boletin 1 anual uni 2014

8/19/2019 Boletin 1 Anual UNI 2014

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1

Preguntas Propuestas



2

Razonamiento

Matemático

Situaciones lógicas

1. Sobre el siguiente tablero, se tienen diez mo-

nedas. ¿Cuántas de estas se deben mover,

como mínimo, para obtener cinco hileras de

cuatro monedas cada una? Considere que lasmonedas siempre deben estar sobre los vérti-

ces de las casillas y no se puede colocar una

moneda encima de otra.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

2. Se tiene un dado no común en cuyas carasaparecen los números del 1 al 6. Al observarsimultáneamente tres de sus caras, de todas

las formas posibles se obtienen los númerosdel 7 al 14, como suma de puntos, además, nohay dos caras opuestas con suma de puntosmayor a 9. Si al lanzar tres veces dicho dado seobtuvo 17 como suma de puntos de las carassuperiores, ¿cuál fue la suma de los puntos delas caras inferiores?

A) 7

B) 8C) 9D) 10E) 6

3. En el gráfico se muestran 4 dados comunesidénticos. Si las caras en contacto entre sí tie-nen igual puntaje, determine la suma de lospuntos de las caras sombreadas.

A) 6 B) 8 C) 9D) 10 E) 11

4. ¿Cuántos cerillos se deben mover, comomínimo, para que se verifique la siguiente

igualdad?

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

5. ¿Cuántos cerillos se deben mover, como mí-nimo, para que se verifique la siguiente igual-dad?

A) 1 B) 2 C) 4D) 3 E) 5

6. ¿Cuántos palitos se deben agregar, como míni-mo, para obtener 1000?

A) 1 B) 2 C) 4D) 6 E) 993



3

Razonamiento

Matemático

7. Hay 27 bolas de billar que parecen idénticas;

sin embargo, hay una defectuosa que pesa

más que las otras. Disponemos de una balanza

de dos platillos pero no de un juego de pesas,

de manera que lo único que podemos hacer

es comparar los pesos. ¿Cuál es el mínimonúmero de pesadas necesarias para ubicar la

bola defectuosa?

A) 1 B) 3 C) 5

D) 6 E) 7UNI 2005 - II

8. Se tienen 10 urnas con 10 esferas cada una. Se

sabe que todas las esferas de las distintas ur-nas pesan lo mismo, a excepción de una de las

urnas donde todas las esferas pesan lo mismo

entre sí, pero menos respecto a las demás. Si

se cuenta, además, con una balanza electróni-

ca, ¿cuál es el mínimo número de pesadas que

se deben realizar para determinar la urna que

contiene a las esferas de menor peso?

A) 10 B) 100 C) 1

D) 20 E) 15

Juegos lógicos

9. En el tablero de 5×1 casillas que se muestra, se

deben ordenar las fichas en forma ascendente

(de izquierda a derecha); para ello, cada ficha

solo puede desplazarse a una casilla contigua

vacía o saltar sobre una ficha contigua a

una casilla vacía. ¿Cuántos movimientos deficha se deben realizar, como mínimo, para

conseguirlo?

4 1 2 3

A) 4 B) 5 C) 6

D) 7 E) 8

10. Un comerciante desea vender seis litros de re-fresco exactamente, pero solo cuenta con una jarra de cinco litros y otra de cuatro litros. Siel refresco lo tiene en un balde lleno, cuya ca-pacidad es de diecinueve litros, ¿cuántos tras-

vases tendrá que realizar, como mínimo, paraobtener lo deseado? Considere que el refrescono se desperdicia.

A) no es posibleB) 4C) 5D) 6E) 7

11. Se dispone de tres baldes sin graduar de 20; 5 y 3 litros, respectivamente. El balde de 20 litrosestá lleno con vino, los demás están vacíos.¿Cuántas veces, como mínimo, se tendrá quepasar el vino de un balde a otro para obtener16 litros de vino en uno de ellos?

A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

12. Junto a un río casi congelado, hay tres familiasde pingüinos. Cada familia está formada porun padre y su hijo. Los seis quieren cruzar ala otra orilla usando el témpano que flota so-bre las aguas, y que solamente permite llevara dos pingüinos a la vez. Sin embargo, si unpingüino pequeño queda en una orilla sin supadre, o con un padre que no es el suyo, seasusta y escapa. ¿Cuántos viajes, como míni-

mo, se realizarán para que todos los pingüi-nos pasen a la otra orilla y ninguno haya sufri-do susto alguno?

A) 7B) 9C) 11D) 13E) no es posible



4

Razonamiento

Matemático

13. Ana y Gustavo juegan alternadamente a retirar

monedas de las doce mostradas. Cada uno en

su turno debe retirar una, dos o tres monedas,

de modo que pierde el jugador que retira la úl-

tima moneda. Si Gustavo inicia, ¿cuántas mo-

nedas debe retirar en su primera jugada paraasegurar su triunfo?

A) 1

B) 2

C) 3

D) cualquier cantidad

E) Ana siempre gana.

14. En el patio de un colegio, Aldo se acerca a

Fabiola, extrae ocho cerillos y los distribuye en

el piso formando tres filas (véase el gráfico).

Aldo: Juguemos a retirar cerillos por turnos,

de manera que el que retira el último

cerillo gana.

Fabiola: ¿Y siempre debo retirar?

Aldo: Claro, al menos uno, pero en tu turno puedes retirar los cerillos que quieras, siem-

pre y cuando pertenezcan a la misma fila.

Fabiola: Muy bien. Yo empiezo retirando tres

cerillos de la tercera fila.

Aldo: Bueno, yo retiro un cerillo.

Fabiola: Muy bien, me toca... Me parece que ya

ganaste. Tienes una estrategia y ya sé

en qué consiste. Juguemos de nuevo.

¿Cuántos cerillos y de qué fila debe retirar

Fabiola para asegurar su triunfo si ella vuelvea empezar?

A) 1; 1.a fila

B) 2; 2.a fila

C) 1; 3.a fila

D) 2; 3.a fila

E) 4; 2.a fila

15. Raquel y Rodrigo juegan por turnos a retirar

palitos distribuidos según el gráfico mostrado.

Considere las siguientes reglas:

• Cada uno en su turno puede retirar cual-

quier cantidad de palitos, siempre y cuando

pertenezcan a una misma fila. • Gana aquel que en su turno retire el último

palito.

Si Rodrigo inicia el juego, ¿cuántos palitos

debe retirar para asegurar su victoria conforme

a una estrategia?

A) 1

B) 2

C) 3D) 4

E) cualquier cantidad

16. André y Braulio empiezan a jugar de manera

alternada. André inicia escogiendo un núme-

ro entero del 1 al 6. Luego, Braulio escoge un

número entero del 4 al 9 y lo suma al número

escogido por André. Seguidamente, André es-

coge un número entero del 1 al 6 y lo suma alresultado anterior, y así sucesivamente. Gana

aquel que en su turno obtenga como suma 42.

¿Qué número debe elegir André en su prime-

ra jugada para asegurar su victoria? Considere

que él conoce una estrategia.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 6



5

Razonamiento

Matemático

Problemas sobre parentesco

17. Si no tengo cuñados varones, ¿qué parentescotiene conmigo el padre del único tío de la hijade la esposa del hijo de la suegra del padre de

mi hijo?

A) mi hermanoB) mi primoC) mi suegroD) mi sobrinoE) mi tío

18. El hijo del hermano del padre de Ramón esel único sobrino de Laura. Respecto al hijo de

Ramón, ¿qué es el único cuñado de Laura?

A) su abueloB) su tíoC) su padreD) su tío abueloE) su hermano

19. Vanesa distingue en la vereda a un hombre y

dice: El hermano de ese hombre es el padre de la suegra de mi esposo. ¿Qué parentesco tieneel suegro del padre de Vanesa con la únicasobrina de ese hombre?

A) padre - hijaB) abuelo - nietaC) tío - sobrinaD) hermanosE) primos

20. El hijo de Betty está casado con Diana, que esla hija de Elena y esta es a su vez abuela deFélix y suegra de Carlos. Si Diana es hija única y a la vez nuera de Álex, ¿qué proposición estotalmente falsa?

A) Félix es nieto del padre de Carlos.B) Carlos es hijo del suegro de Diana.

C) La nuera de Betty es madre de Félix.D) El padre de Carlos es esposo de Elena.E) Álex es suegro de la madre de Félix.

21. Tres padres reparten su dinero a cada uno de

sus dos hijos. Uno de los padres dio a cada unode sus dos hijos S/.30 y los otros dos padresdieron S/.10 a cada uno de los suyos. ¿Cuántodinero, como mínimo, se obtendrá al juntartodo lo que tienen al final los seis hijos?

A) S/.50 B) S/.60 C) S/.70D) S/.80 E) S/.90

22. Un señor invitó a cenar al tío de su esposa, al

cuñado de su padre, al suegro de su hermano,al hermano de su suegro y al padre de su cu-ñada. ¿Cuántos invitados tuvo como mínimo?

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

23. En una reunión familiar se encuentran presen-tes 2 padres, 3 madres, 2 hijos, 2 hijas, un her-mano, una hermana, un tío, 2 tías, un sobrino,

una sobrina, 2 primos (en total), un nieto, unanieta, un abuelo, una abuela, 2 cuñadas, unsuegro y una nuera. ¿Cuántas personas, comomínimo, hay en dicha reunión?

A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10

24. En el aniversario de bodas de los abuelosde Iván se observó a 2 abuelos, 2 abuelas, 2

primas, un primo, 3 hijos, 3 hijas, 4 padres, 3madres, un yerno, una nuera, 2 suegros, 2 sue-gras, 2 tíos, una tía, 2 hermanas, 2 hermanos, 2sobrinas, un sobrino, 2 nietas y un nieto. ¿Cuáles el mínimo número de personas presentesen dicho aniversario?

A) 8 B) 9 C) 10D) 11 E) 12



6

Razonamiento

Matemático

Distribuciones numéricas I

25. Ubique los números del 18 al 25 en las casillasmostradas, uno por casilla, de modo que losnúmeros ubicados en cada fila y columna

sumen 65. Dé como respuesta la suma de losnúmeros ubicados en las casillas sombreadas.

A) 80B) 100C) 172D) 84E) 88

26. Distribuya en las casillas los números del 1 al13, de tal manera que la suma de los númerosubicados en las filas I, II, III y IV sea igual a 25.

I II III

IV

Dé como respuesta la suma de los númerosubicados en las casillas sombreadas.

A) 7 B) 19 C) 9D) 10 E) 11

27. Se distribuyen los números 2; 5; 8; 11; 14; 17; 20;23 y 26 en las casillas circulares de las elipses,de manera que la suma de cada número ubi-cado en las casillas de cada elipse sea cons-

tante. Calcule dicha suma.

A) 84 B) 86 C) 80D) 96 E) 64

28. Distribuya los números del 1 al 8, uno encada casilla, de tal forma que no haya dosnúmeros consecutivos uno al lado del otro ni

en diagonal. La suma de los cuatro númerosque ocuparán la columna vertical central es

A) 14B) 15C) 16D) 18E) 20

UNI 2007 - I

29. En las casillas circulares del gráfico, ubiquelos números del 0 al 7, sin repetir, de tal ma-nera que la suma de los números ubicados enuna misma arista sea un número primo. Décomo respuesta el número ubicado en la casi-lla sombreada.

A) 5B) 1

C) 6

3

D) 4E) 2

30. En el siguiente gráfico, ubique en cada casillalos números del 1 al 19, sin repetir, de tal ma-nera que la suma de los números ubicados entres casillas colineales sea 22. Dé como res-puesta la suma de los números ubicados enlas casillas de los vértices del hexágono.

A) 31B) 32C) 30

2D) 28E) 33



7

Razonamiento

Matemático

31. El cuadrado tiene una distr ibución numérica,de tal forma que los números ubicados en lasfilas, columnas y diagonales suman 15. Los dí-gitos son del 1 al 5 y no se repiten en una fila ocolumna. Determine qué números ocupan los

casilleros UNI.

A) 3; 4; 2B) 3; 5; 2

5 4

2 5 3

U N I

U N I

1C) 3; 5; 4D) 4; 3; 5E) 4; 5; 3

UNI 2008 - I

32. Ubique los números 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9, unoen cada casillero vacío, sin repetir, de maneraque se cumplan las igualdades dadas. Calculeel máximo valor de (a+ b).

A) 14 a

b

–

+

÷

=

=

=

=

×B) 16C) 12D) 15E) 13

Distribuciones numéricas II

33. Con los nueve primeros números pares com-plete las casillas del tablero de 3×3 mostrado,de modo que se forme un cuadrado mágico.Dé como respuesta el mayor valor que resultaal sumar los números ubicados en los casille-ros sombreados.

A) 46 B) 40 C) 38D) 48 E) 42

34. Complete el tablero de 3×3 con los números 3;

5; 8; 10; 12; 17 y 19, de manera que la suma de

los números ubicados en las casillas de cada

fila, columna y diagonal sea la misma. Calcule

el valor de A – B+C – D+ E .

A B

C

D E

15

1

A) 8 B) 12 C) 10

D) 2 E) 6

35. Se muestra un cuadrado mágico de orden 3;

sin embargo, no está completo.

8

y z

x

w

Indique la secuencia de verdad (V) o falsedad

(F) respecto a las siguientes proposiciones. I. Si y=20, entonces W =32. II. Si x= z+3, entonces W =11. III. 2 y+ z= x+16

A) VFF B) FVV C) VVV D) FFF E) VVF

36. Tú no puedes mover las fichas 2; 6 y 14. ¿Cuán-tas fichas de las otras debes mover, como mí-

nimo, para lograr que los números de las tresfilas horizontales y verticales, y las dos diago-nales presenten la misma suma?

A) 1 14 12 4

10 2 18

6 16 8

B) 2C) 3D) 4E) 6



8

Razonamiento

Matemático

37. Con los 16 primeros números impares se for-ma un cuadrado mágico de 4 casillas por lado.Determine la suma de los números que se ubi-can en las casillas sombreadas.

A) 73 B) 34 C) 64D) 68 E) 56

38. Se muestran dos cuadrados mágicos de orden4, los cuales han sido intersecados por mediode 6 casillas que contienen los mismos núme-ros. Si uno de ellos ha sido completado conlos 16 primeros números naturales, calcule el valor de L – A+U – N + I .

1

1

12 9

6 7 A

L

I

N U

A) 26 B) 30 C) 32D) 14 E) 20

39. En la siguiente cuadrícula cuadrada, ubiquenúmeros positivos, uno por casilla, de maneraque se forme un cuadrado mágico multiplica-tivo. Calcule el producto del mayor y del menornúmero ubicados en las casillas sombreadas.

2 10

100

A) 1000 B) 200 C) 100D) 2000 E) 400

40. Distribuya los números

20; 21; 22; 23; ...; 215

en las casillas del cuadrado, uno por casilla ysin repetir, de manera que el producto de losnúmeros ubicados en cada fila, columna ydiagonal sea el mismo.

Halle el valor de M .

M P I E N S A

H =

× × × × ×

29

26

23

P

I

E

N H S A

A) 215 B) 218 C) 210

D) 224 E) 220

CLAVES



2

Aritmética

Teoría de conjuntos I

1. Sea el conjunto A={8; {1; 2}; {{7}}; 4; 3}. De-

termine cuántas de las siguientes proposicio-

nes son verdaderas.

2 ∈ A {3; 4} ∈ A 7 ∉ A {{7}} ∈ A

4 ∉ A 8 ∈ A

{2; 1} ∈ A {7} ∉ A

A) 4 B) 5 C) 3

D) 6 E) 7

2. Sean P y Q conjuntos tales que:

Si p ∈ P, entonces p ∈ Q. Luego se puede afir-

mar que

A) si – 3 ∈ Q, entonces – 3 ∈ P.

B) si 13 ∉ P, entonces 13 ∉ Q.

C) si 10 ∉ Q, entonces 10 ∉ P.

D) si 0,10 ∈ Q, entonces 0,10 ∉ P.

E) si 1 ∉ Q, entonces 1 ∈ P.

UNI 2005 - II

3. Si A x

x= +

∈ < ≤

2 3

52 15Z y

B x

x x= +

≤ < ∈{ }3

22 15; Z

determine cuál de las siguientes alternativas

es incorrecta.

A) El cardinal de B excede en ocho al cardinal

de A.

B) 6 es un elemento de ambos conjuntos.

C) Todos los elementos de A son enteros.

D) La suma de los elementos de B es 26.

E) 7,5 es un elemento de B.

4. Se sabe que

A={2 x+3 / 8 ≤ 3 x+4 < 24 ∧ x ∈ Z} y

B={(3 m – 2) ∈ A / 4 ≤ m ≤ 10}

Halle el cardinal del conjunto B.

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 7

5. Dado el siguiente conjunto

A x

x= + ∈ <

+<{ }( )1 4

2 3

5 7Z

+

calcule la suma de los elementos de A.

A) 108 B) 91 C) 81D) 78 E) 100

6. Si A={( x /2+4) ∈ Z / – 7 ≤ x < 6; x ∈ Z} y

B={(2 x+1) ∈ N / – 5 < x ≤ 6}

halle n( A)+ n( B).

A) 19 B) 29 C) 20

D) 18 E) 23

7. Determine el siguiente conjunto por comprensión.

M ={28; 40; 54; 70; ...; 460}

A) M ={ n2+ n /3 ≤ n ≤ 20 ∧ n ∈ Z}

B) M ={ n( n+3)/4 ≤ n ≤ 21 ∧ n ∈N}

C) M ={( n2+2 n)/3 ≤ n ≤ 20 ∧ n ∈ Z}

D) M ={ n( n+3)/3 < n ≤ 20}

E) M ={ n( n+3)/3 < n ≤ 20 ∧ n ∈ Z}

8. ¿Cuál de las alternativas no representa al con-

junto N = { }17

7

21

9

25

11

29

13

101

49; ; ; ; ...; por com-

prensión?

A)4 13

2 523

n

n n n

+

+

∈ ∧ <{ }Z+

B)

4 1

2 1 4 25

n

n n n

+

− ∈ ∧ ≤ ≤

{ }Z

C) 2 3

2 522+

+∈ ∧ ≤{ } n

n nN

D)4 5

2 13 24

n

n n

+

+≤ ≤{ }

E) 2 3

2 13 26+

−

∈ ∧ < <{ } n n nN



3

Aritmética

Teoría de conjuntos II

9. Sean a, b y c enteros; K =a+ b+c.

Si {(a2+9); ( b – c – 5)}={– 1; – 6a; (a2+ b2 – 7)},

halle la suma de todos los valores que tome K .

A) –15 B) –14 C) – 7

D) 1 E) 8

UNI 1989

10. Dado el conjunto

A={φ; 5; {2}; {1; 3}; 6; {φ}; {2; 2}}

¿cuántas de las siguientes proposiciones son

verdaderas?

I. {φ} ⊂ A

II. {1; 3} ∈ P( A)

III. {2; 6} ⊄ A

IV. {φ; 5; 3; 6} ⊂ P( A)

V. n( A)=6

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 1

11. Sea A={2; 3; 5; 8}. Determine la verdad (V) o

falsedad (F) de las siguientes expresiones y eli-

ja la secuencia correcta.

I. ∃ x ∈ A / ∀ y ∈ A: x2+ y ≥ 68 II. ∀ x ∈ A: ∃ y ∈ A / x2 > 2 y

III. ∃ x ∈ A: ∃ y ∈ A / ∀ z ∈ A: x+ y ≤ z2

IV. ∀ x ∈ A: ∃ y ∈ A / 12 ≤ x2+ y2 ≤ 70

A) FFVV B) VFVV C) FFVF

D) FVFF E) VFVF

12. Dados los conjuntos

A={– 2; 0; 1; 3; 5}

B={– 3; – 1; 0; 2; 4} indique la secuencia correcta de verdad (V) o

falsedad (F) según las siguientes proposiciones.

I. ∃ x ∈ A / ∃ y ∈ B / ∀ z ∈ A: x – y < z

II. ∀ x ∈ A: ∀ y ∈ B: x+2 y ≥ – 7

III. ∀ ∈ ∃ ∈ +

−∈ x A y B

x

y:

3

1Z+

A) FFV B) VFF C) VFV

D) VVF E) VVV

13. El siguiente conjunto

N ={a× b+2; a2 – 3; a+ b+c}

es unitario. Si se sabe que a es un entero po-

sitivo, calcule la suma de valores que puede

tomar c.

A) 18 B) 20 C) 24

D) 22 E) 14

14. Dados los siguientes conjuntos

A

x x x=

−∈ ∈ ∧ ≤{ }+2 1

33Z Z

B x

x=−

∈ <{ }+2 1

33Z

C y A y B= −( ) ∈ ∉{ }2 1

de las siguientes proposiciones, ¿cuáles son

incorrectas?

I. Los conjuntos A y B no son iguales.

II. El conjunto C es un conjunto vacío.

III. El conjunto B es unitario.

IV. Los conjuntos B y C son disjuntos.

A) II y III

B) solo III C) I y IV

D) I y II

E) solo I

15. El conjunto A posee 120 subconjuntos con más

de un elemento; además, el conjunto B posee

siete subconjuntos no nulos que son disjuntos

con A. ¿Cuántos subconjuntos de A son disjun-

tos con B si B posee seis elementos?

A) 31 B) 8 C) 7

D) 15 E) 16

16. ¿Cuántos subconjuntos no nulos, que no

sean binarios, tienen en común los conjuntos

{2; 3; 5; 6; 8} y {1; 3; 5; 7; 8}?

A) 5 B) 4 C) 3

D) 6 E) 7



4

Aritmética

Teoría de conjuntos III

17. A un grupo de 85 jóvenes se les preguntó so-

bre la preferencia de tres videojuegos y se ob-

tuvo que a 51 jóvenes no les gusta FIFA 2010;

a 41 jóvenes no les gusta Star Craft y a 31 no

les gusta Nascar. ¿A cuántos jóvenes les gusta

exactamente dos de los juegos si solo 6 jóvenes

prefieren los tres juegos y a 4 ninguno de estos

juegos?

A) 39 B) 27 C) 30

D) 32 E) 41

18. Un grupo de personas decide viajar y resulta

que 40 mujeres van al extranjero, 37 hombres

van a provincias, 28 casados van al extranjero y 45 solteros van a provincias. Se sabe que hay

42 hombres casados y que 18 mujeres solteras

viajan al extranjero, entonces el número de

mujeres solteras es

A) 60 B) 62 C) 64

D) 66 E) 68

UNI 2000 - II

19. Dados tres conjuntos A, B y C no vacíos conte-

nidos en el universo U , se cumple lo siguiente: • A – B=φ

• n[ B – ( A ∪ C )]=12

• n[C – [( B – A) ∩ C ]]=18 –a

• n[( A –C ) ∪ ( B ∪ C )C ]=22+a

• n[ A ∪ AC ]=60

Calcule n[( B ∩ C ) – A].

A) 5 B) 7 C) 6

D) 8 E) 10

20. Sean los conjuntos A, B y C contenidos en el

conjunto universal (U ), tal que cumplen las si-

guientes condiciones:

• A ∪ B= A ∆ B

• n C n B C n A n B

( ) = × ∩( ) =

( )=

( )2

2 3

• n( B ∩ C )=2× n( A ∩ C )=20

• n( AC ∪ A)=510 Calcule n( A ∪ B ∪ C )C .

A) 200 B) 210 C) 260

D) 300 E) 240

21. En una reunión social de 138 personas se

observa lo siguiente:

• La cantidad de varones solteros que bailan

es tanto como la cantidad de mujeres casa-

das que bailan.

• La cantidad de mujeres que no bailan, pero

que tienen falda o son casadas es 20.

• Hay 13 mujeres solteras que bailan y 8 varo-

nes solteros que no bailan.

• La cantidad de varones casados que no bai-

la es igual a la cantidad de mujeres solteras

que no bailan ni utilizan falda.

Calcule la cantidad de varones solteros quebailan o la cantidad de mujeres solteras que

no bailan ni usan falda.

A) 30 B) 36 C) 42

D) 45 E) 48

22. En la siguiente gráfica, ¿qué expresión conjun-

tista representa la parte sombreada?

A B

D

C

A) ( A ∩ C ) ∩ ( B ∪ D)

B) B ∪ ( A ∩ C ∩ D)

C) A ∩ B ∩ C ∩ DD) [A ∪ (C ∪ D)] ∩ B

E) AC ∩ ( B ∩ C ∩ D)

23. Si A * B=[( A ∪ B) – B] ∪ [( A ∩ B’)’ ∩ B]

simplifique

{[( A * B) ∩ B] – [( A ∩ B) * B’]} * ( A * B)’

A) A B) A’ C) φ

D) U E) A’ ∪ B



5

Aritmética

24. Si los conjuntos A, B y C están contenidos en el

universo U ; además, A ⊂ B y B es disjunto con

C , simplifique

{[( A ∆ B) ∆ ( A ∆ C )] ∆ ( A ∩ B ∩ C )} – A'

A) A B) φ C) A – B D) A ∩ C E) B

Teoría de numeración I

25. Corrija los siguientes numerales.

I. 2( n+3)( n –1)(2 n+2) n; n > 5

II. 8(23)6(12)7

III. 6(– 5)0(–11)5

Dé como respuesta la suma de cifras en cadacaso.

A) 8; 13 y 7 B) 13; 8 y 8 C) 10; 13 y 14

D) 13; 10 y 7 E) 8; 10 y 8

26. ¿Cuántos numerales de 3 cifras existen que no

contengan ninguna cifra 8 y posean, por lo me-

nos, una cifra no significativa?

A) 128 B) 512 C) 648D) 144 E) 136

27. En cierto sistema de numeración existen 351

numerales de la forma

(1 –a)( b /3)(a+8)(7 – b)(2c /3)

¿Cuántos numerales pares se representan

como numerales capicúas de tres cifras en

dicho sistema de numeración?

A) 60 B) 70 C) 91

D) 84 E) 72

28. Sabiendo que a00a6= bc1, 0 es el cero, a ≠ 0;

determine la suma (a+ b+c).

A) 12 B) 13 C) 14

D) 15 E) 16

UNI 2008 - II

29. Se cumple que

a b

cd b efefef 3

1 15

−

+( ) =

Calcule a2+ b2+ d 2+ e2.

A) 84 B) 80 C) 74 D) 68 E) 82

30. Se cumple que a1a(12)= b( b+1)( b+2)8. Ade-

más an9= mb. Calcule a+ b+ m+ n.

A) 16 B) 14 C) 17

D) 15 E) 18

31. Se cumple que ab n=ccba=2 n+6 p b+p. Calcule

la cantidad de numerales capicúas que se

encuentran entre cb y pan.

A) 48 B) 50 C) 47

D) 49 E) 45

32. Si se cumple que

a(2a)6 b n=cd ( b+3)8

calcule el máximo valor de a+ b+c+ d .

A) 16 B) 15 C) 17

D) 14 E) 12

Teoría de numeración II

33. Miguel, para comprobar el peso de un diamante

de 911 gramos de peso, dispone de pesas de 1;

3; 9; 27; ... gramos. ¿Cuántas de estas pesas uti-

liza Miguel para efectuar dicha comprobación

si utiliza a lo más 2 pesas de cada tipo y todas

van en un solo platillo de las balanza?

A) 11 B) 7 C) 10 D) 8 E) 9


n n n−( )( ) +( )1 33 =aba7= mppq( b)

calcule el valor de a× b+ m× p+ n.

A) 20 B) 18 C) 19

D) 16 E) 21



6

Aritmética

35. Se cumple que

amn3cd (4)= bbbd (7)

Calcule el mayor valor de a+ b+c+ d + m+ n.

A) 16 B) 15 C) 14

D) 13 E) 17

36. Al expresar el número 103301013031 de base

n en base n3 se observa que la suma de sus

cifras es 232. Calcule la suma de cifras al ex-

presar dicho número en la base n2.

A) 74 B) 86 C) 96

D) 78 E) 76

37. Se cumple que

a( b+2)(c+1) b(16)=( d –1)( b – 5)c02cd (4)

Determine el valor de a+ b+c – d .

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

38. Se cumple que

ababca n= 1 0 6 2 d mm mn m c n( )( )( )( )

Calcule el valor de a+c+ d + m+ n.

A) 15 B) 17 C) 14

D) 18 E) 16

39. Exprese el menor numeral del sistema nonario

cuya suma de cifras es 325 en la base 27. Dé

como respuesta la suma de sus cifras.

A) 707 B) 703 C) 685

D) 681 E) 655

40. Si a un numeral de 4 cifras del sistema decimal

se le sumara x unidades, resultaría el mayor

numeral de 4 cifras de la base ( n+1). Pero si se

le hubiese restado x unidades, obtendríamos

el mayor numeral de 5 cifras de la base ( n – 1).

Calcule la suma de cifras del numeral inicial.

Considere que x ∈ Z+.

A) 17 B) 14 C) 16

D) 15 E) 18

CLAVES



2

Álgebra

Operaciones básicas y potenciación

1. Dados los números

A=42 ÷ 7 – 3 · 4+1

B = + −( ) + ÷ −8 4 2 4 2 2·

halle el valor de A+ B.

A) –1 B) 0 C) 1

D) 2 E) – 2

2. Calcule el valor de la siguiente expresión

19 – 5 · 2+4 – 7+6 ÷ 2+8 – 5 · 2+18 ÷ 2

A) 7 B) 8 C) 16

D) 10 E) 11

3. Determine el valor T .

T =−

− +

÷3

4

2

5 1

4

2

A)2

19 B)

1

19 C) −

4

19

D) −2

19 E) – 2

4. Simplifique la siguiente expresión

1

4

1

3

2

5

2

5

1

6

3

2

5

42 1

1

2

5

7

− −

÷

− ÷ −

· · ·

A) 1,9 B) –1,8 C) –1

D) –1,7 E) 1,8

5. Determine el valor de n si se sabe que

a a a a+( ) + +( ) + +( ) + = +1 2 3 630 10...

20 términos

A) 45 B) 44 C) 43

D) 41 E) 42

6. Halle el valor de x si se sabe que

x+...+75+77+79=1200

A) 38 B) 39 C) 40

D) 41 E) 37

7. Luego de reducir la expresión

2 2

2 2 2

1 1 x y y x

x y yx

+( ) +( )

− −

+

+( )·

Indique el exponente final de 2.

A) xy B) x – y C) 1

D) x+ y E) x / y

8. Cuál es el valor de n si se sabe que

4 n+4 n+4 n+4 n=42012

A) 1006 B) 2010 C) 503

D) 2013 E) 2011

Radicación en R

9. Calcule el exponente final de x2 luego de sim-

plificar la expresión M .

M x x x x x

x x x

=

( )( ) ( ) ( )− − −( )

−( )

2 4

52

24

3 3

2 4

23

0

12

2

33

· · ·

· ·

A) 6 B) 7 C) 8

D) 9 E) 14

10. Si 2 x+1 es equivalente a 10, calcule el valor de

M .

M

x x

x=

+

+

+ +2 4

8 15

3 1

A) 21 B) 22 C) 20

D) 2 –1 E) 23

11. Si x es un número real que verifica

2 2

2 2

1 2

1 2

− + − +

− −

−

−

=

x x

x x x

a

b

,

calcule el valor de a b.

A) 8192 B) 512 C) 1024

D) 2048 E) 4096



3

Álgebra12. Simplifique la expresión S para x ∈ R+.

S x x x x

x

=

( ) ( ) ( ) ( )−

1 1 2

1 2 1 3

1 3 1 4

1 9 1 10

10 1

/ /

/ /

/ /

/

· · ·...·

A) x1 B) x

9

10 C) x

1

2

D)1

x E) x0

13. Calcule el valor de J .

J = ( )

+ ( )−−

−

− − − − −

2 163

9 4

1

2

1

4 2

1 2

1

A)

1

4 B)

5

2 C)

7

4

D)13

2 E)

7

2

14. Dada la igualdad

2 3 2 3 2 3 2 3333

... = m n

calcule el valor de m

n

.

A) 1/2 B) 1 C) 2/3D) 2 E) 4

15. Calcule el exponente de 2 luego de simplificar

la expresión

2

8

4

5

43

10

A) 9 B) –10 C) – 9

D) – 8 E) – 7

16. Considere xy ≠ 0 y n ∈ Z+,e indique el valor

de verdad de las siguientes proposiciones.

p x x n n

:2

24( )

=

q x

x x

n

n: ;

− −

( ) = ≠

1 10

r n n n

: si = → =2 2

s x y x y n n n: + = +

A) VVVV

B) VVFF

C) FFVF

D) FVVF

E) FFFF

Productos notables I

17. Sea x un número real tal que

1 2 1 1 4+ −( ) +( ) −( ) = x x x x

Calcule el menor valor de x(1– x).

A) – 3 B) 3 C) 15D) 5 E) – 5

18. Si a y b son positivos tal que ab=1, simplifique

la siguiente expresión.

2 42 2

2

+ −( ) +a b

A) a+ b B) a – b C) ab+1

D) 1 E) a2+ b2

19. Dados los números

x a b

a b y

ab

a bab=

+( )

−( )=

+

≠

2

2 2 2 0; ;

calcule el valor de1 1

1 y

x

x

−+

.

A) 1/2 B) 2 C) 1

D) a / b E) b / a

20.

Dada la expresión

Q x y

x x y; ·( ) =

−

−

2

2

1

2

evalúe para

x y=+ +

=+ −1 2 3

2

1 2 3

2;

A) 2 B) 3 C) 1

D) 6 E) 2 3+



4

Álgebra

21. Reducir la siguiente expresión

A = +( ) + −( )

+( ) − −( )

−

2 6 2 6

20 5 20 5

2 2

2 2

1

A) 2 B) 1/2 C) 3

D) 1/3 E) 1

22. Calcule el valor de x de la siguiente igualdad

( x x+5)2 – ( x x – 5)2=60 · 317

A) 9 B) 3 C) 6

D) 5 E) 18

23. Calcule la raíz cuadrada de N .

N =

( ) ( )+

( ) ( ) +

195 126 195 125 9

65 046 65 036 25

·

·

A) 9 B) 15 C) 3

D) 32 E) 11

24. Determine el valor de W si se sabe que

(a+ b+c)2=a2+ b2+c2

W a b c

a b c ab bc ac=

+ +( )

+ + + + +( )

2

2 2 27

A) 1/7 B) 0 C) 1D) 7 E) 2

Productos notables II

25. De la siguiente identidad

(2 x+ n)3 ≡ 8 x3+(15 n – 9) x2 – 3 mx+ n3

Calcule el valor de m+ n.

A) 20 B) –15 C) 10

D) 15 E) –10

26. Dados los números a y b tales que

a3 – b3=9 y a – b=3,

calcule el valor de a4 b – ab4.

A) –18 B) 18 C) 135

D) 65 E) –135

27. Dados a y b no nulos tales que a+ b=1, calcule

el valor numérico de M .

M =3(a – b)2 – 2(a3+ b3)+6(a –1)( b –1)

A) 1 B) 0 C) 3

D) – 2 E) 5

28. Dados los números reales a y b que verifican

4a2+ b2+10=2(2a – 3 b),

calcule el producto de ab.

A) 2 B) 1 C) – 3/2

D) 1 E) 5/2

29. Si se cumple que a+ b+c=0 tal que abc ≠ 0;

reducir la siguiente expresión

T a b b c a c

abc=

+( ) + +( ) + +( )3 3 3

2

A) 1/3 B) 2/3 C) –1/3

D) – 2/3 E) – 3/2


a+ b+c=1; a2+ b2+c2=2; a3+ b3+c3=3

calcule el valor de abc.

A) 1/2 B) –1/2 C) 3D) 1/3 E) 1/6

31. Considere las condiciones

a= b(a+1); b=c( b+1); c=a(c+1)

y simplifique

a b c b a c c a b

ab bc ac

2 2 2 2 2 2

2 2 2

+( ) + +( ) + +( )

( ) + ( ) + ( )

A) a+ b+c B) 1 C) 2D) 1/2 E) abc

32. Sean a; b; c y k números reales tales que

(ab)2+( bc)2+(ac)2= k2 ∧ abc=a+ b+c= k

Si k > 0, calcule el equivalente de k

3.

A) 3 B) 1 C) 1/3

D) 33 E) 3



5

ÁlgebraPolinomios I

33. Dado el polinomio

Q( x; y)=4 x n – 3 · y n –1+9 x n+1 · y5 – n

calcule GR x+GR y.

A) 10 B) 9 C) 8

D) 7 E) 6


P x x x y n x y n n n

;( )+ + −

= + − − +2

8

3 2 2 33 ,

determine P(1; 1).

A) 7 B) 2 C) 5

D) – 2 E) – 5

35. Sea f una expresión tal que

f

n

n n( ) =

+

2

1

Determine el valor numérico de

f (2) . f (3) . f (4)

A) 2/5 B) 16 C) 16/5

D) 8 E) 1/5

36. Dada la expresión matemática

f x y x y x y;( ) = −

+

8

271

4

923 63 2 4

calcule f 3 1

2;

.

A) –1/3 B) 1/4 C) – 3/4

D) 2/3 E) – 5/4


P x x x x

n n

+( ) = + − +1

24

22

1

determine P(1)+ P(0).

A) –1 B) 3 C) 2

D) 1 E) 4

38. Dados los polinomios P y Q tales que

P x P xQ x x x( ) −( ) −( )= + = +3 12 y .

Halle Q( x).

A) 2 x+3

B) 2 x+1

C) 2 xD) 2 x –1

E) 2 x – 3

39. Dada la expresión matemática

f x x

x−

= −( )

1

21 , x ≠ 1. Halle f ( x).

A)1

1

2

x +

B) ( x –1)2 C)

1

1

2

x −

D)1

2 x E) x2

40. Sea f x x( ) = − +1 tal que f

f x( )( ) =1

determine x.

A) 17 B) 9 C) 25

D) 16 E) 36

CLAVES



2

Geometría

Ángulo y ángulos entre rectas paralelas y una recta secante

1. Si al complemento del suplemento de un án-

gulo se le agrega 30º, resulta el complemento

de otro ángulo; calcule la suma de las medidas

de dichos ángulos.

A) 30º

B) 150º

C) 75º

D) 60º

E) 120º

2. Calcule la suma de las medidas de dos ángu-

los, sabiendo que el complemento de uno de

ellos excede en 30º al suplemento del comple-

mento del otro.

A) 30º

B) 20º

C) 10º

D) 45º

E) 60º

3. Calcule la m EOF , si q –a=40º y

m BOD=mCOE =90º.

θαα

A F

E

O

D

C

B

A) 40º

B) 50º

C) 20º

D) 25º

E) 65º

4. Dos ángulos consecutivos AOB y BOC se di-

ferencian en 52º. Se traza las bisectrices OM

,

ON OQ

y de los ángulos AOB, BOC y MON ,

respectivamente. Calcule el complemento del

ángulo BOQ.

A) 13º

B) 26º

C) 167º

D) 67º

E) 77º

5. Según el gráfico OC OE

y son bisectrices de

los ángulos AOE y DOG, respectivamente. Cal-

cule la m BOC si mCOD=q.

A

B GO

C

D

E

F

A) q B) 2q C) 3q

D) 45º –q E) 90º –q

6. En el gráfico L

1 2 // . Calcule el valor de x.

β

β

3θ

2θ

x

2 x

L 1

L 2

A) 10º B) 15º C) 20º

D) 25º E) 30º



3

Geometría

7. Si m n p q

// , // y a+q=150º,

calcule el valor de x.

α

θ

p

q

n

m

3 x

2 x

A) 30º B) 10º C) 12º

D) 15º E) 6º

8. En el gráfico, AB //CD; BC DC

y son bisectrices

de los ángulos ABP y PDQ, respectivamente.

Calcule el valor de x.

2α 3α

5α

Q

C

x

A

B

P D

A) 12º B) 24º C) 39º

D) 68º E) 78º

Triángulo I

9. Del gráfico, calcule x+ y+ z.

A) 60º

B) 75º

C) 120º x

y

z

θ

θ

β

βα

α

D) 150º

E) 180º

10. Del gráfico, calcule x+ y.

θ

θ

α α

x

y

A) 45º B) 60º C) 90º

D) 120º E) 180º

11. Según el gráfico, calcule x+ y.

2θαωβ

βθω2α

x

y

123º

A) 80º B) 81º C) 82º

D) 57º E) 114º

12. Si a+q=250º, calcule x.

θ

θ

α

α

x

4 x

55º

55º

A) 15º B) 18º C) 25º

D) 30º E) 34º



4

Geometría

13. En el gráfico, AN = NM , BQ= PQ, RS= SC . Calcu-

le a+b+q.

β

α

θ

A M S C

R N

P Q

B

A) 270 B) 360º C) 240º

D) 260º E) 290º

14. En el gráfico a+b+q+φ=140º, calcule m+ n.

α ω

θβ

m n

A) 200º B) 220º C) 240º

D) 280º E) 110º

15. Según el gráfico, calcule x.

150º

2α

α

2β

β

x

A) 150º B) 140 C) 130º

D) 120º E) 110º

16. Según el gráfico, m n+ = +1802

θ. Calcule x – y.

θ

n y

x

m

A) 2q B)3

2

θ C)

θ

2

D)5

2

θ E) 3q

Triángulos II

17. En la región exterior a BC de un triángulo ABC ,

se ubica D, tal que, AC = BD=CD, m BAC =70º

y m BDC =60º, calcule m ABD.

A) 80º B) 90º C) 100º

D) 120º E) 130º

18. Se tiene un triángulo ABC , de base AC , se tra-za la ceviana interior BD, tal que, AB=CD y

m ABD=m ACB, halle m ACB.

A) 9º B) 18º C) 24º

D) 36º E) 48º

19. En el gráfico, si AB= DC , calcule x.

A C

D

B

13 x

7 x

3 x2 x

A) 5º B) 6º C) 8º

D) 9º E) 10º



5

Geometría

20. Si BP= AB+ AM , calcule a.

2θ θ

αα

70º

A M C

B

P

A) 20º B) 30º C) 40º

D) 50º E) 60º

21. En un triángulo ABC , se traza la altura BH y la

bisectriz interior AD, que se intersecan en L ,

además, en ADC , se traza la bisectriz interior

AE tal que, m ACB=45º –m BAC

4. Calcule

m AEC .

A) 90º B) 105º C) 120º

D) 127º E) 135º

22. En el gráfico, si b+w=2q, calcule x.

βα

α

θ θ

ω

x

A)217

2

º B) 98º C)

225

2

º

D) 105º E)233

2

º

23. Del gráfico se sabe que AB= BC y BD= AD.

Calcule x

y.

θ

θ

x

αα

α y

A C D

B

A) 1 B) 0,5 C) 2

D) 0,33 E) 0,25

24. Del gráfico mostrado, si a+ b=150º, calcule a.

θ

ββ

α αθ

a

b

A) 20º B) 30º C) 40º

D) 50º E) 60º

Congruencia de triángulos

25. Los triángulos ABC y CDE son congruentes.

Calcule x.

A) 60º

B) 80º

C) 90º

A E C

x

D

B

DD) 75º

E) 105º



6

Geometría

26. En el gráfico, los triángulos ALC y BLD son con-

gruentes. Si AL= LB, calculeCL

DC .

A

L

B DC

A) 1/3 B) 1/2 C) 2/3

D) 1 E) 3/4

27. Si AQ= PC y BQ = 3 2, calcule BP.

P

A Q C

B

θ θ

ω

ω

A) 2 2 B) 3 2 C) 3

D) 2 E) 6 2

28. En el gráfico mostrado, calcule x si los triángu-

los APB y BQC son equiláteros.

x

A

B

C P

Q

A) 30º B) 45º C) 60º

D) 75º E) 53º

29. Según el gráfico AD= DC = BC , calcule x.

A C x

D

B

A) 30º B) 37º/2 C) 53º/2

D) 37º E) 45º

30. En el gráfico, HM =2, BC = 74, BH =7, AM = MC .

Calcule AB.

A M C

H

B

A) 13 B) 12 C) 11

D) 2 74 E) 146

31. En el gráfico BC // DE ; AB= AD; ED=3; CE =5;

CR=2. Calcule BR.

A) 3

B) 4C) 6

θ

θ

A C E

D

R

B

D) 8

E) 12



7

Geometría

32. Se tiene un triángulo equilátero ABC ; en la re-

gión exterior y relativo a BC se ubica el punto

D, de tal manera que m BDC =60º y CD=4,

calcule la distancia de A hacia CD.

A) 4B) 2

C) 2 3

D) 3 3

E) 3

Aplicaciones de la congruencia

33. En el gráfico mostrado, AB – AH =3 y PC =5. Cal-

cule x.

θ

θ

A H C

P

B

x

A) 18ºB) 23º

C) 37º

D) 37º/2

E) 45º/2

34. Del gráfico, AH =3( HC ), calculeα

θ.

θ

4θ

θ

α

A H C

A) 1 B) 1/2 C) 2

D) 1/3 E) 3

35. En un triángulo ABC , se traza la mediana AM y

la bisectriz interior BE , las cuales son perpen-

diculares, además, m ABE =m ACB. Calcule

m ACB.

A) 20º

B) 30º

C) 36º

D) 45º

E) 60º

36. Se tiene un triángulo ADM , se traza la mediatriz

de AD, que interseca a AM y AD en L y H , tal

que MD= AL y ML=2( HL). Halle m DAL.

A) 15º

B) 30º

C) 37º

D) 53º

E) 60º

37. Del gráfico mostrado, el triángulo ABC es isós-

celes. Si QP+ RN =10, calcule la distancia del

punto medio de AC hacia BC .

θθ

A P C

B N

R

Q

A) 4

B) 6

C) 2

D) 5

E) 3



8

Geometría

38. Si L

es mediatriz de BC , halle x.

θ θ

α α

L

A C

B

x

A) 15º

B) 25º

C) 30º

D) 37º

E) 45º/2

39. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior

BM , m MBC =90º, CM =2( AB) y el triángulo

AMB es isósceles. Calcule m ACB.

A) 15º B) 16º C) 17º

D) 18º E) 19º

40. Del gráfico mostrado, calcule q.

θ

θ

33º38º

19º

A) 68º B) 69º C) 71ºD) 57º E) 59º

CLAVES



2

Trigonometría

Sistemas de medición angular

1. Del gráfico, calcule x+ y.

1 rad 2 x – 9

5 y – 2

3

A) 7 B) 5 C) 4

D) 6 E) 8

2. Si (30, 34)º= Aº B'C ",

calcule A+ B+C

A) 74 B) 90 C) 85

D) 80 E) 75

3. Reduzca la siguiente expresión

1 1

1

2 2

2

3 3

3

202 202

202101

g m

m

g m

m

g m

m

g m

m+ + + +...

A) 102

B) 200

C) 101

D) 100

E) 202

4. De la siguiente igualdad

ag bmcs=45g28m63s+28g63m45s+63g45m28s

calcule a – b –c

A) 32 B) 60 C) 54

D) 64 E) 52

5. Si L

1 2 // , calcule a.

L 1

L 2

π rad5

45º

10ag

A) 1 B) 2 C) 3

D) 2/3 E) 3/2

6. Se crea un nuevo sistema de medición angular,

cuya unidad (1u

) es la séptima parte del ángulode media vuelta.

Simplifique la expresión

7

3

2

3

7

350

u

ug

rad+

+

π

A) 1/2 B) 12/7 C) 1/3

D) 2 E) 3

7. Calcule el equivalente de

54 60

10

5 5

5

6 80

10

º º++ +

g g m

m

radπ

'

'

A) 137 B) 135 C) 141

D) 138 E) 140

8. Calcule el valor de la siguiente expresión

x x

x x

º+

−

'

g m39

A)40

27 B)

25

27 C)

50

27

D)20

27 E)

23

27



3

Trigonometría

A)a b

a b

2 2+

+

B)a b

a

2 2

2

+

C)a b

b

2 2

2

+

D)a b

b a

2 2+

−

E)a b

ab

2 2+

12. Calcule el perímetro de la región sombreada.

R R

A) ≠

2 R B) p R C) 3

2

≠ R

D) 2p R E)5

2

≠ R

13. Si AOB y MON son sectores circulares, calcule

el área de las regiones sombreadas, considere

que AO=2 y ON =2.

A B M

N

O

45º

A) p /4 B) p /6 C) p /2

D) p /3 E) p /12

Longitud de arco de circunferencia

9. Si con un alambre recto de 40 cm de longitud

se construye un sector circular cuyo ángulo

central mide 45º, calcule el radio de dicho sec-

tor circular.

A)100

2π +

B)120

8π +

C)160

8π +

D)120

4π +

E)160

4π +

10. Calcule la longitud que describe el centro de la

rueda al recorrer la superficie AC , si O A O C 1 2

// .

O1

A A B B C C

O2120º

7

8

11

A) 2p B) 3p C) 4p

D) 5p E) 6p

11. Si AOB, NOM y TOR son sectores circulares,

calcule MN

en términos de a y b. Si AB

b = y

TR

a = .

b

O

T

N

A

R

M

Ba



4

Trigonometría

14. Si AOB, MON , ROT y POF son sectores circula-

res, tal que OP= PR= RM = MA. Calcule el área

de la región sombreada.

A)3

2

≠

2π

3O

P

F

T

N

B

R

M

A

10º

B)5

4

≠

C)5

2

≠

D)3

4

≠

E)2

3

≠

15. Si AOB, MON y ROT son sectores circulares,

además, se cumple que MN = 10, calcule

AB .

A) 12

O

R

T

N

B

M

A

SS SS SS

B) 14

C) 17

D) 13

E) 15

16. Si AOB, MON , ROT y POF son sectores circu-

lares, calcule la relación entre la región som-

breada y la región no sombreada.

A)16

7

B)9

7

O

a

2a

3a

4a

P

F

T

N

B

R

M

A

C)18

7

D)13

6

E)10

3

Aplicaciones del cálculo de una longitud de arco

17. Calcule el número de vueltas que da la rueda

al ir de A hacia B, si r =2 u, además, AM =4p u

y MB=2p u.

A) 1 M

120 A A

B B

r r

B) 2

C) 3

D) 2/3

E) 5/3

18. Determine el número de vueltas de la rueda en

ir de A hacia B. Si r =3 y AM + MB=16p.

A A

B B r r

80º 40º

M

A) 1 B) 2 C) 3

D) 8/3 E) 7/6

19. El número de vueltas que da la rueda al des-

plazarse de A hacia C es 11/8. Determine la

medida del ángulo q, si AB= BC =p.

A A C C

11

B

θ

A)≠

4rad B)

≠

6rad C)

≠

3rad

D)≠

8rad E)

≠

12rad



5

Trigonometría

20. Se tiene una bicicleta cuyas ruedas tienen

como radio 5 r y 3 r . Al realizar cierto recorrido

la suma de los números de vueltas de ambas

ruedas es 80. Calcule la longitud recorrida por

la rueda más pequeña, si r =20 cm.

A) 8p m

B) 6p m

C) 30p m

D) 60p m

E) 2p m

21. En el gráfico mostrado, halle el ángulo que gira

C , cuando la rueda A da 12 vueltas.

B

C

A

88

66 44

A) 4p B) 12p C) 8pD) 20p E) 16p

22. El gráfico mostrado tiene un sistema de po-

leas. Si la polea A da 1 vuelta, calcule cuántas

vueltas dará la polea D;a

b= 2.

A) 8/3

B) 5/3

40 cm40 cm

B B

D

C A

b b aa

30 cm30 cm

C) 3

D) 2

E) 1

23. Del sistema mostrado, halle r .

44

33 22

r r

A) 3 B) 8/3 C) 4/3

D) 5/3 E) 7/3

24. Determine la separación vertical entre A y B, siel punto A se desplaza verticalmente 2 m, ade-

más, R=2 r .

A) 3 m

B A

R R

r r

r r B) 2 m

C) 1 m

D) 4 m

E) 5 m

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

25. Si ABCD y EAF son un cuadrado y un sector cir-

cular, respectivamente, calcule cotq · cosq.

A)2

2

θ

θ

B

A D F

C

E B) 3

C) 1

D)1

2

E)2

3



6

Trigonometría

26. Del gráfico

θ

a c

b

se cumple que (a+ b+c)2=12ab.

calcule1+ +sen cos

sen cos

θ θ

θ θ

A) 2 B) 3 C) 5

D) 4 E) 1

27. Del gráfico, calcule senq, si AM = MC .

θ

30º

N

A

B

M C

A)21

21 B)

7

7 C)

3

7

D)3

3 E)

21

14

28. Si AM =3( BN ), calcule tanq.

53º

53º

θ

M

N

C

B A

A)2

9 B)

5

9 C)

1

2

D)1

3 E)

5

14

29. Según el gráfico, calcule cotq.

120º10

14

4

θ

A) 3 3 B) 4 C) 6 3

D) 2 3 E) 6

30. Si ABCD es un cuadrado,

calcule58 sen cosθ θ+

( ).

37º

θ

A

B

C

D

A) 8 B) 10 C) 6

D) 9 E) 7

31. Si

cos60º · secq · tan13º – cos245º · csc30º · cot77º=

tan13º · tan260º, siendo q un ángulo agudo, cal-

cule (secq)4cosq.

A) 2 2 B) 2 C) 4

D) 1 E) 2

32. Si sen(3a+ b)º=cos(a+3 b)º, donde los ángu-

los dados son agudos, calcule

csc(3a – b)cos(a+5 b)+4tan(2a+2 b)

A) 6 B) 7 C) 8

D) 3 E) 5



7

Trigonometría

Resolución de triángulos rectángulos

33. Si AB=40, BC =20 y AP+ PC =50,

calcule cscq – cotq.

θ P

B

A C

A) 1/3 B) 2 C) 3

D) 1/4 E) 1/2

34. Si BM = 3, calcule el perímetro del triángulo

ABC .

60º 60ºθ

A

B

C M

A) 6senq B) 12senq C) 8cosq

D) 6cosq E) 8senq

35. Si AC = AD, calcule la altura relativa a CD del

triángulo ACD en términos de m.

20º

30º

B

A D

C

2 m

80º80º

A) 2 20 3 10 m cot º ·sen º+( )

B) m cot º ·cos º20 3 10+( )

C) mcot20º · sen10º

D) m tan º · sen º20 3 10+( )

E) 2 20 3 10 m cot º ·cos º+( )

36. Si AM =1, calcule BC en términos de q.

A) tanq(1+senq)

45ºθ

M

A B

C

B) cosq(1 – cotq)

C) cosq(1+cotq)

D) senq(1+tanq)

E) senq(1 – tanq)

37. Del gráfico, calcule cotq en términos de a si

AE =3 y DE =2.

θ

α

A

B E C

D

A) sena – cosa

B)3 2

3 2

sen cos

cos sen

α α

α α

−

+

C)3 2

3 2

cos sen

cos sen

α α

α α

−

+

D)2 3

3 2

sen cos

cos sen

α α

α α

+

−

E)2 3

3 2

sen cos

sen cos

α α

α α

+

−



8

Trigonometría

CLAVES

38. Calcule OP en términos de a y q.

2a

θ

P

O

A) asen3q

B) acos2q

C) asen2q

D) acos3q

E) asenq

39. Desde el pie de un poste el ángulo de eleva-

ción de la parte más alta de una palmera es

53º, y desde la parte superior del poste que tie-

ne 6 m de altura, el nuevo ángulo de elevación

es de 18º30'. Calcule la altura de la palmera.

A) 8 m B) 10 m C) 12 m

D) 15 m E) 16 m

40. Un avión observa un barco con un ángulo de

depresión a. Luego se desplaza una distancia

igual al triple de la altura constante a la que se

encuentra y observa el barco con un ángulo de

depresión 90º –a. Calcule cota – tana. (Consi-

dere que el avión no sobrepasa el barco)

A) 9 B) 7 C) 3

D) 5 E) 6



2

Física

Magnitudes

1. Un bloque está unido a un resorte y apoyado

sobre una superficie horizontal pulida (Ver grá-

fico). Si desplazamos al bloque hacia la dere-

cha y lo soltamos, determine la veracidad (V)

o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

x=0 x=0

M =2 kg

X

reposo

X

5 cm

I. Para medir la fuerza, con la cual el resorte jala al bloque, no se necesita indicar la di-

rección.

II. La masa del bloque tiene dirección.

III. Para medir la deformación del resorte, se

necesita indicar la dirección.

A) FFV B) FFF C) VFF

D) VFV E) FVF

2. De la siguiente lista de magnitudes, indique

cuántos son escalares.

• recorrido • velocidad

• desplazamiento • rapidez

• distancia • aceleración

• temperatura • presión

A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 8

3. La presión P que un fluido ejerce sobre una

pared depende de la velocidad v del fluido, desu densidad D y tiene la siguiente forma

P = x ⋅ v D x y

Halle la fórmula física correcta.

A) P v D= 2 2 2

B) P v D= 2 2

C) P= vD2

D) P= vD3

E) P v D= 2 2 3

4. Determine el valor de la siguiente expresión

x+ y+ z, si la ecuación P=ρ x g y h z es dimensio-

nalmente correcta.

Donde:

P=presión

ρ

=densidad g=aceleración de la gravedad

h=profundidad

A) 4 B) 3 C) 8

D) 2 E) 12

5. La ecuación A= B+C · t es dimensionalmente

correcta. Si A tiene unidades de velocidad y t

es el tiempo, determine la ecuación dimensio-

nal de C .

A) L · T – 2 B) LT–1 C) MLT–1

D) LT E) LT2

6. La ecuación que se muestra a continuación es

dimensionalmente correcta.

A B

C D

2

2

−

=

Si A tiene unidades de velocidad y C es una

distancia, determine la veracidad (V) o false-dad (F) de las siguientes proposiciones.

I. La ecuación dimensional de B es LT–1.

II. En el sistema internacional de unidades, la

unidad de la magnitud D es m/s2.

III. La ecuación dimensional de la expresión

CD es LT–1.

A) VVV B) VVF C) FFV

D) FVV E) FVF

7. Halle la ecuación dimensional de P, si la ecua-

ción dada es dimensionalmente correcta.

P m R

R

C

= ⋅

−

0

2

1

m0=masa

C =velocidad de la luz

A) MLT B) MLT–1 C) MLT– 2

D) MLT2 E) MLT3



3

Física

8. Sabiendo que la siguiente expresión es dimen-

sionalmente correcta, halle la ecuación di-

mensional de K .

C P K

D=

⋅

⋅

2

ρ

Donde:

C =velocidad

P=presión

ρ=densidad

D=diámetro

A) L1/2 B) L C) L2

D) L1/2T –1 E) LT

9. La fórmula para hallar la rigidez de una cuerda es

S a

Q

R b d = ⋅ +

⋅ 2

Donde:

Q=carga (newtons)

R=radio (metros)

d =diámetro (metros)

S=rigidez (newtons)

Halle la ecuación dimensional de las magnitu-

des a y b.

A) L; MLT– 2

B) L–1; M –1L –1T – 2

C) L; M – 2LT – 2

D) L– 2; MLT2

E) L –1; ML –1T – 2

10. La posición de un móvil que experimenta un

movimiento oscilatorio se expresa según la si-

guiente ecuación.

r A B Ct

= + + 2 sen

π

Donde:

r

: posición (m)

t: tiempo (s)

Indique las dimensiones deC

AB.

A) LT–1 B) L– 2T –1 C) L2T – 2

D) L3T – 2 E) L–1T –1

Cinemática I

11. El gráfico adjunto muestra la trayectoria descrita

por una mosca y una araña. Si ambos se mue-

ven de A hacia B, determine la veracidad (V) o

falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

A

B

40 cm

30 cm

I. La araña y la mosca realizan el mismo des-

plazamiento.

II. Si la mosca demora 2 s en ir de A hacia B,

entonces su rapidez media vale 25 cm/s.

III. La mosca recorre una longitud mayor a 50 cm.

A) VFF B) FVV C) VVV

D) VVF E) FFF

12. La partícula realiza MRU, de modo que desde

A hasta B y desde B hasta C emplea 4 s y 5 s,

respectivamente. Determine la rapidez de la

partícula.

(12+ x) m ( x+33) m

A A C C B B

A) 8 m/s B) 10 m/s C) 16 m/s

D) 21 m/s E) 27 m/s

13. Sobre una vereda recta se encuentran dos pos-

tes separados 120 m. Un joven que camina so-

bre la vereda observa, delante de él, a los dos

postes, empleando un tiempo 3 t en alcanzar

al poste más lejano y un tiempo 2 t en moverse

de un poste a otro. Si el joven demora 30 s en

alcanzar al poste más cercano, determine su

rapidez media.

A) 4 m/s B) 6 m/s C) 1 m/s

D) 2 m/s E) 3 m/s



4

Física

14. Desde la situación mostrada transcurre 10 s

para que la separación entre los autos sea

50 m por segunda vez. Determine la rapidez

del auto ( A). (Considere que ambos autos rea-

lizan MRU).

150 m

A A B B

v A

v B

=10 m/s

A) 5 m/s B) 20 m/s C) 9 m/s

D) 10 m/s E) 15 m/s

15. Los móviles que se observan en el gráfico rea-

lizan un MRU. A partir del instante mostrado,determine la separación entre los móviles al

cabo de 4 s.

10 m

16 m

4 m/s

6 m/s

A) 8 2 m B) 8 m C) 10 m

D) 6 m E) 14 m

16. El gráfico adjunto muestra un avión y un auto

moviéndose en la misma dirección, con rapi-

dez de 110 m/s y 70 m/s, respectivamente. De-

termine

200 m

40 m

• el tiempo transcurrido para que la separa-

ción entre los vehículos sea mínima.

• la distancia que separa a los móviles 6 s

después del instante mostrado.

A) 5 s; 40 m B) 4 s; 60 m C) 5 s;40 2 m

D) 3 s; 50 m E) 4 s; 50 2 m

17. En el gráfico se muestra un auto y un autobús

que se mueven en la misma dirección, con ve-

locidades cuyos módulos son 40 m/s y 30 m/s,

respectivamente.

24 m2 m 4 m

Determine la veracidad (V) o la falsedad (F) de

las siguientes proposiciones.

I. El auto alcanza al autobús en 2,6 s.

II. El auto tarda 3 s en pasar completamente al

autobús.

III. Un pasajero del autobús observa que el

auto tarda 0,2 s en pasar por su lado.

A) VFV B) FFV C) VFFD) FFF E) FVV

18. A partir del instante mostrado, la mosca tarda

6 s en ser alcanzado por la luz del foco. Deter-

mine v. Considere que la mosca y el foco rea-

lizan MRU.

v

2 L

L

10 cm

1,5 cm/s foco

A) 2 cm/s B) 4 cm/s C) 6 cm/s

D) 5 cm/s E) 1 cm/s



5

Física

19. Una persona se encuentra a una distancia L de

una ventana de 20 cm de altura. A través de

una ventana la persona observa que una araña

desciende verticalmente a una distancia 2 L de

la ventana. Si la persona logra ver a la araña

durante 20 s, determine la rapidez de la ara-ña. Considere que la línea visual de la persona

pasa por el extremo inferior de la ventana.

A) 2 cm/s B) 4 cm/s C) 6 cm/s

D) 5 cm/s E) 3 cm/s

20. Una esfera se mueve con MRU hacia una pared.

Luego del choque, el cual dura 0,1 s, la esfera

rebota y se mueve con velocidad opuesta. Si la

rapidez antes y después del choque es 5 m/s y4 m/s, respectivamente. Determine el módulo

de la aceleración.

A) 10 m/s2 B) 90 m/s2 C) 1 m/s2

D) 9 m/s2 E) 0,9 m/s2

21. Se lanza un ladrillo sobre un piso, si luego de

6 s se detiene recorriendo 9 m. Halle la rapidez

inicial y el módulo de la aceleración. Considere

que el ladrillo realiza MRUV.

A) 3 m/s; 0,3 m/s2

B) 5 m/s; 0,4 m/s2

C) 3 m/s; 0,5 m/s2

D) 5 m/s; 0,7 m/s2

E) 7 m/s; 1 m/s2

22. Un auto presenta una rapidez v y tiene una

aceleración constante cuyo módulo 6 m/s2. Si

luego de 4 s su rapidez se cuadruplica, halle su

recorrido para dicho tramo.

A) 60 m B) 80 m C) 100 m

D) 120 m E) 160 m

23. Una esfera se lanza como se muestra y ex-

perimenta MRUV con aceleración de módulo

2 m/s2. Determine a qué distancia del punto P

se encontrará al cabo de 8 s.

a

P P

6 m/s

A) 4 m B) 10 m C) 16 m

D) 22 m E) 28 m

24. Un ciclista presenta una rapidez constante de

20 m/s y se encuentra a 42 m de un motociclis-ta que inicia su movimiento. Halle la separa-

ción mínima entre ambos, si el módulo de la

aceleración del motociclista o módulo es 5 m/s2.

v=0

42 m

20 m/s a=5 m/s

2

A) 12 m B) 10 m C) 8 m

D) 6 m E) 2 m

25. El sistema es soltado en la posición mostrada.

Halle el módulo de la aceleración de la cuña,

si el módulo de la aceleración de la tabla es

de 2 m/s2.

4 m4 m

12 m12 m

tabla

A) 6 m/s2 B) 8 m/s2 C) 10 m/s2

D) 12 m/s2 E) 15 m/s2



6

Física

26. Una pequeña esfera es lanzada verticalmente

y hacia arriba con rapidez v0. Si hasta el ins-

tante en el cual la rapidez es el cuádruple de

la rapidez de lanzamiento ha transcurrido un

segundo, determine v0. ( g=10 m/s2).

g v0

A) 2 m/s B) 1 m/s C) 4 m/s

D) 5 m/s E) 3 m/s

27. Desde cierta altura H se lanza un objeto ver-

ticalmente hacia arriba con una rapidez de

70 m/s. Determine el tiempo que permanece

en el aire, así como la altura H , si llega al piso

con el triple de su rapidez de lanzamiento.

( g=10 m/s2)

A) 14 s; 1050 m

B) 19 s; 2400 m

C) 19 s; 1830 m

D) 28 s; 1960 m

E) 28 s; 1540 m

28. Se muestra una esfera y un tubo de 4 m de lon-

gitud. Halle la rapidez del tubo si la esfera sale

por la parte superior del tubo luego de 6 s a

partir de la posición mostrada.

A) 20 m/s

B) 25 m/sC) 30 m/s

30 m/s

26 m

v

D) 35 m/s

E) 40 m/s

29. Se muestra una plataforma que desciende

con MRU, y en el instante mostrado se suelta

un perno. ¿A qué altura, respecto del piso, se

encontrará la plataforma cuando el perno im-

pacte en el piso? ( g=10 m/s2)

10 m/s

75 m

perno

plataforma

A) 20 m

B) 30 m

C) 45 m

D) 50 m

E) 25 m

30. Desde cierta altura comienzan a caer gotas de

agua, a razón de una gota por cada segundo,

a un pozo profundo donde el nivel libre del

agua asciende a razón constante de 5 m/s. ¿Aqué distancia del nivel libre se encuentra la 2.a

gota, cuando la primera gota impacta con el

nivel libre? ( g=10 m/s2)

150 m

t=0

v

A) 25 m B) 35 m C) 45 m

D) 55 m E) 65 m



7

Física

Cinemática III

31. Una esfera pequeña es lanzada con una rapi-

dez y ángulo de lanzamiento v y q, respecti-

vamente. Determine la veracidad (V) o false-

dad (F) de las siguientes proposiciones. I. En el punto más alto de la trayectoria la ve-

locidad es mínima y perpendicular a la ace-

leración de la gravedad.

II. Si el proyectil se lanza con q1=37º y luego

con q2=53º, en cada caso el alcance hori-

zontal es el mismo.

III. El alcance horizontal será máximo si q=45º.

A) FVV

B) VVV

C) VFV

D) FFF

E) VVF

32. El gráfico muestra dos posiciones de una par-

tícula que describe un movimiento de caída

libre. Determine la distancia de separación

entre las posiciones mostradas. ( g=10 m/s2).

g

120º

20 m/s

A) 15 7 m B) 35 3 m C) 25 m

D) 10 21 m E) 5 21 m

33. Un motociclista sube una rampa presentando

aceleración constante de 10 m/s2. Halle a qué

distancia del punto P impacta en el piso.

P

5 m/s30 m30 m

53º53º

1 m

A) 6 7 m

B) 10 5 m

C) 20 m

D) 25 10

E) 10 13

34. Una pequeña esfera es soltada desde una al-

tura de 48 m. Si un proyectil es lanzado con

una rapidez de 30 m/s, desde el nivel del piso,

determine:

• La medida del ángulo de lanzamiento q

para que el proyectil impacte a la esfera.

• La altura, respecto al piso, a la cual se pro-duce el impacto.

g=10 m/s2

36 m

θ

A) 45º; 20 m

B) 37º; 28 m

C) 53º; 28 m

D) 60º; 20 m

E) 53º; 20 m



8

Física

35. Un globo aerostático sube con rapidez cons-

tante de 20 m/s. Si cuando está a 60 m del piso

una persona lanza un balón horizontalmente

con una rapidez de 30 m/s, determine con qué

rapidez impacta en el piso y su alcance hori-

zontal.

A) 20 2 120m/s m;

B) 25 m/s; 90 m

C) 30 m/s; 120 m

D) 40 2 180m/s m;

E) 50 m/s; 180 m

36. En el gráfico se muestran tres esfera que expe-

rimentan MPCL, donde en el instante mostra-

do presentan las siguientes velocidades

v v

v

A B

C

= ( ) = ( )

= −( )

20 30 10 30

10 10

; ;

;

m/s; m/s;

m/s

Indique las proposiciones verdaderas (V) o fal-

sas (F).

g

v A v B

vC

I. Las esferas A y B en todo momento se en-

cuentran a la misma altura.

II. En algún momento las esferas B y C impac-

tarán.

III. Luego de cierto tiempo las esferas A y B im-

pactan.

A) VFF

B) FFF

C) VVV

D) VFV

E) FVV

37. Una persona lanza un balón con rapidez v0,

en ese mismo instante el niño ubicado en P

inicia su movimiento presentando aceleración

constante cuyo módulo es 5 m/s2. Si luego de

2 s el niño coge el balón, halle el recorrido del

niño y v0.

v=0 B

P

37º

v0

8,5 m

1,5 m

A) 5 m; 15 m/s

B) 10 m; 20 m/s

C) 10 m; 25 m/s

D) 15 m; 30 m/s

E) 20 m; 40 m/s

38. Dos esferas son lanzadas desde un mismo ni-

vel (ver gráfico). Determine la veracidad (V) o

falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

g=10 m/s2

37º 53º

37,5 m/s50 m/s

I. Las esferas en todo momento se encuentran

a la misma altura.

II. Al cabo de 4 s la distancia que separa a las

esferas es 250 m.

III. La velocidad de las esferas forman un ángu-lo de 90º al cabo de 13 s.

A) VVF

B) VVV

C) FFV

D) FVF

E) FVV



9

Física

39. En el instante mostrado el proyectil es lanzado

con el objetivo de impactar con el avión que

realiza MRU. Halle para qué valores de v suce-

de el impacto.

60 m

53º

50 m/s

v

360 m

A) vmín=10 m/s; vmáx=30 m/s

B) vmín=20 m/s; vmáx=60 m/s

C) vmín=40 m/s; vmáx=100 m/s

D) vmín=30 m/s; vmáx=150 m/s

E) vmín=100 m/s; vmáx=200 m/s

40. Un joven se encuentra parado en el piso y

desea darle con un proyectil al foco. Debido

a que no conoce mucho sobre Física, asumeque al lanzar el proyectil, este seguirá una tra-

yectoria recta. Si luego de 2 s de lanzar el pro-

yectil, ve con mucha sorpresa para él, que el

proyectil no dio en el foco y pasó por debajo.

¿A cuántos metros por debajo del foco pasó el

proyectil? ( g=10 m/s2)

g

A) 5 m B) 10 m C) 15 m

D) 20 m E) faltan datos

Estática I

41. Si el resorte tiene una longitud natural de

80 cm. Halle el número de fuerzas que actúan

sobre A y B. Determine el módulo de la fuerza

elástica. ( K =200 N/m).

50 cm

A A

B B

A) 2; 2; 100 N B) 2; 3; 60 N C) 3; 3; 160 N

D) 3; 2; 200 N E) 5; 4; 160 N

42. Se tiene un resorte de rigidez K y longitud natu-

ral L. Si este resorte se divide en n partes igua-

les, entonces la rigidez de cada parte es

A) n2 K B) nK C) K

n

D) K

n2

E) K

43.En el gráfico, indique las proposiciones verda-deras (V) o falsas (F).

liso

A

F 1=20 N F

2=20 N

R2

R1

I. La fuerzas F F

1 2 y son fuerzas de acción y

reacción.

II. El centro de gravedad del coche necesaria-

mente se ubica en el punto A.

III. Si R R

1 2+ es la fuerza con la que el coche

atrae a la tierra.

A) VVV B) FFV C) VVF

D) VFF E) FFF



10

Física

44. ¿Cuál de las alternativas representa el DCL de

la esfera?

bloque B

esfera

bloque A

A) B) C)

D) E)

45. Para el instante mostrado en el gráfico, elija la

alternativa que mejor represente al DCL de la

cuña. Desprecie todo rozamiento y considere

al resorte comprimido.

cuñacuña

A) B)

C)

D) E)

46. Un bloque liso está apoyado sobre un anda-

mio. Si las poleas son ideales, determine la

veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes

proposiciones.

(1)

I. Sobre el andamio actúan tres fuerzas.

II. Sobre la polea (1) actúan cuatro fuerzas.

III. Sobre el sistema andamio-bloque actúan

tres fuerzas.

A) VVV

B) VVF

C) FVF

D) FFV

E) VFV

47. En el gráfico mostrado el resorte está estirado

50 cm y la masa de la esfera es 4 kg. Determi-

ne el módulo de la fuerza resultante sobre la

esfera. ( g=10 m/s2; K =100 N/m).

37º

g

A) 30 N

B) 50 N

C) 40 N

D) 60 N

E) 45 N



11

Física

48. Para el instante mostrado en el gráfico, deter-

mine el módulo de la fuerza resultante sobre

el bloque si el resorte está comprimido 40 cm

y la reacción de la superficie inclinada sobre

el bloque vale 80 N. ( M =10 kg; K =200 N/m;

g=10 m/s2

).

A) 20 N K

37º37º

liso

B) 180 N

C) 80 N

D) 160 N

E) 140 N

49. Determine el módulo de F

1, si la resultante de

las fuerzas que actúan sobre la esfera es hori-zontal.

X

Y

53º 37º

30 N20 N

F 1

A) 24 N

B) 34 N

C) 18 N

D) 28 N

E) 36 N

50. En el gráfico la suma de las tres fuerzas mos-

tradas es nula. Determine el modulo de F

1 sa-

biendo que este toma su valor mínimo.

θ

F 1

37º16º16º

F 2=50 N

F 3

g

A) 10 N

B) 20 N

C) 30 N

D) 40 N

E) 60 N

CLAVES



2

Química

Materia

1. Respecto a los alcances de la química, ¿qué

proposiciones son correctas?

I. Tiene como objetivo producir conocimien-

tos y nuevos materiales. II. Su alcance es solo a nivel de laboratorio.

III. Analizar la materia a nivel macroscópico y

submicroscópico.

A) I, II y III B) solo III C) I y III

D) I y II E) solo I

2. Indique la proposición incorrecta respecto a

las características de las sustancias.

A) El dióxido de carbono, CO2, es un com-

puesto binario.

B) El ozono, O3, es una sustancia simple tria-

tómica.

C) El metanol, CH3OH, es una sustancia com-

puesta ternaria.

D) El oro se puede descomponer en sustancias

más sencillas.

E) El ácido sulfúrico, H2SO4, es una sustancia

compuesta heptatómica.

3. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o

falsedad (F) respecto a las siguientes proposi-

ciones.

I. La materia es eterna.

II. Los cambios que experimenta la materia

son consecuencia de sus contradiciones

internas.

III. En todo cambio que experimenta la materia

está involucrado la energía.

A) VVF B) VVV C) FVV

D) FFV E) VFV

4. Dadas las siguientes proposiciones, ¿cuáles

son correctas?

I. En un mezcla de dos o más sustancias, nin-

guna de ellas pierde su identidad.

II. En las mezclas heterogénea, la separación

entre las fases se denomina interfase.

III. Las mezclas pueden representarse por fór-

mulas químicas.

A) solo I B) solo II C) solo III

D) I y II E) I y III

5. Señale la alternativa que presenta la secuencia

correcta, después de determinar si las proposi-

ciones son verdaderas (V) o falsas (F).

I. El aire es una sustancia.

II. El grafito y el diamante son formas alotrópi-

cas del mismo elemento.

III. Una solución es un sistema homogéneo.

A) VVV B) VVF C) VFV

D) FVV E) FFV

UNI 2010 - II

6. Señale la alternativa que presenta la secuencia

correcta, después de determinar si la proposi-

ción es verdadera (V) o falsa (F).

I. La destilación del petróleo es un fenómeno

físico.

II. La conducción eléctrica es un fenómeno

químico. III. Las radiaciones electromagnéticas emiti-

das por un radioisótopo es un fenómeno

químico.

A) FVV B) VVV C) FVF

D) FFF E) VFF

UNI 2007 - II

7. Al encender la mecha de una vela común se

genera los siguientes pasos: I. La cera se calienta y se funde.

II. Se emiten humos que son inflamables.

III. La mecha va desapareciendo.

De los pasos anteriores, indique los que co-

rrespondan a procesos químicos.

A) I B) II C) III

D) II y III E) I y II

UNI 2002 - I



3

Química

8. Determine cuáles de las siguientes proposicio-

nes corresponde a cambios químicos.

I. la formación de óxido de hierro sobre un

clavo de hierro

II. la sublimación del yodo

III. la electrólisis del agua

A) I B) II C) III


UNI 2001 - II

Estructura atómica

9. De la siguiente descripción, señale cuántas

son propiedades físicas y químicas, respecti-

vamente. El ácido nítrico (HNO3) es un líquido viscoso,

ligeramente amarillo, inodoro, miscible de

agua, que hierve a 82,6 ºC. Con el sodio reac-

ciona formando nitrato de sodio, con los car-

bonatos produce dióxido de carbono, a con-

diciones especiales reacciona con el benceno

formando nitrobenceno.

A) 5 y 4 B) 4 y 5 C) 5 y 3

D) 6 y 3 E) 6 y 2

10. Respecto a las propiedades de los materiales,

seleccione las proposiciones incorrectas.

I. La densidad, el sabor y la ductibilidad son

propiedades intensivas.

II. A 1 atm, 1 g de H2O y 1 kg de H2O tienen

diferentes temperaturas de ebullición.

III. Las propiedades extensivas se pueden sumar.

A) solo II B) II y III C) I, II y IIID) solo III E) solo I

11. Indique cuáles de las siguientes proposiciones

son verdaderas.

I. El valor medido de una propiedad intensiva

no depende de la cantidad de materia que

se considere.

II. Son propiedades intensivas: la longitud, la

masa y el volumen.

III. Son propiedades extensivas: la temperatu-

ra, la densidad y la viscosidad.


D) I y II E) II y III

UNI 2006 - II

12. Para poder determinar la identidad de un ele-

mento, se cuenta con la siguiente información.

I. número de masa

II. número atómico

Se puede decir que

A) la información I es suficiente.

B) la información II es suficiente.

C) es necesario utilizar ambas informaciones.D) cada una de las informaciones, por separa-

do, es suficiente.

E) las informaciones dadas son insuficientes.

UNI 2010 - II

13. En relación a las partículas subatómicas, de-

termine las proposiciones verdaderas (V) o fal-

sas (F) y marque la alternativa que corresponda.

I. Los protones y neutrones están presentes

en el núcleo atómico. II. Los protones, neutrones y electrones tienen

la misma masa.

III. Un haz de neutrones es desviado por un

campo eléctrico.

A) VVV B) VVF C) VFF

D) FVF E) FFF

UNI 2003 - II

14.En el año 2000, se sintetizó el elemento 116 enRusia, el cual tiene por nombre Moscovio. Si la

diferencia entre el número de neutrones y pro-

tones es 60, ¿qué proposiciones son correctas?

I. Tiene 116 protones y 176 neutrones.

II. Su número másico es 292.

III. Tiene 116 electrones.

A) solo III B) I, II y III C) solo II

D) I y II E) II y III



4

Química

15. Se tienen tres isótopos cuya suma de sus neu-

trones es 39. Calcule la carga nuclear del isóto-

po más pesado si la suma de las partículas fun-

damentales de dichos átomos es 111.

A) 12

B) 13

C) 16

D) 8

E) 14

16. El átomo de cobre neutro contiene 29 protones

y 35 neutrones. Cuando este átomo pasa a

formar el ion Cu2+, se cumple que

A) la carga nuclear permanece igual, pero

gana dos electrones.

B) su número de masa aumenta en dos par-

tículas.

C) disminuye en dos electrones y dos protones.

D) las partículas positivas y negativas difieren

en dos unidades.

E) el cambio no está relacionado con los pro-

tones ni electrones.

17. Un catión divalente tiene una carga nuclear

igual a 4,8×10 – 18 C. Halle su número másico si

el número de neutrones excede en 5 unidades

al número de protones.

A) 75 B) 45 C) 55

D) 45 E) 65

18. La carga neta de un anión es – 3,2×10– 19 C.

Si este ion tiene 32 protones y 115 partículas

subatómicas fundamentales, ¿cuántos neutro-

nes tiene?

A) 41 B) 43 C) 47

D) 49 E) 50

Estructura electrónica del átomo

19. Respecto al principio de incertidumbre, seña-

le la secuencia correcta de verdad (V) o false-

dad (F).

I. El electrón gira en órbitas circulares y elípti-cas en torno al núcleo.

II. Las incertidumbres en la medición de la po-

sición y velocidad de un electrón son muy

despreciables.

III. No es posible saber la trayectoria que des-

cribe un electrón en un átomo.

A) VFV B) FFF C) FFV

D) VFF E) FVF

20. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o

falsedad (F) respecto a las siguientes proposi-

ciones.

I. El número cuántico azimutal está relaciona-

do con la forma de la nube electrónica.

II. El subnivel 3d está constituido por 5 orbita-

les degenerados.

III. n y µ determinan un subnivel de energía.

A) VVV B) FVV C) VFV

D) FFF E) VFF

21. Respecto a la ecuación de Schrödinger o los

números cuánticos, determine verdadero (V)

o falso (F) y elija la secuencia correcta.

I. Los orbitales son descritos por los 4 núme-

ros cuánticos.

II. El número cuántico magnético determina

la orientación espacial de la nube electró-

nica.

III. El número cuántico espín nos indica el sen-

tido de giro del electrón sobre su propio eje.

A) VVV B) FFV C) FFF

D) FVV E) VFV



5

Química

22. ¿Qué proposiciones son correctas?

I. En un orbital difuso, admite máximo 10

electrones.

II. Si el número cuántico azimutal µ=3, enton-

ces el mínimo valor de nivel es 4.

III. La capa M puede contener 18 electrones y 9orbital como máximo.

A) I y II

B) II y III

C) I y III

D) solo II

E) solo III

23. Señale uno de los posibles valores de n, µ y mµ

para un orbital del subnivel 3d.

A) (3; 2; +3) B) (3; 2; – 3) C) (3; 1; +1)

D) (3; 1; 0) E) (3; 2; – 2)

24. ¿Cuántas combinaciones posibles están aso-

ciadas a la combinación de números cuánti-

cos (3, 2, mµ, m s)?

A) 8 B) 15 C) 10

D) 16 E) 18

25. Señale el conjunto de números cuánticos que

es posible para un electrón.

n µ mµ m s

A) 2; 2; +1; – 1/2

B) 3; 0; – 2; +1/2

C) 5; 4; +1; – 3/2

D) 2; 1; 0; +1/2

E) 1; 1; +1; – 1/2

26. Dadas las siguientes propuestas de subniveles

energéticos.

I. 5f II. 2d III. 3f

indique los que existen.



UNI 2006 - I

Configuración electrónica

27. Indique la secuencia correcta después de de-

terminar si la proposición es verdadera (V) o

falsa (F).

I. El siguiente esquema correspondiente a la

distribución electrónica de los orbitales p

en un átomo.

p x p y p z viola el principio de exclusión de Pauli.

II. En la distribución electrónica de un ele-

mento se cumple que un electrón con el

mismo número cuántico principal, ubicado

en uno de los orbitales p tiene menor ener-

gía que uno en s. III. El orbital s es menos simétrico que cual-

quier orbital d.

A) VVV B) VVF C) VFF

D) FFF E) FFV

UNI 2008 - I

28. La carga nuclear de un átomo es +3,84×10 – 18 C.

Si el átomo tiene 76 partículas subatómicas

fundamentales, ¿qué proposiciones son verda-

deras?

I. Su número másico es 52.

II. Tiene 4 orbitales semillenos.

III. Su configuración electrónica presenta 2

electrones en su último nivel.

A) I y II B) solo II C) I, II y III

D) solo III E) solo I

29. Para un átomo con 30 neutrones y con núme-

ro másico igual a 55, ¿qué proposiciones soncorrectas?

I. Poseen 5 electrones desapareados.

II. Posee 25 protones y 25 electrones.

III. Sus electrones están distribuidos en 7 sub-

niveles energéticos.


D) I y III E) I, II y III

UNI 2006 - II



6

Química

30. Determine el número atómico del elemento

químico que tiene 6 electrones desapareados

y su población electrónica distribuida en 5

niveles de energía.

A) 38 B) 42 C) 44D) 51 E) 54

UNI 2005 - II

31. Determine el número de masa de un catión

divalente que tiene 30 neutrones en su núcleo

y 13 electrones en su tercer nivel energético.

A) 23 B) 27 C) 53

D) 55 E) 57UNI 2006 - I

32. Indique el juego de números cuánticos del últi-

mo electrón del paladio (Z=46) si se sabe que

esta sustancia es diamagnética.

A) 5; 0; – 0; +1/2

B) 5; 0; – 0; – 1/2

C) 3; 2; +2; +1/2

D) 4; 2; +2; – 1/2

E) 4; 2; +1; +1/2

33. ¿Cuál de las siguientes configuraciones elec-

trónicas es correcta?

Datos de números atómicos: Ne=10; Ar=18

A) 24Cr: [Ar]4s23d4

B) 29Cu: [Ar]4s 3d

C) 26Fe:[Ar] 4s 3d

D) 7N:[Ar]1s 2s 2p

E) 13 Al3+: [Ne]3s23p1

UNI 2008 - II

34. Determine el número de electrones que pre-

senta un átomo si en su configuración electró-

nica tiene 2 electrones con n=4 y m s=– 1/2.

A) 34 B) 36 C) 35

D) 47 E) 38

35. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son

verdaderas?

I. Los iones Na+ y Al3+ son isoelectrónicos

Z: Na=11; Al=13.

II. El Be(Z=4) en su estado fundamental tiene

sus electrones de valencia apareados.

III. El máximo número de electrones en un or-

bital está dado por 2(2µ+1).

A) solo I B) I y II C) I y III

D) II y III E) I, II y III

UNI 2002 - I

36. Referente a los siguientes iones

Ti4+(Z=22), Co2+(Z=27), Cl –(Z=17)

indique la secuencia correcta después de de-

terminar si la proposición es verdadera (V) o

falsa (F).

I. El ion Cl– es paramagnético.

II. El ion Co2+ es paramagnético.

III. El ion Ti4+ es diamagnético.

A) FVV B) FFF C) VFV

D) VVV E) VFF

UNI 2007 - II

Tabla periódica moderna

37. Respecto a la tabla periódica de los elementos,

¿qué proposiciones son correctas? I. Mendeléiev organizó a los elementos en

función de su peso atómico.

II. Según Moseley, las propiedades de un ele-

mento depende del número de protones.

III. Los elementos más abundantes son los de

transición.

A) I y III B) solo II C) I, II y III

D) I y II E) solo I



Química

38. Respecto a la tabla periódica de los elemen-tos, señale verdadero (V) o falso (F) y elija lasecuencia correcta.

I. Los elementos químicos están ordenadossegún la ley periódica de Moseley.

II. Los elementos de un mismo periodo tienen

propiedades diferentes. III. Según la IUPAC, presenta 8 grupos A y 8

grupos B.

A) VFV B) VVV C) VVFD) FVV E) VFF

39. Respecto a los elementos A (Z=12), B (Z=53) y C (Z=20), señale verdadero (V) o falso (F) yelija la secuencia correcta.

I. A y C poseen propiedades químicas simi-

lares. II. C es un metal alcalino térreo, mientras que

B es un anfígeno. III. A es más reactivo que el sodio (Z=11).

A) VFF B) VFV C) FFV D) FVF E) FFF

40. Identifique el elemento representativo y para-magnético que pertenece al tercer periodo dela tabla periódica.

Número atómicos: N=7; O=8; Cl=17; Ar=18;Br=35

A) nitrógenoB) oxígenoC) cloroD) argónE) bromo

UNI 2001 - I

41. Si un elemento pertenece al quinto periodo

y al grupo VIA, señale el número de orbitales

llenos que posee.

A) 20 B) 21 C) 22

D) 25 E) 28

42. Un elemento posee 12 electrones en orbitales

cuya energía relativa es 6. Indique su ubica-

ción en la tabla periódica.

Periodo Grupo

A) 4 IIA

B) 5 IVA

C) 4 IA

D) 5 IIA

E) 4 IIB

43. Para un elemento se observa que su átomo

neutro presenta 16 electrones en la capa M . Se-

gún ello, indique las proposiciones correctas.

I. Su carga nuclear es 28.

II. Se encuentra en el cuarto periodo.

III. Pertenece al grupo VIIIB.

A) solo I B) solo III C) I y III

D) II y III E) I, II y III

44. El último electrón de un átomo en distribuirse

presenta los números cuánticos 3; 2; 0; – 1/2.

Determine el periodo y grupo en la tabla perió-

dica del elemento correspondiente.

A) 4, VIIA B) 4, VIIIA C) 5, VIIB

D) 3, VIIIB E) 4, VIIIB

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