümber. Kui objekti parameetrid on eelnevalt teada, siis sünteesi käigus määratakse ainult regulaatori parameetrid ehk sünteesitakse regulaator.

Regulaatorite süntees on vajalik kolmel juhul:

● süsteem on struktuurselt mittestabiilne;● süsteemi täpsus pole rahuldav;● süsteemi siirdeprotsessid ei vasta esitatud kvaliteedinõuetele.

Varasematel aegadel kasutati sünteesil katse-eksitus-meetodit, mis seadis projekteerijale suurendatud nõudmised, kuid arvutustehnika areng võimaldab süsteeme eelnevalt simuleerida, mis vähendab süsteesi maksumust ja nõudeid projekteerijale. Simulatsioone on võimalik teostada erinevate programmidega, nt. MatCAD, MATLAB jne., mis lubavad arvutusi teostada nii aeg-, sagedus kui ka olekuruumis, kuid kõige selle taustal ei tohi unustada, et simulatsioonid võivad olla ebatäpsed (vt. jaotis 3.1.4)

4.1. Sobiva regulaatori valikJärgnev käsitlus kehtib lihtsate automaatjuhtimissüsteemide korral. Ühendades omavahel stabiilse juhtimisobjekti ja stabiilse juhtseadme ei pruugi tekkiv süsteem olla stabiilne. Samas ühendades omavahel kaks mittestabiilset seadet võib uus süsteem olla stabiilne. Sellest võib mõista sünteesi keerukust, mistõttu on praktikas levinud teatavad süsteemi konfiguratsioonid, mis negatiivse tagasiside korral tagavad süsteemi struktuurse stabiilsuse [3].

Tabel 4.1. Struktuurselt stabiilsed süsteemid

Obj. P PT1 PT2 I IT1 P PT1 I P PT1 P P PT1

Reg. P P P P P PT1 PT1 PT1 I I IT1 PI PI

Projekteerimise käigus valitakse regulaator selliselt, et etteantud piirides olevad regulaatori parameetrid tagavad süsteemi stabiilsuse. Seejuures järgitakse ka reeglit, et regulaatori järk ei ületaks juhtimisobjekti järku. Selle reegli põhjuseid saab seletada järgmiselt:

Iga järgu kohta vastab süsteemis üks ajakonstant ja mida rohkem ajakonstante süsteemis on, seda aeglasem ja võnkealtim on süsteem. Regulaatoriga kompenseeritakse süsteemi

69

ajakonstante ehk üritatakse neid välja taandada. Juhul kui 2. järku süsteemi juhtimiseks kasutada 3. järku regulaatorit, siis viiakse süsteemi regulaatoriga üks ajakonstant lisaks neile kahele, mida üritati välja taandada ehk reguleerimine ei ole niivõrd efektiivne.

4.2. Erinevate regulaatorite võrdlusUurimaks PID-perekonna enamlevinumaid regulaatoreid nagu P, PI ja PID on sobiv kasutada PT3-juhtimisobjekti, mille parameetrid oleks K1 = K2 = K 3 = 1, T1 = 5 s, T2 = 1 s, T3 = 0.2 s. ja sellise automaatjuhtimissüsteem on kujutatud joonisel 4.1.

Joonis 4.1. Automaatjuhtimissüsteemi mudel Simulink keskkonnas

Regulaatorite võrdlemisel tuleb jälgida eelnevalt käsitletud põhjustel toimet nii juhtsisendi kui ka häiringu muutumiste korral, sest süsteemi käitumine neile signaalidele on erinev. Joonisel 4.2. on kujutatud ülaltoodud skeemi karakteristikud erinevate P-regulaatori võimendusteguri väärtustel nii juhtsisendile kui häiringule.

Joonis 4.2. PT3-P-süsteemi vastused a) juhtsignaali muutusele, b) häiringu muutusele

Kui olemasolev PT3-element oli iseseisvalt stabiilne, aga aeglase siirdeprotsessiga, siis varustatuna P-regulaatoriga kiirenes protsessi reaktsioon juhtsisendi muutusele, aga väikese regulaatori võimendusteguri korral muutus süsteem ebatäpseks. Suurendades võimenustegurit kiirenes protsess veelgi, samuti paranes täpsus, kuid tekkisid ka võnkelised protsessid ülereguleerimisega, mis mõnel juhul on ebasoovitavad nähtused. Regulaatori võimendusteguri

70

a) b)

edasisel suurendamisel ületatakse aga stabiilsuspiir ja väljund hakkab võnkuma kasvava amplituudiga, mille keskväärtuseks kujuneb väljundi soovitud väärtus.

Vaadates süsteemi reaktsiooni häiringule samade regulaatori võimendustegurite juures, siis võib märkida, et reaktsiooni kiirus ei sõltu regulaatorist, küll suudab regulaator kompenseerida häiringu mõju mingites piirides, suutmata aga viia seda mõju nulli. Kompensatsioon on seda efektiivsem, mida suurem on regulaatori võimendustegur, kuid sellega kaasnevad võnkelised protsessid.

Joonis 4.3. PT3-lüli ja erinevate regulaatorite vastused a) juhtimisele, b) häiringule

Võrreldes P-regulaatorit teiste regulaatoritega, siis võib märgata, et I-lüliga regulaatorid on täpsed ehk nad saavutavad süsteemi ettenähtud väärtuse väljundis, kuid nendega kaasneb paratamatult ka võnkeline protsess. Sama toimub ka häiringule reageerides, kus I-lüliga regulaatorid suudavad täielikult kompenseerida selle mõju. Kõrvutades PI regulaatori ja PID regulaatori, siis tasub erinevusena märkida, et D-lüli tagab kiirema reaktsiooni, kuigi antud näites ei ole see üheselt näha.

PID-regulaatori osade põhjuslikke toiminguid on kirjeldatud joonisel 4.5. Eeldusel, et juhtimisobjekt (joonis 4.4) töötas eelnevalt väljakujunenud režiimis ilma regulaatori toeta. Seejärel tekkis ühel ajahetkel süsteemile häiring n(t), mis kajastus võrdlussõlmel enne regulaatorit, põhjustades hälbe regulaatori sisendis, millele reageerisid kõik kolm lüli, summeerides oma toimed. Joonisel kujutatud punane toime on proportsionaalse lüli vastus hälbele, mis võimendatakse sõltuvalt regulaatori võimendustegurist. Integreerimislüli hakkab regulaatori väljundit sujuvalt suurendama (kujutatud sinisena), kuid diferentseerimislüli reageerib suure amplituudilise hüppega kõige kiiremini (kujutatud rohelisena), mis vähendab koheselt häiringu mõju. Selleks ajaks kui diferentseerimislüli hakkab oma mõju kaotama on proportsionaalne ja integraalne lüli nii palju „kosunud“, et võtavad häiringu kompenseerimise üle. Kui ühel ajahetkel on saavutatud täielik häiringu kompensatsioon, kaob regulaatori sisendilt hälve, millele reageerib ka diferentseerimislüli teistpidise hüppega, mille taandumise järel integraator jääb hoidma regulaatori väljundis juhttoimet, millega kompenseeritakse häiring. Diferentseerimis- ja proportsionaalne lüli jäävad rakenduseta, kuna puudub hälve, mis neid tööle rakendaks, integraator aga summeerib näiliselt hälvet edasi.

71

a) b)

Sellise toime tulemusena on PID-perekonna regulaa-torid laialdaselt levinud. Perekonnaks nimetatakse neid, sel põhjusel, et enamasti teostatakse nii P, PI, PD, ID regulaator PID regulaatoriga, milles deakti-veeritakse mittevajalik lüli.

4.3. PID-regulaatori häälestamineRegulaatori häälestamiseks on mitmeid erinevaid võimalusi, milledest ühte analüütilist meetodit käsitleti stabiilsuspiirkondade määramisel. Analüütilised meetodid sisaldavad tavaliselt aga märkimisväärses mahus arvutusi ning andes tulemuseks kas stabiilsuspiirid või ühe kindla parameetrite konfiguratsiooni kindla käitumisega süsteemi tarbeks olenevalt lähteülesandega määratud tingimustest. Seetõttu kasutatakse praktikas üldistatud meetodeid, mis annavad väheldaste arvutuste tulemusel esialgse parameetrite konfiguratsiooni, mida optimeeritakse hilisema simulatsiooni või seadistamise käigus. Võrdlemaks erinevaid seadistusi oma vahel kasutatakse integraalkriteeriume. Järgnevalt käsitletakse praktikas mõningaid enamlevinumaid meetodeid regulaatori häälestamiseks.

4.3.1. Ziegler-Nichols'i meetodZiegler-Nichols'i meetodit kasutatakse suletud ahelate (joonisel 4.4) korral, lähtudes stabiilsuspiirist ehk teisiti sõnas-tades – P-regulaatori võimendustegurit suurendatakse kuni süsteemi väljund võn-gub püsivalt ilma sumbuvuse või võimen-duseta. Sellele vastavat võimendustegurit nimetatakse kriitiliseks võimendusteguriks ja võnkumise perioodi kriitiliseks perioo-diks. Nendest parameetritest lähtuvalt arvutatakse regulaatori parameetrid. Arvu-tusvalemid on koondatud tabelisse 4.2 [6].

72

Joonis 4.4. Automaatjuhtimissüsteem

WR WPs yue

±

n

Joonis 4.5. PID-regulaatori toime kirjeldus

t

t

t

n(t)

e(t)

u(t)

Joonis 4.6. IT2-P-süsteemi võnkegraafik

Tabel 4.2. Regulaatori parameetrid Ziegler-Nicholsi järgi

Parameeter P-regulaator PI-regulaator PID-regulaatorKR 0.5⋅K Rkrit 0.45⋅K Rkrit 0.6⋅K Rkrit

TI - 0.83⋅T krit 0.5⋅T krit

TD - - 0.125⋅T krit

4.3.2. CHR-meetodCHR on lühend autorite nimedest – Chien, Hrones ja Reswick. CHR töötati välja Ziegler-Nichols'i meetodist aperioodiliste avatud süsteemide kindlate kvaliteedinõuete täitmiseks. Kasutades aperioodilist hüppekaja, määratakse protsessi tinglikud parameetrid [6]:

● protsessi hilistumine TH;● protsessi ajakonstant T0;● protsessi võimendustegur KP.

Joonis 4.7. Aperioodiline siirdeprotsess

Protsessi võimendustegur arvutatakse valemiga

K P= y s . (4.1)

73

Regulaatorile sobivad parameetrid arvutatakse sõltuvalt juhtimise eesmärgist ja regulaatori tüübist, mistõttu valemid on koondatud tabelisse 4.3.

Tabel 4.3. Regulaatori parameetrite arvutamine CHR-meetodiga

Seadistatav Aperioodiline protsess 20%-lise ülereguleerimisegaRegulaator Parameeter Juhtimisele Häiringule Juhtimisele Häiringule

P KR0.3K P⋅

T 0

T H

0.3K P⋅

T 0

T H

0.7K P⋅

T 0

T H

0.7K P⋅

T 0

T H

PIKR

0.35K P⋅

T 0

T H

0.6K P⋅

T 0

T H

0.6K P⋅

T 0

T H

0.7K P⋅

T 0

T H

TI 1.2⋅T 0 4⋅T H T 0 2.3⋅T H

PID

KR0.6K P⋅

T 0

T H

0.95K P⋅

T 0

T H

0.95K P⋅

T 0

T H

1.2K P⋅

T 0

T H

TI T 0 2.4⋅T H 1.35⋅T 0 2⋅T H

TD 0.5⋅T H 0.42⋅T H 0.47⋅T H 0.42⋅T H

PDKR

1.8K P⋅

T 0

T H

TD T D=0.5⋅T H

Näide 4.1.

Olgu antud juhtimisobjekt, mida kirjeldab PT3-lüli ning mille protsessi soovitakse kiirendada, lubades seejuures 20%-list ülereguleerimist väljundis. See ülesanne realiseeritakse PID-regulaatoriga. Uurimaks erinevust juhtimise ja häiringu seadistuste vahel kasutada ISE-kriteeriumi.

Kõnealust juhtimissüsteemi kirjeldab joonisel 4.1. olev automaatjuhtimissüsteemi struktuur ja joonisel 4.7. on kujutatud vastava PT3-lüli hüppekaja, millelt on võimalik määrata järgmised parameetrid:

J ISE=380 ;

K P=1 ;

T H=0.7 s ;

T 0=7.9 s .

Tabelist 4.3. valides lähetülesandele sobivad valemid avalduvad regulaatori parameetrid on koondatud tabelisse 4.4.

74

Tabel 4.4. Arvutatud regulaatori parameetrid

KR TI, s KI, s-1 TD, s KD, sJuhtimisele 10.72 10.67 1.00 0.329 3.53Häiringule 13.54 1.40 9.67 0.294 3.98

Simulatsioonide tulemused on kujutatud joonistel 4.8 ja 4.9 ning tabelis 4.5.

Joonis 4.8. Juhtimisele optimeeritud süsteemi siirdekarakteristik a) juhtsignaali muutudes, b) häiringu muutudes

Joonis 4.9. Häiringu kompenseerimisele optimeeritud süsteemi siirdekarakteristika) juhtsignaali muutudes, b) häiringu muutudes

Tabel 4.5. Integraalhinnangud regulaatori seadistuse kohta

Juhtimisele optimeeritud Häiringule optimeeritudJuhtimisele Häiringule Juhtimisele Häiringule

IAE -1.1711 -0.9244 -0.9214 -0.6790ISE 1.0134 0.0455 0.9679 0.0256

Kui hinnata regulaatori seadistust integraalkriteeriumide alusel, siis võib märkida, et häiringule optimeeritud süsteem reageerib ka juhtsignaali muutumisele paremini kui juhtimisele optimeeritud süsteem, aga võrreldes juhtsignaali muutusele järgnenud

75

a) b)

a) b)

siirdekarakteristikuid siis häiringule optimeeritud süsteemil kulub rohkem aega, et stabiliseeruda hoolimata väiksemast ülereguleerimisest. Siinkohal tuleks vaadata süteesi lähteülesannet – kas pikem stabiliseerumisaeg on lubatav? Samuti tuleb arvestada asjaoluga, et kõik empiirilised valemid annavad regulaatori seadistamiseks esialgsed parameetrid, mis sobitatakse vastavale süsteemile järeloptimeerimise käigus. Uurides seadistusi häiringu seisukohast, siis ootuspäraselt käitub häiringule optimeeritud süsteem efektiivsemalt kui juhtimisele optimeeritud, aga siiski kehtib soovitus teostada süsteemile järeloptimeerimine.

4.3.3. Regulaatori parameetrite määramine Bode diagrammiltSelle meetodi eelduseks on avatud süsteemi Bode diagrammi olemasolu ja regulaatori häälestamiseks kasutatakse graafilist lahendus meetodit [3]. Kogemuste puudumisel on tegemist katse-eksituse meetodiga, et etteantud siirdeprotsessi kvaliteedinõudeid täita, kuid süsteemi häälestamine sageduslikele protsessidele toimib sellel meetodil paremini kui kahel eelneval empiirilisel meetodil.

Kui vaadata regulaatori võimendusteguri toimet Bode diagrammil, siis võib täheldada, et võimendusteguri suurendamine tõstab ning vähendamine langetab amplituudi-sagedus-tunnusjoont, muutmata seejuures süsteemi faasi-sagedustunnusjoont. Ehk siit järeldub, et regulaatori proportsionaallüliga on võimalik saavutada etteantud amplituudireserv.

PI-regulaatori võimendusteguril on samad omadused, mis P-regulaatoril. Eeldusel, et enamik reaalseid objekte on PTn-lülid, siis integreerimislüli ajakonstant lähendatakse süsteemi suurimale ajakonstandile. Selle tulemuseks on soodne reaktsioon juhtimissig-naalide muutumisele.

PD-regulaatorit kasutatakse juhul kui juhtimisobjekt näitab integreerivat toimet. Sellisel juhul kasutatakse regulaatori faasi-sagedustunnusjoone tõstmisomadust. Nii nagu ka integreerimisajakonstant sobitati süsteemi suurima ajakonstandiga, tehakse seda ka diferentseerimisajakonstandiga.

76

Joonis 4.10. P-regulaatori Bode diagramm

L(jω)

φ(jω)

0 dB

jω

jω0°

KR

Joonis 4.11. PI-regulaatori Bode diagramm

L(jω)

φ(jω)

0 dB

jω

jω0°

KR

-90°

TI

-45°

Joonis 4.12. PD-regulaatori Bode diagramm

L(jω)

φ(jω)

0 dB

jω

jω

90°

KR

0°

TD

45°

Kasutades PID-regulaatorit sobitatakse aja-konstandid vastavaks juhtimisobjekti suuri-mate ajakonstantidega, arvestades tingimust, et T IT D . Samuti tuleb arvestada reaalsete regulaatorite parasiitajakonstatidega integreerimislüli ja diferentseerimislülide korral, mis üritatakse võimalikult väike valida, selleks, et moonutused oleks minimaalsed.

4.3.4. AmplituudioptimumVaadates üldist automaatjuhtimissüstee-mi, siis võiks eeldada, et ideaalne reaktsioon juhtimissignaalile oleks juhul kui kogu süsteemi ülekandefunktsioon

W=1 . Sellisel juhul järgib süsteemi väljund täpselt süsteemi sisendit [9].

Protsessina võib vaadata üht PTn-lüli, millega on võimalik kirjeldada suuremat osa kasutatavatest ajamitest ja mille ülekandefunktsioon on

W P p=1

a0a1⋅pa2⋅p2... . (4.2)

Sellele protsessile sobiv regulaator on PID-regulaator, mille ülekandefunktsioon on esitatav kujul

W R p=r 2⋅p

2r1⋅pr0

2⋅p. (4.3)

Pidades silmas sünteesi eesmärki W=1 on tuletatud võrrandi (4.3) parameetrite arvutamiseks võrrandite komplektid, mis on koondatud tabelisse 4.6.

Juhul kui protsessi ülekandefunktsioon on esitatud kujul

W P p=K P

∏i1T i⋅p , (4.4)

siis tingimusel, et T 1≫T =∑j=2

n

T j võib kirjeldada seda protsessi PT2-lülina

W P p=K P

1T 1⋅p⋅1T ⋅p (4.5)

või olukorras, kus kehtib T 1 , T 2≫T =∑j=3

n

T j , võib esitada protsessi PT3-lülina

W P p=K P

1T 1⋅p⋅1T 2⋅p⋅1T ⋅p .

Sellest esitlusviisist lähtuv sünteesialgoritm on esitatud tabelis 4.6.

77

Joonis 4.13. Automaatjuhtimissüsteem

WR WPs yue

±

n

Tabel 4.6. Regulaatori parameetrite määramine amplituudioptimumi alusel

Protsess Regulaator Algoritm

Ka0a1⋅pa2⋅p

2 ...

r1⋅pr0

2⋅p

r 0=a0⋅a1

2−a0⋅a2

a1⋅a2−a0⋅a3

r 1=a1⋅a1

2−a0⋅a2

a1⋅a2−a0⋅a3−a0

r2⋅p2r 1⋅pr 0

2⋅p

r 0=1∣D∣⋅[ a0

2 −a0 0−a1

22⋅a0⋅a2 −a2 a1

a222⋅a0⋅a4−2⋅a1⋅a3 −a4 a3

]r 1=

1∣D∣⋅[a1 a0

2 0a3 −a1

22⋅a0⋅a2 a1

a5 a222⋅a0⋅a4−2⋅a1⋅a3 a3

]r 2=

1∣D∣⋅[a1 −a0 a0

2

a3 −a2 −a122⋅a0⋅a2

a5 −a4 a222⋅a0⋅a4−2⋅a1⋅a3

]D=[a1 −a0 0

a3 −a2 a1

a5 −a4 a3]

K P

1T 1⋅p⋅1T ⋅p K R⋅1T R⋅p

pK R=

12⋅K P⋅T

T R=T 1

K P

1T 1⋅p⋅1T 2⋅p⋅1T ⋅p

K R⋅1T R⋅p

p

K R=1

2⋅K P⋅

T 12T 1⋅T 2T 2

2

T 1T 2⋅T 1⋅T 2

T R=T 1

2T 22⋅T 1T 2

T 12T 1⋅T 2⋅T 2

2

K R

p⋅1T R1⋅p⋅

1T R2⋅p

K R=1

2⋅K P⋅T T R1=T 1

T R2=T 2

Amplituudioptimumi seadistamisel esineb ka erijuhte, milledest kaks on esitletud tabelis 4.7 [6].

78

Tabel 4.7. Amplituudioptimumi seadistamise erijuhud [6]

Tüüp A Tüüp B

Avatud süsteemi ülekandefunktsioon

K R⋅K P⋅K I

p⋅1 p⋅T 1K R⋅K P

1 p⋅T 1⋅1p⋅T 2

Sumbuvuse ja võimendus-teguri vaheline seos

K R⋅K P⋅K I=1

4⋅2⋅T 1K R⋅K P=

T 1T 22

4⋅D2⋅T 1⋅T 2

−1

Seadistus sumbuvusele χ = 0.707

K Ropt=1

2 K P⋅K I⋅T 1 K Ropt=

T 1T 22

2⋅K P⋅T 1⋅T 2− 1

K P

ErijuhudW 0=

K R⋅K P

p⋅T I⋅1 p⋅T 1

K Ropt=T I

2 K P⋅T 1

T 2≫T 1

K Ropt=T 2

2⋅K P⋅T 1

Antud algoritmide kohaselt määratavad parameetrid ei ole parameetrid, mida saab seadistada regulaatoril, vaid neid tuleb eelnevalt veel teisendada.

Näide 4.2.

PID-regulaatori sünteesi käigus määrati regulaatori ülekandefunktsiooniks

W R p=r 2⋅p

2r1⋅pr0

2⋅p=

r 2

2⋅p

r1

2

r0

2⋅p.

Reaalse regulaatori ülekandefunktsioon on esitatud kujul

W RR p=K PK I

pK D⋅p ,

mille parameetrid on avaldatavad ülekandefunktsioonide konstantide võrdluse meetodil.

K P=r1

2, K I=

r0

2, K D=

r2

2.

4.4. Mitmelisidusate süsteemide sünteesTööstuses on laialdaselt levinud seadmed ja ajamid, milledel juhtitakse üheaegselt mitut väljundsuurust, mis omakorda sisemiselt seotud on. Sellistele Süsteemidele on sobivamad digitaalregulaatorid, millede sünteesiks kasutatakse maatriks- ja vektorarvutusi, kuid mõningatel juhtudel, nt. kaskaadreguleerimise korral võib sünteesi teostada nii aeg- kui ka sagedusruumis.

79

Joonis 4.14. Paralleelstruktuuriga mitmelisidussüsteem

Joonis 4.15. Jadastruktuuriga kaskaadreguleerimisega mitmelisidussüsteem

Paralleelstruktuuriga süsteeme sünteesitakse aegruumis harvemini kui jadastruktuuriga, mis on eriti levinud ajamite juhtimiseks, tagades ajamile kvaliteetse dünaamika olles samas lihtsalt sünteesitav ning realiseeritav. Sellise süsteemi eelised tulevad esile, kuna kasutatakse mitut regulaatorit, kus abisuuruse regulaator kompenseerib süsteemi siseselt ühe ajakonstandi, kiirendades selle osa dünaamikat, samas kui pearegulaator peab kompenseerima ülejäänud süsteemi. Kuid sellega ei lõppe veel eelised, sest asjaolu, et abisuuruse regulaator on kiirem kui pearegulaator, mistõttu sisendipoolsed häiringud kompenseeritakse abiregulaatori poolt ilma et need väljundisse jõuaksid.

Kaskaadregulaatorite sünteesil tuleb järgida järgmiseid etappe:

● Esmalt valitakse abisuuruse regulaator, nii et sellega saavutatakse soovitud siirdekarakteristik sisemisel süsteemiosal. Kvaliteedinõuded abisuurusele võivad erineda väljundile esitatud nõuetest. Samuti võib loobuda stationaarsest täpsusest, sest kiire dünaamika on tähtsaim nõue abiregulaatorile.

● Seadistatud alamsüsteemi vaadeldakse ühe terviklülina, mistõttu pearegulaatori valik sarnaneb abiregulaatori valikule.

Nende regulaatorite valik toimub jaotises 4.3. vaadeldud või teiste samaväärsete meetoditega. Paralleelstruktuuriga süsteemide süntees erineb aga jadastruktuuri sünteesist, sest eristatakse erinevaid paralleelstruktuure [6]:

● pärisidestatud ehk P-struktuur;● vastusidestatud ehk V-struktuur.

80

Joonis 4.16. Paralleelstruktuurid a) P-struktuur, b) V-struktuur

Sellistel süsteemidel kirjeldavad ülekandefunktsioonid W11 ja Wz22 peaahelaid ning W12 ja W21

sidestusahelaid. Süsteemide juhtimiseks kasutatakse regulaatoreid, mis kujutavad endast mitut koostöötavat regulaatorit. Neid nimetatakse diagonaalregulaatoriks ja kompenseeriv-regulaatoriks.

Diagonaalregulaatorit kasutatakse kui on täidetud järgmised tingimused:

● tegemist on P-struktuuri omava protsessiga;● süsteemil on võrdselt sisendeid ja väljundeid;● sidestusahelad ei ole oma loomult integreerivad.

Joonis 4.17. Diagonaalregulaatoriga süsteem

Diagonaalmaatriks saab oma nime süsteemi regulaatori maatriksi esitusviisist

W R=[W R1 00 W R2] . (4.6)

Diagonaalregulaatori süntees on lihtsam kui kompenseeriv-regulaatoril, sisaldades endas järgmisi etappe:

● peaahelate määramine;● regulaatorite valik;● regulaatori parameetrite määramine.

Peaahelate määramise all mõistetakse tegevust, mille all lepitakse kokku, milline sisendsuurus mõjutab kõige otsesemalt millist välissuurust ehk vaadates joonist 4.18, siis lepiti selle juures

81

W11

W12

W21

W22

s1

s2

y1

y2

W11

W12

W21

W22

s1

s2

y1

y2

a) b)

WR1

WR2

s2

s1 u1 y1

u2 y2

Protsess_

_

kokku, et s1 mõjutab otse y1 ja s2 mõjutab y2, kuigi oleks võidud kokkuleppida vastupidises – et s1 mõjutab y2. Sellisel juhul vahetuvad ülekandefunktsioonide asukohad joonisel, süsteem ise sellest ei muutu.

Regulaatori valikul lähtutakse nagu ka ühekontuuriliste süsteemide sünteesi korral, ainult parameetrite määramine toimub teistel alustel. Esmalt määratakse protsessi staatiline sidestustegur

S0=W 120⋅W 210W 110⋅W 220

. (4.7)

Järgnevalt määratakse peaahelate ülekandefunktsioonid, kujutledes, et teist peaahelat ei eksisteeri

W 1=W R1⋅W 11

1W R1⋅W 11, (4.8)

W 2=W R2⋅W 22

1W R2⋅W 22. (4.9)

Määramaks aga päriahelate tinglikke ülekandefunktsioone, kui peaahelad üksteist mõjutavad kasutatakse valemeid

W 1∗ p=W 11 p⋅[1−S0⋅W 2 0] , (4.10)

W 2∗ p=W 22 p⋅[1−S 0⋅W 10] . (4.11)

Nüüd on võimalik esitada päriahel järgmisel kujul

Joonis 4.18. 1. peaahela ekvivalentskeem, kui s2 = 0

Sellisele süsteemile saab hõlpsalt sünteesida regulaatori parameetrid amplituudioptimumi järgi.

Kompenseeriv-regulaatori puhul kasutatakse abiregulaatoreid, mis kompenseerivad sidestusahelate mõju ja seejärel seadistatakse pearegulaatorid nagu tavalisi regulaatoreid. Selle regulaatori puuduseks asjaolu, et neid on keeruline tehniliselt seadistada, eriti kui tegemist on muutuvate parameetritega [6].

82

WR1 Wxx*s1 y1u1e1

_

Joonis 4.19. Kompenseeriv-regulaatoriga süsteem

Eelmainitud põhjustel sobib selliste regulaatorite süntees automaatikaspetsialistile ja seega seda siin edasi ei käsitleta.

83

WR11

WR22

s2

s1 u1 y1

u2 y2

Protsess_

_

WR12

WR21

Ülesandeid 4. peatüki juurdeÜlesanne 10.

Juhtimisobjektiks on IT2-lüli, parameetritega K = 1.25 s-1, T1 = 0.2 s, T2 = 3.9 s. Valida objektile sobiv regulaator ja määrata selle parameetrid. Saadud tulemused optimeerida.

Ülesanne 11.

Juhtimisobjektiks on PT3-lüli, parameetritega K = 4.23, T1 = 0.12 s, T2 = 0.78 s, T3 = 9.78 s. Valida objektile sobiv regulaator ning sünteesida selle parameetrid järgmistel meetoditel:

● Ziegler-Nichols'i meetodil;● Chien, Hrones ja Reswick'i meetodil;● Amplituudioptimumi meetodil.

Milliseid erinevusi võib märgata kogusüsteemi hüppekajal erinevate parameetrite komplektidega?

Ülesanne 12.

Juhtimisobjektiks on IT1-lüli, parameetritega K = 1 s-1, T1 = 0.78 s. Valida objektile sobiv regulaator ja sünteesida selle parameetrid amplituudioptimumi meetodil.

Ülesanne 13.

Alalisvoolumootorit soovitakse kasutada kiirusjuhtimisega ajamis. Ajami parameetrid on:

● mootori takistus R = 2.23 Ω;● mootori induktiivsus L = 0.214 H;● mootori masinategur c = 0.011 Vs;● mootori inertsmoment J = 2.4 · 10-3 kgm2.

Arvestustest võib välja jätta koormuse ja elektromotoorjõu mõjud, samuti jõumuunduri hilistumisest tingitud moonutused. Selline süsteem on kujutatud joonisel 4.15. Voolu reguleerimiseks kasutada P-regulaatorit ja kiiruse jaoks ka P-regulaatorit. Sünteesida nende regulaatorite parameetrid.

84

5. MITTELINEAARSED LÜLIDEelmistes peatükkides käsitleti pidevaid süsteeme ehk süsteeme millede sisendi muutusele vastas alati väljundi muutus, mis kogu signaaliväärtuse diapasoonis oli avaldatav ühe võrrandi kaudu. Selline kujutusviis on mõneti ebatäpne, kuid enamasti jääb ajamite korral tekkiv viga väiksemaks, kui mõõteriista täpsusklass. Samuti vähendab viga asjaolu, et enamasti töötatakse karakteristiku lineaarsel osal.

Siiski tekib olukordi, kui süsteemi peab kirjeldama mittelineaarse lülina ehk sisendi muutusele vastavat väljundi muutust kirjeldav võrrand sõltub sellest, kui suur on sisendsignaal ja mõnikord ka kui suur oli signaal eelmisel ajahetkel (hüstereesi korral) [6].

5.1. Mittelineaarsed tüüplülid

Joonis 5.1. Mittelineaarsed tüüplülid a) lineaarne, b) küllastuv, c) tundetustsooniga,d) hüstereesiga, e) kaks-punkt-karakteristik

Küllastuva lüliga peaks kirjeldama tegelikult kõiki võimendavaid lülisid, sest reaalsetel võimenditel piiratakse väljundi kasvu toiteenergia tasemel. Näiteks kasutades türistorsilda, saaks muunduri pinget reguleerida vahemikus 0...400 V, samas D-regulaatori korral võiks pinge hetkväärtus ületada kilovoldi piiri. Matemaatiliselt esitatakse seda lüli iseloomustavad võrrandid ühtse süsteemina

y= y1 , kui ss1

y=K⋅s , kui s1ss2

y= y2 , kui ss2

. (5.1)

Tundetustsoon esineb kõigil seadmetel, kuid suhteliselt suurim tundetustsoon eksisteerib mõõteriistadel ja ülekannetel. Näiteks magnetelektrilisel mõõteriistal peab mõõdetav vool ületama esmalt vedrude ja laagrite vastupanu jõud. Ülekannete puhul iseloomustab tundetust lõtk kahe ratta hammaste vahel või variaatori puhul rihma elastsus. Matemaatiline esitus on

y=−K⋅s , kui ss1

y=0, kui s1ss2

y= K⋅s , kui ss2

. (5.2)

Hüstereesi võib täheldada magnetsüdamikuga releede juures, kus näiteks südamiku jääkmagnetism hoiab kontakte veel kinni, kuigi signaal selleks on juba kadunud. Sama relee rakendumisel peab magnetvoog läbima ka õhupilu, mistõttu rakendumiseks on vajalik suurem sisendsignaal kui tagastumiseks. Võrrandisüsteemina avaldatuna

85

y

s

y

s

y

s

y

s

y

s

a) b) c) d) e)

s1

s2

y1

y2

s1

s2 s1

s2

y1

y2

y= y1, kui ss1

y= y1, kui s1ss2 , yenne= y1

y= y2, kui s1ss2 , yenne= y2

y= y2, kui ss2

. (5.3)

Kaks-punkt-karakteristik kirjeldab aga releesid üldiselt – ühel sisendi väärtusel toimub väljundis hüpe (nt. releekontakt sulgudes) ja sisendi edasisel suurendamisel väljund ei kasva. Küll aga muutub väljund hüppeliselt sisendsignaali kahanedes (nt. kontakt avanedes). Matemaatiline esitlusviis

y= y1 , kui s0y= y2 , kui s0 . (5.4)

Tegelikud mittelineaarsed lülid on aga tavaliselt kombinatsioonid tüüplülidest. Näiteks võib täheldada ka bimetallreleel, mida kirjeldab hästi kaks-punkt-karakteristik, hüstereesi. Reaalsel mõõteriistal lõpeb millalgi mõõtepiirkond ja seda võib kirjeldada küllastusse minekuga. Sellest tulenevalt tuleb vaadelda kõiki automaatjuhtimissüsteemi mittelineaarseid osi hoolikalt, et neid õige võrrandisüsteemiga kirjeldada ning kui on välistatud seadme sattumine mittelineaarsesse režiimi, siis võib seadet kirjeldada lineaarsena.

5.2. Mittelineaarsed regulaatoridPidevregulaatorite korral kehtib seos u t = f e t , mida on kujutatud joonisel 5.2. Kui hälve muutub pidevana vahemikus 0...e1, siis muutub selles vahemikus pidevana ka juhttoime. Juhul kui e1=0 , siis on juhttoimel ainult kaks võimalikku väärtust – u=0 või u=umax ehk tegemist oleks kaks-punkt-regulaatoriga. Sellist karakteristikut omavad releed, bimetalllülitid jms. Ning nii nagu pidevregulaator, toimib mittelineaarne regulaator hälbele. Antud karakteristiku korral positiivse hälbe korral lülituks regulaator sisse ja negatiivse hälbe korral välja [6].

Kuigi mittelineaarsed regulaatorid on tehniliselt lihtsamad on neil ka üks puudus – võnkuv juhttoime. Selline signaal on tingitud regulaatori pidevast lülitumisest, kusjuures lülitusperiood on võrdne võnkeperioodiga ning mida pikem on lülitusperiood, seda suurem on võnkeamplituud. Kuna mehaaniliselt lülituvatel seadmetel on piiratud lülituste arv, siis kasutati varasematel aegadel selliseid regulaatoreid lihtsamate ülesannete täitmiseks – toatem-peratuuri, veetaseme jms. juhtimiseks.

Kaasaegsed lülitavad regulaatorid omavad aga suuremat lülituste arvu, mistõttu hästi seadistatud süsteemis tekkiva võnkumise amplituud jääb väiksemaks kui mõõteriista tundetuspiir. See asjaolu võimaldab kasutada selliseid regulaatoreid ka keerulisemate ülesannete täitmiseks [6].

86

Joonis 5.2. Pideva süsteemi karakteristik

u

ee1

umax

5.2.1. Kaks-punkt-regulaator ja PT1-Th juhtimisobjektJoonisel 5.3. on kujutatud läbijooksva vee soojendussüsteemi, mida juhitakse kontakt-termomeetriga. Seadet sisselülitades rakendub relee ja küttekeha saab toite, mille tulemusel hakkab vee temperatuur tõusma. Sellest lähtuvalt tõuseb termomeetri elavhõbeda sammas, mis jõudes kokkupuutesse ülemise (seadistatava) kontaktiga lühistab relee mähise, mistõttu viimase kontakt avaneb ja küttekeha jääb toiteta. Veetemperatuuri alanedes katkeb termomeetri kontakt ja küttekeha lülitatakse uuesti toitele [6].

Joonis 5.3. Veesoojendi

Kui vaadata sellist süsteemi automaatika seiskohalt, siis võib täheldada, et nii küttekeha, vee ja elavhõbeda temperatuurid kasvavad aperioodiliselt ja viivituse süsteemis tekitavad termomeetri ja küttekeha kambriseinad. Relee hüstereesi võib jätta siinkohal arvestamata, kuna on suhteliselt väike võrreldes teiste ajakonstantidega. Ehk lõppkokkuvõttes on tegemist PTn-Th-süsteemiga, mida võib lähendada PT1-Th-süsteemile. Selle süsteemi parameetrid on võimalik saada sarnaselt CHR-sünteesimeetodi juures vaadeldutega ning süsteemi võib esitada järgmise struktuuriskeemina.

Joonis 5.4. Veesoojendi aseskeem

Üks lihtsustus, mis antud näites veel tehakse, on soojenemise ja jahtumise ajakonstantide võrdsustamine, mis reaalsuses tõele ei vasta. Selle tõestamiseks võib vaadata keha pinda, mille kaudu kehale soojusenergiat antakse ja võrrelda seda pinnaga mille kaudu keha soojust ära annab ehk jahtub. Moonutusi võivad põhjustada ka soojuse ja soojusest tingitud liikumine kehas.

Kui süsteem töösse võetakse ( y0=0 ), hakkab selle väljund peale viivitusaega aperioodiliselt kasvama. Ilma regulaatorita süsteemi korral kuni y∞=K P⋅s . Kasutades regulaatorit ja tagasisidet on võimalik vähendada süsteemi väljundit (nt. vähendada võimsust), samas väheneb näiliselt ka süsteemi ajakonstant.

87

LN

Kontakt-termomeeter

Küttekeha

s yue

_

KP , T1 , Th

Joonis 5.5. Veesoojendi protsessi suuruste siirdekarakteristikud

Määramaks regulaatori lülituskestust saab avaldada

t t=T ht 2 (5.5)

ja sarnaselt avaldub pausikestus

t p=T ht 1 . (5.6)

Määratud kestused annavad kokku lülitusperioodi, mis on samaaegselt on ka väljundi võnkeperioodiks

T lp=t tt p . (5.7)

Väljundi ülemine piir avaldub

ymax=s y∞−s⋅1−e−

T h

T 1 , (5.8)

kus

y∞=K P⋅u . (5.9)

Väljundi alumine piir vastavalt

ymin=s⋅e−

T h

T 1 . (5.10)

Lahutades võrrandist (5.8) võrrandi (5.10) saab määrata võnkeulatust

2⋅y0= ymax− ymin= y∞⋅1−e−

Th

T1 . (5.11)

88

Th

T1

s

0.5*u

ymin

ymax

loomulik

Th Tht1 t2

2 y0

y∞

Võrrandist (5.11) järeldub, et võnkeulatus on võrdelises seoses süsteemi viivitusega ja pöördvõrdelises seoses ajakonstandiga. Märkimisväärne on asjaolu, et võnkeulatus ei sõltu seadesuurusest, vaid ainult süsteemi ajakonstantidest.

Joonisel 5.5. on kujutatud olukorda, kus seadesuurus s = ½ y∞. Sellisel juhul võngub väljund ümber seadesuurusega määratud keskväärtuse. Kui seadesuurust suurendada või vähendada, siis võnkumise keskväärtus ei lange kokku seadesuuruse poolt määratud väärtusega. Seda erinevust nimetatakse keskväärtuse nihkeks ning mis arvutatakse seostest

yk=ymax ymin

2, (5.12)

ykn=s− yk=s− y∞2 ⋅1−e

−T h

T 1 . (5.13)

Joonis 5.6. Keskväärtuse nihke graafiline näide

Võnkeperioodi valem on toodud võrrandiga (5.7). Eelnevalt tuleb määrata aeg t1 ja t2, mis määratakse valemitega

t 1=T 1⋅ln[ y∞s 1− y∞s ⋅e

−T h

T 1] , (5.14)

t 2=T 1⋅lny∞−s⋅e

−T h

T1

y∞−s. (5.15)

Asetades eelnevad võrrandid võrrandisse (5.7) avaldub võnkeperiood

89

T lp=2⋅T hT 1⋅ln[ 1

1− sy∞

−e−

T h

T 1⋅ y∞s−e−

T h

T1] . (5.16)

Joonisel 5.7. on kujutatud lülitusperioodi ja lülituskestuse sõltuvust seadesuurusest, juhul kui T h

T 1=0.25 . Sellest nähtub, et lülitusperiood on minimaalne, kui

sy∞=0.5 , samas

punktis on lülituskestus võrdne lülituspausiga. Sellise süsteemi reguleerimise diapasoon sisendi järgi on 0.2 ... 0.8, kuna väljaspool seda piirkonda suureneb järsult võnkeperiood, samas ka keskväärtuse nihe. Juhul kui süsteemi viide läheneb nullile, läheneb ka võnkeperiood nullile. Lülitussagedus, olles võnkeperioodi pöördväärtus, läheneb lõpmatusele, mis seab suured nõudmised releepõhistele regulaatoritele piiratud lülituste arvu tõttu. Seega sünteesi käigus leitakse kompromiss lülitussageduse ja võnkeulatuse vahel.

Joonis 5.7. Süsteemi parameetrite sõltuvus seadesuurusest a) lülitusperiood, b) lülituskestus

5.2.2. Hüstereesiga kaks-punkt-regulaator ja PT1 juhtimisobjektEnamus reaalseid releetoimelisi seadmeid omavad hüstereesi, olgu see siis põhjustatud magnetismist, hõõrdumisest vms. Seejuures ei pruugi hüsterees nullpunkti suhtes olla sümmeetriline, kuid siiski kehtib seaduspärasus, et relee rakendumisväärtus on suurem tagastumisväärtusest [6].

Joonisel 5.8. on kujutatud hüstereesiga regulaatorit juhtimas aperioodilist protsessi. Sarnaselt eelmises jaotises tehtud lihtsustustega võib eeldada, et protsessi ajakonstant väljundi kasvamisele on võrdne ajakonstandiga kahanemisele. Lihtsustuse mõttes on ka relee valitud sümmeetrilise hüstereesiga.

Joonis 5.8. Hüstereesiga kaks-punkt-regulaator ja aperioodiline protsess

90

a) b)

s yue

_

KP , T1

Selle süsteemi tööle rakendamisel hakkab väljund kasvama eksponentsiaalselt kuni väärtuseni s yhys , misjärel relee tagastub ning väljund kahaneb väärtuseni s− yhys , kui relee

uuesti rakendub. Selline protsess jääb toimuma perioodiliselt, kuid erinevuseks eelmises jaotises vaadatuga langeb võnkumise keskväärtus kokku seadesuurusega.

Joonis 5.9. Siirdekarakteristik hüstereesiga regulaatoriga süsteemile

Relee lülituskestus on arvutatav valemiga

t t=T 1⋅lny∞−s yhys

y∞−s− yhys(5.17)

ning pausi kestus vastavalt

t p=T 1⋅lns yhys

s− yhys. (5.18)

Liites omavahel võrrandid (5.17) ja (5.18) on arvutatav lülitusperiood

T lp=T 1⋅[ln y∞−s yhys

y∞−s− yhysln

s yhys

s− yhys ] . (5.19)

Sarnaselt eelmises jaotises vaadeldud süsteemiga toimib antud süsteemis viide, aga see ei sõltu mitte protsessi parameetritest, vaid on määratud regulaatori hüstereesiga. Võrreldes võrrandeid (5.16) ja (5.19) võib täheldada, et lülitusperioodi mõjutab ka selles süsteemis suhe

sy∞

, mis graafiliselt on esitatud joonisel 5.10, tingimusel, et yhys

y∞=0.1 . Antud suhe

vastab põhimõtteliselt suhtele T h

T 1 , mis esitati eelmisele süsteemile.

91

tttp

Tlp

Joonis 5.10. Lülitusperioodi sõltuvus seadesuurusest

5.2.3. Kaks-punkt-regulaator lokaalse tagasisidegaKahes eelmises jaotises vaadatud süsteemide käitumist mõjutasid väga tugevalt protsessi kui ka relee enda parameetrid põhjustades suhteliselt suure amplituudilist ja kestvat võnkumist väljundis. Kasutades aga releetoimelisel regulaatoril lokaalset tagasisidet muutub võimalikuks vähendada tööpunkti võnkumist ning ideaaljuhul isegi täielikult kõrvaldada [3].

Joonis 5.11. Tagasisidestatud kaks-punkt-regulaatoriga süsteem

Rakendades selle süsteemi töösse lülitub releetoimeline seade sisse ning süsteemi väljund ja lokaalse tagasiside väärtused hakkavad kasvama. Lokaalse tagasiside eesmärk on tekitada relee sisendile näiline väljundiväärtus, mis sunniks seda varem välja lülituma vähendades niimoodi tööpunkti võnkeamplituudi.

Vaadates juhtseadet iseseisvana, siis võib täheldada, et hüstereesiga ja PT1-lüliga tagasisidestatud juhtseade toimib PD-regulaatorina. Joonisel 5.12. on kujutatud juhtseadme sisend-, tagasiside, hälbe- ja väljundväärtus ajas. Vaadates viimast karakteristikut, mis kujutab endast keskmistatud väljundväärtust, siis võib veenduda, et see sarnaneb pidevatoimelise PD-karakteristikuga.

Sellisele regulaatori kohta võib esitada parameetrid

K R=K r⋅umax (5.20)

ja

T R=T r . (5.21)

92

s yue

_

KP , T1

Kr , Tr

_ er

Joonis 5.12. Lokaalse tagasisidega juhtseadme karakteristikud

Määramaks neid parameetreid kogusüsteemi juhtimiseks vaadeldakse süsteemi ilma lokaalse tagasisideta ja selle väljundkarakteristikult määratakse kriitiline võnkeulatus ja kriitiline periood.

Joonis 5.13. Lokaalse tagasisideta süsteemi karakteristik

Regulaatori parameetrid avalduvad kriitiliste parameetrite kaudu järgmiselt

K R=2⋅y krit (2.22)

T R=T krit

16. (2.23)

93

Tkritykrit

Joonis 5.14. Pideva ja releetoimelise regulaatori võrdlus

Kuna tegemist oli PD-toimelise regulaatoriga, siis tekib süsteemil püsitalitlusviga, aga võrreldes releetoimelist regulaatorit pidevatoimelisega, siis võib märkida, et mõlemad töötavad sarnaselt, omades aga erinevat staatilist viga, mis releetoimelisel juhtseadmel on väiksem tänu hüstereesist tingitud võnkumisele. Osaliselt on erinevus tingitud ka mudelite ebatäpsusest, sest matemaatiliselt põhjustab D-lüli statistilist viga ja relee puhul on tegemist mittelineaarsustega.

5.2.4. Hüstereesiga kolm-punkt-regulaator ja I-täiturelementKaks-punkt-regulaatorite puuduseks on see, et nendega ei ole võimalik juhtida reversiivseid protsesse, nt. elektrimootoreid või siis etapiviisilist lülitust, sest nendega on võimalik lülitada kahe diskreetse oleku vahel. Kolm-punkt-regulaatorid on seevastu kombinatsioon kahest kaks-punkt-regulaatorist võimaldades juhtida niimoodi reversiivseid protsesse. Selline juhtimine õigustab ennast täiturmootorite juures, kus tegemist on väikeste võimsustega ning mootorit tuleb tihti mõlemas suunas käivitada, nt. mootorventiilide avamiseks, sulgemiseks. Seejuures võib vaadelda täiturmootorit juhtseadme osana, mida saab hästi kirjeldada I-lüliga [3].

Joonis 5.15. Temperatuuri reguleerimine kolm-punkt-regulaatoriga

94

Lülitades sellise süsteemi töösse saab, siis sõltuvalt ruumi tegelikust, soovitud temperatuurist ning ventiiliasendist määratakse relee mähise pinge polaarsus. Tööpõhimõtte selgituseks võib eeldada, et algselt saab relee positiivse pinge sildlülitusest, sulgedes oma kontakti nii, et täiturmootor avab ventiili. Selle käigus muutub juba mähise toitepinge (ventiili asendiandur), kuid siiski ei tagastu relee hüstereesi tõttu, v. a. juhul kui ventiil on täielikult avatud, sellisel juhul väheneb toitepinge mähise klemmidel niivõrd, et mootori toide katkeb. Temperatuuri tõustes ruumis muutub takistus-termomeetri takistuse väärtus, mille tulemusel muutub relee toitepinge kuni selle polaarsus muutub ja relee lülitab mootorile negatiivse toitepinge, mille tulemusena hakkab mootor ventiili sulgema. Samaaegselt muutuvad nii ventiili asendianduri kui ka termomeetri takistuste väärtused. Mingist hetkest alates stabiliseerub süsteem seadesuuruse ja parameetritega määratud punkti ümber [6].

Kolm-punkt-regulaatori võib esitada mõnel juhul ka järgmise struktuuriskeemina

Joonis 5.16. Kolm-punkt-regulaator lokaalse tagasiside ja integreeriva väljundiga

Joonis 5.17. Kolm-punkt-regulaatori sisemised siirdekarakteristikud

Vaadates viimast karakteristikut, siis võib täheldada, et regulaatoril on PI-toime, kuid suurtes piirides toimib regulaator nagu kaks-punkt-regulaatorgi.

95

ue

KR , TR

_ er

KI

Ülesandeid 5. peatüki juurdeÜlesanne 14.

Kirjeldage joonisel 5.18 kujutatud süsteemi signaalide kulgu ajas, kasutades selleks juurdelisatud koordinaadistikke.

Joonis 5.18. Süsteem kolm-punkt-regulaatoriga

Joonis 5.19. Karakteristikud signaalide kulgemise kirjeldamiseks

96

s-

e y

u

K = 1 s-1

y

u1.5

0.5

-0.5

1

-1

-1.5

1 2 3 4 5 6 7 8

t0.5

1.0

1.5

-0.5

-1.0

-1.5

0.0

s

1 2 3 4 5 6 7 8

t0.5

1.0

1.5

-0.5

-1.0

-1.5

0.0

y

1 2 3 4 5 6 7 8

t0.5

1.0

1.5

-0.5

-1.0

-1.5

0.0

e

1 2 3 4 5 6 7 8

t0.5

1.0

1.5

-0.5

-1.0

-1.5

0.0

u

6. DISKREETSED SÜSTEEMIDDiskreetsete süsteemide all mõistetakse süsteeme, mida vaadeldakse diskreetses ajas ehk mittepidevalt. Eristamaks omavahel pidevat ja mittepidevat aega võiks pidevat aega võrrelda videoülesvõttega, sellal kui mittepidevat süsteemi kirjeldaks fotoülesvõte ehk süsteemi olekumuutujate väärtused muutuvad hüplikult teatava intervalli tagant.

Joonis 6.1. Diskreetse süsteemi signaali muundusprotsessid

Tihtipeale tegelevad selliste „ülesvõtetega“ arvutite analoog-digitaal-muundurid, mis sulgevad oma sisendis üheks ajahetkeks kontakti, saades nii olekumuutuja hetkväärtuse. Kuna muundusprotsess võtab aega, siis tuleb hetkväärtust kvantiseerimise vältel hoida muutumatuna. Selleks lahutatakse peale hetkväärtuse saamist kontakt sisendis ning hetkväärtus suunatakse nn. mäluelementi, mis tagab selle säilimise kvantiseerimisprotsessi kestel [10].

Kõige kriitilisem selle protsessi juures on valida õige kvantimiseperiood T0. Juhul kui kvantimisperiood on võrreldes protsessi sagedusega pikk, siis saadav kujutis süsteemist ei vasta reaalsusele. Lühike kvantiseerimisperiood seevastu annab küll õige kujutise süsteemist, aga sellega seoses kasvab töödeldava informatsiooni maht arvutustes, mille äärmuslikuks tulemuseks võib olla olukord, kus arvuti ei jõua töödelda hetkeinformatsiooni, sest on töötlemata alles eelmise hetke informatsioon ning see olukord on progresseeruv.

Õige kvantiseerimissageduse saab määrata seosest

f 0min=2⋅ f protsess , (6.1)

kuid tööstuslik soovitus on

f 0=10⋅ f protsess . (6.2)

Viimasel juhul võiks rääkida reaal-aja-mudelitest, sest filtreerides kvantiseerimissageduse signaalist välja, muutub signaal taas analoogsignaaliks, mille erinevus originaalsignaalist ei oma tehniliselt mingit tähtsust.

6.1. Matemaatilisi teisendusi

6.1.1. Üleminek diferentsiaalvõrranditelt diferentsvõrranditeleReaal-aja-mudelite korral võib süsteeme kirjeldada diferentsvõrranditega, mis oma olemuselt ei erine diferentsiaalvõrranditest [10].

97

y(k)y(t)

T0

y(k) y*(t)

Näide 6.1.

Ajas muutuv funktsioon

y t≈ y k

Näide 6.2.

Esimest järku tuletis

d y t dt=lim

T 0

y t − y t−T 0T 0

≈y k − y k−1

T 0.

Näide 6.3.

Teist järku tuletis

d 2 y t dt2 =lim

T 0

dy t dt−

dy t−T 0dt

T 0≈

y k −2⋅y k−1 y k−2T 0

2.

Näide 6.4.

Integraal trapetsvalemi järgi, jättes tegemata veaarvutuse

∫a

b

y t dt=b−an⋅[12⋅ y 0 y k⋅n∑

i=1

n−1

y k⋅i ] ,

kus n – andmepunktide koguarv vahemikus a...b.

Näide 6.5.

Olgu antud diferentsiaalvõrrand

0⋅y t 1⋅y t y t =0⋅s t ,

mis diferentsvõrrandina esitub

a0⋅y k a1⋅y k−1a2⋅y k−2=b0⋅s k .

Eesmärk on määrata diferentsvõrrandi kordajad. Selleks kasutatakse näidetes 6.1...6.3 määratud üleminekufunktsioone.

0⋅y k −2⋅y k−1 y k−2

T 02 1⋅

y k − y k−1T 0

y k =0⋅s k

Peale korrastamist on võimalik esitada viimane võrrand kujul

2

T 021

T 01⋅y k − 2⋅2

T 02 1

T 0 ⋅y k−12

T 02⋅y k−2=0⋅s k .

Vastavalt konstantide võrdlemisele on avaldatav

a0=2

T 021

T 01 , a1=−

2⋅2

T 02 −1

T 0, a2=

2

T 02 , b0=0 .

98

6.1.2. z-teisendusz-teisendus omab diskreetsete süsteemide kirjeldamisel samasugust tähtsust nagu Laplace'i teisendus omab pidevate süsteemide kirjeldamisel, vähendades matemaatiliste arvutuste mahtu. Teisendus ise on aga töömahukas, mistõttu kasutatakse praktikas konverteerimis-tabeleid enamlevinumatele funktsioonidele (vt. Lisa 2). Teiste funktsioonide korral kasutatakse tarkvarapakettide abi või siis teostatakse teisendused järgmiste võrrandite abil [10].

Laplace'i teisendus avaldus

y p =ℒ { y t }=∫0

∞

y t ⋅e−p⋅t dt . (6.3)

Teostades teisenduse t=k⋅T 0 saab võrrand (6.3) kuju

y∗ p =ℒ {y∗t }=∑k=0

∞

y k⋅T 0⋅e−p⋅k⋅T 0⋅1 s (6.4)

ning tähistades e p⋅T 0= z

z {y k⋅T 0}=∑k=0

∞

y k⋅T 0⋅z−k⋅1 s . (6.5)

Võrrand (6.5) avaldub lõpmata pika reana, mida on võimalik koondada.

Näide 6.6.

Ühikhüpe on avaldatav kujul 1t =1k⋅T 0 , mis peale z-teisendust esitub reana

y z =1 z−1z−2 z−3... ,

mis koondub kujule

y z = 11−z−1=

zz−1 .

6.1.2.1. Viitelülita diskreetse süsteemi kirjeldamineViitelülita analoogsüsteemi diferentsiaalvõrrandi üldkuju on

01⋅dydt2⋅

d 2 ydt 2 ...m⋅

d m ydt m =01⋅

d sdt2⋅

d 2 sdt 2 ...m⋅

d m sdt m . (6.6)

Nimetatud võrrandi üldkuju diferentside kaudu esitatuna on

y k a1⋅y k−1...am⋅y k−m=b0⋅sk b1⋅s k−1...bm⋅s k−m . (6.7)

z-ülekandefunktsioon on avaldatav vastavalt

W z = y z s z =

b0b1⋅z−1...bm⋅z

−m

1a1⋅z−1...am⋅z

−m . (6.8)

Väikese kvantiseerimisperioodi kestusega süsteemile võib arvutada kordajad näites 6.5. kirjeldatud meetodil. Suure kvantiseerimisperioodiga süsteemide korral tuleb kasutada

99

kordajate leidmiseks z-teisendust. Sellisel juhul tuleb vaadelda analoog-digitaal-muundusprotsessi mäluelementi iseseisva lülina ja ka sellele tuleks esitada ülekandefunktsioon. Signaali kujutis y∗t joonisel 6.1 on arvutatav kujul

y∗t =∑k=0

∞

y k⋅T 0⋅1 t , (6.9)

mis peale Laplace'i teisendust esitub ülekandefunktsioonina

M p= 1p⋅1−e−p⋅T 0 . (6.10)

Seega protsessi z-ülekandefunktsioon on arvutavav võrrandiga (6.11)

MW z =z {M p⋅W p}=z{1−e−p⋅T 0⋅W p

p }=1− z−1⋅z{W pp } . (6.11)

Näide 6.7.

Olgu antud PT2-lüli, mille ülekande-funktsioon avaldub

W p = K1 p⋅T 1⋅1p⋅T 2

=

KT 1⋅T 2

1T 1 p⋅ 1

T 2 p

.

Järgnevalt jaotatakse teisendatav funktsioon lihtsamateks osadeks, et oleks võimalik kasutada lisas toodud teisendustabelit.

W pp=

KT 1⋅T 2

p⋅ 1T 1p⋅ 1

T 2 p=

C1

p

C 2

1T 1p

C3

1T 2 p

Konstandid arvutatakse järgnevalt

C1∣s=0=p⋅ K

T 1⋅T 2

p⋅ 1T 1 p⋅ 1

T 2 p−

p⋅C2

1T 1 p−

p⋅C3

1T 2 p=K ,

C2∣s=− 1T 1

= 1T 1 p⋅ K

T 1⋅T 2

p⋅ 1T 1 p⋅ 1

T 2p − 1

T 1p ⋅C1

p− 1T 1p⋅C3

1T 2 p

=K⋅T 1

T 2−T 1,

C3∣s=− 1T 2

= 1

T 2 p⋅ K

T 1⋅T 2

p⋅ 1T 1p ⋅ 1

T 2p − 1

T 2 p⋅C1

p− 1T 2 p⋅C2

1T 1 p

=K⋅T 2

T 1−T 2.

100

Järgmise sammuna võib teostada z-teisenduse funktsioonist

MW z =1−z−1⋅z{C1

p

C 2

1T 1p

C3

1T 2 p} ,

kasutades selleks lisas 2 toodud teisendustabelit, misjärel esitub viimane võrrand kujul

MW z =1−z−1⋅{ C1

1−z−1C2⋅z

z−e−

T0

T1

C3⋅z

z−e−

T 0

T 2 } .

Peale lihtsustamist avaldub z-ülekandefunktsioon

MW z =C 1⋅[1−e−

T 0

T 1e−

T 0

T 2⋅z−1e−

T 0

T 1⋅e−

T 0

T 2⋅z−2]C 2⋅[1−1e−

T 0

T 2⋅z−1e−

T 0

T 2⋅z−2]C 3⋅[1−1e−

T 0

T 1 ⋅z−1e−

T 0

T 1⋅z−2]

1−e−

T 0

T 1e−

T 0

T 2 ⋅z−1e−

T 0

T 1⋅e−

T 0

T 2⋅z−2

.

Peale mõningast teisendamist, mille käigus järjestatakse kõik liikmed z-järkude järgi võib avaldada võrrandid parameetrite arvutamiseks lähtudes võrrandist (6.8).

b0=C1C2C3

b1=−C1⋅e−

T 0

T 1e−

T 0

T 2−C 2⋅1e−

T 0

T 2 −C3⋅1e−

T 0

T 1

b2=C1⋅e−

T 0

T1−

T 0

T 2C2⋅e−

T 0

T 2C3⋅e−

T0

T1

a2=e−

T 0

T 1−

T0

T2

a1=−e−

T 0

T 1−e−

T 0

T 2 .

Kontrollimaks arvutatud parameetrite õigsust, kehtib seos

K= ∑ b1∑ a

.

NB! Kontrollarvutus on tulemuslik ainult juhul, kui võetakse arvesse piisavalt palju kohti peale koma. Enamasti piisab kolmest-neljast kohast peale koma.

NB! Kõik parameetrid sõltuvad kvantiseerimisperioodist, mistõttu suur kvantiseerimisperiood võib muuta süsteemi mittestabiilseks.

6.1.2.2. Viitelüliga diskreetse süsteemi kirjeldamineJuhul, kui süsteemis eksisteerib puhas viitelüli, mille viiteaega on võimalik kirjeldada seosega

T h=v⋅T 0 , (6.12)

kus v=1,2... , siis z-ülekandefunktsioon on esitatav kujul

MW z =M z ⋅W z ⋅z−v (6.13)

101

ja diferentsvõrrand kujulyk a1⋅y k−1...am⋅y k−m=b0⋅sk−v b1⋅sk−v−1...bm⋅sk−v−m . (6.14)

6.1.3. z-teisenduse ja diferentsvõrrandi vaheline seosDiferentsvõrrandi puhul vaadeldakse signaalide väärtusi eri ajahetkedel ehk süsteemi võib kirjeldada nihke- ehk viitelülidega, mis graafiliselt on esitatud joonisel 6.2

Joonis 6.2. Nihkelüli mõiste

Näide 6.8.

Olgu antud 2. järku z-ülekandefunktsioon

MW z = y z s z =

b0b1⋅z−1b2⋅z

−2

1a1⋅z−1a2⋅z

−2 ,

mis on esitatav kujul

y z a1⋅y z ⋅z−1a2⋅y z ⋅z

−2=b0⋅s z b1⋅s z ⋅z−1b2⋅s z ⋅z

−2 .

Lähtuvalt joonisel 6.2. kujutatud seosest avaldub 2. järku z-ülekandefunktsioon diferentsvõrrandina

y k a1⋅y k−1a2⋅y k−2=b0⋅s k b1⋅sk−1b2⋅s k−2 .

6.2. Diskreetse süsteemi stabiilsusDiskreetse süsteemi stabiilsuskriteerium põhineb ülekandefunktsiooni maksimumidel ehk tunnusvõrrandi lahenditel ja see on formuleeritud järgmiselt [3], [6], [10].

Diskreetne süsteem on stabiilne, kui tema z-ülekandefunktsiooni tunnusvõrrandi lahendid mahuvad komplekstasandil ringjoone, mille tsenter on tasandi nullpunkt ja raadius on 1, sisse.

Näide 6.9.

Olgu antud z-ülekandefunktsioon

MW z = 1z2−0.3⋅z0.5

,

mille tunnusvõrrandi lahendid on

z1=0.15 j⋅0.691z2=0.15− j⋅0.691 .

Graafiliselt esitatuna

102

z-1

T0

y(z) y(z) z-1

y(k) y[(k-1)T0]

Joonis 6.3. Poolus-null-diagramm z-tasandil

Sarnaselt sagedusruumi diagrammiga on loetav diagrammilt võnkumiste loomulik sagedus ja sumbuvus ning vastavalt eespool defineerituga võib järeldada, et tegemist on stabiilse võnkelise süsteemiga, mille sumbuvus on ligikaudu 0.25. Eelmainitud süsteemi siirdekarakteristikud on toodud joonisel 6.4.

Joonis 6.4. Diskreetse süsteemi siirdekarakteristik

103

6.3. OlekuvõrrandidEsimestes jaotistes vaadeldi olekuvõrrandeid, mis sobisid hästi mitmelisidusate süsteemide kirjeldamiseks, kuid seni vaadeldud juhtimismeetoditega kasutamiseks ei olnud nad otstarbekad, kuna nii PID-perekonda kuuluvad kui ka releetoimelised regulaatorid olid võimelised korraga juhtima ainult üht väljundsuurust. Seega tuli mitmelisidusate süsteemide juhtimiseks süsteemi lisada iga juhitava väljundsuuruse tarvis regulaator, mistõttu suured süsteemid muutuksid keeruliseks. Moodsa juhtimismeetodina kasutatakse aga olekuregulaatorit, mis kujutab endast üht mikrokontrollerit (tinglikult arvutit), mis on võimeline juhtima (tinglikult) samaaegselt mitut väljundit (vt. Joonis 1.22). Olekuregulaatorile sobiva algoritmi määramiseks tuleb esitada esmalt süsteemi kirjeldavad olekuvõrrandid, kuid käesolevas materjalis piirdutakse siiski PID-regulaatorite sünteesiga [10].

6.3.1. Olekuvõrrandid diferentsiaalvõrrandistReaalset süsteemi kirjeldav diferentsiaalvõrrand üldkujul on

0⋅y t 1⋅y t ...n⋅yn t =0⋅s t . (6.15)

Tähistades olekumuutujad tähisega x ning sooritades võrrandis (6.15) asendused

y t = x1

y t = x2

...yn−1t =xn

(6.16)

ning võrrandist (6.16) avaldatavate seoste

x1= x2

x2= x3

...

xn=−0

n⋅x1−

1

n⋅x2−...−

n−1

n⋅xn

0

n⋅s

(6.17)

alusel võib esitada võrrandi (6.15) maatrikskujul

[ x1

x2

⋮xn]

x

=[0 1 0 0 0 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱

−0

n−1

n−2

n]

A

⋅[ x1

x2

⋮xn]

x

[0 0 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱0

n0 0 ]

B

⋅[ s0⋮0]u

. (6.18)

Antud võrrandit nimetatakse süsteemivõrrandiks ning teine olekuvõrrand – väljundvõrrand avaldub kujul

y=C⋅xD⋅u . (6.19)

Saamaks süsteemivõrrandist (6.18) diskreetse süsteemi süsteemivõrrandit kasutatakse ümberarvutusvalemeid, mille tuletuskäiku siinkohal ei kirjeldata. Diskreetne süsteemimaatriks

104

avaldub [10]

A=eA⋅T 0=EA⋅T 0A2⋅T 0

2

2!A3⋅

T 03

3!...An⋅

T 0n

n!(6.20)

ning sisendmaatriks

B=E⋅B⋅T 0A⋅B⋅T 0

2

2!A2⋅B⋅

T 03

3!...An⋅B⋅

T 0n1

n1!. (6.21)

Praktikas on täheldatud, et read võib lõpetada 8. liikme järel [10].

6.3.2. Olekuvõrrandid diferentsvõrrandistKui süsteemi kirjeldab diferentsvõrrand

y kna1⋅y kn−1 ...an⋅y k =b0⋅s kn...bn⋅s k , (6.22)

siis sarnaselt võrrandisüsteemile (6.16) on võimalikud asendused

y k =x1k y k1= x2k =x1k1...y kn−1= xnk =xn−1k1y kn=xn k1

. (6.23)

Asendades võrrandi (6.23) võrrandisse (6.22) ning võttes bn=1 ja bin=0 avaldub

xn k1=−a1⋅xnk −a2⋅xn−1k −...−an⋅x1k s k . (6.24)

Esitades võrrandid (6.23) ja (6.24) maatrikskujul

[x1k1x2k1⋮

xnk1]x k1

=[ 0 1 0 0 0 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱−an −an−1 −an−2

]

A

⋅[x1k x2k ⋮

xnk ]

x k

[0 0 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱1 0 0 ]

B

⋅[s k 0⋮0 ]

u k

. (6.25)

Väljundvõrrandi tuletuskäiku eelduseks on asjaolu, et bin≠0 ning vaadeldes väljundsuurusena ainult suurust y(k) avaldub võrrand kujul [10]

y k = [bn−b0⋅an bn−1−b0⋅an−1 ... b1−b0⋅a1]C

⋅[x1k x2k ⋮

xnk ]b0

D

⋅s k . (6.26)

Võrrandeid (6.25) ja (6.26) võib kujutada graafiliselt üldise olekuvõrrandite blokkdiagrammiga (joonis 6.5) või struktuuriskeemina (joonis 6.6).

105

Joonis 6.5. Olekuvõrrandite blokkdiagramm

Joonis 6.6. Olekuvõrrandite esitus struktuuriskeemina

6.3.3. Viitelüliga süsteemi olekumaatriksidVaadeldes süsteemi väljundi poolt, siis matemaatiliselt ei oma tähtsust, millises etapis toimib süsteemis viide, mistõttu ühemõttelise kirjeldamise eesmärgil kujutatakse viitelüli ehk – etappe struktuuriskeemi sisendis. Teisiti sõnastatuna – protsessile hakkab toimima sisendsuurus peale viitelüli läbimist. Ka need tuleb kajastada olekuvõrrandites [10].

Näide 6.10.

Olgu antud viitlüliga 3. järku struktuuriskeem.

Joonis 6.7. Struktuuriskeem 2. järku viitlüliga 3. järku protsessile

106

∫

A

yCB

D

s

xx'

z-1z-1z-1s(k)

b0 b1 bn-1 bn

anan-1a1

1

y(k)

x1(k)x2(k)xn(k)xn(k+1)

-

z-1z-1z-1s(k)

b1 b2 b3

a3a2a1

z-1

y(k)

x1(k)x2(k)x3(k)x4(k)

-z-1

x5(k)

x5(k+1) x4(k+1) x3(k+1) x2(k+1) x1(k+1)

Struktuuriskeemi põhjal saab kirjutada

[x1k1x2k1x3k1x4k1x5k1

]=[0 1 0 0 00 0 1 0 0−a3 −a2 −a1 1 0

0 0 0 0 10 0 0 0 0

]⋅[x1k x2k x3k x4k x5k ][00001]⋅s k

y k =[b3 b2 b1 0 0 ]⋅[x1k x2k x3k x4k x5k ] .

Selle näite põhjal võib järeldada, et olekumaatriksite järk määratakse ära protsessi ja viitelüli järkude summaga.

6.3.4. Mitmelisidusate süsteemide olekuvõrrandidMitmelisidusat süsteemi on ka võimalik kirjeldada joonisel 6.5 kujutatud blokkdiagrammiga, kuid parema ülevaatlikuse huvides on joonisel 6.8. kujutatud sisendite-väljundite vahelised signaali teekonnad eraldiseisvana [10].

Joonis 6.8. Mitmelisidusa süsteemi blokkdiagramm

107

E z-1

A11

y1C11B11

D11

s1x11(k+1)

E z-1

A21

C21B21

D21

E z-1

A12

C12B12

D12

E z-1

A22

y2C22B22

D22

s2

x21(k+1)

x12(k+1)

x22(k+1) x22(k)

x12(k)

x21(k)

x11(k)

Sellisele süsteemile avalduvad olekuvõrrandid järgmiselt

[x11k1x12k1x21k1x22k1]=[

A11 0 0 00 A12 0 00 0 A21 00 0 0 A22

]⋅[x11 k x12 k x21 k x22 k ][B11 0

0 B12

B21 00 B22

]⋅[ s1k s2k ] (6.27)

[ y1 k y 2k ]=[C11 0 C 21 0

0 C 12 0 C 22]⋅[x11k x12k x21k x22k ][D11 D12

D21 D22]⋅[ s1k s2k ] . (6.28)

Ehk kogusüsteemi olekumaatriksid koosnevad alamsüsteemide olekumaatriksitest.

6.4. Diskreetsete süsteemide arvutamineDiskreetsete süsteemide arvutamine põhineb lõplikel juurdekasvudel ehk määratakse kõikide olekumuutujate väärtused ühe diskreetse ajaühiku vältel

Näide 6.11.

Olgu antud z-ülekandefunktsioon

MW z = 0.2⋅z−1

1−0.8⋅z−1⋅z−1 .

Diferentsvõrrandina esitatuna avaldub see

y k −0.8⋅y k−1=0.2⋅s k−2 .

Ning süsteemi algtingimused on määratud järgnevalt

s k =1, kui k≥0y k =0, kui k0 .

Sellest lähtuvalt võib täita järgmise tabeli

k s(k) y(k)0 0 01 0 02 1 0.23 1 0.364 1 0.495 1 0.596 1 0.677 1 0.738 1 0.79 Joonis 6.9. Diskreetne hüppekaja

108

6.5. Juhtimisobjekti identifitseerimineAutomaatjuhtimise valdkonna üks tähtsamaid osasid on juhtimisobjekti tuvastamine ehk selle parameetrite määramine. 2. jaotises vaadeldi erinevate võimalike protsesside kirjeldamist diferentsiaalvõrranditega, mille parameetriteks osutusid uuritava seadme n. ö. sildiandmed. Selline meetod on sobiv kasutamiseks juhul, kui need parameetrid on konstantsed, mis aga tavaliselt reaalses seadmes ei kajastu – nt. elektrimootorite takistus on sõltuv temperatuurist ja juhtimisest tulenevatest sageduslikest efektidest. Samuti eeldab see, et seadme kõikide parameetrite karakteristikud sõltuvuses oma häiringuallikast on kusagil kataloogidena saadaval – ka see olukord ei vasta reaalsusele. Seega täpseks identifitseerimiseks kasutatakse matemaatilise analüüsi võimalusi, mille käigus tuletatakse sisend- ja väljundsignaalidest lähtuvalt objekti parameetrid. See võimaldab luua ka isehäälestuvaid süsteeme [10].

Identifitseerimiseks kasutakse enamasti siinussignaale või juhuslikult muutuvat signaali fikseeritud keskväärtusega. Nende signaalide korral kajastuvad väljundsignaalis uurimisobjektis peituvate energiasalvestite mõjud selgemalt kui nt. ühikhüppe korral. Uurimise käigus tuleb arvestada ka mõõteveaga, mille kompenseerimiseks avaldatakse objekti kohta rohkem võrrandeid, kui on objekti järk.

m≥2⋅n1 , (6.29)

kus n – juhtimisobjekti järk.

Võrrandi (6.29) sulgudes liige (1) leiab rakendust siis, kui häiringumaatriks D≠0 .

Seega võib uurimisobjekti kohta kirjutada

y k =−a1⋅y k−1−a2⋅y k−2−...b0⋅s k b1⋅sk−1... (6.30)

y k−1=−a1⋅y k−2−a2⋅y k−3−...b0⋅s k−1b1⋅s k−2... (6.31)

y k−m=−a1⋅y k−m−1−a2⋅y k−m−2−...b0⋅s k−mb1⋅s k−m−1... (6.32)

Lähtudes võrranditest (6.30)...(6.32) võib kirjutada kogu süsteemi kohta maatrikskujul

[ y k y k−1⋮y k−m ]

y

=[−y k−1 −y k−2 − y k−n sk −y k−2 −y k−3 − y k−n−1 sk−1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮−y k−m−1 −y k−m−2 ⋯ − y k−m−n sk−m ]

⋅[a1

a2

⋮bn]

(6.33)

Võrrandi (6.33) alusel kehtib

y=⋅ , (6.34)

millest on avaldatav

=−1⋅y . (6.35)

Kui on avaldatud rohkem võrrandeid kui parameetrivektor Θ tundmatuid sisaldab, siis on need tundamtud avaldatavad algoritmiga, mille nimeks on minimaalne vearuut. Selleks võib koostada protsessimudeli võrdlusskeemi, mis on kujutatud joonisel 6.10. Joonise alusel on avaldatav

109

Joonis 6.10. Objekti identifitseerimine

e k = y k −⋅m (6.36)

Minimaalse vearuudu algoritmi kohaselt avaldub∂∂m∑

i yk−⋅m

2=0 , (6.37)

mis peale teisendamist avaldub lõplikul kujul

m=T⋅−1⋅T⋅y . (6.38)

Antud identifitseerimismeetod on otstarbekas, kui juhtimisobjekti uurimise käigus on häiringud välistatud [10].

Näide 6.12.

Allolevas tabelis on esitatud 1. järku objekti, mis sisaldab ka viitelüli T h=2⋅T 0 , sisend- ja väljundsuurused. Määrata objekti ülekandefunktsiooni kordajad.

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y(k) 0 0 0 1.0 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.1 2.05s(k) 1 0.5 0.7 0.8 0.9 1.0 1.2 1.0 1.7 1.3 1.1

Uuritava süsteemi ülekandefunktsioon on

MW z =b1⋅z

−1

1a1⋅z−1⋅z

−2

Parameetrite määramiseks nõutav võrrandite hulk on

m≥2⋅11=3 .

Kasutamaks lahendamisel eelnimetatud algoritmi, avaldatakse 4 võrrandi alusel vektorid y ja Ψ.

y=[2.052.11.81.6 ] , =[−2.1 1.0

−1.8 1.2−1.6 1.0−1.4 0.9] .

Otsitavad parameetrid on seega avaldatavad võrrandist (6.38)

110

Θ

Θm

s(k) e(k)+_

ym(k)

y(k)Protsess

Mudel

m=[−2.1 −1.8 −1.6 −1.41.0 1.2 1.0 0.9 ]⋅[−2.1 1.0

−1.8 1.2−1.6 1.0−1.4 0.9]

−1

⋅[−2.1 −1.8 −1.6 −1.41.0 1.2 1.0 0.9 ]⋅[2.05

2.11.81.6 ]

m=[a1

b1]=[−0.51 ] .

6.6. Digitaalne PID-regulaatorVastavalt aegpidevate süsteemide kirjeldamisviisile võib ka diskreetse automaatjuhtimissüs-teemi esitada üldise struktuuriskeemina (joonis 6.11). Samuti kehtivad matemaatilised seosed süsteemi olekumuutujate vahel.

Joonis 6.11. Diskreetne automaatjuhtimissüsteem

Aegpidevate süsteemide korral kehtib

e t =s t − y t , (6.39)

u t =K R⋅[e t 1T I⋅∫

0

∞

e t dtT D⋅ddt

e t ] . (6.40)

Lühikese kvantiseerimisperioodiga süsteemide korral kehtib [10]

e k =s k − y k , (6.41)

u k =K R⋅[e k T 0

T I⋅∑

i=0

k−1

e i T D

T 0⋅e k −e k−1] , (6.42)

u k−1=K R⋅[e k−1T 0

T I⋅∑

i=0

k−2

e i T D

T 0⋅e k−1−e k−2] . (6.43)

Lahutades võrrandid (6.42) ja (6.43) ning lihtsustades on võimalik vabaneda integreerivast tehtest, mis vähendab nõutavat mälumahtu diskreetsel juhtseadmel

u k =u k−u k−1=K R⋅[1 T D

T 0 ]⋅e kK R⋅[T 0

T I−1−

2⋅T D

T 0 ]⋅e k−1 K R⋅T D

T 0⋅e k−2 . (6.44)

Tähistades

q0=K R⋅[1T D

T 0 ] , q1=K R⋅[ T 0

T I−1−

2⋅T D

T 0 ] , q2=K R⋅T D

T 0(6.45...6.47)

avalduv võrrand (6.44) kujul

u k =q0⋅e k q1⋅e k−1q2⋅e k−2 (6.48)

111

Juht-seade

Juhtimis-objekt

s(k) y(k)u(k)e(k)

-

n(k)

ning aktuaalne juhttoime on arvutatav valemiga

u k =u k−1 uk . (6.49)

PID-regulaatori z-ülekandefunktsioon on tuletatav võrrandist (6.48) ja see avaldub

W z =u z e z =

q0q1⋅z−1q2⋅z

−2

1−z−1 . (6.50)

Sarnaselt PID-regulaatori tuletuskäigule avaldub diskreetne P-regulaator

u k =K R⋅[e k −e k−1] (6.51)

ja ka PI-regulaator

u k =K R⋅[e k −e k−1T 0

T I⋅e k−1] . (6.52)

6.7. Regulaatori häälestamine pooluste asukohajärgse sünteesigaÜlekandefunktsiooni poolused ehk tunnusvõrrandi nullkohad antakse ette juhul kui soovitakse, et süsteemi dünaamilised omadused vastaksid täpselt etteantud kvaliteedinõuetele.

Joonisel 6.11. kujutatud juhtimisobjekti z-ülekandefunktsiooni esitub üldkujul

MW z = y z u z =

b0b1⋅z−1...bn⋅z

−n

1a1⋅z−1...an⋅z

−n⋅z−v=

B z A z ⋅z−v (6.53)

ja juhtseadme z-ülekandefunktsioon

W R z =u ze z =

q0q1⋅z−1...q⋅z

−

1p1⋅z−1... p⋅z

−=Q z P z . (6.54)

Määramaks regulaatori ülekandefunktsiooni nimetaja ja lugeja järku ning määramist vajavate pooluste hulka, on avaldatavad järgmised seosed:

=n , =nv , p==2⋅nv . (6.55...6.57)

Võrrandite (6.53) ja (6.54) alusel avaldub kogu süsteemi ülekandefunktsioon juhtimise suhtes

W z =

Q zP z ⋅

B z A z ⋅z−v

1Q z P z ⋅

B z A z ⋅z

−v=

Q z⋅B z ⋅z−v

P z ⋅A z Q z ⋅B z ⋅z−v=B∗ z A∗ z . (6.58)

Tunnusvõrrand avaldub seega

P z ⋅A zQ z ⋅B z⋅z−v=0 . (6.59)

Püsitalitlusveata süsteemi korral peab kehtima seos

P z ⋅A z=0 , (6.60)

mille korral kehtib ka seos

112

∑ pi=−1 . (6.61)

Määramaks polünoomide P(z) ja Q(z) kordajad antakse ette poolused

A∗ z = z− z1⋅ z− z2⋅...⋅ z−z p , (6.62)

mis peale sulgude avamist on avaldatav kujul

A∗ z =11⋅z−12⋅z

−2... p⋅z− p . (6.63)

Kasutades polünoomi kordajate sarnasusprintsiipi on avaldatavad tunnusvõrrandi liikmed pi ja qi.

Näide 6.13.

Olgu antud 2. järku ülekandefunktsioon koos viitelüliga Th = T0, mille ülekandefunktsioon avaldub

MW z =b1⋅z

−1b2⋅z−2

1a1⋅z−1a2⋅z

−2⋅z−1 .

Regulaatori lugeja järk avaldub

=n=2 ,

nimetaja järk

=2⋅nv=2⋅11=3

ja vajalike pooluste arv etteandmiseks

p==23=5 .

Sellest lähtuvalt avaldub regulaatori ülekandefunktsioon

W R z =q0q1⋅z

−1q2⋅z−2

1p1⋅z−1 p2⋅z

−2p3⋅z−3 .

Nende ülekandefunktsioonide põhjal on avaldatav kogu süsteemi tunnusvõrrand, järjestatuna järkude järgi.

A∗ z=1a1p1⋅z−1a2 p2a1⋅p1b1⋅q0⋅z

−2 p3a2⋅p1a1⋅p2b2⋅q0b1⋅q1⋅z

−3a2⋅p2a1⋅p3b2⋅q1b1⋅q2⋅z−4

a2⋅p3b2⋅q2⋅z−5=0

Andes ette protsessi soovitud kulgu iseloomustavad poolused

A∗ z =11⋅z−12⋅z

−23⋅z−34⋅z

−45⋅z−5=0

on võimalik esitada 5 võrrandit 6 tundmatu kohta. Puuduolev võrrand esitatakse võrrandi (6.61) alusel, mis järel võib vastavalt polünoomi kordajate võrdlusele avaldada

113

[1 0 0 0 0 0a1 1 0 b1 0 0a2 a1 1 b2 b1 00 a2 a1 0 b2 b1

0 0 a2 a1 0 b2

1 1 1 0 0 0]

G

⋅[p1

p2

p3

q0

q1

q2

]

d

=[1−a1

2−a2

3

4

5

−1]

e

ja regulaatori parameetrid on avaldavad kujul

d=G−1⋅e .

6.8. Isehäälestuv PID-regulaatorEelmistest jaotistest on selgeks saanud, et regulaatori seadistamisega kaasneb alati suur arvutuste maht, millele järgneb lisaks järeloptimeerimine ning selle tulemusel seadistatakse regulaator süsteemi parameetrite väärtustele, mille korral on jäetud arvestamata võimalikud parameetriväärtuste nihked ehk häiringud. Muidugi oli CHR-meetodi alusel võimalik saavutada parendatud reaktsiooni häiringule, aga ka sel juhul sünteesiti regulaator fikseeritud parameetritega.

Vähendamaks sünteesi töömahtu ning võimaldamaks süsteemi rekonfigureerimist töötsüklis on võimalik koostada isehäälestuv regulaator, kasutades diskreetsete süsteemide matemaatikat. See seab omakorda nõuded regulaatori riistvarale, mis peaks olema Multitasking- või Multiprotsessorsüsteem. Süsteemi ülesehitus olenemata riistvaralisest struktuurist vastab joonisel 6.12 toodule [10].

Joonis 6.12. Isehäälestuva automaatjuhtimissüsteemi struktuuriskeem

Isehäälestuvate süsteemide puhul identifitseeritakse esmalt objekt ja seejärel toimub süntees vastavalt programmeeritud algoritmile. Identifitseerimine võib toimuda jaotises 6.5 näidatud viisidel või mõne muu algoritmi kohaselt, kuid lõpptulemusena saadakse protsessi ülekandefunktsiooni polünoomide kordajad. Samuti süntees võib toimuda, nt. jaotises 6.7 näidatud meetodil, aga ka näiteks CHR-meetod on kergelt teostatav.

CHR-meetodil häälestamiseks oli eeltingimusena nõutud protsessi iseloomustavate parameetrite olemasolu [10]. Nendeks parameetriteks olid:

● protsessi võimendustegur KP;● protsessi hilistumine TH;● protsessi ajakonstant T0.

114

Juht-seade

Juhtimis-objekt

s(k) y(k)e(k)

±

Süntees Identifit-seerimine

u(k)

Kvaliteedinõuded

Võimendustegur KP määratakse peale väljundi stabiliseerumist valemiga

K P= y k sk . (6.64)

Määramaks ajakonstante tuleb määratleda puutepunkti asukoht, milleks määratakse protsessi maksimaalne tõus. Selles punktis, kus siirdekarakteristikul on maksimaalne tõus toimub n. ö. kiireneva protsessi kasvu üleminek aeglustuvale kasvule. Samas punktis omab maksimaalset väärtust ka impulsikaja, kuid matemaatiliselt on see seos avaldatav

=y k1− y k

T 0. (6.65)

Kohal k on siirdekarakteristiku tõus maksimaalne max . Selle punkti alusel on arvutatavad nii hilistumisaeg kui ka protsessi ajakonstant.

T H=T 0⋅max−y k max

(6.66)

T 0=T 0⋅maxK P⋅s ∞− y k

max−T H (6.67)

115

Ülesandeid 6. peatüki juurdeÜlesanne 15.

On antud süsteemi kirjeldav diferentsiaalvõrrand

0.1⋅y t 1.1⋅y t y t =2.25⋅st .

Määrata süsteemi diferentsvõrrand ja z-ülekandefunktsioon, kui T0 = 0.01 s, 0.1 s, 1 s.

Ülesanne 16.

Võõrergutusega alalisvoolumootori parameetrid on

● mootori ankrutakistus 2.23 Ω;● induktiivsus 0.214 H;● masinakonstant 1.34 Vs;● ankruinerts 0.032 kgm².

Avaldada näites 2.15 toodud alalisvoolumootori olekuvõrrand ning teisendada olekumaatriks ja juhtmaatriks diskreetsele kujule, kui T0 = 0.01 s. Rida lõpetada peale kolmandat liiget.

Ülesanne 17.

On antud süsteemi z-ülekandefunktsioon

MW z = 0.8⋅z−11.4⋅z−2

10.02⋅z−10.08⋅z−2⋅z−1 .

Määrata:

● Süsteemi võimendustegur KP;● Otsustada süsteemi stabiilsuse üle;● Süsteemi diferentsvõrrand;● Siirdekarakteristik 10 esimese ajahetke kohta, kui eeltingimused on

s k =2, kui k≥0y k =1, kui k0 .

Ülesanne 18.

Alljärgnevas tabelis on esitatud 2. järku objekti mõõtetulemused. Määrata minimaalse vearuudu algoritmi alusel süsteemi polünoomikordajad a1, a2, b1 ja b2.

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10s(k) 1 1,2 0,6 1,9 1,9 1,2 1,1 0,9 1,4 1,6 1y(k) 0 0,8 2.344 2.049 2.132 3.973 3.370 2.175 1.947 2.167 3.041

116

7. AUTOMAATJUHTIMISSÜSTEEMIDE MODELLEERIMINETänapäeval moodustab inseneritöö umbes 30% ja prototüübi valmistamine kuni 20% projekti hinnast, mistõttu on uute süsteemide loomisel pandud rõhku arvutisimulatsioonidele, mis vähendavad ettevõtte kulusid märkimisväärselt. Üheks laialt levinud simulatsiooni keskkonnaks on MATLAB'i matemaatika keskkond ning selle liides SIMULINK. Viimane on eriti populaarne valmis funktsiooniblokkide tõttu, milledele piisab ainult parameetite lisamisest – matemaatilised seosed on juba eelnevad programmeeritud. Samuti on kindla otstarbega funktsioonid koondatud MATLAB-laiendustesse ehk Toolbox'idesse ning salvestamaks sagedasemaid protsesse töölaual, kasutatakse M-File programmeerimist. MATLAB programmi põhimõtteline struktuuriskeem on kujutatud joonisel 7.1.

Joonis 7.1. MATLAB programmi struktuur

7.1. Käskude sisestamine töölaualAvades MATLAB programmi avaneb järgmine vaade

Joonis 7.2. MATLAB'i avavaade

117

Käskude ajalugu

Tööaken

Töölaud

MATLAB

Töölaud SIMULINK M-File

Toolbox'id

Mudel

Tulemused

Tööaknasse sisestatakse kas matemaatilisi tehteid või käivitatakse eelprogrammeeritud käsujadasid. Töölauale salvestatakse kõik muutujad, mis sisestati tööaknas. Käskude ajaloos salvestatakse tööaknas sisestatud tehted ja funktsioonid, võimaldades keerulisi ja pikke funktsioone lihtsalt korrata.

Käskude sisestamiseks peab olema aktiveeritud tööaken. Käsud võib põhimõtteliselt jagada kolme gruppi – teheteks, tulemuste väljastamiseks ja erikäskudeks. Tehtekäsud võib omakorda jagada kolme gruppi – tehted konstantidega, tehted maatriksitega ja tsüklikäsud. Tulemuste väljastamise all mõistetakse vastusest graafilise pildi loomist, mis aga eeldab vektorite ja maatriksite olemas olu. Erikäsud on aga käsud, mis väljuvad tavamatemaatika raamest ning kutsuvad esile eelprogrammeerituid funktsioone. Käsu sisestamiseks tuleb tööaknasse kirjutada käsk vastavalt kindlale süntaksi vormile, misjärel „ENTER“-klahvi vajutusega sooritatakse programmi poolt sisestatud käsk.

Tabel 7.1. Tehtekäskude süntaksid

Nimetus Süntaks VastusDefineerimata konstant 2 ans =

2Defineeritud konstant a = 2 a =

2Defineerimata tehe a + 3 ans =

5Defineeritud tehe b = a + 3 b =

5Mittetäisarvu sisestamine c = 2.5

NB! Mitte 2,5c =

2.5Astendamine d = a^3

NB! ^ = ALT + 94d =

8Vektori sisestamine A = [ 1 3 4 5] A =

1 3 4 5Vektori sisestamine B = 0:2:10 B =

0 2 4 6 8 10Maatriksi sisestamine C = [ 1 2 3; 4 5 6] C =

1 2 34 5 6

Algebralised tehted maatriksitega

D = C + 2 D =3 4 56 7 8

Maatriksi transponeerimine D = D' D =3 64 75 8

118

Nimetus Süntaks VastusMaatriksi inverteerimine F =inv( [ 1 2; 3 4]) F =

-2.0 1.01.5 -0.5

Pöördumine maatriksi elemendi poole

F(1,2) = 3 F =-2.0 3.01.5 -0.5

Triginomeetrilised funktsioonid

x = sin (pi/2) x = 1

Eksponentfunktsioon y = exp(-2) y =0.1353

Polünoomi sisestaminex3 + 3 x -2 = 0

Q = [1 0 3 -2] Q =1 0 3 -2

Polünoomi lahendid P = roots (Q) P = -0.2980+1.8073i-0.2980-1.8073i

0.5961Tingimuslause If <tingimus>

<tegevus, kui tõene>end

Teostatakse käsud, kui tingimus on täidetud.

Fikseeritud kordustegevused For i=1:1:100<tegevus>end

Käske korratakse sada korda

Fikseerimata kordused While <tingimus><tegevus>end

Käske korratakse seni kuni tingimus on täitmata.

Varjatud tegevus Q = [1 0 3 -2]; Semikooloni lisamisega ei kajastata käsu kinnitust.

Tabel 7.2. Väljastuskäsud

Nimetus Süntaks VastusPidevjoon, x = f(t) line(t,x) Avatakse uus aken. Punktid

on ühendatud pidevjoonega.Trükis, x = f(t) plot(t,x) Avatakse uus aken. Punktid

on ühendatud pidevjoonega.Trükis, x = f(t), y = 2x plot(t,x,t,y) Avatakse uus aken. Punktid

on ühendatud pidevjoonega. Kaks andmepunktide seeriat.

Trükis, x = f(t) plot(t,x,'b*--') Avatakse uus aken. Punktid on tähistatud tärniga ning sinise punktiiriga ühendatud.

119

Nimetus Süntaks VastusVõrgustiku kuvamine plot(t,x),grid Kuvatakse trükis võrgusti-

kuga.x-telje nimetamine plot(t,x),xlabel('Aeg') Kuvatakse trükis, mille x-telje

nimetus on „Aeg“.y-telje nimetamine plot(t,x),ylabel('x(t)') Kuvatakse trükis, mille y-telje

nimetus on „x(t)“.Trükise pealkirjastamine plot(t,x),title('x=f(t)') Kuvatakse trükis, mille

pealkiri on „x=f(t)“.Lisateksti kasutamine plot(t,x),gtext('X=3') Peale trükise kuvamist on

võimalik lisada kursoriga näidatud kohta tekst „X=3“

Astmeline graafik stairs(t,x) Andmepunktid ühendatakse treppfunktsiooni põhimõttel.

Tabel 7.3. Automaatjuhtimise analüüsi erikäsud (nõutav Control System Toolboxi olemasolu)

Nimetus Süntaks Vastusp-ülekandefunktsiooni sisestamine

W= 30.7⋅p22.9⋅p1

W = tf([3],[0.7 2.9 1]) W = 3 0.7 s^2 + 2.9 s + 1

Pooluste määramine pole(W) ans =-3.7632-0.3796

Nullide määramine zero(W) Empty matrix: 0-by-1Poolus-null-diagramm pzmap(W),grid Kuvatakse trükis uues aknas

koos võrgustikuga.Bode diagramm bode(W),grid Avanevas aknas kuvatakse

funktsiooni Bode diagrammNyquisti diagramm nyquist(W),grid Uues aknas kuvatakse funkt-

siooni Nyquisti diagramm.Hüppekaja step(W) Uues aknas kuvatakse funkt-

siooni hüppekaja.Impulsikaja impulse(W) Uues aknas kuvatakse funkt-

siooni impulsikaja.

Vajadusel võib kustutada sisestatud muutujaid, kasutades selleks süntakse:

clear kustutab kõik sisestatud muutujad

clear a kustutab sisestatud a-nimelise muutuja.

120

Kui mõni süntaks on valesti sisestatud, siis saab „↑“-klahvi vajutamisega liikuda aktiivse sessiooni ajal sisestatud käskude hulgas.

Juba sisestatud käsku saab korrata, sooritades kursoriga topeltklõpsu vajalikul käsul „Käskude ajaloo“ aknas.

Käivitamaks SIMULINK rakendust võib sisestada järgmise süntaksi – simulink.

7.2. ModelleerimineSIMULINK rakendus kujutab endast mudelite simulatsiooni keskkonda, mille muudab lihtsaks valmis funktsiooni blokkide olemasolu. Tegemist on universaalse keskkonnaga, kus on võimalik simuleerida lihtsaid algebralisi tehteid kuni lennukimudelite aerodünaamikani välja. Piiranguks osutub kas lisapakettide olemasolu (automaatika süsteemide korral Control System Toolbox) või kasutaja teadmised. See asjaolu koos faktiga, et funktsiooniblokke on ka vaba tarkvarana saada on muutnud SIMULINK lahenduse üheks uurimisinstituutide lemmikuks.

Olles käivitanud SIMULINK rakenduse avaneb aken, mis on kujutatud joonisel 7.2.

Avanev aken on funktsiooniblokkide teek, mis on omakorda jaotatud alamteekideks vastavalt lisa-pakettidele või funktsionaalsusele. Käesolevas raamatus käsitletud sünteesiülesannete lahenda-miseks on vajalikud järgmised teegid:

Simulink:

● Continuous – sagedusruumi funktsiooniblokid;

● Discontinuous – mittelineaarsed lülid;

● Discrete – diskreetsed funktsiooniblokid;

● Math Operations – tehte elemendid;

● Sinks – signaali väljundid;

● Sources – signaali allikad;

Simulink Extras:

● Additional Linear – lisapakett sagedus-ruumi funktsiooni blokkide tarvis.

Seadmaks teekides leiduvaid blokke kokku tuleb kävitada mudeli keskkond, milleks piisab klahvide kombinatsioonist CTRL+N, mille tulemusena avaneb uus aken, mis ongi simulatsiooni keskkonnaks, mille parameetrid tuleb esmalt seadistada. Selleks tuleb valida klahvide kombinatsioon CTRL+E, misjärel avaneb „Simulation Parameters“-aken, kus on soovitatav seadistada järgmised „Solver“-parameetrid:

● Stop time – simulatsiooni lõppaeg;

● Solver Options Type – Fixed Step – fikseeritud sammuga algoritm;

121

Joonis 7.3. Peateek Simulink rakenduses

● Solver Options Type – Ode5 – Dormand-Price algoritm;

● Fixed Step Size – sammu determineerimine.

Nende parameetrite seadistamise eesmärgiks on valida arvutuste mahukas, aga täpsem lineaarsete diferentsiaalvõrrandite numbrilise lahendamise algoritm.

Peale keskkonna seadistamist on ettevalmistused modelleerimiseks lõppenud ning mudeli ehituseks võib valida teegist sobiv funktsiooniblokk ning tõsta see ikoonina modeleerimiskeskkonna aknasse. Blokid ühendatakse omavahel vedades ühe bloki kontaktilt signaali teise bloki kontaktile, kus juures saab ühendada ainult väljundkontakte sisendkontaktidega. Kui ühendus on õigesti sooritatud, kujutatakse signaali kanal musta pidevjoonena, vastupidisel juhul punase katkendjoonena. Valmis mudeli simulatiooni käivitamiseks on klahvide kombinatsioon CTRL+T.

7.2.1. FunktsiooniblokidJärgnevalt vaadeltakse enamkasutatavaid funktsiooniblokke ja pööratakse rõhku nende blokkide iseärasustele.

Tabel 7.4. Funktsiooniblokid

Nimetus Sümbol Märkused

Tuletis Väljundsignaaliks on sisendsignaali numbriline tuletis.

Integraator Väljundsignaaliks on sisendsignaali numbriline integraal.

p-ülekandefunktsioon

Operaatori tähis on „s“Seadistamisel kirjutatakse lugeja ja nimetaja polünoomikordajate vektorid, mis on järjestatud alates suurima järgu kordajast.

Viitelüli Väljundsignaal järgib täpselt sisendsignaali seadistatud hilistumisaja möödudes.

Relee

Kaks-punkt-relee, millel on seadistatavad ON-OFF parameetrid. Hüstereesi korral peab relee rakendumisväärtus peab olema suurem tagas-tumisväärtusest.

Küllastumine Väljundsignaal järgib sisendsignaali, kuid küllastudes piirab signaali.

z-ülekandefunktsioon Seadistamine nagu p-ülekandefunktsioonil

Võimenduslüli Sisendsignaal korrutatakse võimendusteguriga.

Summeerimissõlm Seadistatavate parameetritena on muudetavad tehtemärgid.

Ostsilloskoop Sisendsignaal kuvatakse uues aknas, kui ikoonil

122

Nimetus Sümbol Märkusedtopeltklõpsata.

VektorväljundSisendsignaal kvantiseeritakse ja muudetakse vektoriks, kui salvestusformaadiks on Array. Vektori nimi kuvatakse ikoonil.

Kell Ajasignaali allikas.

Konstant Konstantse signaali allikas.

Siinussignaal Siinussignaali allikas.

Ühikhüpe Teostab ühikhüppe määratud ajahetkel, määratud amplituudiga.

PID-regulaator PID-regulaator seadistatavate parameetritega KP, KI, KD.

7.3. M-File programmeerimineM-File kasutakse juhul kui soovitakse keerulisemaid mudeleid või matemaatilisi lahenduskäike kiiresti korratavaks ning lihtsalt muudetavaks teha. Rakenduse käivitamiseks tuleb MATLABi töölaualt File-menüüst valida uus M-File. Programm koostatakse sarnaselt töölaual sisestatavatele käskudele. Lisamaks kommentaare käskude vahele kasutatakse sümbolit „%“.

Näide 7.1.

Olgu antud joonisel 7.4. kujutatud mudel, millele sisestatakse parameetrid M-File abil. Sama programmiga toimub mudelikeskkonna seadistamine ja tulemuste väljastamine trükisena. Lisafunktsioonina arvutatakse siirdeprotsessi integraalhinnangud ja väljastatakse töölauale.

Joonis 7.4. Näidismudel

Ülesande teostamiseks vajalik skript:

% Skript.m% Automaatjuhtimise alused% Näide 7.2.% Raul Naadel 04.04.2006clear all % Töölauad puhastada

123

% Protsessi parameetridLUGEJA = [2.25]; % Ülekandefunktsiooni lugejaNIMETAJA = [0.1 1.1 1]; % Ülekandefunktsiooni nimetaja% Regulaatori parameetridKP = 12.3; % Proportsionaalne võimendustegurKI = 0.498; % Integraalne võimendustegurKD = 13.4; % Diferentsiaalne võimendustegur% SeadesuurusedRak_aeg = 1; % Ühikhüpe rakendub kui t = 1 sSis_amp = 3.5; % Hüppe amplituud% Simulatsiooni keskkonna parameetridT_sim = 10; % Simulatsiooni kestus 10 sdt = 0.01; % Simulatsiooni samm 10 mssim_opt = simset ('MaxDataPoints',100000,'Solver','ode5','FixedStep',dt); % Simulatsiooni arvutus meetodite määramine% Simulatsiooni käivitamine[a,b,c]=sim('Mudel',T_sim,sim_opt); % Mudeli nimi, simulatsiooni kestus, meetod% Tulemuste väljastamineplot(t,s,'b-',t,y,'r-'); % Trükis, sinine joon sisendile, punane väljundilegrid on; % Võrgustiku sisselülitaminexlabel('Aeg (s)'); % x-telje nimetamineylabel('Valjund'); % y-telje nimetaminetitle('Siirdekarakteristik'); % Trükise nimetamine% Integraalhinnangudn = length(s); % Määratakse andmepunktide hulkif n < 1000 % Piisava täpsuse tagamiseks kontrollitakse andmepunkte display('Liiga vähe andmepunkte täpsemaks arvutuseks');else a = 0; % Alghetk b = t(n); % Lõpphetk h = (b-a)/n; % Andmepunktide kaalufaktor SUM_S = sum(s) - s(1) - s(n) + (s(1) + s(n)) * 0.5; % Sisend trapetsi järgi SUM_Y = sum(y) - y(1) - y(n) + (y(1) + y(n)) * 0.5; % Väljund trapetsi järgi IAE = h*(SUM_Y-SUM_S); % IAE väärtus display(IAE); % Tulemuse väljastamine töölauale for i=1:n % Ruutu võtmise tsükkel X(i) = s(i) * s(i); XY(i) = 2 * s(i) * y(i); Y(i) = y(i) * y(i); end SUM_X = sum(X) - X(1) - X(n) + (X(1) + X(n))*0.5; % Ruutude summeerimine SUM_XY = sum(XY) - XY(1) - XY(n) + (XY(1) + XY(n))*0.5; SUM_Y = sum(Y) - Y(1) - Y(n) + (Y(1) + Y(n))*0.5; ISE = h* (SUM_X - SUM_XY + SUM_Y); % ISE väärtus display(ISE); % Tulemuse väljastamine töölaualeend

124

ÜLESANNETE VASTUSEDÜlesanne 1.

ust =R⋅i t 1C ∫−∞

t

i d

W p =uv pus p

= 11 p⋅R⋅C

= 11 p⋅T

W p = i pu s p

= p⋅C1 p⋅R⋅C

= p⋅C1 p⋅T

Ülesanne 2.

W p =uv pus p

=

LR⋅p

R1R2

R1⋅L⋅C⋅p2

R1⋅R2⋅CLR1

⋅p1

Ülesanne 3.

W=W 1⋅W 2⋅W 4⋅W 5

1W 2⋅W 3−W 5−W 2⋅W 3⋅W 5

Ülesanne 4.

W p =

K1⋅K 4

K3

T 2

K 2⋅K 3⋅p2 1

K 2⋅K 3⋅p1

Ülesanne 5.

Mitte stabiilne, kuna üks poolustest on positiivse reaalosaga.

p1=−2.5 p2=−1 p3=−1 p4=−2 p5=1

Ülesanne 6.

Routhi kriteeriumi esimese tingimuse järgi võib avaldada

a0=0.00760 Tingimus täidetud;

a1=0.0510 Tingimus täidetud;

125

a2=0.170 Tingimus täidetud;

a3=9.670 Tingimus täidetud;

a4=78.10 Tingimus täidetud;

a5=5420 Tingimus täidetud.

Teise tingimuse järgi on avaldatav

R0=0.0076 0.17 78.1R1=0.051 9.67 542R2=−1.27 X X

.

Kuna Routhi koefitsent R2 < 0, siis või edasistest arvutustest loobuda ja väita, et süsteem on mittestabiilne.

Ülesanne 7.

Kasutades Hurwitzi kriteeriumi kehtib

a0=T 2=40 Tingimus täidetud;

a1=2⋅T=40 Tingimus täidetud;

a2=K⋅K R110 ⇒ K R1−1 ⇒ K R10 1. Tingimus;

Piir nihutatakse negatiivsest piirkonnast nullini, sest ei ole tavaks kasutada negatiivseid parameetreid, kuna vastasel juhul võib negatiivne tagasiside muutuda positiivseks.

a3=K⋅K I⋅K R1⋅K R20 ⇒ K R1⋅K R20 ⇒ K R20 2. Tingimus;

1=[a1 ]0 ⇒ 1=40 Tingimus täidetud;

=[a1 a3

a0 a2]0 ⇒ a1⋅a2−a0⋅a30

2⋅K R12−K R1⋅K R20 ⇒ K R22 2K R1

3. Tingimus.

126

Joonis Ü.1. Ülesande 7 stabiilsuspiirkond

Ülesanne 8.

Vastavalt Hurwitzile

a1=T I⋅T P⋅1−K P⋅K R0 ⇒ 1−K P⋅K R0 ⇒ K P⋅K R0 1. Tingimus;

a2=T IK P⋅K R⋅T I−T S 0 ⇒ 1K P⋅K R⋅T I−K P⋅K R⋅T S0

K P⋅K R

1K P⋅K R

T I

T S2. Tingimus;

a3=K P⋅K R0 3. Tingimus;

1=[a1 ]0 Täidetud, kui on täidetud 2. tingimus.

=[a1 a3

a0 a2]0 ⇒ a1⋅a20 Täidetud, kui on täidetud 1. ja 2. tingimus.

Ülesanne 9.

=0.333 Juurde võib lisada, et tegemist ei ole täpse süsteemiga.

=0.386 Maksimaalne ülereguleerimine on ka suhteliselt suur (tavaliselt <20%).

J IAE=−2.8 Ideaalne oleks 0.

J ISE=7.55 Ideaalne oleks ka 0.

Ülesanne 10.

Kuna tegemist on protsessiga, mis oma loomuselt integreeriva toimega, siis on sobiv kasutada regulaatori sünteesiks Ziegler-Nicholsi meetod.

Integreeriva toimega juhtimisobjekti juhtimiseks sobivad nii P- kui ka PD-regulaator. Tabelis 4.2 ei ole antud PD-regulaatori sünteesiks valemeid, kuigi seda saaks sünteesida PID-regulaatorist, aga P-regulaatori sünteesiks on valem antud, mistõttu on sobiv seda kasutada.

127

Joonis Ü.2. Ülesande 8 stabiilsuspiirkond

Uurimaks Ziegler-Nichols'i meetodil antud süsteem konstrueeriti järgmine mudel.

Joonis Ü.3. Simulatsiooni mudel

Järgnevalt muudeti P-regulaatori võimendustegurit seni, kuni tulemuseks oli kestev võnkumine väljundis, misjärel loeti protsessi iseloomustavad parameetrid

● Kkrit = 4.21;● Tkrit = 5.56 s.

Vastavalt tabelis 4.2 toodud valemile määratakse regulaatori võimendustegur KR = 2.105. Järeloptimeerimise käigus jõuti võimendustegurini KR = 0.75.

Graafikutele vastavad integ-raalhinnangud on:

ISEloomulik = 7400;

ISEZN = 4.18;

ISEopt = 3.03.

Ülesanne 11.

PT3-lüli reguleerimiseks võib kasutada kõiki PID-perekonna regulaatoreid, millede hulgast tuleks valida vajadusi kõige paremini rahuldav regulaator, kuid harjutuse seisukohalt valiks reguleerimiseks PID-regulaatori.

Uurimaks PT3-lüli ZN-meetodil kasutatakse joonisel Ü.3. kujutatud simulatsiooni mudelit. CHR-meetodi jaoks võetakse üles protsessi hüppekaja. Amplituudioptimumi järgi lahendatakse ülesanne analüütiliselt, kasutades tabelis 4.6. toodud valemeid.

Objekti hüppekajaga määrati järgmised tunnusparameetrid:

● Protsessi võimendustegur KP = 4.23;

128

Joonis Ü.4. Siirdekarakteristikud

● Hilistumisaeg TH = 0.588 s;● Ajakonstant T0 = 12.35 s.

Objekti võnkekatsega määrati järgmised tunnusparameetrid:

● Kriitiline võimendustegur Kkrit = 24.3;● Kriitiline ajakonstant Tkrit = 1.8 s.

Määratud regulaatori parameetrid on kogutud tabelisse Ü.1.

Tabel Ü.1. Regulaatori parameetrite komplektid

Ziegler-Nichols

Chien, Hrones, Reswick AmplituudioptimumAper. juht. 20% juht. Tunnusvõrr. Ülekandef.

KR 14.58 2.98 4.72 44.92 10.40TI KI 0.9 16.2 12.35 0.241 16.67 0.283 --- 4.25 --- 0.985TD KD 0.225 3.28 0.294 0.876 0.276 1.302 --- 32.55 --- 7.51

Joonis Ü.5. Regulaatori parameetrikomplektide võrdlus

Ülesanne 12.

Kuna tegemist on integreerivat toimet omava protsessiga, mille ülekandefunktsioon avaldub

W= Kp⋅1T 1⋅p

,

129

siis vastavalt lähtuvalt amplituudioptimumi erijuhust saab arvutada P-regulaatori võimendusteguri, mis avaldub

K Ropt=1

2⋅K⋅T 1=0.641 .

Ülesanne 13.

Kuna tegemist on kaskaadreguleerimisega, siis esmalt seadistatakse sisemine regulaator, milleks on P-toimeline vooluregulaator, mis reguleerib PT1-lüli. Kuna PT1-lüli ei saa seadistada CHR-i järgi, kuna puudub ajakonstant TH ja samuti ei saa teda seadistada Ziegler-Nichols'i järgi, sest P-PT1-süsteem on suletuna stabiilne mistahes süsteemi parameetrite korral, välistades niimoodi võnkekatse. Kuid siiski on kaskaadreguleerimise juures lubatud sisemisele regulaatorile püsitalitlusviga. Sellest lähtudes, tuleks seadistada P-regulaator maksimaalsele võimendusele, misjärel süsteem muutub kiiremaks ja väheneb püsitalitlusviga. Eeldades, et regulaatori maksimaalne võimendustegur on 100, siis seadistataksegi see vastavalt. Edaspidi vaadatakse P-PT1-suletud süsteemi ühe terviklülina, mille ülekandefunktsiooni saab tuletada peatükis 2 kirjeldatud viisil.

Järgmisena seadistatakse välimine ehk kiiruseregulaator. Oma olemuselt on seal koos P, PT1 ja I-lülid, mistõttu saab P-regulaatori võimendusteguri määrata amplituudioptimumi erijuhu järgi, millest lähtuvalt P-regulaatori võimendustegur KR = 90800.

Olgu siinkohal öeldud, et see süsteem reaalsuses korralikult ei töötaks, sest siiski tuleks arvestada ka elektromotoorjõu mõju masinas, samuti koormust, aga lähenemine parameetrite määramiseks toimub sarnaselt.

Ülesanne 14.

Joonis Ü.6. Signaalide kulg ajas

130

1 2 3 4 5 6 7 8t

0.51.01.5

-0.5-1.0-1.5

0.0

s

1 2 3 4 5 6 7 8t

0.51.01.5

-0.5-1.0-1.5

0.0

y

1 2 3 4 5 6 7 8t

0.51.01.5

-0.5-1.0-1.5

0.0

e

1 2 3 4 5 6 7 8t

0.51.01.5

-0.5-1.0-1.5

0.0

u

Ülesanne 15.

Diferentsiaalvõrrand 0.1⋅y t 1.1⋅y t y t =2.25⋅st

p-ülekandefunktsioon W p = 2.250.1⋅p21.1⋅p1

= 2.2510.1⋅p⋅11⋅p

Kuna tegemist on PT2-lüliga, mille üleminekut käsitleti näites 6.6, siis avaldame nimetatud näites esitatud võrrandite põhjal z-ülekandefunktsiooni parameetrid.

Tabel Ü.2. Ülesande lahendid

T0 b0 b1 b2 a1 a2 Poolused Stabiilne?

0.01 0 0.00108477 0.00104572 -1.89489 0.89583 0.99010.9048 JAH

0.1 0 0.07988 0.05547 -1.27272 0.33287 0.90480.3679 JAH

1 0 1.33031 0.09189 -0.36792 1.67E-5 0.36790 JAH

Joonis Ü.7. Diskreetsete hüppekajade võrdlus

Jooniselt Ü.7 väib märkida, et kvantiseerimisperioodid 0.01 s ja 0.1 s võimaldavad määrata süsteemi hüppekaja, mis vastab süsteemi loomulikule karakteristikule. Suur kvantiseerimisperiood, antud juhul 1 s, aga põhjustab kõrvalekaldeid loomulikust karakteristikust. Keerulisemate süsteemide korral võivad need kõrvalekalded põhjustada väljundi ebastabiilset võnkumist.

131

Ülesanne 16.

Näites 2.15 esitatud süsteemivõrrand esitati kujul

[ d i t dt

d t dt]

x

=[−RL−

k m

Lk m

J0 ]

A

⋅[ i t t ]x

[ 1L 0

0 −1J ]

B

⋅[ ust T k t ]

u

ehk numbriliselt

[ d i t dt

d t dt ]u=[−

2.230.214

− 1.340.214

1.340.032

0 ]⋅[ i t t ][ 10.214

0

0 − 10.032 ]⋅[ ust

T k t ] .

Olekumaatriks avaldub

A=eA⋅T 0=EA⋅T 0A2⋅T 0

2

2!A3⋅

T 03

3!=[0.8888 −0.0592

0.3959 0.9873 ]B=E⋅B⋅T 0A⋅B⋅

T 02

2!A2⋅B⋅

T 03

3!=[0.0442 0.0094

0.0094 −0.3111] .

Antud juhul jäävad väljund- ja häiringumaatriks muutumatuks.

Ülesanne 17.

z-ülekandefunktsioon

MW z = 0.8⋅z−11.4⋅z−2

10.02⋅z−10.08⋅z−2⋅z−1

Võimendustegur K= ∑ b1∑ a

=0.81.4

10.020.08=2

Tunnusvõrrandi lahendid z1,2=−0.01± j 0.2827 , järeldus – stabiilne

Diferentsvõrrand

y k 0.02⋅y k−10.08⋅y k−2=0.8⋅sk−21.4⋅s k−3

Tabel Ü.3. Ülesande lahendid

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10s(k) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2y(k) -0.1 -0.078 1.61 4.37 4.18 3.966 3.986 4.003 4.001 3.999 3.999

132

Ülesanne 18.

Nõutav võrrandite hulk m≥2⋅n1=2⋅20=4

Harjutuse eesmärgil avaldatakse 7 võrrandit.

y =[3.0412.1671.9472.1753.3703.9732.132] , =[

−2.167 −1.947 1 1.6 1.4−1.947 −2.175 1.6 1.4 0.9−2.175 −3.370 1.4 0.9 1.1−3.370 −3.973 0.9 1.1 1.2−3.973 −2.132 1.1 1.2 1.9−2.132 −2.049 1.2 1.9 1.9−2.049 −2.344 1.9 1.9 0.6

] m=[a1

a2

b0

b1

b2

]=[0.020.08

00.81.4] .

133

134

AINEREGISTER

Aegruum 19 Korrutussõlm 7Ajakonstant 20, 39, 46Amplituudireserv 65, 78 Laplace'i teisendus 19Analüüs 53 Lihtsad struktuurid 27

Lõikesagedus 61Bode diagramm 61, 78

vt. ka Tüüplülid Mason'i valem 32MATLAB 119

Diferentsiaalvõrrand 17, 34, 106 Mihhailovi hodograaf 61Diferentsvõrrand 99, 104 Mittelineaarne element 87

Modelleerimine 119Erakkontuur 32 Mõõtemüra 6

Mudel 32, 120Faasireserv 65, 78 Murdesagedus 23

Hargnemissõlm 7 Nichols'i kaart 67Häiring 6, 9Häiringumaatriks 8 Olek 8

Olekumaatriks 8, 106Identifitseerimine 37, 111 Olekuvektor 8, 106Integraalhinnang 68 Operaator 19Isehäälestumine 116

Protsessimüra 6Jadastruktuur 7Juhtimine 5 Regulaator 9, 72, 112Juhtimise eesmärk 15 Regulaatori häälestamine 74...79, 114Juhtimise ülesanne 15 Rööpstruktuur 7Juhtimismeetodid 13Juhtimisobjekt 6 Sagedusruum 19Juhtseade 6 Sagedustunnusjoon 59Juhttoime 6 vt. ka Bode diagramm

Siirdeprotsess 15, 37 z-teisendus 101Siirdeprotsessi kvaliteet 64Sisendsignaalid 37..39 Tagasiside 6Staatiline viga 66 Tagasisidestatud kontuur 8Stabiilsuskriteeriumid 54...61, 104 Tunnusvõrrand 54Stabiilsuspiirkond 63 Tunnusvõrrandi lahendid 55Struktuuriskeem 26 Tüüplülid 41...50Struktuurne stabiilsus 62 Ülekandefunktsioon 20, 27Sumbumistegur 46 vt. ka TüüplülidSummeerimissõlm 7 Ülekandetegur 20Süntees 15, 71 Ülereguleerimine 67

135

136

KASUTATUD KIRJANDUS1. Pettai, E. Tootmise automatiseerimine – Tallinn, TTÜ Elektriajamite ja jõuelektroonika

instituut, 2005. – 336 lk. ISBN 9985-69-032-X

2. Tomson, J., Lehtla, T. Automaatjuhtimine – Tallinn, TTÜ Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut, 1997. – 183 lk. ISBN 9985-69-011-7

3. Merz, L., Jaschek, H. Grundkurs der Regelungstechnik. 14. Auflage – München, Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, 2003. – 369 lk. ISBN 3-486-25960-1

4. Lehtla, T. Andurid – Tallinn, TTÜ Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut, 1996. – 124 lk. ISBN 9985-69-008-7

5. Probst, U. Antriebe in Automatisierungstechnik. Skript zur gleichnamigen Vorlesung – Gießen, FH Giessen-Friedberg, 2005. – 85 lk.

6. Reuter, M., Zacher, S. Regelungstechnik für Ingenieure. 11. Auflage – Wiesbaden, Viewegs Fachbücher der Technik, 2004. – 472 lk. ISBN 3-528-05004-7

7. Chau, P. Mason's Gain Formula - http://www.cambridge.org/us/features/chau/webnotes/chap2mason.pdf

8. Einer, L. Automaatregulaatorid – Tallinn, Kirjastus „Valgus“, 1975. – 364 lk.

9. Föllinger, O. Regelungstechnik. 7. Auflage – Heidelberg, Hüthig Buch Verlag GmbH, 1992. – 640 lk. ISBN 3-7785-2136-5

10. Garbrecht, F. W. Digitale regelungstechnik – Eine Einführung in die Praktische Anwendungen – Berlin, VDE-Verlag GmbH, 1991. - 142 lk. ISBN 3-8007-1695-X

11. Liivik, L. Raalarvutused elektrotehnikas – Tallinn, TTÜ trükikoda, 2001. - 109 lk. ISBN 9985-69-021-4

12. Karl, H. Rahmenskript zur Vorlesung Regelungstechnik – Nürnberg, Georg-Simon-Ohm FH, 2001. – 395 lk.

137

138

LISAD

139

140

LISA 1. Levinumate funktsioonide Laplace'i teisendused

Originaalfunktsioon Operaatorfunktsioont 1

1t 1p

t1p2

t n n !pn1

1n−1!

⋅t n−1 1pn

1n−1!

⋅t n−1⋅e−a⋅t 1 pan

e−a⋅t 1pa

t n⋅e−a⋅t n! pan1

1T⋅e− t

T 11p⋅T

1−e− t

T1

p⋅1 p⋅T

1T 1−T 2

⋅{e− tT 1−e

−t

T2} 11 p⋅T 1⋅1p⋅T 2

sin a⋅t a

p2a2

cos a⋅t p

p2a2

e−b⋅t⋅sin a⋅t a

pb 2a2

e−b⋅t⋅cos a⋅t pb

pb 2a2

0

1−2⋅e−⋅0⋅t⋅sin 1−2⋅0⋅t 1

02⋅t⋅e−⋅0⋅t =10

2−1⋅e−⋅0⋅t⋅sin 2−1⋅0⋅t 1

110

2⋅p22⋅0

⋅p1

141

LISA 2. Levinumate funktsioonide z-teisendused

Originaalfunktsioon z-funktsioon

1t zz−1

tT 0⋅z z−12

t 2 T 02⋅z⋅ z−1 z−13

e−a⋅t zz−e−a⋅T 0

t⋅e−a⋅t T 0⋅z⋅e−a⋅T 0

z−e−a⋅T02

t 2⋅e−a⋅t T 02⋅z⋅e−a⋅T 0⋅ ze−a⋅T0

z−e−a⋅T03

1−e− t

Tz⋅1−e−a⋅T 0

z−e−a⋅T0⋅ z−1

sin a⋅t z⋅sin a⋅T 0

z2−2⋅z⋅cos a⋅T 01

cos a⋅t z⋅[z−cos a⋅T 0]

z2−2⋅z⋅cos a⋅T 01

e−b⋅t⋅sin a⋅t z⋅e−a⋅T0⋅sin a⋅T 0

z2−2⋅e−a⋅T 0⋅z⋅cosa⋅T 0e−a⋅T0

e−b⋅t⋅cos a⋅t z2−z⋅e−a⋅T0⋅cos a⋅T 0

z2−2⋅e−a⋅T 0⋅z⋅cosa⋅T 0e−a⋅T0

142