beamer imfufa seminar oktober 2008

Friedman om den klassiske fysiks konstitutive principperFriedmans analyse af MM eksperimentet

En alternativ udledning af SRTFriedman vs. den alternative SRT-udledning

Relativitet, invarians og inerti

Claus Festersen

Filosofi og Videnskabsteori, CUIDRoskilde Universitetscenter

October 30, 2008

Claus Festersen Relativitet, invarians og inerti

Oversigt

1 Friedman om den klassiske fysiks konstitutive principper

2 Friedmans analyse af MM eksperimentet

3 En alternativ udledning af SRT

4 Friedman vs. den alternative SRT-udledning

Reichenbach og det relativiserede a priori (1920)

Reichenbach argumenterer i overensstemmelse med Kant atenhver fysikalsk teori har konstitutive principper.

Ide: Fysikalsk viden er “indrammet” i matematisk formalisme.

De matematisk formulerede love har kun empirisk indholdqua principper, der koordinerer de matematiske begreber tilempiriske forhold og processer.

Reichenbach går ud over Kant ved at hævde, at disseprincipper kan udvikles og ændres.

Der er tale om relativiserede og dynamiske konstitutive a prioriprincipper.

Friedman om Newtons konstitutive framework

1 Matematisk delEuklidisk geometri, infinitesimal-regning

2 Mekanisk delNewtons bevægelseslove:

N1: InertilovenN2:~F = m~a = m d~v

dtN3: actio = reactio

3 GravitationslærenNewtons universelle gravitationslov:~F12 =−G m1m2

|~r12|2 r̂12

Friedman in a nutshell

Konstitutive principper skal forstås som nødvendigeforudsætninger for al vores (naturvidenskabelig) viden til engiven tid.

Konstitutive principper er således ikke empiriskelovmæssigheder.

Friedman in a nutshell

Konstitutive principper skal forstås som nødvendigeforudsætninger for al vores (naturvidenskabelig) viden til engiven tid.

Konstitutive principper er således ikke empiriskelovmæssigheder.

Klassisk konstitutiv framework/rumtidsstruktur:Inertialsystemer og G-transformationer

(t′ = t)

x′ = x−vt

y′ = y

z′ = z

Friedmans problem med MM eksperimentet

“The famous interferometer experiments of Michelson and Morley(1882, 1887), for example, which result in no detectable influence ofthe motion of the earth on the velocity of light, seem to supply as goodan empirical test as can be imagined for the invariance of the velocityof light in different inertial frames and thus for the light principle asit is first introduced in the special theory of relativity” (DoR, p. 86).

Elektrodynamik og æter klassisk set

Enhver bølge forplanter sig i et medium.

Lydbølger forplanter sig i atmosfærisk luft.

Lysbølger udbreder sig i æteren.

Nærmere bestemt bevæger lys sig retliniet med konstanthastighed c i æteren uafhængigt af lyskildensbevægelsestilstand ift. æteren.

Klassisk analyse af MM eksperimentet (set fra lab)

Lodret: u =p

c2 −v2 tur og retur (~c =~v+~u).⇒ t1 = 2Lp

c2−v2= 2L/c√

1− v2

= 2Lγc

Vandret: u = c−v tur og u = c+v retur.

⇒ t2 = Lc−v + L

c+v = 2L/c

1− v2

= 2Lγ2

⇒ t2 − t1 = 2Lc γ(γ−1) > 0

Lodret: u =p

c2−v2= 2L/c√

1− v2

= 2Lγc

⇒ t2 = Lc−v + L

c+v = 2L/c

1− v2

= 2Lγ2

⇒ t2 − t1 = 2Lc γ(γ−1) > 0

Lodret: u =p

c2−v2= 2L/c√

1− v2

= 2Lγc

⇒ t2 = Lc−v + L

c+v = 2L/c

1− v2

= 2Lγ2

⇒ t2 − t1 = 2Lc γ(γ−1) > 0

Lorentz’s redegørelse for MM via forkortning

“Molecular Force Hypothesis” ⇒ Lorentz-forkortning (L L/γ)

⇒ t2 − t1 = 2L/γc γ2 − 2L

c γ= 0

Lorentz’s generelle konklusion

Målinger foretaget med måleinstrumenter i bevægelse ift.æteren forvrænges af dynamiske effekter:

1 Længdemål forkortes2 Målte tidsintervaller forhales (ure)

Observation: Alle målinger giver resultater som om de varforetaget i hvile i forhold til æteren.

Udvej: Korrigér målte værdier (t′,x′,y′,z′) for effekter.

Resultat: Vandret MM-arm måles fx til L, men er ivirkeligheden L/γ.

Sammenhængen mellem det målte og det reale

Reale størrelser (t,x,y,z) ift. S og ditto (t,x,y,z) ift. S:

x = x−vt

Målte værdier (t′,x′,y′,z′) og reale værdier (t,x,y,z) ift. S:

x′ = γx

y′ = y

z′ = z

t′ = 1

γt − vγ2

Sammenhængen mellem det målte og det reale

Reale størrelser (t,x,y,z) ift. S og ditto (t,x,y,z) ift. S:

x = x−vt

Målte værdier (t′,x′,y′,z′) og reale værdier (t,x,y,z) ift. S:

x′ = γx

y′ = y

z′ = z

t′ = 1

γt − vγ2

⇒ L-transformation mellem (t,x,y,z) og (t ′,x′,y′,z′)

x′ = γ(x−vt)

y′ = y

z′ = z

t′ = γ(t − v

Einsteins ophøjelse (elevation)af lysets invarians til et konstitutivt princip

Et inertialsystem i Einsteins forstand opfylder:

1 Inertiloven(men ikke N2 og N3)

2 Lyshypotesen(som klassisk set kun gælder i æterens hvilesystem)

Einsteins ophøjelse (elevation)af lysets invarians til et konstitutivt princip

Et inertialsystem i Einsteins forstand opfylder:

1 Inertiloven(men ikke N2 og N3)

2 Lyshypotesen(som klassisk set kun gælder i æterens hvilesystem)

Einstein vs. Lorentz

Resultatet er, at de målte værdier (t′,x′,y′,z′) er reale værdier!

Der er ikke tale om konspiration, men om målingers relativitet.

Vi skrotter (t,x,y,z)!

Værdien af vores vandrette MM-arm er forskellig i forskelligesystemer.

Friedmans konklusion

“[Einstein uses] his light principle empirically to define afundamentally new notion of simultaneity and, as a consequence,fundamentally new metrical structures for both space and time(more precisely, for space-time) [. . . ] [i]t is precisely here that anessentially non-empirical element of ‘decision’ must intervene, forwhat is at issue, above all, is giving a radically new space-timestructure a determinate empirical meaning – without which it is noteven empirically false but simply undefined” (DoR, p. 88).

Langes kritik af Friedman

Hvad Friedman ikke har vist:“[He] has not argued that the particular ‘coordinatingprinciples’ of Newtonian mechanics are necessary for Newton’slaw of gravitation to have any bearing on physical reality”(Lange 2004, p. 704).

Hvad han har vist:“[W]ithout something to play the role of Newton’s laws ofmotion, Newton’s law of gravitation is irrelevant to physicalreality” (Lange 2004, p. 704).

Langes kritik af Friedman

Hvad Friedman ikke har vist:“[He] has not argued that the particular ‘coordinatingprinciples’ of Newtonian mechanics are necessary for Newton’slaw of gravitation to have any bearing on physical reality”(Lange 2004, p. 704).

Hvad han har vist:“[W]ithout something to play the role of Newton’s laws ofmotion, Newton’s law of gravitation is irrelevant to physicalreality” (Lange 2004, p. 704).

Lévy-Leblond om den alternative udledning

“I intend to [ . . . ] to propose an approach to these foundations thatdispenses with the hypothesis of the invariance of c [. . . ] Byestablishing special relativity on a property of the speed of light, oneseems to link this theory to a restricted class of phenomena, namely,electromagnetic radiations. However, [ . . . ] [w]e believe that specialrelativity at the present time stands as a universal theory describingthe structure of a common space-time arena in which allfundamental processes take place. All the laws of physics areconstrained by special relativity acting as a sort of ‘super law,’ andelectromagnetic interactions here have no privilege other than ahistorical or anthropocentric one. Relativity theory, in fact, is but thestatement that all laws of physics are invariant under the Poincarégroup (inhomogenous Lorentz group).”

Strukturen af den alternative udledning

Udgangspunkt: Relativitetsprincippet forstået i termer afækvivalente referencesystemer, der er relateret til hinanden viaen gruppe af inertiale transformationer.

Elementerne i denne gruppe bestemmes efterfølgendegennem betingelser, der pålægges successivt i form af firehypoteser:

1 Rumtidens homogenitet2 Rummets isotropi3 Inertiale transformationer udgør en gruppevirkning på

mængden af inertialsystemer4 Kausalitetsbetingelse

De 4 hypoteser er tilstrækkelige til at udlede eksistensen af enuniversel grænsehastighed σ.

Værdien af σ (påstås det) kan så bestemmes eksperimentelt.

1 σ2 =∞ svarer til gyldigheden af G-transformationerne.2 σ2 = c2 svarer til gyldigheden af L-transformationerne

(med c som parameter).

Relativitetsprincippet

“[T]here exists an infinite continuous class of reference frames inspace-time which are physically equivalent. In other words, the lawsof physics take on the same form when referred to any one of theseframes, and no physical effects can distinguish between them”(LL 1976, p. 271).

En relativitetsteori har så formålet at angive, hvorledesværdierne af den samme fysikalske kvantitet målt relativt til toforskellige ækvivalente systemer forholder sig til hinanden.

De ækvivalente systemer er derved alene empirisk bestemt viainertiloven (minus N2 og N3).

Forholdet mellem inertialsystemer (2 dim)

Relativitetsprincippet oversat til Lie-teori:“[S]ince we have assumed the existence of an infinite continuousclass of inertial frames, the relationship between any two of themdepends upon a certain number of parameters {a1, . . . ,aN }, the valuesof which characterize any special inertial transformation”(LL 1976, p. 272).

x′ = f (x, t;a1, . . . ,aN ),

t′ = g(x, t;a1, . . .aN ). (1)

Forholdet mellem inertialsystemer (2 dim)

Relativitetsprincippet oversat til Lie-teori:“[S]ince we have assumed the existence of an infinite continuousclass of inertial frames, the relationship between any two of themdepends upon a certain number of parameters {a1, . . . ,aN }, the valuesof which characterize any special inertial transformation”(LL 1976, p. 272).

x′ = f (x, t;a1, . . . ,aN ),

t′ = g(x, t;a1, . . .aN ). (1)

Rumtidens homogenitet giver n = N −2

Translationer i rum hhv. tid er inertiale transformationer:

x′ = x+ξ, t′ = t +τ. (2)

Vi kan derfor reducere N til n = N −2 ved at vælge fælles nulpunkt:

x′ = F(x, t;a1, . . . ,an),

t′ = G(x, t;a1, . . . ,an). (3)

0 = F(0,0;a1, . . . ,an),

0 = G(0,0;a1, . . . ,an). (4)

Rumtidens homogenitet giver n = N −2

Translationer i rum hhv. tid er inertiale transformationer:

x′ = x+ξ, t′ = t +τ. (2)

Vi kan derfor reducere N til n = N −2 ved at vælge fælles nulpunkt:

x′ = F(x, t;a1, . . . ,an),

t′ = G(x, t;a1, . . . ,an). (3)

0 = F(0,0;a1, . . . ,an),

0 = G(0,0;a1, . . . ,an). (4)

Relativitet giver så n = 1

“We know from simple physical experience that speed, indeed, is onlyrelative and can be varied from one inertial frame to the other; this isthe empirical basis of the principle of relativity. We know, though,that the same is not true for acceleration, which is associated withphysical effects differentiating various frames. It follows that n = 1”(LL 1976, p. 272).

x′ = F(x, t;a), t′ = G(x, t;a), (5)

0 = F(0,0;a), 0 = G(0,0;a). (6)

Relativitet giver så n = 1

“We know from simple physical experience that speed, indeed, is onlyrelative and can be varied from one inertial frame to the other; this isthe empirical basis of the principle of relativity. We know, though,that the same is not true for acceleration, which is associated withphysical effects differentiating various frames. It follows that n = 1”(LL 1976, p. 272).

x′ = F(x, t;a), t′ = G(x, t;a), (5)

0 = F(0,0;a), 0 = G(0,0;a). (6)

Rumtidens homogenitet

• Rumtiden har overalt og altid de samme egenskaber.

⇒ “[T]he transformation properties of a spatiotemporalinterval (∆x,∆t) depend only on that interval and noton the location of its end points (in the consideredreference frame)” (LL 1976, p. 272).

⇒ ∂F/∂x, ∂F/∂t, ∂G/∂x og ∂G/∂t er uafhængige af x og t,jf. nedenfor.

dx′ = ∂F

∂xdx+ ∂F

∂tdt,

dt′ = ∂G

∂xdx+ ∂G

∂tdt. (7)

dx′ = ∂F

∂xdx+ ∂F

∂tdt,

dt′ = ∂G

∂xdx+ ∂G

∂tdt. (7)

dx′ = ∂F

∂xdx+ ∂F

∂tdt,

dt′ = ∂G

∂xdx+ ∂G

∂tdt. (7)

dx′ = ∂F

∂xdx+ ∂F

∂tdt,

dt′ = ∂G

∂xdx+ ∂G

∂tdt. (7)

dx′ = ∂F

∂xdx+ ∂F

∂tdt,

dt′ = ∂G

∂xdx+ ∂G

∂tdt. (7)

På den anden side gælder:

dF = ∂F

∂xdx+ ∂F

∂tdt,

dG = ∂G

∂xdx+ ∂G

∂tdt. (8)

⇒ F og G er lineære funktioner af x og t.

Det samme gælder således om x′ og t′:

x′ = H(a)x−K (a)t, (9a)

t′ = L(a)t −M(a)x, (9b)

hvor vi har brugt, at x′(0,0) = t′(0,0) = 0.

dF = ∂F

∂xdx+ ∂F

∂tdt,

dG = ∂G

∂xdx+ ∂G

∂tdt. (8)

x′ = H(a)x−K (a)t, (9a)

t′ = L(a)t −M(a)x, (9b)

dF = ∂F

∂xdx+ ∂F

∂tdt,

dG = ∂G

∂xdx+ ∂G

∂tdt. (8)

x′ = H(a)x−K (a)t, (9a)

t′ = L(a)t −M(a)x, (9b)

Inertiale bevægelser

Inertiale bevægelser er bevægelser opnået ved at anvende eninertial transformation på koordinaterne af et objekt i hvile i etinertialsystem.

Inertiale bevægelser opfylder bevægelsesloven:

H(a)x−K (a)t = C, (10)

hvor C er en konstant svarende til den rumlige position x′ af etobjekt i hvile i det inertiale system S′.Inertiale bevægelser er uniforme bevægelser med hastighedv = K (a)/H(a).

H(a)x−K (a)t = C, (10)

Erstat “dummy” a med hastigheden v

Definerer vi

γ(v) = H(a), (11a)

λ(v) = L(a)

H(a), (11b)

µ(v) = M(a)

H(a), (11c)

kan vi omskrive den almene transformation:

x′ = γ(v)(x−vt),

t′ = γ(v)(λ(v)t −µ(v)x

). (12)

Rummets isotropi

Alle mulige orienteringer af rummet er (fysisk) ækvivalente.

Anvendelse i tilfældet af en rumlig dimension:

1 S og S′ er inertialsystemer.

2 (x, t) i S og (x′, t′) i S′ er relateret via (12) med parameter v.

Definer systemerne R hhv. R′ med koordinaterne (X ,T) hhv. (X ′,T ′)vha.

X =−x, T = t,

X ′ =−x′, T ′ = t′. (13)

⇒ R og R′ er inertialsystemer.

Rummets isotropi

X =−x, T = t,

X ′ =−x′, T ′ = t′. (13)

Rummets isotropi

X =−x, T = t,

X ′ =−x′, T ′ = t′. (13)

Rummets isotropi

X =−x, T = t,

X ′ =−x′, T ′ = t′. (13)

Rummets isotropi

X =−x, T = t,

X ′ =−x′, T ′ = t′. (13)

Rummets isotropi

⇒ Der findes en inertial transformation (12) med parameter u,således at

X ′ = γ(u)(X −uT),

T ′ = γ(u)(λ(u)T −µ(u)X

). (14)

Erstattes X ,T ,X ′,T med deres udtryk i x, t,x′, t′ givet ved (13) fås:

−x′ = γ(u)(−x−ut),

t′ = γ(u)(λ(u)t +µ(u)x). (15)

Rummets isotropi

⇒ Der findes en inertial transformation (12) med parameter u,således at

X ′ = γ(u)(X −uT),

T ′ = γ(u)(λ(u)T −µ(u)X

). (14)

Erstattes X ,T ,X ′,T med deres udtryk i x, t,x′, t′ givet ved (13) fås:

−x′ = γ(u)(−x−ut),

t′ = γ(u)(λ(u)t +µ(u)x). (15)

Rummets isotropi

Sammenlignes udtryk (15) med vores oprindelige (12) får vi ikkeoverraskende

u =−v, (16)

samt paritetsegenskaber for γ, λ og µ:

γ(−v) = γ(v), (17a)

λ(−v) =λ(v), (17b)

µ(−v) =−µ(v). (17c)

Inertiale transformationer udgør en gruppevirkning

Hypotesen om at de inertiale transformationer har engruppestruktur implicerer tre betingelser:

(a) Neutral transformation. Det neutrale element må svare tilinertial transformation med v = 0, hvilket medfører

γ(0) = 1, (18a)

λ(0) = 1, (18b)

µ(0) = 0. (18c)

(b) Invers transformation. Lad (x′, t′) være fremkommet ved attransformere (x, t) med parameter v. Så må der eksistere en inverstransformation af (x′, t′) over i (x, t) af formen (12) med parameterw, hvilket kræver

x = γ(w)(x′−wt′),

t = γ(w)(λ(w)x′−µ(w)x′). (19)

Efter lidt regneri og en smule “Behändigkeit” følger heraf:

λ(v) = 1 (20)

w =−v (21)

γ(v)2(1−vµ(v)) = 1 (22)

(c) Sammensætnigsreglen. Vi udfører to transformationer af formen(12) (λ(v) = 1) efter hinanden, hvorved vi får (x1, t1) fra (x, t) og så(x2, t2) fra (x1, t1):

x1 = γ(v1)(x−v1t),

t1 = γ(v1)(t −µ(v1)x), (23)

x2 = γ(v2)(x1 −v2t1),

t2 = γ(v2)(t1 −µ(v2)x1). (24)

For den direkte transformation af (x, t) over i (x2, t2) gælder

x2 = γ(v1)γ(v2)(1+µ(v1)v2)

(x− v1 +v2

1+µ(v1)v2t

), (25a)

t2 = γ(v1)γ(v2)(1+v1µ(v2))

(t − v1 +v2

1+v1µ(v2)x

). (25b)

(c) Sammensætnigsreglen. Vi udfører to transformationer af formen(12) (λ(v) = 1) efter hinanden, hvorved vi får (x1, t1) fra (x, t) og så(x2, t2) fra (x1, t1):

x1 = γ(v1)(x−v1t),

t1 = γ(v1)(t −µ(v1)x), (23)

x2 = γ(v2)(x1 −v2t1),

t2 = γ(v2)(t1 −µ(v2)x1). (24)

For den direkte transformation af (x, t) over i (x2, t2) gælder

x2 = γ(v1)γ(v2)(1+µ(v1)v2)

(x− v1 +v2

1+µ(v1)v2t

), (25a)

t2 = γ(v1)γ(v2)(1+v1µ(v2))

(t − v1 +v2

1+v1µ(v2)x

). (25b)

Sammensætningsreglen kræver nu, at (25) kan identificeres med entransformation af formen (12) med parameter V :

x2 = γ(V )(x−Vt),

t2 = γ(V )(t −µ(V )x). (26)

Identificeres γ(V ) i (25a) og (25b), kan man udlede

µ(v1)v2 = v1µ(v2), (27)

således atµ(v) =αv (28)

for en konstant α.

Sammensætningsreglen kræver nu, at (25) kan identificeres med entransformation af formen (12) med parameter V :

x2 = γ(V )(x−Vt),

t2 = γ(V )(t −µ(V )x). (26)

Identificeres γ(V ) i (25a) og (25b), kan man udlede

µ(v1)v2 = v1µ(v2), (27)

således atµ(v) =αv (28)

for en konstant α.

Identificeres γ(v) i (22), har vi slutteligt

γ(v) = 1p1−αv2

x′ = γ(v)(x−vt),

t′ = γ(v)(t −αvx). (30)

Tre tilfælde: α< 0,α= 0 eller α> 0

(i) α< 0. Defining α=−κ−2, where κ has the dimensionscorresponding to a velocity, we obtain the transformation law

x′ = x−vtp1+v2/κ2

t′ = t +vx/κ2

p1+v2/κ2

. (31)

We recognize that v ∈ R is allowed.

(ii) α= 0. We obtain the transformation law

x′ = x−vt,

t′ = t. (32)

Hence, we observe that in the case α= 0 we derive the Galileantransformations.

(iii) α> 0. Let us define α=σ−2, where c is a constant whosedimensions correspond to a velocity. We now have

x′ = x−vtp1−v2/σ2

t′ = t −vx/c2

p1−v2/σ2

, (33)

This is the Lorentzian case, where v is restricted to lie within theinterval [−σ,σ].

Kausalitet

Både i tilfælde (i) og (iii) er tidsintervallet mellem tobegivenheder afhængig af inertialsystemerne.

Lévy-Leblonds krav: “[I]n order to maintain some order in theuniverse, we would like to require the existence of at least a classof spatiotemporal events such that the sign of the time interval,that is, the nature of a possible causal relationship, is notchanged under inertial transformations” (LL 1975, p. 276).

Tilfælde (i) opfylder ikke betingelsen, hvilket udelukkerkausale forklaringer.

Lévy-Leblonds konklusion: “A further analysis of the possibleobjects moving in such a space-time shows that this constantturns out to be the (invariant) velocity of zero-mass objects” (LL1975, p. 276).

Kausalitet

Konklusion mht. det konstitutive

Epistemologisk vs. realistisk fortolkning af inertialsystemer!

Umiddelbart er MM eksperimentet derfor en genuin test forlysets invarians i LL’s øjne.

LL’s analyse viser dog alligevel, at det ikke er afgørende,hvorledes man fastlægger rumtiden (something).

Mao. er der ingen principiel forskel mellem konstitutiveprincipper og empiriske lovmæssigheder.

Derudover er det svært at se, at det at påstå eksistensen af etinertialsystem, der fx opfylder N1-N3, ikke er et empiriskudsagn – omend af en lidt anden karakter.

Konklusion mht. det regulative

Relativitetsprincippet kræver, at alle (fremtidige) empiriskelovmæssigheder er gyldige i forhold til alle inertialsystemer.

RP behøver ikke at være gyldig (tænk på QM og GRT). ForEinstein havde det en regulativ funktion.

Holder man som Einstein fast i RP, udelukker (klassisk) ED(L-invariant) klassisk rumtid (G-transform) (MM irrelevant).

Lorentz’s manøvre svarer til at forkaste RP i ontologisk forstand(konspirationen).

Eksistensen af æteren er derudover et brud på N3, således atLorentz-teorien ikke kan anses som et alternativ til SRT påFriedmans egne præmisser.

Einsteins elevation af LP var netop ikke udtryk for et valg påFriedmans præmisser.

beamer imfufa seminar oktober 2008

Technology