cÁlculo i - cristianeguedes.pro.br · divisão de polinômios (6 ... exercício: resolva as...

1

CENTRO FEDERAL DE EDUCAO TECNOLGICA

CELSO SUCKOW DA FONSECA

CLCULO IADM. IND.

Prof Cristiane Pinho Guedes

2010

http://www.cristianeguedes.pro.br

[email protected]


2

CRONOGRAMA - 2010 / 01

16/03 Apresentao do Curso

18/03 Aula 1 Reviso Potenciao, Produtos Notveis, Polinmios, Fatorao

23/03 Dvidas Lista 1 e Lista 2

25/03 Aula 2 - Funo

30/03 Dvidas Lista 3 e Lista 4

06/04 Aula 3 Limites e Limites no infinito

08/04 Dvidas Lista 5

13/04 Aula 4 - Taxa Mdia de Variao - Derivada


20/04 Aula 5 - Regra da Cadeia

27/04 X


04/05 P1

06/05 X

11/05 Aula 6 - Aplicaes da Derivada


18/05 Aula 7 Mximos e Mnimos

20/05 Entrega e Reviso da P1

25/05 - Aula 8 Pontos de Inflexo

27/05 - Dvidas Lista 9


08/06 P2

10/06 - X

15/06 Dvidas


22/06 P3

24/06 X


01/07 X

06/07 PF


3

CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA

Aula 1 data:__________________

Potncias

an = a . a . a . ... . a

n vezes

Ex: 34 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81

26 = 64

Ex: Qual o dobro de 2100?

2 . 2100 = 2101

Ex:

a) (3) =

) 3 =

) 2

=

Produtos Notveis

am . an = am+n

am : an = am-n

(am )n = am.n

a-n =

am/n =

, m e n inteiros positivos

(a + b).(a - b) = a2 b2

(+ ) = + 2+


4

Ex:

) 2) ) =

) 3) .(2 +3) (2 =

) (2 + .( (2 + ( =

) ) ) =

Diviso de Polinmios

6) 5 + 12 +4 3): 3) + 1) =

5) + 3): ) 1) =

( ) = 2+

(+ ) = + 3+ 3 +

( ) = 3+ 3


5

Fatorao

Fatorar transformar em fatores, que so elementos da multiplicao.

Ex:

) 2 + +6 8 =

) 5 + 20 =

) + + + =

) 9 =

) + +6 9 =

) +5 6 =

) 16 1 =

) +10 25 =

) 8 20 =

Exerccio: Resolva as equaes abaixo:

) +7 6 = 0

) + +7 6 = 0

) +5 6 = 0

) + 6 = 0


6

) 12 13 = 0

) 26 27 = 0

) +110 1000 = 0

) + +50 600 = 0

) + +60 900 = 0

) +80 1600 = 0

) 42 = 0

) +8 15 = 0

) + 10 + =247 0

( + 2 9 18 = 0

( 21 + =20 0

( +4 4 = 0


7


Lista 1

1) Desenvolva os polinmios abaixo:

) ( + ). ( ) =

) ( + )6 =

) (3+ 1) =

) (2+ 3) + ( 5) =

) +) 1) + ) 1) )2 1) =

) (2+ ) 6 ( ) =

) +) (2 +5) =.(7

) ( ) ( ) + 4 ( ) =

2) Calcule:

) 28) + :(8 (4) =

) 6) 5 + 3 :(9 (3) =


8

) ) 3 + 6): ) 2) =

) 9) 36 + 29 6): ) 3) =

)( 1): ) 1) =

) 2) + 7 15): +) 5) =

6)( + 3 13 4 + +5 3): 3) 2 1) =


9

Respostas:

1) )

) + 12 + 36

) 9 + 6+ 1

) 5 + 2+ 34

) 4

) 3

) + + 5 + 8

)

2) ) 7 + 2

) 25

3 + 3

) 3

) 9 +9 2

) + + 1

) 2 3

) 2 + 3

) + 5


10


Lista 2

1) Fatore as expresses abaixo:

( + +10 25 =

) + +46 529 =

) 64 + +80 25 =

) 49 + 14 + =

) +34 289 =

) 1 10 + 25 =

) + 3 + +3 1 =

) 6 + 12 8 =

) 64 =

) 4 49 =

) 1 =

) 25 =

) + + + =


11

) 6 +6 5 =5

Respostas:

1) ) +) 5)

) +) 23)

) +8) 5)

) (7 + )

) ) 17)

) (1 )5

) +) 1)

) ) 2)

) +) )(8 8)

) (2+ 7 )(2 7 )

) (1 + )(1 )

)( + 5)( 5)

) (+ +)( (

)11( (


12


Aula 2 data:__________________

Funo

1) Funo do 1 grau

() = +

) (

> 0 () < 0 ()

Estudo do sinal:

Ex: ) () = +5 15

) () = 3 6


13

2) Funo do 2 grau

() = + + , 0

:=

2, = 4

: > 0

: = 0

: < 0

=:

: =

: =

2 =

4


14

Estudo do sinal:

Ex: ) () = +5 6

) () = 2 + 6

) () = 2 18

) () = + 2 1

) () = +5 6+ 6


15

) () = + +4 4

1

()( = + +2 1

1

))) =) 5)

+ 3


16


Lista 3

1) Faa o grfico das funes abaixo:

) () = +3 6

) () = 2 4

) () = 5 10

) () = +7 7

) () = 2 3

) () = + 4

) () = +2 1

) () = +) 2)

) () = 2 8

) () = 3 6

) () = 6

) () = 4 4

2) Determinar os possveis pontos de interseo das funes abaixo:

) () = 2 8 () = +4 20

) () = +4 4 () = + 4 4

) () = ()4 = +2 3

) () = +5 45 () = 3 27

) () = 2 18 () = 3

) () = + 2 4 () = 2 +7 2

) () = 3 +14 22 () = 2 + 11 8

) () = 4 +5 2 () = 2 + +3 2

Resp: 2) a) (-14, -36) b) (2, 0) c) (3, -3) e (-1, 5) d) (-36, -135)

e) (3, 0) e (-6, 54) f) (2, -4) e (1, -3) g) (3, 7) e (2, 6) h) (0, 2) e (4, 46)


17


Lista 4

1) Uma companhia de televiso a cabo estima que com x milhares de assinaturas, o faturamento e o

custo mensais (em milhares de dlares) so:

R(x) = 32x 0,21 x

C(x) = 195 + 12x

Encontre o nmero de assinantes para o qual a companhia ser rentvel.

2) Durante a primeira meia hora, os empregados de uma bancada preparam a rea para o dia de

trabalho. Depois disso, eles produzem 10 peas para mquinas de preciso, de forma que a produo

depois de t horas tem f(t) peas, com 82

1,510

2

110)(

ttttf . O custo total para se produzir x

peas xxC 803000)(

a) Expresse o custo total como uma funo de t.

b) Qual o custo das primeiras 4 horas de operao?

3) Considere um cilindro na posio horizontal. Escreva uma expresso considerando o fato de que o

volume de 100 polegadas cbicas. Suponha que o material utilizado para construir a tampa esquerda

custe R$ 5,00 por polegada quadrada, o material utilizado para construir a tampa direita custe R$ 6,00

por polegada quadrada e que o material utilizado para construir a superfcie cilndrica custe R$ 7,00

por polegada quadrada. Escreva uma expresso para o custo total do material necessrio para

construir o cilindro.

4) Estude o sinal das seguintes funes:

882

2

2

2

2

2

2

)()

3

)5()()

9

12)()

16

44)()

xxexmd

x

xxhc

x

xxxgb

x

xxxfa

5) Faa o grfico das funes abaixo:

a) f(x) = -x + 4 b) f(x) = x + 2x +1

c) f(x) = (x + 2) d) f(x) = 2x + 8

e) f(x) = -x -6 x + 16 f) f(x) = -x + 4x 4

Resp: 1) 12 a 84 2) a) C(t) = 2600 + 800t b) R$ 5800,00 ()(3 = 11 +

4)a) () < 0 4 < > 4 2, () = 0 = 2, () > 0 > 4 3 1, () = 0 = 1, () > 0 > 3 3, () = 0 = 5, () > 0

18


Aula 3 data:__________________

Limite

:1 () = + 2

lim

()

) (2

lim

()

) (2

lim () =

lim () =

lim () =

(2) =

():2 = 4

2

lim () =

lim () =

lim () =

(2) =


19

():3 = 4

2 2

6 = 2

lim () =

lim () =

lim () =

(2) =

:4 () = + 2 > 26

20

Diz-se que uma funo f(x) tende a b quando x tende para a, se a diferena absoluta entre f(x) e

b for menor que um nmero positivo arbitrariamente pequeno para todos os valores de x

suficientemente prximos de a e para os quais a 0.

Se uma funo f(x) for maior do que um nmero positivo arbitrariamente grande, para todos os

valores positivos de x que sejam suficientemente grandes, ento

lim

() = +

Em alguns casos, a funo pode tender a dois limites diferentes, conforme a varivel se

aproxime de seu limite por valores maiores ou menores que este limite. Em tal caso, o limite no

definido (no existe), mas os limites pela direita e pela esquerda existem.

Continuidade

Uma funo f contnua em um nmero a se lim () = ( ).

Logo, so necessrias trs condies para a continuidade de f em a:

1) f(a) est definida.

2) lim () existe.

3) lim () = ( )

Propriedades dos limites:

Se lim () = , lim () = , , :

1) lim

=

2) lim

[ () [() = lim

() lim

() =

OBS: Essa regra vale para a soma ou diferena de qualquer nmero finito de funes.

3) lim[ () . [() = lim () . lim () = .

OBS: Essa regra vale para o produto de qualquer nmero finito de funes.

4) lim

()

()=

lim

()

lim

()=

0

5) lim

[ [() = lim

()

=

6) lim

()

= lim

() =


21

Ex:

) lim

=

) lim

3) +5 2) =

) lim

+ 2 3

4 3=

) lim

2 + 1

3 2

=

) lim

+ 2 +3 2

+ +4 3

=

Expresses Indeterminadas:

0

0,

, , 0 . , 0 , , 1

Expresses indeterminadas so expresses sobre as quais no se pode afirmar nada, a priori,

pois dependendo das funes em questo, a expresso pode assumir qualquer valor real ou no

existir. Portanto, necessrio manipular a expresso afim de retirar a indeterminao.

Ex:

) lim

4

2=

) lim

2 + +4 1

3 + 5 3=

) lim

+3 2

1=


22

) lim

3 4 + 2

2 3 + 1=

) lim

1 + 2

3=

) lim

3 2 2

+4 1 3=

) lim

3 4

) 2)=

) lim

+2 3

) 1)=


23

) lim

1 3

) 1)=

) lim

3 +5 2

=

) lim

+ 4

+ 2=

) lim

+ 4

+ 2=

) lim

1 2

3=

) lim

1 2

3=

) lim

+2) 3) =


24

( lim

(4 (5 =

( lim

5) +4 3) =

( lim

(4 ( =

( lim

(8 ( =

( lim

3) 4) =

( lim

+3 2

5 1=

( lim

5 4

2 3=

( lim

5 +4 3

+3 2=

( lim

4 1

3 5 2=

( lim

3 2

+5 1=

( lim

+ 4

8 1=


25


Lista 5

1) Avaliar os limites indicados e determinar, em cada caso, se a funo contnua no ponto dado.

10

113)()(lim)

21

2)()(lim)

lim)

lim)

1lim)

1

43lim)

lim)

2

65lim)

lim)

3

9lim)

1

1lim)

3lim)

5

13lim)

1lim)

2

1lim)

1lim)

1

2

2

0

0

2

1

2

2

1

0

2

2

3

0

2

3

2

1

24

0

2

3

1

3

2

2

2

xse

xsexxfondexfq

xsex

xsexxfondexfp

eo

en

xm

xx

xxl

x

xj

x

xxi

x

xxh

x

xg

x

xf

xxe

xd

xc

x

xb

xa

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Respostas:

a) 3 . Contnua i) -1. No contnua

b) 4/5 . Contnua j) No tem limite. No contnua

c) 0. Contnua k) 2/ 3. Continua

d) -1. Contnua l) No tem limite. No contnua

e) 0. Contnua m) 1. Contnua

f) 2. No contnua n) 1. Contnua

g) -6. No contnua o) No tem limite. No contnua

h) -1. No contnua p) 4. No contnua



Aula 4 data:__________________

Definio da Primeira Derivada

Nesta seo, definida a primeira derivada de uma funo e so examinadas vrias interpreta

es dela. A primeira derivada de uma funo num ponto a declividade da funo neste ponto. A

definio precisa deste conceito a seguinte:

A declividade m de uma reta definida como a tangente do seu ngulo de inclinao ou, de

forma equivalente, como a taxa de variao da distncia vertical (elevao) relativa

da distncia horizontal (percurso), medida que um ponto se move ao longo da reta, em qualquer

sentido (veja a Figura 2.13).

A declividade de qualquer reta dada uma constante isto , a taxa de variao de

varia constante ao longo da reta. Contudo, para outras curvas a declividade no constante e deve

ser determinada para cada ponto em particular.

Suponha que (x1, y1) e (x2, y2) sejam dois pontos quaisquer da curva

da reta (chamada secante) que liga (x

Suponha, agora, que o ponto (x

longo da curva y = f(x), em direo ao ponto (x

geral, a declividade da reta que liga (x

26


data:__________________

Nesta seo, definida a primeira derivada de uma funo e so examinadas vrias interpreta


finio precisa deste conceito a seguinte:


forma equivalente, como a taxa de variao da distncia vertical (elevao) relativa

ntal (percurso), medida que um ponto se move ao longo da reta, em qualquer

= =

=

A declividade de qualquer reta dada uma constante isto , a taxa de variao de

a constante ao longo da reta. Contudo, para outras curvas a declividade no constante e deve

ser determinada para cada ponto em particular.

) sejam dois pontos quaisquer da curva y = f(x).

mada secante) que liga (x1, y1) e (x2, y2) dada por

=

=

Suponha, agora, que o ponto (x1, y1) seja fixado, enquanto o ponto (x

em direo ao ponto (x1, y1 ). medida que o ponto (x

lividade da reta que liga (x1, y1) e (x2, y2) variar. Entretanto, pode acontecer


Nesta seo, definida a primeira derivada de uma funo e so examinadas vrias interpreta-



forma equivalente, como a taxa de variao da distncia vertical (elevao) relativamente variao

ntal (percurso), medida que um ponto se move ao longo da reta, em qualquer

A declividade de qualquer reta dada uma constante isto , a taxa de variao de y quando x

a constante ao longo da reta. Contudo, para outras curvas a declividade no constante e deve

y = f(x). Ento, a declividade

) seja fixado, enquanto o ponto (x2, y2) movimentado ao

). medida que o ponto (x2, y2) se move, em

) variar. Entretanto, pode acontecer e


acontece realmente para a maioria das curvas encontradas na prtica

(x2, y2) se aproxima cada vez mais do ponto (x

quantidades cada vez menores e, de fato, aproxi

acontece, diz-se que o valor limite a decli

2.14)].

De modo mais conciso, se, medid

da curva y = f(x), a declividade da secante tende a um valor limite cons

valor limite a declividade da tangente curva em (x

curva em (x1, y1) ou a declividade de

lim

=

A declividade de uma funo num dado ponto a

Costuma-se definir a primeira derivada utilizando

(x1, y1) e a notao (x + x, y + y) para o ponto m

a primeira derivada em relao a x da funo

de x e deixar de existir para outros. Em cada ponto

funo y = f(x) tem uma derivada ou

simplesmente, a derivada de y =

conhecido como diferenciao.

a primeira derivada de y = f(x) em relao a x. Os mais comuns entre estes

27

acontece realmente para a maioria das curvas encontradas na prtica que medida que o ponto

) se aproxima cada vez mais do ponto (x1, y1), a declividade da reta

quantidades cada vez menores e, de fato, aproxima-se de um valor limite constante. Quando isto

se que o valor limite a declividade da tangente curva em (x

De modo mais conciso, se, medida que o ponto (x2, y2) se aproxima do ponto (x

a declividade da secante tende a um valor limite constante, ento diz

valor limite a declividade da tangente curva em (x1 , y1) ou, em poucas palavras, a decl

) ou a declividade de f(x) em (x1, y1). Isto ,

= lim

= () ,)

A declividade de uma funo num dado ponto a primeira derivada da funo neste ponto.

se definir a primeira derivada utilizando-se a notao (x, y)

y) para o ponto mvel (x2, y2). Ento

= lim

= lim

+) ( ()

a primeira derivada em relao a x da funo y = f(x). Este limite pode existir para alg

de x e deixar de existir para outros. Em cada ponto (x, y) onde este limite existe, diz

tem uma derivada ou diferencivel, e diz-se quedx

dy

y = f(x). O processo para se obter a primeira derivada de uma funo

diferenciao. Vrios tipos de notao, alm dedx

dyso utilizados para denotar

em relao a x. Os mais comuns entre estes

yDxfy x,)(,

que medida que o ponto

), a declividade da reta secante varia em

se de um valor limite constante. Quando isto

vidade da tangente curva em (x1, y1) [(veja a Figura

) se aproxima do ponto (x1, y1) ao longo

tante, ento diz-se que este

) ou, em poucas palavras, a declividade da

(

da funo neste ponto.

y) para o ponto estacionrio

Este limite pode existir para alguns valores

onde este limite existe, diz-se que a

a primeira derivada ou,

O processo para se obter a primeira derivada de uma funo

so utilizados para denotar

em relao a x. Os mais comuns entre estes so:


Deve ser observado que a primeira derivada de uma funo em relao a x , em geral, outra

funo de x que deve ser calculada para valores particulares. Isto corresponde ao fato

estabelecido acima de que, exceto para retas, as

em diferentes pontos.

A partir da definio de derivada e das propriedades de limites, podem ser obtidas regras para

se encontrar as derivadas de vrios tipos de funes. Estas ser

fim de ilustrar este fato, as derivadas de vrias funes relativamente simples so obtidas

diretamente, em vez de se utilizar as frmulas.

Exemplo: Ache a primeira derivada de y = 4x + 1.

44lim4

lim

)14(1)(4lim

)()(lim

00

0

0

xx

x

x

x

x

x

xxx

x

xfxxf

dx

dy

Observe que y = 4x + 1 representa uma ret

Velocidade de um Corpo em Movimento

Considere um corpo (ou uma partcula) movendo

t o tempo medido a partir de um determinado instante, e

uma origem fixa na reta, onde s positiva ou negativa, de acordo com o sentido do movimento a partir

da origem. Suponha que a distncia a partir da origem seja dada em termos do tempo pela funo

f(t) chamada lei do movimento. [Por exemplo, pense que o corpo ou a partcula um automvel que

passa por uma estrada reta, de tal maneira que sua distncia desde o ponto de partida dada como

uma funo de t por s=f(t)]

Num determinado instante t1, suponha que a partcula

suponha que durante o intervalo de tempo t, ela se mova a uma dist

Figura 2.15).

Se a razot

S

for constante, de forma que distncias iguais sejam sempre percorridas

intervalos iguais de tempo, o movimento chamado

28


que deve ser calculada para valores particulares. Isto corresponde ao fato

estabelecido acima de que, exceto para retas, as curvas no tm em geral a mesma declivida


se encontrar as derivadas de vrios tipos de funes. Estas sero dadas numa seo posterior.

de ilustrar este fato, as derivadas de vrias funes relativamente simples so obtidas

diretamente, em vez de se utilizar as frmulas.

Exemplo: Ache a primeira derivada de y = 4x + 1.

Observe que y = 4x + 1 representa uma reta e, portanto,dx

dy uma constante.

Velocidade de um Corpo em Movimento

Considere um corpo (ou uma partcula) movendo-se ao longo de uma trajetria em linha reta. Seja

o tempo medido a partir de um determinado instante, e s a distncia da partcula me

positiva ou negativa, de acordo com o sentido do movimento a partir

da origem. Suponha que a distncia a partir da origem seja dada em termos do tempo pela funo

[Por exemplo, pense que o corpo ou a partcula um automvel que


suponha que a partcula esteja a uma distncia

suponha que durante o intervalo de tempo t, ela se mova a uma distncia

for constante, de forma que distncias iguais sejam sempre percorridas

intervalos iguais de tempo, o movimento chamado uniforme e a razot

S


que deve ser calculada para valores particulares. Isto corresponde ao fato

curvas no tm em geral a mesma declividade


o dadas numa seo posterior. A

de ilustrar este fato, as derivadas de vrias funes relativamente simples so obtidas

uma constante.

se ao longo de uma trajetria em linha reta. Seja

a da partcula medida a partir de

positiva ou negativa, de acordo com o sentido do movimento a partir

da origem. Suponha que a distncia a partir da origem seja dada em termos do tempo pela funo s =

[Por exemplo, pense que o corpo ou a partcula um automvel que


esteja a uma distncia s1 da origem 0, e

ncia s da origem (veja a

for constante, de forma que distncias iguais sejam sempre percorridas em

denominada velocidade


29

em qualquer instante. O termo velocidade freqentemente usado para denotar a magnitude isto

, o valor absoluto da velocidade.

Se, entretanto, o movimento no for uniforme, a razot

S

varia, medida que t varia, e no

representa mais a velocidade da partcula em qualquer instante. Em vez disso, representa a

velocidade mdia da partcula durante um determinado intervalo de tempo t :

velocidade mdia durante o intervalo t = t

S

medida que o intervalo de tempo t tende a zero, esta velocidade mdia pode tender a um

limite. Se isto ocorrer, diz-se que este limite a velocidade instantnea no instante t1:

velocidade instantnea no instante t1 =t

St

0

lim

Mas, por definio,t

St

0

lim a primeira derivada de f(t) no ponto t = t1. Portanto, num instante t1, a

velocidade de uma partcula que se move numa reta, de acordo com a lei do movimento s = f(t), onde

s a distncia orientada a partir de uma origem fixa e t o tempo, dada pelo valor da derivada de s

em relao a t para t = t1.

Exemplo: A distncia de um trem desde o seu ponto de partida, quando ele viaja ao longo de um trilho

em linha reta, dada pela equao = 16 + ,2 onde s a distncia em quilmetros e t o tempo

em horas. Ache a distncia percorrida e a velocidade aps 2 horas.

Assim, aps 2 horas, s = 64 + 4 = 68 quilmetros percorridos.

=

= lim

+) ( ()

= lim

+)16 ( + +)2 ( 16 2

= lim

16 + ()32 + ()16 + +2 2 16 2

= lim

()32 + ()16 + ()2

= lim

+32] ()16 + 2] = lim

+32) 2)

= 64 + 2 = 66

= 2

Taxa de Variao de uma Funo

Sejam p e q as medidas de duas variveis relacionadas e suponha que q seja uma funo de p

isto , q = f(p). Se a razop

q

das variaes correspondentes nas duas variveis tiver o mesmo valor

para todos os valores de p, ela chamada taxa de variao de q em relao a p e diz-se que q varia

uniformemente em relao a p. Mas, se a razop

q

no for constante, medida que p varia, q no


30

varia uniformemente ep

q

, ento, denominada a taxa de variao mdia de q em relao a p no

intervalo p.

Se a razop

q

tende a um limite quando p tende a zero, diz-se, ento, que este limite a taxa

de variao instantnea de q em relao a p.

A partir da definio da derivada, segue-se que a taxa de variao instantnea de uma quantidade

varivel q em relao a uma quantidade varivel relacionada p dada pela derivada de q em relao a

p, isto ,p

q

.

Costuma-se utilizar a expresso "taxa de variao de uma funo" como equivalente derivada

da funo.

Se a varivel q puder ser expressa como uma funo da varivel tempo t, ento a derivadap

q

de

q em relao a t d a taxa de variao no tempo de q. Assim, a velocidade de uma partcula a taxa

de variao no tempo da sua distncia a partir da origem.

A interpretao de uma derivada em termos da taxa de variao de uma funo fre-

qentemente aplicvel na Economia, como discutido a seguir.

Aplicaes da Primeira Derivada em Administrao e Economia

Nesta seo, so discutidas vrias aplicaes do conceito de primeira derivada na Administrao

e na Economia. Estas aplicaes incluem o custo marginal, a renda marginal, a elasticidade e a

propenso marginal a poupar e a consumir.

Na Economia, costuma-se descrever a variao de uma quantidade y em relao a uma outra

quantidade x, em termos de dois conceitos, o de mdia e o de marginal. O conceito de mdia expressa

a variao de y sobre uma faixa de valores de x, usualmente a faixa que vai de zero at um certo valor

selecionado. O conceito de marginal, por outro lado, refere-se variao de y "na margem" isto ,

para variaes muito pequenas de x a partir de um dado valor. O conceito de marginal , portanto,

preciso quando for considerado no sentido de um limite, medida que a variao em x tende a zero.

Os conceitos econmicos de variao mdia e marginal correspondem aos conceitos mais gerais

da taxa de variao mdia de uma funo num intervalo e da taxa de variao instantnea (isto , a

derivada) de uma funo.

As variaes mdia e marginal nas quantidades so consideraes essenciais no desenvol-

vimento de ambas as teorias microeconmica e macroeconmica. Abaixo, so discutidos exemplos de

aplicaes da derivada na teoria microeconmica (custo, receita, elasticidade) e na teoria

macroeconmica (renda, consumo, poupana); nas sees seguintes sero dados exemplos

adicionais.


31

CUSTO

Suponha que o custo total y para se produzir e comercializar x unidades de uma mercadoria seja

dado pela funo y =f(x). Ento, o custo mdio por unidade

x

xf

x

y )(

Se a produo aumentada x, medida desde um certo nvel x, e se o acrscimo correspondente

no custo y, ento o acrscimo mdio no custo por unidade acrescida na produo x

y

e o custo

marginal definido por

lim

=

= ()

Isto , o custo marginal a derivada f'(x) da funo custo total y = f(x) em relao a x e a taxa de

acrscimo no custo total, em relao ao acrscimo na produo.

RECEITA

Para qualquer funo demanda dada y = f(x) onde y o preo por unidade e x o nmero de

unidades; a receita total R o produto de x por y, isto

R = x.y = x. f(x)

A receita marginal em relao demanda a derivada da receita total em relao a x:

= ()

e , portanto, a taxa de variao na receita em relao variao na demanda.

Observe que a receita mdia, ou a receita por unidade, representa tambm o preo por unidade y

isto , a curva de receita mdia e a curva de demanda so idnticas.

Uma vez que x e y so sempre no negativos no contexto de nossa estrutura analtica

previamente estabelecida, R tambm sempre no negativa. Contudo,dx

dRpode ser positivo

ou negativo isto , embora a receita total seja sempre no negativa, ela pode aumentar ou diminuir,

medida que a demanda aumenta.

ELASTICIDADE

A elasticidade puntual da funo y = f(x) no ponto x a taxa de variao proporcional em y por

unidade de variao em x:

dx

dy

y

x

x

dx

y

dy

Ex

Ey.

Observe que a elasticidade de uma funo independente das unidades com as quais as vari-

veis so medidas. Isto resulta da definio de elasticidade, em termos de variaes proporcionais, que

so necessariamente independentes das unidades de medida.


32

A elasticidade puntual de demanda, oferta, custo, produtividade e outras funes um importante

conceito na teoria econmica.

RENDA, CONSUMO E POUPANA NACIONAIS

A relao entre a renda nacional total disponvel e o consumo nacional total conhecida fre-

qentemente como funo consumo. Nas formas simples de anlise terica da funo consumo,

admite-se que medida que a renda aumenta (ou diminui), o consumo aumenta (ou diminui), embora

com menos intensidade que a renda; isto , a propenso marginal a consumir igual taxa de

variao no consumo, medida que a renda disponvel varia.

Se a funo consumo dada por c = f(x), onde c o consumo nacional total e x a renda nacional

total (e c e x so medidas nas mesmas unidades), ento, a propenso marginal a consumir

)(xfdx

dc

Nas anlises tericas elementares da renda nacional, assume-se freqentemente que a renda

disponvel equivale soma do consumo mais a poupana. Isto expresso como

x = c + s

A propenso marginal a consumir

)(xfdx

dc

e a propenso marginal a poupar

dx

dc

dx

ds 1

Na anlise da renda nacional, o investimento considerado como formao de capital e

representa um acrscimo no capital real, por exemplo em equipamentos, edifcios, estoques, e assim

por diante. Assume-se que o investimento e o consumo estejam relacionados de maneira tal que um

dispndio inicial possa resultar num acrscimo da renda igual a vrias vezes aquela quantia. Uma

expresso numrica precisa para esta relao dada pelo multiplicador. Este a razo entre o ltimo

acrscimo na renda e o acrscimo no investimento que o originou.

O multiplicador k est relacionado propenso marginal a consumir e dado por

=1

1

=1

Observe que se 0dx

dc, ento k = 1; isto , se nenhuma renda adicional gasta, o acrscimo total

na renda igual ao dispndio inicial; se kdx

dc,1 , isto , se toda a renda adicional gasta, o

acrscimo total na renda torna-se infinitamente grande.


33

Regras Bsicas de Diferenciao:

1) A derivada de uma funo constante igual a zero.

( ) = 0 ( )

2) REGRA DA POTNCIA: Se n qualquer nmero real, ento

() = .

Ex: Determine a derivada das seguintes funes:

) () =

) () = /

) () =

) () =1

3) A derivada de uma constante vezes uma funo diferencivel igual constante vezes a derivada

da funo.

[ . [() = .

[ [() ( )

4) REGRA DA SOMA: A derivada da soma (diferena) de duas funes diferenciveis igual soma

(diferena) de suas derivadas.

[ () [() =

[ [()

[()]

Ex: Determine a derivada das seguintes funes:

) () = 4 + 3 8 + + 3

) () =

5+

5

Ex: Determine a declividade da reta tangente ao grfico de () = +2

, no ponto (1, 3).


34

Ex: A altitude (em ps) de um foguete alcanada aps t segundos em vo dada por

() = + 96 + +192 195

a) Determine a expresso v para a velocidade do foguete em qualquer tempo t.

b) Calcule a velocidade do foguete quando t=0, 30, 50, 65 e 70. Interprete seus resultados.

c) Usando os resultados da soluo do item b e a observao de que a velocidade do foguete zero

no ponto mais alto de sua trajetria, determine a altitude mxima alcanada pelo foguete.

Outras Regras de Derivao:

() = () =1

() = () = .

() = () =

REGRA DO PRODUTO: A derivada do produto de duas funes igual derivada da primeira, vezes

a segunda mais a derivada da segunda, vezes a primeira.

() = ().() () = ().() + ().()

REGRA DO QUOCIENTE: A derivada do quociente de duas funes igual derivada da primeira,

vezes a segunda menos a derivada da segunda, vezes a primeira, sobre o quadrado da segunda.

() =()

() () =

().() ().()

[()]

Ex:

) () = +

+3 2

) () = 3) + +2 +4)(8 1)

) () =ln ()


35


Lista 6

1) Obtenha a derivada das funes abaixo:

) () = 10

) () =

) () = 10

) () =1

2

) () = +

) () = 5 + 10

) () = +2 1

) () = 3 6 10

) () = 5 2 + +6 7

) () = 3 + 5

) () = 10 +3 6

) () = 2) +3 2)(5 1)

) () = 1

2

) () =2

+

5

( () =

( () =

+

( () = +3 5

+ 10

( () = /

2) Uma empresa possui uma funo () = 4 + 2 5. Determine o Custo Marginal da produo

da 12 unidade (isto acontece quando x = 11)

3) Calcule o Custo Marginal de uma empresa na qual () = 3 3 para o ponto x = 3.

4) Sabe-se que a Receita de uma determinada empresa () =

+ 12 e ocorreu uma Receita

Marginal de 27. Determine qual unidade essa receita correspondeu.

5) Seja a funo Consumo () = 12 . Determine a Propenso Marginal a Consumir e a Propenso

Marginal a Poupar no ponto y = 360.

6) Uma indstria que tem () = ,50 como Produo, em toneladas por ms, onde x o tempo

trabalhado em homens/hora. Determine a Produo Marginal no ponto x = 10000

Respostas:

) 0 12( +16 13

) 5 )

()

50( ) 6 10


36

( ( /2/3

+2( 3 ( 1 3 // + 1 4/ /

30( + 10 ( 3 //2 + /5/3

) 2 (

(1 3/ )

) 6 6

) 15 +4 6

) () = 3 / + 5

) () =10

3

2) 1454

3) 1197

4) 6

5) 1/30 e 29/30

6) 0,25 toneladas (se aumentar a carga de homens/hora de 10000 para 10001, a produo aumentar

0,25 toneladas.)


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