UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CIUDAD JUÁREZ

INSTITUTO DE INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA

JORGE ARTURO PEREZ VENZOR

TEORIA DE CONTROL

Polos, ceros y estabilidad

LIDIA ANAI ROMÁN PEREYRA – 98772

10 MAYO 2013

Introducción.

Un requerimiento importante para un sistema de control es que debe ser estable. Esto significa que si al sistema se aplica una entrada de magnitud finita, entonces la salida debería también ser finita y ningún modo infinita, es decir, incrementarse dentro de un límite. Se tratan las condiciones que se deben satisfacer para sistemas estables. Para sistemas lineales el requerimiento de estabilidad se puede definir en términos de los polos de la función de transferencia en lazo cerrado. Los polos son las raíces del polinomio del denominador de la función de transferencia y los ceros las raíces del polinomio del numerador de la función de transferencia. 1

1 W. Bolton. Ingeniería de control. Ediamac. 2da Edición. México, agosto 2001.

Definición de estabilidad.

Para que un sistema de control sea útil, lo primero que debe cumplir es que sea estable. Si el sistema es estable no existe régimen permanente aunque numéricamente se puedan encontrar los valores de los límites en el dominio de Laplace. Por lo tanto, asegurar la estabilidad del sistema debe ser un paso previo al cálculo numérico de los errores en régimen permanente.2

Un sistema se puede definir como estable si toda entrada acotada, es decir, finita, produce una salida acotada. De esta manera, por ejemplo, para toda entrada escalón aplicada a un sistema la salida debe ser finita. Un sistema no es necesariamente estable si una sola entrada escalón produce una salida finita: toda entrada escalón debe producir salidas finitas.

De manera alternativa, un sistema se puede definir como estable si al estar sujeto a una entrada impulso la salida tiende a cero a medida que el tiempo tiende a infinito. Si, al responder a la entrada impulso, la salida del sistema tiende a infinito a medida que el tiempo tiende a infinito, entonces el sistema es inestable. Sin embargo, si la salida no tiende a cero o no crece a infinito, pero tiende a un valor finito diferente de cero, se dice entonces que el sistema es crítica o marginalmente estable. 3

Se puede decir que está es la característica más importante de los sistemas de control ya que, en un sistema estable, la señal de salida al tener un cambio de cualquier tipo en la entrada, no sale de los límites establecidos, por el contrario, se mantiene en una posición sino igual, por lo menos paralela a la señal e entrada.

Existen tres métodos para el cálculo del a estabilidad, ellos son:4

Calculo de las raíces de la ecuación característica (polos) Criterio ROuth-Hurwitz Criterio de Nyquist

Polos y ceros.

2 Apuntes de la materia de teoría de control. M.C Jorge Arturo Pérez Venzor. Electrónica industrial. Septiembre 2009.3 W. Bolton. Ingeniería de control. Ediamac. 2da Edición. México, agosto 2001.4 Estabilidad. Castillo Rubio Paolo. Instrituto de la universidad de concepción. 5 mayo 2008.

 Considerando un sistema descrito por la Ecuación dada tomando la transformada de Laplace y resolviendo para la razón de salida Y(s) a la entrada X(s), la función de transferencia del sistema G(s) será:

El denominador es un polinomio en s que es igual que en la ecuación característica del sistema. Recordando que la ecuación característica es obtenida a partir de la EDO homogénea, y haciendo el lado derecho de la ecuación  igual a cero.

Las raíces del denominador son denominadas los polos de la función de transferencia. Las raíces del numerador son denominados los ceros de la función de transferencia (estos valores de s hacen a la función de transferencia igual a cero). Factorizando numerador y denominador se tiene:

donde   zi = ceros de la función de transferencia

            pi = polos de la función de transferencia

Las raíces de la ecuación característica, las cuales son los polos de la función de transferencia, deben ser reales o deben ocurrir como pares de complejos conjugados. En adición, las partes reales de todos los polos deben ser negativas para que el sistema sea estable.

“Un sistema es estable si todos sus polos se ubican en el lado izquierdo del planos”

La ubicación de los ceros de la función de transferencia no tienen ningún efecto sobre la estabilidad del sistema! Ellos ciertamente afectan la respuesta dinámica, pero no afectan la estabilidad5

Ceros

1. El valor(es) para z donde el numerador de la función de trasferencia es igual a cero

2. Las frecuencias complejas que hacen que la ganancia de la función de transferencia del filtro sea cero.

Polos

5 Control de procesos. 6.7 polos y ceros de la función de transferencia. Moncada Luis.

1. El valor(es) para z donde el denominador de la función de transferencia es igual a cero

2. Las frecuencias complejas que hacen de la ganancia de la función de transferencia del filtro se infinita.6

Grafica de polos y ceros.

Cuando graficamos estos en su plano s o z, representamos los ceros con “o” y los polos con “x”. Vea este modulo para observa detalladamente como graficar los ceros y polos en la transformada-z en el plano-z.

EJEMPLO 1

Encuentre los polos y ceros de la función de trasferencia H(s)=s2+6s+8s2+2 y grafique los resultados en el plano-s.

Lo primero que tenemos que reconocer que la función de transferencia será igual a cero cuando lo de arriba, s2+6s+8, sea igual a cero. Para encantar que esto iguala a cero factorizamos esto para obtener, (s+2)(s+4). Esto da a ceros en s=-2 y s=-4. Si esta función hubiera sido más complicada, tal vez tendríamos que usar la formula cuadrática.

Para los polos, tenemos que reconocer que la función de transferencia será infinita cuando la parte de abajo es cero. Esto sucede cuando s2+2 es cerro para encontrar esto, tenemos que factorizar la función esto nos da (s+i2√)(s−i2√). Lo que significa que tenemos raíces imaginarias de i2√ y −(i2√)7

Al graficar esto nos da Figura 1

6 Polos y ceros. Explica polos y ceros de las funciones de transferencia. Baraniuk Richard

7 Ibíd.

Figura 1: Mestra de la Grafica

Estabilidad y polos.

La estabilidad de un sistema se puede determinar considerando cómo cambia la salida con el tiempo después de una entrada impulso. Con un sistema estable la salida deberá tender a cero con el tiempo, y con un sistema inestable la salida con el tiempo. Considere un sistema sin ceros y un polo en -. La función de transferencia G(s) será:

G (s )= 1s+2

Por lo tanto, la salida 0a(s) está relacionada con la entrada ∅ , (s) mediante

0a ( s)= 1s+2

∅ ,(s)

Si el sistema está sujeto a un impulso unitario, entonces 0 , (s )=1 y de esta manera

θa ( s)= 1s+2

Ésta es una transformada de Laplace de la forma 1/(s+a) y así, la transformada inversa da por resultado:

θa=e−2 t

El valor dee−2 t decrece con el tiempo, haciéndose cero en un tiempo infinito, por lo tanto, el sistema es estable.

Ahora considere un sistema sin ceros y un polo en +2. La función de transferencia G(s) será:

G (s )= 1s−2

Por lo tanto:

θa ( s)= 1s−2

∅ ,(s )

Para impulso unitario, θa ( s)=1y, de esta manera

θa ( s)= 1s−2

Ésta es una transformada de Laplace de la forma 1/(s+a) así, la transformada inversa da por resultado:

θ=e2t

A medida que t se incrementa, el valor de e2 t también se incrementa, por lo tanto, el sistema es inestable. 8

El criterio de estabilidad de Routh - Hurwitz.

Conocer las raíces de la ecuación característica, para comprobar si las partes reales de todas ellas son negativas y asegurar así que el sistema es estable, es difícil cuando el orden del sistema es superior a dos. El problema se incrementa si además, los coeficientes de la ecuación no son valores numéricos, sino que dependen de algún parámetro variable. El criterio de Routh-Hurwitz aplicado a la ecuación característica de un sistema permite conocer si es estable o no, sin necesidad de calcular las raíces de dicha ecuación característica.

8 W. Bolton. Ingeniería de control. Ediamac. 2da Edición. México, agosto 2001.

Sea la función de transferencia (6.1)

Su ecuación característica (4.1) posee coeficientes ai reales.

Primero se comprueba que todos los coeficientes ai sean positivos. Si hubiese algún coeficiente nulo o negativo, el sistema no sería estable. Si se cumple la condición anterior, que se conoce como condición de Cardano-Viète, el sistema puede ser estable o no. Para comprobar si es estable, se disponen los coeficientes ai de forma que sigan el patrón impuesto por la siguiente tabla:

Donde los coeficientes ai se distribuyen en las dos primeras columnas. Los coeficientes de las sucesivas filas se calculan empleando los coeficientes de las dos columnas inmediatamente superiores. Así los coeficientes bi se calculan como sigue:

Análogamente, los coeficientes ci se calculan:

A partir de un momento, los coeficientes de las filas valen sucesivamente cero. Estos ceros a veces son necesarios para calcular coeficientes posteriores. Se puede observar que el cálculo de los coeficientes sigue un patrón que se puede memorizar. El denominador siempre es el primer coeficiente de la fila inmediatamente superior. El numerador depende de los coeficientes de las dos filas inmediatamente superiores y es la diferencia de dos productos cuyos términos poseen una posición cruzada. Para sucesivos coeficientes, los dos primeros términos siempre se emplean en el producto cruzado, mientras que los otros dos van avanzando.

El proceso acaba cuando se calcula la fila de coeficientes en s0, que sólo posee un coeficiente no nulo, d en la expresión (5.3) . El criterio afirma que el sistema es estable si y sólo si todos los coeficientes de la primera columna de Routh-Hurwitz son positivos. Es, por tanto, una condición necesaria y suficiente. La primera columna la forman los primeros coeficientes de todas las filas. Aunque el criterio sólo se fije en los primeros coeficientes, las filas hay que completarlas enteras, porque todos los coeficientes son necesarios para calcular los inferiores.

Cuando no se cumple el criterio de Routh-Hurwitz, es posible conocer el número de polos del sistema que están en el semiplano de parte real positiva. Existen tantos polos con parte real positiva como cambios de signo aparecen a la largo de la primera columna de Routh-Hurwitz.

Es importante recalcar que criterio de Routh-Hurwitz informa sobre la estabilidad absoluta, es decir, se limita a mostrar si el sistema es estable o no, sin indicar el grado de estabilidad o inestabilidad, lo próximo o lo alejado que se está de volverse inestable o estable.9

Dado que la estabilidad de un sistema dinámico está determinada por la ubicación de los polos de su función de transferencia, es decir por la ubicación de las raíces de un cierto denominador, planteamos ahora el siguiente problema:

9 W. Bolton. Ingeniería de control. Ediamac. 2da Edición. México, agosto 2001.

¿Cómo determinar si las raíces de un polinomio como (1) están ubicadas todas en el semiplano izquierdo?

Antes de contestar esta pregunta, hacemos notar lo siguiente:

Si el polinomio tiene coeficientes de signos diferentes, o coeficientes cero, entonces tiene al menos una raíz en el semiplano derecho o en el eje imaginario.

Si el polinomio tiene todos sus coeficientes del mismo signo, no podemos extraer conclusiones a priori sobre la ubicación de sus raíces.

Para demostrar lo anterior, supóngase primero que el polinomio tiene sólo raíces reales, y por tanto puede factorizarse así:

Si las raíces αι son todas negativas, los términos – αι serán todos positivos, y en

general el producto tendrá todos los coeficientes positivos. De esta forma, los coeficientes de (1) serán todos positivos o todos negativos, dependiendo del signo de G en (2). Por esta razón, si p(s) tiene coeficientes de signos diferentes o cero, necesariamente al menos un término – αι debe ser negativo, lo que implicaría que tendría al menos una raíz positiva (en el semiplano derecho). Ahora supóngase que (1) tiene dos raíces complejas conjugadas:

El producto de los términos que tienen que ver con las raíces complejas es:

Si, es decir si las raíces están en el semiplano izquierdo, (4) tendrá sólo coeficientes positivos, y por tanto (1) tendrá todos sus coeficientes del mismo signo (positivos si G es positiva y negativos si G es negativa).

Como consecuencia de lo anterior, si (1) tiene coeficientes de signos diferentes, o cero, podemos asegurar que tiene una o más raíces en el semiplano derecho o en el eje imaginario. Si por el contrario tiene todos los coeficientes de igual signo, es necesario realizar otro tipo de pruebas antes de establecer la ubicación de sus raíces.

Una de esas pruebas se conoce como la prueba de Routh-Hurwitz, para lo cual es necesario primero construir un arreglo específico con los coeficientes de (1). 10

Estabilidad relativa.

En secciones anteriores se han dado varios criterios de estabilidad que permiten determinar si un sistema es o no estable. En el caso de las integrales de Bode, el criterio incluso establece los límites y los efectos al diseñar un compensador. A continuación se presentan dos criterios conocidos como márgenes de estabilidad los cuales permite determinar no solamente si un sistema es estable sino, que tan estable o inestable es este.

1. Margen de Ganancia (MG): El margen de ganancia es el aumento en la ganancia del sistema cuando la fase es de −180o que resultará en un sistema marginalmente estable con la intersección del punto -1+j0 en el diagrama de Nyquist. Matemáticamente se define como: MG = −20 log(|GH(jw)|).

2. Margen de Fase (MF): El margen de fase es la cantidad de desplazamiento de fase de GH(jw) a la magnitud unidad que resultará en un sistema marginalmente estable con intersección del punto -1+j0 en el diagrama de Nyquist. Matemáticamente se define como:

MF = 180o − φG.

El margen de fase y de ganancia se puede medir gráficamente de los diagramas de Nyquist o de Bode. 11

La construcción del arreglo de Routh y la aplicación del criterio de que la primera columna del arreglo sólo debe contener términos positivos, permite decidir si el sistema sea estable o no estable. Sin embargo, a menudo es útil para saber que tan cerca de la inestabilidad está un sistema estable. Para lograrlo es necesario saber qué tan cerca del eje imaginario están las raíces. Esto se puede hacer recorriendo el eje de la izquierda una cantidad definida y encontrar si el corrimiento da o no por resultado un sistema estable medido a partir del nuevo eje.12

10 Breve estudio de la estabilidad y criterios de estabilidad en sistemas continuos. ETSII. Ibáñez Silvera Javier, Martiinez Vázquez Juan, Nicolás García Javier. Junio de 2005.

11 Lección 5: Estabilidad. 24 de mayo de 2007.

12 W. Bolton. Ingeniería de control. Ediamac. 2da Edición. México, agosto 2001.

Bibliografía.

W. Bolton. Ingeniería de control. Ediamac. 2da Edición. México, agosto 2001. Apuntes de la materia de teoría de control. M.C Jorge Arturo Pérez Venzor. Electrónica

industrial. Septiembre 2009. Estabilidad. Castillo Rubio Paolo. Instrituto de la universidad de concepción. 5 mayo 2008.

http://es.slideshare.net/ptah_enki/estabilidad Control de procesos. 6.7 polos y ceros de la función de transferencia. Moncada Luis.

http://plantscontrol.blogspot.mx/2012/02/6_2149.html Polos y ceros. Explica polos y ceros de las funciones de transferencia. Baraniuk Richard.

http://cnx.org/content/m12963/latest/ Breve estudio de la estabilidad y criterios de estabilidad en sistemas continuos. ETSII. Ibáñez

Silvera Javier, Martiinez Vázquez Juan, Nicolás García Javier. Junio de 2005.http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r93845.PDF

Lección 5: Estabilidad. 24 de mayo de 2007.http://ciecfie.epn.edu.ec/Material/Dise%C3%B1odeSistemasdeControl/control_Leccion5.pdf