bode con polos y ceros
TRANSCRIPT
-
7/24/2019 Bode con polos y ceros
1/54
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
Matriz de transicion de estado
Funcion de tranferencia, Diagrama de polos
y ceros , Matriz de transicion de estado
Jhon MunozVanessa Buitrago
Juan Pablo Esteban
November 5, 2015
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
2/54
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
Matriz de transicion de estado
1 Funcion de transferecia
2 Diagrama de polos y ceros
3 Matriz de transicion de estado
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
3/54
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
Matriz de transicion de estado
Funcion de transferencia
La funcion de transferencia de un sistema lineal invarianteen el tiempo se define como la tranformada de laplace dela salida sobre la transformada de laplace de la entrada,con todas las condiciones iniciales iguales a cero.
Suponiendo que G(s) denota la funcion de transferenciade un sistema con una entrada u(t) y una salida y(t) yrespuesta al impulso g(t).Entonces la funcion de
tranferencia se define como:G(S) = Y(S)
U(S)
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
http://find/http://goback/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
4/54
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
Matriz de transicion de estado
Funcion de transferencia
Considere que la relacion entrada-salida de un sistemalineal invariante en el tiempo se describe mediante lasiguiente ecuacion:
andny(t)dtn
+an1dn1y(t)dtn1
+...+a1dy(t)dt
+aoy(t) =
bmdmu(t)dtm
+bm1dm1u(t)dtm1
+...+b1du(t)dt
+bou(t)
Los coeficientes son constantes reales. Para obtener la
funcion de transferencia de la ecuacion, simplemente setoma transformada de laplace a ambos lados de laecuacion y se suponen condiciones iniciales cero.
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
5/54
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
Matriz de transicion de estado
Funcion de transferencia
G(S) = Y(S)U(S)
= bmsm+bm1sm1+...+b1s+bosn+an1sn1+...+a1s+ao
A partir del concepto de funcion de transferencia, esposible representar la dinamica de un sistema medianteecuaciones algebraicas en s. Si la potencia mas alta de sen el denominador de la funcion de transferencia es igual
a n, el sistema se denomina sistema de orden n-esimo.
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
F d f
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
6/54
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
Matriz de transicion de estado
Funcion de transferencia
PROPIEDADES:-La funcion de transferencia esta definida solamente paraun sistema lineal invariante en el tiempo.No esta definidapara sistemas no lineales.-La funcion de transferencia entre una variable de entraday una variable de salida de un sistema esta definida comola transformada de laplace de la respuesta al impulso.
-Todas las condiciones iniciales son iguales a cero.-La funcion de transferencia es independiente de laentrada del sistema.
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
F i d f i
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
7/54
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
Matriz de transicion de estado
Funcion de transferencia
ECUACION CARACTERISTICA DE LA FUNCION DE
TRANSFERENCIA:Se define como la ecuacion que se obtiene al hacer que elpolinomio denominador de la funcion de tranferencia seacero. sn +an1s
n1 +...+a1s+ao= 0
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
F i de t sfe e i
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
8/54
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
Matriz de transicion de estado
Funcion de transferencia
LA INTEGRAL DE CONVOLUCION:- Para un sistema lineal e invariante en el tiempo, lafuncion de transferencia G(s) es
Y(s)
X(s)
- donde X(s) es la transformada de Laplace de la entradae Y(s) es la transformada de Laplace de la salida, y se
supone que todas las condiciones iniciales involucradasson cero. De aqu se obtiene que la salida Y(s) se escribecomo el producto de G(s) y X(s), o bien
Y(s) =G(s)X(s)
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transferecia
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
9/54
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
Matriz de transicion de estado
Funcion de transferencia
Observese que la multiplicacion en el dominio complejo esequivalente a la convolucion en eldominio del tiempo , porlo que la transformada inversa de Laplace de la ecuacionanterior se obtiene mediante la siguiente integral deconvolucion:
y(t) =
t0
x()g(t )d
y(t) =
t0
g()x(t )d
donde tanto g(t) como x(t) son 0 para t 0.
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transferecia
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
10/54
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
Matriz de transicion de estado
Funcion de transferencia
RESPUESTA AL IMPULSO: -Considerese la salida(respuesta) de un sistema para una entrada impulsounitario cuando las condiciones iniciales son cero. Comola transformada de Laplace de la funcion impulso unitarioes la unidad, la transformada de Laplace de la salida delsistema es:
Y(S) =G(S)
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transferecia
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
11/54
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
Matriz de transicion de estado
Funcion de transferencia
De este modo, la respuesta-impulso g(t) es la respuestade un sistema lineal a una entrada impulso unitario
cuando las condiciones iniciales son cero. Latransformada de Laplace de esta funcion proporciona lafuncion de transferencia. Por tanto, la funcion detransferencia y la respuesta-impulso de un sistema lineal e
invariante en el tiempo contienen la misma informacionsobre la dinamica del sistema.
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transferecia
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
12/54
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
Matriz de transicion de estado
Funcion de transferencia
ASPECTOS A TENER EN CUENTA::La funcion de transferencia es una propiedad de unsistema, independiente de la magnitud y naturaleza de laentrada o funcion de excitacion.
La funcion de transferencia incluye las unidades necesariaspara relacionar la entrada con la salida; sin embargo, noproporciona informacion acerca de la estructura fsica delsistema. (Las funciones de transferencia de muchos
sistemas fsicamente diferentes pueden ser identicas.)Si se conoce la funcion de transferencia de un sistema, seestudia la salida o respuesta para varias formas deentrada, con la intencion de comprender la naturaleza delsistema.
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transferecia
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
13/54
Diagrama de polos y cerosMatriz de transicion de estado
Ejemplo:
Obtenga la funcion de transferencia xo(s)xi(s)
del sistemamecanico de la figura, calculese ademas la funcion detransferencia del circuito de la figura.Demuestre que lasdos funciones de transferncia tienen una forma identica, y
por lo tanto son sistemas analogos.
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transferecia
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
14/54
Diagrama de polos y cerosMatriz de transicion de estado
Paso 1: Plantear las ecuaciones de movimiento delsistema:
b1(X
i X
o) +K1(Xi Xo) =b2(X
oy)
b2(X
oy
) =K2y
Paso 2: Al tomar la transformada de laplace a amboslados de las dos ecuaciones se tiene:
b1[sXi(s)sXo(s)]+K1[Xi(s)Xo(s)] =b2[sXo(s)sy(s)]
b2[sXo(s) sY(s)] =K2Y(s)
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transferecia
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
15/54
Diagrama de polos y cerosMatriz de transicion de estado
Paso 3: Eliminando Y(S) de las dos ultimas ecuaciones:
b1[sXi(s) sXo(s)] +K1[Xi(s) Xo(s)] =b2sXo(s)
Reorganizando:
(b1s+K1)Xi(s) = (b1s+K1+b2s b2s b2s
b2s+K2
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDi d l
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
16/54
Diagrama de polos y cerosMatriz de transicion de estado
Paso 4: Por lo tanto, la funcion de transferencia Xo(s)Xi(s)
Xo(s)Xi(s)
= (b1K1 s+ 1)( b2K2 s+ 1)
( b1K1
s+ 1)( b2K2
s+ 1)
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDi d l
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
17/54
Diagrama de polos y cerosMatriz de transicion de estado
Para el circuito
Eo(s)Ei(s)
= (R1+ 1
C1 s)( 11R2
+C2s+R1+
1C1s
= (R1C1s+ 1)(R2C2s+ 1)(R1C1s+ 1)(R2C2s+ 1) +R2C
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
18/54
Diagrama de polos y cerosMatriz de transicion de estado
Para el circuito
Eo(s)Ei(s)
= (R1+ 1
C1 s)( 11R2
+C2s+R1+
1C1s
= (R1C1s+ 1)(R2C2s+ 1)(R1C1s+ 1)(R2C2s+ 1) +R2C
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
19/54
Diagrama de polos y cerosMatriz de transicion de estado
Diagrama de polos y ceros
X(s) = N(s)
D(s)
N(s) = 0; Ceros
D(s) = 0; Polos
Polos: Los valores para los cuales la funcion es igual a 0Ceros: Los valores para los cuales la funcion tiende ainfinito.
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
20/54
Diagrama de polos y cerosMatriz de transicion de estado
Diagrama de polos y ceros
La representacion de X(s) mediante sus polos y ceros enel plano se conoce como el diagrama de polos y ceros.
El plano del diagrama de polos y ceros, se realiza con laparte real contra la parte imaginaria.
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
21/54
Diagrama de polos y cerosMatriz de transicion de estado
Diagrama de polos y ceros
Si el orden del polinomio del denominador es de mayor
orden que el polinomio del numerador, entonces X(s)tiende a cero.
Si el orden del polinomio del numerador es de mayororden que el polinomio del denominador, entonces X(s)tiende a infinito.
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
22/54
g p yMatriz de transicion de estado
Estudio de filtros por ubicacion de ceros polos
Ejemplo 1:
Identificamos la funcion de transferencia
G(s) = s+ 5
s2 + 3.1s+ 0.3
Identificamos los polos y ceros de la funcion
Ceros : 5
polos : 0.1,3
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
23/54
g p yMatriz de transicion de estado
Factorizamos la funcion de transferencia
G(s) = s+ 5
(s+ 0.1)(s+ 3)
Hallamos k (constante de bode), reemplazando la variables con 0
K = 0 + 5
(0 + 0.1)(0 + 3)
= 5
(0.1)(3)
= 16.
6
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
24/54
Matriz de transicion de estado
Con la constante k hallamos la ganacia del filtro
Ganancia= 20log(k) = 20log(16.
6 ) 24, 43dB
Identificamos los puntos de cambio por medio de losmodulos de los polos y ceros
Ceros : 5 w1 = | 5| = 5
polos : 3 w2= | 3| = 30.1 w3= | 0.1| = 0.1
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
M i d i i d d
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
25/54
Matriz de transicion de estado
Calculamos el numero de decas a la que esta cadafrecuencia con siguiente ecuacion:
Num dec=logf2
f1
Siendo f1 la frecuencia de partida y f2 la frecuencia de
llegada.Numero de decas entre 0.1 y 3
Num dec=log 3
0.1= 1.48dec
Numero de decas entre 3 y 5
Num dec=log5
3= 0.22dec
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
M t i d t i i d t d
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
26/54
Matriz de transicion de estado
Los polos presentan un cambio en la pendiente de 20 dBdec
y90 en el sistema.
Los ceros presentan un cambio en la pendiente de +20dBdec y
90 en el sistema.Hallamos la ganancia en cada punto:
El primer cambio parte desde un polo la pendiente serade 20 dB
decdurante 1.47dec:
20dB
dec 1.48dec= 29.6dB
24.43dB 29.6dB= 5.17dB
El segundo cambio parte desde un polo la pendiente serade 40 dB
dec durante 0.22 dec:
40dB
dec 0.22dec= 8.8dB
5.17dB 8.8dB= 13.97dB
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
Matriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
27/54
Matriz de transicion de estado
La pendiente continuara con una pendiente de 20 dB
decdebido a que el siguiente punto es un cero.
Recordamos los puntos con sus ganancias y graficamos:
0.1Rad
Seg
24, 43dB
3Rad
Seg 5.17dB
5Rad
Seg 13.97dB
Para graficar utilizamos la herramienta matlab.
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
Matriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
28/54
Matriz de transicion de estado
Grafica realizada por medio de polos y ceros:
101
100
101
102
103
40
20
0
20
40
frecuencia (Rad/Seg)
Ganancia(dB)
Grafica de magnitud
101
100
101
102
103
200
150
100
50
0
Fase
()
frecuencia (Rad/Seg)
Grafica de fase
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
Matriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
29/54
Matriz de transicion de estado
Grafica con la herramienta de filtros en matlab:
103
102
101
100
101
102
135
90
45
0
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
40
30
20
10
0
10
20
30
40
Ma
gnitude(dB)
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
Matriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
30/54
Matriz de transicion de estado
Ejemplo 2:Identificamos la funcion de transferencia
G(s) = s6 + 3.55s5 + 6.86s4 + 8.29s3 + 6.86s2 + 3.55s+ 1
s2 + 5s+ 6
Identificamos los polos y ceros de la funcion
Ceros : (0.259j0.966), (0.707j0.707), (0.966j0.259)
polos : 2,3
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
Matriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
31/54
Factorizamos la funcion de transferencia
G(s) =(s2 + 0.518s+ 1)(s2 + 1.414s+ 1)(s2 + 1.618s+ 1)
(s+ 2)(s+ 3)Hallamos k (constante de bode), reemplazando la variables con 0
K = 0.167
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
Matriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
32/54
Con la constante k hallamos la ganacia del filtro
Ganancia= 20log(k) = 20log(0.167) 15.54dB
Identificamos los puntos de cambio por medio de losmodulos de los polos y ceros
Polos : 2 w1= | 2| = 2
3 w2 = | 3| = 3
Ceros : 0.259 j0.966 w3 = 1, 010.707 j0.707 w4= 0.99
0.966 j0.259 w5= 1
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
Matriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
33/54
Calculamos el numero de decas:Numero de decas entre 0.99 y 1
Num dec=log( 1
0.99) = 0.0044dec
Numero de decas entre 1 y 1.01
Num dec=log( 1.
011 ) = 0.0043dec
Numero de decas entre 1.01 y 2
Num dec=log( 2
1.
01
) = 0.297dec
Numero de decas entre 2 y 3
Num dec=log(3
2) = 0.176dec
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
Matriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
34/54
Hallamos la ganancia en cada punto:
El primer cambio parte desde un cero doble la pendientesera de +40 dB
decdurante 0.0044dec:
+40dB
dec 0.0044dec= 0.176dB
15.54dB+ 0.176dB= 15.36dB
El segundo cambio parte desde un cero doble lapendiente sera de +80 dB
decdurante 0.0043dec:
80dBdec
0.0043dec= 0.344dB
15.36dB+ 0.344dB= 15dB
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
Matriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
35/54
El tercer cambio parte desde un cero doble la pendiente
sera de +120 dBdecdurante 0.297dec:
+120dB
dec 0.297dec= 35.64dB
15dB+ 35.
64dB= 20.
64dB
El cuarto cambio parte desde un polo la pendiente serade +100 dB
decdurante 0.176dec:
100
dB
dec 0.
176dec= 17.
6dB
20.64dB+ 17.6dB= 38.24dB
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
Matriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
36/54
La pendiente continuara con una pendiente de +80 dBdec
debido a que el siguiente punto es un polo.
Recordamos los puntos con sus ganancias y graficamos:
0.99Rad
Seg
15.54dB 1Rad
Seg
15.36dB
1.01Rad
Seg 15dB 2
Rad
Seg 20.64dB
3Rad
Seg 38.24dB
Para graficar utilizamos la herramienta matlab.
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
Matriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
37/54
Grafica realizada por medio de polos y ceros:
101
100
101
102
103
50
0
50
100
150
Frecuencia rad/seg
ganacia(dB)
Magnitud
101
100
101
102
103
50
100
150
200
250
300
350
400
Frecuencia rad/seg
grados()
Fase
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y ceros
Matriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
38/54
Grafica con la herramienta de filtros en matlab:
50
0
50
100
150
200
M
agnitude(dB)
101
100
101
102
0
90
180
270
360
450
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y cerosMatriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
39/54
Matriz de transicion de estado
Nos ofrece la posibilidad de analizar el comportamientodinamico del sistema a lo largo del tiempo
La ecuacion de estado en su forma lneal es
x(t) =Ax(t) +Bu(t)
Aplicando la transformada de Laplace con la condicioninicial x (t= 0) = x (0) se tiene que
sX(
s)
X(0) =
AX(
s) +
BU(
s)
factorizando
(sI A)X(s) =X(0) +BU(s)
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y cerosMatriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
40/54
Despejando X(s)
X(s) = (sI A)1X(0) + (sI A)1BU(s)
Sabemos que (sI A)1 =(s)
X(s) =(s)X(0) +(s)BU(s)
realizando transformada inversa de Laplace
x(t) =L1((s)X(0)) +L1((s)BU(s))
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y cerosMatriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
41/54
Teniendo en cuenta el teorema de convolucion aplicado ala transformada de Laplace
L t
0
f1(t )f2d=F1(s)F2(s)donde F1(s) =L[f1(t)] y F2(s) =L[f2(t)]
x(t) =(t)x(0) + t
0
(t )Bu()d
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y cerosMatriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
42/54
Ejemplo:
Se tiene el siguiente sistema:
La ecuacion diferencial esta dada por:
my(t) =u(t) y(t) ky(t)
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y cerosMatriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
43/54
Reorganizando:
y(t) +
my(t) +
k
my(t) =
u(t)
m
Aplicamos laplace a ambos lados de la ecuacion Yevaluamos las C.I=0
S2Y(s) +
msY(s) +
k
mY(s) =
U(s)
m
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y cerosMatriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
44/54
Ejemplo:
Y(s)(s2 + m
s+ Km
) = U(s)m
1
ms2+s+k =
Y(s)
U(s)
Por lo tanto la funcion de transferencia es:
G(s) = 1
ms2 +s+k
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y cerosMatriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
45/54
Paso 1: Obtener la ecuacion diferencial
Paso 2: Realizar variables de estado
x1=y
x2 =y
x1 =x2
x2= k
mx1
b
mx2+
1
mu(t)
x1x2
=
0 1km
bm
x1x2
+
01m
u
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y cerosMatriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
46/54
Paso 3: Reemplazar los valores de m,k y b. Se considera
los valores de m, k y b del sistema tales que su ecuacionde estado quedara as:
x1x2=
0 12 3
x1x2+
01 u
Paso 4:Obtener la (sI-A)
La matriz A es:
0 12 3
(sI A) =
s 00 s
0 12 3
=
s 12 s+ 3
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y cerosMatriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
47/54
Paso 5: Obtener la matriz inversa de la (sI-A)
La matriz inversa se obtiene
M1
=
1
det(M) Mt
(sI A)1 = 1
(s)
s+ 3 12 s
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y cerosMatriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
48/54
(s) =s2 + 3s+ 2 = (s+ 1)(s+ 2)
(s) =
s+3
(s+1)(s+2)1
(s+1)(s+2)2
(s+1)(s+2)s
(s+1)(s+2)
=
A
(s+1)+ B
(s+2)C
(s+1)+ D
(s+2)E
(s+1)+ F(s+2)
G(s+1)
+ H(s+2)
(s) =
2(s+1) 1(s+2) 1(s+1) 1(s+2)2
(s+1)+ 2
(s+2)1
(s+1)+ 2
(s+2)
Paso 6: Aplicar transformada inversa de Laplace
(t) =
2et e2t et e2t2et+ 2e2t et+ 2e2t
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y cerosMatriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
49/54
con condiciones iniciales x(0)=x(0)=1 y u(0)=0
x(t) =(t)x(0) = 2et e2t et e2t
2et
+ 2e2t
et
+ 2e2t 1
1
x(t) =
3et 2e2t
3et 4e2t
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y cerosMatriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
50/54
(a) Posicion (b) Velocidad
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y cerosMatriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
51/54
Si se tiene u(t) = 0; se le aplica una entrada escalonunitario. La solucion se plantea asi:
X(t) = 2et e2t et e2t2et+ 2e2t et+ 2e2t
x1(0)x2(0)
+
t0
2e(t) e2(t) e(t) e2(t)
2e(t) + 2e2(t) e(t) + 2e2(t)
01
(1)d
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y cerosMatriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
52/54
Paso 7: Operar la integral
t
0 e
(t) e2(t)
e(t)
+ 2e2(t) d= e
t
t
0ed e2t
t
0e2d
ett
0 e
d+ 2e2tt
0 e2
=
et+ 12 e
2t+ 12et e2t
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y cerosMatriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
53/54
Aplicando x1(0) =x2(0) = 0 y u(0) = 1
x(t) =e
t
+ 1
2 e
2t
+ 1
2et e2t
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
Funcion de transfereciaDiagrama de polos y cerosMatriz de transicion de estado
http://find/ -
7/24/2019 Bode con polos y ceros
54/54
(c) Posicion (d) Velocidad
Jhon Munoz Vanessa Buitrago Juan Pablo Esteban Funcion de tranferencia, Diagrama de polos y ceros , Matriz de t
http://find/