BILANGAN REAL DAN RASIONAL

Mata Kuliah : Pendidikan Matematika Di SD 1

Dosen Pengampu : Drs. Wahyudi, M.Pd.

Disusun Oleh :

Kelompok 20 /3C

1. Winahyu Arif Wicaksono ( K7112269 / 22 )

2. Tri Subekti

PROGRAM STUDI SI PGSD KAMPUS VI KEBUMEN

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2013

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan YME yang telah memberikan rahmat,

hidayah dan anugerah-Nya kepada kita semua, sehingga kami dapat

menyelesaikan makalah Pendidikan Matematika Di SD I “Bilangan Real dan

Rasional” ini tepat waktu.

Makalah ini merupakan pemenuhan tugas dari mata kuliah Pendidikan

Matematika Di SD I yang merupakan bukti pertanggungjawaban atas

terlaksananya presentasi kelompok . Di samping itu, makalah ini bertujuan untuk

bahan pengetahuan bagi para pembaca.

Kami berharap juga makalah ini betul-betul dapat memberikan bekal

sebagai calon pendidik. Karena seorang pendidik yang berkualitas sangat

diharapkan memahami dan mengerti tentang materi-materi dalam Pendidikan

Matematika Di SD I khususnya mengenai bilangan rasional.

Kami ucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu

penyelesaian makalah ini. Makalah ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu,

masukan dan saran dari pembaca kami harapkan untuk kesempurnaan makalah

ini.

Kebumen, 16 September 2013

Penulis

ii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR....................................................................................

DAFTAR ISI...................................................................................................

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ..........................................................................

1.2 Tujuan .......................................................................................

BAB II SISTEM BILANGAN REAL ........................................................

BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpulan ...............................................................................

3.2 Saran..........................................................................................

DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………....

iii

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Sistem bilangan adalah hal pokok dalam sebuah ilmu matematika, bisa juga

dikatakan sebagai inti dari suatu ilmu matematika itu sendiri. Sistem bilangan ini terbagi

menjadi banyak macamnya, adapun yang kami sajikan dalam makalah ini adalah mengenai

Himpunan Bilangan Real.

Himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan

dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional.

Himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan sifat-sifat bilangan disebut sistem

bilangan real.

Dalam aplikasinya himpunan bilangan ini mempunyai banyak turunan yang

mempunyai bermacam-macam sifat dan bentuk bilangan.

1.2 Tujuan

Tujuan penyusunan makalah ini adalah untuk :

a. Memenuhi salah satu tugas terstruktur Mata Kuliah Konsep Dasar Matematika

b. Mengembangkan pengetahuan dan kemampuan tentang Himpunan Bilangan Real dan

Rasional

c. Menemukan soluasi dari suatu permasalahan yang terkait dengan Himpunan Bilangan

Real dan Rasional

4

BAB II

Pembahasan

BAB II

SISTEM BILANGAN REAL

Sebelum masuk ke dalam bilangan real, maka kita membahas terlebih dahulu konsep

Himpunan (sets) Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu.

Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota (elemen) S. Himpunan yang tidak memiliki

anggota disebut himpunan kosong, ditulis dengan notasi atau { }.

Jika a merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan a S dan dibaca “a elemen S“. Jika a

bukan anggota himpunan S, maka dituliskan dan dibaca “a bukan elemen S“.

Himpunan dapat disajikan dengan 2 cara. Pertama, dengan menuliskan seluruh

anggotanya. Sebagai contoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat

dinyatakan sebagai:

A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Kedua, yaitu dengan menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota

suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut.

Apabila himpunan A di atas dinyatakan dengan cara ini, maka dapat ditulis:

A={x|x bilangan bulat positif kurang dari 10}

Himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis , jika setiap anggota A

merupakan anggota B.

Beberapa himpunan bilangan yang dipandang cukup penting adalah

5

Himpunan semua bilangan asli adalah N ={1,2,3,…}. Himpunan ini tertutup terhadap

operasi penjumlahan dan operasi pergandaan, artinya dan untuk setiap .

Oleh karena itu, himpunan semua bilangan asli membentuk suatu sistem dan biasa

disebut sistem bilangan asli. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan

bilangan-bilangan bulat negatif membentuk Sistem Bilangan Bulat, ditulis dengan notasi Z,

Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

Bilangan rasional adalah bilangan yang merupakan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan

asli. Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi Q,

Dalam kehidupan nyata seringkali dijumpai bilangan-bilangan yang tidak rasional.

Bilangan yang tidak rasional disebut bilangan irasional. Contoh-contoh bilangan irasional antara

lain adalah dan . Bilangan adalah panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan panjang

sisi-sisi tegaknya masing-masing adalah 1

Sedangkan bilangan merupakan hasil bagi keliling sebarang lingkaran terhadap

diameternya (Gambar 1.1.2).

6

Himpunan semua bilangan irasional bersama-sama dengan Q membentuk himpunan semua

bilangan real R. Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sebarang bilangan real seringkali

digunakan cara desimal. Sebagai contoh, bilangan-bilangan masing-masing dapat

dinyatakan dalam desimal sebagai

Dapat ditunjukkan bahwa bentuk desimal bilangan-bilangan rasional adalah salah

satu dari 2 tipe berikut:

1. berhenti ( ), atau

2. berulang beraturan ( ).

Apabila bentuk desimal suatu bilangan tidak termasuk salah satu tipe di atas, maka bilangan

tersebut adalah irasional. Sebagai contoh, bilangan-bilangan:

7

Bilangan Real

Bil.Rasional Bil. irasional

Pecahan Bilangan bulat

Negatif Cacah

Nol Asli

BILANGAN REAL

Bilangan real adalah himpunan bilangan yang data di sajikan dalam bentuk decimal tidak

terbatas. Jadi bilangan real mencakup semua bilangan rasional ( seperti bilangan decimal

berulang tidak terbatas, bilangan positif, bilangan negative, dan bilangan nol. ) serta bilangan

irrasional.

Skema bilangan Real

Sifat Sifat Bilangan Real

Penjumlahan :

1. Tertutup

2. Komutatif

3. Assosiatif

4. Identitas ( 0 )

5. Invers (-a)

Perkalian

1. Tertutup

2. Komutitatif

3. Asosiatif

4. Identitas ( 1 )

5. Invers (1/a untuk a tidak sama

dengan 0 )

8

Sifat Sifat Urutan bilangan Real

1. Transitif kurang dari

2. Sifat kurang dari dan penjumlahan

3. Sifat kurang dari dan perkalian dengan bilangan positif

4. Sifat dari dan perkalian dengan bilangan negative

5. Sifat kepadatan

Macam-macam bilangan real

1. Bilangan rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat disajikan dalam bentuk a/b, dimana a dan b

bilangan bulat, dan b tidak sama dengan 0. Dengan demikian setiap pecahan merupakan bilangan

rasional. Tetapi tidak semua rasional merupakan pecahan. Dengan kata lain, semua pecahan

merupakan bilangan rasional. Dengan notasi himpunan, bilangan rasional dapat disajikan sebagai

berikut.

Q = ( ab|a dan b bilangan bulat , b ≠ 0)

Contoh : -3, −54

, 1, 0, 23

, 4, 5 23

, √100 , dan lain-lain.

Definisi Kesamaan Bilangan Rasional

Diketahui a/b dan c/d sembarang bilangan rasional. Maka a/b = c/d jika dan hanya jika

a/d = b/c. Kesamaan tersebut digunakan untuk menentukan nama-nama lain bilangan rasional:

menyederhanakan bilangan rasional, menyamakan penyebut untuk operasi hitung penjumlahan,

pengurangan, dan membandingkan bilangan-bilangan rasional. Sebagai suatu pecahan, setiap

bilangan rasional mempunyai tak terhingga bentuk penyajiannya.

Contoh:

½ = 2/4 = 3/6 = ....... = -1/2 = -2/4 = -3/6

Suatu bilangan rasional dapat dikatakan sederhana jika a dan b tidak mempunyai faktor-

faktor prima yang sama dan b adalah positif.

9

Berdasarkan penggunaan defisi kesamaan bilangan rasional, dapat ditunjukkan teorema

bilangan rasional sebagai berikut.

Diketahui a/b sembarang bilangan rasional dan n sembarang bilangan bulatbukan nol. Maka: a/b

= an/bn =na/nb.

Operasi bilangan rasional

Dalam bilangan rasional ada empat operasi bilangan rasional yaitu penjumlahan, pengurangan,

perkalian, dan pembagian.

a. Penjumlahan bilangan rasional

Didefinisikan sebagai pengembangan dari penjulahan pecahan.

a/b + cd = (ad + bc)/bd

contoh : 3/7 + -5/7 = (3 + (-5))/7 = -2/7

teorema

diketahui a/b sembarang bilangan rasional, maka :

-a/b = -a/b = a/-b

Sifat-sifat dari penjumlahan bilangan rasional

1. Sifat tertutup

a/b + c/d akan selalu menghasilkan bilangan rasional

2. Sifat Komutatif (Pertukaran)

a/b + c/d = c/d + a/b

3. Sifat Asosiatif (Pengelompokkan)

(a/b + c/d ) + e/f = a/b + (c/b + e/f)

4. Sifat identitas penjumlahan

a/b + 0 = a/b = 0 + a/b (0 = 0/m, m ∅ 0)

5. Sifat invers penjumlahan

Untuk setiap bilangan rasional a/b maka ada suatu bilangan rasional –a/b sehingga :

a/b + (-a/b) =() = (-a/b) + a/b

10

Teorema lain Bilangan Rasional:

Diketahui a/b, c/d, dan e/f sembarang bilangan rasional,

1. Jika a/b +e/f = c/d + ef maka a/b=c/d

2. –(-a/b) = a/b

Pengurangan Bilangan Rasional

Pengurangan dapat didefinisikan sebagai pengembangan dari pengurangan bilangan

bulat.

Definisi : a/b – c/d = a/b + (-c/d)

Definisi pengurangan juga dikembangkan dari pengurangan pecahan:

1. Penyebut sama

a/b + c/d = a/b + (-c/d)

= (a + (-c))/d

= (a-c)/d

Jadi pengurangan bilangan rasional dengan penyebut yang sama dapat dicari dengan

cara seperti pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama.

2. Penyebut tidak sama

a/b –c/d = ad/bd – bc/bd = (ad-bc)/bd

Perkalian Bilangan Rasional

Perkalian bilangan rasional didefinisikan sebagai pengembangan dari perkalian pecahan.

Definisi : a/b dan c/d sembarang bilangan rasional, maka a/b x c/d = ac/bd

Sifat-sifat perkalian bilangan rasional

Diketahui a/b, c/d, e/f sembarang bilangan rasional

1. Sifat tertutup

a/b x c/d = ac/bd selalu merupakan bilangan rasional

11

2. Sifat komutatif (pertukaran)

a/b x c/d = c/d x a/b

3. Sifat asosiatif (pengelompokkan)

(a/b x c/d) x e/f = a/b x (c/dx e/f)

4. Sifat identitas perkalian

a/b x 1 = a/b = 1 x a/b (1 = m/m, m ∅ 0)

5. Sifat invers perkalian

Untuk bilangan rasional a/b bukan nol tentu ada sebuah bilangan b/a sehingga a/b x

b/a = 1

6. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan (penyebaran)

a/b x (c/d + e/f) = a/b x c/d + a/b x e/f

Pembagian Bilangan rasional

Pembagian bilangan rasional dikembangkan dari pembagian pecahan.

Definisi :

Diketahui a/b, c/d adalah sembarang bilangan rasional, dimana c/d bukan nol, maka: a/b :

c/d = a/b x d/c.

Teorema

Ada tiga metode pembagian bilangan rasional,

Diketahui a/b, c/d sembarang bilangan raional dimana c/d bukan nol, maka:

1) a/b : c/d = a/b x d/c

2) a/b : c/b = a/c

3) a/b : c/d = (a:c)/(b:d)

Urutan Bilangan Rasional

Ada tiga cara untuk mengurutkan bilangan Rasional seperti halnya mengurutkan pecahan

1. Pendekatan Garis Bilangan

a/b < c/d (atau c/d > a/b) jika dan hanya jika a/b berada di sebelah kiri dari c/d pada garis

bilangan rasional.

Contoh

12

Tentukan urutan bilangan -3/7 dan 5/2

Jawab : dengan menggunakan garis bilangan, semua bilangan negatif berada di sebelah

kiri bilangan positif. Jadi -3/7 < 5/2

2. Pendekatan Penyebut positif yang sama

a/b < c/b jika dan hanya jika a< c dan b>0.

Contoh : Tentukan urutan bilangan -7/13 dan -2/13

Jawab : karena -7 < -2 maka -7/13 < -2/13

3. Pendekatan penjumlahan

a/b < c/d jika dan hanya jika ada sebuah bilangan rasional positif p/q sedemikian rupa

sehingga a/b + p/q = c/d

dengan kata lain pendekatan penjmlahan adalah a/b < c/d jika dan hanya jika c/d –a/b =

positif.

Contoh : -5/7 – (-3/4) = -5/7 + ¾ = -20/28 + 21/28

= 1/28

Teorema : sifat perkalian silang dari pertidaksamaan

Diketahui a/b dan c/d sembarang bilangan rasional, dimana b > 0 dan d > 0, maka a/b <

c/d jika dan hanya jika ad < bc.

Sifat-sifat urutan bilangan rasional

Diketahui a/b, c/d, dan e/f sembarang bilangan rasional

1) Sifat transitif kurang dari

Jika a/b < c/d dan c/d < e/f maka a/b < e/f

2) Sifat kurang dari dan penjumlahan

Jika a/b < c/d maka a/b + e/f < c/d + e/f

3) Sifat kurang dari dan perkalian dengan bilangan rasional positif

Jika a/b < c/d dan e/f >0, maka a/b . e/f < a/d . e/f

4) Sifat kurang dari dan perkalian dengan bilangan rasional negatif

Jika a/b < c/d dan e/f < 0, maka a/b . e/f > c/d . e/f

5) Sifat kepadatan (densitas)

Jika a/b < c/d maka ada sebuah bilangan rasional e/f sedemikian sehingga a/b < e/f <

c/d

13

2. Bilangan Pecahan (Pc)

Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ab

, dengan a dan

b adalah anggota bilangan bulat ( a dan b ∈ B dan b ≠ 0). a disebut pembilang dan b disebut

penyebut.

Contoh: Dua buah mangga dibagikan seorang ibu kepada 3 orang anaknya. Berapa

bagian yang didapatkan oleh setiap anaknya ?

Jawab: Masing-masing anaknya memperoleh 23

bagian.

Mengenai bilangan pecahan akan di perdalam oleh kelompok lainnya

3. Bilangan bulat

Himpunan bilangan bulat adalah gabungan antara himpunan bilangan cacah dan

himpunan bilangan bulat negatif. Bilangan ini dilambangkan dengan huruf B dan anggota

himpunan dari bilangan bulat dinyatakan sebagai berikut:

Dalam operasi pengurangan pada bilangan cacah terdapat bilangan negatif. Misalnya: 3

– 5 = -2 , 20 – 35 = -15

Bilangan asli, nol dan bilangan negatif dinamakan bilangan bulat.

a. Bilangan Bulat negatif

Bilangan negatif adalah suatu himpunan yang memiliki anggota negatif, sedangkan ciri

bilangan negatif adalah bilangan yang nilai paling besar terletak pada nilai -1. Bisa ditulis

dengan B = {-1,-5,-7,-9} terlihat nilai paling besar adalah -1.

b. Bilangan Bulat Positif

Bilangan Positif adalah suatu himpunan yang memiliki anggota positif dan bilangan asli.

Bilangan ini memiliki ciri nilai paling besar adalah tak hingga. Bisa ditulis dengan B =

{1,2,3,4,5,….10}.

14

c. Bilangan Bulat Nol

Bilangan nol adalah suatu himpunan yang memiliki anggota hanya bilangan nol saja. Bisa

ditulis dengan B = {0}

d. Bilangan Bulat Ganjil

Bilangan bulat ganjil adalah suatu himpunan yang memiliki anggota bilangan ganjil baik

positif atau negatif. Bisa dituliskan dengan B = {-5,-3,1,3}.

e. Bilangan Bulat Genap

Bilangan bulat genap adalah suatu himpunan yang memiliki anggota bilangan genap baik

positif maupun negatif. Bisa dituliskan dengan B = {-4,-2,2,4}.

Mengenai bilangan bulat akan di perdalam oleh kelompok lainnya

4. Bilangan cacah

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}.

Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0. Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif.

Himpunan bilangan cacah :

C = {0, 1, 2, 3, 4, ....}

Himpunan bilangan cacah memuat beberapa bilangan antara lain :

Himpunan bilangan asli A = { 1, 2, 3, 4, ...}

Himpunan bilangan genap = {0, 2, 4, 6, ...}

Himpunan bilangan ganjil = {1, 3, 5, 7, ...}

Himpunan bilangan kuadrat = {0, 1, 4, 9, ...}

Himpunan bilangan prima = {2, 3, 5, 7, ...}

Himpunan bilangan tersusun (komposit) = {4, 6, 8, 12, ...}

5. Bilangan Asli (A)

Bilangan asli adalah bilangan-bilangan yang terdapat pada garis bilangan berikutdisebut

bilangan asli. Nama lain dari bilangan ini adalah bilangan hitung atau bilangan yang bernilai

positif(integer positif)

.Contoh :

15

A = {1,2,3,4,…} Mengenai bilangan asli akan di perdalam oleh kelompok lainnya

BAB III

PENUTUP

3.1 Keimpulan

Himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari

himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional.

Himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan sifat-sifat bilangan disebut sistem

bilangan real.

Sifat-sifat bilangan real dibagi menjadi :

a. Sifat-sifat aljabar

b. Sifat-sifat urutan

c. Sifat-sifat kelengkapan

3.2 Saran

Kami sebagai penyusun menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini termasuk

jauh dari sempurna. Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan saran dan kritik dan saran

yang membangun dari para pembaca.

Semoga makalah ini dapat memberi manfaat kepada kami dan pembaca pada

umumnya.

16